逻辑代数的运算公式和规则.ppt
逻辑代数基本公式及定律.
证明： 左式 AB AC BC
AB AC (A A)BC
AB AC ABC ABC 添加
添冗余因子
口诀： 正负相对, 余全完。 （消冗余项）
（8）
( AB ABC) ( AC ABC)
AB AC =右式
4. A · A· B=A · B
（12）
例1： F1 A B C D 0 注意 括号
F1 (A B) (C D) 1
注意括号
F1 AC BC AD BD
与或式
（13）
例 2： F2 A B C D E
反号不动
F2 A B C D E
A 0 0 , A 1 A, A A A, A A 0
AA
（1）
二、交换律
A+B=B+A A• B=B • A
三、结合律
A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B A• (B • C)=(A • B) • C
四、分配律
A(B+C)=A • B+A • C A+B • C=(A+B)(A+C)
证明：
A· A· B=A
A· A· B = A·(A+B) =A · B
(A+B)=A A· A· B= A· A· A· B= ?
A × A √ A· B A· B × ×
（9）
§ 2.4 逻辑代数的基本定理
2.4.1 代入定理
内容：在任何一个包含变量A的逻辑等式中， 若以另外一个逻辑式代替式中所有的变量A， 则等式仍然成立。
第04讲-逻辑函数代数法化简
4
逻辑代数的三条规则
规则三：对偶规则 如果将函数F作如下变换得到一个新函数，则 新函数就是原来函数F的对偶函数，记为 F’ 。
•
+
+
•
0
1
变量保持不变 第四讲 代数法化简
1
0
5
逻辑代数的三条规则
例: 求函数 F=A ( B+C)的对偶函数 解: F’ =A + B C 注意: (1)保持原运算顺序不变 (2)表达式中“大非号”不变
(3) (F’)’= F
(4)变量 A’=A
(5)若F1=F2, 则F1’=F2’
第四讲 代数法化简
6
逻辑代数的三条规则
例: 已知 F=A B+A B +B C D+A B C D 求F’, F 解: F’ =A+B (A+B) (B+C+D) A+B+C+D F =A+B (A+B) (B+C+D) A+B+C+D
A+B+C，A+B+C，A+B+C 任一最小项都有n个邻项。
第四讲 代数法化简
13
逻辑函数的标准式
分解定理 F(x1,x2,…,xn) =xi · 1,x2,…,0,…,xn)+xi· 1,x2,…,1,…,xn) F(x F(x = xi · 1,x2,…,xn)|xi=0+ xi·F(x1,x2,…,xn)|xi=1 F(x F(x1,x2,…,xn)
10
第四讲 代数法化简
逻辑函数的标准式
逻辑代数基础(课件)
图形符号
A
L
B
23
2. 或逻辑
逻辑表达式 L= A + B
只有决定某一事件的原因有一个或 一个以上具备，这一事件才能发生
AB L 00 0 01 1 10 1 11 1 或逻辑真值表
图形符号
A 1
L
B
24
3. 非逻辑
当决定某一事件的条件满足时，事 件不发生；反之事件发生
非逻辑真值表
AL
图形符号
0
1
1
0
逻辑表达式 F= A
A
1
L
25
1.3.2 常用复合逻辑运算
与非逻辑运算
或非逻辑运算
L=AB
L=A+B
L
L
与或非逻辑运算 L=AB+CD
L
26
异或运算
AB 00 01 10 11
L 0 1
1 0
逻辑表达式
L=AB=AB+ AB
图A 形符号=1
B
L
同或运算
AB 00 01 10
L 1 0
0
逻辑表达式 L=A B= AB
利用真值表
用真值表证明反演律
A B AB A+ B A• B A+B
00 1
1
1
1
01 1
1
0
0
10 1
1
0
0
11 0
0
0
0
A• B= A+B A+ B=AB
31
1.4.2 逻辑代数中的基本规则
1. 代入规则
任何一个含有某变量的等式，如果等式中 所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数 式，则此等式依然成立。
《逻辑代数》课件
基本概念
逻辑代数的符号表示
用符号表示逻辑代数中的命题和运算。
真值表
通过真值表可以表示逻辑运算的结果。
命题与命题变量
