第四章振动与-波动作业

第四章 振动与波动

1.若简谐振动方程)25.020cos(1.0ππ+=t x m ，求：1）振幅、频率、角频率、周期、初相.2）t=2s 时的位移、速度、加速度. 解：

rad

Hz T

s

T s rad m A πϕυω

π

πω25.0101

1.02201.0)11===

==

⋅==-

s t 2)2=

2

22

2222/1079.2/2204

cos 1.0)20()cos(/44.4/24

sin 1.020)sin(1007.720

2221.04

cos 1.0)25.0220cos(1.0s m s m t A a s

m s

m t A v m

m x ⨯-=-=⨯÷-=+-=-=-=⨯⨯-=+-=⨯==⨯

==+⨯=-ππ

πϕωωππ

πϕωωπ

ππ 2.

2.一质量忽略不计的弹簧下端悬挂质量为4kg 的物体，静止时弹簧伸长

20cm ，再把物体由静止的平衡位置向下拉10cm ，然后由静止释放并开始计时.证明此振动为简谐振动并求物体的振动方程.

证明：设向下为x 轴正向

物体位于o 点时：mg = k l 0 物体位于x 处时: F= mg-k (l 0+x )= -kx

则运动方程为 02

22=+x dt

x d ω

是简谐振动。

17mg k rad s l

-=

∴ω=

===⋅∆Q t=0时，x 0=0.10m ,则A=0.10m ,所以

01cos 0

===

ϕϕA

x

方程为

)(7cos 10.0m t x =

3.一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A=2.0×10-2

m ，周期T=0.50s 。当t=0

时，1）物体在平衡位置向负方向运动；2）物体在x=－1.0×10-2

m 处向正方向运动.求：以上各情况的运动方程. 解：1）设振动方程为 )cos(ϕω+=t A x 式中s rad T /45.022πππω=== )()4cos(10

0.22

m t x ϕπ+⨯=∴-

求ϕ： 0=t 时，0,000<=v x 2

cos π

ϕϕ±==∴

2

0sin ,0sin 0π

ϕϕϕω=∴><-=A v

则 )()2

4cos(10

0.22

m t x π

π+

⨯=-

2）0,100.1,002

0>⨯-==-v m x t

3

2,0sin ,03

221cos 00π

ϕϕπϕϕ-

=∴<>±=-==

∴v A x

)()3

24cos(10

0.22

m t x π

π-

⨯=∴-

4.已知某质点作简谐振动的振动曲线如图所示.求：该质点的振动方程.

解：设振动方程为 )cos(4ϕω+=t x 求ϕ：

0,22,000>-==v x t

4

32

2

cos 0π

ϕϕ±

=-==

∴A x 4

30sin ,00π

ϕϕ-

=∴<>v Θ 则方程可写为 )4

3-4cos(x πωt = 求ω：0,0,5.0>==v x s t

2

4320)432cos(

ππωπω

±=-=-

∴

)4

32sin(0)432sin(<-∴>--=π

ωπωωA v Θ

则 s rad /2

,2432πωππω=-=-

所以方程为 34()24

cos x t ππ

=-(m)

5.某振动质点的x-t 曲线如图所示.求：该质点的运动方程.

解：设振动方程为

)cos(

01.ϕω+=t x 求ϕ：0,5.0,000>==v x t 3

,21cos πϕϕ±==

∴ 3

,0sin 00π

ϕϕ-

=<∴>v Θ

则 )3

cos(01.π

ω-

=t x

)

求ω：0,0,4<==v x s t 2

3

4,0)3

4cos(π

π

ωπ

ω±

=-

=-

∴

234,0)34sin(0sin π

πωπωω=->-∴<-=v A v Θ

s rad /245π

ω=∴

方程为 501243

.cos()x t ππ

=-(m)

6.质量为0.1kg 的物体，以振幅1.0×10-2

m 作简谐运动.其最大加速度为

4.0m ·s -2.

求：1）振动的周期；2）物体通过平衡位置时的总能量；3）物 体在何处其动能和势能相等；4）当物体的位移大小为振幅的一半时，动 能、势能各占总能量的多少？ 解：1）s a A T A a A a m

m m ππωπωω1.022,2

====

∴=Θ 2）J A ma A A a m A m E m m 32221022

1

2121-⨯==⋅⋅==

ω 3）2222

1

21,21kx kA E E E kx E P k P -=-=∴=

当P k E E =时，有

2

222

12121kx kx kA =- m A x A x 322

1007.72

2

,2-⨯±=±==∴ 4）E A k kx E P 4

1)2(212122=== E E E E P K 4

3

=-=