“图解法解二元函数的最值问题”
二元线性规划问题的图解法精要
A(4,2)
（0,0）
x+2y=8
得最大值。所以
minz=0,maxz=14
解：∵目标函数
z=ax+y 2.变式在 2：观察例 1 A（4,2）处
精确作图
2x+y=10
2 3
的平面区域，若使 取得最大值为 14，
目标函数 ∴ 4a+2=14＞0)取得 z=ax+y(a 最大值为 14 ，则 a ∴a=3. 的值为3或2.8 .
X=0,y=3
新学径：P332举一反三
利用二元线性规划求最值，一般用图解 法求解，其步骤是 （1）画：在平面直角坐标系内作出可行域.
（2）移：作出目标函数变形后纵截距等于 零的直线.
（3）确定最优解：在可行域内平行移动变 形后纵截距等于零的直线，从而定最优解。 （4）求最值：将最优解代入目标函数即可 求出最大值或最小值.
2
2x+y=10
A(4,2)
x+2y=8
x 2 y 4 1.已知x,y满足约束条件 x y 1 , 求目标函数z=3x-y的 x 2 0 最大值和最小值。
Zmin=-9 Zmax=5
x 0 2.平面内满足不等式组 x 2 y 3的所有点中，则使目标函数 2 x +y 3 z=x-y取最小值时x,y的整数值分别是多少？
新学径：P331-334
学生用书：抛物线第 一课时双基部分
z 往从下往右上 解：当 y 2 3 3
方平移时，直线在 y轴上的 1.变式1：求例1中函数
z=2x+3y在平面区域 截距随之增大，故所对应的 5x+10y≤40 z值也随之增大。因此， 120x+60y≤600 z=2x+3y x,y≥0在原点0（0,0）取 内的最大值和最小值 . 4,2）取 得最小值，在 A点（
8-8二元函数的极值及其求法
求 函 数 极 值 的 一 般 步 骤 ： z f ( x , y )
f ( x ,y ) 0 , f (x ,y ) 0 第 一 步 解 方 程 组 x y
求 出 实 数 解 ， 得 驻 点 .
第 二 步 对 于 每 一 个 驻 点 ， ( x , y ) 0 0
求 出 二 阶 偏 导 数 的 值 A 、 B 、 C .
证
( x , y ) 不 妨 设 在 点 处 有 极 大 值 , z f ( x , y ) 0 0
( x , y ) 则 对 于 的 某 邻 域 内 任 意 0 0
( x , y ) ( x , y ) f ( x , y ) 都 有 , f ( x , y ) 0 0 0 0
f ( x , y ) f ( x , y ) 有 , y y x x 故 当 ， 时 ， 0 0 0 0 0
f x ( x , y ) x ( x , y ) 0 , f y ( x , y ) y ( x , y ) 0 , ( x , y ) 0. 解出 x , y , ，其中 x , y 就是可能的极值点的坐标 .
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况： 要 找 函 数 u f ( x , y, z, t )在 条 件 ( x , y , z , t ) 0 ， ( x , y , z , t ) 0 下的极值， 先构造函数 F ( x, y, z,t) f ( x, y, z,t)
2 2 2 x y z 令 , F ( x , y , z ) 1 2 2 2 abc
2 y 2 z 2 x 0 0 0 F | F | F | 则 ， ， yP zP xP 2 2 2 a b c
对面的直线还在吗——线性规划(二元二次型)求最值
对面的直线还在吗——线性规划（二元二次型）求最值
这两天我们分享过这么多关于线性规划的内容，如果在这里说我们需要转换思路，找到背后的几何意义，各位应该也不足为奇了吧。
1.画出可行域（如上图）
2.找出目标函数几何意义
我知道，就是到原点的距离平方嘛~
3.确定最值产生的点
显然，点P离原点距离最短
其实你们怎样找到最小值，我是真的不care啦~不过非得要总结的话，我会说这类型题目的最小值
通常是目标点到直线的距离
注意要检验！！！
如果不行，试一试可行域顶点。
1.画出可行域
2.化成距离平方的形式
求的是到（3，0）距离平方
3.确定最值产生的点（实际上就是找垂线）。
二元函数的极值与最值问题
⼆元函数的极值与最值问题
⽬录
写在最前
对于形如z=f(x,y)的函数，求解极值的通法⼀般有两种：
偏导数法
⼆元全微分法
由于偏导数法操作简单，下⾯仅介绍这种⽅法
⼆元函数极值点
Ops:只想知道最值的可以跳过这⼀节。
我们以驻点为圆⼼在xy平⾯上做⼀个圆（就如同在⼀元函数y=f(x)驻点附近找⼀段区间），若当半径⾜够⼩时，f(x0,y0)是该圆形区域的最⼤值或最⼩值， 那么该驻点就是极⼤值点或极⼩值点。
与⼀元函数类似，驻点不⼀点是极值点。
那么我们如何判断极点呢？
⼀个⽐较常规的想法是，让f x在x=x0的两边异号，让f y在y=y0的两边异号，借此来判断函数的极值点。
但有⼀个很明显的错误：
类⽐地理中的鞍部，这个点被称作鞍点。
那么，该怎么做呢，数学家想到了⼀种⽅法——⼆阶偏导法。
令
A=f xx(x0,y0),B=f xy(x0,y0),C=f yy(x0,y0)
则有
A×C−B2>0且A>0==>极⼩值
A×C−B2>0且A<0==>极⼤值