理解命题及其变量对于逻辑代数的学习至关 重要。
逻辑运算符的性质
了解逻辑运算符的各种性质和规则。
逻辑代数的基本定理
1 同一律、零元律、
反演律、等幂律
逻辑代数中的一些基本 定理和运算法则。
基本演算例子
通过一些具体的例 子来加深对逻辑运 算的理解。
逻辑电路设计
1
调用程序与逻辑代数的转换
了解调用程序和逻辑代数之间的关系，
逻辑电元素
2
以及如何将调用程序转换为逻辑代数 表达式。
掌握常见的逻辑电元素，包括门电路
和触发器等。
3
逻辑电路的类型
了解不同类型的逻辑电路，如组合逻
代数实现逻辑电路的步骤
《逻辑代数》PPT课件
逻辑代数是一门关于逻辑与代数的研究领域。本课件将介绍逻辑代数的基本 概念、定理、逻辑运算、逻辑电路设计、进制转换以及逻辑代数的应用实例。
绪论
逻辑代数是研究逻辑与代数之间关系的学科。它的研究目的是通过代数方法 来研究逻辑。
• 逻辑代数定义: 逻辑与代数的结合 • 逻辑与代数的关系: 逻辑代数是逻辑和代数之间的桥梁 • 逻辑代数的研究目的: 研究逻辑的形式化、符号运算和推理
逻辑电路在计算机中的 应用
了解逻辑电路在计算机中的具 体应用。
逻辑运算在算法中的应用
逻辑运算在算法设计和分析中 扮演重要角色。4辑电路和时序逻辑电路。
了解逻辑电路设计的基本步骤。
进制转换
二进制、十进制、十 六进制的相互转换
掌握不同进制之间的转换 方法。
电工电子技术 第十二章逻辑门和常用组合逻辑电路 第三节逻辑代数的基本运算规则及定理
例：证明A+AB=A+B 解： A+AB=（A+A）（A+B）
=（A+B）
反演定理：A • B = A+B A+B = A • B
例：证明：若 F=AB+AB 则 F=AB+A B
解：F=AB+AB =AB•AB =(A+B)•(A+B)
=AA+AB+A B+BB =AB+A B
2. 利用逻辑代数公式化简
（1）并项法 A+A=1 （2）吸收法 A+AB=A（1+B）=A （3）消去法 A+AB=A+B （4）配项法 A=A（B+B）
例 ：证明AB+AC+BC=AB+AC 配项法
解：AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC =AB+AC+ABC+ABC =AB+ABC+AC+ABC
吸收法
=AB(1+C)+A(1+B) =AB+AC
例；：0• 0=0 • 1=1 • 0 1 • 1=1
0+1=1+0=1+1
0+0=0
0=1 1=0
（2）基本定律
交换律：A+B=B+A
A • B=B • A
结合律：A+(B+C)=(A+B)+C A • (B • C)=(A • B) • C
分配律：A(B+C)=A • B+A • C A+B • C=(A+B) • (A+C)
(完整版)逻辑代数的运算规则
逻辑代数的运算规则逻辑代数的基本定律逻辑代数的三个规则1、代入规则在任一逻辑等式中，如果将等式两边所有出现的某一变量都代之以一个逻辑函数，则此等式仍然成立，这一规则称之为代入规则。
2、反演规则已知一逻辑函数F，求其反函数时，只要将原函数F中所有的原变量变为反变量，反变量变为原变量；“＋”变为“·”,“·”变为“＋”；“0”变为“1”；“1”变为“0”。
这就是逻辑函数的反演规则。
3、对偶规则已知一逻辑函数F，只要将原函数F中所有的“＋”变为“·”,“·”变为“＋”；“0”变为“1”；“1”变为“0”，而变量保持不变、原函数的运算先后顺序保持不变，那么就可以得到一个新函数，这新函数就是对偶函数F'。
其对偶与原函数具有如下特点：1.原函数与对偶函数互为对偶函数；2.任两个相等的函数，其对偶函数也相等。
这两个特点即是逻辑函数的对偶规则。
逻辑运算的常用公式逻辑代数的总结基本逻辑运算：与（或称“积”）---符号（&、•、无、∧、∩）或（或称“和”）---符号（| 、＋、∨、∪）非（或称“反”）---符号（! 、）10-1律：0•A=0 0＋A=11•A=A 1＋A=A同一律：A•A=A A＋A=A互补律：A•A=0 A＋A=0反演律A•B =A＋B A＋B=A•还原律A =A√⊕⊙••＋A=02、常用公式交换律：A•B=B•A A+B=B+A结合律：A•(A•B)=(A•B)•C A＋(A＋B)=(A＋B)＋C 分配律：A•(A＋B)=A•B＋A•C A＋(A•B)=(A＋B)•(A＋C) 吸收律：A•(A+B)=AB A+(A•B)=ABA•B+(A•B)=A (A+B)•(A+B)=A。
