二次根式的除法法则.
初中数学 如何对两个二次根式进行除法运算
初中数学如何对两个二次根式进行除法运算对于两个二次根式进行除法运算，我们可以按照以下步骤和规则来进行计算。
理解并掌握这些方法，可以帮助我们更好地解决二次根式的除法问题。
步骤一：将两个二次根式写成标准形式首先，我们需要将两个二次根式写成标准形式，即确保根号下的数是最简形式且系数为整数。
如果有必要，我们可以进行化简或合并同类项。
步骤二：有理化分母在进行二次根式的除法运算时，如果分母是一个二次根式，我们需要有理化分母，即将分母中的二次根式去掉。
具体来说，如果分母是一个二次根式√(c)，其中c是一个非负实数，我们可以将分子和分母同时乘以√(c)来有理化分母。
步骤三：使用除法法则计算根号下的数根据除法法则，我们将两个二次根式进行除法运算时，可以将它们的根号下的数相除。
具体来说，如果有两个二次根式√(a)和√(b)，其中a和b都是非负实数，那么它们的除法为：√(a) / √(b) = √(a/b)。
步骤四：计算系数在进行根号下的数的除法计算后，我们需要计算系数的除法。
如果两个二次根式的系数都是整数，那么我们可以直接将它们的系数相除。
如果其中一个或两个二次根式的系数不是整数，我们需要将它们进行化简或分解，然后再进行系数的除法运算。
步骤五：合并结果在计算了根号下的数和系数后，我们将它们合并到一起，得到最终的结果。
如果根号下的数是一个完全平方数，我们可以将其提取出来，得到一个整数。
如果根号下的数不能被整除，我们将其保留在根号下，确保结果是最简形式。
让我们通过一些实际的例子来说明如何对两个二次根式进行除法运算：例子1：计算√(12) / √(3)。
首先，我们将根号下的数进行除法运算：√(12) / √(3) = √(12/3) = √(4) = 2。
因此，√(12) / √(3)等于2。
例子2：计算(3√(5)) / (√(15))。
首先，我们有理化分母，将分子和分母同时乘以√(15)：(3√(5)) / (√(15)) = (3√(5) * √(15)) / (√(15) * √(15)) = 3√(5*15) / 15 = 3√(75) / 15。
二次根式的除法运算法则
二次根式的除法运算法则
二次根式的乘除法法则运算：
1、乘法规定：(a≥0，b≥0)。
二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
(1)(a≥0，b≥0，c≥0)。
(2)(b≥0，d≥0)。
2、乘法逆用：(a≥0，b≥0)。
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。
注意：公式中的a、b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0;
3、除法规定：(a≥0，b>0)。
二次根式相处，把被开方数相除，根指数不变。
推，其中a≥0，b>0，。
方法归纳：两个二次根式相除，可采用根号前的系数与系数对应相除，根号内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得得结果相乘。
4、除法逆用：(a≥0，b>0)。
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
二次根式计算法则
二次根式计算法则
一、二次根式的定义
形如√(a)(a≥0)的式子叫做二次根式。
其中，a叫做被开方数。
二、二次根式的性质
1. (√(a))^2=a(a≥0)
- 例如(√(3))^2=3。
2. √(a^2)=| a|=cases(a(a≥0) -a(a < 0))
- 当a = 5时，√(5^2)=|5| = 5；当a=-3时，√((-3)^2)=| - 3|=3。
三、二次根式的乘法法则
√(a)·√(b)=√(ab)(a≥0,b≥0)
例如：√(2)×√(3)=√(2×3)=√(6)
四、二次根式的除法法则
dfrac{√(a)}{√(b)}=√(dfrac{a){b}}(a≥0,b > 0)
例如：dfrac{√(8)}{√(2)}=√(dfrac{8){2}}=√(4) = 2
五、二次根式的加减法则
1. 先将二次根式化为最简二次根式。
最简二次根式需要满足被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
- 例如√(12)=√(4×3)=2√(3)（这里2√(3)就是最简二次根式）。
2. 然后合并同类二次根式。
同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
- 例如3√(2)+5√(2)=(3 + 5)√(2)=8√(2)。
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结王亚平1. 二次根式的概念二次根式的定义: 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中叫被开方数,只有当是一个非负数时，才有意义．2. 二次根式的性质1。
非负性:)0(≥a a 是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2.)0()(2≥=a a a注意：此性质既可正用，也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2≥=a a a3。
⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意:（1）字母不一定是正数． (2）能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方根代替．3. 最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式:（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式;分母中不含根号．2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式4. 二次根式计算--分母有理化1．分母有理化定义：把分母中的根号化去,叫做分母有理化. 2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用a a a =⋅来确定,如：与，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如b a +与b a -,b a +与b a -，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。
3．分母有理化的方法与步骤:①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式；5. 二次根式计算——二次根式的乘除1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
)0,0(≥≥⋅=b a b a ab2．二次根式的乘法法则:两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根.)0,0(≥≥=⋅b a ab b a3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 。
二次根式的化简及计算