A×C−B2<0==>鞍点
A×C−B2==0==>⽆法确定
⼆元函数最值
最值问题和极值问题相⽐，最⼤的区别就是最值问题可以通过⽐较各点的值来计算。
我们可以通过求出所有极值点甚⾄⾮极值点的值来得出最终的答案。
既然如此，我们可以求出所有可能的点（各偏导等于零的点）并计算得到最终答案。
如何求二元函数的最值
肉 Ｉ 文 ２０年第１期 １８ 工 叶 ０ ８ ２ ６
如 何 求 二 元 函数 的 最 值
梁 锦 华
（ 州工业耿 业技术学 院 ） 苏
摘 要 多元 函数 的 最值 问题是 高等数 学 中的一 个难题 ，本人 在教 学过 程 中发现许 多教材对 这方面的介绍存 在一 定的不足 此 ，拟通过二元函数的求最值 例题讲解 ，归纳 出一 定的方法以帮助 学生解 决求 多元函数最值找到一 务正确的途径 ． 关键词 二元函数 驻点 最 大值 最小值
例 ：欲做 一个容量一定的长方 形箱子 。『应选择怎样 的尺寸，才 ｕ 】 能 使此箱 子的 材料最 省？ 解 ：没箱 子的长 、宽 、高分 别为ｘ ，，容 量为Ｖ，￣Ｖ ｘｚ ＇ｚ Ｙ ｉ ＝ｙ ，箱 ］ 子的表 面积 为Ｓ ２ｘ＋ ｚｘ） 使使用的材料最 少 ，则应求ｓ ＝ （ｙｙ＋ｚ 要 的最 小
．
解得唯一驻点（。 ； ０） ０
０ ，
暑 ００ ２ ． （．） ． ＝ ￣ ０ ）－ ，厶 ８ ． 羽 口号 ００ Ｃ ｚ ． ＝２ ＝ ０
故ｚ （Ｊ 得极大值ｚ ｌ 在（，取 １） （ ＝（ 其实显而易见 为Ｚ 的最大值） 。 Ｄ 的边界是四条直线段 ：
：一
一
． ．
（ ） ｆ ，边 界线可表示 为： ： （ ｓ ４ 在 ｜ 上 ０ ｏ ），其函数 表达式
２ ． ，在Ｄ内可微 ，而闭域Ｄ ． ｘ） ｉ ｆｙ 的边 界由直线所转成 。
例 ：求函数 Ｉ － ） 叫 在 Ｉ Ｉ ｘ 。 ｓ 扭 ） ｓ ｉ ． ・Ｉ ｓ 小值 。 解 ：ｚＥ ／ 闭区域 Ｄ 上连续 ，最 大 、 最小值必 定存在． Ｉ 的最大 、 上 最
为
在 一元函数中 ， 值『题有两个方面 ：第一是 最值 的存在性 ；第 最 ｕ 】 二是 如果 已知最值 存在 ，如何求最值 对 第二个 『题 ，在解决了极值 ｕ Ｊ 『题之 后就比较 简单 ：只要 求出不可导点 、端点 的函数值 ，与全部极 ｕ Ｊ 值 （ 全部驻点值 ） 比较 ，就能求得最 值。 或 作 在 多元函数 中求 最值『题同样有这两个 ｆ题 ：最值 是否存在？如 ｕ Ｊ ｕ Ｊ 果存在 又如何求 出最值 ？第一个问题有理 论保证 ：在有 界闭域上连续 的函数必 定存在最 大值 和最 小值。凶此很 多教材就 非常 笼统地将二元
第八节二元函数的极值与最值
既不取得极大值也不取 得极 小值 .
3
定理7.6 定理
( 必要条件 ) 设 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的
偏导数 f x′ ( x0 , y0 ) , f y′ ( x0 , y0 ) 存在 , 若 ( x0 , y0 ) 是 f ( x , y ) 的极值点 , 则必有 ′ f x ( x0 , y0 ) = f y′ ( x0 , y0 ) = 0
解得: 解得:
3 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 由题意知,最大值在定义域 内达到,而在域 内只有 一个驻点,故此点即为所求. 一个驻点,故此点即为所求.
16
α = = 60o , x = 8 (cm)
π
练习1.讨论函数 练习 是否取得极值.
及
在点(0,0)
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有 在(0,0)点邻域内的取值 正 可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 0
2 2⋅3 2
水箱所用材料最省. = 3 2 时, 水箱所用材料最省
18
作业： 作业：
P94 习题 习题7.8 1.(1)(2) 3. 6.
19
练习题
一、填空题: 填空题: _______点取 1 、函数 f ( x , y ) = (6 x − x 2 )(4 y − y 2 ) 在_______ 点取 得极_________值为___________. _________值为 得极_________值为___________. 下的极______ ______值 2 、函数 z = xy 在附加条件 x + y = 1 下的极 ______ 值 为_____________. 3 、方程 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z − 2 = 0 所确定的 的极大值是___________, ___________,极小值 函数 z = f ( x , y ) 的极大值是___________, 极小值 是_____________. 二、在 平 面 xoy 上 求 一 点 , 使 它 到 x = 0, y = 0 及 x + 2 y − 16 = 0 三直线的距离平方之和为最小. 三直线的距离平方之和为最小. 的球且有最大体积的长方体. 三、求内接于半径为 a 的球且有最大体积的长方体.
