灰色系统理论概述.

从灰数产生的本质来划分，灰数可分为信息型、概念 型和层次型三种。
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信息型灰数
指因暂时缺乏信息而不能肯定其取值的数。
例如，预计某学校明年的招生人数在5000人以上， ∈ [5000, ∞]； 预计南京十月份最高气温不超过30℃， ∈[0,30] 。由于暂时缺乏信 息，不能肯定某数的确切取值，而到一定时间后，通过信息补充，灰数 可以完全变白。
五 灰数白化与灰度
有一类灰数在某个基本值附近变动，在系统分析 过程中，由于灰数信息缺乏，通常以此基本信息值代 替灰数来进行系统分析，称此基本值为灰数的白化值， 而求解白化值的过程称为灰数的白化。
定义：形如 a (1 )b (0,1) 的白化称为定位系 数为a的白化。 1 定义：在等权白化中取 2 而得到的白化值称为 等权均值白化。 当区间灰数取值的分布信息缺乏时，常采用等权 均值白化。 定义：设区间灰数1 ∈ [a, b], 2 ∈ [c, d] (a<b, c<d)
信息无穷尽，认知无穷尽，灰性永不灭。
四 灰数及其运算
1、灰数：只知道取值范围而不知道其确切值的数。灰
色系统的基本“单元”或“细胞”，通常用记号“” 表示。
例如： 1) 多少的头发才算是秃子。应该是个区间范 围。模糊。 2)多少层的楼房算高楼，中高楼，低楼。 3)多么大的苹果算大苹果，小苹果。
灰数的种类：
2050年中国人口控制在15亿到灰色系统的基本原理
公理1、差异信息原理。“差异”即信息，凡信息必有差异。 “事物A不同于事物B”，即含有事物A相对于事物B之特殊性 的有关信息。
公理2、解的非唯一性原理。
信息不完全、不确定情况下的解是非唯一的。该原理 是灰色系统理论解决实际问题所遵循的基本法则。 公理3、最少信息原理 灰色系统理论的特点是充分开发利用已占有的“最少信息”。 “最少信息”是灰色系统的基本准则。所能获得的信息 “量”是判别“灰”与“非灰”的分水岭。
项目 研究对象
灰色系统 贫信息不确定
概率统计 随机不确定
模糊数学 认知不确定
基础集合
方法依据 途径手段 数据要求 侧重 目标
灰色朦胧集
信息覆盖 灰序列算子 任意分布 内涵 现实规律
康托尔集
映射 频率统计 典型分布 内涵 历史统计规律
模糊集
映射 截集 隶属度可知 外延 认知表达
特色
小样本
大样本
凭借经验
a

(a<b, c<d)
1-1 ∈[ 1/b,1/a ]
⑤ 1 ·2 ∈ [min{ ac, ad, bc, bd },max{ ac, ad, bc, bd }]
⑥若c*d>0, 则
1 / 2 = 1 · 2-1 ∈
[min{ a/c, a/d, b/c, b/d },max{ a/c, a/d, b/c, b/d }] ⑦若k为正实数 则： k1 ∈[ka, kb] ⑧ 设 ∈[a, b], a<b, k为正实数，则称∧k ∈[a ∧k, b ∧k ]为 灰数的k次方幂，亦称乘方运算。
~
1 a (1 )b 2 a (1 )b

a

~
(0,1), (0,1)