二次根式的化简及计算二次根式是指具有形式 $\sqrt{a}$ 的数，其中 $a$ 是一个非负实数。
在数学中，我们经常需要对二次根式进行化简和计算。
在本文中，我将对二次根式的化简和计算进行详细介绍。
首先，让我们来了解一些基本的二次根式化简规则。
1. 同号相乘法则：$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$；2. 同底数幂法则：$\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$；3. 分子分母同时乘以二次根式的共轭：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} =\frac{\sqrt{ab}}{b}$。
基于这些规则，我们可以对二次根式进行化简和计算。
第一种情况是对一个二次根式的平方进行化简。
例如，对于$\left(\sqrt{2}\right)^2$，我们可以利用同底数幂法则得到$\sqrt{2}^2 = 2$。
第二种情况是对两个二次根式进行乘法计算。
例如，计算 $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}$，我们可以利用同号相乘法则得到 $\sqrt{2} \cdot\sqrt{3} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6}$。
第三种情况是对两个二次根式进行除法计算。
例如，计算$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，我们可以分子分母同时乘以$\sqrt{3}$的共轭 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$。
第四种情况是对一个二次根式的和或差进行化简。
例如，对于$\sqrt{2} + \sqrt{3}$，我们无法直接化简为一个二次根式。
二次根式的乘除法
1.二次根式的乘法
运算法则： a • b a • b, (其中a 0,b 0) 逆用： a • b a • b, (其中a 0, b 0)
例1.计算
（1）. 2 3 6 （2）. 1 18
2
（3）. 27 3
（4）. 2a 18a （5）.6 2 2
2
2.二次根式的除法
运算法则：a b a b或者 a a（, 其中a 0,b>0）
bb
逆用：a b a b或者 a a（, 其中a 0,b>0）
bb
例2.计算
（1）. 2 1 2
（2）. 12 3 （3）. 63
7 （4）. a3
a
例3.计算
（1）. 2+ 3 2 3;
（2）. 3 2 2 3 3 2 2 3 ;
（3）.
3
Hale Waihona Puke 22; （4）.
2
52 .
3.二次根式的化简
(1).最简二次根式：不能再化简的二次根式叫 做最简二次根式。
当被开方数中含有分数或者小数时，二次根式要化简。
(2).同类二次根式：化简后被开方数相同的二次 根式叫做同类二次根式
（2）下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. 12 B. 27 C. 0.2 D. 30
（3）下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A. x2 1 B. x2 y2 C. x+y D. 1
x2
例4.化简
（1）. 24 （2）. 48 （3）. 45 （4）. 1000 （5）. 1
3 （6）. 3
二次根式经典总结
1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式.注意：（1）若0a ≥这个条件不成立，则 不是二次根式；(2）是一个重要的非负数,即；≥0.2．重要公式：(1))0a (a )a (2≥=,（2）⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2 ；注意使用)0a ()a (a 2≥=。
3．积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥⋅=，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求。
4．二次根式的乘法法则：)0b ,0a (ab b a ≥≥=⋅.5．二次根式比较大小的方法：(1）利用近似值比大小；（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；（3）分别平方，然后比大小.6．商的算术平方根：)0b ,0a (ba b a >≥=，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.7．二次根式的除法法则：（1）)0b ,0a (b a b a>≥=； （2）)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷；（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式。
8．常用分母有理化因式:a a 与，b a b a +-与， b n a m b n a m -+与，它们也叫互为有理化因式。
9．最简二次根式:（1)满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式；（2）最简二次根式中,被开方数不能含有小数、分数,字母因式次数低于2，且不含分母；(3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式。
10．二次根式化简题的几种类型：(1)明显条件题；（2）隐含条件题；（3)讨论条件题.11．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.12．二次根式的混合运算:（1)二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如:化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.形如)0a (,a ≥的式子,叫做二次根式（1)二次根式中，被开方数必须是非负数。
二次根式的乘法与除法法则
探究发 现
那么，两个二次根式相除又如何 计算呢？
a？ b
讨论发 现
计算：
有什么发现？
(1) 4 2 ( 2) 4 2
93
93
(3) 16 4 ( 4) 16 4
25 5
பைடு நூலகம்
25 5
4 4 99
16 16 25 25
归纳新 知
根据你发现的规律填空：
(1)
2 3
=
次根式一般要写成最简二次根式的形式。
下列根式中，哪些是最简二次根式？
12a , 18, x2 9, 5x3 y , 27abc,
×× √
××
2
x2 y,
ab ,
3xy ,
5(a2 b2 )
25
√
×√
√
把下列二次根式化成最简二次根式．
（1） 32 ；（2） 40 ；（3） 1.5 ；（4）
一起放飞理想的翅膀 在知识的天空中自由翱翔
武威三中 严兴菊
知识回 顾
1.二次根式的定义 ：
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根
式。
2.二次根式的性质：
（1）
2
a a (a 0)
（2） a2 a(a 0).
