一些有名的几何定理.

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关于平面几何的60条著名定理

关于平面几何的60条著名定理一些平面几何的著名定理1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）2、射影定理（欧几里得定理）3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。

6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。

7、三角形的三条高线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线（欧拉线）上。

10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。

13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有nXAB2+mXAC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有ABXCD+ADXBC=ACXBD20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。

立体几何常考定理的总结(八大定理)

lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．，那么这条直线就和交线．．平行. 符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行．符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点：找第三个平面与已知平面都相．．．．．．．．．．．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．．文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面. 符号语言：,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．一条直线. 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过．．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：．．．．在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。

2.3几个著名的几何定理

例10 在⊿ABC中, AB>AC, 点O是外心,两条高BE, CF交于H点，点M, N分别在线段BH, HF上, 且满足 BM=CN. MH NH 求证： 3 的充分必要条件是∠A=60°.
OH
[证明]
连OB、OC，则
F O
A
∠BOC=2∠A， ∠BHC=180°－∠HBC－ ∠HCB=∠B+∠C=180 － ∠A
A
F
B
K
· · · · · · · · ··
I J E H L D
G
C
9. 蝴蝶定理设AB是⊙O的弦, M 是AB 的中点, 过M作任意二弦CD, EF, 记P, Q依次为与CF, ED 的交点. 则 PM=PQ.
证法一：利用对称造全等形.

· 1` 1 · O
Q
B
3 4 2` D
bdmdbembedmeacmaafmfcfmc???mcfbdeacfmdemcfbcabdebeamdebeabcaacfssmpbqapmqssssssssss???????????????????由mfedcbaqpmfmcbdedbeaeabbcmemdabaebcacafcfmfmcbdbeedmemdacafcfmfmcmdmbmememdmamfmcmb????????????????????????mbma?mpmqmambapbqmpmqambmmpmq???????从而合比分比mfedcbaqp证法三
DE AO1 AG . DF AO2 AH
P P
·
AH AG . 故 FD ED
G ·
O1
又CE=CG, 则
·
·
·
A
· ·
O ·

初等几何五大ZB定理

初等几何五大ZB定理某日，燕尾模型讲毕，一六年级学霸级学生说，其可用燕尾模型证梅涅劳斯定理，大惊，问其如何得之，其说：一老师讲的。

六年级学生学梅涅劳斯定理，ZB大于实用。

既然学生感兴趣，咱就一装到底。

一、梅涅劳斯定理梅涅劳斯：古希腊数学家。

梅涅劳斯定理指的是：一条直线（红线）与一个三角形的三边或延长线相交，三角形的三个顶点按顺时针或逆时针方向，三条边顶点到交点的比值的积为1.其证明方法很多，相似三角形即可证明。

下面咱们用小学奥数的“燕尾模型”证明一下。

二、塞瓦定理塞瓦：意大利数学家、水利工程师，该定理于1678年发表于《直线论》一书。

塞瓦定理：可以简单记为三线共点的充要条件是：顺时针或逆时针的分线段的比值积为1.该定理可以用上面的梅涅劳斯定理证明。

三、斯坦纳定理斯坦纳：瑞士几何学家斯坦纳定理：两内角平分线相等的三角形必为等腰三角形。

早在2000多年前，《几何原本》就有定理：等腰三角形的两底角平分线的长相等。

可是它的逆定理书上却只字未提，估计作者也不会，呵呵。

直到1840年，莱默斯请求斯图姆给予纯几何证明，可斯图姆也不会，最后斯坦纳给出了证明，因此该定理也称作：斯坦纳——莱默斯定理。

现在很多高中生也能证明。

大家可以试试有没有难度。

四、托勒密定理托勒密定理:圆内接凸四边形的对边积的和等于对角线的积。

用相似可以证明五、西姆松定理西姆松定理：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边所在直线垂线，则三垂足在一点直线上，这条直线我们称作西姆松线。

这些定理一般的中考都不考，一和四和中学的相似联系比较紧密，尽量掌握，培优课上可能会有，感兴趣的同学可以看看。

一些有名的几何定理

取材自维基百科-中文版. 没事的时候大家可以证着玩! 答案在这里.1. 阿基M德中点定理说明：圆上有两点A,B，M为弧AB的中点，随意选圆上的一点C，D为AC上的点使得MD垂直AC。

