2014--朝阳高三数学上期末文科
北京市朝阳区2014届高三第一次综合练习文科数学试卷(带解析)
北京市朝阳区2014届高三第一次综合练习文科数学试卷（带解析）1．已知集合|03}A x x =∈<<N ｛,1|21}x B x -=>｛,则A B =（ ）（A ）∅ （B ）{}1 （C ）{}2 （D ）{}1,2【答案】C 【解析】试题分析：1|21}|1}x B x x x -=>=>｛｛，{}|13,}2A B x x x N =<<∈=｛．考点：集合运算．2．已知i 为虚数单位,复数2i1i-的值是（ ） （A ）1i -- （B ）1i + （C ）1i -+ （D ）1i -【答案】C 【解析】 试题分析：()212i 11i 2i i i +==-+-． 考点：复数运算．3．若,x y 满足约束条件,1,33,x y y x x y +⎧⎪+⎨⎪+⎩≤3≤≥则函数2z x y =-的最大值是（ ）（A ）1- （B ）0 （C ）3 （D ）6 【答案】D 【解析】试题分析：由约束条件,1,x y y x +⎧⎪+⎨≤3≤画出可行域，由可行域可知，在()3,0点取得最大值，j4．在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中,甲、乙两位队员各跳一次．设命题p 是“甲落地站稳”,q 是“乙落地站稳”,则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为（ ）（A ）p q ∨ （B ）()p q ∨⌝ （C ）()()p q ⌝∧⌝ （D ）()()p q ⌝∨⌝【答案】D 【解析】试题分析：“至少有一位队员落地没有站稳”它的否定是“两位队员落地都站稳”，故为P q ∧，而P q ∧的否定是()()p q ⌝∨⌝．考点：逻辑量词．5．执行如右图所示的程序框图，则输出S 的值是（ ）（A ）10 （B ）17 （C ）26 （D ）28 【答案】Ｂ 【解析】试题分析：第一次运行后2,3S i ==；第二次运行后5,5S i ==；第三次运行后10,7S i ==；第四次运行后17,9S i ==；此时满足97>，终止运行，故输出17S =考点：算法框图．6．函数2sin ()1xf x x =+的图象大致为（ ）【答案】A 【解析】试题分析：因为函数()f x 满足，()()22sin sin ()()11x xf x f x x x --==-=-+-+，故函数()f x 为奇函数，所以函数()f x 的图象关于原点对称可排除,C D ，当2x π=时,函数()02f π>，可排除B ，故选A ．考点：函数的奇偶性，函数图像．7．已知AB 和AC 是平面内两个单位向量，它们的夹角为60，则2A B A C -与CA 的夹角是（ ）（A ）30 （B ）60 （C ）90 （D ）120 【答案】C 【解析】试题分析：由题意1AB =，1AC =，1cos 602AB AC AB AC ⋅=︒=，222124444132AB AC AB AB AC AC -=-⋅+=-⨯+=，故23AB AC -=，()21222102AB AC CA AB CA AC ⎛⎫-⋅=⋅+=⨯-+= ⎪⎝⎭，所以()2cos 2,02AB AC CA AB AC CA AB AC CA-⋅〈-〉==-，故2AB AC -与CA 的夹角是90︒．考点：向量的数量积． 8．如图，梯形ABCD 中，ADBC ,1AD AB ==,AD AB ⊥,45BCD ∠= ,将ABD∆沿对角线BD 折起．设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD .给出下面四个命题：①A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-的体积为2；③CD ⊥平面A BD '；④平面A BC '⊥平面A DC '.CBA其中正确命题的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①③ （D ）②④【答案】Ｂ 【解析】试题分析：①若A D BC '⊥，取BD 的中点O ，由''A D A B =得，'A O BD ⊥，又因为平面A BD '⊥平面BCD ，所以'A O ⊥平面BCD ，即'A O BC ⊥，所以BC ⊥平面A BD '，得BC BD ⊥，而45DBC ∠=︒，故命题不成立；②三棱锥A BCD '-的体积为113226V =⨯=，故命题不成立；③因为45BCD ∠=，45DBC ∠=，所以CD BD ⊥，又因为平面A BD '⊥平面BCD ，CD ⊥平面A BD '，故命题成立；④由③知CD ⊥平面A BD '，故'CD A B ⊥，又因为''A D A B ⊥，所以'A B ⊥平面A DC '，所以平面A BC '⊥平面A DC '，故命题成立；由此可得正确命题的序号是③④．182022242628303234C考点：立体几何中垂直问题．9．抛物线28y x =的准线方程是 . 【答案】2x =- 【解析】试题分析：由题意可知28p =，所以22p=，焦点在x 轴的正半轴，故准线方程是2x =-． 考点：抛物线的准线．10．在一次选秀比赛中，五位评委为一位表演者打分，若去掉一个最低分后平均分为90分，去掉一个最高分后平均分为86分.那么最高分比最低分高 分. 【答案】16 【解析】试题分析：设最高分与最低分分别为,x y ，则486490x y +⨯=+⨯，解得49048616x y -=⨯-⨯=．考点：统计，平均值．11．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边．已知4b =,2c =,60A ∠=，则a =；C ∠= .【答案】30 【解析】试题分析：由余弦定理得，222222cos 42242cos6012a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯︒=，所以a =，由正弦定理得，sin sin c a C A =，即sin 1sin 2c A C a ===，又因为c a <，所以30C =︒．考点：解三角形．12．一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ；表面积为 ．【答案】12；3【解析】211211132S =⨯⨯⨯+⨯⨯+=+8101214161820222411考点：由三视图求面积、体积．13．已知直线y x m =+与曲线224x y +=交于不同的两点,A B ，若||AB ≥m 的取值范围是 .【答案】⎡⎣【解析】试题分析：设AB的重点为D ，由22144OD AB +=得，俯视图222211412344OD AB OD OD =+≥+⨯=+，从而得1OD ≤，由点到直线的距离公式可得1m OD =≤，解得m ≤≤考点：直线与圆相交的性质．14．将1，2，3， ，9这9个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上．现在第一张卡片上已经写有1和5，第二张卡片上写有2，第三张卡片上写有3，则6应该写在第 张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是 ． 【答案】二；{}3,4,9【解析】试题分析：由题意，4不能写在第一张卡片上，因为541-=，4不能写在第二张卡片上，因为422-=，故4只能写在第三张卡片上；6不能写在第一张卡片上，因为651-=，6不能写在第三张卡片上，因为633-=，故6只能写在第二张卡片上；8不能写在第二张卡片上，因为862-=，8不能写在第三张卡片上，因为844-=，故8只能写在第一张卡片上；剩余7,9只能放到第二，三张卡片上，7不能写在第三张卡片上，因为743-=，故7只能写在第二张卡片上，剩余9只能放到第三张卡片上，故6应该写在第二张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是{}3,4,9． 考点：逻辑推理．15．已知函数()2sin cos f x x x x =. （1）求(0)f 的值及函数()f x 的单调递增区间；（2）求函数()x f 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】（1）(0)f =)(x f 的单调递增区间是π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2）()fx 取得最小值()f x 取得最大值2． 【解析】试题分析：（1）求(0)f 的值及函数()f x 的单调递增区间，首先对函数()f x 进行化简，将他化为一个角的一个三角函数，由已知()2sin cos f x x x x =，可用二倍角公式将函数()f x 化为π()2sin(2)3f x x =-，即可求出()2f π的值及函数()f x 的单调递增区间；（2）求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，由（1）知π()2sin(2)3f x x =-，由π0,2x ≤≤得，ππ2π2333x --≤≤，可利用sin y x =的图像可得，函数()x f 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．试题解析：（1）因为π()sin 222sin(2)3f x x x x ==-所以，(0)f =由πππ2π22π232k x k -+-+≤≤,k ∈Z ， 得π5πππ1212k x k -++≤≤，k ∈Z 所以)(x f 的单调递增区间是π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . 8分 （2）因为π0,2x ≤≤所以ππ2π2333x --≤≤. 所以，当ππ233x -=-，即0x =时，()f x取得最小值当ππ232x -=即5π12x =时，()f x 取得最大值2. 13分考点：三角函数化简，倍角公式，三角函数的单调性与最值．16．某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：例如表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生是4人．由于部分数据丢失，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为15．（1）求a ，b 的值；（2）从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率．【答案】（1）2a =，4b =；（2）3()5P B =．【解析】试题分析：（1）求a ，b 的值，由题意，从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为15，而由表中数据可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(2)a +人，可由21()205a P A +==，解出a 的值，从而得b 的值；（2）从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率，这显然是古典概型，由题意，运动协调能力为优秀的学生共有6位，列出从6人中任意抽取2人的方法，得方法数，找出至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的方法数，由古典概型，可求出至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率．试题解析：（I ）由题意可知，逻辑思维能力优秀的学生共有(2)a +人． 设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，逻辑思维能力优秀的学生，则21()205a P A +==．解得 2a =．所以4b =． 5分（2）由题意可知，运动协调能力为优秀的学生共有6位，分别记为123456,,,,,M M M M M M ．其中5M 和6M 为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生.从中任意抽取2位，可表示为1213141516,,,,M M M M M M M M M M ,2324,,M M M M2526,M M M M ,343536,,M M M M M M ,454656,,M M M M M M ，共15种可能．设事件B ：从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生． 事件B 包括1516,M M M M ,2526,M M M M ,3536,M M M M ,454656,,M M M M M M ，共9种可能．所以93()155P B ==．所以至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为35． 13分考点：古典概型． 17．在四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，O 为11AC 与11B D 交点，已知11AA AB ==,60BAD ∠=.（1）求证：11AC ⊥平面11B BDD ；（2）求证：AO ∥平面1BC D ；（3）设点M 在1BC D ∆内（含边界）,且OM ⊥11B D ，说明满足条件的点M 的轨迹，并求OM 的最小值.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）M 点在线段1C E 上，OM的最小值min 7OM =．【解析】试题分析：（1）求证：11AC ⊥平面11B BDD ，证明线面垂直，即证线线垂直，即在平面11B BDD 找两条相交直线与11AC 垂直，由于底面1111A B C D 为菱形，则1111ACB D ⊥，又1AA ⊥底面ABCD ，得1BB ⊥底面1111A BCD ，即1BB ⊥11AC ，从而得证；（2）求证：AO ∥平面1BC D ，证明线面平行，首先证明线线平行，可用三角形的中位线平行，也可用平行四边形的对边平行，注意到O 是11AC 的中点，连接AC ,交BD 于点E ，连接1C E ，证得四边形1AOC E 是平行四边形，从而得AO ∥1C E ，从而可证AO ∥平面1BC D .；（3）连接OE ，则BD OE ⊥，又在1BC D ∆中，11C D C B =,又E 为BD 中点，所以BD ⊥1C E ，得BD ⊥平面1C EO ，由已知可知，BD ∥11B D ，由OM ⊥11B D ，得OM BD ⊥，故M 点一定在线段1C E 上，这样就得到点M 的轨迹，进而可得OM 的最小值.试题解析：（1）依题意, 因为四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AA ⊥底面ABCD ，所以1BB ⊥底面1111A B C D .又11AC ⊂底面1111A B C D ,所以1BB ⊥11AC .因为1111A B C D 为菱形，所以1111AC B D ⊥.而1111BB B D B =，所以11AC ⊥平面11B BDD .4分（2）连接AC ,交BD 于点E ，连接1C E .依题意，1AA ∥1CC ,且11AA CC =，1AA AC ⊥,所以11A ACC 为矩形.所以1OC ∥AE .又11112OC AC =,12AE AC =,11AC AC =, 所以1OC =AE ，所以1AOC E 为平行四边形，则AO ∥1C E .又AO ⊄平面1BC D ，1C E ⊂平面1BC D ,所以AO ∥平面1BC D . 9分（3）在1BC D ∆内，满足OM ⊥11B D 的点M 的轨迹是线段1C E ，包括端点.分析如下：连接OE ，则BD OE ⊥.由于BD ∥11B D ,故欲使OM ⊥11B D ，只需OM BD ⊥,从而需ME BD ⊥.又在1BC D ∆中，11C D C B =,又E 为BD 中点，所以BD ⊥1C E .故M 点一定在线段1C E 上.当1OM C E ⊥时，OM 取最小值.在直角三角形1OC E 中，1OE =,12OC =,12C E =,所以1min 17OC OE OM C E ⋅==. 14分考点：线面平行的判定，线面垂直的判定．18．设函数()ln f x x =，()1g x ax =+，a ∈R ，记()()()F x f x g x =-. （1）求曲线()y f x =在e x =处的切线方程； （2）求函数()F x 的单调区间；（3）当0a >时，若函数()F x 没有零点，求a 的取值范围.【答案】（1）曲线()y f x =在e x =处的切线方程1e y x =；（2）当0a ≤时，函数()F x 的增区间是(0,)+∞，当0a >时，函数()F x 的增区间是1(0,)a ，减区间是1(,)a +∞；（3）实数a 的取值范围为21(,)e +∞.【解析】试题分析：（1）求曲线()y f x =在e x =处的切线方程，由导数的几何意义得，对函数()f x 求导得1()f x x '=，既得函数()f x 在e x =处的切线的斜率为1e k =，又(e)1f =，得切点(),1e ，由点斜式可得切线方程；（2）求函数()F x 的单调区间，由题意得，()ln 1F x x ax =--，求函数()F x 的单调区间，先确定函数的定义域为()0,+∞，由于含有对数函数，可对函数()F x 求导得，11()axF x a x x -'=-=，由于含有参数a ，需对a 讨论，分0a ≤，0a >两种情况，从而得函数()F x 的单调区间；（3）当0a >时，若函数()F x 没有零点，即()ln 10F x x ax =--=无解，由（2）可知，当0a >时，函数()F x 的最大值为1F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，只要1F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭小于零即可，由此可得a 的取值范围．试题解析：(1)1()f x x '=，则函数()f x 在e x =处的切线的斜率为1e k =.又(e)1f =，所以函数()f x 在e x =处的切线方程为11(e)e y x -=-,即1e y x= 4分 （2）()ln 1F x x ax =--，11()ax F x a x x -'=-=，（0x >）.①当0a ≤时，()0F x '>，()F x 在区间(0,)+∞上单调递增； ②当0a >时，令()0F x '<，解得1x a >；令()0F x '>，解得10x a <<.综上所述，当0a ≤时，函数()F x 的增区间是(0,)+∞；当0a >时，函数()F x 的增区间是1(0,)a ，减区间是1(,)a +∞. 9分（3）依题意，函数()F x 没有零点，即()ln 10F x x ax =--=无解.由（2）知，当0a >时，函数()F x 在区间1(0,)a 上为增函数,区间1(,)a +∞上为减函数， 由于(1)10F a =--<，只需111()ln 1ln 20F a a a a a =-⋅-=--<，解得2e a ->.所以实数a 的取值范围为21(,)e +∞. 13分考点：函数与导数，导数的几何意义，函数的单调性，函数的零点．19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(1,)2，一个焦点为． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线(1)(0)y k x k =-≠与x 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，求||||AB PQ 的取值范围．【答案】（1）椭圆C 的方程是2214x y +=；（2）||||AB PQ的取值范围为．【解析】试题分析：（1）求椭圆C 的方程，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点，一个焦点为，故可用待定系数法，利用焦点为可得c =利用过点，可得221314a b +=，再由222a b c =+，即可解出,a b ，从而得椭圆C 的方程；（2）求||||AB PQ 的取值范围，由弦长公式可求得线段AB 的长，因此可设1122(,),(,)A x y B x y ，由22(1),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得，2222(14)8440k x k x k +-+-=，则12,x x 是方程的两根，有根与系数关系，得2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+，由弦长公式求得线段AB 的长，求||PQ 的长，需求出,P Q 的坐标，直线(1)(0)y k x k =-≠与x 轴交于点P ，可得(1,0)P ，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，故先求出线段AB 的中点坐标，写出线段AB 的垂直平分线方程，令0y =，既得Q 点的坐标，从而得||PQ 的长，这样就得||||AB PQ 的取值范围．试题解析：（1）由题意得2222=3,131,4a b a b ⎧-⎪⎨+=⎪⎩解得=2a ，1b =．所以椭圆C 的方程是2214x y +=． 4分（2）由22(1),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+， 121222(2)14k y y k x x k -+=+-=+．所以线段AB 的中点坐标为2224(,)1414k kk k -++， 所以线段AB 的垂直平分线方程为22214()1414k k y x k k k --=--++． 于是，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点Q 223(,0)14k k +，又点(1,0)P ，所以22223111414k k PQ k k +=-=++．又AB ==．于是，22||141||14AB k k PQ k +==++．因为0k ≠，所以221331k <-<+．所以||||AB PQ 的取值范围为． 14分考点：求椭圆的方程，直线与椭圆位置关系，二次曲线范围问题．20．已知{}n a 是公差不等于0的等差数列，{}n b 是等比数列(N )n *∈，且110a b =>. （1）若33a b =,比较2a 与2b 的大小关系；（2）若2244,a b a b ==.（ⅰ）判断10b 是否为数列{}n a 中的某一项，并请说明理由；（ⅱ）若m b 是数列{}n a 中的某一项，写出正整数m 的集合（不必说明理由）.【答案】（1）22a b >，（2）10b 是{}n a 中的一项，正整数m 的集合是{}12m m =m =n,n *∈N 或．【解析】 试题分析：（1）记{}n a 的11a b a ==，{}n a 公差为d ，{}n b 公比为q ，由0d ≠，得1q ≠，比较2a 与2b 的大小关系，由已知{}n a 是公差不等于0的等差数列，{}n b 是等比数列(N )n *∈，且110a b =>，且33a b =，得1313222a a b b a ++==，2b =，当2b =22a b >，当2b =132b b +，从而可比较2a 与2b 的大小关系；（2）若2244,a b a b ==，可得2q =-，(1)3d a q a =-=-，（ⅰ）令10k a b =，由等差数列，等比数列的通项公式，建立方程，解出k ，若是正整数，10b 为数列{}n a 中的某一项，若不是正整数，10b 不是数列{}n a 中的一项，（ⅱ）若m b 是数列{}n a 中的某一项，写出正整数m 的集合，可由（ⅰ）的方法写出． 试题解析：记{}n a 的11a b a ==，{}n a 公差为d ，{}n b 公比为q ，由0d ≠，得1q ≠（1）2310b b q =>，1313222a a b b a ++==，2213b bb =，2b =当2b =22a b >；当2b =由平均值不等式132b b +，当且仅当13b b =时取等号，而13b b ≠，所以132b b +>即22a b >.综上所述，22a b >． 5分（2）（ⅰ）因为2244,a b a b ==，所以3,3,a d aq a d aq +=+=得313(1),q q -=-所以213,1q q q ++==或2q =-.因为1q ≠，所以2q =-，(1)3d a q a =-=-.令10k a b =，即911(1)a k d b q +-=，93(1)(2)a k a a --=-，172k =，所以10b 是{}n a 中的一项.（ⅱ）假设mk b a =，则111(1)m a k d b q -+-=，13(1)(2)m a k a a ---=-，143(2)m k --=-当1,m =或2m n =，（n *∈N ）时，k *∈N .正整数m 的集合是{}12m m =m =n,n *∈N 或. 13分考点：基本不等式，等差数列与等比数列的通项公式．。
北京市朝阳区2014届高三上学期期末考试数学文试题含答案