知识回 顾
3.二次根式的乘法：
a b ab (a≥0,b≥0) ab a b (a≥0,b≥0)
拓展提升
1.在括号中填写适当的数或式子使等式成立。
（1） 8 （ 2）＝ 4
（2）2 5 （ 5 ）＝ 10
（3） a－1 （ a－1 ）＝ a－1
（4）3
2
3
＝
6
2.化简下列二次根式，使得分母中不含有根号：
沪科版初中数学初二数学下册《二次根式的运算》教案及教学反思
沪科版初中数学初二数学下册《二次根式的运算》教案及教学反思教学背景本次教学是初二数学下册《二次根式的运算》知识点，属于初中数学二次根式的运算部分，初中数学二次根式的运算是初中数学的重要知识点。
在初中数学教学中占有重要的地位。
因此，对于学生的学习有着重要的影响。
教学目标1.理解二次根式的基本形式和概念。
2.掌握二次根式的加、减、乘、除的运算法则及其应用。
3.能够灵活应用二次根式的运算解决实际问题。
教学内容二次根式的基本形式及运算法则1.二次根式的基本形式：$a\\sqrt{b}$，其中a、b为实数，且b>0。
2.二次根式的加减法则：–同类项相加减。
即当两个二次根式的底数和幂指数都相同时，才可以进行加减运算，同时保持原有的根式形式。
–不同类项，不能直接加减。
3.二次根式的乘法法则：可将两个二次根式的底数和幂指数分别相乘，再将其合并为一个二次根式，保持原有的根式形式。
4.二次根式的除法法则：可将两个二次根式的底数和幂指数分别相除，再将其合并为一个二次根式，保持原有的根式形式。
二次根式的运用1.计算 $2\\sqrt{50}+3\\sqrt{50}$。
2.计算 $4\\sqrt{12}+5\\sqrt{27}-3\\sqrt{48}$。
3.计算 $\\sqrt{20}\\times \\sqrt{45}$。
4.计算 $\\frac{\\sqrt{8}}{\\sqrt{2}}$。
教学过程1.导入新知识，激发学生学习兴趣，可讲一些和二次根式相关的实际问题，如数学中有些定理或公式用到二次根式，探讨二次根式运算的重要性，让学生理解二次根式的概念，明确学习目的。
2.教师进行讲解，通过板书、PPT课件等形式给学生呈现二次根式的基本形式和运算法则，同时对于学生提出的问题进行解答，让学生熟悉二次根式在代数中的表达方式。
3.教师让学生进行分组，在小组内讨论、总结二次根式的运算法则，多种加减乘除运算方法，并带领学生进行一些练习和实际问题的讨论，深化学生的应用能力。
二次根式的除法法则
含字母的二次根式的除法
法则描述
含字母的二次根式相除，同样遵 循同类二次根式的除法法则，但
需注意字母的取值范围。
示例
$frac{asqrt{b}}{csqrt{b}} = frac{a}{c} quad (b > 0)$
注意事项
确保字母的取值使二次根式有意 义，且除数不为0。同时，对于 含字母的表达式，还需考虑其定
义域。
04 二次根式除法的应用
在数学领域的应用
1 2 3
简化根式表达式
通过二次根式的除法，可以将复杂的根式表达式 简化为更简单的形式，便于进一步的计算和分析。
解方程和不等式
在解方程和不等式的过程中，经常需要用到二次 根式的除法，以消去根号或化简表达式，从而得 到解或证明不等式。
推导数学公式
二次根式的除法在数学公式的推导中起到重要作 用，例如在三角函数、数列、概率统计等领域的 公式推导中经常涉及。
在物理和工程领域的应用
计算物理量
在物理学中，很多物理量需要通过二次根式的除法来计算，例如速度、加速度、 力等。这些物理量的计算往往涉及到复杂的数学表达式和根式的处理。
工程设计
在工程设计中，经常需要用到二次根式的除法来求解各种问题，例如计算结构 的强度、稳定性等。通过合理的数学建模和计算，可以保证工程设计的准确性 和安全性。
通过与共轭式相乘，可以消去分母中的根号，从而将除法转 化为乘法运算。
避免分母出现根号
在进行二次根式除法时，应尽量避免分母中出现根号。如 果分母中出现根号，可以通过乘以适当的表达式来消去根 号。
例如，当分母为√a + √b时，可以乘以√a - √b来消去分母 中的根号。
06 二次根式除法的注意事项
人教版八年级下册16.2二次根式的除法(教案)
-举例：化简√(50/4)，引导学生先简化分数得到√(25/2)，再将√25与√2分别处理，得到5√2/2。
-难点三：在解决实际问题中，能够将问题转化为二次根式除法问题并进行正确计算。
-举例：如果一个三角形的面积是(6√3 + 3√6)平方米，底是3米，求高。
3.通过对混合运算中二次根式除法的运用，增强学生的运算能力和数据分析能力。
4.引导学生发现二次根式除法在实际问题中的应用，激发他们的创新意识，培养数学探究精神。
5.在小组合作交流中，培养学生的团队协作能力和沟通表达能力，提高他们的数学交流素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：二次根式除法的法则及其运用。
实践活动和小组讨论环节，学生们表现得相当积极。他们通过分组讨论和实验操作，不仅加深了对二次根式除法的理解，还学会了如何将数学知识应用到解决实际问题中。看到他们互相交流、共同解决问题的样子，我感到非常欣慰。
