弦长及中点弦问题

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2022届高考数学精品微专题：中点弦问题

2022届高考数学精品微专题：中点弦问题一、常用结论1.椭圆中点弦问题结论（以焦点在x 轴的椭圆方程)0(12222>>=+b a by a x 为例）（1）如图，在椭圆C 中，E 为弦AB 的中点，则22b k k AB OE −=⋅;（证明：用点差法）（2）注意：若焦点在y 轴上的椭圆)(12222>=+ba ay b x 2b ABOE2.双曲线中点弦结论（以焦点在x 轴的双曲线方程12222=−by a x 为例）图1 图2（1）如图1或图2，E 为弦AB 的中点，则22ab k k ABOE =⋅; （2）注意：若焦点在y 轴上的双曲线12222=−b x a y ，则22ba k k AB OE =⋅3.抛物线中点弦结论（1）在抛物线)0(22≠=p px y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则p y k MN =⋅0. 即：0y p k =（2）同理可证，在抛物线)0(22≠=p py x 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m x k MN=⋅01.即：px k 0=、典例【选填解答题】1．（2021·云南昆明市·昆明一中高三）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，，过点F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（） A ．2 B ．2− C ．12−D ．12【答案】C【分析】先根据已知得到22，再利用点差法求出直线的斜率.【详解】由题得222222242,4()2,2c c a a b a a b a =∴=∴−=∴=.设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b += += ，两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +−++−=，所以2()2a ()0所以221212()240()y y b b x x −+=−，所以1120,2k k +=∴=−.2.【2014年江西卷（理15）】过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为【解析】由椭圆中点弦性质可得1222−=−=⋅e a b k k AB OM ，则 <<−=×−1011212e e ，故e =3.【2013全国卷1理科】已知椭圆E ：(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A ．B ．C ．D ．【解析】22a b k k AB MF −=⋅，得22)1(13)1(0a b −=−×−−−，∴=，又9==，解得=9，=18， ∴椭圆方程为，故选D ．(1,1)M 12−C 22221(0)x y a b a b +=>>,A B M AB C 2222=1x y a b+22=14536x y +22=13627x y +22=12718x y +22=1189x y +22b a 122c 22a b −2b 2a 221189x y +=（全国卷Ⅲ第一问）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：143+=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1,)M m (0)m >．证明：12k <−．【答案】证明见解析．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2211143x y +=，2222143x y +=，上述两式相减，则32b kk 由题设知1212x x +=，122y y m +=，故43−=⋅m k ，于是34k m =−．由<+>134102m m 得302m <<，故12k <−．5.（2020年湖北高二期末）如图，已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞，斜率为﹣1的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，平行四边形OAMB （O 为坐标原点）的对角线OM 的斜率为13，则椭圆的离心率为ABCD ．23【答案】B【解析】方法1：设直线AB 方程为y x n =−+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由22221x y a b y x n +==−+得：22222222()20a b x a nx a n a b +−+−=， ∴212222a n x x a b+=+，12122()y y n x x +=−+，设(,)M x y ， ∵OAMB 是平行四边形，∴OM OA OB =+，∴1212,x x x y y y =+=+， ∴12121212122()21OM y y n x x y n k x x x x x x x +−+====−+++22222113a b b a a +=−==，223aa，∴3ea ．故选B ．方法2：（秒杀解） <<−=−⇒−=−=⋅1031112222e e e a b k k OMAB ，得36=e ．故选B ．6.【2019一中月考】直线与椭圆：相交于两点，设线段的中点为，则动点的轨迹方程为（）D7．已知椭圆2217525+=y x 的一条弦的斜率为3，它与直线12x =的交点恰为这条弦的中点M ，则M 的坐标为（） A ．11,2B ．11,22C ．11,22−D ．11,22−【答案】C 【分析】由题意知：斜率为3的弦中点01(,)2M y ，设弦所在直线方程3y x b =+，结合椭圆方程可得122b x x +=−即可求b ，进而求M 的坐标. 【详解】由题意，设椭圆与弦的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，:3AB y x b =+，则将3y x b =+代入椭圆方程，整理得：22126750x bx b ++−=，∴22123648(75)02b b bx x ∆=−−> +=−，而121x x =+，故2b =−， ∴:32AB y x =−，又01(,)2M y 在AB 上，则012y =−，故选：C)(4R m m x y∈+C 1232=+y B A ,AB M M 16.+−=x y A 6.xy B −=)33(16.<<−+−=x x y C )26526(6.<<−−=x x y D22a b 圆于A ，B 两点.若AB 的中点坐标为（1，1−），则G 的方程为（）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆的标准方程，两式作差可得ABk 22b a =，由22b a =12，9=2c =22a b −，【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +=－2，2211221x y a b +=，①2222221x y a b +=，②①－②得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +−+−+=，∴AB k =1212y y x x −−=212212()()b x x a y y +−+=22b a ，又ABk =0131+−=12，∴22b a =12，又9=2c =22a b −，解得2b =9，2a =18，∴1899．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中）已知离心率为12的椭圆()222210y x a b a b+=>>内有个内接三角形ABC ，O 为坐标原点，边AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，直线AB BC AC 、、的斜率分别为123k k k ，，，且均不为0，若直线OD OE OF 、、斜率之和为1，则123111k k k ++=（） A ．43−B ．43C ．34−D ．34【答案】C【分析】设出椭圆方程，设出A B C ，，的坐标，通过点差法转化求解斜率，然后推出结果即可．【详解】由题意可得12c a =，所以2243,b a =不妨设为22143y x +=.设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，222211221,14343y x y x +=+=，两式作差得21212121()()()()34x x x x y y y y −+−+=−，则21212121()3()()4()x x y y y y x x +−=−+−，134OD ABk k =−，同理可得1313,44OF OE AC BC k k k k =−=−，所以12311133()44OD OE OF k k k k k k ++=−++=−，10．（2020·广东广州市·执信中学）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>，ABC ∆的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，且三条边所在直线的斜率分别1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为0．O 为坐标原点，则（）A ．22:1:2a b =C ．直线BC 与直线OE 的斜率之积为12−D ．若直线OD ，OE ，OF 的斜率之和为1，则123111k k k ++的值为2− 【答案】CD【分析】由题意可得：222a b =．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．0(D x ，0)y ．利用点差法即可得出11·2OD k k =−，2·2OE k k =−，3·2OF k k =−，即可判断．【详解】椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>，∴222112b e a =−=，222a b ∴=，故A 错；设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．0(D x ，0)y ．2211221x y a b+=22221x y ，两式相减可得：21212212121·2y y y y b x x x x a +−=−=−+−．11·2OD k k ∴=−，同理21·2OE k k =−，31·2OF k k =−，故B 错，C 正确．又1231112()2OD OE OF k k k k k k ++=−++=−，11．（2020·广东广州市·执信中学）已知直线L 与双曲线22221()00a x y a bb >−=>，相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，若直线L 的斜率为1k ，OM 的斜率为2k ，且122k k =，则双曲线渐近线的斜率等于（） A．±B ．2±C．D ．12±【答案】C【详解】设()()1122,,,,(,)A x y B x y M x y ，则12122,2x x x y y y +=+=，2222222211a b x y ab −= ，两式相减可得：()()()()222221221212222211110,220x x y y x x x a a y y y b b−−−=−×−−×=，∵直线L 的斜率为()110k k ≠，直线OM 的斜率为2k ，212211222y y y b k x x a k x −=⋅==−∴，则b a=12．（2020·四川成都市·成都七中）过点(1,4)P 作直线l 交双曲线2214x y −=于A ，B 两点，而P 恰为弦AB的中点，则直线l 的斜率为（）. A ．116− B ．-1 C ．116D ．1【答案】C【分析】根据P 为AB 的中点，利用点差法，设()11,A x y ，()22,B x y ，由221122221414x y x y −=−= ，两式相减求解. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，因为P 为AB 的中点，则12121242x x y y + = + = ，所以121228x x y y += += ，将A 、B 代入双曲线2214xy −=得，221122221414x y x y −=−= ，两式相减得：()()22221212104y y x x −−−=，整理得：1212121214y y x x x x y y −+=⋅−+，所以12121214816ABy y k x x −==×=−.13．（2021·全国高二）已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22221x y a b−=(0a >，0b >)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为3(1)M ，.则C 的离心率为（） A ．2 BC ．3 D【答案】A【详解】设()()1122,,,B x y D x y ，2222222211a b x y a b −= ，两式做差得()()()()12121212220x x x x y y y y a b −+−+−=整理得()()()()2121221212y y y y b a x x x x −+=−+，而12121BD y y k x x −−==，122x x +=，126y y +=，代入有223b a =，即2223c a a−=，可得2c e a ==．14．（2020·广州市天河中学）已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(M −，则E 的方程为（） A ．22145x y −=B ．22163x y −=C ．2254x y −=22x y 【答案】B【详解】设双曲线E 的标准方程为22221x y a b−=，由题意知：3c =，即229a b +=①，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为(M −，124x x ∴+=−，12y y +，又A ，B 在双曲线上，则22112222222211x y a b x y ab −= −= ，两式作差得：22221212220x x y y a b−−−=，即()()()()1212121222x x x x y y y y a b −+−+=，即()()2121221212ABb x x y y k x x a y y +−====−+，又M F ABM F y y k x x −===−即解得：222a b =②，由①②解得：26a =，23b =，∴双曲线的标准方程为：22163x y −=.15．（2019·陕西高考模拟）双曲线221369x y −=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（） A.20x y −−=B.2100x y +−=C.20x y −=D.280x y +−=【答案】C【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，则22111369x y −=，22221369x y −=，369即121212129()98136()3642y y x x kx x y y −+×===−+×， ∴弦所在的直线方程12(4)2y x −=−，即20x y −=．故选：C28y 上有三个点A ，B ，C 且AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，用字母k 表示斜率，若8OD OE OF k k k ++=−（点O 为坐标原点，且OD k ，OE k ，OF k 均不为零），则111AB BC ACk k k ++=________. 【答案】-1【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,D x y ，则1202x x x +=，1202y y y +=，21118y x −=，22218y x −=, 两式相减得()()()()121212128y y y y x x x x +−−+=，整理可得0121208y x x y y x −=−，即18OD ABk k =，同理得18OE BCk k =，18OF AC k k =.因为8OD OE OF k k k ++=−，所以1111AB BC AC k k k ++=−.17．（2020·全国高二课时练习）双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的右焦点分别为F ，圆M 的方程为()22252x y b −+=.若直线l 与圆M 相切于点()4,1P ，与双曲线C 交于A ，B 两点，点P 恰好为AB 的中点，则双曲线C 的方程为________.【答案】2214x y −=【详解】设点()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的斜率为k ，则10145k −⋅=−−，所以1k =，()22224512b =−+=，即21b =，则2211221x y a b−=，2222221x y a b −=.两式相减，得()()()()1212121222x x x x y y y y a b −+−+= 则()()222121222212128412b x x y y b b k x x a y y a a +−=====−+，即24a =，所以双曲线C 的方程为2214x y −=.相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23−，则此双曲线的方程是 A.22134x y −= B.22143x y −= C.22152x y −= D.22125x y −= 【答案】D【解析】设双曲线的方程为221(0,0)x ya b a b−=>>，由题意可得227a b +=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则MN 的中点为25,33 −− ，由2211221x y a b −=且2222221x y a b −=，得()()12122x x x x a +−=()()12122y y y y b +−，2223a ×−=（）2523b ×−（），即2225a b=，联立227a b +=22125x y −=．故选D ．19.已知双曲线的左焦点为，过点F 且斜率为1的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点，则双曲线C 的离心率为（） A.B.C.D. 2【答案】D 【解析】【分析】设线段AB 的中点坐标为，根据求出线段的中点坐标，用点差法求出关系，即可求解【详解】设线段AB 的中点坐标为，则有，设，代入双曲线方程有，两式相减得， 2222:1x y C a b−=(0,0)a b >>(,0)F c −(2,0)P c ()00,M x y 11,1,MF MP k k ==−AB M ,a c ()00,x y 000112y x c y x c= +=− − 0,2c x ⇒=032y c =1122(,),(,)A x y B x y 2222112222221,1x y x y a b a b−=−=可得，即， .故选:D.20．直线l 过点(1,1)P 与抛物线4y x =交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（） A ．2B ．2−C ．12D ．12− 【答案】A【分析】利用点差法，21122244y x y x = = 两式相减，利用中点坐标求直线的斜率. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，21122244y x y x = = ，两式相减得()2212124y y x x −−，即()()()1212124y y y y x x +−=−，当12x x ≠时，()1212124y y y y x x −+=−，因为点()1,1P 是AB 的中点，所以122y y +=，24k =，解得：2k =故选：A21．（2019秋•湖北月考）斜率为k 的直线l 过抛物线y 2＝2px （p ＞0）焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，点P （x 0，y 0）为AB 中点，则ky 0为（）A ．定值B ．定值pC ．定值2pD ．与k 有关的值【分析】设直线方程与抛物线联立得纵坐标之和，进而的中点的纵坐标，直接求出ky 0的值为定值．【解答】解：显然直线的斜率不为零，抛物线的焦点（，0），22a b 002210x y a b−⋅=2213,a b =223b a =2,c a ∴=2e =直线与抛物线联立得：y 2﹣2pmy ﹣p 2＝0，y +y '＝2pm ，所以由题意得：y 0＝＝pm ，所以ky 0＝•pm ＝p ，故选：B ．22．过点)1,4(Q 作抛物线x y 82=的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，则AB 所在的直线方程为_______. 解：x y 82=，mx y 22=，∴4=m . 由m y k=得：4=k ∴AB 所在的直线方程为)4(41−=−x y ，即0154=−−y x .23．设1P 2P 为抛物线y x =2的弦，如果这条弦的垂直平分线l 的方程为3+−=x y ，求弦1P 2P 所在的直线方程.解：y x =2，my x 22=，∴21=m . 弦1P 2P 所在直线的斜率为1. 设弦1P 2P 的中点坐标为),(00y x .由m x k P P =⋅0211得：210=x . 弦1P 2P 的中点也在直线3+−=x y 上，∴253210=+−=y .弦1P 2P 的中点坐标为)25,21(. ∴弦1P 2P 所在的直线方程为)21(125−⋅=−x y ，即02=+−y x .24． ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2，2)， ABC 的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 边所在直线的方程为________．【答案】4x ＋4y ＋5＝0【分析】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，先求出点M 的坐标，再求出直线BC 的斜率，即得解.【详解】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，易知1(,0)2G ，则12122132203x x y y ++ = ++ =从而12012012412x x x y y y + ==− + ==− ，即1(,1)4M −−，又2211222,2y x y x ==，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率1212002BC x x y y y y −+故直线BC 的方程为y －(－1)＝1()4x −+，即4x ＋4y ＋5＝0.故答案为：4x ＋4y ＋5＝025．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为. （1）求双曲线C 的标准方程；（2）过点()1,1Q 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，且恰好为线段MN 的中点，求线段MN 长度.【答案】（1）2212y x −=；（2. 【分析】（1）根据双曲线的定义c =，a =，即可求出双曲线的方程；（2）先根据点差法求直线l 的方程，再根据弦长公式即可求出【详解】（1）双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为，则a =，c =，而222321b c a =−=−=， ∴双曲线C 的标准方程2212y x −=；（2）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，点()1,1Q 恰好为线段MN 的中点，即有122x x +=，122y y +=，又221122221212y x y x −= −= ，两式相减可得121212121()()()()2y y y y x x x x −+=−+， ∴12122y y x x −−=， ∴直线l 的斜率为2k =，其方程为12(1)y x −=−，即21y x =−，由222122y x y x =− −=，即22410x x −−=，可得1212x x =−，则MN ===26．已知直线l 与抛物线2:5C y x =交于,A B 两点．（2）若弦AB 的中点为()6,1−，求l 的方程．【答案】（1；（2）52280x y +−=. 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，写出韦达定理，利用弦长公式即可求解；（2）利用点差法求出直线斜率，即可求出直线方程. 设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ．（1）联立25,21,y x y x = =− 得24910,0x x −+=∆>，因此121291,44x x x x +==，故||AB （2）因为,A B 两点在C 上，所以2112225,5,y x y x = = 两式相减，得()2221215y y x x −=−，因为12122y y +=−×=−，所以212112552ABy y k x x y y −===−−+，因此l 的方程为5(1)(6)2y x −−=−−，即52280x y +−=．。