若M、C在弦AB异侧，则AD=DC+BC；若M、C在弦AB同侧，则AD=DC-CB。

b5E2RGbCAP2. 婆罗摩笈多定理指出：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。

婆罗摩笈多是印度数学家。

p1EanqFDPw3. 凡·奥贝尔定理<van Aubel's theorem）说明：给定一个四边形，在其边外侧构造一个正方形。

将相对的正方形的中心连起，得出两条线段。

线段的长度相等且垂直。

DXDiTa9E3d4. 芬斯勒–哈德维格尔定理<Finsler-Hadwiger Theorem）说明：若两个正方形ABCD和AB'C'D'拥有同一个顶点A。

B'D的中点、BD'的中点、ABCD的中心和AB'C'D'的中心将组成一个正方形。

RTCrpUDGiT5. 莫雷角三分线定理<Morley's theorem）说明对所有的三角形，其三个内角作角三分线，靠近公共边三分线的三个交点，是一个等边三角形。

此定理由法兰克·莫雷在1899年发现。

对外角作外角三分线，也会有类似的性质，可以再作出4个等边三角形。

5PCzVD7HxA此定理有趣的地方是我们没办法用尺规作图作出其等边三角形，因为已经证明出尺规做图无法做出三等分角。

6. 拿破仑定理，是拿破仑发现的平面几何学定理：“以三角形各边为边分别向外侧作等边三角形，则他们的中心构成一个等边三角形。

”该等边三角形称为拿破仑三角形。

如果向内作三角形，结论同样成立。

jLBHrnAILg同时拿破仑留下这样的名言:''一个国家只有数学蓬勃发展，才能表现他的国力强大。

高中平面几何常用定理总结

（高中）平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1．勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．2．射影定理（欧几里得定理） 3．中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+；中线长：222222a c b ma -+=． 4．垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥．高线长：Cb Bc A a bc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5．角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理）．角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长一半）． 6．正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7．余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=． 8．张角定理：AB DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ． 9．斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．10．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）11．弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．12．圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13．布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边．14．点到圆的幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O的半径为r，则d2－r2就是点P对于⊙O的幂．过P任作一直线与⊙O交于点A、B，则PA·PB= |d2－r2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．15．托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．16．蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE 交AB于P、Q，求证：MP=QM．17．费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．18．拿破仑三角形：在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AE＝BF＝CD，这个命题称为拿破仑定理．以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C1、⊙A1、⊙B1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C1、⊙A1、⊙B1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C2、⊙A2、⊙B2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C2、⊙A2、⊙B2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．19．九点圆（Nine point round或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．20．欧拉（Euler）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．21．欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．22．锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．23．重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 的重心，则ABC AC G BC G ABG S S S S ∆∆∆∆===31；（3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===ABKH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ；（4）设G 为△ABC 的重心，则①222222333GC AB GB CA GA BC +=+=+； ②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++； ③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小；⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）．24．垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (Cc B b A a y C c y B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++ 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．25．内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I C B A C B A ++++++++ 内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然；（2）设I 为△ABC 的内心，则C AIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190；（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心；（4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC外接圆于点K ，则ac b KD IK KI AK ID AI +===；（5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．26．外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；)2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (CB A Cy By AyC B A Cx Bx Ax O C B A C B A ++++++++ 外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360；（3）∆=S abcR 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．27．旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,．旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）；（2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠；（3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）；（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ．28．三角形面积公式：C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=． 29．三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin 4C B A R r C B A R r C B A R r C B A R r c b a ==== .1111;2tan 2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r r r r r r r c b a c b a =++=== 30．梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有 1=⋅⋅RBAR QA CQ PC BP ．（逆定理也成立） 31．梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC 的∠A 的外角平分线交边CA 于Q ，∠C 的平分线交边AB 于R ，∠B 的平分线交边CA 于Q ，则P 、Q 、R 三点共线．32．梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC 的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、AB 的延长线交于点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 三点共线．33．塞瓦(Ceva )定理：设X 、Y 、Z 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的一点，则AX 、BY 、CZ 所在直线交于一点的充要条件是AZ ZB ·BX XC ·CY YA=1． 34．塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC 的边BC 的直线与两边AB 、AC 的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中点M．35．塞瓦定理的逆定理：（略）36．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．37．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB 分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点．38．西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）．39．西摩松定理的逆定理：（略）40．关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．41．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．42．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC 的点P的西摩松线通过线段PH的中心．43．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线．44．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．45．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．46．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．48．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．49．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点．50．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．51．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC 的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点．52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点．53．卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．54．奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆上取一点P，则PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．55．清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．56．他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．（反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP则称P、Q 两点关于圆O互为反点）57．朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．58．从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心．59．一个圆周上有n个点，从其中任意n－1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点．60．康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n－2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．61．康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N 点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线．62．康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点．这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点．63．康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线．64．费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．65．莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．66．布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF 相对的顶点A 和D 、B和E 、C 和F ，则这三线共点．67．帕斯卡（Paskal ）定理：圆内接六边形ABCDEF 相对的边AB 和DE 、BC和EF 、CD 和FA 的（或延长线的）交点共线．68．阿波罗尼斯（Apollonius ）定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m ：n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m ：n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．69．库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．70．密格尔（Miquel ）点：若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．71．葛尔刚（Gergonne ）点：△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点．72．欧拉关于垂足三角形的面积公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式： 222AB C D 4||R d R S S EF -=∆∆．。