逻辑代数的运算公式和规则
• 若把式其中反的函运数算为符F“.”(A换成B“) •+”A,• C“+”B •换(A成“B.”;C)
•
常量“0”换成“1”，“1”换成“0”；
• 原或变量F换成(反A变量B，) •反(A变量C换)成• B原•变(A量 B C)
那么得到的新函数式称为原函数式F的反函数式。
注：
重叠律 反演律 还原律 合并律 吸收律 消因律 包含律
证明方法
利用真值表
例：用真值表证明反演律
A B AB A+ B A• B A+B
00 1
1
1
1
01 110 Nhomakorabea0
10 1
1
0
0
11 0
0
0
0
A• B= A+B A+ B=AB
利用基本定律
例：证明包含律 AB AC BC AB AC成立
• 函数式中有“”和“⊙”运算符，求反
函数及对偶函数时，要将运算符“”换成 “⊙”， “⊙”换成“”。
公式可推广： AB AC BCDE AB AC
逻辑代数的运算公式和规则
• 三个基本运算规则
• 代入规则： 任何一个含有某变量的等式，如果等
式中所有出现此变量的位置均代之以 一个逻BC辑替函代数B 式，则此等式依然成立
例： A• B= A+B 利用反演律 得 ABC A BC A B C
由此反演律能推广到n个变量：
A1 • A2 • • A n A1 A2 A n A1 A2 A n A1 • A2 • • A n
基本运算规则
•对例于反：任演意F规(一A则、个：B逻、辑C函)数A式BF， 做(A如下C处) B理：A • B • C
逻辑代数基础PPT课件
逻辑图表示法
总结词
逻辑图表示法是一种图形化的逻辑函数表示方法，通过使用逻辑门（如与门、或门、非 门等）来构建逻辑函数的逻辑关系。
详细描述
逻辑图表示法是一种更为直观和简洁的逻辑函数表示方法。它通过使用各种逻辑门（如 与门、或门、非门等）来构建逻辑函数的逻辑关系。在逻辑图中，输入和输出变量用线 连接，并标注相应的逻辑门。通过逻辑门的组合和连接，可以清晰地表达出逻辑函数的
04
逻辑函数的表示方法
真值表表示法
总结词
真值表表示法是一种直观的逻辑函数表示方法，通过 列出输入和输出变量的所有可能取值组合，以及对应 的函数值，来描述逻辑函数。
详细描述
真值表表示法是一种基础的逻辑函数表示方法，它通 过列出输入和输出变量的所有可能取值组合（即所有 可能的输入状态和对应的输出状态），来全面描述逻 辑函数的特性。在真值表中，每个输入状态的组合与 对应的输出状态之间用函数值来表示，函数值为1表 示输出为真，函数值为0表示输出为假。通过查看真 值表，可以直观地理解逻辑函数的逻辑关系和行为。
重写律
重写律：在逻辑代数中，重写律指的是逻辑表达式之间的等价关系。具体来说，如果两个逻辑表达式 在相同的输入下产生相同的输出，则这两个表达式是等价的。重写律允许我们通过改变表达式的形式 而不改变其逻辑值来简化逻辑表达式。
重写律的意义在于简化逻辑表达式的形式，使得逻辑运算更加直观和易于理解。同时，重写律也是实 现逻辑代数中的等价变换和化简的重要工具。
逻辑关系和行为。逻辑图表示法在数字电路设计和分析中应用广泛。
代数表示法
总结词
代数表示法是一种符号化的逻辑函数表示方法，通过 使用逻辑运算符（如与、或、非等）和变量符号来表 示逻辑函数。
详细描述
第13讲(第20章逻辑代数)
12
只有一 项不同
φ m 1 m
13
1 0 m15 m14 1 0 m11 m10
几 何 函数取0、1均 相 可，称为无所 邻
10
8
9
谓状态。
几何相邻
输出变量Y的值
二、逻辑函数四种表示方式的相互转换 (1)、逻辑电路图↔逻辑代数式
A A
1 &
AB
B B
1
≥1
Y=A B+AB
&
AB
逻辑电路图到逻辑代数式原则： 逐级写出逻辑式，就是从输入端到输出端， 依次写出各个门的逻辑式，最后写出输出 量Y的逻辑式。 逻辑代数式到逻辑电路图原则： 逻辑乘用与门实现，逻辑加用或门实现， 求反运算用非门实现。
用卡诺图化简的规则： 对于输出为1的项
1）上、下、左、右相邻 2 （n=0,1,2,3)个项，可 组成一组。 2）先用面积最大的组合进行化简，利用吸收规则， 可吸收掉n个变量。n Nhomakorabea21
吸收掉1个变量；2 2
吸收掉2个变量...