专题07 双曲线的焦点弦、中点弦、弦长问题-2022年高考数学圆锥曲线重难点专题突破(解析版)

专题07 双曲线的焦点弦、中点弦、弦长问题一、单选题1．设1F ，2F 为双曲线2214y x -=的两个焦点，点P 在双曲线上且满足1290F PF ∠=︒，则12F PF △的面积为（） A ．2 BC ．4 D．【解析】由题意，双曲线2214y x -=，可得1,2a b ==，则c =因为点P 在双曲线上，不妨设点P 在第一象限，由双曲线的定义可得122PF PF -=，又因为1290F PF ∠=︒，可得2221212PF PF F F +=，即2221220PF PF +==，又由222121212()2PF PF PF PF PF PF +=-+，可得2122220PF PF +=，解得128PF PF =，所以12F PF △的面积为12142S PF PF ==.故选：C. 2．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，与直线20x y +=交于A ，B两点，若AB =双曲线的方程为（） A ．2225y x -=B ．2216y x -=C ．229y x -=D ．226y x -=【解析】由题意可设双曲线方程为22y x m -=，0m >，由2220y x m x y ⎧-=⎨+=⎩得23x m =，则x =，0m >，不妨假设A x =A y =-由图象的对称性可知，AB =OA9m =，故双曲线方程为：229y x -=，故选：C3．过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：22x －y 2＝1相交于A ，B 两点，若P 为线段AB 的中点，则|AB |＝（） A ．B ．C ．D ．【解析】解法一：由题意可知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x－4)＋2.由22(4)2,12y k x x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得(1－2k 2)x 2＋8k (2k －1)x －32k 2＋32k －10＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝－28(21)12k k k --＝8，解得k ＝1.所以x 1x 2＝2232321012k k k-+--＝10.所以|AB |＝故选:D. 解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221112x y -= ， ①，222212x y -=. ②①－②得12(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.所以4(x 1－x 2)－4(y 1－y 2)＝0，即x 1－x 2＝y 1－y 2，所以直线AB 的斜率k ＝1212y y x x --＝1. 则直线AB 的方程为y ＝x －2.由222,12y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得x 2－8x ＋10＝0，所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10.所以|AB |故选：D4．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，过其左焦点()F 作斜率为2的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，则截得的弦长AB =（） A．B．C ．10D．【解析】∵双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，∴ba=b，∵左焦点()F，∴c =222233=+==c a b a ，∴21a =，22b =， ∴双曲线方程为2212y x -=，直线l的方程为(2=y x ，设()11,A x y ，()22,B x y由(22212y x y x ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，消y可得270++=x，∴12+=-x x 127=x x ，∴10====AB ．故选:C5．已知双曲线C : 22221x y a b -= (a >0，b >0)，过点P (3，6) 的直线l 与C 相交于A ， B 两点，且AB 的中点为N (12，15)，则双曲线C 的离心率为（） A ．2B ．3C ．32D【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由已知可得2211221x y a b-=，2222221x y a b -=，相减化简可得2121221212=0y y y y b a x x x x -+-⋅-+，又AB 的中点N (12,15)，直线AB 过点P (3,6)， ∴ 1224x x +=，1230y y +=，12121y y x x -=-，∴ 2254b a =，∴ 2222914c b a a =+=，∴ 离心率32c e a ==，故选：C.6．已知双曲线C ：2214y x -=，经过点M (2，1)的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，则直线l 的方程为（） A ．8x －y －15＝0 B ．8x ＋y －17＝0 C ．4x ＋y －9＝0D ．4x －y －7＝0【解析】设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则2211222244,44,x y x y ⎧-=⎨-=⎩ 两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.因为M (2，1)是线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 所以16(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0，所以k AB ＝1212y y x x --＝162＝8，故直线l 的方程为y －1＝8(x －2)，即8x －y －15＝0.故选：A ．7．已知双曲线222:1(3)9-=>x y C a a 左､右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作x 轴的垂线l 交双曲线C 的于A ，B 两点，若2ABF 的周长为25，则双曲线C 的渐近线方程为（）． A ．340±=x yB ．430x y ±=C ．380x y ±=D ．830x y ±=【解析】设1(,0)F c -，12(,),(,)A c y B c y --，因为l 垂直x 轴，所以12y y =-，又A 、B 在双曲线C 上，所以221219y c a -=，又22229c a b a =+=+，所以219b y a a==，所以2218b AB a a==，所以2ABF 的周长为221122AF BF AB a AF a BF AB ++=++++ =18424225a AB a a +=+⨯=，所以4a =或94a =（舍）所以双曲线C 的渐近线方程为34yx ，即340±=x y .故选：A8．设双曲线2222:1(>>0)x y C a b a b-=的右焦点为F,点P 在C的一条渐近线0x =上,O 为坐标原点,若OF PF =且∆POF的面积为则C 的方程为A ．2212x y -=B ．22142x y -=C ．22163x y -=D ．22184x y -=【解析】20x y +=为双曲线2222:1(>>0)x y C a b a b-=的一条渐近线，故设双曲线方程为22:1(>0)2x y C λλλ-=，则右焦点F 的坐标为)F，20x y +=，因为P 在0x +=上，且OF PF =，则右焦点F 的坐标为)F到直线0x +=的距离d ==OP ∴==1122POF S OP d ∆∴==⨯= 2λ∴=，故22:142x y C -=，故选：B二、多选题9．双曲线E 的方程为2213x y -=，12F F 、分别为左右焦点，P 为双曲线上一点，且172PF =，直线l ：()2y k x =-与E 交于A ，B 两点，则（）A ．272PF =+27=2PF -B ．EC ．E 的渐近线与圆2221x y 相切D ．满足AB =l 有3条【解析】由双曲线E 的方程为2213x y -=，则在双曲线E 中1,2a b c ===选项A ，当点P 在右支上时，12PF c a ≥+=722<P 在左支上，则21722PF PF a =+=+A 不正确.选项B.双曲线E 的离心率为c e a ===B 不正确.选项C.双曲线E 的渐近线方程为0x =圆2221x y 的半径为1，圆心为()2,0到渐近线0x =的距离为1d ==所以E 的渐近线与圆2221x y 相切，故选项C 正确.选项D. 由直线l ：()2y k x =-恒过点()2,0，即直线l ：()2y k x =-过双曲线的右焦点.若直线l 与双曲线E 的右支相交于A ，B 两点，当l x ⊥轴时，223b AB a ==由AB =2条.若直线l 与双曲线E 的左、右支各有一个交点，此时2AB a = 则满足条件的直线即为0y =，故此时只有一条直线满足条件. 综上所述：满足条件的直线有3条，故选项D 正确故选：CD10．已知双曲线22:14x E y -=的右焦点为F ，过F 的动直线l 与E 相交于A ，B 两点，则（）A ．曲线E 与椭圆2216y x +=有公共焦点B ．曲线E ，渐近线方程为20x y ±=．C ．AB 的最小值为1D ．满足AB 4=的直线l 有且仅有4条【解析】对于A ：由2214x y -=知双曲线的焦点在x 轴上，由2216y x +=知椭圆的焦点在y 轴上，所以焦点不相同，故选项A 不正确；对于B ：由双曲线22:14x E y -=可得24a =，21b =，所以222415c a b =+=+=，所以双曲线的离心率为c e a ==，渐进线方程为12b y x x a =±=±，即20x y ±=，故选项B 正确；对于C ：当A ，B 两点位于双曲线的异支时，直线AB 的斜率为0时AB 最小，此时A ，B 两点分别为双曲线的左右顶点，此时24AB a ==，当A ，B 两点位于双曲线的同支时，直线AB 的斜率不存在时AB 最小，直线AB 的方程为x =2214x y -=可得12y =±，所以1212AB =⨯=，所以AB 的最小值为1，故选项C 正确；对于D ：由选项C 知，当A ，B 两点位于双曲线的异支时，min 4AB =，此时只有一条，当A ，B 两点位于双曲线的同支时，min 1AB =，根据对称性可知，此时存在两条直线使得AB 4=，所以满足AB 4=的直线l 有且仅有3条.故选项D 不正确；故选：BC.11．已知双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，的左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线交于A ，B 两点，A 在第一象限，若△1ABF 为等边三角形，则下列结论一定正确的是（） A ．双曲线CB ．12AF F △的面积为2 C ．12BF F △的内心在直线x a =±上D ．12AF F △内切圆半径为)1a【解析】对于C ，设12BF F △的内心为I ，作过I 作1212,,BF BF F F 的垂线，垂足分别为,,H G P ，如图，则12122F P F P F B F B a -=-=，所以OP a =，所以12BF F △的内心在直线x a =±上，故C 正确；△1ABF 为等边三角形,若,A B 在同一支，由对称性知AB x ⊥轴，2(,)b A c a ，2tan 302b a c∴=，2b =.2221b e a ∴=+=,e =12222221232AF Fb bc S c a a a =⨯⨯==△, 设12AF F △的内切圆半径为r，则()2162r a+=，解得)1r a =；若,A B 分别在左右两支，则2112,4F A a F A F B AB a ====，则2221241641cos 2242a a c F AF a a +-==-⨯⨯，解得c=，离心率e 122124sin120232AF F S a a =⨯⨯=△，设12AF F △的内切圆半径为r ，则()2162r a +=，解得r =；所以结论一定正确的是BC.故选：BC. 12．已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30的直线分别交y 轴与双曲线右支于点,M P，1PM MF =，下列判断正确的是（）A ．21π3PF F B ．2112MF PF =C ．ED ．E的渐近线方程为y =【解析】1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，2//OM PF ∴， 12OM F F ⊥，212PF F F ∴⊥，212PF F π∴∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确；由212PF F F ⊥知：22bPF a=，又122F F c =，1230PF F ∠=，2c =)222c a ac -=，220e -=，解得：e =C 正确；c e a ==223c a ∴=，22222b c a a ∴=-=，ba∴ E∴的渐近线方程为y =，D 正确.故选：BCD. 三、填空题13．过点()1,1P 的直线l 与双曲线2212y x -=交于,M N 两点，且点P 恰好是线段MN 的中点，则直线l 的方程为___________.【解析】过点(1,1)P 的直线l 与该双曲线交于M ，N 两点，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，∴221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减可得：121212121()()()()2x x x x y y y y -+=+-，因为P 为MN 的中点，122x x ∴+=，122y y +=，12122()x x y y ∴-=-，则12122MNy y x x -==-，所以直线l 的方程为12(1)y x -=-，即为210x y --=．