多元函数的极值和最值条件极值拉格朗日乘数法
当两种产品产量 为多少时？ 可获得利润最大？ 最大利润是多少？
解： 收益函数是 Rx, y pAx pB y 10x 9y
利润函数是
Lx, y Rx, y Cx, y
(10x 9 y) [400 2x 3y 0.013x2 xy 3y2 ]
（1）B2 AC 0 时具有极值，当 A 0或C 0时 有极大值， 当 A 0或C 0 时有极小值；
（2） B2 AC 0 时没有极值；
（3）B2 AC 0 时可能有极值,也可能没有极值．
求函数 z=f(x,y)极值的一般步骤：
第一步 解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
f x, y 3y2 6y 0 y
x 1
y1
10或
x 3 2 y2 2
得驻点 1,0, 1,2, 3,0, 3,2
（2）求二阶偏导数
f
x
x
x,
y
6
x
6;
f
yy
x,
y
6
y
6;
f
xy
x,
y
f
yx
减去总广告费， 两种方式的广告费共25千元， 怎样分配两种方式的广告费能使利润最大，最大
利润是多少？
解
约束条件下的利润函数为
Lx, y S 25,
5
具体利润函数为 L(x, y) 40x 20y 5 x 10 y
二元函数的极值与最值
2．二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点， 现对二元函数的极值与 最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在 驻点 和不可导点 取得。
对于不可导点，难以判断 是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。
(2)二元函数取得极值的 必要条件 ： 设 z f (x,y) 在点(x 0,y 0) 处可微分且在 点(x 0, y 0 )处有极值，则 f 'x (x 0,y 0) 0， f 'y (x 0, y 0) 0，即 (x 0,y 0) 是驻点。
(3) 二元函数取得极值的 充分条件 ：设 z f (x,y) 在(x 0,y 0) 的某个领域内有 连续上 二阶偏导数，且 f 'x (x 0,y 0) f 'y (x 0, y 0) 0 ，令 f'xx (x 0,y 0) A ， f'xy (x 0,y 0) B ， f 'yy (x 0,y 0) C ，则当B 2AC 0且 A<0 时， f ( x 0 , y 0 )为极大值； 当B 2 AC 0且 A>0， f ( x 0 , y 0 )为极小值； B 2 AC 0 时，(x 0, y 0) 不是极值点。
注意： 当 B 2－AC = 0时，函数 z = f (x, y)在点( x 0 , y 0 )可能有极值，也可能没有 极值，需另行讨论 例 1 求函数 z = x 3 + y 2－ 2xy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点， 先求出一阶偏导， 再令其为零 确定极值点即可， 然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值， 【解】先求函数的一、二阶偏导数：并求出相应的极值 . 2z 2 z z 3x 2y ， 2y 2x ． 26x ,xy x2zxy2z2y 2再求函数的驻点．令 z= 0，x得方程组23x 2y 0, 2y 2x 0.22求得驻点(0，0)、( 2，2)．33利用定理 2 对驻点进行讨论：2．(1)对驻点(0, 0)，由于 A = 0, B =－2， C = 2，B 2－AC 0,故(0, 0)不是函数 z = f(x, y) 的极值点．(2)对驻点( 2，2)，由于 A =4, B =－2，C = 2,B 2－AC =－4 0, 且A 0,则 332 2 4 f ( 2，2) 4为函数的一个极小值．3 3 27例 2：( 2004数学一)设 z=z(x,y)是由 x 26xy 10 y 22yz z 218 0 确定的函 数，求 z z(x, y )的极值点和极值 .分析 】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。
二元函数 f(x,y) 求最值的常用解题方法
二元函数 f(x,y) 求最值的常用解题方法求解二元函数f(x,y)最值的常用解题方法求解二元函数f(x,y)的最值是高等数学课程中的一道应用难题，通过求解最值问题，可以得出函数f(x,y)的最大值和最小值，以此来分析函数的极值的特征，为其他数学问题的求解提供思路。
下文着重介绍十常用的解决二元函数最值问题的方法：第一种方法是从图形观察法，即通过观察函数f(x,y)的图像，可以直接看出函数的最大值和最小值。
但这一方法有明显的局限性，仅对那些图像清晰简明容易看出极值的二元函数有效。
第二种方法基于极大值极小值原理。
据该原理推测，函数f(x,y)的最值必定出现在函数的定义域中，该函数的极大值与极小值的数值点满足一定的不等式。
第三种方法利用二阶偏导数法。
由二阶偏导数的值判断该函数的极值性质，对于极值的求解，可以通过求解一元函数的一阶导数与二阶导数等于零的根来实现。
第四种方法是利用拉格朗日函数法。
它依赖拉格朗日函数以及拉格朗日不等式，依据拉格朗日不等式，可以确定函数f(x,y)的极值，拉格朗日不等式中的拉格朗日函数应是原函数的真实性函数。
第五种方法是利用泰勒级数近似法。
这种方法可以有效简化复杂的二元函数，将其分解微小量的和，以此来求解函数f(x,y)的极值。
第六种方法是利用几何法求解最值问题。
这一方法是将二元函数转化成平面几何中的曲线，求解曲线相交，以求解函数极值问题。
第七种方法是利用拉普拉斯法求解最值问题。
依据拉普拉斯定理，函数f(x,y)的最值定义域内满足微分方程组，而拉普拉斯方法便是利用该定理求解最值的有效方法之一。
第八种方法也可以通过牛顿-拉夫逊迭代法确定二元函数f(x,y)的最值。
它借助损失函数与多元函数，以此来求解极值exx让高维函数从有限纸面集梳理、。
高等数学(第二版)下册课件：二元函数极值和最值
因此，求解函数 z f (x, y) 极值的步骤：
第一步：解方程组 fx (x0, y0 ) 0，fy (x0 , y0 ) 0 求得一切实数解，即求得一切驻点;
第二步：对于每一个驻点 (x0 , y0 )
为 f 3,2 31 .
如果函数 f x, y 在有界闭区域 D 上连续，则 f x, y 在 D 上必能取得最大值和最小值，并且函数
的最大值、最小值点必在函数的极值点或在 D 的边界
点中取得 . 因此，要求函数的最值点，我们只需求出函 数的驻点和偏导数不存在的点处的函数值，以及边界上 的最大、最小值，然后加以计较即可 .
,
y0
)
0
, fy (x0, y0 ) 0
同时成立的点
(x0, y0 ) 称为函数 z f (x, y) 的驻点.
定理6.8只给出了二元函数有极值的必要条件．那么, 我们如 何判定二元函数的驻点为极值点呢?对极值点又如何区分极 大值点和极小值点？有下面的定理.
.
定理6.9（充分条件）
设函数 z f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 的某邻域内
f
(x,
y)
y
(
x,
y)
0,
(x, y) 0.
得 x, y, ,其中 x, y 就是函数在条件 (x, y) 0下的可能
的极值点的坐标;
(3)确定所求点是否为极值点,在实际问题中往往可根据实际
问题本身的性质来判定.
这种直接寻求条件极值的方法就是拉格朗日乘数法.