小学几何之蝴蝶定理

小学几何之蝴蝶定理在小学几何的奇妙世界里，有一个充满趣味和智慧的定理，那就是蝴蝶定理。

它就像一把神奇的钥匙，能帮助我们轻松解开许多几何难题。

让我们先来直观地感受一下什么是蝴蝶定理。

想象有一个四边形，它的两条对角线相交于一点。

然后，分别从这个交点向四边形的四个顶点连线，这样就把四边形分成了四个三角形。

蝴蝶定理说的就是：在这四个三角形中，相对的两个三角形的面积乘积是相等的。

听起来可能有点抽象，那咱们通过一个具体的例子来看看。

假设有一个平行四边形 ABCD，对角线 AC 和 BD 相交于点 O。

连接 AO、BO、CO 和DO。

三角形AOB 和三角形COD 就是相对的两个三角形。

那为什么会有这样神奇的定理呢？这就得从三角形的面积公式说起啦。

我们都知道三角形的面积等于底乘以高除以 2。

在这个四边形中，因为对角线把四边形分成的四个三角形，它们的高和底之间存在着巧妙的关系。

比如说，三角形 AOB 和三角形 BOC，它们都以 BO 为底边。

但是顶点 A 和顶点 C 到 BO 的距离（也就是高）是相等的。

这是因为平行四边形的对边是平行且相等的，所以从顶点 A 和顶点 C 向 BO 作垂线，这两条垂线的长度是一样的。

再来看，如果我们把三角形 AOB 的面积记为 S1，三角形 BOC 的面积记为 S2，三角形 COD 的面积记为 S3，三角形 DOA 的面积记为S4。

根据前面说的面积关系，我们可以得到一些等式。

因为三角形 AOB 和三角形 BOC 等底等高，所以 S1 ： S2 ＝ AO ：OC。

同理，S2 ： S3 ＝ BO ： OD，S3 ： S4 ＝ CO ： OA，S4 ： S1 ＝ DO ： OB。

然后，通过交叉相乘，我们就能发现 S1×S3 ＝ S2×S4，这就是蝴蝶定理的核心内容。

蝴蝶定理在解决几何问题的时候可太有用啦！比如说，当我们知道了其中三个三角形的面积，就可以很快算出第四个三角形的面积。

平面几何的26个定理

高一数学竞赛班二试讲义第1讲平面几何中的26个定理班级姓名一、知识点金1. 梅涅劳斯定理：若直线l 不经过ABC ∆的顶点，并且与ABC ∆的三边,,BC CA AB 或它们的延长线分别交于,,P Q R ，则1BP CQ AR PC QA RB⋅⋅= 注：梅涅劳斯定理的逆定理也成立（用同一法证明）2. 塞瓦定理：设,,P Q R 分别是ABC ∆的三边,,BC CA AB 或它们的延长线上的点，若,,AP BQ CR 三线共点，则1BP CQ AR PC QA RB⋅⋅= 注：塞瓦定理的逆定理也成立3. 托勒密定理：在四边形ABCD 中，有AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅≥⋅，并且当且仅当四边形ABCD 内接于圆时，等式成立。

AB AE AC ADBC ED AC AD==⇒又4. 西姆松定理：若从ABC ∆外接圆上一点P 作,,BC AB CA 的垂线，垂足分别为,,D E F ，则,,D E F 三点共线。

西姆松定理的逆定理：从一点P 作,,BC AB CA 的垂线，垂足分别为,,D E F 。

若,,D E F 三点共线，则点P 在ABC ∆的外接圆上。

5．蝴蝶定理：圆O 中的弦PQ 的中点M ，过点M 任作两弦AB ，CD ，弦AD 与BC 分别交PQ 于X ，Y ，则M 为XY 之中点。

证明：过圆心O 作AD 与BC 的垂线，垂足为S 、T ，，OY ，OM ，SM ，MT 。

∴AM/CM=AD/BC∵AS=1/2AD，BT=1/2BC ∴AM/CM=AS/CT又∵∠A=∠C ∴△AMS∽△CMT∴∠MSX=∠MTY∴∠OMX+∠OSX=180°∴O，S ，X ，M同理，O ，T ，∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX∴∠MOX=∠MOY ， ∵OM⊥PQ ∴XM=YM注：把圆换成椭圆、抛物线、双曲线蝴蝶定理也成立6．坎迪定理：设AB 是已知圆的弦，M 是AB 上一点，弦,CD EF 过点M ，连结,CF ED ，分别交AB 于,L N ，则1111LM MN AM MB-=-。