故答案为：210x y --=．14．已知双曲线22143x y -=的左､右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，且12PF F S=12FPF ∠=___________.【解析】依题意2,a b c ===12,PF mPF n ==，不妨设m n >，122F F c ==，设()120,F PF θπ=∈∠，根据双曲线的定义、余弦定理、三角形的面积公式得(22242cos 1sin 2m n m n mn mn θθ⎧-=⎪⎪⎪=+-⎨⎪⎪=⎪⎩，()22216282cos sin m n m n mn mn θθ⎧-=⎪=+-⎨⎪=⎩，2222216282cos sin m n mn m n mn mn θθ⎧+-=⎪=+-⎨⎪=⎩，282162cos mn mn mn θ=+-⎧⎪⎨=⎪⎩，()1221cos mn mn θ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，()1221cos θ=-cos 1θθ+=， 12sin 1,sin 662ππθθ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于70,666πππθπθ<<<+<，所以52,663πππθθ+==，所以1223F PF π∠=.故答案为：23π15．已知1F ，2F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，以1F ，2F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为M ，1210F F =，122MF MF =，则双曲线的标准方程为______．【解析】由双曲线定义得122MF MF a -= 又122MF MF =，解得：22MF a =，14MF a =，∵M 为以1F ，2F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点，∴12MF MF ⊥ ∴()()2222410a a +=，解得：25a =，∴22525520b c =-=-=，故双曲线标准方程为：221520x y -=．16．已知双曲线C ：22145x y -=的左､右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于P ，Q 两点，当PQ 最小时，四边形12F PF Q 的面积为___________.【解析】设()()1122,,,P x y Q x y ，由22145y x m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得2284200x mx m ---=，由韦达定理得212128,420x x m x x m +=⋅=--，所以PQ ===当0m =时，PQ 有最小值()()12,,,0330F F -到直线y x =的距离分别为12,d d ，12d d ==所以四边形12F PF Q 的面积为()12121122F PQF PQS S SPQ d d =+=⋅+=⨯=⎝⎭四、解答题17．已知点()4,0M -，()4,0N ，动点P 满足条件PM PN -=P 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）过曲线C 的一个焦点作倾斜角为45°的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB ．【解析】（1）因为8PM PN MN -==，所以点P 的轨迹是以,M N 为焦点，实轴长为所以24a c ==，所以222212,16124a b c a ==-=-=，所以C 的方程为：221124x y -=；（2）不妨设焦点()4,0F ，则直线l ：4y x =-由2241124y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 得：212300x x -+=．设()11,A x y ，()22,Bx y ，则1212x x +=，1230x x =，所以AB==18．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>. （1）求双曲线的标准方程；（2）直线l ：3y x m =+与双曲线交于A ，B两点，若AB =，求m 的值. 【解析】（1）由题得顶点(),0a 到渐近线b y x a =，即0bx ay -=c e a ==222+=a b c ，则可解得2,a b ==，故双曲线方程为22143x y -=；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立221433x y y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩可得2233244120x mx m +++=，则()()22244334120m m ∆=-⨯⨯+>，解得233m >2121224412,3333m m x x x x ++=-=，则AB ==，解得6m =±.19．已知双曲线22:145x y C 的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点（点P 在x 轴上方）．（1）若3PF FQ =，求直线l 的方程；（2）设直线,AP BQ 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值．【解析】（1）设直线PQ 方程为3x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y222235(3)4205420x my my y x y =+⎧⇒+-=⎨-=⎩，()225430250m y my ⇒-++= 由过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，则()()22222540300542505*********m m m m m m ⎧-≠⎪-⎪>⎪-⎪⎨⎪<-⎪⎪∆=-⨯⨯->⎪⎩，0m ⇒<<，由点P 在x 轴上方，则12y y ==33PF m FQ ==-⇒=⇒=∴直线l方程为30x y y =+⇒--=（2）由方程可得()()2,0,2,0A B -，设()11,P x y ，()22,Q x y则()221111221111545422444PA PBx y y y k kx x x x -⋅=⨯===+---，所以154AP PBk k k == ,所以1225544PB PB PQ k k k k k k =⋅⋅= 要证12k k 为定值，只需证54PB BQ k k ⋅为定值，由（1）可知1223054m y y m -+-=，1222554y ym =-()()121212122211BP BQy y y y k k x x my my ⋅=⋅=--++()2222121222252554542530115454m m mm y y m y y m m m m --==-+++⋅+⋅+--22225252530544m m m ==--+-，∴125414255k k ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭为定值． 20．已知过点()的双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是0x y +=. （1）求双曲线C 的方程；（2）若O 是坐标原点，直线l ：1y kx =-与双曲线C 的两支各有一个交点，且交点分别是A ，B ，AOB 的k 的值.【解析】（1）因为双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是0x y +=，所以可设双曲线C 的方程是()220x y λλ-=≠，则(21λ-=，解得1λ=.所以双曲线C 的方程是221x y -=.（2）由221,1,x y y kx ⎧-=⎨=-⎩消去y 整理，得()221220k x kx -+-=.由题意知()22210,4810,k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+->⎪⎩解得k <1k ≠±. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则12221k x x k -+=-，12221x x k =--. 因为l 与双曲线的交点分别在左､右两支上，所以120x x ⋅<，所以210k ->，所以11k -<<，则()1212OAB S x x =-=△ 所以()()(2221212124x x x x x x -=+-=，即2228811k k k⎛⎫-+= ⎪--⎝⎭，解得0k =或k =()1,1-/，所以0k =. 21．直线(,)y kx m k m =+∈R 与双曲线2213y x -=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥．（1）求k 与m 满足的关系；（2）求证：点O 到直线AB 的距离是定值，并求AB 的最小值．【解析】（1）设点A ()11,x y ,B ()22,x y ,联立2213y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消y 得()2223230k x kmx m ----=,∴21222122302333kkmx xkmx xk⎧⎪-≠⎪⎪+=⎨-⎪⎪--=⎪-⎩,由OA OB⊥得()()2212121212·10OAOB x x y y k x x km x x m=+=++++=代入化简可得k和m满足的关系为:22233(m k k-=≠;（2）由点到直线的距离公式可得:d,由(1)得22233mk-=代入可解得d=;由直线与双曲线交点弦弦长公式可得:AB==令23k t-=(t≤3)化简可得AB==由t≤3可得当113t=,t=3时minAB.22．已知圆锥曲线E的两个焦点坐标是12(F F，且离心率为e=（1）求曲线E的方程；（2）设曲线E'表示曲线E的y轴左边部分，若直线1y kx=-与曲线E'相交于,A B两点，求k的取值范围；（3）在条件（2）下，如果63AB=E'上存在点C，使OA OB mOC+=，求m的值．【解析】（1）由知，曲线E是以F10），F2，0）为焦点的双曲线，且ca=1a=，∴b2=2﹣1=1，故双曲线E的方程是x2﹣y2=1．（2）由22110y kxx y x=-⎧⎨-=⎩，＜消去y整理得()21x2220,0k kx x+=﹣﹣＜，设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得方程有两个负数根，∴()22212212210(2)8102121kk kkx xkx xk⎧-≠⎪=+-⎪⎪-⎨+=⎪-⎪-⎪=-⎩＞＜＞，解得1k<-，∴实数k的取值范围是()1-．（3）由题意及（2）得AB 1﹣x 2整理得28k 4﹣55k 2+25=0，解得257k =或254k =1k -＜，∴k=故直线AB 10y ++=．设C （x 0，y 0），由OA OB +=m OC ，得（x 1，y 1）+（x 2，y 2）=（mx 0，my 0），又12221kx x k -+=-=﹣y 1+y 2=k （x 1+x 2）﹣2=8，∴8C m ⎫⎪⎪⎝⎭． ∵点C 在曲线E 上，∴2280641m m -=，解得m=±4，当m=﹣4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意， ∴m=4为所求．。

弦长及中点弦问题

直线与圆锥曲线的位置关系 ——弦长问题及中点弦问题（综合卷）一．知识网络结构：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧繁琐）利用两点间距离公式（易）利用一般弦长公式（容弦长问题直线与圆锥曲线相交的系）直线与圆锥曲线位置关代数角度（适用于所有位置关系主要适用于直线与圆的几何角度关系直线与圆锥曲线的位置直线与圆锥曲线)(.1二．题型解读：题型一：弦长问题：直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。

即当直线()k 斜率为与圆锥曲线交于点()11y ,x A ，()22y ,x B 时，则AB =2k 1+21x x -=2k 1+()212214x x x x -+可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和，两根之积的代数式，然后再进行整体带入求解。

例1.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线241x y =的焦点，离心率为552．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线1:+=x y l 与椭圆C 相交于两点A,B,求|AB|。

例2，斜率为1的直线经过抛物线4x y 2=的焦点，与抛物线相交于两点A,B ，求线段AB 的长。

繁琐）利用两点间距离公式（易）利用一般弦长公式（容题型二：中点弦问题：求以某定点为中点的圆锥曲线的弦的方程的几种方法：⑴.点差法：将弦的两个端点坐标代入曲线方程，两式相减，即可确定弦的斜率，然后由点斜式得出弦的方程；⑵.根与系数的关系法：设弦的点斜式方程，将弦的方程与曲线方程联立，消元后得到关于x （或y ）的一元二次方程，用根与系数的关系求出中点坐标，从而确定弦的斜率k ，然后写出弦的方程；⑶.设弦的两个端点分别为()()2211,,,y x y x ，则这两点坐标分别满足曲线方程，又⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x 为弦的中点，从而得到四个方程，由这四个方程可以解出两个端点，从而求出弦的方程。