北京市旭日区 2013-2014 学年度高三年级第一学期期末一致考试数学试卷（文史类）2014.1（考试时间120 分钟 满分 150 分） 本试卷分为选择题（共40 分）和非选择题（共110 分）两部分第一部分（选择题 共 40分）一、选择题 ：本大题共 8 小题，每题5 分，共 40 分 ．在每题给出的四个选项中，选出切合题目要求的一项 .1. 已知会合 Ax log 2 x 0 , 会合 Bx 0 x 1 , 则 A B =A. x x 0B.x x 1 C.x 0 x 1或 x 1D.2.为了获得函数 y2x 2 的图象，能够把函数y 2x 的图象上全部的点A. 向右平行挪动 2 个单位长度开始B ．向右平行挪动1个单位长度C. 向左平行挪动2 个单位长度k=1D. 向左平行挪动 1个单位长度3. 履行以下图的程序框图，输出的 k 值为i=2A. 6B. 24C. 120D. 720k=k ×ii=i+1否i>5?是输出 k结束2x ,x 0, 2 是 f ( a) 4 建立的4.已知函数 f ( x)x则 ax , 0,A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C. 充要条件D. 既不充足也不用要条件x y 35. 若实数 x, y 知足2x y 0 ，则 z y x 的最小值为x 0A.B.1C.2D.36. 已知 0π 4 π，且 cos，则 tan() 等于2543A.7B.1C. D.747. 若双曲线 C ： 2x 2y 2m (m 0) 与抛物线 y 216 x 的准线交于 A, B 两点，且 AB 43，则 m 的值是A.116B.80C.52D. 208. 函数 f ( x)x 2 3x 的图象为曲线 C 1 ，函数 g( x) 4 x 2 的图象为曲线 C 2 ，过 x 轴上的动点 M (a,0)(0a 3) 作垂直于 x 轴的直线分别交曲线C ， C 于 A, B 两点，则线段AB 长度的最12大值为A ． 2B ． 4C ． 541D ．8第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5分，共 30 分 . 把答案填在答题卡上 .9.已知数列a n 为等差数列，若 a 1 a 3 a 5 8 ， a 2 a 4 a 620 ，则公差 d．10.已知三棱锥的三视图以下图，则该三棱锥的体积是；表面积是 .111正视图侧视图俯视图11. 某校为认识高一学生寒假时期的阅读状况，抽查并统计了100 名同学的某一周阅读时间，绘制了频次散布直方图（以下图），那么这100 名学生中阅读时间在[4,8)小时内的人数为_____．频次 /组距0.150.140.120.050.0424681012小时12.直线 l ：3x y60 被圆C : x2( y2)2 5 截得的弦 AB 的长是. 113.在△ ABC 中，A120 ， AB AC1，则AB AC； | BC | 的最小值是.14.用一个平面去截正方体，有可能截得的是以下平面图形中的（.写出知足条件的图形序号）（ 1）正三角形（ 2）梯形（3）直角三角形（4）矩形三、解答题：本大题共 6 小题，共80分 . 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（此题满分 13 分）已知函数 f ( x)3sin 2x2sin x cos x cos2 x 2 .（Ⅰ）求 f () 的值；4（Ⅱ）求函数 f ( x) 的最小正周期及单一递加区间.16. （此题满分13 分）甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔性测试.在同样的测试条件下，两人 5 次测试的成绩（单位：分）以下表：甲乙第 1 次5865第 2 次5582第 3 次7687第 4 次9285第 5 次8895（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图. 你以为选派谁参赛更好？说明原因（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5 次的成绩中各随机抽取一个成绩进行剖析，求抽到的两个成绩中起码有一个高于 90 分的概率 .17. （此题满分14 分）如图，在三棱锥 P ABC 中，平面 PAC平面PABC , PA AC，AB BC．设 D ，E分别为 PA，AC 中点 .D（Ⅰ）求证：DE ∥平面 PBC ；E（Ⅱ）求证：BC 平面 PAB;C A （Ⅲ）试问在线段 AB 上能否存在点 F ，使得过三点BD ,E ,F 的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行？若存在，指出点 F 的地点并证明；若不存在，请说明原因．18.（此题满分13 分）已知函数 f (x) x3ax2a2 x ，此中a0 .（Ⅰ）若 f (0) 4 ，求 a 的值，并求此时曲线y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程；（Ⅱ）求函数 f ( x) 在区间0,2上的最小值 .19.（此题满分14 分）已知椭圆 C 两焦点坐标分别为 F (2,0), F (2,0) ，一个极点为A(0, 1).12（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）能否存在斜率为k(k0)的直线 l ，使直线l 与椭圆 C 交于不一样的两点M ,N ，知足AM AN .若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，说明原因.20. （此题满分13 分）n 19n已知数列a n的通项 a n， n N .210(Ⅰ )求a1, a2；（Ⅱ）判断数列a n的增减性,并说明原因；(Ⅲ ) 设b n an 1b n1的最大项和最小项 .a n，求数列b n北京市旭日区 2013-2014 学年度高三年级第一学期期末一致考试数学答案（文史类）2014.1一、：号12345678答案A B C A B D D D二、填空：号91011121314答案4 1 ， 3354102,6（ 1）（ 2）（ 4）62三、解答：15.解：（Ⅰ）依意 f ( x)2sin 2 x sin 2x1sin 2x cos2 x2 sin(2 x) .4f ( ) 2 sin(24)1.⋯⋯⋯⋯ .7 分44（Ⅱ） f ( x) 的最小正周期Τ.当 2kππ2kπππ3πf ( x) 增函数.2x，即 kπx kπ,24288函数 f (x) 的增区kππ3πZ .⋯⋯⋯⋯ .13 分8, kπ, k816 .解：（Ⅰ）茎叶如右所示，由可知，乙的均匀成大于甲的均匀成，且乙的方差小于甲的方差，所以派乙参更好.⋯⋯⋯.6分（Ⅱ）事件 A ：抽到的成中起码有一个高于90 分.从甲、乙两人5次的成中各随机抽取一个成，全部的基本领件以下：58,65 , 58,82 , 58,87 , 58,85 , 58,95 ,55,65 , 55,82 , 55,87 , 55,85 , 55,95 , 76,65 , 76,82 , 76,87 , 76,85 , 76,95 , 88,65 , 88,82 , 88,87 , 88,85 , 88,95 , 92,65 , 92,82 , 92,87 , 92,85 , 92,95 ,甲乙5 8565共 25个.6788275事件 A 包括的基本领件有29558,95 , 55,95 , 76,95 , 88,95 , 92,65 , 92,82 , 92,87 , 92,85 , 92,95共 9个.9，即抽到的成中起码有一个高于90 分的概率9所以 P( A).⋯⋯⋯.13分252517. 明：（Ⅰ）因点 E 是 AC 中点，点 D PA 的中点，所以 DE∥PC．又因 DE面PBC，PC面PBC，所以 DE ∥平面 PBC ．⋯⋯⋯⋯.4分（Ⅱ）因平面PAC面ABC,平面PAC平面ABC=AC,又PA平面PAC，PA AC ，所以 PA面ABC.所以 PA BC．又因 AB BC ，且 PA AB= A，所以 BC面PAB．⋯⋯⋯.9分（Ⅲ）当点 F 是段 AB 中点，点 D , E , F 的平面内的任一条直都与平面PBC 平行．P 取AB中点F，EF，DF.由（Ⅰ）可知DE ∥平面 PBC ．因点E是AC中点，点F AB的中点，D 所以EF∥BC ．又因 EF平面 PBC ， BC平面 PBC ，C E A所以 EF ∥平面 PBC ．F又因 DE EF= E，B所以平面 DEF ∥平面 PBC ，所以平面 DEF 内的任一条直都与平面故当点F是段 AB中点，点D,E行．PBC 平行．,F 所在平面内的任一条直都与平面 PBC 平⋯⋯⋯.14 分18. 解：（Ⅰ）已知函数 f (x)x3ax2a2 x ，所以 f (x) 3x22ax a2， f(0)a2 4 ，又 a 0 ，所以 a 2 .又 f (1)5, f (1) 5 ，所以曲 y f ( x) 在点 (1, f (1)) 的切 方程 5xy 0. ⋯⋯⋯⋯ .⋯..⋯5 分（Ⅱ） x 0,2 ， f ( x)3x 22ax a 2( x a)(3 xa)令 f ( x)0 ， xa, x2 a .13（ 1）当 a 0 ， f (x)3x 20 在 0,2 上恒建立，所以函数f (x) 在区 0,2 上增，所以 f ( x)min f (0) 0 ；（2）当 0a 2 ，在区 [0, a) 上， f( x) 0 ，在区 (a, 2] 上， f (x)0，所以函数 f (x)在区 [0, a) 上 减，在区 (a, 2] 上 增，且 x a 是 0,2上独一极 点，所以 f (x)minf (a)a 3 ；（ 3）当 a2 ，在区 0,2 上， f ( x) 0（ 有当 a 2 f (2) 0 ），所以 f ( x) 在区 0,2 上 减所以函数 f ( x) min f (2)8 4a 2a 2 .上所述，当0 a 2 ，函数 f (x) 的最小 a 3 ，a2 ，函数 f (x) 的最小 84a2a 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分19.解：（Ⅰ） 方程x 2y 2 1( a b0) . 依 意a 2b 2c2 ， b 1，所以 a 2b 2c 23于是 C 的方程x 2y 2 1⋯⋯⋯ .4 分3（Ⅱ）存在 的直l . 依 意，直 l的斜率存在直 l 的方程 ykxm ，x 2y 2 1222由31)x 6kmx得(3k3m 3y kx m因36k 2 m 2 4(3k 2 1)(3m 2 3) 0 得 3k 2 m 21 0⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ①x 1 x 26km2 1 M (x 1, y 1 ), N (x 2 , y 2 ) ， 段 MN 中点 P( x 0 , y 0 ) ，3k233m x 1x 2213k于是 x 03kmm m 3k 2 , y 0 kx 03k 211因 AM AN ，所以 APMN .若 m0 ， 直 l 原点， P(0,0) ，不合 意 .若 m0 ，由 k0 得，y 01 k1 ，整理得 2m 3k 21 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯②x 0由①②知， k 21，所以 1k 1又 k 0 ，所以 k( 1,0) (0,1) .⋯⋯⋯ .14 分20．（Ⅰ） a 1 0.45 , a 2 1.215 .⋯⋯⋯ .2 分（Ⅱ） a n 1 a n(n 0.5)0.9n 1 (n 0.5) 0.9n0.9n (0.9 n 0.45 n 0.5)0.1 0.9n (n 9.5) .当 1 n 9 ， a n 1an0 ， 1n 10 ，数列a n 增数列， n N ;当 n10 ， a n 1a n0 ，数列 a n减数列， nN .⋯⋯⋯ .7 分(Ⅲ )由上 可得， b n an 1a n0.1 0.9n (n9.5) ， nN .令 c nb n 1 ，即求数列c n 的最大 和最小 .b nc nb n 1 0.9 n 8.50.9(11 ) .b nn 9.5 n 9.5数列c 在 1 n 9 减，此 c 9c n 0.9 ，即0.9 c n 0.9 ；n数列 c n 在 n 10 减，此 0.9c n c 10 ，即 0.9c n 2.7 .所以数列c n 的最大 c 102.7 ，最小 c 90.9 .⋯⋯⋯ .⋯ .13 分。
北京市朝阳区2014届高三二模数学(文)试题含答案
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类）（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）-、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）若全集U a,b,c,d , A a,b , B c，则集合d等于o（3）已知抛物线x2y ,则它的焦点坐标是(A) -,04(B) 0,12(C) 0—4(D) 1,022014. 5(A) e u(AUB) (B) AU B (C) AI B (D) e u(AI B)（2）下列函数中，既是奇函数又在区间（0,）上单调递增的函数为(A) y sin x (B) y ln x (C) y x3(D) y 2x（4）执行如图所示的程序框图•若输入a3,则输出i的值是(A) 2(B) 3(C)(5)由直线x y 1 0 , x y 5 0和x 1 0所围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为x y 10,x y 1 0,x y 10,x y 1 0, (A) x y 50,(B) x y 5 0,(C) x y 50, (D) x y 5 0x 1.x 1.x 1.x 1.(6)在区间［-,］上随机取一个数x，则事件: a cosx”的概率为1 (A) 14(B)(C) 23(D)-2项和为S n若a1 d, S n 8(7)设等差数列r r. r x _、/■，前nd 的最小值为的公差为d1，则an(A) 10(B) 97(C)- (D)12/2 222(8 )已知平面上点P(x,y)(x x。
)22(y y°) 16,其中2 2 .x0 y0 4当i x0, y变化时，则满足条件的点P在平面上所组成图形的面积是(A) 4n (B) 16 n ( C) 32 n (D) 36n第二部分(非选择题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上•1 2i9•计算1 iuur 1 nm10•已知两点A 1,1 , B 1,2，若BC - BA，则C点坐标是______________ .11.圆心在x轴上，半径长是4，且与直线x 5相切的圆的方程是___________ •12.由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，其体积是_______ ;表面积正视图侧视图—2俯视图(第12题图)服务时间/小时13•设一列匀速行驶的火车， 通过长860 m 的隧道时，整个车身都在隧道里的时间是 22s .该列 车以同样的速度穿过长 79o m 的铁桥时，从车头上桥，到车尾下桥，共用时 33s ，则这列火车的长度为—m .15.(本小题满分13分)在V ABC 中，a , b , c 分别是角A, B , C 的对边.已知a(I )若b 2 ■■一 2，求角C 的大小;(n)若c 2，求边b 的长.16.(本小题满分13分)某市规定，高中学生在校期间须参加不少于 80小时的社区服务才合格.某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100](单位：小时)进行统计，其频率分布直方图如图所示.(I)求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于 90小时的学生人数；(n)从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取 2人， 求所选学生的参加社区服务时 间在同一时间段内的概率.14.在如图所示的棱长为2的正方体ABCDA i BIC I D I 中，作与平面ACD i平行的截面，则截得的三角形中面积最大的值是 截得的平面图形中面积最大的值是三、解答题：本大题共 6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程C频率服务时间/小时17.(本小题满分14分)如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面 PAD 底面ABCD(I)若 E , F 分别为PC , BD 中点，P求证： EF //平面 PAD ；(n)求证： PA CD ；B E • A(川)若PAPD2AD ,2CJD求证：平面PAB 平面PCD .18.(本小题满分13分)xa e已知函数f(x)( a R ,a 0)x(i)当a 1时，求曲线f (x)在点1, f (1)处切线的方程； (n)求函数f(x)的单调区间；(川)当x 0, 时，若f (x) 1恒成立，求a 的取值范围列｛a n ｝满足：a n f(n) , n N(I)求f (0)及f (1)的值; (n)求数列｛a n ｝的通项公式；1 1(川)若b n ( )an ( )3 an ，试问数列｛b n ｝是否存在最大项和最小项？若存在，求出最大 4 2项和最小项；若不存在，请说明理由.19.(本小题满分14分)1已知椭圆C 的中心在原点 0,焦点在x 轴上，离心率为1,右焦点到右顶点的距离为2(I)求椭圆C 的标准方程； (n )若直线| ： mx y 10与椭圆C 交于A, B 两点，是否存在实数m ,uuu uur OA OBuuu uuu .................. OA OB 成立？若存在，m 的值；若不存在，请说明理由20.(本小题满分13分)已知函数f(x)对任意x, y R 都满足f(x y) 1f(…1，且 f (-), 1.使数北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试文史类答案2014.515.（本小题满分13分）2 3 2、2得 3 sin B ，解得 sin B22品 2彳ac1 由于，所以3 sinC ，解得sinC .sin A sin C22n由于B 为三角形内角， b a ，则 B -,所以C....... 6分43 412（n ）依题意，cos A2 2 2b c a,即 1b 24 12 2.整理得b 2 2b 80 ,2bc24b另解：（I ）解：由正弦定理a bsin A sin B又b 0，所以b 4. ........ 13分由于a c，所以C .6n n 由A —,得B -.3 2由勾股定理b c2 a2，解得b 4.13分16.（本小题满分13分）解：（I）由题意可知，参加社区服务在时间段［90,95）的学生人数为20 0.04 5 4 （人），参加社区服务在时间段［95,100］的学生人数为20 0.02 5 2 （人）•所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为4+2 6 （人）•..... 5分（n）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件 A •由（I）可知，参加社区服务在时间段［90 ,95）的学生有4人，记为a,b,c,d ；参加社区服务在时间段［9 5,100］的学生有2人，记为A, B •从这6人中任意选取 2 人有ab,ac,ad ,a代aB, bc, bd,bA,bB,cd,cA,cB,dA,dB, AB 共15种情况.事件A包括ab,ac,ad,bc, bd,cd, AB共7种情况.所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率17.（本小题满分14分）证明：（I）如图，连结AC .因为底面ABCD是正方形，所以AC与BD互相平分.又因为F是BD中点，所以F是AC中点.在厶PAC中，E是PC中点，F是AC中点,所以EF // PA.又因为EF 平面PAD , PA 平面PAD ,所以EF //平面PAD .(n)因为平面PAD 底面ABCD , 且平面PAD I平面ABCD=AD ,又CD AD,所以CD 面PAD .又因为PA 平面PAD ,所以CD PA .即PA(川)在厶PAD中，因为PA PD -2 AD , 2所以PA PD •由(n)可知PA CD ,CDI PD=D ,所以PA平面PCD •又因为PA 平面PAB ,所以面PAB 平面PCD •14分18.(本小题满分13分)f (x)x xax e ae2xae^,x 0.x1时, f (x)e x(x 1)依题意f (1) 即在x 1处切线的斜率为0.把x 1代入f(x)x—中，得f(1) e. x则曲线f (x)在x 1处切线的方程为y e..4分f (x)的定义域为x x 0 .由于f (x)ax e ae2 x(1 )若a0,当f (x)0 , 即x 1时，i当f (x)0 , 即x0和0ae x(x 1)函数f (x)为增函数;x 1时，函数f (x)为减函数•函数x x (2)若a 0,当f (x) 0,即x 0和0 x 1时，函数f(x)为增函数;当f (x)0,即x 1时，函数f (x)为减函数.综上所述，a 0时，函数f (x)的单调增区间为 1, ;单调减区间为,0 , 0,1 .a 0时，函数f (x)的单调增区间为，0 , 0,1 ；单调减区间为1,. (9)xa ex(川)当x 0, 时，要使f(x)1恒成立，即使a x 在x 0, 时恒成xe、 x 1 x立•设g(x) x ，则g (x) x .可知在0 x 1时，g (x)0 , g(x)为增函数；e e11x 1 时，g (x)0 , g(x)为减函数则 g(x)max g(1)•从而 a . e e另解：(1)当a 0时，f(a) e a 1，所以f (x) 1不恒成立•⑵当a 0且x 0, 时，由(i)知，函数 f(x)的单调增区间为1, 0,1 .所以函数f (x)的最小值为f ⑴ ae ，依题意f ⑴ ae 1,1解得a — •e1 综上所述，a . (13)e19.(本小题满分14分)2x (i)设椭圆C 的方程为r2y 21 ab 2b 0，半焦距为c .ac 1e,a 2解得 a c 1.所以 b 2 a 2 c 2 3依题意c 1 , a2,2 2所以椭圆C 的标准方程疋1.43 (4)uuu uuu uuu(n)不存在实数 m ，使I OA OB | | OAmx 1代入椭圆C ：3x 2 4y 212 中，整理得(3 4m 2)x 2 8mx 80.由于直线I 恒过椭圆内定点0, 1，所以判别式0.单调减区间为uuuOB |，证明如下:当f (x) 0,即x 0和0 x 1时，函数f(x)为增函数;设 A(X i , y i ), B(X 2, y 2)，则 ％ uuu uuu uuu 依题意，若|0A OB| |OA 8m 即 X 1X 2 y i y 2 x-i X 2 ( mx j X 2 2 必 X 2 4m 3 uuu uuu uuu OB |，平方得OA OB 1)( mx 2 1) 0, 2 整理得(m 1)x 1x 2 m(x 1 x 2) 1 0, 4m 2 3 0. 2 8 8 m 2 所以(m 2 1) 2 2 1 0, 4 m 2 3 4m 2 3 2 5 整理得m 2 —，矛盾. 12uuu umr mu uuu 所以不存在实数 m ，使|OA OB||OA OB |. ............. .14分 解：（I ）在 f(x y) f(x) f (y) 1 中，取 x y 0 ,得 f (0) 1 , 在f (X y) f(x) f (y) 1 中, 1 取 x y ｛，得 f(1) 1, ........ 2 分 (□)在 f(x y) f(x) f(y) 1 中，令 x n , y 1, 得f(n 1) f(n) 2，即 a n 1 a n 2. 20.(本小题满分13分)所以｛a n ｝是等差数列，公差为2,又首项C f （1） 1，所以a n 2n — N （川）｛b n ｝存在最大项和最小项 令 t (1)an (1)2n 1，则 b n t 2 ft 2 2 8 1 显然0 t 2，又因为n N ,(t 1 256 13 所以当t 1，即n 1时，g ｝的最大项为b 石 1 当t 32，即n 3时，｛b n ｝的最小项为b 3 3 1024 13分。
2014北京市朝阳区高三二模文科数学试题和答案
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类）2014．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）若全集{},,,U a b c d =，{},A a b =，{}B c =，则集合{}d 等于 （A ）()U AB ð （B ）A B （C ）A B （D ）()U AB ð （2）下列函数中，既是奇函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为（A ） sin y x = （B ）ln y x = （C ）3y x = （D ） 2x y = （3）已知抛物线22x y =,则它的焦点坐标是（A ）1,04⎛⎫⎪⎝⎭ （B ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （C ）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）1,02⎛⎫⎪⎝⎭（4）执行如图所示的程序框图．若输入3a =,则输出i 的值是（A ）2 （B ） 3 （C ） 4 （D ） 5（5）由直线10x y -+=，50x y +-=和10x -=所围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为（A ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ （B ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ （C ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩ （D ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩（6）在区间ππ[-,]上随机取一个数x ，则事件：“cos 0x ≥”的概率为 （A ）14 （B ） 34 （C ）23 （D ）12（7）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若11a d ==，则8n nS a +的最小值为（A ）10 （B ）92 （C ）72 （D）12+ ( 8 )已知平面上点{2200(,)()()16,P x y x x y y ∈-+-=其中}22004x y +=，当0x ，0y 变化时，则满足条件的点P 在平面上所组成图形的面积是(A) 4π (B) 16π ( C) 32π （D ）36π第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9.计算12i1i+=- . 10.已知两点()1,1A ，()1,2B -，若12BC BA =，则C 点坐标是 . 11.圆心在x 轴上，半径长是4，且与直线5x =相切的圆的方程是 ．12.由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，其体积是 ；表面积是 ．22俯视图侧视图正视图13.设一列匀速行驶的火车，通过长860m 的隧道时,整个车身都在隧道里的时间是22s .该列车以同样的速度穿过长790m 的铁桥时，从车头上桥，到车尾下桥，共用时33s ，则这列火车的长度为___m .14.在如图所示的棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，作与平面1ACD 平行的截面，则截得的三角形中面积最大的值是___； 截得的平面图形中面积最大的值是___.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题满分13分）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A B C ，，的对边.已知a =π3A =.（Ⅰ）若b =C 的大小； （Ⅱ）若2c =，求边b 的长. 16. （本小题满分13分）某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段75,80),80,85),[85,90),[90,95),[95,100][[（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数； （Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．A17. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ． （Ⅰ）若E ，F 分别为PC ，BD 中点，求证：EF ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥CD ；（Ⅲ）若PA PD AD ==， 求证：平面PAB ⊥平面PCD ． 18.（本小题满分13分）已知函数e ()xa f x x⋅=（a ∈R ,0a ≠）.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在点()1,(1)f 处切线的方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，若()f x 1≥恒成立，求a 的取值范围. 19.（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l 10mx y ++=与椭圆C 交于,A B 两点，是否存在实数m ，使O A O B O A O B +=-成立？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分13分）已知函数()f x 对任意,x y ∈R 都满足()()()1f x y f x f y +=++，且1()02f =，数列{}n a 满足：()n a f n =，*n ∈N . （Ⅰ）求(0)f 及(1)f 的值; （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式; （Ⅲ）若311()()42n naa nb +=-，试问数列{}n b 是否存在最大项和最小项？若存在，求出最大项和最小项；若不存在，请说明理由.A北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试文史类答案 2014.5二、填空题（满分30分）三、解答题（满分80分） 15. （本小题满分13分） （Ⅰ）解：由正弦定理sin sin a bA B=，=，解得sin 2B =. 由于B 为三角形内角，b a <，则4B π=，所以3412C ππ5π=π--=. ………6分 （Ⅱ）依题意，222cos 2b c a A bc+-=，即2141224b b +-=.整理得2280b b --=， 又0b >，所以4b =. ………13分另解：由于sin sin a cA C=2sin C =，解得1sin 2C =. 由于a c >,所以π6C =. 由π3A =，得π2B =.由勾股定理222b c a =+，解得4b =. ………13分16.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意可知，参加社区服务在时间段[90,95)的学生人数为200.0454⨯⨯=（人）， 参加社区服务在时间段[95,100]的学生人数为200.0252⨯⨯=（人）． 