3）每一项可重复使用，但每一次新的组合，至少包 含一个未使用过的项，直到所有为1的项都被使用后 化简工作方算完成。
逻辑代数的基本运算规则
A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C) ABC=(AB)C=A(BC)
分配律:
A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)
分配律:
A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)
逻辑代数的基本运算规则
求证: （分配律第2条） 证明: 右边 =(A+B)(A+C)
逻辑代数
逻辑代数逻辑代数（又称布尔代数），它是分析设计逻辑电路的数学工具。
虽然它和普通代数一样也用字母表示变量，但变量的取值只有“0”，“1”两种，分别称为逻辑“0”和逻辑“1”。
这里“0”和“1”并不表示数量的大小，而是表示两种相互对立的逻辑状态。
若定义一种状态为“1”，则另一种状态就为“0”。
例：灯亮用“1”表示、则灯灭就表示为“0”，不考虑灯损坏等其它可能性。
逻辑代数所表示的是逻辑关系（因果关系），而不是数量关系。
这是它与普通代数的本质区别。
1. 基本运算法则一、逻辑代数运算法则从三种基本的逻辑运算关系，我们可以得到以下的基本运算法则（公式1—9）。
0 • 0=01 • 1=10 • 1=0 1 • 0=0公式10 •A=0公式2 1 •A=A 公式3 A •A=A 公式4A •A=0与运算或运算0+0=01+1=10+1=11+0=1公式50 +A=A 公式61+A=1公式7 A +A=A 公式8A+A=1非运算01=10=公式9AA =交换律：结合律：公式11A+B=B+A 公式10A• B=B • A公式13A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B 公式12 A• (B • C)=(A • B) • C分配律：公式14A(B+C)=A • B+A • C公式15A+B • C=(A+B)(A+C)（少用）证明：右边=AA+AC+BA+BC=A+AC+BA+BC=A （1+C+B ）+BC=A+BC吸收律：1. 基本运算法则公式16A （A+B ）=A 证明：左边=AA+AB=A+AB=A （1+B ）=A公式17A （A+B ）=AB普通代数不适用！证明：BA B A A A B A A +=++=+)15())((公式DCBC A DC BC A A ++=++被吸收B A B A A +=+公式19（常用）公式18A+AB=A （常用）证明：A+AB=A(1+B)=A•1=A CDAB )F E (D AB CD AB +=+++1. 基本运算法则例：例：1. 基本运算法则公式20AB+AB=A公式21（A+B ）（A+B ）=A（少用）证明：BC)A A (C A AB BCC A AB +++=++CA AB BC A C AB BC A ABC C A AB +=+++=+++=)1()1(推论：CA AB BCDC A AB +=++1C A AB BC C A AB +=++公式22（常用）摩根定律公式23B A AB +=（常用）公式24BA B A ∙=+（常用）记忆：记忆：可以用列真值表的方法证明：A B 00110011A B 00001111AB A+B 00111111A+B A• B 00000011公式25=⊕B A AB或A B =BA ⊕其中：BA B A B A +=⊕是异或函数BA AB B A+=是同或函数用列真值表的方法证明：A B 00110011ABAB10000100B A 11000000A B 1100B A ⊕0011A B其中，吸收律公式16 A （A+B ）= A 公式18 A+AB = A对偶式BA B A A +=+公式19公式20AB+AB=A 公式21(A+B)(A+B)=A对偶关系：将某逻辑表达式中的与（• ）换成或（+），或（+）换成与（• ），得到一个新的逻辑表达式，即为原逻辑式的对偶式。
逻辑代数基本公式与化简数字系演示文稿
例1： F1 A B C D 求F1的反。
解： F1 A B C D
注意
括号 F1 A B (C D)
注意括号
F1 AC BC AD BD
与或式
第18页，共27页。
例2：F2 ( A BC)CD 求F2的反。
解： F2 ( A BC)CD
F2 A(B C) C D F2 AB AC C D F2 AB A C D F2 A C D
9
A •B=A+B
序号
公式
规律
10
A+1律