然而，我也注意到在小组讨论中，部分学生还是比较被动，可能是因为他们对知识点还不够自信。在今后的教学中，我需要更多地关注这部分学生，鼓励他们大胆发言，增强他们的自信心。
人教版八年级下册16.2二次根式的除法（教案）
一、教学内容
人教版八年级下册16.2二次根式的除法，主要包括以下内容：
1.掌握二次根式除法的法则：a)同类二次根式相除，等于它们的系数相除，被开方数不变；b)不同类二次根式相除，先将它们化成同类二次根式，再按同类二次根式相除的法则进行计算。
2.能运用二次根式除法法则解决实际问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
二次根式运算法则公式
二次根式运算法则公式二次根式的运算法则公式，那可是数学世界里相当重要的一部分！咱先来说说二次根式的乘法法则。
就比如说，有两个二次根式，分别是√a 和√b ，那么它们相乘，结果就是√(ab) 。
这就好像是两个队伍合并，把它们的力量整合到一起。
给您举个例子，假设 a = 4 ，b = 9 ，那么√4 × √9 就是 2 × 3 = 6 ，而√(4×9) 也就是√36 ，同样等于 6 ，您瞧瞧，是不是一回事儿？再讲讲除法法则。
如果还是√a 除以√b （b 不等于 0 ），那结果就是√(a÷b) 。
这就好比把一堆东西按比例分配。
我记得之前有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小调皮鬼总是搞不明白。
我就给他打了个比方，我说这二次根式的运算就像是搭积木，乘法是把积木堆在一起，除法是把积木按份数分开。
这孩子眨眨眼睛，好像突然开窍了，后来做题的时候做得可顺溜了。
然后是二次根式的加减法。
只有当它们的被开方数相同的时候才能相加减，把系数相加减就行，根式部分不变。
比如说3√2 + 5√2 ，那结果就是8√2 。
这就好像是一群长得一模一样的小伙伴，只是数量不同，把数量加起来就行。
在实际运用中，二次根式的运算法则公式那可是用处大大的。
比如在解决几何问题的时候，计算图形的边长、面积啥的，经常能用到。
还有啊，二次根式的化简也离不开这些法则公式。
要把一个二次根式化简成最简形式，就得根据这些法则来操作。
就像给一个乱糟糟的房间整理打扫，最后变得整整齐齐。
总之，二次根式的运算法则公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去理解，多做几道题练练手，就能把它掌握得妥妥的！以后再遇到相关的问题，那都能轻松应对，不在话下！。
二次根式的四则运算
二次根式的四则运算知识梳理一、二次根式的乘除（1）积的算术平方根性质： b a b a •=•（a ≥0，b ≥0） （2）二次根式的乘法法则： b a b a •=•（a ≥0，b ≥0） （3）商的算术平方根的性质：bab a =（a ≥0，b ＞0） （4）二次根式的除法法则：b aba = （a ≥0，b ＞0） 二、分母有理化分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 三、同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 四、二次根式的（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式．（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 五、二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．例题讲解例1.计算：（1）52⨯ （2）3221⨯ （3）8326⨯- （4）1052⨯⨯ 例2.化简（1）54⨯ （2）24 （3）()()4936-⨯- （4）()0,0424>>y x y x例3.计算下列各题 （1）312 （2）8123÷ （3）()72214-÷（4）531513÷（5）xyy 24针对练习1.已知()22-=-•a a a a 成立，则a 的取值范围是 .2.能使88-=-x xx x成立，则x 的取值范围是 . 3.化简下列二次根式：=90 =5.2=29 =3127a b ()=-≤++41682a a a 4.计算并化简（1）2863⨯ （2）6331227⨯⨯（3）322214÷- （4）()0113>÷a a bb a b a5.计算（1）6122÷⨯ （2）27121331⨯÷（3）32223513459⨯÷ （4）⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷b a b b a 16.若a =5，b =17，则85.0的值用a ，b 可以表示为 . 7．先阅读下列的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个数a 、b 使a +b ＝m ，ab ＝n ，这样（）2+（）2＝m ，•＝，那么便有＝()2ba ±＝±（a ＞b ）例如：化简解：首先把化为，这里m ＝7，n ＝12； 由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7，•＝，∴＝＝()234+＝2+由上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）．