所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为 4+26=（人）． ………5分 （Ⅱ）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A ． 由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段,95)[90的学生有4人，记为,,,a b c d ； 参加社区服务在时间段5,100[9]的学生有2人，记为,A B ．从这6人中任意选取2人有,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad aA aB bc bd bA bB cd cA cB dA dB AB共15种情况．事件A 包括,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 共7种情况． 所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率7()15P A =．………13分 17. （本小题满分14分） 证明：（Ⅰ）如图，连结AC ．因为底面ABCD 是正方形，所以AC 与BD 互相平分． 又因为F 是BD 中点， 所以F 是AC 中点．在△PAC 中，E 是PC 中点，F 是AC 中点， 所以EF ∥PA ．又因为EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，A所以EF ∥平面PAD ． ………4分 （Ⅱ）因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD 平面=ABCD AD ，又CD AD ⊥， 所以CD ⊥面PAD ． 又因为PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥．即PA ⊥CD ． ………9分（Ⅲ）在△PAD 中，因为PA PD AD ==， 所以PA PD ⊥．由（Ⅱ）可知PA ⊥CD ，且=CD PD D ，所以PA ⊥平面PCD ． 又因为PA ⊂平面PAB ，所以面PAB ⊥平面PCD ． ………14分 18. （本小题满分13分）（Ⅰ）22e e e (1)()x x x ax a a x f x x x ⋅--'==,0x ≠.当1a =时，2e (1)()x x f x x-'=. 依题意(1)0f '=，即在1x =处切线的斜率为0.把1x =代入e ()xf x x=中，得(1)e f =.则曲线()f x 在1x =处切线的方程为e y =. ………………….4分（Ⅱ）函数()f x 的定义域为{}0x x ≠.由于22e e e (1)()x x x ax a a x f x x x ⋅--'==.（1）若0a >，当()0f x '>，即1x >时，函数()f x 为增函数；当()0f x '<，即0x <和01x <<时，函数()f x 为减函数. （2）若0a <，当()0f x '>，即0x <和01x <<时，函数()f x 为增函数； 当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 为减函数.综上所述，0a >时，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞；单调减区间为(),0-∞，()0,1.0a <时, 函数()f x 的单调增区间为(),0-∞，()0,1;单调减区间为()1,+∞.………………….9分（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，要使()f x =e 1xa x⋅≥恒成立，即使e x x a ≥在()0,x ∈+∞时恒成立. 设()e x x g x =，则1()e xxg x -'=.可知在01x <<时，()0g x '>，()g x 为增函数；1x >时，()0g x '<，()g x 为减函数.则max 1()(1)e g x g ==.从而1ea ≥.另解：(1)当0a <时，()e 1a f a =<，所以()f x 1≥不恒成立.(2)当0a >且()0,x ∈+∞时，由（Ⅰ）知，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1.所以函数()f x 的最小值为(1)e f a =，依题意(1)e 1f a =≥，解得1ea ≥. 综上所述，1ea ≥． ………………….13分 19. （本小题满分14分）（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，半焦距为c .依题意1,21.c e a a c ⎧==⎪⎨⎪-=⎩ 解得1c =，2a =，所以2223b a c =-=.所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=. ………………….4分 （Ⅱ）不存在实数m ，使||||OA OB OA OB +=-，证明如下：把1y mx =--代入椭圆C:223412x y +=中，整理得22(34)880m x mx ++-=. 由于直线l 恒过椭圆内定点()0,1-，所以判别式0∆>.设1122(,),(,)A x y B x y ，则122843m x x m +=-+,122843x x m -⋅=+. 依题意，若||||OA OB OA OB +=-，平方得0OA OB ⋅=. 即12121212(1)(1)0x x y y x x mx mx +=+--⋅--=, 整理得21212(1)()10m x x m x x ++++=，所以2(1)m +2843m -+2281043m m -+=+, 整理得2512m =-，矛盾． 所以不存在实数m ，使||||OA OB OA OB +=-. ………………….14分 20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）在()()()1f x y f x f y +=++中，取0x y ==，得(0)1f =-， 在()()()1f x y f x f y +=++中，取12x y ==，得(1)1f =，…………2分 （Ⅱ）在()()()1f x y f x f y +=++中，令x n =，1y =， 得(1)()2f n f n +=+，即12n n a a +-=.所以{}n a 是等差数列，公差为2，又首项1(1)1a f ==，所以21n a n =-,*n ∈N . …………6分 （Ⅲ）{}n b 存在最大项和最小项令2111()()22na n t -==，则22111()816256nb t t t =-=--， 显然102t <≤，又因为N n *∈，所以当12t =，即1n =时，{}n b 的最大项为1316b =. 当132t =，即3n =时，{}n b 的最小项为331024b =-. …………13分。
【2014朝阳二模】北京市朝阳区2014届高三第二次综合练习 文科数学 Word版含答案
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类）2014．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）若全集{},,,U a b c d =，{},A a b =，{}B c =，则集合{}d 等于 （A ）()U AB ð （B ）A B （C ）A B （D ）()U AB ð （2）下列函数中，既是奇函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为（A ） sin y x = （B ）ln y x = （C ）3y x = （D ） 2x y = （3）已知抛物线22x y =,则它的焦点坐标是（A ）1,04⎛⎫⎪⎝⎭ （B ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （C ）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）1,02⎛⎫⎪⎝⎭（4）执行如图所示的程序框图．若输入3a =,则输出i 的值是（A ）2 （B ） 3 （C ） 4 （D ） 5（5）由直线10x y -+=，50x y +-=和10x -=)用不等式组可表示为（A ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ （B ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ （C ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩ （D ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩（6）在区间ππ[-,]上随机取一个数x ，则事件：“cos 0x ≥”的概率为 （A ）14 （B ） 34 （C ）23 （D ）12（7）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若11a d ==，则8n nS a +的最小值为 （A ）10 （B ）92 （C ）72 （D）12+ ( 8 )已知平面上点{2200(,)()()16,P x y x x y y ∈-+-=其中}22004x y +=，当0x ，0y 变化时，则满足条件的点P 在平面上所组成图形的面积是(A) 4π (B) 16π ( C) 32π （D ）36π第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9.计算12i1i+=- . 10.已知两点()1,1A ，()1,2B -，若12BC BA =，则C 点坐标是 . 11.圆心在x 轴上，半径长是4，且与直线5x =相切的圆的方程是 ．12.由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，其体积是 ；表面积是 ．13.设一列匀速行驶的火车，通过长860m 的隧道时,整个车身都在隧道里的时间是22s .该列车以同样的速度穿过长790m 的铁桥时，从车头上桥，到车尾下桥，共用时33s ，则这列火车的长度为___m .22俯视图侧视图正视图（第12题图）14.在如图所示的棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，作与平面1ACD 平行的截面，则截得的三角形中面积最大的值是___； 截得的平面图形中面积最大的值是___.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（满分13分）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A B C ，，的对边.已知a =π3A =.（Ⅰ）若b =C 的大小；（Ⅱ）若2c =，求边b 的长. 16. （本小题满分13分）某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段75,80),80,85),[85,90),[90,95),[95,100][[（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数； （Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．17. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．（Ⅰ）若E ，F 分别为PC ，BD 中点，求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：PA ⊥CD ；（Ⅲ）若2PA PD AD ==，AA求证：平面PAB ⊥平面PCD ．18.（本小题满分13分）已知函数e ()xa f x x⋅=（a ∈R ,0a ≠）.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在点()1,(1)f 处切线的方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，若()f x 1≥恒成立，求a 的取值范围. 19.（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l 10mx y ++=与椭圆C 交于,A B 两点，是否存在实数m ，使O A O B O A O B +=-成立？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分13分）已知函数()f x 对任意,x y ∈R 都满足()()()1f x y f x f y +=++，且1()02f =，数列{}n a 满足：()na f n =，*n ∈N .（Ⅰ）求(0)f 及(1)f 的值;（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式; （Ⅲ）若311()()42n naa nb +=-，试问数列{}n b 是否存在最大项和最小项？若存在，求出最大项和最小项；若不存在，请说明理由.北京市朝阳区高三年级第二次综合练习15. （Ⅰ）解：由正弦定理sin sin a b A B =，得=，解得sin 2B =. 由于B 为三角形内角，b a <，则4B π=，所以3412C ππ5π=π--=. ………6分 （Ⅱ）依题意，222cos 2b c a A bc+-=，即2141224b b +-=.整理得2280b b --=， 又0b >，所以4b =. ………13分另解：由于sin sin a cA C=2sin C =，解得1sin 2C =. 由于a c >,所以π6C =.由π3A =，得π2B =.由勾股定理222b c a =+，解得4b =. …13分 16. 解：（Ⅰ）由题意可知，参加社区服务在时间段[90,95)的学生人数为200.0454⨯⨯=（人），参加社区服务在时间段[95,100]的学生人数为200.0252⨯⨯=（人）． 所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为 4+26=（人）． ………5分 （Ⅱ）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A ．由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段,95)[90的学生有4人，记为,,,a b c d ； 参加社区服务在时间段5,100[9]的学生有2人，记为,A B ．从这6人中任意选取2人有,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad aA aB bc bd bA bB cd cA cB dA dB AB共15种情况．事件A 包括,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 共7种情况． 所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率7()15P A =．………13分 17. 证明：（Ⅰ）如图，连结AC ．因为底面ABCD 是正方形，所以AC 与BD 互相平分又因为F 是BD 中点，所以F 是AC 中点．在△PAC 中，E 是PC 中点，F 是AC 中点， 所以EF ∥PA ．又因为EF ⊄平面PAD ，APA ⊂平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ． ………4分 （Ⅱ）因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD 平面=ABCD AD ，又CD AD ⊥， 所以CD ⊥面PAD ．又因为PA ⊂平面PAD ， 所以CD PA ⊥．即PA ⊥CD ． …9分（Ⅲ）在△PAD 中，因为PA PD AD ==，所以PA PD ⊥． 由（Ⅱ）可知PA ⊥CD ，且=CDPD D ，所以PA ⊥平面PCD ．又因为PA ⊂平面PAB ，所以面PAB ⊥平面PCD ． …14分18. （Ⅰ）22e e e (1)()x x x ax a a x f x x x ⋅--'==,0x ≠.当1a =时，2e (1)()x x f x x -'=.依题意(1)0f '=，即在1x =处切线的斜率为0.把1x =代入e ()xf x x=中，得(1)e f =.则曲线()f x 在1x =处切线的方程为e y =. ………………….4分（Ⅱ）函数()f x 的定义域为{}0x x ≠.由于22e e e (1)()x x x ax a a x f x x x ⋅--'==.（1）若0a >，当()0f x '>，即1x >时，函数()f x 为增函数； 当()0f x '<，即0x <和01x <<时，函数()f x 为减函数.（2）若0a <， 当()0f x '>，即0x <和01x <<时，函数()f x 为增函数；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 为减函数.综上所述，0a >时，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞；单调减区间为(),0-∞，()0,1.0a <时, 函数()f x 的单调增区间为(),0-∞，()0,1;单调减区间为()1,+∞.………………….9分（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，要使()f x =e 1xa x⋅≥恒成立，即使e x x a ≥在()0,x ∈+∞时恒成立. 设()e x x g x =，则1()exxg x -'=.可知在01x <<时，()0g x '>，()g x 为增函数； 1x >时，()0g x '<，()g x 为减函数.则max 1()(1)eg x g ==.从而1e a ≥.另解：(1)当0a <时，()e 1a f a =<，所以()f x 1≥不恒成立.(2)当0a >且()0,x ∈+∞时，由（Ⅰ）知，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1.所以函数()f x 的最小值为(1)e f a =，依题意(1)e 1f a =≥，解得1e a ≥. 综上所述，1ea ≥． .13分 19. （Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，半焦距为c .依题意1,21.c e a a c ⎧==⎪⎨⎪-=⎩ 解得1c =，2a =，所以2223b a c =-=.所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=. ………………….4分 （Ⅱ）不存在实数m ，使||||OA OB OA OB +=-，证明如下：把1y mx =--代入椭圆C:223412x y +=中，整理得22(34)880m x mx ++-=. 由于直线l 恒过椭圆内定点()0,1-，所以判别式0∆>. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则122843m x x m +=-+,122843x x m -⋅=+. 依题意，若||||OA OB OA OB +=-，平方得0OA OB ⋅=. 即12121212(1)(1)0x x y y x x mx mx +=+--⋅--=, 整理得21212(1)()10m x x m x x ++++=，所以2(1)m +2843m -+2281043m m -+=+, 整理得2512m =-，矛盾． 所以不存在实数m ，使||||OA OB OA OB +=-. ………………….14分 20. 解：（Ⅰ）在()()()1f x y f x f y +=++中，取0x y ==，得(0)1f =-， 在()()()1f x y f x f y +=++中，取12x y ==，得(1)1f =，…………2分 （Ⅱ）在()()()1f x y f x f y +=++中，令x n =，1y =， 得(1)()2f n f n +=+，即12n n a a +-=.所以{}n a 是等差数列，公差为2，又首项1(1)1a f ==，所以21n a n =-,*n ∈N . …………6分 （Ⅲ）{}n b 存在最大项和最小项令2111()()22na n t -==，则22111()816256nb t t t =-=--， 显然102t <≤，又因为N n *∈，所以当12t =，即1n =时，{}n b 的最大项为1316b =. 当132t =，即3n =时，{}n b 的最小项为331024b =-. …………13分。
【2014朝阳二模】北京市朝阳区2014届高三二模数学(文)试题
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类）2014．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）若全集{},,,U a b c d =，{},A a b =，{}B c =，则集合{}d 等于 （A ）()U AB ð （B ）A B （C ）A B （D ）()U A B ð（2）下列函数中，既是奇函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为（A ） sin y x = （B ）ln y x = （C ）3y x = （D ） 2xy = （3）已知抛物线22x y =,则它的焦点坐标是（A ）1,04⎛⎫⎪⎝⎭ （B ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （C ）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭（4）执行如图所示的程序框图．若输入3a =,则输出i 的值是（A ）2 （B ） 3 （C ） 4 （D ） 5（5）由直线10x y -+=，50x y +-=和10x -=所围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为（A ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ （B ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ （C ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩ （D ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩（6）在区间ππ[-,]上随机取一个数x ，则事件：“cos 0x ≥”的概率为 （A ）14 （B ） 34 （C ）23 （D ）12（7）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若11a d ==，则8n nS a +的最小值为 （A ）10 （B ）92 （C ）72 （D）12+ ( 8 )已知平面上点{2200(,)()()16,P x y x x y y ∈-+-=其中}22004x y +=，当0x ，0y 变化时，则满足条件的点P 在平面上所组成图形的面积是(A) 4π (B) 16π ( C) 32π （D ）36π第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9.计算12i1i+=- . 10.已知两点()1,1A ，()1,2B -，若12BC BA =，则C 点坐标是 . 11.圆心在x 轴上，半径长是4，且与直线5x =相切的圆的方程是 ． 12.由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，其体积是 ；表面积是 ．22俯视图侧视图正视图（第12题图）13.设一列匀速行驶的火车，通过长860m 的隧道时,整个车身都在隧道里的时间是22s .该列车以同样的速度穿过长790m 的铁桥时，从车头上桥，到车尾下桥，共用时33s ，则这列火车的长度为___m .14.在如图所示的棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，作与平面1ACD 平行的截面，则截得的三角形中面积最大的值是___； 截得的平面图形中面积最大的值是___.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题满分13分）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A B C ，，的对边.已知a =，π3A =.（Ⅰ）若b =，求角C 的大小； （Ⅱ）若2c =，求边b 的长. 16. （本小题满分13分）某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段75,80),80,85),[85,90),[90,95),[95,100][[（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数； （Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．A17. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ． （Ⅰ）若E ，F 分别为PC ，BD 中点，求证：EF ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥CD ；（Ⅲ）若PA PD AD ==， 求证：平面PAB ⊥平面PCD ． 18.（本小题满分13分）已知函数e ()xa f x x⋅=（a ∈R ,0a ≠）.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在点()1,(1)f 处切线的方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，若()f x 1≥恒成立，求a 的取值范围. 19.（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l 10mx y ++=与椭圆C 交于,A B 两点，是否存在实数m ，使OA OB OA OB +=-成立？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分13分）已知函数()f x 对任意,x y ∈R 都满足()()()1f x y f x f y +=++，且1()02f =，数列{}n a 满足：()n a f n =，*n ∈N . （Ⅰ）求(0)f 及(1)f 的值;A（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式; （Ⅲ）若311()()42n naa nb +=-，试问数列{}n b 是否存在最大项和最小项？若存在，求出最大项和最小项；若不存在，请说明理由.北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试文史类答案 2014.5一、选择题（满分40分）三、解答题（满分80分） 15. （本小题满分13分） （Ⅰ）解：由正弦定理sin sin a bA B=， =，解得sin B =由于B 为三角形内角，b a <，则4B π=，所以3412C ππ5π=π--=. ………6分 （Ⅱ）依题意，222cos 2b c a A bc +-=，即2141224b b+-=.整理得2280b b --=， 又0b >，所以4b =. ………13分另解：由于sin sin a cA C=2sin C =，解得1sin 2C =. 由于a c >,所以π6C =. 由π3A =，得π2B =. 由勾股定理222b c a =+，解得4b =. ………13分16.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意可知，参加社区服务在时间段[90,95)的学生人数为200.0454⨯⨯=（人）， 参加社区服务在时间段[95,100]的学生人数为200.0252⨯⨯=（人）． 