拉格朗日乘数法推广
求函数 u f (x, y, z,t) 在条件 (x, y, z,t) 0， (x, y, z,t) 0
解答二元函数最值问题常用的两种方法
相比较于一元函数最值问题，二元函数最值问题较为复杂，无法直接利用简单基本函数的性质求得最值，往往需运用基本不等式法、构造法，才能顺利求得问题的答案.下面结合实例，谈一谈解答二元函数最值问题的两种常用方法.一、基本不等式法若a 、b >0，则a +b ≥2ab ，当且仅当a =b 时等号成立，该式称为基本不等式.基本不等式是求解二元函数最值问题的重要工具，通常先需确保a 、b 两式都大于0；然后将代数式配凑为两式的和或积的形式，并使其中之一为定值.一般地，当ab 为定值时，a +b 有最小值；当a +b 为定值时，ab 有最大值；最后检验当a =b 时等号是否成立.例1.已知x,y ∈R ，4x 2+y 2+xy =1，则2x +y 的最大值为______.解法1.因为1=4x 2+y 2+xy =()2x +y 2-32⋅2x ⋅y≥()2x +y 2-32()2x +y 22=58()2x +y 2，当且仅当2x =y 时等号成立，所以-2105≤2x +y ≤2105，所以2x +y 的最大值为2105.我们先将已知关系式变形为()2x +y 2-32⋅2x ⋅y ，仔细观察可发现该式中含有2x 、y 的和与积，于是运用基本不等式的变形式ab ≤()a +b22，即可求得2x +y 的最大值.解法2.设y =kx ，将其代入4x 2+y 2+xy =1，得()4+k 2+k x 2=1，因为()2x +y 2=()k 2+4k +4x 2，故当k =0时，x 2=14，所以2x +y =1或-1，当k ≠0时，()2x +y 2=k 2+4k +4k 2+k +4=1+3k +4k+1，当k >0时，2x +y ⩽85，所以2x +y ≤2105；当k <0时，0≤2x +y <1；综上可知，2x +y 的最大值是2105.当k ≠0时，()2x +y 2=1+3k +4k+1，此时分母中k 、4k 的积为定值，利用基本不等式就能顺利求得最值.例2.设x ，y 满足x 24-y 2=1，则3x 2-2xy 的最小值是______.解法1.因为x 24-y 2=1，所以()x 2-y()x 2+y =1，令x 2-y =t ，则x 2+y =1t ，所以x =t +1t ,y =12()1t-t ,所以3x 2-2xy =4t 2+2t2+6≥6+42，当且仅当2t 2=1时取等号，故3x 2-2xy 的最小值为6+42.目标式中4t 2+2t 2为两式4t 2、2t 2的和，且两式4t 2、2t2的积为定值，这便为运用基本不等式创造了条件.解法2.因为x 24-y 2=1，所以()x 2-y()x 2+y =1，令x 2-y =a,x 2+y =b ，则ab =1,x =a +b,y =b -a 2，于是3x 2-2xy =6+4a 2+2b 2≥6+42ab =6+42，当且仅当2|a|=|b|时取等号.令x 2-y =a,x2+y =b 后，即可将目标式化为6+4a 2+2b 2，根据基本不等式求解，便能快速求得最值.解法3.因为1cos 2α-tan 2α=1，故可设x =2cos α,y =sin αcos α，则3x 2-2xy =12-4sinαcos 2α=12-4m1-m 2，其中m =sin α∈()-1,1，因为12-4m 1-m 2=46-éëêùûú(3-m )+83-m ≥46-42=6+42，当且仅当m =3-22时取等号，故3x 2-2xy 的最小值为6+42.我们先根据同角三角函数之间的关系设x =2cos α,y =sin αcos α，并令m =sin α∈()-1,1，即可将目标式化为46-éëêùûú(3-m )+83-m .该式中的(3-m )+83-m为两解题宝典41式(3-m )、83-m的和，其积为定值，即可运用基本不等式求得最值.解法4.设y =kx ，则x 24-k 2x 2=1，可得x 2=41-4k 2，所以3x 2-2xy =3x 2-2kx 2=4()2k -34k 2-1，设t =2k -3，因为k =y x ∈()-12,12，故-4<t <-2，所以t +8t∈(-6,-42].所以4()2k -34k 2-1=4t +8t+6≥6+42，当且仅当t =22时取等号，即3x 2-2xy 的最小值为6+42.设y =kx 、t =2k -3，将已知关系式化简，并将目标式化为关于t 的式子4t +8t+6，其中t +8t 为两式的和，且这两式的积为定值，利用基本不等式可快速求得最值.解法5.因为3x 2-2xy =x ()3x -2y ，令3x -2y =t ，则1=x 24-y 2=x 24-()3x -t 22，得6xt =8x 2+t 2+4≥28x 2t 2+4=42xt +4，当且仅当8x 2=t 2时取等号，所以3x 2-2xy =xt ≥6+42，即3x 2-2xy ≥6+42.令3x -2y =t ，即可将目标式化为关于t 、x 的式子xt ，将其看作两式的积，求得其和的值，即可根据基本不等式求得目标式的最值.运用基本不等式法求解二元函数最值问题，关键在于根据代数式的结构特性，配凑出两式的和或积.二、构造法在解答二元函数最值问题受阻时，我们不妨另辟蹊径，根据代数式的结构特性展开联想，通过构造向量、几何图形、新函数模型等，将问题转化为向量问题、几何图形问题、函数问题来求解.这样不仅能转换解题的思路，还能有效地培养创新能力.以例1为例.解法1.因为4x 2+y 2+xy =()12x +y2+154x 2=1，设a=()12x +y ,x ,b =(1，由||a ⋅b ⩽||a ⋅||b ，得||2x +y2105，故2x +y 我们根据已知关系式的结构特征构造向量a 、b，即可运用向量的模的性质：||a ⋅b ≤||a ⋅||b ，求得目标式的最值.解法2.令2x =m +n ,y =m -n ，则2x +y =2m ，所以()m +n 2+()m -n 2+()m +n ()m -n 2=1，所以m 225+n 223=1，该式可视为一个椭圆的方程，由椭圆的性质可得2m ≤2105，所以2x +y 的最大值为2105.我们令2x =m +n,y =m -n ，将已知关系式变形为椭圆的方程，根据椭圆的性质和图形范围确定m 的取值范围，进而求得目标式的最值.解法3.