~
当 时称 1与2取数一致；当 称为取数不一致。 定理1：区间灰数不能相消、相约。

时，
即：灰数自差一般不能等于0，仅当减数与被减数 的取数一致时，灰数的自差采等于0。 如： ∈[2，5]， - =0 取数一致
以厘米为单位度量是白的，若精确到万分之一微米就成灰的了。又如， 叫张三的人，某个学校只有1人，全市大学有6~10人， ∈[6，,10]已 是灰数，若在全国范围内考虑，就更加说不清楚了。
2、区间灰数的运算。
设灰数1 ∈ [a, b], 2 ∈ [c, d] ① 1 + 2 ∈[a+c , b+d] ② - 1 ∈ [-b，-a] ③ 1 - 2 =1 +(- 2) ∈[a-d, b-c] ④ 若a*b>0, 则
公理4、认知根据原理。 信息是认知的根据。
认知必须以信息为依据，没有信息，无以认知。
公理5、新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信息。 “新信息优先原理”是信息时效性的具体体现。 公理6、灰性不灭原理。“信息不完全”（灰）是绝对的。 信息不完全、不确定具有普遍性。原有的不确定性消失，
新的不确定性很快出现。
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概念型灰数 也称意愿型灰数，指由人们的某种观念、意愿 形成的灰数。 例如，某公司投放一种新产品到市场，希望获得不低
于100万的利润，且越多越好， ∈[100, ∞]；某工厂废品率为1%， 希望大幅度降低，当然越小越好， ∈[0, 0.01]。
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层次型灰数
由层次改变形成的灰数。例如，一个人的身高，
二 灰色系统的概念
灰色系统
控制论中，常借助颜色来表示研究者对系统内部信息和 对系统本身的了解及认识程度。 “黑”表示信息完全缺乏， “白”表不信息完全， “灰”表示信息不充分、不完全。
由于黑、白、灰是相对于一定认识层次而占的，因而 具有相对性，由此可以定义： 所谓灰色系统(Grey system；简称C系统)是指，相对 于一定的认识层次，系统内部的信息部分已知，部 分未知，即信息不完全。
a、仅有下界的灰数。 有下界无上界的灰数记为： ∈[a, ∞] b、仅有上界的灰数。 有上界无下界的灰数记为： ∈[-∞ ,a] c、区间灰数 既有上界又有下界的灰数： ∈ [a, a] d、连续灰数与离散灰数 在某一区间内取有限个值或可数个值的灰数 称为离散灰数，取值连续地取满某一区间的灰数称 为连续灰数。
灰色系统理论及其应用
管理科学与工程
周玲
2012年9月26日
第一章：灰色系统的概念与基本原理
一 灰色系统理论的产生与应用 二 灰色系统的概念
三 灰色系统的基本原理
四 灰数及其运算 五 灰数白化与灰度
一 灰色系统理论的产生与应用
1982年，中国学者邓聚龙教授创立了灰色系统理 论，是一种研究少数据、贫信息不确定性问题的新方 法。目前许多国家及国际组织的知名学者从事灰色系 统的理论和应用研究工作。 灰色系统理论应用于工业、农业、社会、经济、 能源、交通、地质、石油、气象、水利等众多领域， 成功地解决了大量的实际问题。
几种不确定问题方法的比较
概率统计、模糊数学和灰色系统理论是三种最 常用的不确定性系统研究方法。
1.模糊数学着重研究“认知不确定”问题，其研究对象 具有“内涵明确，外延不明确”的特点。主要凭借经验，借 助于隶属函数进行处理。 2.概率统计研究的是“随机不确定”现象的历史统计规 律，考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定”现象中 每一种结果发生的可能性的大小，其出发点是，大样本，且 对象服从某种典型分布。 3.灰色系统研究的是“部分信息明确，部分信息未知” 的“小样本，贫信息”不确定性问题，通过序列算子的作用 探索事物运动的现实规律。特点是“少数据建模”。着重研 究“外延明确，内涵不明确”的对象。
e、黑数与白数
当 ∈ （- ∞， ∞），即当 的上界、下界皆为无穷时， 称为黑数，当 ∈ [a, a]且a=a,时，称为白数。 有时为了方便讨论，也将黑数和白数看成特殊的灰数。
f、本征灰数与非本征灰数
本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作为其“代表” 的灰数； 非本征灰数是凭借先验信息或某种手段，可以找到一个白数 作为其“代表”的灰数。称此白数为相应灰数的白化值，记 为 ，并用（a）表示以a为白化值的灰数。
∈[-3，3] 取数不一致
再如： /
=1
取数一致
∈[2/5，5/2] 取数不一致

定义：起点，终点确定的左升、右降连续函数称为典型的白 化权函数。 a f(x) 1
L(x) R(x)
x
0 x1 x2 x3 x4