所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为 4+26=（人）． ………5分 （Ⅱ）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A ． 由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段,95)[90的学生有4人，记为,,,a b c d ； 参加社区服务在时间段5,100[9]的学生有2人，记为,A B ．从这6人中任意选取2人有,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad aA aB bc bd bA bB cd cA cB dA dB AB共15种情况．事件A 包括,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 共7种情况． 所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率7()15P A =．………13分 17. （本小题满分14分） 证明：（Ⅰ）如图，连结AC ．A因为底面ABCD 是正方形，所以AC 与BD 互相平分． 又因为F 是BD 中点， 所以F 是AC 中点．在△PAC 中，E 是PC 中点，F 是AC 中点， 所以EF ∥PA ．又因为EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ． ………4分 （Ⅱ）因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD 平面=ABCD AD ，又CD AD ⊥， 所以CD ⊥面PAD ． 又因为PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥．即PA ⊥CD ． ………9分（Ⅲ）在△PAD 中，因为PA PD AD ==， 所以PA PD ⊥．由（Ⅱ）可知PA ⊥CD ，且=CD PD D ，所以PA ⊥平面PCD ． 又因为PA ⊂平面PAB ，所以面PAB ⊥平面PCD ． ………14分 18. （本小题满分13分）（Ⅰ）22e e e (1)()x x x ax a a x f x x x⋅--'==,0x ≠. 当1a =时，2e (1)()x x f x x -'=.依题意(1)0f '=，即在1x =处切线的斜率为0.把1x =代入e ()xf x x=中，得(1)e f =.则曲线()f x 在1x =处切线的方程为e y =. ………………….4分（Ⅱ）函数()f x 的定义域为{}0x x ≠.由于22e e e (1)()x x x ax a a x f x x x ⋅--'==.（1）若0a >，当()0f x '>，即1x >时，函数()f x 为增函数；当()0f x '<，即0x <和01x <<时，函数()f x 为减函数. （2）若0a <，当()0f x '>，即0x <和01x <<时，函数()f x 为增函数； 当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 为减函数.综上所述，0a >时，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞；单调减区间为(),0-∞，()0,1.0a <时, 函数()f x 的单调增区间为(),0-∞，()0,1;单调减区间为()1,+∞.………………….9分（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，要使()f x =e 1x a x ⋅≥恒成立，即使ex xa ≥在()0,x ∈+∞时恒成立. 设()e x x g x =，则1()exxg x -'=.可知在01x <<时，()0g x '>，()g x 为增函数； 1x >时，()0g x '<，()g x 为减函数.则max 1()(1)e g x g ==.从而1ea ≥. 另解：(1)当0a <时，()e 1af a =<，所以()f x 1≥不恒成立.(2)当0a >且()0,x ∈+∞时，由（Ⅰ）知，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1.所以函数()f x 的最小值为(1)e f a =，依题意(1)e 1f a =≥，解得1ea ≥. 综上所述，1ea ≥． ………………….13分 19. （本小题满分14分）（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，半焦距为c .依题意1,21.c e a a c ⎧==⎪⎨⎪-=⎩ 解得1c =，2a =，所以2223b a c =-=.所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=. ………………….4分 （Ⅱ）不存在实数m ，使||||OA OB OA OB +=-，证明如下：把1y mx =--代入椭圆C:223412x y +=中，整理得22(34)880m x mx ++-=. 由于直线l 恒过椭圆内定点()0,1-，所以判别式0∆>. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则122843m x x m +=-+,122843x x m -⋅=+. 依题意，若||||OA OB OA OB +=-，平方得0OA OB ⋅=. 即12121212(1)(1)0x x y y x x mx mx +=+--⋅--=, 整理得21212(1)()10m x x m x x ++++=，所以2(1)m +2843m -+2281043m m -+=+, 整理得2512m =-，矛盾． 所以不存在实数m ，使||||OA OB OA OB +=-. ………………….14分 20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）在()()()1f x y f x f y +=++中，取0x y ==，得(0)1f =-，在()()()1f x y f x f y +=++中，取12x y ==，得(1)1f =，…………2分 （Ⅱ）在()()()1f x y f x f y +=++中，令x n =，1y =， 得(1)()2f n f n +=+，即12n n a a +-=.所以{}n a 是等差数列，公差为2，又首项1(1)1a f ==，所以21n a n =-,*n ∈N . …………6分 （Ⅲ）{}n b 存在最大项和最小项令2111()()22na n t -==，则22111()816256nb t t t =-=--， 显然102t <≤，又因为N n *∈， 所以当12t =，即1n =时，{}n b 的最大项为1316b =. 当132t =，即3n =时，{}n b 的最小项为331024b =-. …………13分。
2013—2014学年高三上学期期末考试数学(文)试题含答案解析
2013—2014学年高三上学期期末考试数学（文）试题本试卷分第I 卷(选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文宇信息，然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效.第I 卷参考公式： 样本数据的标准差锥体体积公式其中为样本平均数 其中S 为底面面积,h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式其中S 为底面面积，h 为髙 其中R 为球的半径—、选择题 (毎小题5分,共60分）1. 设函数的定义域为M,集合，则=A. B. NC.D.M 2. 计箅的结果等于A. B.C.D.3. 三边长分别为1,1，的三角形的最大内角的度数是A.600 B 90C 120°D 1350已知向量，若，则向量m 与向量n 夹角的余弦值为A.B.C.D.5.下列命题说法的是A. 命题“若a>b ，则”的否命题为：“若，则”B. “a>b ”是“”的充要条件C. 对于命题P,Q ，若P Q 为假命题,则命题P 、q 至少有一个为假命题D. 对于命题，使得”,则，均有”6（ ）A ．2正(主)视图 侧B ．1C ．23D ．137.执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是( )（A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）50408.设22)1(则,305满足约束条件,y x x y x y x y x ++⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-的最大值为 （ ）A ． 80B ．C ． 25D ．1729.已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=( )（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π410.已知函数f x ()的定义域为 1 5-[，]，部分对应值如下表．f x ()的导函数y f x '=()的图象如图所示．下列关于函数f x ()的命题：①函数y f x =()是周期函数；②函数f x ()在0 2[，]是减函数；③如果当 1x t ∈-[，]时，f x ()的最大值是2，那么的最大值为4；④当12a <<时，函数y f x a =-()有4个零点．其中真命题的个数有 （ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个11. 设)0(25)(,12)(2>-+=+=a a ax x g x x x f ，若对于任意]1,0[1∈x ，总存在]1,0[0∈x ，使得)()(10x f x g =成立，则a 的取值范围是（A ）[)+∞,4 （B ）⎥⎦⎤⎝⎛25,0 （C ）]4,25[ （D ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2512.数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830第Ⅱ卷 （非选择题 ，共 90 分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）13. 若复数（i 为虚数单位)为实数,则实数___________.14. 设抛物线的焦点为F ，则点F 的坐标为______.15. 甲、乙两名同学学业水平考试的9科成绩如茎叶图所示，请你根据茎业图判断谁的平均分高______(填“甲”或“乙”）16. 设是R 上的奇函数,且，当x>0时，，则不等式的解集为______.三、解答翅(共70分）17. (本小题满分12分）已知数列满足，且.(I )求数列{a n }的通项公式(I )若，求数列的前n 项和.18. (本小题满分12分）某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解，训练对提髙‘数学应用题得分率作用”的试验,其中甲班为试验班（加强语文阅读理解训练），乙班为对比班（常规教学,无额外训练），在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后,统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：现规定平均成绩在80分以上（不含80分）的为优秀.(I )试分别估计两个班级的优秀率；(II)由以上统计数据填写下面2 X 2列联表，并问是否有"5匁的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提商‘数学应用题’得分率”有帮助.参考公式及数据：，19.（本小题满分12分）某厂为适应市场需求，投入98万元引进世界先进设备，并马上投入生产，第一年需各种费用12万元，从第二年开始，每年所需费用会比上一年增加4万元．而每年因引入该设备可获得年利润为50万元．请你根据以上数据，解决以下问题：(1)引进该设备多少年后，开始盈利？(2)引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均利润达到最大值时，以26万元的价格卖出．第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．问哪种方案较为合算？20.（本小题满分12分）设函数f(x)＝ax2＋bx＋k(k>0)在x＝0处取得极值，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线x＋2y＋1＝0.(1)求a，b的值；(2)若函数g(x)＝e xf(x)，讨论g(x)的单调性．21. (本小题满分12分〉在平面直角坐标系xOy中，点P(x,y)为动点，已知点I,直线PA与PB 的斜率之积为定值.(I)求动点P的轨迹E的方程；(I I)若F(1,0),过点F的直线l交轨迹E于M、N两点，以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，求直线l的方程.22. 选修4_1:(本小题满分10分)几何证明选讲如图，在厶ABC中，为钝角，点是边AB上的点，点K和M分别是边AC和BC上的点，且AH=AC,EB=BC,AE=AK,BH=BM.(I )求证:E、H、M、K四点共圆；（II）若KE=EH,CE=3求线段 KM的长.文科数学参考答案一、选择题1-12 BACDB CBAAD CD二、填空题 二、填空题 13.； 14.1(0,)16； 15.乙； 16.(,1)(0,1)-∞-⋃. 三、解答题17.解：⑴由112(2)n n n a a a n -++=≥知，数列{}n a 是等差数列， 设其公差为d ，------------------- 2分则5371()92a a a =+=， 所以5124a a d -==，----------- 4分1(1)21n a a n d n =+-=-，即数列{}n a 的通项公式为21n a n =-．------------------- 6分 ⑵1(21)2n n c n -=-⋅，1230121 =123252(21)2.n nn T c c c c n -=++++⨯+⨯+⨯++-⨯1212 1232(23)2(21)2n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，相减得 123112(2222)(21)2n n n T n --=+++++--⋅ ，------------ 9分整理得 2212(21)2(23)2312nn n n T n n --=+⨯--⋅=--⋅--，所以(23)23n n T n =-⋅+．------------------- 12分 18.解：⑴由题意，甲、乙两班均有学生50人，------------------- 1分甲班优秀人数为30人，优秀率为3060%50=，----------- 2分 乙班优秀人数为25人，优秀率为2550%50=，----------- 4分所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%．------------------- 5分 ⑵---------- 7分注意到22100(30252025)1001.0105050554599K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，---------------- 11分所以由参考数据知，没有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助. ------------------- 12分 ＝275＋2.75＝277.75.(2)第一种：年平均盈利为y x ，y x ＝－2x －98x ＋40≤－22x ·98x ＋40＝12，当且仅当2x ＝98x，即x ＝7时，年平均利润最大，共盈利12×7＋26＝110万元．第二种：盈利总额y ＝－2(x －10)2＋102，当x ＝10时，取得最大值102，即经过10年盈利总额最大，共计盈利102＋8＝110万元两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算．20.解：(1)因f (x )＝ax 2＋bx ＋k (k >0)， 故f ′(x )＝2ax ＋b ， 又f (x )在x ＝0处取得极值， 故f ′(0)＝0，从而b ＝0.由曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0相互垂直， 可知该切线斜率为2，即f ′(1)＝2，有2a ＝2，从而a ＝1. (2)由(1)知，g (x )＝e xx 2＋k (k >0)，g ′(x )＝e x (x 2－2x ＋k )(x 2＋k )2(k >0)．令g ′(x )＝0，有x 2－2x ＋k ＝0(k >0)．①当Δ＝4－4k <0，即k >1时，g ′(x )>0在R 上恒成立，故函数g (x )在R 上为增函数． ②当Δ＝4－4k ＝0，即k ＝1时，有g ′(x )＝e x (x －1)2(x 2＋1)2>0(x ≠1)，从而当k ＝1时，g (x )在R上为增函数，21.12=-，----------- 2分整理得2212xy+=，所以所求轨迹E的方程为221(0)2xy y+=≠，------ 4分⑵当直线与x轴重合时，与轨迹E无交点，不合题意；当直线与x轴垂直时，:1l x=，此时(1,M N，以MN为对角线的正方形的另外两个顶点坐标为(1±，不合题意；--------------- 6分当直线与x轴既不重合，也不垂直时，不妨设直线:(1)(0)l y k x k=-≠，1122(,),(,),M x y N x y MN的中点1212(,(1))22x x x xQ k++-，由22(1),1,2y k xxy=-⎧⎪⎨+=⎪⎩消y得2222(21)4220k x k x k+-+-=，由12xx⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得212221224,2122,21kx xkkx xk⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩-------------------8分所以2222(,)2121k kQk k-++，则线段MN的中垂线m的方程为：22212()2121k ky xk k k+=--++，整理得直线2:21x km yk k=-++，则直线m 与y 轴的交点2(0,)21kR k +，注意到以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰在y 轴上，当且仅当RM RN ⊥,即112222(,)(,)02121kkRM RN x y x y k k ⋅=-⋅-=++，----------------10分 2121212222()021(21)kk x x y y y y k k +-++=++， ① 由22121212212122[()1],212(2),21k y y k x x x x k k y y k x x k ⎧=-++=-⎪⎪+⎨⎪+=+-=-⎪+⎩② 将②代入①解得 1k =±，即直线的方程为(1)y x =±-，综上，所求直线的方程为10x y --=或10x y +-=．------------12分 选做题22.证明：⑴连接CH ，,AC AH AK AE == ， ∴四边形CHEK 为等腰梯形， 注意到等腰梯形的对角互补，故,,,C H E K 四点共圆，----------- 3分同理,,,C E H M 四点共圆，即,,,E H M K 均在点,,C E H 所确定的圆上，证毕．--------------- 5分⑵连结EM ，由⑴得,,,,E H M C K 五点共圆，----------- 7分 CEHM 为等腰梯形，EM HC ∴=， 故MKE CEH ∠=∠，由KE EH =可得KME ECH ∠=∠， 故MKE CEH ∆≅∆，即3KM EC ==为所求． -------------------10分。
北京市朝阳2014届高三二模文科数学试卷(带解析)
北京市朝阳2014届高三二模文科数学试卷（带解析）1．若全集{},,,U a b c d =，{},A a b =，{}B c =，则集合{}d 等于（ ）（A ）()U A B ð （B ）A B （C ）A B （D ）()U AB ð 【答案】A 【解析】 试题分析：因为{,,}A B a b c =,所以()U A B ð{}.d =而A B .φ=()U AB ð.U =所以选A.考点：集合运算2．下列函数中，既是奇函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为（ ）（A ）sin y x = （B ）ln y x = （C ）3y x = （D ）2x y = 【答案】C【解析】试题分析：sin y x =是奇函数但在区间0,+∞（）上不是单调函数．ln y x =在区间0,+∞（）上单调递增但不是奇函数，3y x =既是奇函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数，2xy =在区间0,+∞（）上单调递增但不是奇函数.考点：函数奇偶性及单调性3．已知抛物线22x y =,则它的焦点坐标是（ ）（A ）1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （C ）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】试题分析：因为抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为(0,),2p 所以抛物线22x y =的焦点坐标是10,2⎛⎫⎪⎝⎭.考点：抛物线焦点4．执行如图所示的程序框图．若输入3a =,则输出i 的值是（ ）（A ）2 （B ） 3 （C ） 4 （D ） 5 【答案】C 【解析】试题分析：第一次循环，9,1,a i ==第二次循环，21,2,a i ==第三次循环，45,3,a i ==第四次循环，93,4,a i ==结束循环，输出 4.i = 考点：循环结构流程图5．由直线10x y -+=，50x y +-=和10x -=所围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为（ ） （A ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ （B ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ （C ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩ （D ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩【答案】A 【解析】试题分析： 由题意得：所围成的三角形区域在直线10x y -+=的上方，直线50x y +-=的下方，及直线10x -=的右侧，所以10x y -+≤，50x y +-≤，10.x -≥ 考点：不等式组表示平面区域6．在区间ππ[-,]上随机取一个实数x ，则事件：“cos 0x ≥”的概率为（ ）（A ）14 （B ） 34 （C ）23 （D ）12【答案】D 【解析】试题分析：由cos 0x ≥，x ∈ππ[-,]得：[,]22x ππ∈-，所以事件：“cos 0x ≥”的概率为()122.()2ππππ--=-- 考点：几何概型概率7．设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若11a d ==，则8n n S a +的最小值为（ ） （A ）10 （B ）92 （C ）72 （D）12+【答案】B 【解析】试题分析：由题意得：(1),2n n n n a n S +==，所以8n n S a+1819.222n n +=+≥+=当且仅当4n =时取等号.因此8n n S a +的最小值为92.考点：基本不等式求最值8．已知平面上点{2200(,)()()16,P x y x x y y ∈-+-=其中}22004x y +=，当0x ，0y 变化时，则满足条件的点P 在平面上所组成图形的面积是（ ）(A ）4π (B ）16π ( C ）32π （D ）36π 【答案】C 【解析】试题分析：圆心00(,)x y 在圆224x y +=上运动 一周，点P 在平面上所组成图形为以坐标原点为圆心，6为半径的实心圆减去以坐标原点为圆心，2为半径的实心圆的一个圆环，面积是226232πππ-=.考点：圆的方程，动点轨迹9．计算12i1i +=- . 【答案】13i 22-+【解析】 试题分析：12i (12i)(1+i)13.1i (1i)(1+i)2i++-+==-- 考点：复数运算10．已知两点()1,1A ，()1,2B -，若12BC BA =，则C 点的坐标是 . 【答案】30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：设C 点的坐标是(,)x y ，则由12BC BA =得1(1,2)(11,12),2x y +-=+-即30,.2x y ==C 点的坐标是30,2⎛⎫⎪⎝⎭.考点：向量坐标运算11．圆心在x 轴上，半径长是4，且与直线5x =相切的圆的方程是 ．【答案】()22116x y -+=和()22916x y -+=【解析】试题分析：设圆心为(),a b ，因为与直线5x =相切，所以|5|4,1a r a -===或9.a =因此圆的方程是()22116x y -+=和()22916x y -+=考点：圆的标准方程12．由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是 ；表面积是 ．【答案】3, 【解析】2的正方形．因此体积为21223⨯=表面积为8个全等的边长为2的等边三角形面积之和，即282= 考点：三视图 13．设一列匀速行驶的火车，通过长860m 的隧道时,整个车身都在隧道里的时间是22s .该列车以同样的速度穿过长790m 的铁桥时，从车头上桥，到车尾下桥，共用时33s ，则这列火车的长度为___m . 【答案】200 【解析】试题分析：设这列火车的长度为xm ，则由题意得：860790,200.2233x xx -+==.考点：实际问题应用题14．在如图所示的棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，作与平面1ACD 平行的截面，则截得的三角形中，面积最大的值是___；截得的平面图形中，面积最大的值是___.AC【答案】【解析】试题分析：截得的三角形中，面积最大的是三角形11ACB ，面积为2=的平面图形中，面积最大的是正六边形，如图，面积为26=考点：空间想象15．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A B C ，，的对边.已知a =π3A =. （1）若b =C 的大小； （2）若2c =，求边b 的长. 【答案】（1）,125π（2）4b =. 【解析】 试题分析：（1）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化. 由正弦定理由于B 为三角形内角，b a <，则4B π=，所以3412C ππ5π=π--=.（2）由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=得2141224b b +-=整理得2280b b --=，又0b >，所以4b =.本题也可由正弦定理sin sin a c A C =2sin C=，解得1sin 2C =.由于a c >,所以π6C =.由π3A =，得π2B =. 由勾股定理222b c a =+，解得4b =.（1由于B 为三角形内角，b a <，则4B π=，所以3412C ππ5π=π--=. 6分（2）依题意，222cos 2b c a A bc+-=，即2141224b b +-=.整理得2280b b --=，又0b >，所以4b =. 13分另解： 由于sin sin a c A C =2sin C=，解得1sin 2C =.由于a c >,所以π6C =. 由π3A =，得π2B =. 由勾股定理222b c a =+，解得4b =. 13分考点：正余弦定理16．