因为4x 2+y 2+xy =()2x 2+y 2-2()2x y ()-14=1，所以设AB =2x,AC =y ，则BC =1，cos A =-14,sin A如图所示，延长BA 至D 点，使AD =AC =y ，则BD =2x +y ,sin∠CDB 故BC sin ∠CDB =2R =2105，当BD 为直径时最大，故BD =2x +y ≤2105，即2x +y 最大值是2105.我们由()2x 2+y 2-2()2x y ()-14=1联想到余弦定理，于是构造三角形ABC 和半径为y 的圆，设AB =2x ,AC =y ，并用BD 的长表示目标式，即可通过解三角形，利用正余弦定理、圆的性质求得BD 的最值.以例2为例.解法1.3x 2-2xy x 24-y 2=12x 2-8xyx 2-4y 2，设t =y x ∈()-12,12，则3x 2-2xy x 24-y 2=8t -124t 2-1，设f ()t =8t -124t 2-1,t ∈()-12,12，解题宝典42则f ′()t =-8()4t 2-12t +1()4t 2-12，当t ∈()-12,3-222时，f ′()t <0，函数单调递减；当t ∈()3-222,12时，f ′()t >0，函数单调递增，所以f ()t min =f()3-222=6+42.虽然无法直接运用简单基本函数的性质解答二元函数最值问题，但是我们可以通过换元、构造新函数模型的方式，将问题转化为单变量函数最值问题，再利用简单基本函数的性质、导数的性质解题.解法2.设t =y x ∈()-12,12，则3x 2-2xy x 24-y 2=12-8⋅yx 1-4()y x2=84t 2-1t -32，可将y x 看作双曲线x 24-y 2=1上的点()x,y 与原点()0,0连线的斜率.当直线y -1=k ()x -32与曲线相切时，斜率k 有最大值，此时k =12-82，所以3x 2-2xy 的最小值为812-82=6+42.通过换元将已知关系式变形，并把已知关系式看作双曲线，将y x 看作双曲线x24-y 2=1上的点()x ,y 与原点()0,0连线的斜率，通过讨论直线与曲线的位置关系，确定直线斜率k 的最值，从而求得问题的答案.总之，解答二元函数最值问题，需根据不等式的结构特征构造不等关系，将问题进行合理的转化，才能顺利求得最值.从上述分析可以看出，从不同的角度思考问题，可以得到不同的解法，但无论采用何种方法，都需灵活利用转化思想、方程思想、数形结合思想来辅助解题.（作者单位：江苏省蒋垛中学）解题宝典若过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则以这两个点为端点的线段称为抛物线的焦点弦，如图1中的线段AB .以抛物线上的一点及抛物线的焦点为端点的线段称为抛物线的焦半径，如图1中的线段AF 、BF .求焦点弦长和焦半径问题在抛物线试题中比较常见.本文主要谈一谈有关抛物线焦半径与焦点弦公式的推导及其应用.一、抛物线的焦半径公式如图1，已知直线AB 过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F ,交抛物线于A ,B 两点，且点A (x 1,y 1)在x 轴的上方，点B (x 2,y 2)在x 轴的下方，直线AB 的倾斜角为α，则||AF =x 1+p 2=p 1-cos α，||BF =x 2+p 2=p1+cos α.证明：作抛物线的准线l :x =-p2,交x 轴于点P ，过点A 作l 的垂线，垂足为N .由于点A 是抛物线上的点，则||AF =||AN .而点A ,N 的横坐标分别是x 1,-p 2,所以||AN =x 1-()-p 2=x 1+p2,故||AF =x 1+p 2，同理可证||BF =x 2+p2.再证||AF =p 1-cos α，||BF =p1+cos α.过点A 作AM ⊥x 轴于M,则四边形AMPN 是矩形，可知||AF =||AN =||PF +||FM ,因为点F ()p2,0,所以||PF =p .在ΔAFM 中，||FM =||AF cos α,所以||AF =p +||AF cos α,得||AF =p1-cos α.同理可得||BF =p1+cos α.当直线AB 的倾斜角为钝（直）角时，上述结论也成立.在运用抛物线的焦半径公式解题时需注意：（1）焦点弦的端点A 、B 分别在x 轴的上方和下方，且焦半径的端点在x 轴上方和下方时所用的公式不一样；（2）当不知道直线AB 的倾斜角时，通常用点A 、B 的横坐标及p 来表示抛物线的焦半径；（3）当已知直线的倾斜角时，可通过倾斜角α和p 来求出抛物线的焦半径.例1.若点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，直线l 过点F ，交抛物线于A ,B 两点，且 AF =3FB ,则直线l 的倾斜角图143。
二元函数的极值最值
4、二元函数的极值、最值 10极值定义 P208()()00y x f y x f 、、≤ ()00y x f 、为极大值()()0y xf y x f 、、≥ ()0y xf 、为极小值 ()()()()⎩⎨⎧='='→0y x f 0y x f y x y x f 0yx0、、有极限值、在、驻点 ← 极值点，需判别设()A y x f 00xx=''、 、()B y x f 00xy =''、 、()C y x f 00yy =''、例1、 求x y 3y x z 33-+=的极值解：y 3x 3f 2x-=' ，x 3y 3f 2y -=' ，x 6f xx ='' ， 3f xy-='' ，y 6f y y ='' 令⎩⎨⎧='='0f 0f y x → ⎩⎨⎧=-=-0x 3y 30y 3x 322 → 0y y 4=- 1y 0y ==得驻点 ()0,0 ，()1,1在()0,0 ，()()0903AC B 20,02>=--=-∴ ()0,0f 非极值 ()1,1 ，()()0363AC B 21,12<--=-∴ ()1,1为 极值点又()06A 1,1>= ∴ ()11,1f -= 为极小值例2、求()y x 5y x z 2--=在闭区域D ：0x ≥，0y ≥，4y x ≤+的最大，最小值。
解：()y 2x 310x y f x--=' ，()y 2x 5x f 2y --=' 令()()⎩⎨⎧=--=--0y 2x 5x 0y 2x 310xy 2 （在D 内） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==45y 25x在D 的内部函数只有一个驻点⎪⎭⎫ ⎝⎛45,25 ，6462545,25f =⎪⎭⎫ ⎝⎛在边界0x = ，0f = 在0y = ，0f =在4y x =+，()()()3222x x 4x 4x x 4x 5x 4x z -=-=+---=0x 3x 8dx dz 2=-= 得：38x = ，即38x = ，34y =为驻点2725634,38z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 比较64625z = ，0z = ，27256z = 得最大值64625z =，最小值0z = 在实际问题中要求最大，最小值往往带有附加条件，即对函数的自变量除了限制在函数的定义域内外，还有其他的附加条件，这些条件由函数的各自变量之间的一些方程来表示。
