3 第3讲 合情推理与演绎推理

第3讲 合情推理与演绎推理

1．推理

(1)定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程．

(2)分类：推理⎩

⎪

⎨⎪⎧合情推理

演绎推理

2．合情推理

归纳推理

类比推理

定义

由某类事物的部分对象具有某些

特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由

个别事实概括出一般结论的推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征

的推理

特点

由部分到整体、由个别到一般的推理

由特殊到特殊的推理

(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．

(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理． (3)模式：

三段论⎩⎪⎨⎪

⎧①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断.

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ) (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×

(教材习题改编)已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( ) A ．a n ＝3n －1 B ．a n ＝4n －3 C ．a n ＝n 2

D ．a n ＝3n －

1

解析：选C.由a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n －1，则 a 2＝a 1＋2×2－1＝4；a 3＝a 2＋2×3－1＝9； a 4＝a 3＋2×4－1＝16，所以a n ＝n 2.

(2017·高考全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( ) A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩

解析：选D.依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选择 D.

推理“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③三角形不是矩形”中的小前提是________．

解析：由演绎推理三段论可知，①是大前提，②是小前提，③是结论． 答案：②

在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________． 解析：V 1V 2＝1

3S 1h

113S 2h 2＝⎝⎛⎭⎫S 1S 2

·h 1h 2＝14×12＝18.

答案：1∶8

归纳推理(高频考点)

归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度稍大，属中高档题．高考对归纳推理的考查常有以下三个命题角度： (1)与数字(数列)有关的等式的推理； (2)与不等式(式子)有关的推理； (3)与图形变化有关的推理．

[典例引领]

角度一 与数字(数列)有关的等式的推理

有一个奇数组成的数阵排列如下：

1 3 7 13 21 … 5 9 15 23 … … 11 17 25 … … … 19 27 … … … … 29 … … … … … … … … … … …

则第30行从左到右第3个数是________．

【解析】 观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是1＋4＋6＋8＋10＋…＋60＝30×（2＋60）

2－1＝929.又第n 行从左到右的第2个数比第1个数大2n ，第3

个数比第2个数大2n ＋2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是929＋60＋62＝1 051. 【答案】 1 051

角度二 与不等式(式子)有关的推理

(2016·高考山东卷)观察下列等式：

⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2

＝43

×1×2；

⎝⎛⎭⎫sin π5－2

＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2

＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2

＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2

＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2

＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2

＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2

＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2

＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2

＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2

＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2

＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2

＝43

×4×5； …… 照此规律，

⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2

＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2

＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2

＋…＋⎝⎛⎭

⎫sin 2n π2n ＋1－2

＝__________． 【解析】 每组角的分母恰好等于右边两个相邻正整数因数的和．因此答案为4

3n (n ＋1)．

【答案】 4

3

n (n ＋1)

角度三 与图形变化有关的推理

我国的刺绣有着悠久的历史，如图所示中的(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，

这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形，则f (n )的表达式为( )