某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段75,80),80,85),[85,90),[90,95),[95,100][[（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．【答案】（Ⅰ）6,（Ⅱ）7.15【解析】 试题分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图中小长方形面积为频率，而频数为总数与频率之积. 因此参加社区服务在时间段[90,95)的学生人数为200.0454⨯⨯=（人），参加社区服务在时间段[95,100]的学生人数为200.0252⨯⨯=（人）．所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为 4+26=（人）．（Ⅱ）解概率应用题，要注意“设、列、解、答”. 设所选学生的参加服务时间在同一时间段内为事件A ．由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段,95)[90的学生有4人，记为,,,a b c d ；参加社区服务在时间段5,100[9]的学生有2人，记为,A B .从这6人中任意选取2人有,,,,,,,,a b ac ad a A a B b c b d b A b B c d共15种情况．事件A 包括,,,,,,a b a c a d b c b d c d AB 共7种情况．所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率7()15P A =． 解：（Ⅰ）由题意可知，参加社区服务在时间段[90,95)的学生人数为200.0454⨯⨯=（人）， 参加社区服务在时间段[95,100]的学生人数为200.0252⨯⨯=（人）．所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为 4+26=（人）． 5分 （Ⅱ）设所选学生的参加服务时间在同一时间段内为事件A ． 由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段,95)[90的学生有4人，记为,,,a b c d ； 参加社区服务在时间段5,100[9]的学生有2人，记为,A B ．从这6人中任意选取2人有,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad aA aB bc bd bA bB cd cA cB dA dB AB 共15种情况．事件A 包括,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 共7种情况． 所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率7()15P A =． 13分 考点：频率分布直方图,古典概型概率17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ． （Ⅰ）若E ，F 分别为PC ，BD 中点，求证：EF ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥CD ；（Ⅲ）若2PA PD AD ==，求证：平面PAB ⊥平面PCD ．A【答案】（Ⅰ）详见解析，（Ⅱ）详见解析，（Ⅲ）详见解析. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）证明线面平行，关键在于找出线线平行.本题条件含中点，故从中位线上找线线平行. E ，F 分别为PC ，BD 中点，在△PAC 中，E 是PC 中点，F 是AC 中点，所以EF ∥PA ．又因为EF ⊄平面PBC ，PA ⊂平面BC P ，所以EF ∥平面PAD ．（Ⅱ）由面面垂直性质定理可得线面垂直，因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD 平面=ABCD AD ，又CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥面PAD ．又因为PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥．即PA ⊥CD ．（Ⅲ）证明面面垂直，关键找出线面垂直. 在△PAD中，因为2PA PD AD ==，所以PA PD ⊥．由（Ⅱ）可知PA ⊥CD ，且=C D P D D ， 所以PA ⊥平面PCD ．又因为PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD ． 证明：（Ⅰ）如图，连结AC ． 因为底面ABCD 是正方形，所以AC 与BD 互相平分． 又因为F 是BD 中点， 所以F 是AC 中点．在△PAC 中，E 是PC 中点，F 是AC 中点， 所以EF ∥PA ．又因为EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ． 4分 （Ⅱ）因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD 平面=ABCD AD ， 又CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥面PAD ． 又因为PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥．即PA ⊥CD ． 9分（Ⅲ）在△PAD 中，因为PA PD AD ==， 所以PA PD ⊥． 由（Ⅱ）可知PA ⊥CD ，且=CD PD D ，所以PA ⊥平面PCD ． 又因为PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD ． 14分 考点：线面平行判定定理，面面垂直性质定理与判定定理18．已知函数e ()xa f x x⋅=（a ∈R ,0a ≠）.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处切线的方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，()f x 1≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）e y =,（Ⅱ）0a >时，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞；单调减区间为(),0-∞，()0,1.0a <时, 函数()f x 的单调增区间为(),0-∞，()0,1;单调减区间为()1,+∞.（Ⅲ）1ea ≥ 【解析】试题分析：（Ⅰ））利用导数的几何意义，在1x =处切线的斜率为0即为(1).f '因为22e e e (1)()x x x ax a a x f x x x ⋅--'==，所以当1a =时，2e (1)()x x f x x -'=.(1)0f '=，又(1)e f =，则曲线()f x 在1x =处切线的方程为e y =. （Ⅱ）利用导数求函数单调区间，需明确定义域{}0x x ≠，再导数值的符号确定单调区间. （1）若0a >，当()0f x '>，即1x >时，函数()f x 为增函数；当()0f x '<，即0x <和01x <<时，函数()f x 为减函数.若0a <，当()0f x '>，即0x <和01x <<时，函数()f x 为增函数；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 为减函数.（Ⅲ）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为最值问题. 当()0,x ∈+∞时，要使()f x =e 1x a x ⋅≥恒成立，即使e x xa ≥在()0,x ∈+∞时恒成立. 设()e xx g x =，易得max 1()(1)e g x g ==，从而1ea ≥. （Ⅰ）22e e e (1)()x x x ax a a x f x x x ⋅--'==,0x ≠. 当1a =时，2e (1)()x x f x x -'=.依题意(1)0f '=，即在1x =处切线的斜率为0.把1x =代入e ()xf x x=中，得(1)e f =.则曲线()f x 在1x =处切线的方程为e y =. .4分 （Ⅱ）函数()f x 的定义域为{}0x x ≠.22e e e (1)()x x x ax a a x f x x x ⋅--'==.（1）若0a >，当()0f x '>，即1x >时，函数()f x 为增函数；当()0f x '<，即0x <和01x <<时，函数()f x 为减函数. （2）若0a <，当()0f x '>，即0x <和01x <<时，函数()f x 为增函数；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 为减函数.综上所述，0a >时，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞；单调减区间为(),0-∞，()0,1. 0a <时, 函数()f x 的单调增区间为(),0-∞，()0,1;单调减区间为()1,+∞. .9分（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，要使()f x =e 1x a x⋅≥恒成立，即使e x x a ≥在()0,x ∈+∞时恒成立. 设()e x x g x =，则1()ex x g x -'=.可知在01x <<时，()0g x '>，()g x 为增函数； 1x >时，()0g x '<，()g x 为减函数.则max 1()(1)e g x g ==.从而1ea ≥. 另解：(1)当0a <时，()e 1a f a =<，所以()f x 1≥不恒成立.(2)当0a >且()0,x ∈+∞时，由（Ⅰ）知，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1.所以函数()f x 的最小值为(1)e f a =，依题意(1)e 1f a =≥，解得1ea ≥. 综上所述，1ea ≥． .13分 考点：利用导数求切线，利用导数求单调区间，利用导数求最值 19．已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l 10mx y ++=与椭圆C 交于,A B 两点，是否存在实数m ，使O A O B O A O B +=-成立？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）22143x y +=,（Ⅱ）不存在. 【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，关键利用待定系数法求出a,b. 由..及1a c -=，解得1c =，2a =．所以2223b a c =-=．所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=．（Ⅱ）存在性问题，一般从假设存在出发,建立等量关系，有解就存在，否则不存在. 条件22OA OB OA OB +=-的实质是垂直关系，即0OA OB ⋅=.所以12120x x y y +=．1212()()0x x kx m kx m +++=,221212(1)()0k x x km x x m ++++=把1y mx =--代入椭圆C:223412x y +=中，整理得22(34)880m x mx ++-=.整理得2512m =-，矛盾． （Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，半焦距为c . 依题意1,21.c e a a c ⎧==⎪⎨⎪-=⎩ 解得1c =，2a =，所以2223b a c =-=.所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=. .4分 （Ⅱ）不存在实数m ，使||||OA OB OA OB +=-，证明如下：把1y mx =--代入椭圆C:223412x y +=中，整理得22(34)880m x mx ++-=. 由于直线l 恒过椭圆内定点()0,1-，所以判别式0∆>.设1122(,),(,)A x y B x y ，则122843m x x m +=-+,122843x x m -⋅=+. 依题意，若||||OA OB OA OB +=-，平方得0OA OB ⋅=.即12121212(1)(1)0x x y y x x mx mx +=+--⋅--=,整理得21212(1)()10m x x m x x ++++=，所以2(1)m +2843m -+2281043m m -+=+, 整理得2512m =-，矛盾． 所以不存在实数m ，使||||OA OB OA OB +=-. .14分考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系20．已知函数()f x 对任意,x y ∈R 都满足()()()1f x y f x f y +=++，且1()02f =，数列{}n a 满足：()n a f n =，*n ∈N .（Ⅰ）求(0)f 及(1)f 的值;（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅲ）若311()()42n n a a n b +=-，试问数列{}n b 是否存在最大项和最小项？若存在，求出最大项和最小项；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）(0)1f =-,(1)1f =,（Ⅱ）21na n =-,（Ⅲ）当12t =，即1n =时，{}nb 的最大项为1316b =.当132t =，即3n =时，{}n b 的最小项为331024b =-.【解析】试题分析：（Ⅰ）对应抽象函数，一般方法为赋值法. 在()()()1f x y f x f y +=++中，取0x y ==，得(0)1f =-，在()()()1f x y f x f y +=++中，取12x y ==，得(1)1f =，（Ⅱ）在()()()1f x y f x f y +=++中，令x n =，1y =，得(1)()2f n f n +=+，即12n n a a +-=.所以{}n a 是等差数列，公差为2，又首项1(1)1a f ==，所以21n a n =-,*n ∈N .（Ⅲ）研究数列{}nb 是否存在最大项和最小项，关键看通项公式的特征.令2111()()22n a n t -==，则22111()816256n b t t t =-=--，显然102t <≤，又因为N n *∈，所以当12t =，即1n =时，{}n b 的最大项为1316b =.当132t =，即3n =时，{}n b 的最小项为331024b =-解：（Ⅰ）在()()()1f x y f x f y +=++中，取0x y ==，得(0)1f =-，在()()()1f x y f x f y +=++中，取12x y ==，得(1)1f =， 2分（Ⅱ）在()()()1f x y f x f y +=++中，令x n =，1y =，得(1)()2f n f n +=+，即12n n a a +-=. 所以{}n a 是等差数列，公差为2，又首项1(1)1a f ==，所以21n a n =-,*n ∈N . 6分（Ⅲ）数列{}n b 存在最大项和最小项令2111()()22na nt-==，则22111()816256nb t t t=-=--，显然12t<≤，又因为Nn*∈，所以当12t=，即1n=时，{}n b的最大项为1316b=.当132t=，即3n=时，{}n b的最小项为331024b=-. 13分考点：等差数列，赋值法研究抽象函数。
2014年高三上学期期末测试题(答案数学(文)
2014年高三上学期期末测试题（答案） 数学（文）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U={0，1，2，3，4），集合A={1，2，3），B={2，4}，则()U C A B 为 A.{1,2,4) B.{2,3,4) C.{0,2,4) D.{0,2,3,4) 2．设z ∈R ，则x=l 是21x =的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知函数log 3,0()2,0x x f x x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f =A.4 B ．14 C ．一4 D ．14- 4．设平面向量(1,2),(3,1)a b ==-，则2a b +=A B C .D.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n S n =-，则3a 等于 A ．-10 B ．6 C ．10 D ．14 6．函数ln x x y x=的图像可能是7．为了得到函数sin 2y x =的图象，只需把函数sin(2)6y x π=+的图象A. 向左平移6π个单位 B ．向左平移12π个单位C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移12π个单位8．已知两点(1,0),(1,3)A B -，向量(21,2)a k =-，若AB a ⊥ ，则实数k 的值为A. -2 B ．-l C ．1 D .2 9．已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为2的 正方形，主视图与左视图是边长为2的正三角形，则其表面积是（ ） A ．12 B ．8C ．4D ．4(110．设357log 6,log 10,log 14a b c ===，则 A. c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D. a>b>c11.在△ABC 中，若60,16A b ==，此三角形面积S =，则a 的值是A. B ．75 C ．51 D. 4912、已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为2，一个焦点与抛物线x y 162=的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．x y 23±=B ．x y 23±=C ．x y 33±=D ．x y 3±=二、填空题（本题共4小题，共1 6分） 13. 复数=-ii215_________________ 14．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2()2f x x x =-，则(1)f =_________. 15．在等比数列{}n a 中，若公比q=4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式n a =__________．16.对函数()sin f x x x =，现有下列命题： ①函数()f x 是偶函数；②函数()f x 的最小正周期是2π；③点(,0)π是函数()f x 的图象的一个对称中心；第9题图④函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减。
北京市朝阳区高三上学期期末数学试卷(文科)-含解析
高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知全集U=R，集合A={x|x＜1}，B={x|x﹣2＜0}，则（∁U A）∩B）=（）A．{x|x＞2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x＜2}D．{x|x≤2}2．复数=（）A．2﹣i B．2﹣2i C．1+i D．1﹣i3．已知非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式中一定成立的是（）A．a+b＞0 B．C．ab＜b2D．a3﹣b3＜04．已知平面向量=（1，0），=（﹣，），则与+的夹角为（）A．B．C． D．5．若a＞0，且a≠1，则“函数y=a x在R上是减函数”是“函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，M是双曲线上的一点，且|MF1|=，|MF2|=1，∠MF1F2=30°，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．或7．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（）A． B ． C ． D ．8．某校高三（1）班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是（ ） A ．23 B ．20 C ．21 D ．19二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 1=2，S 2=a 3，则a 2= ，S 10= ． 10．圆C ：x 2+y 2+2x ﹣2y ﹣2=0的圆心到直线3x +4y +14=0的距离是 ． 11．执行如图所示的程序框图，则输出S 的结果为 ．12．在△ABC 中，已知，则∠C= ．13．设D 为不等式组表示的平面区域，对于区域D 内除原点外的任一点A （x ，y ），则2x +y 的最大值是 ，的取值范围是 ．14．甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”．若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．已知函数f （x ）=2sinxcosx +2cos 2x ﹣1（Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）求f （x ）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 2=4，a 3+a 4=24．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b1=3，b2=6，且{b n﹣a n}是等差数列，求数列{b n}的前n项和．17．甲乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加了5次预赛成绩记录如下：甲82 82 79 95 87乙95 75 80 90 85（1）用茎叶图表示这两组数据；（2）从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率：（3）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．18．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD⊥平面ABEF，AF∥BE，AB⊥BE，AB=BE=2，AF=1．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求证：AC∥平面DEF；（Ⅲ）求三棱锥C﹣DEF的体积．19．在平面直角坐标系xOy中，动点P与两定点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率乘积为，记点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若曲线C上的两点M，N满足OM∥PA，ON∥PB，求证：△OMN的面积为定值．20．设函数f（x）=（x﹣1）e x+ax2，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点，试求a的取值范围；（III）设函数g（x）=lnx+x﹣e x+1，当a=0时，证明f（x）﹣g（x）≥0．高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知全集U=R，集合A={x|x＜1}，B={x|x﹣2＜0}，则（∁U A）∩B）=（）A．{x|x＞2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x＜2}D．{x|x≤2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x＜1}，B={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，∴∁U A={x|x≥1}，则（∁U A）∩B={x|1≤x＜2}，故选：C2．复数=（）A．2﹣i B．2﹣2i C．1+i D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：==1﹣i，故选：D．3．已知非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式中一定成立的是（）A．a+b＞0 B．C．ab＜b2D．a3﹣b3＜0【考点】不等式的基本性质．【分析】根据不等式的性质求解即可．【解答】解：对于A：∵a＜b，则a﹣b＜0，b﹣a＞0，∴A不对．对于B：∵a＜b，当a＜0＜b，则，∴B不对．对于C：∵a＜b，当a＜b＜0，则ab＞b2，∴C不对．对于D：∵a＜b，则a3＜b3，即a3﹣b3＜0，∴D对．故选D．4．已知平面向量=（1，0），=（﹣，），则与+的夹角为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用两个向量的数量积的定义，两个向量坐标形式的运算法则，求得cosθ=的值，可得θ的值．【解答】解：∵向量=（1，0），=（﹣，），∴+=（，），•（+）=（1，0）•（，）=，设与+的夹角为θ，则由cosθ===，可得θ=，故选：B ．5．若a ＞0，且a ≠1，则“函数y=a x 在R 上是减函数”是“函数y=（2﹣a ）x 3在R 上是增函数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据函数单调性之间的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：若函数y=a x 在R 上是减函数，则0＜a ＜1，此时2﹣a ＞0，则函数y=（2﹣a ）x 3在R 上是增函数成立，即充分性成立，若函数y=（2﹣a ）x 3在R 上是增函数，则2﹣a ＞0，即0＜a ＜2，则函数y=a x 在R 上不一定是减函数，即必要性不成立，即“函数y=a x 在R 上是减函数”是“函数y=（2﹣a ）x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件，故选：A ．6．已知双曲线（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别是F 1，F 2，M 是双曲线上的一点，且|MF 1|=，|MF 2|=1，∠MF 1F 2=30°，则该双曲线的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．或【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用正弦定理计算∠MF2F1=60°或120°，分类求出c的值，利用双曲线的定义计算a，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：∵M是双曲线上的一点，|MF1|=，|MF2|=1，∠MF1F2=30°，由正弦定理可得，=，即=，解得sin∠MF2F1=，∴∠MF2F1=60°或120°，当∠MF2F1=60°时，△MF2F1为直角三角形，此时2c=|F2F1|=2．即c=1，∵2a=|MF1|﹣MF2|=﹣1，即a=∴e==+1，当∠MF2F1=120°时，△MF2F1为直角三角形，此时2c=|F2F1|=|MF1|=1．即c=，∵2a=|MF1|﹣MF2|=﹣1，即a=，∴e===，故选：D．7．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的某四棱锥的三视图，画出几何体的直观图，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的某四棱锥的三视图，可得：该几何体的直观图如下图所示：其底面面积为：S=2×=，高h=，故体积V==，故选：C8．某校高三（1）班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是（）A．