几何八大定理

几何八大定理
几何学中的“八大定理”并不是一个标准的术语，但可能指的是古典几何中的几个基本定理，这些定理在欧几里得的《几何原本》中有所描述。

如果我们要提到几何学中一些非常基础和重要的定理，可以考虑以下几个：
1. 欧几里得平行公理：通过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行。

2. 欧几里得菱形定理：在菱形中，对角线互相垂直平分。

3. 欧几里得矩形定理：在矩形中，对角线相等。

4. 欧几里得正方形定理：在正方形中，对角线互相垂直平分且相等。

5. 相似定理：如果两个多边形的对应角相等，并且对应边的比例相等，则这两个多边形相似。

6. 三角形的内角和定理：三角形的三个内角之和等于180度。

7. 圆的相等定理：圆中，相等的圆心角对应相等的弧。

8. 圆周率定理：圆的周长与其直径的比值是一个常数，这个常数被称为圆周率π。

请注意，这些定理只是几何学中的一小部分，而且几何学中有许多其他的定理和理论。

如果你指的是特定的“八大定理”，请提供更多的上下文信息。

几何公式定理大全

几何公式定理大全
以下是一些常见的几何公式和定理：
1. 勾股定理：在直角三角形中，a、b和c分别表示斜边和两条直角边的长度，则满足a² + b² = c²。

2. 正弦定理：在任意三角形ABC中，a、b和c分别表示对应的边长，A、B和C分别表示对应的夹角，则有 sin(A)/a =
sin(B)/b = sin(C)/c。

3. 余弦定理：在任意三角形ABC中，a、b和c分别表示对应的边长，A、B和C分别表示对应的夹角，则有 c² = a² + b² - 2ab*cos(C)。

4. 正切定理：在任意三角形ABC中，A、B和C分别表示对应的夹角，则有 tan(A) = a/b，tan(B) = b/a，tan(C) = c/a。

5. 直角三角形三边关系：在直角三角形ABC中，a、b和c分别表示斜边和两条直角边的长度，则有 a² = b² + c²。

6. 平行线定理：如果有一对直线分别与第三条直线相交，则这两条直线互相平行。

7. 平行线夹角定理：如果有两条平行线与第三条直线相交，则所对应的内角和外角互补。

8. 等腰三角形定理：在等腰三角形ABC中，AB = AC，其中
角A为顶角。

9. 等腰三角形底角定理：在等腰三角形ABC中，底角B和底角C相等。

10. 垂直平分线定理：如果一个点P到线段AB的距离相等于到线段AC的距离，则点P在直线BC的垂直平分线上。

这只是一些常见的几何公式和定理，还有很多其他的公式和定理，涉及到各种图形的面积、周长、角度、长度等等。

小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)

小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)在小学奥数的几何部分，蝴蝶定理是一个非常有用的工具，它可以帮助我们解决一些复杂的几何问题。