弦长、中点弦

弦长、中点弦问题 1、椭圆、双曲线弦长公式AB =⨯⨯或 2、椭圆的中点弦问题直线与椭圆交于11(,)A x y 与22(,)B x y ，且弦AB 的中点为00(,)M x y ，则该直线的斜率为220()x b k x a y =-椭圆焦点在轴 220()x a k b y =-椭圆焦点在y 轴3、双曲线的中点弦问题直线与双曲线交于11(,)A x y 与22(,)B x y ，且弦AB 的中点为00(,)M x y ，则该直线的斜率为2020()x b k x a y =双曲线焦点在轴 2020()x a k b y =双曲线焦点在y 轴1、过椭圆x 2+2y 2=2的右焦点且倾斜角为60°的弦长为2、过双曲线2x 2―y 2=2的右焦点作倾斜角为3π的弦AB ，则|AB |等于3、已知椭圆221369x y +=，以及椭圆内一点P (4, 2)，则以P 为中点的弦所在的直线的斜率是（ B ）A 21B －21C 2D －24、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程5、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标6、中心为(0, 0)，一焦点为F (0, 52)，截直线y =3x －2所得弦的中点的横坐标为21的椭圆方程为（ A ）A ．2212575x y += B ．2217525x y += C 222217525x y +=D ．222212575x y +=7、直线y =x ―1被双曲线2x 2―y 2=3所截得的弦的中点坐标是（） A(1,2) B ．(―2, ―1)C ．(―1, ―2)D ．(2, 1)8、已知双曲线方程为3322=-y x ，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程．。

妙解中点弦问题

妙解“中点弦”问题解析几何中与“中点弦”有关的问题是一类很典型、很重要的问题.解决这类问题的方法比较多,但多数方法的计算量都比较大.本文试图通过一些例题,给出一种巧妙的解法.如右图所示,点M 是线段AB 的中点,我们可以把有关点的坐标设为),(00n y m x A ++,),,(00y x M ),(00n y m x B --,这时有下面两个非常简单有趣的结论： ⑴)0(≠=m mn k AB ； ⑵222n m AB +=.解题时若能充分利用这两个结论,则可以轻松、快速、准确地解决“中点弦”的有关问题.例 1 椭圆141622=+y x 的弦AB 被点)1,2(M 平分,求弦AB 所在的直线方程.解:依题意,可设)1,2(n m A ++,)1,2(n m B --,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+++.14)1(16)2(,14)1(16)2(2222n m n m两式相减,得21021044168-==⇒=+⇒=+m n k n m n m AB , 故所求直线的方程为,1)2(21+--=x yB A M即.042=-+y x例2 椭圆方程为,4222=+y x 求以)1,1(为中点的弦AB 的弦长.解:由题意可设)1,1(n m A ++,)1,1(n m B --则有:⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+++4)1(2)1(4)1(2)1(2222n m n m 以上两式相减得: 084=+n m21-==∴m n k AB 即n m 2-=将其代入4)1(2)1(22=+++n m 中可求得32,6122==m n , 所以弦AB 的长为31032612222=+=+=n m AB . 例3 过定点)0,1(A 的动直线l 交抛物线)0(22>=p px y 于M ,N 两点,求弦MN 的中点P 的轨迹方程. 解:根据题意设),,(),,(),,(n y m x N n y m x M y x P --++则有⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+)(2)()(2)(22m x p n y m x p n y 两式相减得: yp m n k pm ny B ==⇒=A 44 又,1-==x y k k AB MN 故有y p x y =-1,即),1(2-=x p y 这就是点P 的轨迹方程.例4 如图所示,直线l 与抛物线x y =2交于B A ,两点,且2=AB 设线段AB 的中点为M ,当直线l 运动时,求点M 的轨迹方程.解：设),,(),,(n y m x A y x M ++ ),(n y m x B --，则有22)()(⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+m x n y m x n y两式相减得：mx n mx n 242=⇒= ① 两式相加得：2222222m x y m x y +=⇒+= ② 由①、②得).(4,22222x y x n x y m -=-= 而1222222=+⇒=+=n m n m AB , 所以有,1)(4222=-+-x y x x y 即所求的轨迹方程为.1)41)((22=+-x x y。

用一元二次方程根与系数之间的关系解决弦长、中点弦和垂直等问题

关于x(或y)的一元二次方程Ax2＋Bx＋C＝0，Δ＝B2－4AC>0，可利用根与系数之间的关系求弦长(弦长为 )；
2．弦的中点问题，以及交点与原点连线的垂直等问题．①求弦长可注意弦是否过椭圆焦点；②弦的中点问题还可利用“点差法”和对称法；③解决AO⊥BO ，可以利用向量AO⊥BO的充要条件是AO· BO＝0. .
方法不外乎三种，考卷实录中提供的方法是设出直线EF的方程，解决直线EF与椭圆的位置关系问题，运算技巧较高，再就是设出E(x1，y1)，F(x2，
y2)用点差法，此方法值得大家探讨，再就是参考答案中提供的解法，孰优孰劣比较自明，如将题目中的椭圆换成抛物线三种方法皆都是可行的．
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作业手册
解答：(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以 (0，－点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b＝
)，(0，
)为焦＝1.
＝1，故曲线C的方程为x2＋
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足 0，故x1＋x2＝－ x1x2＝－
消去y并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝若OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0.而y1y2＝k2x1x2＋＋1＝0，化简得－4k2＋1＝0，
32＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|＝(a＋ex1)＋(a＋ex2)＝2a＋e(x1＋x2)＝ 8＋答案：C
3．曲线C：
(θ为参数)的普通方程是________，如果直线
2x＋y＋a＝0与曲线C有公共点，那么实数a的取值范围是________．
解析：
则①2＋②2，得4x2＋
(y＋1)2＝1，即为曲线C的普通方程，联立方程组由④得2x＝－a－y ⑤，把⑤代入③，得2y2＋2(a＋1)y＋a2＝0，

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ax22＋by22＝0，② 由①－②得a(x21－x22)＝－b(y21－y22)，整理得xy11＋＋xy22·xy11－－xy22＝－ ab，设AB的中点为M(x0，y0)，则kOM＝yx00＝22yx00＝xy11＋＋xy22＝－ 23，又知 kAB＝－1，∴－ 23×(－1)＝－ab，∴ab＝－ 23，故选A.]
得(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9b4＋13b2＋196＝0，设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)， B(x2，y2)，
6
由题意知y1＋2 y2＝1， ∴y1＋y2＝14（10bb22＋＋44）＝2，解得b2＝8. ∴所求椭圆方程为x82＋1y22 ＝1. 法二：(点差法)∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，∴设椭圆的方程为b2y＋2 4＋bx22＝1(b>0)．
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弦长及中点弦问题中点弦问题
处理中点弦问题常用的求解方法
2
(1)过椭圆1x62 ＋y42＝1内一点P(3，1)，且被点P平分的弦
所在直线的方程是( )
A．4x＋3y－13＝0
B．3x＋4y－13＝0
C．4x－3y＋5＝0
D．3x－4y＋5＝0
因为k≠0，所以－12<xG<0，即点G横坐标的取值范围为(－12，0)．]
16
弦长问题求解决直线与椭圆相交的弦长问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程；在此基础上套用弦长公式：设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2] ＝ 1＋k12[（y1＋y2）2－4y1y2](k为直线斜率)．

加强班3中点弦+弦长公式(生)

直线与椭圆一、中点弦问题(韦达定理、设而不求：点差法）①弦中点问题：常用点差法，注意弦中点必须在椭圆内部；②直线与椭圆有两个交点时需保证△>0，在不用韦达定理的情况下考虑求出方程的两根； ③线段长度的比值经常转化为横（纵）坐标之比。

1. 已知椭圆E ：2211612x y +=，（1）若点P （1,3），求以点P 为中点的弦AB 所在直线的方程；（2）斜率为12-的直线交椭圆E 于C 、D 两点，1()2ON OC OD =+，求点N 轨迹方程；（3）直线L ：2y x m =+。

若椭圆E 上存在两点关于直线L 对称，求实数m 的取值范围。

【x+4y-13=0； 320,(2,2)x y x -=∈-； (-1,1)】变式1：变式2：变式3：练习1．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程．二、弦长公式、求面积例.(2012·汕头模拟)如图，在直角坐标系xOy 中，设椭圆C ：2222x y 1a b+= (a ＞b ＞0)的左右两个焦点分别为F 1、F 2.过右焦点F 2且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交，其中一个交点为(1)求椭圆C 的方程;(2)设椭圆C 的一个顶点为B(0,-b),直线BF 2交椭圆C 于另一点N ，求△F 1BN 的面积.练习1．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求该抛物线的方程．2．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：1MF ·2MF ＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．3.已知两定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，满足条件|PF 2→|－|PF 1→|＝2的点P 的轨迹是曲线E ，直线y ＝kx －1与曲线E 交于A 、B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)如果|AB →|＝63，求k 的值．练习A 组1. 椭圆4x 2＋9y 2=144内有一点P (3, 2)，过P 点的弦恰好以P 为中点，那么这条弦所在的直线方程是（）（A ）3x －2y －12=0 （B ）2x ＋3y －12=0 （C ）4x ＋9y －144=0 （D ）4x －9y －144=02.直线y=kx-k+1与椭圆14922=+y x 的公共点个数有 ( ) (A)2个. (B)1个. (C)0. (D)不确定.3.直线y =kx +2与椭圆13422=+y x 至多一个交点的充要条件是( ) (A)k ∈[-21,21]. (B)k ∈(-∞,- 21]∪[21,+∞). (C)k ∈[-22,22]. (D)k ∈(-∞,- 22]∪[22,+∞). 4.过椭圆14522=+y x 的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于B A ,两点, O 为坐标原点, 则△OAB 的面积为 . 535.在椭圆22525922=+y x 上求一点，使到直线03=--y x 的距离最短。