23 B．20 C．21 D．19【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】设这两项成绩均合格的人数为x，根据集合关系建立方程进行求解即可．【解答】解：设这两项成绩均合格的人数为x，则跳远合格掷实心球不合格的人数为26﹣x，则26﹣x+23+3=32，得x=20，即这两项成绩均合格的人数是20人，故选：B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n．若a1=2，S2=a3，则a2=4，S10=110．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=2，S2=a3，∴2a1+d=a1+2d，即2=d，∴a2=2+2=4．S10=10××2=110．故答案为：4，110．10．圆C：x2+y2+2x﹣2y﹣2=0的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是3．【考点】圆的一般方程；点到直线的距离公式．【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心的坐标，利用点到直线的距离公式即可求出圆心到已知直线的距离．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y﹣1）2=4，可得圆心坐标为（﹣1，1），则圆心到直线3x+4y+14=0的距离d==3．故答案为：311．执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为30．【考点】程序框图．【分析】根据程序框图进行模拟计算即可得到结论．【解答】解：第一次，i=1，满足条件，i＜6，i=1+2=3，S=6，第二次，i=3，满足条件，i＜6，i=3+2=5，S=6+10=16，第三次，i=5，满足条件，i＜6，i=5+2=7，S=16+14=30，第四次，i=7，不满足条件i＜6，程序终止，输出S=30，故答案为：3012．在△ABC中，已知，则∠C=105°．【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理可得角A，再运用三角形的内角和定理，计算即可得到C．【解答】解：由题意：已知，即b=a由正弦定理=，则有sinA=，∵0°＜A＜135°∴A=30°则C=180°﹣30°﹣45°=105°故答案为：105°13．设D为不等式组表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点A（x，y），则2x+y的最大值是，的取值范围是[﹣，0] ．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．判断的符号，利用构造法转化为函数的最值，结合可行域求出范围即可．【解答】解：先根据约束条件不等式组画出可行域：当直线2x+y=t过点A时，2x+y取得最大值，由，可得A（，）时，z最大是2×=，由约束条件x﹣y≤0，可知≤0，令z=，可得z2==1﹣，令t=，由可行域可得∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．求解的最小值，就是解z2的最大值，即1﹣的最大值，可知∈（﹣∞，﹣1]，显然=﹣1时，z2取得最大值2．所以z，的取值范围是[﹣，0）．故答案为：．[﹣，0）．14．甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”．若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是甲．【考点】进行简单的合情推理．【分析】这是一个简单的合情推理题，我们根据“四位歌手中只有一个人说的是真话”，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，则假设成立的方法解决问题．【解答】解：若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，不符合题意．若丙是获奖的歌手，则甲、丁都说真话，不符合题意若丁是获奖的歌手，则乙、丙都说真话，不符合题意．若甲是获奖的歌手，则甲、乙、丙都说假话，丁真话，符合题意．故答案为：甲三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．【分析】（Ⅰ）先逆用二倍角公式，然后逆用两角和的正弦公式化成正弦型函数的标准形式，利用周期公式T=求周期；（Ⅱ）根据正弦函数的最值结合定义域求函数y=2sin（2x+）最值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）∴T=．（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]∴﹣1≤2sin（2x+）≤2∴函数f（x）在区间[﹣，]上的最小值为﹣1，最大值为2．16．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a2=4，a3+a4=24．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b1=3，b2=6，且{b n﹣a n}是等差数列，求数列{b n}的前n项和．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）设正项等比数列{a n}的公比为q，由可求得q，从而可求得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）由b1=3，b2=6，且{b n﹣a n}是等差数列，可得数列{b n﹣a n}是首项为1，公差为d=1的等差数列，继而可得，利用分组求和法即可求得数列{b n}的前n项和．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，依题意q＞0．因为，两式相除得：q2+q﹣6=0，解得q=2，q=﹣3（舍去）．所以．所以数列{a n}的通项公式为．…（Ⅱ）解：由已知可得b1﹣a1=3﹣2=1，b2﹣a2=6﹣4=2，因为{b n﹣a n}为等差数列，所以数列{b n﹣a n}是首项为1，公差为d=1的等差数列．所以b n﹣a n=1+（n﹣1）=n．则．因此数列{b n}的前n项和：=（1+2+3+…+n）+（2+22+23+…+2n）=．…17．甲乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加了5次预赛成绩记录如下：甲82 82 79 95 87乙95 75 80 90 85（1）用茎叶图表示这两组数据；（2）从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率：（3）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．【考点】茎叶图；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）直接由题目给出的数据画出茎叶图；（2）求出甲乙两人的成绩中各随机抽取一个的基本事件个数，查出甲的成绩比乙高的个数，直接利用古典概型计算公式求解；（3）求出甲乙的平均数和方差即可得到答案．【解答】解：（1）茎叶图如图，（2）设甲被抽到的成绩鞥即为x，乙被抽到的成绩为y，则从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个的基本事件个数为5×5=25．其中甲的成绩比乙的成绩高的个数为（82，75），（82，80），（79，75），（87，75），（87，80），（87，85）（95，90），（95，75），（95，80），（95，85），（82，75），（82，80）共12个．所以从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个，甲的成绩比乙高的概率为；（3）派甲参赛比较合理．理由是．．==31.6．因为甲乙的平均数相同，甲的方差小于乙的方差，所以甲发挥稳定．18．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，平面ABCD ⊥平面ABEF ，AF ∥BE ，AB ⊥BE ，AB=BE=2，AF=1．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDE ； （Ⅱ）求证：AC ∥平面DEF ； （Ⅲ）求三棱锥C ﹣DEF 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 【分析】（Ⅰ）推导出BE ⊥AC ，AC ⊥BD ．由此能证明AC ⊥平面BDE ．（Ⅱ）设AC ∩BD=O ，设G 为DE 的中点，连结OG ，FG ，推导出四边形AOGF 为平行四边形，从而AO ∥FG ，即AC ∥FG ，由此能证明AC ∥平面DEF ．（Ⅲ）推导出点C 到平面DEF 的距离等于A 点到平面DEF 的距离，由V C ﹣DEF =V A ﹣DEF ，能求出三棱锥C ﹣DEF 的体积． 【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF=AB ，且AB ⊥BE ，所以BE ⊥平面ABCD ． 因为AC ⊂平面ABCD ，所以BE ⊥AC ．又因为四边形ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD ． 因为BD ∩BE=B ，所以AC ⊥平面BDE ．… （Ⅱ）设AC ∩BD=O ，因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 中点． 设G 为DE 的中点，连结OG ，FG ，则OG ∥BE ，且．由已知AF ∥BE ，且，则AF ∥OG ，且AF=OG ．所以四边形AOGF 为平行四边形． 所以AO ∥FG ，即AC ∥FG ．因为AC ⊄平面DEF ，FG ⊂平面DEF ， 所以AC ∥平面DEF ．…解：（Ⅲ）由（Ⅰ）可知BE ⊥平面ABCD ，因为AF ∥BE ，所以AF ⊥平面ABCD ，所以AF ⊥AB ，AF ⊥AD ． 又因为四边形ABCD 为正方形，所以AB ⊥AD ， 所以AD ⊥平面ABEF ．由（Ⅱ）可知，AC ∥平面DEF ，所以，点C 到平面DEF 的距离等于A 点到平面DEF 的距离， 所以 V C ﹣DEF =V A ﹣DEF ． 因为AB=AD=2AF=2． 所以=．故三棱锥C ﹣DEF 的体积为．…19．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 与两定点A （﹣2，0），B （2，0）连线的斜率乘积为，记点P 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）若曲线C 上的两点M ，N 满足OM ∥PA ，ON ∥PB ，求证：△OMN 的面积为定值． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设P （x ，y ），由题意可得k PA •k PB =﹣，运用直线的斜率公式，化简即可得到点P 的轨迹为曲线C ；（Ⅱ）设方程为y=kx +m ，由两点M ，N 满足OM ∥PA ，ON ∥PB 及（Ⅰ）得直线OM ，ON的斜率乘积为，可得到m、k的关系，再用弦长公式及距离公式，求出△OMN的底、高，表示：△OMN的面积即可．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），则，整理得（x≠±2）．…（Ⅱ）依题直线OM，ON的斜率乘积为．当直线MN的斜率不存在时，直线OM，ON的斜率为，设直线OM的方程是，由得，y=±1．取，则．所以△OMN的面积为．当直线MN的斜率存在时，设方程为y=kx+m．由得，（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣4=0．因为M，N在椭圆C上，所以△=16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣4）＞0，解得4k2﹣m2+2＞0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，；所以=．设点O到直线MN的距离为d，则．所以△OMN的面积为…①．因为OM∥PA，ON∥PB，直线OM，ON的斜率乘积为，所以．所以=．由，得2k2+1=m2…②．由①②，得．…20．设函数f（x）=（x﹣1）e x+ax2，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点，试求a的取值范围；（III）设函数g（x）=lnx+x﹣e x+1，当a=0时，证明f（x）﹣g（x）≥0．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），f（1），求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性结合函数的零点个数求出a的范围即可；（Ⅲ）当a=0时，f（x）﹣g（x）=（x﹣1）e x+e x﹣lnx﹣x﹣1．设h（x）=xe x﹣lnx﹣x﹣1，其定义域为（0，+∞），只需证明h（x）＞0即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）=xe x+x2，因为f'（x）=xe x+2x，所以f'（1）=e+2．又f（1）=1，则所求的切线方程为y﹣1=（e+2）（x﹣1）．化简得：y=（e+2）x﹣e﹣1．…（Ⅱ）因为f'（x）=x（e x+2a）①当a=0时，函数f（x）=（x﹣1）e x只有一个零点；②当a＞0，函数当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0；函数当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．又f（0）=﹣1，f（1）=a，因为x＜0，所以x﹣1＜0，e x＜1，所以e x（x﹣1）＞x﹣1，所以g（x）＞ax2+x﹣1取，显然x0＜0且g（x0）＞0所以f（0）f（1）＜0，f（x0）f（0）＜0．由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点．③当a＜0时，由f'（x）=x（e x+2a）=0，得x=0，或x=ln（﹣2a）．若，则ln（﹣2a）≤0．故当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，+∞）在单调递增，所以函数f（x）在（0，+∞）至多有一个零点．又当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＜0，所以函数f（x）在（﹣∞，0）上没有零点．所以函数f（x）不存在两个零点．若，则ln（﹣2a）＞0．当（ln（﹣2a），+∞）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（ln（﹣2a），+∞）上单调递增，所以函数f（x）在（ln（﹣2a），+∞）至多有一个零点．当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＞0；当x∈（0，ln（﹣2a））时，f'（x）＜0；所以函数f（x）在（﹣∞，0）上单增，（0，ln（﹣2a））上单调递减，所以函数f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））上的最大值为f（0）=﹣1＜0，所以函数f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））上没有零点．所以f（x）不存在两个零点．综上，a的取值范围是（0，+∞）．…（III）证明：当a=0时，f（x）﹣g（x）=（x﹣1）e x+e x﹣lnx﹣x﹣1．设h（x）=xe x﹣lnx﹣x﹣1，其定义域为（0，+∞），则证明h（x）＞0即可．因为，所以h'（0.1）＜0，h'（1）＞0．又因为，所以函数h'（x）在（0，+∞）上单调递增．所以h'（x）=0有唯一的实根x0∈（0，1），且．当0＜x＜x0时，h'（x）＜0；当x＞x0时，h'（x）＞0．所以函数h（x）的最小值为h（x0）．所以=1+x0﹣x0﹣1=0．所以f（x）﹣g（x）≥0．…。
北京市朝阳区高三上学期期末统一考试文科数学试卷
北京市旭日区高三上学期期末一致考试文科数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共40 分）一、选择题：本大题共8 小题，每题5 分，共40 分。
在每题给出的4 个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。
1. 设全集U={-2,-1,0,1,2}， A={-2,-1,0}，B={0,1,2}，则（UA ）∩ B=A.{0}B.{-2,-1}C.{1,2}D.{0,1,2}2. 不等式 |2x+1| ＞ 1 的解集是A ． {x|x ＜ -1 或 x ＞ 0＝ B.{x|-1 ＜ x ＜ 0 ＝ C.{x|x＜ 0 或 x ＞ 1＝D.{x|0 ＜x ＜1}3. 在△ ABC 中， A ＜B 是 cosA ＞ cosB 的A ．充足不用要条件 B.必需不充足条件C ．充要条件D.既不充足也不用要条件4．已知函数 f(x)=3 x-1 ，f(x) 的反函数为 y=f -1 (x) ，当 y ≥0 时， y=f -1 (x) 的图象 是5 ．在以下向量中，与向量 a=（1，- 3) 平行的单位向量是A ．（1，- 3)B.( 3 ,1)C.(3 , 1 )2 2D.(- 1,3)2 26. 以下函数中，最小正周期为π，且图象对于直线x= 对称的是3A ． y=sin(2x-)B.y=sin(2x-)C.y=sin(2x+)D.y=sin( x+366)2 67. 直线 y= 3 x 与双曲线 x 2 y 21(a ＞0,b ＞ ）的交点在实轴上的射影恰巧为双2a 2b 2曲的焦点，双曲的离心率A．2 B.2 C.22 D.48．在等差数列 {a n} 中， a1+a2+⋯+a50=200,a 51+a52+⋯ +a100=2700,a1等于A ． -1221 D.-20第Ⅱ卷（非，共 110 分）二、填空：本大共 6 小，每小 5 分，共 30 分。
将答案填写在中横上。
9．tan30 °的是 _______________________.10.在由正数成的等比数列 {a n} 中， a3=6,a 11=96, a7=_____________。
北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末考试数学(文史类)
北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末考试数学（文史类）一、选择题（共8小题；共40分）1. 设i为虚数单位，则复数z=1−i的模 z = ______A. 1B. 2C. 2D. 222. 已知全集U=R，若集合A=x x2−x<0，则∁U A= ______A. x x≤0,或x≥1B. x x<0,或x>1C. x0<x<1D. x x≥13. 一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为______A. 1B. 2C. 3D. 44. 执行如图所示的程序框图，则输出的i的值是______A. 3B. 4C. 5D. 65. 若a，b是两个非零的平面向量，则" a=b "是" a+b⋅ a−b=0 "的______A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 如图，塔AB的底部为点B，若C，D两点相距100 m并且与点B在同一水平线上，现从C，D两点测得塔顶A的仰角分别为45∘和30∘，则塔AB的高约为______（精确到0.1 m，≈1.73，2≈1.41）A. 36.5B. 115.6C. 120.5D. 136.57. 已知定义在R上的函数f x=x x +1,x<1,2x−2,x≥1,若直线y=a与函数f x的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是______A. 0,2B. 0,2C. 0,2D. 1,28. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为BC的中点，点N在四边形CDD1C1及其内部运动．若MN⊥A1C1，则N点的轨迹为______A. 线段B. 圆的一部分C. 椭圆的一部分D. 双曲线的一部分二、填空题（共6小题；共30分）9. 双曲线C：x24−y2=1的离心率是______；渐近线方程是______．10. 为了了解某厂职工家庭人均月收入情况，调查了该厂80户居民月收入频率分布如下表：按家庭人均月收入分组百元第一组10,16第二组16,22第三组22,28第四组28,34第五组34,40频率0.10.20.15a0.1则这80户居民中，家庭人均月收入在2800,3400元之间的有______ 户（用数字作答）；假设家庭人均月收入在第一组和第二组的为中低收入家庭，现从该厂全体职工家庭中随机抽取一个家庭，估计该家庭为中低收入家庭的概率是______．11. 已知圆C的圆心位于第二象限且在直线y=2x+1上，若圆C与两个坐标轴都相切，则圆C的标准方程是______．12. 某单位有职工共60人，为了开展社团活动，对全体职工进行问卷调查，其中喜欢体育运动的共28人，喜欢文艺活动的共26人，还有12人对体育运动和文艺活动都不喜欢，则喜欢体育运动但不喜欢文艺活动的人共有______人．13. 在平面直角坐标系中，若关于x，y的不等式组y≥0,y≤x,y≤k x−1表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是______．14. f x=a1cos2x+a2−1sin x cos x+3sin2x a12+a22≠0，无论x为何值，函数f x的图象总是一条直线，则a1+a2的值是______．三、解答题（共6小题；共78分）15. 某幼儿园有教师30人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下：本科研究生合计35岁以下52735∼50岁含35岁和50岁1732050岁以上213（1）从该幼儿园教师中随机抽取一人，求具有研究生学历的概率；（2）从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，求有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率．16. 已知平面向量a=sin x,cos x，b=sin x,−cos x，c=−cos x,−sin x，x∈R，函数f x=a⋅ b−c．（1）求函数f x的单调递减区间；（2）若fα2=22，求sinα的值．17. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD．点E是线段BD的中点，点F是线段PD上的动点．（1）若F是PD的中点，求证：EF∥平面PBC；（2）求证：CE⊥BF；（3）若AB=2，PD=3，当三棱锥P−BCF的体积等于43时，试判断点F在边PD上的位置，并说明理由．18. 已知公比为q的等比数列a n（n∈N∗）中，a2=2，前三项的和为7．（1）求数列a n的通项公式；（2）若0<q<1，设数列b n满足b n=a1⋅a2⋅⋯⋅a n（n∈N∗），求使得0<b n<1的n 的最小值．19. 已知函数f x=e x−a ln x，a∈R．（1）若x=1是f x的极值点，求a的值；（2）当a=e时，求证：f x≥e．20. 已知离心率为32的椭圆C:x2a2+y2b2=1（a>b>0）与直线x=2相交于P，Q两点（点P在x轴上方），且PQ =2．点A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点，且∠APQ=∠BPQ．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求四边形APBQ面积的取值范围．答案第一部分1. B2. A3. D4. B5. C6. D7. B8. A第二部分9. 52；y=±12x10. 28；0.311. x+132+ y−132=1912. 2213. k<014. 4第三部分15. （1）设：“从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历”为事件A，由题可知幼儿园总共有教师30人，其中“具有研究生学历”的共6人．则P A=630=15.答：从幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历的概率为15．（2）设幼儿园中35岁以下具有研究生学历的教师为A1，A2，35∼50岁（含35岁和50岁）具有研究生学历的教师为B1，B2，B3，50岁以上具有研究生学历的教师为C，从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，所有可能结果有15个，它们是：A1,A2，A1,B1，A1,B2，A1,B3，A1,C，A2,B1，A2,B2，A2,B3，A2,C，B1,B2，B1,B3，B1,C，B2,B3，B2,C，B3,C．记“从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生”为事件D，则D中的结果共有12个，它们是：A1,A2，A1,B1，A1,B2，A1,B3，A1,C，A2,B1，A2,B2，A2,B3，A2,C，B1,C，B2,C，B3,C，故所求概率为P D=1215=45．答：从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率为45．16. （1）因为a=sin x,cos x，b=sin x,−cos x，c=−cos x,−sin x，所以 b−c=sin x+cos x,sin x−cos x，f x=a⋅ b−c=sin x sin x+cos x+cos x sin x−cos x．则f x=sin2x+2sin x cos x−cos2x=sin2x−cos2x=2sin2x−π4．则当2kπ+π2≤2x−π4≤2kπ+3π2时，即kπ+3π8≤x≤kπ+7π8时，函数f x为减函数，k∈Z．所以函数f x的单调递减区间是 kπ+3π8,kπ+7π8，k∈Z．（2）由（1）知，f x=2x−π4，又fα2=22，则2sin α−π4=22，sin α−π4=12．因为sin2 α−π4+cos2 α−π4=1，所以cos α−π4=±32．sinα=sin α−π4+π4=sin α−π4cosπ4+cos α−π4sinπ4．所以当cos α−π4=32时，sinα=12×22+32×22=6+24；当cos α−π4=−32时，sinα=12×22+ −32×22=2−64．17. （1）在△PDB中，因为点E是BD中点，点F是PD中点，所以EF∥PB．又因为EF⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC．（2）因为PD⊥平面ABCD，且CE⊂平面ABCD，所以PD⊥CE．又因为底面ABCD是正方形，且点E是BD的中点，所以CE⊥BD．因为BD∩PD=D，所以CE⊥平面PBD，而BF⊂平面PCD，所以CE⊥平面BF．（3）点F为边PD上靠近D点的三等分点．说明如下：由（Ⅱ）可知，CE⊥平面PBF．又因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD．设PF=x，由AB=2得BD=22，CE=2，所以V P−BCF=V C−BPF=1×1×PF×BD×CE=16×22×2x=2 3 x.由已知23x=43，所以x=2．因为PD=3，所以点F为边PD上靠近D点的三等分点．18. （1）由已知得a2=2,a1+a2+a3=7,解得q=2，a1=1或q=12，a1=4．则数列a n的通项公式为a n=2n−1或a n=12n−3，n∈N∗．（2）因为0<q<1，所以a n=12n−3，n∈N∗．b n=a1⋅a2⋅⋯⋅a n=12−2−1+0+⋯+n−3=12n n−5，n∈N∗．由0<b n<1，即0<12n n−52<1，即n n−52>0，即n>5，则使0<b n<1的最小的n的值为6．19. （1）函数f x的定义域为0,+∞．因为fʹx=e x−ax，又x=1是f x的极值点，所以fʹ1=e−a=0，解得a=e．经检验，x=1是f x的极值点，所以a的值为e．（2）方法一：当a=e时，f x=e x−eln x．所以fʹx=e x−ex =x e x−ex．若0<x<1，则1<e x<e，所以x e x<e，所以x e x−e<0．所以函数f x在0,1单调递减．若x>1，则e x>e，所以x e x>e，所以x e x−e>0．所以函数f x在1,+∞单调递增．所以当x=1时，f x min=f1=e．（x→0时，e x−eln x→+∞；x→+∞时，e x−eln x→+∞．）所以f x≥e．方法二当a=e时，f x=e x−eln x．所以fʹx=e x−ex =x e x−ex．设g x=x e x−e，则gʹx=e x x+1，所以g x在0,+∞单调递增．又g1=0，所以当x∈0,1时，g x<0，即fʹx<0，所以f x在0,1单调递减；当x∈1,+∞时，g x>0，即fʹx>0，所以f x在1,+∞单调递增．（接下来表述同解法1相应内容）所以f x≥e．20. （1）由已知得e=32，则ba=12，设椭圆方程为x24b2+y2b2=1b>0,由题意可知点P2,1在椭圆上，所以44b2+1b2=1，解得b2=2.故椭圆C的标准方程为x28+y22=1．（2）由题意可知，直线PA，直线PB的斜率都存在且不等于0．因为∠APQ=∠BPQ，所以k PA=−k PB．设直线PA的斜率为k，则直线PA:y−1=k x−2k≠0．由x2+4y2=8,y=kx+1−2k得1+4k2x2+8k1−2k x+16k2−16k−4=0 ⋯⋯①依题意，方程①有两个不相等的实数根，即根的判别式Δ>0成立．即Δ=64k21−2k2−41+4k216k2−16k−4>0，化简得162k+12>0，解得k≠−12.因为2是方程①的一个解，所以2⋅x A=16k2−16k−41+4k2．所以x A=8k2−8k−21+4k．当方程①的判别式Δ=0时，k=−12，此时直线PA与椭圆相切．由题意，可知直线PB的方程为y−1=−k x−2．同理，易得x B=8−k2−8−k−21+4−k =8k2+8k−21+4k．由于点A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点，∠APQ=∠BPQ，且能存在四边形APBQ，则直线PA的斜率k需满足 k >12．设四边形APBQ面积为S，则S=S△APQ+S△BPQ=12PQ ⋅2−x A+12PQ ⋅x B−2=12PQ ⋅x B−x A=8k2−8k−21+4k−8k2+8k−21+4k=16k1+4k2.由于 k >12，故S=16 k1+4k2=161k+4 k．当 k >12时，1k+4 k >4，即0<11+4 k<14，即0<S<4．（此处另解：设t= k ，讨论函数f t=1t +4t在t∈12,+∞ 时的取值范围．fʹt=4−1t2=4t2−1t2，则当t>12时，fʹt>0，f t单调递增．则当t>12时，f t∈4,+∞，即S∈0,4．）所以四边形APBQ面积S的取值范围是0,4．。