二元函数最大最小值定理证明_二元函数极值充分条件判定定理的证明.pdf
⼆元函数最⼤最⼩值定理证明_⼆元函数极值充分条件判定定理的证明.pdf⼆元函数极值充分条件判定定理的证明训 练 与科 技 第28卷第6期⼆元函数极值充分条件判定定理的证明林 琼，陈 星(后勤⼯程学院基础部)⼆元函数极值充分条件判定定理的证明是 ⼚”(a+Oh，b+ )=⼚”(a，b)+ l，数学分析中的⼀个难点，理解它的证 明将有助 l (JIl ，．j} )于学⽣记忆 、使⽤这⼀定理。
现阶段 的证明⽅ ⼚”(a+Oh，b+ )=⼚tt：ty(a，b)+2，法很多，但多数符号不统⼀，不便于理解。
为了 82 (JIl ，．j} )更好地理解⼆元 函数极值判定定理 的充分条 f”(a+Oh，b+ )=⼚”(n，b)+ 3，件，使之更有通⽤性 ，本⽂给出了⼆元函数极值 3 (JIl ，．j} )判定定理充分条件的3种证法。
并且 ，使⽤其 所以 ：}(AJIl+2Bhk+Ck)+{(h+中的⼆次型法讨论三元 函数的极值 ，并应⽤到 n元函数的极值问题中，从⽽引导学⽣掌握相关 22JI1．j}+83k)。
知识 。
令P= ，则：Af=1(Ah +2Bhk+⼀、 ⼆元函数极值判定充分条件定理叙述定理 1：设函数 ，Y)在 (a，b)的邻域 U(a， c．j})+o(p)。
令M=Ah+2Bhk+c．j}，可知 的b)内连续，有⼀阶、⼆阶连续偏导数，且⼚ (a，b) 符号取决于 。
= ⼚Py(a，b)=0，设A=⼚ (a，b)，B=⼚ (a，b)，C 下⾯⽤3种⽅法讨论M=Ah +2Bhk+ 的= 符号。
，”(a，b)，则：1)当B ⼀AC<0时，(a，b)为极值点， ⽅法 1(⼆次型法)：①若A②若A>0，则(a，b)为极⼩值点。
㈣ )2)当B ⼀AC>0时，(a，b)不是极值点。
3)当B ⼀AC=0时，(a，b)可能为极值点也可 B2-AC<0时， l能不是，需做进⼀步讨论。
⼆、证明⽅法 ①A<0时， 为负定⼆次型，即M<0，所以以下证明只对 1)、2)⽽⾔，3)举例说 明即可。
二元函数的极值与最值解读
二元函数的极值与最值解读二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下：1．二元函数的无条件极值(1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。
对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。
(2)二元函数取得极值的必要条件： 设),(y x f z =在点),(00y x 处可微分且在点),(00y x 处有极值，则0),('00=y x f x ，0),('00=y x f y ，即),(00y x 是驻点。
(3) 二元函数取得极值的充分条件：设),(y x f z =在),(00y x 的某个领域内有连续上二阶偏导数，且=),('00y x f x 0),('00=y x f y ，令A y x f xx =),('00，B y x f xy =),('00，C y x f yy =),('00，则当02<-AC B 且 A<0时，f ),(00y x 为极大值；当02<-AC B 且A>0，f ),(00y x 为极小值；02>-AC B 时，),(00y x 不是极值点。
注意： 当B 2－AC = 0时，函数z = f (x , y )在点),(00y x 可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论例1 求函数z = x 3 + y 2 －2xy 的极值．【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.【解】先求函数的一、二阶偏导数：y x x z 232-=∂∂，x y y z 22-=∂∂．x x z 622=∂∂, 22-=∂∂∂y x z , 222=∂∂yz ． 再求函数的驻点．令x z ∂∂= 0，y z ∂∂= 0，得方程组⎩⎨⎧=-=-.022,0232x y y x 求得驻点(0，0)、），（3232．利用定理2对驻点进行讨论：(1)对驻点(0, 0)，由于A = 0, B =－2， C = 2，B 2－AC >0,故(0, 0)不是函数z = f (x , y ) 的极值点．(2)对驻点），（3232，由于A =4, B =－2，C = 2,B 2－AC =－4<0, 且A >0,则 2743232-=），（f 为函数的一个极小值． 例2：（2004数学一）设z=z(x,y)是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数，求),(y x z z =的极值点和极值.【分析】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。
二元函数的最值问题
二元函数的最值问题因在高中数学教学的过程中经常会遇到求二元函数的最值问题，现对此类问题做简单研究，并做如下总结：一、消元法例1、已知12,0,0=+≥≥y x y x ，求232y x +的最小值解： 210021≤≤⇒≥-=y y x()243321232222+-=+-=+y y y y y x()43221441332min 2=+⨯-⨯=+∴y x变式1、若R y x ∈,，则此题还可用判别式法令223232y t x y x t -=⇒+=024324322=-+-⇒=+-∴t y y y y t()021216≥--=∆t()323232min 2=+∴≥∴y x t练习1、已知R y x ∈,，02322=-+-y xy x ，求y x +的最大值。