抛物线的弦中点与弦长的相关性质及运用22

抛物线的弦中点与弦长的相关性质及运用龙胜（吉首大学数学与计算机科学学院,湖南吉首 416000）摘要：本文总结并证明了抛物线的焦点、弦中点、弦长以及弦所在直线的方程的一些相关性质，比如利用抛物线中有一弦过焦点,且弦长已知,求此弦中点坐标.而本文避开了要将直线方程代入抛物线方程,得出一个一元二次方程,再应用韦达定理求出12x x -所带来的麻烦.关键词：抛物线;焦点;弦长;弦所在直线方程.The midpoint and string string parabola related propertiesand application. LongLong Sheng(Department of Mathematics and Computer Science JiShou Hunan 416000)Abstrac t: In this paper we summarizes and prove some property of the focus of aparabola,median point of the chord,the length of the chord and the equation of the straight line which the chord in.In order to get the median point of chord,we substitute the equation of the straight line into the eauation of the parabola, then get a quadratic equation of one variable.With thehelp of V ieta theorem we can get the anser. Here we attempt to avoid such trouble.Key words :Parabola; focus; Chord;Linear equation一、过焦点的弦的性质为了行文方便,我们假定用Δ表示一元二次方程的判别式且p ＞0. 定理1 设抛物线22()y p x =+H ，（R H ∈）中有一弦过焦点,且弦长为m,则弦的中点坐标2(22m p --H或2(,22m p --H-.证设过焦点F 2(,0)2p -H 且弦长为m 的弦的中点为C 0,0()x y ,弦的端点分别为A 11(,)x y 、B 22(,)x y .(I)当12()x x =时,则弦AB 与x 轴垂直,此时弦长AB 为最短.将22p x -H =代入22()y p x =+H 得，22,,y p y p ==± 22p p AB =≥，故m 当2p m=时,过焦点的弦的中点即为焦点 F 2(,0)2p -H ,于是定理成立.(II)不失一般性,设1212,,x x y y <<于是1,122(),()x y x y 应满足()2002().......12()......(2)222 (3)y p x p y y x p x m =+H -H =--H -AB =由(2)得00222)22x p p x y y -+H-H =+…(2′).由(1)、(2′)得022(22)p x p y y py -+H =+.即 022(22)0p x p y y p y -+H --= (4)由(4)得0120(22)p x p y y y -+H +=,2002(22)y x p p =-+H (5)于是方程(4)化为2220o y y y p --= (4))22214(),o y p y y ∆=+-==由(2′)及(5)得2121(22)()2o o x p px x y y y p-+H -=-=222222202121224()()()o y p y p x x y y m pp++-+-=∆==,22200(2)2(),2p m p y p m p y -+==≥0,02y =±,由(5)式得022m p x --H=,所以弦中点的坐标为2(,22m p --H±.图1 注：1·在上面弦的中点坐标公式中,易见当2m p = (即弦过焦点且与x 轴垂直时)中点坐标就变为2(,0)2p -H ，中点即为焦点,因此(I)是(II)的特殊情形.2·从图1中可以看出,当m ＞2p 时,长为m 的弦有两个中点.3·在定理1中,如果将方程22()y p x =+H 改为22()y p x =-+H ,则结论改为2(,22p m-H -±·定理2 如果抛物线22()y p x =+H 中有一弦的中点坐标是2(22m p --H或2(,22m p --H-.则此弦必过抛物线的焦点,且弦长为m.证明我们仅讨论抛物线22()y p x =+H 的情形, 22()y p x =-+H 类似讨论.设此弦的端点坐标分别为A 1,1()x y ，B 2,2()x y 我们仅就C 点坐标为2(22m p --H加以证明,2(,22p m-H --类似可证.由假设有12122,x x m p y y +=--H + (I)当2m p >时由2221212()y y p x x -=-得,2121y y x x -==- …(6) 由此得弦AB的方程为2)22m p y x --H-=-…(7).令0y =,得222,222m p p m p x x --H-H --=-=,即弦AB 必过焦点F 2(,0)2p -H .由(6)式得2222212121212()()(1)()()22p m y y x x x x x x m pm p-+-=+-=---…(8).由(7)式得2222(2)22()2()2()4222m p p m p p m p y x p x p x m p--H---H=+-+-=+H -,化简得 22(2)()04px m p x m p ---H ++H --H =,22(2)m p p ∆=--H --4()(2)m p m m p H --H =-≥0,由此得 221()(2)x x m m p -=∆=-,代入(8)式得,2222121()()x x y y m -+-=,m AB =.(II)当2m p =时,则中点坐标为(,0)2p -H·120y y +==,即12y y =-,此时弦AB 垂直于x 轴,将11(,),(,)22p p y y -代入22y px =得2211,y p y p ==±,从而2p m AB ==·注从定理2、3的证明过程中不难看出,中点坐标中只需取一个,定理便成立,下面出现的类似性形,按此注理解.定理 3 如果抛物线22()y p x =-+H 中有一弦的中点坐标是2(22p m-H -或2(,22p m-H --.则此弦必过抛物线的焦点,且弦长为m.由定理1、2、3可得·定理4 在抛物线（22()y p x =+H 或22()y p x =-+H 中为m (m≥2)p 的必要且充分条件是此弦的中点坐标为2)()22m p --H2)(,)22p m-H --·则此弦必过抛物线的焦点,且弦长为m.仿定理1和定理2、3易证·定理 5 在抛物线22()x p y =+H 中,过焦点且弦长为m (m ≥2)p 的必要且充分条件是此弦的中点坐标为22)2222m p p m --H--H或（-，）. 定理 6在抛物线22())x p y =-+H 中,过焦点且弦长为m (m ≥2)p 的必要且充分条件是此弦的中点坐标为22)2222m p p m --H--H或（-，）二、求抛物线的弦长和已知弦长求弦所在直线方程问题.[]2除用一般的常规解法外,不少资料中又给出了弦长公式12d x =-.然而要求公式中的12x x -,还是避开不了要将直线方程代入抛物线方程,得出一个一元二次方程,再应用韦达定理求出12x x -所带来的麻烦.为了解决这一问题.设直线y k x b =+ (k 是常数,且0k ≠)与抛物22()y p x =+H (p ＞0)相交于,A B 两点则A B =证明设点A 、B 的坐标为11(,)x y 、22(,)x y ，y kx b =+代入抛物线方程22y p x =,消y整理得2222()20k x b k p x b p +-+-H =.因为直线与抛物线有两个不同的交点,∴∆＞0,即22224()48bk p k b p k --+H ＞0,得2222p pbk p k -+H ＞0.∵ 212122222(),,b p bk p x x x x kk-H-+=-=12x x ∴-====故A B ==同理可得:当抛物线方程为22()y p x =-+H (p ＞0)时,A B =当抛物线方程为22()x p y =+H (p ＞0)时,AB =当抛物线方程为22x p y =-+H （）(p ＞0)时,AB =若直线y kx b =+ (k 是常数,且0k ≠)过抛物线的焦点,或顶点时,应用公式(1)、(2)、(3)、(4)易分别得出如下推论:推论7 过抛物线22y px =±(p ＞0)的焦点F,与抛物线相交于A,B 两点,则212(1)p kA B =+推论8 过抛物线22x py =± (p ＞0)的焦点F,且与抛物线相交于A,B 两点,则22(1)p k AB =+推论9 过抛物线22y px =± (p ＞0)的顶点,且与抛物线交于另一点A,则O A =推论10 过抛物线22x py =± (p ＞0)的顶点,且与抛物线交于另一点A,则2pk O A =例1 在抛物线26(1)x y =-中,有一长为8的弦,求:(1)若此弦过焦点,求此弦的中点坐标.(2)若此弦的中点是(4,3),问此弦是否过焦点?解由已知3,8p m ==设中点为00(,)x y (1)由定理4得02x =±=,083213.52y -+⨯==,即中点为( 3.5)(2)由(1)知(4,3)( 3.5)≠,由定理4知,此弦不过焦点.例2 已知直线1y x =-与抛物线22y x = (p ＞0)相交于A,B 两点,且|AB|=8,求抛物线方程.解由已知条件可知1,1k b ==-.应用推论(1),可得8=.解方程得2,4p p ==- (舍去).所以抛物线方程为24y x =.例3 已知直线l 过点(0,-3)与抛物线212x y =-相交于A 、B 两点,且|AB|=36,求直线l 程.解由已知条件易得6p =,因为直线l 过(0,3),设直线l 方程为3y kx =-,应用推论(4),可得36=,解方程得k =故直线l方程为3y =-或3y =.三、不过焦点的弦的性质[]1定理11 在抛物线22()y p x =+H (相应地22()y p x =-+H )中,若一弦被点M(s,t)或M ′(s,- t)所平分,则此弦必过点2(,0)ts p-(相应地2(,0)ts p+),且弦长为p(p·证明我们仅就22()y p x =+H 证明(22()y p x =-+H 类似可证)· 设弦的端点分别为A 11(,)x y 、B 22(,)x y .S(I)当t =0时,则121220x x s y y +=+=于是22122121,2()0y y y y p x x =--=-=,即21211,22,tx x x s x s s p====-,此时A B⊥x 轴,21122y px ps ==,1221y y y y p==AB =-==即定理成立.(II)设t ＞0,我们仅证弦过点M(s,t)的情形(点M ′(s,-t)的情形类似可证), 则121222x x s y y t+=+= .22212121212122(),y y p p y y p x x x x y y t--=-==-+.则弦AB 的方程为()p y t x s t-=-,即 ()p y x s tt=-+…(9).又令y =0,则2tx s p=-,即弦过点2(,0)ts p-·21x AB ==- (10)222222(2)2()2p y x sx s p x s t px t=-+--+=,化简得2222()0ps t x sx p--+=…(11) 记222224(2)4()(2)ps t t s ps t pp-∆=--=-,∵t ＞0,则12x x ≠,于是22ps t -＞0.由(11)式得21x x p-=由(10)式得m p=AB =(12).定理12 设抛物线22()y p x =+H (相应地22()y p x =-+H )过点2(,0)ts p-相应地2(,0)ts p+,且弦长为2)t pp(相应地2)p s p),则此弦必被点M(s,±t)所平分.证明我们仅就22()y p x =-+H 加以证明(22()y p x =+H 类似讨论)·设此弦的端点为A 11(,)x y 、B 22(,)x y (1122(,),(,)x y x y ''''''A B )类似讨论),易见2ts p+ ＜0,即2t ＜2(ps ps t -+＜0).(I)当12x x =时,则AB ⊥x 轴.于是12x x == 2ts p+,将2tx s p=+代入得2222()22ty p s ps t p=-+=--.1,2y =由pAB ==|,得222(2)0t p t ps --=·∵2ps t +＞0,s ＜0,∴22ps t --＞2ps t --＞0,从而222(2)t p t ps --＞0,∴0t =, 于是2ts s p+=,此时(,)s t 与(,0)s 重合(,)s t ±即为(,0)s ,即弦AB 的中点为(,0)s ,因此12x x =时定理成立.(II)12x x ≠时,此时弦AB 不垂直于x 轴,设弦的中点为(a,b),其斜率为k,易见k ≠0,则AB 的方程为2()ty k x s p=-- (13)由22()2ky k x s p y px=--=-得,2222[()]2ky k x s px p=-+=-,化简得,222222()()0tp tx s x s p k p -+-++= (14)22222222424()4()(2)tp tp p t s s s pkpkkp∆=+--+=--,由于方程(14)有两个实根,∴Δ>0,即2222p t s kp-+＞0.由韦达定理和(13)式得21222()2tp x x s a pk+=+-=,212122[2()]2tp y y k x x s b pk+=+-+=-=,于是22tp a s pkp b k=+-=-,即 22tp a s pk=+-＜0.p b k=-…(15).2121x x y y -=-=2222121()()(1)x x y y k -+-=+∆222222242(1)(2)p p p t s bpbpbp=+∙--222222422b p b b ps tbpp+--=∙∙即有2222222224()(22)4()(22)b p b ps t p t ps t pp+--+--=由上式得42222232232224222222b b ps b t p b p s p t p s p t pst t--+--=----即222224224222222()()(2)()(2)0,ps t b p t b b b t t t b ps p t b ---+-+=--+-=由22a ps tb =+-＜0,s ＜0,得2222ps p t b-+- 222()ps ps t b p =++--＜0,∴b t =±,若b t =,则由(15)式得a s =，此时(,)a b 为(,)s t ,若b t =-,由(15)式得a s =,此时(,)a b 为(,)s t -即弦AB 被点(,)s t ±所平分.由定理11和定理12可得:定理13 抛物线22y px = (相应地22y px =-)中有一弦被点(,)s t 或（s,-t ）所平分的充要条件是此弦必过点2(,0)ts p-(相应地2(,0)ts p+),p(p).下面我们把过焦点的弦的性质与不过焦点的弦的性质做比较,我们仅讨论抛物线22()y p xA =-的情形.若令2,2tp s p-=则222,222tp s ps t pp=+=+将112222ps t p=+代入定理7中弦长公式,得222()p t m pp+==于是22222212()22()2222m p p t p t p p t p s p p p-++-=-==+=2t ==,即定理5是定理13的特殊情形.由定理11定理12的证明可得:定理14 抛物线22()x p y =+H (相应地22()x p y =-+H )中一弦被点(),s t -或(),s t 所平分的充要条件是此弦必过2(0,)st p-(相应地2(0,)st p+),且弦长为p相应地p).以上就是本文对抛物线的弦中点与弦长的相关性质的证明及运用.参考文献：[1]张德明.周世武.抛物线的弦的中点与弦长及面积的有关性质[N].成都教育学院学报,2005,(03)[2]廖炳江.求抛物线弦长的一个公式[J].数学教学研究,1999,(04) [3]王景斌.抛物线弦的中点问[J].数学教学研究,1999,(05)[4]张勇.抛物线的弦所在直线的方程[J].数学教学研究,2006,(03)[5]张振国.抛物线的弦所在直线的方程及其应用[J].数学教学研究,1988(z2) [6]吴惠平.抛物线顶点式的应用[J].中学生数理化(初中版)(中考版),2006,(05) [7]姚立宏.刘兴培.关于抛物线焦点弦的若干结论[J].高中数学教与学,2003,(07) [8]刘先锋.陆汉俊抛物线焦点弦有关性质的探究[J].高中数学教与学, 2004,(04) [9]裴金楼.抛物线焦点弦的几条性质[J].数理天地.(高中版),2007,(10) [10]叶忠国.利用韦达定理求弦长[J].襄樊职业技术学院学报, 2008,(06)。

直线与双曲线的位置关系及中点弦问题

课题：直线与双曲线的位置关系及中点弦问题1.直线与双曲线的位置关系的判断设直线)0(:≠+=m m kx y l ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得 02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b若0222=-k a b 即ab k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若0222≠-k a b 即ab k ±≠， ))((4)2(222222222b a m a k a b mk a -----=∆0>∆⇒直线与双曲线相交，有两个交点；0=∆⇒直线与双曲线相切，有一个交点；0<∆⇒直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。

2.直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l :y =kx +n ，圆锥曲线：F (x ,y )=0，它们的交点为P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，且由⎩⎨⎧+==nkx y y x F 0),(，消去y →ax 2+bx +c =0（a≠0），Δ=b 2 －4ac 。

设),(),,(2211y x B y x A ，则弦长公式为：则2122124)(1||x x x x kAB -++= 若联立消去x 得y 的一元二次方程：)0(02≠=++a c by ay设),(),,(2211y x B y x A ，则2122124)(11||y y y y k AB -++= 焦点弦长：||PF e d=（点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，d 是P 到相应于焦点F 的准线的距离，e 是离心率）。