例题讲解例4.计算 （1）2324+ （2）12273+-（3）x x x x 1246932-+ （4）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-6813225.024例5.计算（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--12814482 （2）()6342221⨯-例6.计算 （1）()62322+- （2）()()22322232---针对练习1．若最简二次根式与可以合并，则a＝．2．计算：2+++3﹣+（+5）﹣﹣+（+）（﹣）（）（2﹣3）÷（﹣）（+）+2 （）2﹣（2）（2）（1+）（）﹣（2）2 （）×﹣（）（）3.计算（1）()()322122-+ （2）()()201920182525+•-4.先化简，再求值：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+xy y x x xy y x y x 364363，其中23=x ，27=y .5.已知()3521+=a ，()3521-=b ，求22b ab a ++ .。
二次根式性质与运算
（1） 2(a 1) 2a 4
xy y2 （2）
x y
（3） 1 2 1
（4） 3 5 2 3 3 52 3
【例7】 若最简二次根式 2 3
3m2 2 与 n21 4m2 10 是同类二次根式，求 m、n 的值．
计算：
【例8】
化简
1
1
1
n2 (n 1)2
，所得的结果为（
）
A．1 1 1 n n1
C．1 1 1 n n1
B． 1 1 1 n n1
D．1 1 1 n n1
1.【难度】1 星
【解析】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或
0．
【答案】二次根式有： 2 、 x(x 0) 、 0 、 x y （x≥0，y≥0）；不是二次根式的
(3 5 2 3)2
19 4 15
3 5 2 3 (3 5 2 3) (3 5 2 3)
11
【答案】（1） (a 1) 2a 4 ；（2） y x y ；（3） 2 1；（4） 19 4 15 ．
a2
11
.7【难度】2 星
【解析】依题意，得
3m2 2 n2 1
或
m
2
2．
n 3 n 3 n 3
n 3
8..【难度】1 星 【解析】待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．
(1
1 )2 n
2 n
(n
1 1)2
(
n 1)2 n
2 n
(n
1 1)2
二次根式的乘除运算--知识讲解(提高
二次根式的乘除运算—知识讲解（提高）责编：杜少波【学习目标】1.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.2.能运用二次根式的有关性质进行分母有理化.【要点梳理】要点一、二次根式的乘法1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：≥0，≥0，…..≥0）.(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.要点二、二次根式的除法1.除法法则：==（a≥0，b>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.要点诠释：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，a≥0，b>0，因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.要点三、分母有理化1.分母有理化把分母中的二次根式化去叫做分母有理化.2.有理化因式两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.有理化因式确定方法如下：a-a-与ba=b等分别互为有理化因式.a+与a-+②两项二次根式：利用平方差公式来确定.如+-.要点诠释：分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式.【典型例题】类型一、二次根式的乘除运算1.（1） 21521)74181(2133÷-⨯ （2）243)2()()(a a a -÷-⋅-【答案与解析】（1）原式=1(3()8=⨯-⨯ =34-(2)原式=22122a a -÷=-【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简.举一反三【变式】b b a b a x x b a -÷+⋅-5433622222【答案】原式=21⨯== 2.（2014秋•闵行区校级期中）计算：×（﹣2）÷．【思路点拨】本题中a 作为被开方数，说明a≥0，下面直接利用二次根式的乘除运算法则化简即可．