2015年迎春杯冲刺练习题(详解)

【答案】最少 101 个；至多 200 个； 【分析】若这个自然数本身不含 3，则它的 3 倍总拥有 100 2 200 个因数； 若这个自然数本身含 3，则乘以 3 后 3 的指数加 1； 若原数只有一种质因数且为 3，即 399 ，则 3 倍为 3100 ，其因数个数为 101，是数量增加最少的情况. 若原数有两种质因数且含 3，比如 100 2 50 ，对应原数形式为 ab 49 ，若 a 为 3，则其 3 倍的因数 个数为 3 50 150 ，若 b 为 3，则其 3 倍的因数个数为 2 51 102 ； 若 100 4 25 ，则 3 倍的因数个数可能为 5 25 125 个或 4 26 104 个； ...... 容易发现，3 倍的因数个数最少为 101 个，最多为 200 个.
2015 年迎春杯冲刺练习题
1. 720 有多少个因数？
Biblioteka Baidu
【答案】30 【分析】 720 24 32 5 ，则因数个数为 (4 1) (2 1) (1 1) 30 . 2. 一个自然数的 3 次方恰好有 100 个因数，那么这个自然数本身最少有多少个因数？最多有多少个 因数？ 【答案】最多 34 个，最少 16 个 【分析】这个数三次方以后每个质因数的指数都是 3 的倍数，再把指数加 1 连乘后得 100，可见 100 只能分拆为 3 倍多 1 的数之积： 若 100 99 1 ，则立方项为 a 99 ，原数为 a33 ，其因数个数为 33 1 34 个； 若 100 (3 1) (24 1) ，则立方项为 a 3b 24 ，原数为 ab8 ，其因数个数为 2 9 18 个； 若 100 (9 1) (9 1) ，则立方项为 a 9 b9 ，原数为 a 3b3 ，其因数个数为 4 4 16 个； 3. 一个自然数恰好有 100 个因数，那么这个自然数的 3 倍最少有多少个因数？最多有多少个因数？
则无动力的木筏漂过去需要 12 0.5 24 天. 【教学提示】只有时间单位的应用题，可以将路程和速度设为已知数，这样做能将问题变得生动易懂 .
12. 小燕上学时骑车，回家时步行，路上共用 50 分钟．如果往返都步行，则全程需要 70 分钟．求小
燕往返都骑车所需的时间． 【答案】30 【分析】小燕单程步行需要 35 分钟，则单程骑车需要 50 35 15 分钟，则往返骑车需要 30 分钟.
n 的最小值. 75
4.
一个正整数 n，它是 75 的倍数，并且有 75 个因数，求
【答案】432 【分析】 75 3 52 ，作为 75 的倍数，n 至少拥有一个因子 3 和两个因子 5；再根据 75 个因数反推 n ： 若 75 3 25 ，则 n a 2 b 24 ，最小为 52 324 ； 若 75 5 15 ，则 n a 4 b14 ，最小为 54 314 ； 若 75 3 5 5 ，则 n a 2 b 4 c 4 ，最小为 52 34 24 ； 显然 n 52 34 24 最小，则
12 6 8 288 2
【教学提示】目测法或者说丈量法是解决迎春杯几何题的法宝，但大家务必注意，这种方法只能在迎 春杯考试中应用，平时学习中禁止使用 .