【例1】过点P 与双曲线221725x y -=有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。

解析：若直线的斜率不存在时，则x =，满足条件；若直线的斜率存在时，设直线的方程为5(y k x -=-则5y kx =+-22(51725x kx +--=， ∴22257(5725x kx -+-=⨯，222(257)72(5(57250k x kx --⨯-+--⨯=，当k =时，方程无解，不满足条件；当7k =-时，21075⨯⨯=方程有一解，满足条件；当2257k ≠时，令222[14(54(257)[(5165]0k k ∆=-----=，化简得：k 无解，所以不满足条件；所以满足条件的直线有两条x =10y x =+。

专题02 解析几何中的弦长与中点弦问题(解析版)

专题02 解析几何中的弦长与中点弦问题常见考点考点一弦长问题典例1．已知椭圆的中心在原点，焦点在x12P⎛⎫⎪⎝⎭，(1)求椭圆的标准方程；(2)倾斜角为45°的直线l过椭圆的右焦点F交椭圆于A､B两点，求AB【答案】(1)2214xy+=；(2)8 5 .【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率公式，结合代入法、椭圆中的,,a b c关系进行求解即可；（2）根据椭圆弦长公式进行求解即可.(1)因为椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为：22221(0)x ya ba b+=>>，12P⎛⎫⎪⎝⎭，所以222222223114413a bacbaca b c⎧+=⎪⎧⎪=⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎪⎩，所以椭圆的标准方程为：2214xy+=；(2)由（1）可知：F，所以直线l的方程为：0tan45(y x y x︒-=⇒=2224(40580x x x+-=⇒-+=，设1122(,),(,)A x yB x y，所以121285x x x x+=，因此85AB ==. 变式1-1．已知抛物线22y px =的准线方程为1x =-. (1)求p 的值；(2)直线:1l y x =-交抛物线于A ，B 两点，求弦长AB . 【答案】(1)2 (2)8 【解析】【分析】（1）根据抛物线的准线方程直接求出p 即可；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程，利用韦达定理求得12x x +，12x x ，再根据弦长公式即可得解. (1)解：因为抛物线22y px =的准线方程为1x =-，所以12p=，所以2p =； (2)解：设()11,A x y ，()22,B x y ，由214y x y x=-⎧⎨=⎩，消去y ，得2610x x -+=，则126x x +=，121=x x ，所以8AB ==.变式1-2．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>()0,1A ．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(P 且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点M ，N ，且MN =k 的值．【答案】(1)2212x y +=(2)k =【解析】【分析】（1）由题意可知a ，1b =，结合2221b a c =-=，即可求得椭圆E 的方程；（2）设直线l 的方程，代入椭圆方程．由韦达定理及弦长公式，即可求得k 的值． (1)由离心率c e a ==，则a =，又上顶点()0,1A ，知1b =，又2221b a c =-=，可知1c =，a =∴椭圆E 的方程为2212x y +=；(2)设直线l：y kx =+()11,M x y ，()22,N x y ，则2212y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，整理得：()221240k x +++=，()()2244120k ∆=-⨯⨯+>，即21k >，∴12+=x x ，122412x x k =+，∴127MN x =-==，即421732570k k --=，解得：23k =或1917-（舍去） ∴k =变式1-3．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为. (1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，求AB 的最大值.【答案】(1)2213x y+=；【解析】【分析】（1）由题设可得2c =且c a2b ，即可得椭圆C 的方程；（2）设直线l 为y x m =+，联立抛物线整理成一元二次方程的形式，由0∆>求m 的范围，再应用韦达定理及弦长公式求AB 关于m 的表达式，根据二次函数性质求最值即可. (1)由题设，2c =c a=c =a =2221b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22:13x C y +=.(2)设直线l 为y x m =+，联立椭圆C 并整理得：2246330x mx m ++-=，所以2223616(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，可得22m -<<，且32A B m x x +=-，23(1)4A B m x x -=，所以||A B x x AB -===(2,2)m ∈-，故当0m =时，max AB考点二中点弦问题典例2．已知双曲线C 的渐近线方程为43y x =±，且()P 是双曲线上一点. (1)求双曲线C 的标准方程及离心率；(2)过点()3,8M 的直线与双曲线C 交于不同的两点A ､B ，且线段AB 恰好被点M 平分，求直线AB 的方程.【答案】(1)221169y x -=，54(2)23180x y -+= 【解析】【分析】（1）根据双曲线C 的渐近线方程为43y x =±，设双曲线C 的方程为：()220916x y λλ-=≠，再将点()P 代入求解；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，根据点()3,8M 为线段AB 的中点，利用“点差法”求解.(1)解：因为双曲线C 的渐近线方程为43y x =±，所以设双曲线C 的方程为：()220916x y λλ-=≠，又因为双曲线经过点()P ，所以2764916λ-=，解得1λ=-，所以双曲线C 的标准方程为：221169y x -=；(2)设()11,A x y ，()22,B x y ，因为点()3,8M 为线段AB 的中点，所以有126x x +=，1216y y +=，()()()()221122221212121212122222116901691691169y x y y y y x x x x y y x x y x ⎧-=⎪-+-+--⎪⇒-=⇒=⎨⎪-=⎪⎩ 所以()()121212121666216993y y x x y y x x -⋅-⋅-=⇒==- 所以23AB k =，又因为AB 的中点M 在双曲线内部，所以23AB k =符合题意所以直线AB 的方程为：()2833y x -=-，即：23180x y -+=.变式2-1．ABC ∆两个顶点A 、B 的坐标分别是(6,0)-、(6,0)，边AC 、BC 所在直线的斜率之积等于49-，顶点C 的轨迹记为T . (1)求顶点C 的轨迹T 的方程；(2)若过点(3,1)P -作直线l 与轨迹T 相交于E 、F 两点，点P 恰为弦EF 中点，求直线l 的方程；(3)已知点M 为轨迹T 的下顶点，若动点N 在轨迹T 上，求MN 的最大值.【答案】(1)22+1(6)3616x y x =≠±(2)43150x y --=【解析】【分析】（1）先表示出边AC 、BC 所在直线的斜率，然后根据两条直线的斜率关系建立方程即可；（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理和中点坐标公式即可求出直线的斜率；（3）先表示出MN ，然后利用椭圆的性质，进而确定MN 的最大值. (1)设点(,)C x y ，则由49AC BC k k ⋅=-可得：4669y y x x ⋅=-+- 化简得：22+13616x y =故顶点C 的轨迹T 的方程：22+1(6)3616x y x =≠±(2)当直线l 的斜率不存在时，显然不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y k x +1=(-3)联立方程组()221313616y k x x y ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 可得：()2224+918(31)9(31)1440k x k k x k -+++-=设直线l 与轨迹T 的交点E ，F 的坐标分别为1122(,)(,)E x y F x y ，由韦达定理得：12218(31)+=4+9k k x x k +点P 为E 、F 两点的中点，可得：12+=32x x ，即12+=6x x 则有：218(31)=64+9k k k +解得：43k =故求直线l 的方程为：43150x y --= (3)由（1）可知(0,4)M -，设(),N x y则有：MN又点(),N x y 满足22+13616x y =，即229364x y =-MN = 由椭圆的性质得：[]4,4y ∈-所以当165y =时，max MN =变式2-2．已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，直线l 交拋物线于M 、N 两点.(1)若直线l 过点F 且60xFM ∠=，求FM ； (2)若()2,1P 平分线段MN ，求直线l 的方程. 【答案】(1)4； (2)230x y --=. 【解析】【分析】（1）分析可知直线l 的方程为1x y =+，将直线l 的方程与抛物线方程联立，求出点M 的坐标，利用抛物线的定义可求得FM ；（2）利用点差法可求得直线l 的斜率，利用点斜式可得出直线l 的方程. (1)解：设点()11,M x y 、()22,N x y ，则直线l 的倾斜角为60，易知点()1,0F ，直线l的方程为1x y =+，联立214x y y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩240y --，由题意可知10y >，则1y =1113x y ∴+=，因此，314FM =+=. (2)解：设()11,M x y 、()22,N x y ，若MN x ⊥轴，则线段MN 的中点在x 轴上，不合乎题意，所以直线MN 的斜率存在，因为M 、N 在抛物线上，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得1212124y y x x y y -=-+，又因为()2,1P 为MN 的中点，则122y y +=，所以，直线l 的斜率为1212422y y k x x -===-，此时，直线l 的方程为()122y x -=-，即230x y --=.变式2-3．已知椭圆C ：2212x y +=的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，AB 的中点坐标为21(,)33-. (1)求直线l 的方程； (2)求2AF B 的面积. 【答案】(1)10x y -+= (2)43【解析】【分析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，根据AB 的中点坐标可得121242,33x x y y +=-+=，再利用点差法求得直线l 的斜率，即可求出直线方程；（2）易得直线l 过左焦点，联立直线和椭圆方程，消x ，利用韦达定理求得1212,y y y y +，再根据2121212ABF SF F y y =⋅-即可得出答案. (1)解：设()()1122,,,A x y B x y ，因为AB 的中点坐标为21(,)33-，所以121242,33x x y y +=-+=，则221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()2222121202x x y y -+-=，即()()()()121212122x x x x y y y y -+=--+，即12121y yx x -=-，所以直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为1233y x -=+，即10x y -+=； (2)在直线l 中，当0y =时，1x =-，由椭圆C ：2212x y +=，得()()111,0,1,0F F -，则直线l 过点1F ，联立221210x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，消x 整理得23210y y --=，则121221,33y y y y +==-，212121423ABF SF F y y =⋅-==.巩固练习练习一弦长问题1．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>20y±=，且过点(．(1)求双曲线C 的方程；(2)过双曲线的一个焦点作斜率为1的直线l 交双曲线于,A B 两点，求弦长AB ．【答案】(1)22143x y -=；(2)24AB =. 【解析】【分析】（1）根据双曲线渐近线斜率、双曲线过点(可构造方程求得,a b ，由此可得双曲线方程；（2）由双曲线方程可得焦点坐标，由此可得AB 方程，与双曲线方程联立后，利用弦长公式可求得结果. (1)由双曲线方程知：渐近线斜率bk a=±20y ±=，b a ∴=；双曲线过点(，22831a b ∴-=；由22831b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得：2a b =⎧⎪⎨⎪⎩∴双曲线C 的方程为：22143x y -=；(2)由（1）得：双曲线的焦点坐标为()；若直线AB过双曲线的左焦点()，则:AB y x =由22143y x x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩得：2400x ++=；设()11,A x y ，()22,B x y，则121240x x x x ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩24AB ∴==；由双曲线对称性可知：当AB 过双曲线右焦点时，24AB =；综上所述：24AB =.2．已知点()1,2A -在抛物线22y px =（0p >）上，过点A 且斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为B ．(1)求p 的值和抛物线的焦点坐标； (2)求弦长AB ．【答案】(1)2p =，焦点坐标()1,0 (2)【解析】【分析】（1）将点A 的坐标代入抛物线的方程，可求得p 的值，进而可得抛物线的焦点坐标；（2）写出直线AB 的方程，联立直线与抛物线方程求得交点坐标，利用两点之间的距离公式即可求解. (1)因为点(1,2)A -在抛物线22(0)y px p =>上，所以42p =，即2p = 所以抛物线的方程为24y x =，焦点坐标为()1,0； (2)由已知得直线AB 方程为21y x +=-，即3y x =-由234y x y x =-⎧⎨=⎩得21090x x -+=，解得1x =或9x =所以()96B ,，则||AB =3．已知椭圆E 经过点⎭和点⎛- ⎝⎭. (1)求椭圆的标准方程；(2)设圆22:1C x y +=，直线l 与圆C 相切于()000,,0P x y x <，与椭圆交于A ，B 两点，且||AB =求直线l 的方程.【答案】(1)2213x y +=(2)0x y -或0x y + 【解析】【分析】（1）由于不确定椭圆焦点的位置，故设椭圆方程为221tx ry +=，（t ，0r >且t r ≠），将已知的两点坐标代入，求得答案；（2）设直线方程，根据与圆相切，求得参数间的关系，再将直线方程和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，利用弦长公式得到关于参数的方程，解方程组，可得答案. (1)设椭圆E 方程为221tx ry +=，（t ，0r >且t r ≠）将点,⎛- ⎭⎝⎭代入椭圆方程得到1213213t r t r ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, 解得1,13t r ==，所以椭圆的标准方程为2213x y +=.(2)不妨设直线l 的方程为()()1122(0),,,,x my n n A x y B x y =->, 因为该直线与圆22:1C x y +=1=，所以221m n +=，将直线方程代入椭圆方程并消去x 得()2223230m y mny n +-+-=，则21212222333mn n y y y y m m -+=⋅=++，,，所以||AB = 联立221m n +=，解得221,2m n ==，即1m n =⎧⎪⎨=⎪⎩1m n =-⎧⎪⎨=⎪⎩则直线l 的方程为0x y -+或0x y +.4．已知椭圆C :()222210x y a b a b +=>>的离心率e =C 上的点到其左焦点的最大距离为2M 是x 轴上的一点，过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)若AOM 的面积是BOM 面积的两倍，且直线l 与圆O ：2247x y +=相切于点N ，求MN 的长.【答案】(1)2214x y +=【解析】【分析】（1）可知2a c +=（2）设直线的方程为x ty m =+，代入椭圆方程，整理，由2OAM OBM S S =△△得2AM MB =，则有122y y =-，利用韦达定理，通过直线与圆相切计算求得M 的坐标，进而可求得结论. (1)由题意知2c a a c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得:3a =，c =2221b a c =-=椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)设(),0M m ，直线l ：x ty m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，因为2OAM OBM S S =△△得2AM MB =，有122y y =-，由()22222142404x y t y my m x ty m ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩，由韦达定理得12224tm y y t +=-+，212244m y y t -=+，由21222y y y =-，122222y y y y y +=-+=-，则()()221212122y y y y y y =--+=-+⎡⎤⎣⎦， 222242244m tm t t -⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭，化简()()2222448m t t m -+=-. 原点O到直线的距离d ，又直线l 与圆O ：2247x y +==22714m t =-，()()22242224482116160714m t t m m m t m ⎧-+=-⎪⇒--=⎨=-⎪⎩，即()()2234740m m -+=，解得243m =，此时243t =，满足0∆>，此时M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，在Rt OMN △中，MN ==MN练习二中点弦问题5．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左､右焦点分别为1F ，2F，短轴顶点分别为M ，N ，四边形12MF NF 的面积为32. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为()4,2-，求直线l 的方程.【答案】(1)2213216x y +=；(2)60x y -+=. 【解析】【分析】（1）由题列出关于,,a b c 的方程组，解方程组即得解；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法即得解. (1)解：因为离心率c e a ==，所以a =，因为222a b c =+，所以b c =. 因为四边形12MF NF 的面积为32，所以232bc =，所以4b c ==，a =C 的标准方程为2213216x y +=.(2)解：设()11,A x y ，()22,B x y ，则221122221,32161,3216x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得2222121203216x x y y --+=，所以1212121212y y x x x x y y -+=-⋅-+. 因为AB 的中点坐标为()4,2-在椭圆内部，所以12121y yx x -=-，所以直线l 的斜率为l ，故直线l 的方程为24y x -=+，即60x y -+=.6．已知椭圆22:12x G y +=，与x 轴不重合的直线l 过椭圆的左焦点1F ，且与椭圆G 相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 相交于C ，D 两点，设直线的斜率为l k ，直线OM 的斜率为OM k .(1)求证：12l OM k k ⋅=-；(2)若存在直线l 满足2AM CM DM =，求直线l 的方程. 【答案】(1)证明见解析(2)10x +=或10x +=【解析】【分析】（1）利用点差法即可得到结果；（2）假设存在直线l ，使得2||||||AM CM DM =成立，由题意，直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为1x my =-，与椭圆方程联立，利用弦长公式求||AB ，再求出弦AB 的中点M 的坐标，可得CD 的方程，与椭圆方程联立，求得||CD ，由2||||||(||||)(||||)AM CM DM OC OM OD OM ==--，且||||OC OD =，可得222||||||AM OC OM =-，即222||||4||AB CD OM =-，代入||AB ，||CD ，||OM ，整理求得m 值，即可得到满足条件的直线l 的方程． (1)设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，代入椭圆方程得221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得2222212102x x y y -+-=，()()()()212121212x x x x y y y y +-=-+-， ∵2221l y y k x x -=-，1202x x x +=，1202y yy +=，∴2121212112y y y y x x x x -+⋅=--+.即：12l OM k k ⋅=-. (2)设直线:1l x my =-，()33,C x y ，()33,D x y --，由22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得 ()222210my my +--=，则12222m y y m +=+，12212y y m =-+，)212212m AB y m +=-=+，而()1212222222m y y x x m +-+-==+，故弦AB 的中点为222,22m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，由（1）问的结论可得直线CD 的方程为2my x =-，由22212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得23242x m =+3CD x == ∵()()2AM CM DM OC OMOD OM ==-+OC OD =，∴222AM OC OM =-，∴22244AB CD OM =-，∴2224AB CD OM =-，即()()()()()222222222228144442222m m m m mm m ⎡⎤++⎢⎥=-+⎢⎥++++⎣⎦，解之得m =所以直线的方程为10x +=或10x +=.7．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点()，且C 的离心率与双曲线2213y x -=的离心率互为倒数.(1)求C 的方程；(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，点43,77⎛⎫- ⎪⎝⎭是弦AB 的中点，求直线l 的方程.【答案】(1)22186x y +；(2)10x y -+=. 【解析】【分析】（1）由题设可得椭圆参数a =b ，即可写出C 的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，应用点差法可得()()()()12121212086x x x x y y y y +-+-+=，根据中点公式可得1287x x +=-，1267y y +=，即可求直线l 的斜率，进而应用点斜式写出直线l 的方程. (1)由椭圆2222:1x y C a b+=经过()，则a =双曲线2213y x -=的离心率为2，则C 的离心率为12c e a ==，c =所以2226b a c =-=，故C 的方程为22186x y +.(2)设()11,A x y ，()22,B x y ，因为A ，B 在C 上，所以22112222186186x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②， ①-②，得22221212086x x y y --+=，所以()()()()12121212086x x x x y y y y +-+-+=. 因为43,77⎛⎫- ⎪⎝⎭是弦AB 的中点，则1287x x +=-，1267y y +=，由上有()()1212077x x y y ---+=，故直线l 的斜率12121y y k x x -==-，所以直线l 的方程为3477y x -=+，即10x y -+=.8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>上的点(3,)M m 到其焦点F 的距离为5. (1)求C 的方程；(2)过点(1,2)N 的直线l 交C 于A ，B 两点，且N 为线段AB 的中点，求直线l 的方程. 【答案】(1)28y x = (2)20x y -= 【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义可得||352pMF =+=，求得p ，即可得出答案；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法求出直线l 的斜率，再利用直线的点斜式方程即可得出答案. (1)解：由抛物线的定义可知：||352pMF =+=，解得：4p =， ∴C 的方程为28y x =； (2)解：设()()1122,,,A x y B x y ，则21122288y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差得()()()1212128y y y y x x +-=-，∴直线l 的斜率1212128y y k x x y y -==-+，∵(1,2)P 为AB 的中点， ∴124y y +=，∴2k =，∴直线l 的方程为22(1)y x -=-，即20x y -=（经检验，所求直线符合条件）.。

