代几综合题复习
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代数与几何综合题
代数与几何综合题从内容上来说,是把代数中的数与式、方程与不等式、函数,几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质,以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起,同时也融入了开放性、探究性等问题,如探究条件、探究结论、探究存在性等。经常考察的题目类型主要有坐标系中的几何问题(简称坐标几何问题),以及图形运动过程中求函数解析式问题等。
解决代数与几何综合题,第一,需要认真审题,分析、挖掘题目的隐含条件,翻译并转化为显性条件;第二,要善于将复杂问题分解为基本问题,逐个击破;第三,要善于联想和转化,将以上得到的显性条件进行恰当地组合,进一步得到新的结论,尤其要注意的是,恰当地使用分析综合法及方程与函数的思想、转化思想、数行结合思想、分类与整合思想等数学思想方法,能更有效地解决问题。
第一类:与反比例函数相关
1.(09北京)如图,点C 为⊙O 直径AB 上一点,过点C 的直线交⊙O 于点D 、E 两点,且∠ACD=45°,DF AB ⊥于点F ,EG AB ⊥ 于点G . 当点C 在AB 上运动时,设AF x =,DE y =,下列 图象中,能表示y 与x 的函数关系的图象大致是( )
2.如图,在平面直角坐标系中 ,二次函数)0(22≠+=a a
m ax y
的图象经过正方形
ABOC 的三个顶点
A 、
B 、
C ,则m 的值为 .
3.(09延庆)阅读理解:对于任意正实数a b ,,
2()0a b -Q ≥,20a ab b ∴-+≥,2a b ab ∴+≥,只有当a b =时,等号成立.
结论:在2a b ab +≥(a b ,均为正实数)中,若ab 为定值p ,则2a b p +≥,
A B C D
只有当a b =时,a b +有最小值2p . 根据上述内容,回答下列问题: (1) 若0m >,只有当m = 时,1
m m
+
有最小值 . (2) 探索应用:已知(30)A -,,(04)B -,,点P 为双曲线12
(0)y x x
=>上的任意一点,
过点P 作PC x ⊥轴于点C ,轴于y PD ⊥D . 求四边形ABCD 面积的最小值,并说明此时 四边形ABCD 的形状.
4.(08南通)已知双曲线k y x =
与直线1
4
y x =相交于A 、B 两点.第一象限上的点M (m ,n )(在A 点左侧)是双曲线k
y x
=上的动点.过点B 作BD ∥y 轴交x 轴于点D .过N (0,-n )作NC ∥x 轴交双曲线k y x
=
于点E ,交BD 于点C . (1)若点D 坐标是(-8,0),求A 、B 两点
坐标及k 的值. (2)若B 是CD 的中点,四边形OBCE 的面积
为4,求直线CM 的解析式.
(3)设直线AM 、BM 分别与y 轴相交于P 、Q 两点,且MA =pMP ,MB =qMQ ,
求p -q 的值.
5.(西城)已知:反比例函数2y x =
和8
y x
= 在平面直角坐标系xOy 第一象限中的图象如图所示,点A 在8y x =的图象上,AB ∥y 轴,与2
y x
=的图象交于点B ,AC 、BD 与x 轴平行,分别与2y x =
、8
y x
=的图象交于点C 、D . (1)若点A 的横坐标为2,求梯形ACBD 的对角线的交点F 的坐标;
(2)若点A 的横坐标为m ,比较△OBC 与△ABC 的面积的大小;
(3)若△ABC 与以A 、B 、D 为顶点的三角形相似,请直接写出点A 的坐标.
y x
B
A
D
P
C
O 3-
4- (第3题)
(第4题)
y
O
·
A
D
x
B
C E N
M
·
答案:(1) 点F 的坐标为17(2,)5
.
(2)OBC ABC S S ∆∆>. (3)点A 的坐标为(2,4)
6.(07上海)如图,在直角坐标平面内,函数m
y x
=(0x >,m 是常数)的图象经过(14)A ,,
()B a b ,,其中1a >.过点A 作x 轴垂线,垂足为C ,过点B 作y 轴垂线,垂足为D ,
连结AD ,DC ,CB .
(1)若ABD △的面积为4,求点B 的坐标; (2)求证:DC AB ∥;
(3)当AD BC =时,求直线AB 的函数解析式. 答案:
(1)点B 的坐标为 433⎛⎫ ⎪⎝⎭
,; (2)DC AB ∴∥. (3)所求直线AB 的函数解析式是26y x =-+或5y x =-+
二、与三角形相关
7.(07北京)在平面直角坐标系xOy 中, 抛物线 y = mx 2
+ 23mx + n 经过P (3, 5),
A (0, 2)两点. (1) 求此抛物线的解析式;
(2) 设抛物线的顶点为B , 将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线l , 直线l 与抛物线的对称轴交于C 点, 求直线l 的解析式;
(3) 在(2)的条件下, 求到直线OB , OC , BC 距离相等的点的坐标. 答案:(1)抛物线的解析式为: y =x x 3
32312++ 2
(2)直线 l 的解析式为 y =
3
3x (3) 到直线OB 、OC 、BC 距离相等的点的坐标分别为: M 1(
3
3
2, 0)、 M 2 (0, 2)、 M 3(0, 2)、M 4 (23, 0).
8. (08北京)平面直角坐标系xOy 中,抛物线y = x 2
+ bx + c 与x 轴交于A , B 两点(点
x
C
O D B
A y