【答案与解析】解：×（﹣2）÷=×（﹣2）×=﹣=﹣=﹣．【总结升华】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．举一反三：【变式】已知，且x 为偶数，求(1+x)的值．【答案】由题意得，即∴6＜x≤9，∵x 为偶数，∴x=8∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=∴当x=8时，原式的值==6．类型二、分母有理化3. 把下列各式分母有理化：【思路点拨】找分母有理化因式.【答案与解析】（1）552555252=∙∙=（2）b a b a ba b a b a b a b a ba b a b a b a -+=--∙-=-∙--∙-=--)()()(222222（3）ba b a b a b a b a b a ba -=-∙+-∙-=+-)()()()(【总结升华】有理化因式不止一个，但以它们的乘积较简为宜.显然，a ±b 与a b ，a ±b 与a b ，a ±b 与a b 都是互为有理化因式.举一反三：【变式】（2014春•隆化县校级期末）阅读材料，并解决问题．定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化．解：原式==+运用以上方法解决问题：（1）将分母有理化；（2）比较大小：（在横线上填“＞”、“＜”或“=”） （n≥2，且n为整数）（3）化简：+++…+．【答案】解：（1）===2﹣；（2）∵=+，=+，又＜，∴＜，∵=+，=+，∴＜，故答案为：＜，＜；（3）原式=++…+=﹣1+﹣+﹣+…+﹣=﹣1.4.已知x=，y=，求下列各式的值：（1）x yx y+-；（2）223x xy y-+.【思路点拨】先把x、y的值分母有理化，再分别代入所求的两个式子即可.【答案与解析】77x y==-==+（1）x yx y+==-2222 (2)3(73(7(7194x xy y-+=---+++=【总结升华】此题考查分母有理化与二次根式乘除的应用.。
专题16 二次根式的乘除（含答案）
专题16 二次根式的乘除知识解读1.二次根式相关法则 （1）乘法法则：ab ab =a ≥0，b ≥0）.a bc abc =a ≥0，b ≥0，c ≥0）.（2）除法法则：a ab b=（a ≥0，b ≥0）. （3）积的算术平方根：ab a b =⋅（a ≥0，b ≥0）.（4）商的算术平方根：a ab b=（a ≥0，b ＞0）. 2.分母有理化（1）分母形如a x 的二次根式，可分子、分母同时乘x .（2）分母形如a x b y +的式子，可利用平方差公式，分子、分母同时乘a x b y -，就可以化去分母中的根号. 3.最简二次根式（1）被开方数不含分式，也就是被开方数是整数或者是整式；（2）被开方数的每一个因数或者因式的指数都小于根指数2，即每个因数或者因式的指数都是1.培优学案典例示范一、二次根式的乘法 例1 计算：（1）0436..⨯； （2）32545223⨯. 【提示】可将系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘，最后将二次根式化简. 【解答】【技巧点评】二次根式变形的最后结果必须是最简二次根式，最简二次根式要求：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 跟踪训练 1.计算：（12330554a b .bc （2320((211548)3⨯.二、二次根式的除法 例2 计算：（1）1327()108÷； （2）(24118854)33÷⨯-.【提示】有括号的先算括号里面的，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数，将除法转化为乘法再进行计算. 【解答】【技巧点评】两个二次根式相除，把根号前面的系数与系数对应相除，根号内的部分对应相除，被开方数对应相除时也可以用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行约分化简. 跟踪训练 2.计算：(23213022)232⨯÷-.三、分母有理化 例3 化简下列各式：（172 （22x y +； （353-； （4232332-； （5x y +.【提示】（12；（2x y +；（3）将分子、分母同时乘53+；（4）将分母提取6；（5）由于x y +的有理化因式x y -可能为零，所以不能将分子分母同乘x y -，可考虑将x y -利用平方差公式因式分解.【解答】 跟踪训练3.将下列各式分母有理化：（1）3540； （2）101280⨯； （3）233a a -+； （4）74323++.四、二次根式的化简 例4 化简:1232＝________. 【技巧点评】二次根式化简的思路很多，只要应用的法则有根有据就行. 跟踪训练 4.化简312aab＝________.【拓展延伸】 例5 比较大小：（1）323 （27582； （351-05.