17. 在等腰直角三角形 ABC 中，∠A=90°，AB 的长度是 60，D 是 AB 的中点，且∠CDE 为直角，那么
三角形 BDE 的面积是 ．
13. 在一条圆形跑道上，甲、乙两人分别从 A、B 两点同时出发，反向而行，6 分钟后两人相遇，再过 4 分钟甲到达 B 点，又过 8 分钟两人再次相遇，甲、乙两人绕跑道环行一周各需要多少分钟？
【答案】20 分钟，30 分钟 【分析】 从相遇到相遇需要 4 8 12 分钟， 即两人合走 1 圈需要 12 分钟， 则从开始到相遇要用 6 分钟， 说明开始时两人相距半圈； 相遇后甲用 4 分钟走完乙 6 分钟的路，可见两人速度比为 6 : 4 3 : 2 ，则相遇时两人分别走了合走
15. 快车和慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过 4 小时在途中相遇．相遇后两车继续向
前行驶．慢车到达甲地后停留 1 小时再返回乙地．快车到达乙地后停留 2.5 小时再返回甲地．已知 慢车从乙地到甲地用了 12 小时，那么两车从第一次相遇到第二次相遇需要多长时间? 【答案】10 小时 【分析】一个只有时间单位的行程问题，可以将速度或路程设为已知数； 设两地距离为 12，则慢车速度为 12 12 1 ，两车速度和为 12 4 3 ，则快车速度为 2； 从第一次相遇到第二次相遇，两人合走的路程为 12 2 24 ，若设这段时间为 x ，则：
n 52 34 24 最小为 33 24 432 3 52 75
5.
有两个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是 1031，第一个数各个位的数字之和是 10， 第 二个数的各个位数字之和是 8，求两个三位数的和.
【答案】360 后四位为 1031， 则首位为 8 (1 3 1) 3 ； 【分析】 两个乘数的 9 余为 1 和 8， 则乘积的 9 余为 1 8 8 ， 即乘积为 31031， 适当组合可知两数为 31 7 217 和 11 13 143 ， 和为 360 ． 31031 31 7 11 13 ，
6.
0～9 可以组成两个五位数 A 和 B，如果 A＋B 的和是一个末五位数字相同的六位数，这个六位数
是多少？
【答案】177777 【分析】加数数字 0-9 之和为 45，设和为 1aaaaa ，数字和为 5a 1 ，则必有 9 | 5a 1 a 7
7.
一个三位数的 4 倍的数字和与这个数数字和的 4 倍相等，这样的三位数有多少个？
面积是
(A)
70
(B) 72
(C)
75
(D)
90
【答案】A 【分析】连接 AF，由于 H 是 FG 的中点，则三角形 AFG 是阴影面积的的 2 倍； 而要求三角形 AFG 的面积需要知道 F 点和 G 点的准确位置，目测 F 点和 G 点都是所在边的三等
1 2 1 1 1 1 2 7 7 分点；据此易得三角形 AFG 的占比： 1 ，则其面积为 360 140 ， 2 3 2 3 2 3 3 18 18
则阴影面积为 70.
19. 由 1，3，4，5，7，8 这六个数字所组成的六位数中，能被 11 整除的最大的数是多少？
【答案】875413 【分析】方法一： 1 3 4 5 7 8 28 ；组成的六位数的奇数位上的三个数字和与偶数位上的三个 数字和相等并都等于 14， 14 8 5 1 7 4 3 ，则能组出来的最大数为 875413 ； 方法二：从极端考虑；经试最大的 875431 不是 11 的倍数，再试发现 875413 是 11 的倍数. 【教学提示】碰到最值问题要条件反射般想到“极端分析法”
B E D
A
【答案】150
C
【分析】阴影三角形的底 BD 30 ，作其高 EF ，在图准的情况下容易看出（或量出）EF 是 BD 的三分 之一，即 10，则阴影的面积为 30 10 2 150
18. 在面积为 360 的正方形 ABCD 中，E 是 AD 中点，H 是 FG 中点，且 DF=CG，那么三角形 AGH 的
8.