12
A=A
还原律
13
A+A=A
重叠律
14
A+A=1
互补律
15
A+B=B+A
交换律
16 A+（B+C德）•=摩（根A+（BD）e+. C 结合律 17 A+（B•C）M=o（rgAan+）B)定• (理A+C) 分配律
18
A+B=A•B
最小项的编号规则：把最小项 m 值为1 的输入变量取值 看作二进制数，其对应的十进制数即为该最小项的编号， 记作mi 。
第3页，共27页。
回顾：
4、最小项的其性质
最小项的性质：
a) 对应任意一组输入变量取值，有且只有一个最小项 值为1；
b) 任意两个最小项之积为0；
c) 全体最小项之和为1； d)具有逻辑相邻性的两个最小项相加，可合并为 一项，并消去一个不同因子。
A B(A A) A B
例如：
A ABC DC A BC DC
被吸收
第14页，共27页。
（3）混合变量的吸收： AB AC BC AB AC
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那么得到的新函数式称为原函数式F的反函数式。
注：
① 保持原函数的运算次序--先与后或，必要时适当地加入括号 ② 不属于单个变量上的非号有两种处理方法
• 非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换 • 将非号去掉，而非号下的函数式保留不变
基本运算规则
• 对偶式：对于任意一个逻辑函数，做如下处理：
1）若把式中的运算符“.”换成“+”，“+”换成“.”； 2）常量“0”换成“1”，“1”换成“0”
得到新函数式为原函数式F的对偶式F′，也称对偶函数
例• 如对：果偶两规个F则函：数A式B相 等A，C 则 1它•们B对应的对偶式也相
其对等数偶目。增式即加若F一'倍。F(1A=F2B) •则( AF1′=CF2)′•。(0使公B式)的
注： • 求对偶式时运算顺序不变，且它只变换运
算符和常量，其变量是不变的。
AAA=••ABB+=AB• B• A=A (AA++BB) =• (BA++ BA) =A
A(+AA••BB=)•AC = A• (AB••(CA)+B)=A A(+A+AB• B)+=CA+=BA+ A(B•+(AC+) B) =A • B
AAB•+(ABC+ +CB)C==AA•BB++AAC• C (AA++B)B( A• +CC=()(AB+CB))=• ((AA++BC)(A) +C)
基本运算规则
•对例于反：任演意F规(一A则、个：B逻、辑C函)数A式BF， 做(A如下C处) B理：A • B • C
• 若把式其中反的函运数算为符F“.”(A换成B“) •+”A,• C“+”B •换(A成“B.”;C)
•
常量“0”换成“1”Байду номын сангаас“1”换成“0”；
• 原或变量F换成(反A变量B，) •反(A变量C换)成• B原•变(A量 B C)
公理 交换律 结合律 分配律 0-1律 自等律 互补律
逻辑代数的运算公式和规则
• 公理、定律与常用公式
AA0•••010==0A= 0
A+ 1=1 A+ 0=A
0
+
0=0
A0•• A1==01 • 0A=+0A=1 0 + 1 =1 + 0 =1 A• A=A A+ A=A
A1••B1==A1+B A+ B1=A+B1 = 1
重叠律 反演律 还原律 合并律 吸收律 消因律 包含律
证明方法
利用真值表
例：用真值表证明反演律
A B AB A+ B A• B A+B
00 1
1
1
1
01 1
1
0
0
10 1
1
0
0
11 0
0
0
0
A• B= A+B A+ B=AB
利用基本定律
例：证明包含律 AB AC BC AB AC成立
AB AC BC AB AC (A A)BC
• 三个基本运算规则
• 代入规则： 任何一个含有某变量的等式，如果等
式中所有出现此变量的位置均代之以 一个逻BC辑替函代数B 式，则此等式依然成立
例： A• B= A+B 利用反演律 得 ABC A BC A B C
由此反演律能推广到n个变量：
A1 • A2 •• A n A1 A2 A n A1 A2 A n A1 • A2 •• A n
• 函数式中有“”和“⊙”运算符，求反
函数及对偶函数时，要将运算符“”换成 “⊙”， “⊙”换成“”。
AB AC ABC ABC
AB(1 C) AC(1 B) AB AC 等式右边
由此可以看出：与或表达式中，两个乘积项分别包 含同一因子的原变量和反变量，而两项的剩余因子 包含在第三个乘积项中，则第三项是多余的
公式可推广： AB AC BCDE AB AC
逻辑代数的运算公式和规则