； （4）12m m ++与23m m ++； （5）213与327+； （6）148-与82-【提示】（1）可把前面的系数乘到根号内，然后比较被开方数的大小；（2）可比较两数平方的大小；（3）将两数相减，看差是正数还是负数；（4）将两数相除，比较商与1的大小；（5）可用估值法；（6）将148-与82-看作1481-与821-，然后分子、分母分别同时乘148+和82+.【解答】跟踪训练 5.比较大小：（1）43与34； （2）611+与143+； （3）332+与531-；（4102652； （531-21-； （615141413【竞赛链接】例6 （希望杯试题）322322+-的结果是 ( ) A .3 B . 12 C . 22+D . 22 【提示322322+-. 跟踪训练6.（希望杯试题）如果7352x y +=-，7253x y -=-，那么xy 的值是 （ ）A . 3332+B . 3332-C . 7352-D . 7253-培优训练直击中考 1.★化简13232-+-的值是 （ ） A .0 B . 23 C . 23- D . 4 2.★计算35210⨯的结果应该是 （ ） A .300 B . 302 C . 605 D . 300 3.★y ＞0时，3x y -= （ ） A . x xy - B . x xy C . x xy -- D . x xy -4.★计算：3427a b ＝________；3239()x y x y +＝________. 5.★计算： （1）273； （2）(23418)58÷-.6.★计算： （13022043.； （2320((211548)3-⨯.7.★比较下列各式大小：（1）21135 （2）2736 （3148115；（4）62-与2； （5）237-与73-.8.★当a ＝-3，b ＝-2时，求322442b a a b ab a b b-+-的值.挑战竞赛1. ★★把二次根式1a a-化为最简二次根式是 （ ） A . a B . a - C . a -- D . a - 2.★★（希望杯试题）设11n n x n n+=++11n ny n n +=+-，n 为正整数，如果22221922015x xy y ++=成立，那么n 的值为 （ ） A . 7 B . 8 C . 9 D . 10114142.≈≈________（精确到0.01，22141422222.==≈≈⨯________（精确到0.01）. （2）在下列各题的横线上填上最简单的二次根式，使它们的积不含根号： 3×________； ②26×________； 32________；22a ________； 38x ________1x -×________；（3）根据以上问题解答过程所得到的启发求下列各式的值（精确到0.01）： ①63； ②2105； ③63214； ④15..中小学教育资源及组卷应用平台21世纪教育网。
二次根式的运算规则
二次根式的运算规则二次根式是数学中的一个重要概念，它在代数运算中起着重要的作用。
二次根式即指的是含有根号的数，如√2、√3等。
在进行二次根式的运算时，我们需要遵循一定的规则，下面将详细介绍二次根式的运算规则。
首先，我们来讨论二次根式的加减运算。
对于同类项的二次根式，我们可以直接进行加减运算。
例如，√2 + √3可以简化为√2 + √3。
但是对于不同类项的二次根式，我们无法进行直接的加减运算，需要通过合并同类项的方式进行简化。
例如，√2 + 2√3不能直接进行加减运算，我们可以将其简化为√2 + 2√3= √2 + √2√3 = √2(1 + √3)。
接下来，我们来讨论二次根式的乘法运算。
对于二次根式的乘法运算，我们可以利用分配律进行简化。
例如，(√2 + √3)(√2 - √3) = (√2)^2 - (√3)^2 = 2 - 3 = -1。
在进行乘法运算时，我们需要注意一些特殊情况。
例如，√2 * √2 = (√2)^2 = 2，即同类项的平方根可以简化为原来的数。
除了加减乘法运算，我们还需要了解二次根式的除法运算规则。
对于二次根式的除法运算，我们需要将除数和被除数都进行有理化处理。
有理化处理是指将含有根号的数进行合理的变形，使得分母中不再含有根号。
例如，将√2除以√3，我们可以进行有理化处理得到√2/√3 = (√2/√3) * (√3/√3) = (√6)/3。
此外，我们还需要了解二次根式的化简规则。
对于含有二次根式的复合表达式，我们可以通过合并同类项、分解因式等方式进行化简。
例如，√2 + √8可以化简为√2 + 2√2 = 3√2。
在进行化简时，我们需要注意一些常见的二次根式的简化公式。
例如，√4 = 2，√9 = 3等。
最后，我们需要注意二次根式的乘方运算规则。
对于含有二次根式的乘方运算，我们可以将其转化为含有整数指数的乘方运算。
例如，(√2)^2 = 2，(√3)^3 = 3√3等。
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如果根号前 有系数，就 把系数相除， 仍旧作为二 次根号前的 系数。
a
b
a a 0,b 0
b
例5：化简
(1) 3 100
(2) 75 27
3 25x
9y2
最简二次根式: 1.被开方数不含分母;
2.被开方数不含能开得尽方的因 数或因式.