蝴蝶定理主要描述了在四边形中，当两条对角线互相垂直时，四边形被分成四个小三角形，而这四个小三角形的面积之间存在一定的关系。

蝴蝶定理的内容如下：设四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，交于点O。

设四个小三角形的面积分别为S1、S2、S3、S4。

那么，蝴蝶定理可以表述为：S1 + S2 = S3 + S4。

这个定理听起来可能有些抽象，但实际上它的应用非常广泛。

我们可以通过蝴蝶定理来解决一些看似复杂的问题。

下面，我将通过一些例子来展示蝴蝶定理的应用。

例1：在四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，且AC =8cm，BD = 6cm。

如果三角形ABC的面积是24cm²，那么三角形ADC的面积是多少？解答：根据蝴蝶定理，我们有S1 + S2 = S3 + S4。

由于三角形ABC的面积是24cm²，所以S1 = 24cm²。

又因为AC = 8cm，BD = 6cm，我们可以计算出三角形ADC的面积S3 = 1/2 AC BD = 1/2 8cm6cm = 24cm²。

因此，三角形ADC的面积也是24cm²。

例2：在四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，且AC = 10cm，BD = 5cm。

如果三角形ABC的面积是20cm²，那么三角形ADC的面积是多少？解答：同样地，根据蝴蝶定理，我们有S1 + S2 = S3 + S4。

由于三角形ABC的面积是20cm²，所以S1 = 20cm²。

又因为AC = 10cm，BD = 5cm，我们可以计算出三角形ADC的面积S3 = 1/2 AC BD = 1/2 10cm 5cm = 25cm²。

因此，三角形ADC的面积是25cm²。

有名的几何定理--拾书趣第二十一

１勾股（毕达哥拉斯）定理*；*凡是容易找到内容及证明的，我们只记下他的名称，下同。

２射影（欧几里得定理）定理；３三角形中线共点（重心），并被该点分为２：１两部分；４四边形对边中点连线与两条对角线中点连线三线共点；５间隔连接六边形边的中点所得两三角形重心重合；６三角形三边中垂线交于一点（外心）；７三角形的三条高交于一点（垂心）；８三角形ABC外心为O，垂心为H，OL垂直BC于L，则AH=2OL；９三角形外心、垂心、重心三点共线；１０三角形各边中点、高的垂足、垂心与各顶点连线的中点，九点共圆（九点圆、欧拉圆或费尔巴哈圆*哲学家费尔巴哈的次兄，不要搞混）１１欧拉定理：三角形外心、重心、九点圆圆心、垂心依次共线（欧拉线）；１２库利奇（J.L.Coolidge）--大上（茂乔）定理：过圆上四点中任三点作三角形，这四个三角形九点圆圆心四点共圆，他被称作圆上四点构成四边形的九点圆；１３三角形三条内角平分线交于一点（内心），若三边为a、b、c，内切圆半径是（（s-a）*（s-b）*（s-c）/s）^0.5,面积是（（s-a）*（s-b）*（s-c）*s）^0.5--海伦公式，其中s是该三角形的半周长；１４三角形任一内角平分线与其余两顶点处的外角平分线三线共点（旁心，三个）；１５泰勒斯（Thales）定理：直径所对的圆周角为直角，（据说SAS、ASA、SSS也是泰勒斯发现的）；１６希波克拉茨（Hippocrates）定理：直角三角形ABC中，角C为直角，在斜边AB的同侧分别以BC、AC、AB为直径作半圆分别记为半圆AC、半圆AB和半圆BC，用半圆AC减去半圆AC与半圆AB公共部分得到月形AC，用半圆BC减去半圆BC与半圆AB公共部分得到月形BC，则月形BC与月形AC的面积之和与三角形ABC的面积相等；１７巴布斯定理（Pappus定理有两个，这是其一）：三角形ABC中，P为BC边中点，则AB^2+AC^2=2（AP^2+BP^2），这个定理又叫中线定理；１８斯图尔特定理（有些书翻译成斯特华特定理，Stewart）：三角形ABC中，P内分BC为m：n，则nAB^2+mAC^2=(m+n)AP^2+(mn/(m+n))BP^2，当m：n为1：1时，即为巴布斯定理；１９波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，AB中点M和对角线交点E两点确定的直线ME与CD垂直；２０阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（≠1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C 和外分点D 两点所连线段CD为直径的定圆周上；２１托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD，托勒密定理的逆定理也成立，托勒密定理推广：任意的四边形ABCD，有AB×CD+AD×BC≥AC×BD；２２以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形；２３爱尔可斯定理1（Echols）：若△A1B1C1和三角形△A2B2C2都是正三角形，则由线段A1A2、B1B2、C1C2的中心构成的三角形也是正三角形；２４爱尔可斯定理2：若△A1B1C1、△A2B2C2、△A3B3C3都是正三角形，则由三角形△A1A2A3、△B1B2B3、△C1C2C3的重心构成的三角形是正三角形；２５梅涅劳斯定理（Menelaus）：设△ABC的三边BC、CA、AB所在直线和一条不经过它们任一顶点的直线的分别交于为P、Q、R三点，则有(BP/PC)×(CQ/QA)×(AR/RB)=1,梅涅劳斯定理的逆定理也成立，若我们使用有向线段来描述这个问题，等式右侧的常数是-1；２６应用25，我们可以得到：设△ABC的∠A的外角平分线交边BC于P、∠C的平分线交边AB于R，∠B的平分线交边CA 于Q，则P、Q、R三点共线；２７应用25，我们可以得到：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线；２８塞瓦定理（Ceva）：设△ABC的三个顶点A、B、C的与不在三边所在直线上一点S分别确定的三条直线AS、BS、C S分别与边BC、CA、AB所在直线交于P、Q、R三点，则(BP/PC)×(CQ/QA)×(AR/RB)=1,显然我们可以用它来证明三角形三条中线交于一点，塞瓦定理的逆定理也成立，这个定理写成有向线段的形式，等式不变；２９应用28，我们可以得到：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，BE和CD交于S，AS经过BC的中点M；３０△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT三线共点；３１西摩松定理（Simson，当然我们知道这个定理不应算在他的名下）：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB 所在直线引垂线，垂足分别是D、E、R，则D、E、R三点共线（叫西摩松线）西摩松定理的逆定理也成立；３２史坦纳定理（Steiner）：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中点；３３应用32，我们可以得到：△ABC的外接圆上的一点P的关于三边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H四点共线（称作点P关于△ABC的镜象线，显然该直线与西摩松线平行）；３４波朗杰--藤下定理：P、Q、R在△ABC的外接圆上，则P、Q、R分别关于△ABC的三条西摩松线三线共点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏)，（书中没有注明波朗杰、藤下二人的来历）；３５波朗杰--藤下定理推论1：P、Q、R在△ABC的外接圆上，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点S，则A、B、C 三点关于△PQR的的西摩松线也交于S；３６波朗杰--藤下定理推论2：在推论1（35）中，三条西摩松线的交点S是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心H1 和其余三点所作的三角形的垂心H2 所连线段H1H2的中点；３７波朗杰--藤下定理推论3，有贺(？)定理：由35，l是△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，若弦QR 与ｌ互相垂直，则点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点；３８波朗杰--藤下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，垂足分别是D、E、F，且BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点共圆，这时L、M、N三点关于△DEF的三条西摩松线共点；３９△ABC的外接圆直径两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上；４０安宁定理：四点共圆，作每一点关于以其他三点为顶点三角形的西摩松线，此四线共点；４１卡诺（L.N.M.Carnot）定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线；４２奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是A1、B1、C1，在△ABC的外接圆取一点P，则PA1、PB1、PC1与△ABC的三边BC、CA、AB所在直线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线；４３设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和三边BC、CA、AB所在直线的分别交于是D、E、F，则D、E、F三点共线；４４他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW与边BC、CA、AB所在直线的交点分别为D、E、F，则D、E、F三点共线（反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC^2=OQ×OP，即OC是OQ、OP的比例中项，则称P、Q两点关于圆O互为反点）；４５朗古来定理：圆上四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这四个三角形的西摩松线，再从P向这四条西摩松线引垂线，则四垂足共线；４６自三角形各边中点，分别向所对顶点处的外接圆切线引垂线，三条垂线交于九点圆圆心；４７ｎ点共圆，任ｎ－１点重心向其余一点处切线引垂线，此ｎ条垂线共点；４８康托尔（M.B.Cantor）定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n-2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点;４９康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，作M和N分别关于三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的两条西摩松线的交点，此四点共线（康托尔线）；５０康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，而l、m、n分别是M、N两点，L、N两点，M、L 两点的关于四边形ABCD的康托尔线，则l、m、n三线共点（康托尔点）；５１康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC、ABCD的康托尔点五点共线（康托尔线），类似的这组定理可以无限迭代下去；５２费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切；５３莫利（F.Morley，通译莫莱）定理：任三角形的三个内角三等分，靠近边的两条三分角线相一个交点分别为ABC，则三角形ABC是正三角形（莫利正三角形）；５４牛顿（这个被苹果砸到头的第二任卢卡斯不必介绍了吧）定理1：四边形两组对边的延长线的交点所连线段的中点，两条对角线的中点，三点共线（牛顿线）；５６牛顿定理2：任一圆的圆心，外切四边形的两条对角线的中点，三点共线；58、笛沙格（G.Desargues）定理：两个三角形若对应点连线共点，则对应边交点（如果有）共线；５９巴布斯定理（这是第二个）：两条相异直线ａ、ｂ，ａ上有Ａｉ（ｉ＝１，２，３）三点，ｂ上有Ｂｉ（ｉ＝１，２，３）三点，则ＡｉＢｊ与ＢｉＡｊ（ｉ≠ｊ，ｉ，ｊ＝１，２，３）所交三点Ｃｉ（ｉ＝１，２，３）共线；６０巴斯加（Pascal）定理与布利安松（Brianchon）定理：圆内接六边形对边交点共线-圆外切六边形相对顶点连线共点.----------------------------------烟花绚烂，总算在除夕写完这篇《遗忘》的笔记（特意将书中第十三章调和点组扣掉，好给以后留个念想），满世温馨却独孤我一人，就把这篇笔记当作我送给自己的新年礼物吧，希望今年我可免去些执着，添几缕牵挂，余愿足矣。