（111102） 二、基本不等式例2、已知40,0=+>>n m n m 且，求n m 11+的最小值解： ()n m n m n m +⎪⎭⎫⎝⎛+=+114111⎪⎭⎫⎝⎛+++=1141n m m n()12241=+≥当且仅当2==n m 时，取“=”例3、已知y x y x +=+求,222的最大值法一（链接不等式） 22222=+≤+y x y x 当且仅当1==y x 时，取“=”法二（参数方程） 设⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ， 则θθsin 2cos 2+=+y x⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 2πθ ()4,2max πθ==+∴此时y x法三（数形结合） 令y x z +=，则z x y +-=当直线与圆相切时，圆心到次直线的距离222±=∴==z z d()2max =+∴y x练习2、已知xy y x y x =+>>2,0,0且，求y x 2+的最小值。
（9）三、参数方程例4、已知R y x ∈,，且满足64222=++y xy x ，求224y x z +=的范围 解： ()12663222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴=++y y x y y x 令⎪⎩⎪⎨⎧-==θθθcos 2sin 6cos 2x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=∴32c o s 48422πθy x z []12,4∈∴z四、整体换元例5、已知()c bx ax x f ++=2，对()()x f x f R x '≥∈∀,，求222c a b +的最大值 解： b ax c bx ax +≥++22()022≥-+-+∴b c x a b ax⎩⎨⎧≤+-+-=∆>∴04444022ab ac a ab b a04422≤-+∴ac a b2244a ac b -≤∴222222214444⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-≤+∴a c a c c a a ac c a b 令()042≥≥-=b c a a a ct 又 1≥∴≥∴t a c则2222144t t c a b +-≤+ 令0,1≥-=k t k ()222222422422411422-=+≤++=++=+-∴kk k k k t t 总结：解决二元函数最值问题的方法：1、消元法2、基本不等式、重要不等式、链接不等式3、判别式法（定义域为R ）4、数形结合（几何意义）5、参数方程（圆、椭圆）6、整体换元7、线性规划。
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“图解法解二元函数的最值问题”教学课例昌平区第一中学回春荣“图解法解二元函数的最值问题”教学课例一、设计意图：在新课程背景下的教学中，课堂上我们应是以“问”的方式来启发学生深思，以“变”的方式诱导学生灵活善变，使整堂课有张有弛，真正突出了学生是教学活动的主体的原则。
本节内容是在学习了不等式、直线的方程的基础上，利用不等式和直线的方程有关知识展开的，它是对二元函数的深化和再认识、再理解，是直线、圆和不等式的综合运用，同时它又对理解下一章“圆锥曲线”的相关内容有着很好的帮助作用，所以这一部分内容起到了一个巩固旧知识，熟练方法，理解新知识的承上启下的作用。
图解法在解决函数求最值的问题上有着广泛的应用，这节课为学生提供了广阔的思维空间，对培养学生自主探索、合作研究、主动发现问题、分析问题，创造性地解决问题的能力有着丰富的素材。
教学上通过设置问题情境、多媒体展示，学生动手操作，使学生在“做中学”，学生在实际操作中，既发展了学生的个性潜能，又培养了他们的合作精神。
二、本课教学目标1、知识与技能:通过识图、画图，学会解决有约束条件的二元函数最值问题的处理方法——图解法。
2、过程与方法:经历约束条件为二元一次不等式组，目标函数为具有截距、斜率、距离等几何意义的二元函数的最值问题的探究过程，提炼出解决这类问题的方法——以图定位，以算定量。
3、情感态度与价值观:通过对有约束条件的二元函数的最值问题的探究，培养学生科学严谨的治学态度，勇于探索、敢于创新的学习精神，同时感受合作交流的快乐。
三、教学过程与教学资源设计（一）、教学内容：图解法解二元函数的最值问题（二）、教学设计流程图：（三）、教学过程：1、回顾知识，实例引入例题1、（多媒体电脑展示）某校伙食以面粉和大米为主食，面食每100 g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭的主食至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，且每盒盒饭的面食和米食均不超过300g。
问应如何配制盒饭中的主食，才能既科学又使费用最少?（设计意图：通过留预习学案，让学生利用学过的知识自主探究一个简单的二元函数的最值问题。
课堂上交流例１的解法，一方面复习线性规划的知识，另一方面为后面的二元函数求最值打下基础，做好铺垫。
）（1）学生分析：根据题目中所给的条件找到线性约束条件并求得最值。
把z=0.5x+0.4y稍作变形为55-42y x Z=+，做出一组平行直线，所以Z的变化体现在纵截距的变化。
作一条斜率为5-4的直线，平移直线且保证直线与不等式组表示的区域有交点，发现当直线过A点时，纵截距最小，即Z值最小。
所以求出点A坐标，代入目标函数即可。
（2）展示：设每盒盒饭需要面食x（百克），米食y（百克），所需费用为z=0.5x+0.4y，依据题意列出约束条件的表格：依据图表可知x、y满足的约束条件是63847100303x yx yxy+≥⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，目标函数为z=0.5x+0.4y．作出可行域及相应的目标函数图形：由6384710x y x y +=⎧⎨+=⎩，可知A （1315，1415），当直线55y=-42x z +过点A 时，纵截距52Z 最小，即Z 小。
故每盒盒饭为面食1315百克，米食1415百克时既科学费用121150又最少。
图1教师引导：在解题中我们采用的是平移定位.此题中所求的函数最值中含有两个变量,我们不妨称之为二元函数.这就是我们本节课所研究的重点——图解法解二元函数的最值问题。
2、探究问题，提高认识教师引导：如果目标函数发生变化了，我们的解决方法还是通过平移定位吗？请同学们观察这道题。
（幻灯片展示）引申1:根据例题1中的所列出的约束条件，试求11y x z ++=的最大值及最小值。
（设计意图：根据目标函数的改变,培养学生图形语言和符号语言之间的转化能力以及概括能力。