【圆锥曲线】06双曲线的弦长和中点弦问题(含经典题型+答案)

双曲线的弦长公式与中点弦问题1.两条渐近线为02=+y x 和02=-y x 且被直线03=--y x 截得弦长为338的双曲线方程是 . 2.斜率为2的直线被双曲线22132x y -=截得的弦长为4，求直线的方程． 3.已知倾斜角为4π的直线l 被双曲线60422=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程．秒杀秘籍：双曲线的弦长公式与面积（不过焦点的弦）双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与直线l ：y kx m =+相交于AB 两点，求AB 的弦长。

设：()()1122,,,A x y B x y 则()22121214AB kx x x x =++- 将y kx m =+代入22221x ya b-=得：()22222222220b k a x a kmx a m a b ----=()221222222212222a km x xb k a a m b x x b k a ⎧⎪+=⎪⎪-⎨⎪--⎪⋅=⎪-⎩∴()222222212122222141ab b k a m AB k x x x x k b k a -+∴=++-=+-例1：已知直线1+=x y 与双曲线14:22=-y x C 交于A 、B 两点，求AB 的弦长解：设：()()1122,,,A x y B x y 则()()()22222121121214AB x x y y k x x x x =-+-=++-将1y x =+代入2214yx -=得：23250x x --=21235123x x x x +=⋅=-⎧∴⎨⎩22218213AB kx x ∴=+-=双曲线与直线交点的判别式：()2222224a b b k a m ∆=-+用来判断是否有两个交点问题。

面积问题：双曲线与直线m kx y l +=:相交与两点，()00,y x C 为AB 外任意一点，求ABC S ∆。

专题02 椭圆的焦点弦,中点弦,弦长问题-2022年高考数学圆锥曲线重难点专题突破(原卷版)

专题02 椭圆的焦点弦、中点弦、弦长问题一、单选题1．已知斜率为1的直线l 过椭圆2214x y +=的右焦点，交椭圆于A B 、两点，则弦AB 的长为（） A ．45B ．65C ．85D ．1352．经过椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为（）A ．2a bB ．22a bC ．2b aD ．22b a3．已知F 是椭圆221259x y +=的一个焦点，AB 为过椭圆中心的一条弦，则△ABF 面积的最大值为（） A ．6B ．15C ．20D ．124．设1F ，2F 是椭圆221164x y +=的左右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，则22AF BF +的最大值为（） A ．14 B ．13C ．12D ．105．已知椭圆2219x y +=，过点11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线与椭圆相交于A 、B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为（） A ．950x y +-= B ．940x y --= C ．950x y +-=D ．940x y -+=6．已知椭圆()2222:10x y G a b a b+=>>的右焦点为()F ，过点F 的直线交椭圆于A 、B两点．若AB 的中点坐标为，则G 的方程为（）A ．2213214+=x yB ．2213820+=x yC ．2214830+=x yD ．2213618x y +=7．过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点(),0F c 的弦中最短弦长是（）A ．22b aB ．22a bC ．22c aD ．22c b8．过椭圆:T 2212x y +=上的焦点F 作两条相互垂直的直线12l l 、，1l 交椭圆于,A B 两点，2l 交椭圆于,C D 两点，则AB CD +的取值范围是（）A ．⎣B ．⎣C ．⎣D ．⎣ 二、多选题9．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为F 1，F 2，O 为坐标原点，直线y x =过F 2交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为8，则（）A B ．椭圆方程为2214x y +=C ．弦长85AB =D ．OABS=10．已知椭圆22221x y a b +=的焦距为6，直线l 与椭圆交于A ，B 两点，弦AB 的中点为(2,1)M ，则直线l 的方程为（）A ．78220x y +-=B ．7860x y --=C ．3271030x y --=D ．327710x y +-=11．设椭圆的方程为22124x y +=，斜率为k 的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于A,B 两点，M 为线段AB 的中点．下列结论正确的是（）. A ．直线AB 与OM 垂直；B ．若点M 坐标为（1,1），则直线方程为2x +y -3=0；C ．若直线方程为y =x +1，则点M 坐标为1433⎛⎫⎪⎝⎭，D ．若直线方程为y =x +2，则AB =12．已知椭圆C ：22143x y +=的右焦点为F ，过点F 的两条互相垂直的直线1l ，2l ，1l 与椭圆C 相交于点A ，B ，2l 与椭圆C 相交于点C ，D ，则下列叙述正确的是（） A ．存在直线1l ，2l 使得AB CD +值为7 B ．存在直线1l ，2l 使得AB CD +值为487C ．弦长AB 存在最大值，且最大值为4D ．弦长AB 不存在最小值三、填空题13．直线2y kx =-交抛物线28y x =于A ，B 两点．若AB 的中点横坐标为2，则弦长AB 为______14．已知椭圆22154x y +=的左焦点为1F ，右焦点为2F ，过1F 作x 轴的垂线与椭圆相交于A ，B 两点，则2ABF 的面积为________．15．椭圆22142x y +=的右焦点为F ，M ，N 为y 轴上的两个动点，若0MF NF →→⋅=，则MNF面积的最小值为______．16．已知12F F 、是椭圆22196x y +=的左、右焦点，P 在椭圆上运动，当1214PF PF +的值最小时，12PF F △的面积为_______．四、解答题17．已知椭圆的短轴长为()1,0-和()1,0. （1）求这个椭圆的标准方程；（2）直线l 与椭圆交于P ､Q 两点，且PQ 中点为()1,1，求直线l 的方程.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>P 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若12(1,0),(1,0)F F -，过1F 的直线l 交椭圆C 于M ､N 两点，且直线l 倾斜角为45︒，求2MF N 的面积.19．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(，离心率为12，左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -（1）求椭圆的方程（2）斜率为12-的直线l 与椭圆交于A ，B两点，当AB =时，求直线l 的方程20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为()2,0，直线y x m =+与椭圆C 交于不同的两点A ，B . （1）求椭圆C 的方程；（2）求OAB 面积的最大值，并求此时直线l 的方程.21．已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =l 过点()0,M b -和(,0)N a ，且坐标原点O 到直线l . （1）求||MN 的长；（2）过点(3,0)E 的直线m 与椭圆C 交于A 、B 两点，当AOB 面积大时，求22||||OA OB +的值．22．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，左顶点为A ，2，上顶点()0,1B ，1ABF （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ：(1)y k x =+与椭圆C 相交于不同的两点,M N ，P 是线段MN 的中点.若经过点2F 的直线m 与直线l 垂直于点Q ，求1PQ FQ ⋅的取值范围.。