2014年辽宁省高考数学试卷真题及答案(文科)
2014年辽宁省高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α5．（5分）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）6．（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣πD．8﹣2π8．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（）A．﹣ B．﹣1 C．﹣ D．﹣9．（5分）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{2}为递减数列，则（）A．d＞0 B．d＜0 C．a1d＞0 D．a1d＜010．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=，则不等式f（x﹣1）≤的解集为（）A．[，]∪[，]B．[﹣，﹣]∪[，]C．[，]∪[，]D．[﹣，﹣]∪[，]11．（5分）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增12．（5分）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3]二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）执行如图的程序框图，若输入n=3，则输出T=．14．（5分）已知x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+4y的最大值为．15．（5分）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=．16．（5分）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，++的最小值为．三、解答题17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．18．（12分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：X2=P（x2＞k）0.1000.0500.010k 2.7063.8416.63519．（12分）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCG；（Ⅱ）求三棱锥D﹣BCG的体积．附：锥体的体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高．20．（12分）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）．（Ⅰ）求点P的坐标；（Ⅱ）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y=x+交于A、B两点，若△PAB的面积为2，求C的标准方程．21．（12分）已知函数f（x）=π（x﹣cosx）﹣2sinx﹣2，g（x）=（x﹣π）+﹣1．证明：（Ⅰ）存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；（Ⅱ）存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，且对（Ⅰ）中的x0，有x0+x1＞π．四、选考题，请考生在22-24三题中任选一题作答，多做则按所做的第一题给分选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED．选修4-4：坐标系与参数方程23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．2014年辽宁省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•辽宁）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A ∪B）=（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}【分析】先求A∪B，再根据补集的定义求C U（A∪B）．【解答】解：A∪B={x|x≥1或x≤0}，∴C U（A∪B）={x|0＜x＜1}，故选：D．【点评】本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法．2．（5分）（2014•辽宁）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z可求．【解答】解：由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得：，∴z=2+3i．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．3．（5分）（2014•辽宁）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c ＞1，则答案可求．【解答】解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：D．【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．4．（5分）（2014•辽宁）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【分析】A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选B．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．5．（5分）（2014•辽宁）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）【分析】根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．【解答】解：若•=0，•=0，则•=•，即（﹣）•=0，则•=0不一定成立，故命题p为假命题，若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题，故选：A．【点评】本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假是解决本题的关键．6．（5分）（2014•辽宁）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论．【解答】解：∵AB=2，BC=1，∴长方体的ABCD的面积S=1×2=2，圆的半径r=1，半圆的面积S=，则由几何槪型的概率公式可得质点落在以AB为直径的半圆内的概率是，故选：B．【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的图形的面积是解决本题的关键，比较基础．7．（5分）（2014•辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣πD．8﹣2π【分析】几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π．故选：C．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．8．（5分）（2014•辽宁）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（）A．﹣ B．﹣1 C．﹣ D．﹣【分析】利用点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，确定焦点F的坐标，即可求出直线AF的斜率．【解答】解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，∴﹣=﹣2，∴F（2，0），∴直线AF的斜率为=﹣．故选：C．【点评】本题考查抛物线的性质，考查直线斜率的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．9．（5分）（2014•辽宁）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{2}为递减数列，则（）A．d＞0 B．d＜0 C．a1d＞0 D．a1d＜0【分析】由数列递减可得＜1，由指数函数的性质和等差数列的通项公式化简可得．【解答】解：∵数列{2}为递减数列，∴＜1，即＜1，∴＜1，∴a1（a n+1﹣a n）=a1d＜0故选：D【点评】本题考查等差数列的性质和指数函数的性质，属中档题．10．（5分）（2014•辽宁）已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=，则不等式f（x﹣1）≤的解集为（）A．[，]∪[，]B．[﹣，﹣]∪[，]C．[，]∪[，]D．[﹣，﹣]∪[，]【分析】先求出当x≥0时，不等式f（x）≤的解，然后利用函数的奇偶性求出整个定义域上f（x）≤的解，即可得到结论．【解答】解：当x∈[0，]，由f（x）=，即cosπx=，则πx=，即x=，当x＞时，由f（x）=，得2x﹣1=，解得x=，则当x≥0时，不等式f（x）≤的解为≤x≤，（如图）则由f（x）为偶函数，∴当x＜0时，不等式f（x）≤的解为﹣≤x≤﹣，即不等式f（x）≤的解为≤x≤或﹣≤x≤﹣，则由≤x﹣1≤或﹣≤x﹣1≤﹣，解得≤x≤或≤x≤，即不等式f（x﹣1）≤的解集为{x|≤x≤或≤x≤}，故选：A．【点评】本题主要考查不等式的解法，利用分段函数的不等式求出x≥0时，不等式f（x）≤的解是解决本题的关键．11．（5分）（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增【分析】直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．【解答】解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．即y=3sin（2x﹣）．当函数递增时，由，得．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：B．【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．12．（5分）（2014•辽宁）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3]【分析】分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．【解答】解：当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，令f（x）=，则f′（x）==﹣（*），当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤，由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．故选：C．【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（2014•辽宁）执行如图的程序框图，若输入n=3，则输出T=20．【分析】算法的功能是求T=1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+3+…+i）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出的T值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求T=1+（1+2）+（1+2+3）+...+（1+2+3+ (i)的值，当输入n=3时，跳出循环的i值为4，∴输出T=1+3+6++10=20．故答案为：20．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．14．（5分）（2014•辽宁）已知x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+4y的最大值为18．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，∴C（2，3）．化目标函数z=3x+4y为直线方程的斜截式，得：．由图可知，当直线过点C时，直线在y轴上的截距最大，即z最大．∴z max=3×2+4×3=18．故答案为：18．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）（2014•辽宁）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|= 12．【分析】画出图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，即可求出|AN|+|BN|的值．【解答】解：如图：MN的中点为Q，易得，，∵Q在椭圆C上，∴|QF1|+|QF2|=2a=6，∴|AN|+|BN|=12．故答案为：12．【点评】本题考查椭圆的定义，椭圆的基本性质的应用，是对基本知识的考查．16．（5分）（2014•辽宁）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，++的最小值为﹣1．【分析】首先把：4a2﹣2ab+b2﹣c=0，转化为=，再由柯西不等式得到|2a+b|2，分别用b表示a，c，在代入到++得到关于b的二次函数，求出最小值即可．【解答】解：∵4a2﹣2ab+b2﹣c=0，∴=由柯西不等式得，[][]≥[2（a﹣）+×2]2=|2a+b|2故当|2a+b|最大时，有∴，c=b2∴++==当b=﹣2时，取得最小值为﹣1．故答案为：﹣1【点评】本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于难题．三、解答题17．（12分）（2014•辽宁）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．【分析】（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简•=2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，联立即可求出ac的值；（Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（Ⅰ）∵•=2，cosB=，∴c•acos B=2，即ac=6①，∵b=3，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，∴a2+c2=13②，联立①②得：a=3，c=2；（Ⅱ）在△ABC中，sinB===，由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，∵a=b＞c，∴C为锐角，∴cosC===，则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．18．（12分）（2014•辽宁）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：X2=P（x2＞k）0.1000.0500.010k 2.7063.8416.635【分析】（Ⅰ）根据表中数据，利用公式，即可得出结论；（Ⅱ）利用古典概型概率公式，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意，X2=≈4.762＞3.841，∴有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）从这5名学生中随机抽取3人，共有=10种情况，有2名喜欢甜品，有=3种情况，∴至多有1人喜欢甜品的概率．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查古典概型及其概率计算公式，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（12分）（2014•辽宁）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCG；（Ⅱ）求三棱锥D﹣BCG的体积．附：锥体的体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高．【分析】（Ⅰ）先证明AD⊥平面BGC，利用EF∥AD，可得EF⊥平面BCG；（Ⅱ）在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于O，G到平面BCD的距离h=V G﹣BCD=，即可求三棱锥D﹣BCG的体是AO长度的一半，利用V D﹣BCG积．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，∴△ABC≌△DBC，∴AC=DC，∵G为AD的中点，∴CG⊥AD．同理BG⊥AD，∵CG∩BG=G，∴AD⊥平面BGC，∵EF∥AD，∴EF⊥平面BCG；（Ⅱ）解：在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于O，∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，∴AO⊥平面BCD，∵G为AD的中点，∴G到平面BCD的距离h是AO长度的一半．在△AOB中，AO=ABsin60°=，=V G﹣BCD==×=．∴V D﹣BCG【点评】本题考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，正确转换底面是关键．20．（12分）（2014•辽宁）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）．（Ⅰ）求点P的坐标；（Ⅱ）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y=x+交于A、B两点，若△PAB的面积为2，求C的标准方程．【分析】（Ⅰ）设切点P的坐标为（x0，y0），求得圆的切线方程，根据切线与x 轴正半轴，y轴正半轴围成的三角形的面积S=．再利用基本不等式求得S 取得最小值，求得点P的坐标．（Ⅱ）设椭圆的标准方程为+=1，a＞b＞0，则+=1．把直线方程和椭圆的方程联立方程组，转化为关于x的一元二次方程，利用韦达定理、弦长公式求出弦长AB以及点P到直线的距离d，再由△PAB的面积为S=•AB•d=2，求出a2、b2的值，从而得到所求椭圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设切点P的坐标为（x0，y0），且x0＞0，y0＞0．则切线的斜率为﹣，故切线方程为y﹣y0=﹣（x﹣x0），即x0x+y0y=4．此时，切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成的三角形的面积S=••=．再根据+=4≥2x0•y0，可得当且仅当x0=y0=时，x0•y0取得最大值为2，即S取得最小值为=4，故此时，点P的坐标为（，）．（Ⅱ）设椭圆的标准方程为+=1，a＞b＞0，∵椭圆C过点P，∴+=1．由求得b2x2+4x+6﹣2b2=0，∴x1+x2=﹣，x1•x2=．由y1=x1+，y2=x2+，可得AB=|x2﹣x1|=•=•=．由于点P（，）到直线l：y=x+的距离d=，△PAB的面积为S=•AB•d=2，可得b4﹣9b2+18=0，解得b2=3，或b2=6，当b2=6 时，由+=1求得a2=3，不满足题意；当b2=3时，由+=1求得a2=6，满足题意，故所求的椭圆的标准方程为+=1．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直线和圆锥曲线的位置关系，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于难题．21．（12分）（2014•辽宁）已知函数f（x）=π（x﹣cosx）﹣2sinx﹣2，g（x）=（x﹣π）+﹣1．证明：（Ⅰ）存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；（Ⅱ）存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，且对（Ⅰ）中的x0，有x0+x1＞π．【分析】（Ⅰ）导数法可判f（x）在（0，）上为增函数，又可判函数有零点，故必唯一；（Ⅱ）化简可得g（x）=（π﹣x）+﹣1，换元法，令t=π﹣x，记u（t）=g（π﹣t）=﹣﹣t+1，t∈[0，]，由导数法可得函数的零点，可得不等式．【解答】解：（Ⅰ）当x∈（0，）时，f′（x）=π+πsinx﹣2cosx＞0，∴f（x）在（0，）上为增函数，又f（0）=﹣π﹣2＜0，f（）=﹣4＞0，∴存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；（Ⅱ）当x∈[，π]时，化简可得g（x）=（x﹣π）+﹣1=（π﹣x）+﹣1，令t=π﹣x，记u（t）=g（π﹣t）=﹣﹣t+1，t∈[0，]，求导数可得u′（t）=，由（Ⅰ）得，当t∈（0，x0）时，u′（t）＜0，当t∈（x0，）时，u′（t）＞0，∴函数u（t）在（x0，）上为增函数，由u（）=0知，当t∈[x0，）时，u（t）＜0，∴函数u（t）在[x0，）上无零点；函数u（t）在（0，x0）上为减函数，由u（0）=1及u（x0）＜0知存在唯一t0∈（0，x0），使u（t0）=0，于是存在唯一t0∈（0，），使u（t0）=0，设x1=π﹣t0∈（，π），则g（x1）=g（π﹣t0）=u（t0）=0，∴存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，∵x1=π﹣t0，t0＜x0，∴x0+x1＞π【点评】本题考查零点的判定定理，涉及导数法证明函数的单调性，属中档题．四、选考题，请考生在22-24三题中任选一题作答，多做则按所做的第一题给分选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2014•辽宁）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE 上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED．【分析】（Ⅰ）证明AB为圆的直径，只需证明∠BDA=90°；（Ⅱ）证明Rt△BDA≌Rt△ACB，再证明∠DCE为直角，即可证明AB=ED．【解答】证明：（Ⅰ）∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，∵PD为切线，∴∠PDA=∠DBA，∵∠PGD=∠EGA，∴∠DBA=∠EGA，∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，∴∠BDA=∠PFA，∵AF⊥EP，∴∠PFA=90°．∴∠BDA=90°，∴AB为圆的直径；（Ⅱ）连接BC，DC，则∵AB为圆的直径，∴∠BDA=∠ACB=90°，在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，∴Rt△BDA≌Rt△ACB，∴∠DAB=∠CBA，∵∠DCB=∠DAB，∴∠DCB=∠CBA，∴DC∥AB，∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∴∠DCE为直角，∴ED为圆的直径，∵AB为圆的直径，∴AB=ED．【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形全等的证明，考查直径所对的圆周角为直角，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2014•辽宁）将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），再根据点（x，）在圆x2+y2=1上，求出C的方程，化为参数方程．（Ⅱ）解方程组求得P1、P2的坐标，可得线段P1P2的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程．【解答】解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，∴x2+=1，即曲线C的方程为x2+=1，化为参数方程为（0≤θ＜2π，θ为参数）．（Ⅱ）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为（，1），再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x﹣2y+=0．再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0，即ρ=．【点评】本题主要考查求点的轨迹方程的方法，极坐标和直角坐标的互化，用点斜式求直线的方程，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．（2014•辽宁）设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．【分析】（Ⅰ）由所给的不等式可得①，或②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由g（x）≤4，求得N，可得M∩N=[0，]．当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，不等式的左边化为﹣，显然它小于或等于，要证的不等式得证．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得①，或②．解①求得1≤x≤，解②求得0≤x＜1．综上，原不等式的解集为[0，]．（Ⅱ）证明：由g（x）=16x2﹣8x+1≤4，求得﹣≤x≤，∴N=[﹣，]，∴M∩N=[0，]．∵当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，∴x2f（x）+x[f（x）]2 =xf（x）[x+f（x）]=﹣≤，故要证的不等式成立．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题．。