初中几何常用定理汇总

初中几何常用定理汇总初中数学的几何部分，有很多定理需要记忆理解,但平时我们对知识点的学习都是分散的，不利于记忆！这里整理了初中三年较重要的一些几何定理↓↓↓这些基本定理对我们解几何题目而言是关键中的关键，一定要牢记哟！一、点、线、角点的定理：过两点有且只有一条直线点的定理：两点之间线段最短角的定理：同角或等角的补角相等角的定理：同角或等角的余角相等直线定理：过一点有且只有一条直线和已知直线垂直直线定理：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短二、几何平行平行定理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行推论：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行证明两直线平行定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行两直线平行推论：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补三、三角形内角定理定理：三角形两边的和大于第三边推论：三角形两边的差小于第三边三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°四、全等三角形判定定理：全等三角形的对应边、对应角相等边角边定理(SAS)：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等角边角定理(ASA)：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等推论(AAS)：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等边边边定理(SSS)：有三边对应相等的两个三角形全等斜边、直角边定理(HL)：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等五、角的平分线定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合六、等腰三角形性质等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)七、对称定理定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。

认识平面几何的61个著名定理

【认识平面几何的61个著名定理，自行画出图形来学习，★部分要求证明出来】★1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）★2、射影定理（欧几里得定理）★3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线和两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。

★6、三角形各边的垂直平分线交于一点。

★7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点8、设三角形ABC 的外心为O ，垂心为H ，从O 向BC 边引垂线，设垂足不L ，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。

10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上12、库立奇大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。

★13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式： ()()()s c s b s a s r ---=，s 为三角形周长的一半★14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC分成m和n两段，则有n×AB2+m×AC2=BC×（AP2+mn）17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E 的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上★19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD★20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。

重要但常不为人知道的几何定理

阿基米德折弦定理：AB和BC是⊙O的两条弦（即ABC是圆的一条折弦）,BC〉AB，M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD.从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线,我们称之为该图的一条折弦.角平分线定理定理1：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

该命题逆定理成立：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

定理2：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。

该命题逆定理成立:如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线.xv=uy燕尾定理因此图类似燕尾而得名，是五大模型之一,是一个关于三角形的定理(如图△ABC，D、E、F 为BC、CA、AB 上点，满足AD、BE、CF 交于同一点O）。

S△ABC中,S△AOB：S△AOC=S△BDO:S△CDO=BD：CD；同理，S△AOC：S△BOC=S△AFO：S△BFO=AF：BF;S△BOC：S△BOA=S△CEO：S△AEO=EC：AE。

推论:共边比例定理：四边形ABCD（不一定是凸四边形)，设AC，BD相交于E，则有BE ：DE=S△ABC :S△ADC。

此定理是面积法最重要的定理.典型例题：如图三角形ABC的面积是10平方厘米，AE=ED,BD=2DC，则阴影部分的面积是_____平方厘米．答案：4解析:过D作DM‖BF交AC于M(如图)因为BD=2DC，因为AE=DE,所以△ABE的面积与△DBE的面积相等，所以阴影部分的面积为△DBE的面积+△AEF的面积，即三角形AFB的面积,由DM‖BF知道△DMC相似△CBF 所以CM：CF=CD：CB=1：3，即FM=CF，因为EF是△ADM的中位线，AF=MF，所以AF=AC，由此即可求出三角形AFB的面积，即阴影部分的面积．解：过D作DM‖BF交AC于M(如图）因为BD=2DC，因为AE=DE，所以△ABE的面积与△DBE的面积相等所以阴影部分的面积为△DBE的面积+△AEF的面积DM‖BF所以△DMC相似△CBF 所以CM:CF=CD：CB=1：3即FM=CF因为EF是△ADM的中位线，AF=MF，所以AF=AC所以△ABF的面积10×=4（平方厘米）即阴影部分的面积（即△DBE的面积加△AEF的面积）等于4平方厘米答：阴影部分的面积是4平方厘米,故答案为：4．共角定理：若两三角形有一组对应角相等或互补,则它们的面积比等于对应两边乘积的比。

有史以来十大公式定理

人类有史以来的十大公式No.1 麦克斯韦方程组（The Maxwell's Equations）积分形式：微分形式：这组公式融合了电的高斯定律、磁的高斯定律、法拉第定律以及安培定律。

比较谦虚的评价是：“一般地，宇宙间任何的电磁现象，皆可由此方程组解释。

”到后来麦克斯韦仅靠纸笔演算，就从这组公式预言了电磁波的存在。

我们不是总喜欢编一些故事，比如爱因斯坦小时候因为某一刺激从而走上了发奋学习、报效祖国的道路么？事实上，这个刺激就是你看到的这个方程组。

也正是因为这个方程组完美统一了整个电磁场，让爱因斯坦始终想要以同样的方式统一引力场，并将宏观与微观的两种力放在同一组式子中：即著名的“大一统理论”。

爱因斯坦直到去世都没有走出这个隧道，而如果一旦走出去，我们将会在隧道另一头看到上帝本人。

No.2 欧拉公式（Euler's Identity）这个公式是上帝写的么？到了最后几名，创造者个个神人。

欧拉是历史上最多产的数学家，也是各领域（包含数学的所有分支及力学、光学、音响学、水利、天文、化学、医药等）最多著作的学者。

数学史上称十八世纪为“欧拉时代”。

欧拉出生于瑞士，31岁丧失了右眼的视力，59岁双眼失明，但他性格乐观，有惊人的记忆力及集中力。

他一生谦逊，很少用自己的名字给他发现的东西命名。

不过还是命名了一个最重要的一个常数——e。

关于e，以前有一个笑话说：在一家精神病院里，有个病患整天对着别人说，“我微分你、我微分你。

”也不知为什么，这些病患都有一点简单的微积分概念，总以为有一天自己会像一般多项式函数般，被微分到变成零而消失，因此对他避之不及，然而某天他却遇上了一个不为所动的人，他很意外，而这个人淡淡地对他说，“我是e的x次方。

