[初三数学]圆的对称性说课讲解

如果交换垂径定理
的题设和结论的部分语
句，会有一些什么样的
结论呢？
M
O
C
A
B
？ 探索一：
N
①直线MN过圆心 ③ AC=BC
②MN⊥AB
④A⌒M=B⌒M ⑤A⌒N=B⌒N
推论
(1)平分弦（不是直径）的直 径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。
推论
(1)平分弦（不是直径）的直
径垂直于弦，并且平分弦所
用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样 的关系式？
例2：平分已知弧
A已B知：A⌒B 求作：A⌒B的中点
A
C
E
B 作法： ⒈ 连结AB. ⒉作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E. D
点E就是所求弧AB的中点。
变式一： 求弧AB的四等分点。
C
m
n
F
E
G
A B
D
错在哪里？
●作AB的垂直平分线CD。 E
C G
●作AT．BT的垂直
平分线EF．GH
N
M
P
A
T
B
等分弧时一
定要作弧所夹弦
的垂直平分线。
F
H D
C m
E A
变式二：你能确定 弧AB的圆心吗？
O D
n B
圆 你能破镜重 吗？
n
m C
A
B
·O
作弦AB．AC及它们的垂直平 分线m．n，交于O点；以O为圆 心，OA为半径作圆。
圆 破镜重
m
n
C
A
B
·O
作图依据：
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
试一试你的能力
1、 已知：AB、CD是⊙O的两条平行弦，
MN是AB的垂直平分线。
求证：MN垂直平分CD。
M
C
DB
圆内平行弦
A
的垂直平分线是
O
互相重合的。
N
M
证明：
C
D ∵AB∥CD，MN⊥AB
A
B∴MN⊥CD
O
∵ MN是AB的垂直平分线
∴ MN过圆心是直径
∴ MN平分CD
N
∴MN垂直平分CD
2、判断下列语句是否正确
⑴垂直于弦的直径平分这条弦 （√ ）
⑵垂直于弦的直线必平分弦对的两条弧（ ）
×⑶平分弦的直径垂直于这条弦（ ） ⑷弦的垂直平分线是圆的直径（ × ） ⑸平分弧的直径必平分弧对的弦（× ）
√
课堂小结：
本节课探索发现了垂径定理的推论,并且运 用推论等分弧。
此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
●要分清垂径定理的推论的题设和结论,即已 知什么条件,可推出什么结论. 这是正确理解应 用的关键;
●例2是基本几何作图,会通过作弧所夹弦
的垂直平分线来等分弧.能够体会转化思想
在这里的运用.
独立 作业
习题P42 3、5。
祝你成功！
思考题
已知点P是半径为5的⊙O内一定点， 且OP=4,则过点P的所有弦中，弦长 可能取的整数值为
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直 平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。
回味引伸
垂径定理及其推论的实质是把(1)直线MN过圆心;
(2)直线MN垂直AB;
(3)直线MN平分AB;
(4)直线MN平分弧AMB; (5)直线MN平分弧ANB
中的两个条件进行了四种组合,分别推出了其余的三个
结论.这样的组合还有六种，由于时间有限,课堂上未作
并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理：
①直线MN过圆心O ② MN⊥AB
M
③④⑤AAA⌒ ⌒MNC===⌒BBB⌒NCM
O
C
A
B
N
辨一辨
下列图形中,AE=BE吗?为什么?
C
.O
A E
D
C
C
. O
BA
E
D
.O
B
E
A
B
D
垂径定理：
①直线MN过圆心O ② MN⊥AB
③④⑤AAA⌒ ⌒MNC===BB⌒B⌒NCM
进一步的推导,同学们课下不妨试一试.
结论巩固
已知：如图，MN、AB是⊙O的弦，
相交于点C。
1、如果MN是直径，MN⊥AB,那
么
、
、
。
2、如果MN是直径,AB非直径，
且AC=BC，那
么
、
、
。
3、如果MN垂直平分BC，那
么4、如果MN、是直径，A⌒、N=B⌒N
。 那
么
、
、
。
A
M
O
C B
N
例题讲解
例1 如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm,圆 心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
解:连结OA，过O作OC⊥AB，
垂足为C，则AC=1/2AB=4。
A
CB
在Rt△AOC中，
OA=√AC2+OC2=5（cm)
·O
Baidu Nhomakorabea
答： ⊙O的半径为5cm.
变式训练
A CB
·O
变式一：在⊙O中，直径为10cm，弦AB
的长为8cm，求圆心O到AB的距离。
变式二：在⊙O中，直径为10cm，圆心O
到AB的距离为3cm，求弦AB的长。 变式三：若圆心到弦的距离用d表示，半径
M
O
C
A
B
？ 探索三：
N
①⑤直A⌒N线=MB⌒NN过圆心O
② MN⊥AB
③ AC=BC
④ A⌒M=B⌒M
推论：
(3)平分弦所对的一条 弧的直径,垂直平分弦, 并且平分弦所对的另一 条弧。
推论
(1)平分弦（不是直径）的直径垂直于 弦，并且平分弦所对的两条弧；
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平 分弦所对的两条弧;
[初三数学]圆的对称性
圆 你能破镜重 吗？
回顾思考 提问：圆是什么对称图形？
O
圆除了是旋转对
称图形外，还是
轴对称图形
M
A
D
圆是轴对称图形，
经过圆心的
O
每一条直线都是
它的对称轴。
C B
N
M
A
D 或： 任意一条
直径所在的直线
都是圆的对称轴。
O
C B
N
活动与探索
M
O
C
A
B
N
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，
M
对的两条弧。
A
一个圆的任意两 条直径总是互相平分，C 但是它们不一定互相 垂直。因此这里的弦 如果是直径，结论就 不一定成立。
D O
B N
M
O
C
A
B
探索二：
N
？ ② MN⊥AB
③ AC=BC
①直线MN过圆心O
④⑤AA⌒⌒NM==B⌒B⌒NM
推论
(2)弦的垂直平分线经 过圆心,并且平分弦所 对的两条弧;