应用概念
最简二次根式：
1.被开方数不含分母 2.被开方数不含开的尽方的因数或因式
（6）2y2 4xy
(7) 1 2 2 1 1 2 3 35
拓展思考
问题7 观察下列各式，把不是最简二次根式的化 成最简二次根式．
1 = 1 （ 2-1） =（ 2-1）= 2+1 （ 2+1）（ 2-1） 2-1
2-1 ；
1 3+
= 1 （ 3- 2） =（ 3- 2）= 2 （ 3+ 2）（ 3- 2） 3-2
1.计算：
(1)
32 2
(2) 50 10
3 4 1 7
5 10
（5）－34
2 7
(4)2
11 5 1
2
6
____
(7) √___2_R__h_1__
√ 2Rh2
2.化简
7 (1) 2
9
(2)
81 25x2
x
0
(3)
16b2c a2
a
0,
b
0
0.09 ×169 (4)
0.64 ×196
（5） 2a a＋b
例6：化简
1 3
5
2 3 2
27
3 8
2a
在二次根式的运算中， 最后结果一般 要求分母中不含有二次根式.
把分母中的根号化去,使分母变成有理数, 这个过程叫做分母有理化。
练习：把下列各式化简(分母有理化)：
（1） 1 2
（2） 2 3 40
(3) 3b 2a
注意：要进行根式化简，关键是要搞清 楚分式的分子和分母都乘什么，有时还 ห้องสมุดไป่ตู้先对分母进行化简。
a a (a 0,b＞0). bb
（讨论：二次根式乘除法的类同点与不 同之处.）
－3 ＝ －5
mm－ －53 成1立、的等条式件mm是－ －__53_＝____mm_－ －__53__成。立 的 条 件 是____
二次根式的除法公式的应用：
例4： 计算1 24 ，2 3 1
3
2 18
32 11 5 1
3-
2；
同理可得
1 = 4- 3 ，… 4+ 3
拓展思考
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算下面 式子的值．
（1 + 1 + 1 + +
1
）（ 2002+1）
2+1 3+ 2 4+ 3
2002+ 2001
性质的探究
问题1 计算下列各式，观察计算结果，你能发现 什么规律？
（1）
４= ９
2 ____3___；
4= 2 9 ____3___；
（2）
16 = 4
16 = 4
25 ____5___； 25 ___5____；
（3）
36 = 6 49 ____7___；
36 = 6 49 ___7____．
1.归纳： 一般地，二次根式的除法法则是：
问题3 辨别下列二次根式是否是最简二次根式．
（1） 12
；（2）
1 3
； （3）
x2 y2
；（4）
x2+y2 .
(3) 0.3
(8) x3 6x2 9x
二、探究新知
我们把被开方数不含分母且被开方数中 不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫 做最简二次根式.
（注：在二次根式的运算中，最后结果 中的二次根式一般要写成最简二次根式的形 式.）
二次根式的除法
复习提问
1.二次根式的乘法：
a • b ab a≥0,b≥0
ab a • b (a 0,b 0)
2.化简二次根式：
把开方开得尽的因数或因式,开方后移到根号外.
效果检测 2. 化简：
(1) 8 ____ 12 ____ 18 ____ 20 _____ 24 ____ 27 ____ 32 _____ 45 ____ 48 ____ 72 _____ 75 ____