椭圆的弦长中点弦

椭圆弦长中点弦问题
1．已知椭圆2222b
y a x +（a ＞b ＞0）的离心率36=e ，焦距是22．（1）求椭圆的方程；
（2）若直线2(0)y kx k =+≠与椭圆交于C 、D 两点,5
26=
CD ，求k 的值．
2．椭圆C:12222=+b
y a x )0(>>b a 的离心率为36，短轴的一个端点到右焦点的距离为3．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线y=x+1与椭圆C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点间的距离．
3．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x C 的离心率为36，椭圆C 上任意一点到椭圆两焦点的距离之和为6．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线2:-=x y l 与椭圆C 交于N M ,两点，O 是原点，求OMN ∆的面积．
4．已知椭圆2222x 1(0)y a b a b +=>>经过点A （0，4），离心率为5
3；（1）求椭圆C 的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为
5
4的直线被C 所截线段的中点坐标．
5．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为）（03,F -,且过点
）
（02,D . （1）求该椭圆的标准方程；
（2）设点）
，（2
11A ，若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程.
6．已知椭圆5x 2+9y 2=45，椭圆的右焦点为F ，
（1）求过点F 且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长．
（2）求以M （1，1）为中点的椭圆的弦所在的直线方程．
（3）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆于A ，B ，求弦AB 的中点P 的轨迹方程．。

第十一讲弦长和弦中点问题

第十一讲弦长和弦中点问题第十一讲弦长和弦中点问题【教学目标】知识与技能：掌握求弦长问题的一般方法和步骤；过程与方法：通过例析分析，讲练结合来增强学生的理解；情感态度与价值观：培养学生数形结合的意识与能力。

教学重点：中点弦长问题；教学难点：点差法求解中点弦长问题【考点链接】：能够掌握弦长和弦中点公式，并理解公式的由来[知识梳理]1直线与圆锥曲线相交的弦长公式（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程=+=)y ,x (F bkx y消去y 得到02=++c bx ax ，,为直线的倾斜角，为直线的斜率）2. 处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法设A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)为椭圆12222=+by a x （a>b>0）上不同的两点，M(x 0,y 0)是AB 的中点，则K AB K OM =22a b -；对于双曲线12222=-by a x （a>0，b>0），类似可得：K AB .K OM =22a b ；对于y 2=2px(p ≠0)抛物线有K AB ＝212y y p+[典型例题]例1（1）直线1+=kx y ，当k 变化时，直线被椭圆1422=+y x 截得的最大弦长是（）不能确定AB =1212||||AB x x y y ==-=-0?>αAB k .4A .2B C .D(2)（选作）设分别是双曲线的左右焦点．若点P 在双曲线上,且( )A ．B ．C ．D ．（3）已知椭圆的右焦点为,右准线为，点，线段交于点，若,则=( )(A).(B). 2(D). 3（4）已知B A ,是抛物线x y 42=上异于原点的两点，若,2π=∠AOB 则弦AB 过定点（）A.)0,1(B.)0,2(C. )0,4(D. )0,8( （5）过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于),(11y x A ，),(22y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB = ________.（6）过抛物线的焦点F 作倾斜角为的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则________________（7）斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点A 、B ，则弦AB 的长________。

抛物线的焦点弦、中点弦、弦长问题

一、单选题1．过点()0,2-的直线与抛物线28y x =交于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为2，则AB =（）A ．BC ．D 2．已知直线l 过抛物线C ：2y x =的焦点，并交抛物线C 于A ，B 两点，2AB =，则弦AB 中点G 的横坐标是（）A ．32B ．43C ．34D ．13．直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，且与C 相交于A ，B 两点，且AB 的中点M 的坐标为(3，2)，则抛物线C 的方程为（）A ．y 2＝2x 或y 2＝4xB ．y 2＝4x 或y 2＝8xC ．y 2＝6x 或y 2＝8xD ．y 2＝2x 或y 2＝8x4．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于M ，N 两点，若11||||MF NF +为定值，则这个定值是（）A ．pB ．2pC ．2pD ．2p5．已知抛物线C ：24y x ＝的焦点为F ，过点F 分别作两条直线1l ，2l ，直线l 1与抛物线C 交于A 、B 两点，直线l 2与抛物线C 交于D 、E 两点，若1l 与2l 的斜率的平方和为1，则AB DE +的最小值为（）A ．16B ．20C ．24D ．326．过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，若33AF BF ==，则p =（）A ．3B ．2C ．32D ．17．过拋物线C ：22(0)y px p =>焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，2AF BF =，O 为坐标原点，且△AOB 的面积为，则抛物线C 的标准方程为（） A ．22y x = B ．24y x = C ．26y x = D ．28y x = 8．设直线l 与抛物线24y x =相交于A ､B 两点，O 为坐标原点，若4OA OB ⋅=-，则OAB面积的取值范围是（）A ．[)2,+∞B ．)⎡+∞⎣C ．[)4,+∞D ．)⎡+∞⎣ 二、多选题9．已知抛物线22y x =的焦点为F ，()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）A ．点F 的坐标为1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．若直线MN 过点F ，则12116x x =- C ．若MF NF λ=，则MN 的最小值为12D ．若32MF NF +=，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为58 10．已知直线l 过抛物线()2:20C y px p =->的焦点，且与该抛物线交于M ，N 两点.若线段MN 的长是16，MN 中点到y 轴的距离是6，O 为坐标原点，则（） A ．抛物线C 的方程是28y x =-B ．抛物线C 的准线为3x = C．直线l 的斜率为1 D ．MON △的面积为11．若抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过点F 倾斜角为α的直线l 与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线12,l l ，设12,l l 交于点P ，下列命题正确的有（）A ．124x x =-B ．AP BP ⊥C ．24||sin AB α=D ．点P 的纵坐标为定值1-12．已知直线:2l x ty =+与抛物线2:8C y x =交于,A B 两点，若线段AB 的中点是(),2M m ，则（）A ．12t =B ．3m =C ．8AB =D ．点()2,2-在以AB 为直径的圆内三、填空题13．已知直线20x y +-=与抛物线28y x =交于A ，B 两点，则AB =______．14．直线20x y --=与抛物线()220y px p =>交于A ，B 两点，若线段AB 被点()4,2M 平分，则抛物线的准线方程为__________.15．已知抛物线y ＝12x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN ||NF |，则|MF |＝________.16．在直角坐标系xOy 中，点A 为抛物线24y x =上一点，点F 为该抛物线的焦点，若120AFO ∠=︒，则OAF △的面积为___________.四、解答题17．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点到其准线的距离为2．（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线1y kx =+与抛物线C 交于,A B 两点，且A 与B 的横坐标之和为4，求k 的值及AB ．18．已知过抛物线()2:20C y px p =>C 于()11,A x y ，()()2212,B x y x x <两点，16AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）O 为坐标原点，D 为C 上一点，若OD OA OB λ=+，求λ的值.19．已知抛物线C ：y 2=2px （p >0）的焦点为F ，点M 为抛物线C 上一点，|MF |=8，且∠OFM =23π(O 为坐标原点). （1）求抛物线C 的方程；（2）过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，求△AOB 面积的最小值.20．已知抛物线C ：24y x =，坐标原点为O ，焦点为F ，直线l ：1y kx =+．（1）若l 与C 只有一个公共点，求k 的值；（2）过点F 作斜率为1的直线交抛物线C 于A 、B 两点，求OAB 的面积．21．椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的焦点到直线30x y -=，抛物线()2:20G y px p =>的焦点与椭圆E 的焦点重合，斜率为k 的直线l 过G 的焦点与E 交于,A B 两点，与G 交于,C D 两点﹒（1）求椭圆E 及抛物线G 的方程；（2）是否存在常数λ，使得1AB CD λ+为常数？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．22．已知抛物线E ：()220y px p =>，过点()3,0P 的直线l 交抛物线E 于A ，B ，且3OA OB ⋅=-（O 为坐标原点）．（1）求抛物线E 的方程；（2）过P 作与直线l 垂直的直线m 交抛物线E 于C ，D ．求四边形ACBD 面积的最小值．。

高考培优课程秋季数学讲义：弦长,中点弦与轨迹问题【学生版】

高考培优秋季数学 “弦长，中点弦与轨迹问题”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位目标1：能熟练运用弦长公式求出直线与圆锥相交之弦长目标2：能熟练运用点差法等已知的方法解决中点弦的问题目标3：能熟练运用各种不同的方法求出动点的轨迹知识诊断【试题来源】【题目】过点()4,1P 作抛物线28y x =的弦AB ，恰被点P 平分，求AB 的所在直线方程及弦AB 的长度。

【难度系数】2【试题来源】已知A ，B ，D 三点不在一条直线上，且(20)A -，，(20)B ，，2AD =，1()2AE AB AD =+．（1）求E 点轨迹方程；（2）过A 作直线交以A B ，为焦点的椭圆于M N ，两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆方程．【难度系数】3知识梳理1.弦长公式：设直线:l y k x b =+，交点为1122(,),(,)A x yB x y ，则212122111AB x x k AB y y k=-+=-+或注：此公式适用所有圆锥曲线（包括圆，椭圆，双曲线，抛物线） 2.中点弦的常见问题类型与解决方法：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。

其解法有点差法、代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。

（注：解决中点弦这类问题最常用的还是点差法）3.求动点轨迹问题：常用的方法有如下几个：1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。

用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。

2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

高中数学补课弦长问题和中点弦问题

一、弦长问题1．已知A （-3，0）和B （3，0），动点C 到A 、B 两点的距离之差得绝对值为2.点C 的轨迹与直线2-=x y 交于D 、E 两点，求线段D 、E 的长。

2，已知椭圆方程为1222=+y x 与直线方程21:+=x y l 相交于A 、B 两点，求AB 的弦长。

3、斜率为1的直线过抛物线)0(22>=p px y 的焦点，与抛物线交于A 、B 两点。

（1）若16=AB ，求抛物线的方程；（2）若点P 为（1）中抛物线上任意一点，C 点坐标为(7,12)，求点P 到点C 的距离与到y 轴距离之和的最小值。

4. 若直线2y kx =-与抛物线28y x =交于A 、B 两点，若线段A B 的中点的横坐标是2，求A B 的长。

二、中点弦问题 5.过椭圆1416=+y x 内一点M （2,1）引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在的直线方程。

6.已知双曲线1222=-y x ，经过点M （1,1）能否作一条直线l 与双曲线交于A 、B,且点M 是线段AB 的中点。

若存在这样的直线l ，求出直线方程，若不存在请说明理由。

7、已知中心在原点，一焦点为F （0，50）的椭圆被直线l ：23-x 截得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆的方程。

8.已知椭圆4222=+y x ，求以（1,1）为中点的弦长三、直线与圆锥曲线位置关系10.若a ≠b 且ab ≠0,则直线ax -y +b =0和二次曲线bx 2+ay 2=ab 的位置关系可能是( )11.（1）过点（0，2）的直线l与抛物线y2=4x有且只有一个公共点，则满足条件的直线l 的条数为；12.设抛物线C:y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线C有两个公共点,则直线l的倾斜角α的取值范围是 .。