） （1）教师巡视并指导学生；引申1学生解答:（1）思考并展示解答 解：根据题意做出可行域：图２－１图２－２依据z所具有的几何意义，表示直线(1)1y z x=+-的斜率. 根据图形可以得到z 在C(3,0)处取得最小值14；在A(0,3)处取得最大值4。
教师（板书）１、定点(1,1)x y连线的斜率。
--和可行域内一点(,)２、z在C(3,0)处取得最小值14；在A(0,3)处取得最大值4。
实质：目标函数变形为(1)1=+-，表示过定点的直线系，但不包括定点．过y z x定点的直线旋转定位。
（2）根据学生回答教师质疑：（设计意图：通过质疑、交流、深化理解学生存在的问题,培养学生探索事物本质属性的精神。
）问题１如何作出目标函数?问题２通过什么样的方法来定位呢？问题３为什么点A和点C是最优解呢?问题４定点改变了,目标函数取得最值时,点A和点C还是最优解吗?学生：（2）交流探讨，深化理解1、作定点(1,1)x y连线。
--和可行域内一点(,)2、通过定点的直线采用旋转定位。
3、因过定点的直线在与可行域内任意点连线的倾斜角均为锐角，所以为点A和点C是最优解。
4、当定点改变后，目标函数再次取得最值时，最优解会改变，例如过点(4,1)-与可行域内任意一点连线的斜率取得最值就不是在点A 和点C 处。
教师引导：如果我们的目标函数再改变一下呢？（幻灯片展示）请同学们观察这道题。
引申２:在例题1中的约束条件下，试求22(1)z x y =+-的最小值。
（设计意图：再次改变目标函数，通过与前面解过的引申１对比,加强对图解法解二元函数最值问题的理解．体现本节课的重点及难点．同时锻炼学生总结问题的能力。
通过让学生正确的表述出约束条件，培养学生文字语言与符号语言的相互转换能力。
通过作出约束条件及目标函数图形，培养学生符号语言和图形语言的相互转换能力。
）（1）教师巡视并指导学生； 引申2学生解答 （１）思考并展示解答解：根据题意做出可行域及所求目标函数的图形：图３－１ 图３－２根据图形可以得到(0,1)为半径的圆在与直线x y +=６３８相切时处取得最小值利用圆心到直线的距离等于半径,可求出M 的最小值。
∴22(1)z x y =+-的最小值为：５９（2）根据学生回答教师质疑： 问题１ 如何作出目标函数?问题２ 通过什么样的方法来定位呢？问题３ 为什么当与直线638x y +=相切的时候最小呢？（动画演示） 反思１ 能否让目标函数取得最小值时是与直线4710x y +=相切呢？反思２ 能否让目标函数取得最小值时不是与边界直线相切呢？ 反思３ 请同学们观察这两道题，看看他们有什么样的共同之处？ 学生：（2）交流探讨，深化理解 1、能，例如求22(2)z x y =-+的最值。
2、能，例如求22(4)(4)z x y =-+-的最值。
3、均是在约束条件下求二元函数最值问题。
教师引导：求二元函数最值问题时我们一般采用图解法解决。
如果题目中没有给约束条件呢？我们怎么解决这类问题?请看这道题。
3、加强认识，巩固知识例题２ 已知关于x 的方程220x ax b ++=在（0，1）和（1，2）内各有一个实数根，求21b a --的取值范围。
（设计意图：掌握线性约束条件及其变式，复习解二元函数最值的基本方法，培养学生的反思能力,注重对图解法的理解。
） （1）教师巡视并指导学生； 学生展示例题2：解：作出一元二元函数的图像， 根据一元二次方程根的分布可有(0)0(1)0(2)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩，即a 、b 满足02102240b a b a b >⎧⎪++<⎨⎪++>⎩，图4－1 求21b z a -=-的取值范围.画出可行域及目标函数的图形.依据图形可得到21b a --的取值范围为1,14⎛⎫⎪⎝⎭图4－2（2）根据学生回答教师质疑： 问题1 约束条件是如何表述出来的？ 问题2 建立坐标系如何确定轴？问题3 做可行域时需要注意哪些因素呢？ 学生：（2）交流探讨，深化理解 1、利用一元二次函数根的分布得到的． 2、对照所求函数和直线的斜率的形式确定轴． 3、作图是要注意约束条件，注意边界能否取到．4、归纳总结，巩固提高知识总结：１、根据约束条件作出可行域（不一定是线性的）。
２、观察挖掘目标函数或与目标函数有关的式子的几何意义。
３、用几何方法解代数问题。
数学思想：解有约束条件的二元函数的最值问题的本质是图解法。
线性约束条件下求二元函数的最值我们研究了，约束条件也可以变成我们熟悉的用两个变量刻画的其它的几何图形。
问题１、通过两个变量的刻画得到区域还有哪些？（设计意图：掌握线性约束条件及其变式，复习解二元函数最值的基本方法，培养学生的反思能力,注重对图解法的理解。
） 回答：圆、椭圆、抛物线等。
思考：如果y x 、满足的约束条件为22(x-2)(1)2y ++≤ （１）求11y x z ++=的最大值及最小值。
（２）求22(1)z x y =+-的最小值及最大值。
学生获得问题的解决途径后，让学生展示他们的成果。
解：（可行域及目标函数的图形略）（１）11y x z ++=的最大值为7： 最小值为－7（２）22(1)z x y =+-最小值为：2四、教学反思成功之处：1、本节课是以问题引导教学活动的开展，引导学生主动的去发现并探究。
通过实践证明问题的设置比较合理，符合学生的思维发展顺序，能够引导学生层层深入的探究问题。
2、在探究过程中采取以小组为单位讨论研究，开展合作学习，并选派代表陈述探究过程、结果，以及方法的补充，使每一个同学都参入到了课堂中来，拓宽了思路，开阔了视野，效果很好。
3、 整节课自然流畅，学生精神饱满，教师富有激情，充分调动了学生的积极性和主动性，研究、学习、探索的过程，多侧面、多角度地展示了学生的思维活动.4、多媒体课件的适时、巧妙地运用解决了学生思维的障碍，突破了本节课的难点。
激发了学生探究的热情与积极性，直到下课后学生的探究活动仍在继续.5、能够精心设计教学过程，自然引入新课.通过精心设计问题组使知识内容层层递进，环环相扣. 不足之处：本节课设计的内容略多，但探究例题2的求解过程中节奏稍慢，致使归纳小结稍显仓促。
所以考虑应将前面的问题稍作调整，并稍微加快些节奏，时间的分配可能就会合适了。
五、点评：“图解法解二元函数的最值问题”是一节启发、探索研究的课，回春荣老师教学在教学的设计中目标合理，立足大纲，基于教材，但不是照本宣科。
回春荣老师为学生创设了自然、平等的教学氛围，使学生敢想、敢说，整个课堂充满活力.首先，联系学生已有知识，对二元函数的判定从线性规划的角度引入并加以定义研究。
教师提出问题能否改变的研究，激起学生的学习兴趣。