北京市朝阳区2014届高三第一次综合练习 数学文试题 Word版含答案
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（文史类）2014.3（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合|03}A x x =∈<<N ｛,1|21}x B x -=>｛,则A B = （A ）∅ （B ）{}1 （C ）{}2 （D ）{}1,2 （2）已知i 为虚数单位,复数2i1i-的值是 （A ）1i -- （B ）1i + （C ）1i -+ （D ）1i -（3）若,x y 满足约束条件,1,33,x y y x x y +⎧⎪+⎨⎪+⎩≤3≤≥则函数2z x y =-的最大值是（A ）1- （B ）0 （C ）3 （D ）6 （4）在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中,甲、乙两位队员各跳一次．设命题p 是“甲落地站稳”,q 是“乙落地站稳”,则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为 （A ）p q ∨ （B ）()p q ∨⌝ （C ）()()p q ⌝∧⌝ （D ）()()p q ⌝∨⌝（5）执行如右图所示的程序框图，则输出S 的值是 （ ）（A ）10 （B ）17 （C ）26 （D ）28（6）函数2sin ()1xf x x =+的图象大致为（A ）（B ）（C ） （D ）（7）已知AB 和AC是平面内两个单位向量，它们的夹角为60，则2AB AC - 与CA 的夹角是 （A ）30（B ）60（C ）90（D ）120（8）如图，梯形ABCD 中，AD BC ,1AD AB ==,AD AB ⊥,45BCD ∠=,将ABD ∆沿对角线BD 折起．设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD .给出下面四个命题：①A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-； ③CD ⊥平面A BD '；④平面A BC '⊥平面A DC '.其中正确命题的序号是 （A ）①② （B ）③④ （C ）①③ （D ）②④CBA第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.（9）抛物线28y x =的准线方程是 .（10）在一次选秀比赛中，五位评委为一位表演者打分，若去掉一个最低分后平均分为90分，去掉一个最高分后平均分为86分.那么最高分比最低分高 分.（11）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边．已知4b =,2c =,60A ∠=，则a = ；C ∠= .（12）一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ；表面积为 ．（13）已知直线y x m =+与曲线224x y +=交于不同的两点,A B，若||AB ≥数m 的取值范围是 .（14）将1，2，3，…，9这9个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上．现在第一张卡片上已经写有1和5，第二张卡片上写有2，第三张卡片上写有3，则6应该写在第 张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是 ．俯视图三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分）已知函数()2sin cos f x x x x =. （Ⅰ）求(0)f 的值及函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）求函数()x f 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．（16）（本小题满分13分）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为15． （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率． （17）（本题满分14分）在四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，O 为11AC 与11B D 交点，已知11AA AB ==,60BAD ∠=.（Ⅰ）求证：11AC ⊥平面11B BDD ； （Ⅱ）求证：AO ∥平面1BC D ；（Ⅲ）设点M 在1BC D ∆内（含边界）,且OM ⊥11B D ，说明满足条件的点M 的轨迹，并求OM 的最小值.（18）（本小题满分13分）设函数()ln f x x =，()1g x ax =+，a ∈R ，记()()()F x f x g x =-. （Ⅰ）求曲线()y f x =在e x =处的切线方程； （Ⅱ）求函数()F x 的单调区间；（Ⅲ）当0a >时，若函数()F x 没有零点，求a 的取值范围.（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点，一个焦点为．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线(1)(0)y k x k =-≠与x 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，求||||AB PQ 的取值范围．（20）（本小题满分13分）已知{}n a 是公差不等于0的等差数列，{}n b 是等比数列(N )n *∈，且110a b =>. （Ⅰ）若33a b =,比较2a 与2b 的大小关系； （Ⅱ）若2244,a b a b ==.（ⅰ）判断10b 是否为数列{}n a 中的某一项，并请说明理由；（ⅱ）若m b 是数列{}n a 中的某一项，写出正整数m 的集合（不必说明理由）.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（文史类）2014.3三、解答题15. 解：（Ⅰ）因为π()sin 222sin(2)3f x x x x ==-所以，(0)f =由πππ2π22π232k x k -+-+≤≤,k ∈Z ， 得π5πππ1212k x k -++≤≤，k ∈Z 所以)(x f 的单调递增区间是π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . ……………………8分 （Ⅱ）因为π0,2x ≤≤所以ππ2π2333x --≤≤.所以，当ππ233x -=-，即0x =时，()f x 取得最小值当ππ232x -=即5π12x =时，()f x 取得最大值2. ……………………13分16. 解：（I ）由题意可知，逻辑思维能力优秀的学生共有(2)a +人． 设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，逻辑思维能力优秀的学生， 则21()205a P A +==． 解得 2a =．所以4b =． ……………………………………………………5分 （Ⅱ）由题意可知，运动协调能力为优秀的学生共有6位，分别记为123456,,,,,M M M M M M ．其中5M 和6M 为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生. 从中任意抽取2位，可表示为1213141516,,,,M M M M M M M M M M ,2324,,M M M M2526,M M M M ,343536,,M M M M M M ,454656,,M M M M M M ，共15种可能．设事件B ：从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生．事件B 包括1516,M M M M ,2526,M M M M ,3536,M M M M ,454656,,M M M M M M ，共9种可能．所以93()155P B ==． 所以至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为35． ……………………………13分 17. 解：（Ⅰ）依题意, 因为四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AA ⊥底面ABCD ， 所以1BB ⊥底面1111A B C D .又11AC ⊂底面1111A B C D , 所以1BB ⊥11AC . 因为1111A B C D 为菱形，所以1111AC B D ⊥.而1111BB B D B = ， 所以11AC ⊥平面11B BDD . ………………4分 （Ⅱ）连接AC ,交BD 于点E ，连接1C E .依题意，1AA ∥1CC , 且11AA CC =，1AA AC ⊥, 所以11A ACC 为矩形. 所以1OC ∥AE .又11112OC AC =,12AE AC =,11AC AC =, 所以1OC =AE ，所以1AOC E 为平行四边形， 则AO ∥1C E .又AO ⊄平面1BC D ，1C E ⊂平面1BC D ,所以AO ∥平面1BC D . ……………………………………………………………9分 （Ⅲ）在1BC D ∆内，满足OM ⊥11B D 的点M 的轨迹是线段1C E ，包括端点.分析如下：连接OE ，则BD OE ⊥.由于BD ∥11B D ,故欲使OM ⊥11B D ，只需OM BD ⊥,从而需ME BD ⊥. 又在1BC D ∆中，11C D C B =,又E 为BD 中点，所以BD ⊥1C E . 故M 点一定在线段1C E 上. 当1OM C E ⊥时，OM 取最小值. 在直角三角形1OC E 中，1OE =,12OC =,12C E =,所以1min 1OC OE OM C E ⋅==…………………………………………………………………14分 18.解：(I)1()f x x '=，则函数()f x 在e x =处的切线的斜率为1ek =.又(e)1f =，所以函数()f x 在e x =处的切线方程为11(e)e y x -=-,即1e y x = ………………4分（Ⅱ）()ln 1F x x ax =--， 11()axF x a x x-'=-=，（0x >）.①当0a ≤时，()0F x '>，()F x 在区间(0,)+∞上单调递增； ②当0a >时，令()0F x '<，解得1x a >；令()0F x '>，解得10x a<<. 综上所述，当0a ≤时，函数()F x 的增区间是(0,)+∞；当0a >时，函数()F x 的增区间是1(0,)a ，减区间是1(,)a+∞. ………………9分（Ⅲ）依题意，函数()F x 没有零点，即()ln 10F x x ax =--=无解.由（Ⅱ）知，当0a >时，函数()F x 在区间1(0,)a 上为增函数,区间1(,)a+∞上为减函数，由于(1)10F a =--<，只需111()ln 1ln 20F a a a a a=-⋅-=--<，解得2e a ->.所以实数a 的取值范围为21(,)e +∞. …………………………………………………13分 19. 解：（Ⅰ）由题意得2222=3,131,4a b a b⎧-⎪⎨+=⎪⎩解得=2a ，1b =． 所以椭圆C 的方程是2214x y +=． ……………………………………4分 （Ⅱ）由22(1),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k-=+， 121222(2)14k y y k x x k -+=+-=+．所以线段AB 的中点坐标为2224(,)1414k kk k -++， 所以线段AB 的垂直平分线方程为22214()1414k k y x k k k--=--++． 于是，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点Q 223(,0)14k k+，又点(1,0)P ， 所以22223111414k k PQ k k+=-=++．又AB ==．于是，22||141||14AB k k PQ k +==++ 因为0k ≠，所以221331k <-<+． 所以||||AB PQ的取值范围为． ………………………………14分20. 解：记{}n a 的11a b a ==，{}n a 公差为d ，{}n b 公比为q ，由0d ≠，得1q ≠ （Ⅰ）2310b b q =>，1313222a ab b a ++==，2213b bb =，2b =当2b =22a b >；当2b =时，由平均值不等式132b b +，当且仅当13b b =时取等号，而13b b ≠，所以132b b +>即22a b >. 综上所述，22a b >．………………………………………………………5分（Ⅱ）（ⅰ）因为2244,a b a b ==，所以3,3,a d aq a d aq +=+=得313(1),q q -=-所以213,1q q q ++==或2q =-.因为1q ≠，所以2q =-，(1)3d a q a =-=-.令10k a b =，即911(1)a k d b q +-=，93(1)(2)a k a a --=-，172k =，所以10b 是{}n a 中的一项.（ⅱ）假设m k b a =，则111(1)m a k d b q-+-=，13(1)(2)m a k a a ---=-，143(2)m k --=-当1,m =或2m n =，（n *∈N ）时，k *∈N . 正整数m 的集合是{}12m m =m =n,n *∈N 或. …………………………13分。
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北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文史类） 2014.1（考试时间120分钟 满分150分）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{}2log 0A x x =≥,集合{}01B x x =<<,则A B =A.}{0x x >B. }{1x x >C. }{011x x x <<>或 D. ∅ 2.为了得到函数22y x =-的图象，可以把函数2y x =的图象上所有的点 A. 向右平行移动2个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C. 向左平行移动2个单位长度 D. 向左平行移动1个单位长度3. 执行如图所示的程序框图，输出的k 值为A. 6B. 24C. 120D.7204.已知函数2,0,()0,xx f x x ⎧≥⎪=<则2a =是()4f a =成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 若实数,x y 满足3200x y x y x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z y x =-的最小值为A. 0B. 1C. 2D. 3 6. 已知π02α<<，且4cos 5α=，则πtan()4α+等于 A. 7- B. 1- C. 34D. 77. 若双曲线C ：222(0)x y m m -=>与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，且AB =m 的值是A. 116B. 80C. 52D. 208. 函数2()3f x x x =-的图象为曲线1C ，函数2()4g x x =-的图象为曲线2C ，过x 轴上的动点(,0)(03)M a a ≤≤作垂直于x 轴的直线分别交曲线1C ，2C 于,A B 两点，则线段AB 长度的最大值为A ．2B ．4C ． 5D ．418第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9.已知数列{}n a 为等差数列，若1358a a a ++=，24620a a a ++=，则公差d = ． 10.已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ；表面积是 .11. 某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图（如图所示），那么这100名学生中阅读时间在[4,8)小时内的人数为_____．12.直线l：360x y --=被圆:C ()221(2)5x y -+-=截得的弦AB 的长是.俯视图侧视图正视图0.040.05 0.1213.在△ABC 中， ︒=∠120A ，1AB AC ⋅=- ，则A B A C =；||BC的最小值是 .14.用一个平面去截正方体，有可能截得的是以下平面图形中的 .（写出满足条件的图形序号）（1）正三角形 （2）梯形 （3）直角三角形 （4）矩形三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本题满分13分）已知函数22()3sin 2sin cos cos 2f x x x x x =++-. （Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.16. （本题满分13分）甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔性测试.在相同的测试条件下，两人5次测试（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图. 你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）； （Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，求抽到的两个成绩中至少有一个高于90分的概率.17. （本题满分14分）如图，在三棱锥P A B C -中，平面PAC ⊥平面ABC ,PA AC ⊥，AB BC ⊥．设D ，E 分别为PA ，AC 中点.（Ⅰ）求证：DE ∥平面PBC ； （Ⅱ）求证：BC ⊥平面PAB ;（Ⅲ）试问在线段AB 上是否存在点F ，使得过三点D ,E ,F 的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行？若存在，指出点F 的位置并证明；若不存在，请说明理由．18.（本题满分13分）DEBAPC已知函数322()f x x ax a x =--，其中0a ≥.（Ⅰ）若(0)4f '=-，求a 的值，并求此时曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[]0,2上的最小值. 19.（本题满分14分）已知椭圆C两焦点坐标分别为1(F,2F ，一个顶点为(0,1)A -. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在斜率为(0)k k ≠的直线l ，使直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ，满足AM AN =. 若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.20. （本题满分13分）已知数列{}n a 的通项19210nn a n ⎛⎫⎛⎫=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，n *∈N .(Ⅰ)求12,a a ；（Ⅱ）判断数列{}n a 的增减性,并说明理由； (Ⅲ) 设1n n n b a a +=-，求数列1n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项和最小项.北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期末统一考试数学答案（文史类） 2014.1参考答案 一、选择题：二、填空题：9、4；10、 16，32+；11、54；12、13、；14、（1）（2）（4）；三、解答题：15.解：（Ⅰ）依题意2()2sin sin 21f x x x =+-=sin 2cos2x x -=)4x π-.则())1444f πππ=⨯-=. ………….7分（Ⅱ）()f x 的最小正周期Τ2π==π2.当ππ2π22242k x k ππ-≤-≤+时，即π3πππ88k x k -≤≤+时,()f x 为增函数.则函数()f x 的单调增区间为π3ππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k ∈Z . ………….13分 16 . 解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好. ……….6分 （Ⅱ）设事件A ：抽到的成绩中至少有一个高于90分.从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩，所有的基本事件如下：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}58,65,58,82,58,87,58,85,58,95,55,65,55,82,55,87,55,85,55,95,76,65,76,82,76,87,76,85,76,95,88,65,88,82,88,87,88,85,88,95,92,65,92,82,92,87,92,85,92,95,共25个.事件A 包含的基本事件有{}{}{}{}{}{}{}{}{}58,95,55,95,76,95,88,95,92,65,92,82,92,87,92,85,92,95共9个. 所以9()25P A =，即抽到的成绩中至少有一个高于90分的概率为925. ……….13分 17. 证明：（Ⅰ）因为点E 是AC 中点，点D 为PA 的中点，所以DE ∥PC ．又因为DE ⊄面PBC ，PC ⊂面PBC ，所以DE ∥平面PBC ． ………….4分 （Ⅱ）因为平面PAC ⊥面ABC , 平面PAC 平面ABC =AC ,又PA ⊂平面PAC ，PA AC ⊥，所以PA ⊥面ABC .所以PA BC ⊥．又因为AB BC ⊥，且PA AB=A ，所以BC ⊥面PAB ． ……….9分8 7 5 6 9826 甲 乙5 57 2 58 5（Ⅲ）当点F 是线段AB 中点时，过点D ,E ,F 的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行． 取AB 中点F ，连EF ，连DF . 由（Ⅰ）可知DE ∥平面PBC ．因为点E 是AC 中点，点F 为AB 的中点， 所以EF ∥BC ．又因为EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以EF ∥平面PBC ． 又因为DE EF =E ， 所以平面DEF ∥平面PBC ，所以平面DEF 内的任一条直线都与平面PBC 平行．故当点F 是线段AB 中点时，过点D ,E ,F 所在平面内的任一条直线都与平面PBC 平行． ……….14分 18. 解：（Ⅰ）已知函数322()f x x ax a x =--，所以22()32f x x ax a '=--，2(0)4f a '=-=-， 又0a ≥，所以2a =. 又(1)5,(1)5f f '=-=-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为50x y +=. ………….…..…5分（Ⅱ）[]0,2x ∈，22()32()(3)f x x ax a x a x a '=--=-+令()0f x '=，则12,3ax x a =-=. （1）当0a =时，2()30f x x '=≥在[]0,2上恒成立，所以函数()f x 在区间[]0,2上单调递增，所以min ()(0)0f x f ==；（2）当02a <<时，在区间[0,)a 上，()0f x '<，在区间(,2]a 上，()0f x '>，所以函数()f x 在区间[0,)a 上单调递减，在区间(,2]a 上单调递增，且x a =是[]0,2 上唯一极值点，所以3min ()()f x f a a ==-；（3）当2a ≥时，在区间[]0,2上，()0f x '≤（仅有当2a =时(2)0f '=），所以()f x 在区间[]0,2上单调递减所以函数2min ()(2)842f x f a a ==--.综上所述，当02a ≤<时，函数()f x 的最小值为3a -，2a ≥时，函数()f x 的最小值为2842a a -- ………………13分19.解：（Ⅰ）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>.则依题意c =，1b =，所以2223a b c =+=于是椭圆C 的方程为2213x y += ……….4分（Ⅱ）存在这样的直线l . 依题意，直线l 的斜率存在设直线l 的方程为y kx m =+，则由2213x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(31)6330k x kmx m +++-= 因为2222364(31)(33)0k m k m ∆=-+->得22310k m -+>……………… ①设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 中点为00(,)P x y ，则12221226313331km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩于是000223,3131km mx y kx m k k =-=+=++ 因为AM AN =，所以AP MN ⊥.若0m =，则直线l 过原点，(0,0)P ，不合题意.若0m ≠，由0k ≠得，0011y k x +=-，整理得2231m k =+………………② 由①②知，21k <， 所以11k -<<又0k ≠，所以(1,0)(0,1)k ∈- . ……….14分 20．（Ⅰ）10.45a =,2 1.215a =. ……….2分 （Ⅱ）11(0.5)0.9(0.5)0.9n n n n a a n n ++-=+⋅--⋅0.9(0.90.450.5)nn n =+-+ 0.10.9(9.5)nn =-⨯⨯-.则当19n ≤≤时，10n n a a +->，则110n ≤≤时，数列{}n a 为递增数列，n *∈N ;当10n ≥时，10n n a a +-<，数列{}n a 为递减数列，n *∈N . ……….7分(Ⅲ)由上问可得，10.10.9(9.5)nn n n b a a n +=-=-⨯⨯-，n *∈N .令1n n nb c b +=，即求数列{}n c 的最大项和最小项. 则18.50.99.5n n n b n c b n +-==⋅-=10.9(1)9.5n +-. 则数列{}n c 在19n ≤≤时递减，此时90.9n c c ≤<，即0.90.9n c -≤<； 数列{}n c 在10n ≥ 时递减，此时100.9n c c <≤，即0.9 2.7n c <≤.因此数列{}n c 的最大项为10 2.7c =，最小项为90.9c =-. ……….….13分。