”这个公式的巧妙之处在于，它没有任何多余的内容，将数学中最基本的e、i、pie放在了同一个式子中，同时加入了数学也是哲学中最重要的0和1，再以简单的加号相连。

高斯曾经说：“一个人第一次看到这个公式而不感到它的魅力，他不可能成为数学家。

小学几何之蝴蝶定理

小学几何之蝴蝶定理在小学几何的奇妙世界里，有一个充满趣味和智慧的定理，那就是蝴蝶定理。

它就像一把神奇的钥匙，能帮助我们轻松解决许多看似复杂的几何问题。

让我们先来看看蝴蝶定理到底说的是什么。

蝴蝶定理通常是指在一个梯形中，连接两条对角线，会形成四个三角形。

位于梯形对角线两侧的两个三角形的面积相等。

简单来说，就像是一只蝴蝶的两个翅膀，面积是一样的。

那为什么这个定理如此重要呢？想象一下，当我们面对一个梯形的图形，需要计算其中某些部分的面积时，如果能够运用蝴蝶定理，就可以省去很多繁琐的计算步骤，迅速得出答案。

这对于提高我们解决问题的效率和准确性可是非常有帮助的。

为了更好地理解蝴蝶定理，让我们通过一些具体的例子来感受一下它的神奇之处。

比如说，有一个梯形 ABCD，其中 AB 平行于 CD，两条对角线 AC 和 BD 相交于点 O。

假设三角形 AOD 的面积是 6 平方厘米，三角形BOC 的面积是 8 平方厘米。

那么根据蝴蝶定理，三角形 AOB 的面积就等于三角形 DOC 的面积。

那我们怎么来求出这两个未知三角形的面积呢？我们可以这样思考：因为三角形 AOD 和三角形 BOC 的面积已知，我们设三角形 AOB 的面积为 x 平方厘米，那么三角形 DOC 的面积也为 x 平方厘米。

根据梯形中三角形面积的关系，我们可以得到：三角形 AOD 的面积乘以三角形 BOC 的面积等于三角形 AOB 的面积乘以三角形 DOC 的面积。

也就是 6×8 ＝ x×x，解得 x ＝4√3 平方厘米。

再来看一个例子。

有一个梯形，上底是 4 厘米，下底是 6 厘米，高是 5 厘米。

连接两条对角线后，其中一个三角形的面积是 10 平方厘米。

那么另一个与它相对的三角形的面积是多少呢？我们先根据梯形的面积公式：（上底＋下底）×高÷2，算出这个梯形的总面积是（4 ＋ 6）×5÷2 ＝ 25 平方厘米。

空间几何的八大定理

空间几何的八大定理空间几何有许多重要的定理，其中比较著名的有欧氏几何的五大公设，非欧几何的平行公设，以及一些基础定理，如勾股定理、锐角三角函数定理等。

以下是空间几何的八大定理：1. 欧氏几何的平行公设：在平面上，经过一点外一直线的直线只有一条与这条直线平行的直线。

这个公设是欧氏几何的基础，它确定了平面中直线的相互关系。

2. 勾股定理：三角形直角边的平方和等于斜边的平方。

这个定理是三角学中最基础的定理之一，也是空间几何中最重要的定理之一，它将三角形的长度关系与几何形状联系起来。

3. 圆锥曲线：圆锥曲线是平面上直线与圆锥相交而形成的曲线。

它包括圆、椭圆、双曲线和抛物线等多种形式，是空间几何中的基础概念之一。

4. 定比分点定理：在一条线段上，将其分为若干个部分，若知道其中某些部分的长度比例，则可以通过这些比例来确定这些部分的具体长度。

这个定理是空间几何中的基础定理之一，它可以用来解决许多关于长度和比例的问题。

5. 平面角的和定理：平面上两个相交直线所形成的相邻角之和等于180度。

这个定理是平面几何中的基础定理之一，它可以帮助我们理解平面上的角度关系。

6. 球面三角学：球面三角学研究的是球面上的三角形，其中包括球面上的角度、长度和面积等概念。

它是空间几何中的重要分支之一，与地理学、天文学等领域有着广泛的应用。

7. 平行四边形法则：平行四边形法则是指在平面上，任意两个平行四边形的对角线交点可以将它们分成四个全等的三角形。

这个法则是平行四边形的基础定理之一，它可以用来解决许多关于平行四边形的问题。

8. 空间中的直线和平面：在空间中，直线和平面之间有着重要的关系，它们可以相互垂直或平行，形成不同的几何形状。

这个定理是空间几何中的基础定理之一，它可以帮助我们理解空间中的几何结构。

2019精选教育关于平面几何的60条著名定理.doc

6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。

13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n （值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。