在右图的除法竖式中，被除数是
．
【答案】20952 【分析】首先将比较明显的几个格子填出来，再将除数和除数的倍数圈出来，如下左图所示：
1 9 4
2
1 1
1 0
8
2 0 8 1 0 1
1
1 0
8
0
0 9
1 2
9
7
2
2 0 9 5 2 1 0 8 1 0 1 5 9 7 2
4 4 3 3 2 2
0
0
0
10. 下面算式的有(
（A）2
)种不同的情况．
（B）3 （C）4 （D）5
2 × 1 4
【答案】A 【分析】 首先将被乘数和它的两个倍数圈出来， 第一个倍数 1□□ 显然是被乘数的 1 倍， 则被乘数为 1□2 ， 如下左图所示；第二个倍数 □□4□ 是个四位数，至少是 1□2 的 6 倍； 若 1□2 6=□□4□ ，无解；若 1□2 7=□□4□ ， 192 7 1344 符合要求； 若 1□2 8=□□4□ ，无解； 1□2 9=□□4□ ， 172 9 1548 符合要求. 综上，这个数字谜有两种填法，分别为 192 701 134592 和 172 901 154972
【答案】18 【分析】设这个三位数为 abc ，则数字和的 4 倍为 (a b c) 4 4a 4b 4c ； 而这个数的 4 倍：abc abc abc abc ，加数的数字和为 4a 4b 4c ，要使得结果的数字和不变， 要求这个加法没有进位，则 a，b，c 均不超过 2；a 取值只能为 1 和 2，b，c 取值为 0，1，2； 则这样的三位数有 2 3 3 18 个. 【教学提示】大家务必掌握弃九法
3 2 3 2 路程的 和 ；这分别占全程的 和 ； 5 5 10 10
可见，甲走一圈需要 6
3 2 20 分钟，乙走一圈需要 6 30 分钟. 10 10
14. 培英学校和电视机厂之间有一条公路，原计划下午 2 点时培英学校派车去电视机厂接劳模来校作
报告，往返需用 1 小时．实际上这位劳模在下午 l 点便提前离厂步行向学校走来，途中遇到接他 的汽车，劳模便立刻上车去往学校，并在下午 2 点 40 分到达，问：汽车行驶速度是劳模步行速度 的几倍? 【答案】8 【分析】汽车提前 20 分钟返回学校，可见单程少走了 10 分钟的路，也就是说，本来原计划 2:30 接到 劳模，实际上 2:20 在半路上就接到了，可见汽车 10 分钟的路，劳模走了 2 : 20 1: 00 80 分钟， 可见，汽车的速度是劳模步行速度的 8 倍.
( x 1) 1 ( x 2.5) 2 24 x 10 ，即需要 10 小时.
16. 在右图中，将一个每边长均为 12 厘米的正八边形的 8 个顶点间隔地连线，可以连出两个正方形．
图中阴影部分的面积是_________平方厘米.
【答案】288 【分析】如下图，只需要求出一块阴影的面积再乘以 8 即可，而这块阴影三角形的底为 12，作出高， 在图准的情况下很容易看出（或量出）高是底的一半，即 6； 则整个阴影的面积为
显然 10□ 是除数的 1 倍，则除数为 10□ ，则 9□2 是除数的 9 倍，个位分析可知除数为 108，如中 图所示；最下面的的圈大概率是 400 多，即大概率是 108 的 4 倍，经试符合要求，如右图所示.
9.
请问右图中，除法算式的除数是
．
2 0 1 3 0
【答案】43 【分析】如下左图，将除数和除数的倍数都圈出来，有两个倍数的个位分别为 1 和 3，可见除数的个位 为奇数，且不能是 5；且由于 □□1 比 □3 大，经试，除数的个位只能是 3， □□1 是除数的 7 倍，
□3 是除数的 1 倍，如下中图所示； □□1 的上方十位数字是 0，则 □□1 的十位数字也大概率为 0，而 □01 作为 □3 的 7 倍只能是 43；
经试 43，符合要求，如下右图所示.
7 3 2 0 1 3 3 0 2 0 1 3 3 0 1 4 3 1 1 5 2 3 3 3 9 9 0 0 5 1 4 4 3 3 0 7 5 1 3
0
【教学提示】做乘除法数字谜务必把重要的行圈出来进行分析；最重要的三种分析方法分别是：尾数 分析法、首位分析法和位数分析法
11. 轮船从 A 城行驶到 B 城需要 3 天，而从 B 城回到 A 城需要 4 天，请问：在 A 城放出一个无动力的
木筏，它漂到 B 城需多少天？ 【答案】24
12 va 4 v 3.5 3 【分析】设两地距离为 12，设轮船速度为 v ，水速为 a ，则 ； v a 12 3 a 0.5 4