【高考调研】2020高中数学课时作业2 新人教A版选修2-2

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2020年高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：章末检测推理与证明 Word版含答案

章末检测一、选择题1．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2用的是( ) A ．归纳推理 B ．演绎推理 C ．类比推理 D ．特殊推理答案 A2．在△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，则有EF ∥BC ，这个问题的大前提为( ) A ．三角形的中位线平行于第三边 B ．三角形的中位线等于第三边的一半 C ．EF 为中位线 D ．EF ∥BC 答案 A解析这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF 为△ABC 的中位线；结论：EF ∥BC .3．对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式： 22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7 23＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19根据上述分解规律，若m 2＝1＋3＋5＋…＋11，n 3的分解中最小的正整数是21，则m ＋n ＝( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．13答案 B解析 ∵m 2＝1＋3＋5＋…＋11＝1＋112×6＝36，∴m ＝6.∵23＝3＋5,33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，∴53＝21＋23＋25＋27＋29， ∵n 3的分解中最小的数是21，∴n3＝53，n＝5，∴m＋n＝6＋5＝11.4．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是()A．假设2是有理数B．假设3是有理数C．假设2或3是有理数D．假设2＋3是有理数答案D解析应对结论进行否定，则2＋3不是无理数，即2＋3是有理数．5．已知f(x＋1)＝2f(x)f(x)＋2，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为()A.42x＋2B．2x＋1C．1x＋1D．22x＋1答案B解析当x＝1时，f(2)＝2f(1)f(1)＋2＝23＝22＋1，当x＝2时，f(3)＝2f(2)f(2)＋2＝24＝23＋1；当x＝3时，f(4)＝2f(3)f(3)＋2＝25＝24＋1，故可猜想f(x)＝2x＋1，故选B.6．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＝b与b＝c及a＝c中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个答案B解析若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与“a，b，c是不全相等的正数”矛盾，故①正确．a＝b与b＝c及a＝c中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“a，b，c是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确．7．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有()①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个答案 C解析类比相似形中的对应边成比例知，①③属于相似体． 8．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，则a 2 013等于( )A.12 B ．－1 C ．2 D ．3答案 C解析 ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1a 4＝－1，a 6＝1－1a 5＝2，∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *) ∴a 2 013＝a 3＋3×670＝a 3＝2.9．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，且f (x )在(2，＋∞)上为增函数．已知x 1＋x 2<4且(x 1－2)·(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( ) A ．恒小于0 B ．恒大于0 C ．可能等于0 D ．可正也可负答案 A解析不妨设x 1－2<0，x 2－2>0，则x 1<2，x 2>2，∴2<x 2<4－x 1， ∴f (x 2)<f (4－x 1)，即－f (x 2)>－f (4－x 1)，从而－f (x 2)>－f (4－x 1)＝f (x 1)， f (x 1)＋f (x 2)<0.10．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖的块数是( )A ．4n ＋2B ．4n －2C ．2n ＋4D ．3n ＋3答案 A解法一 (归纳猜想法)观察可知：除第一个以外，每增加一个黑色地板砖，相应的白地板砖就增加四个，因此第n 个图案中有白色地面砖的块数是一个“以6为首项，公差是4的等差数列的第n 项”．故第n 个图案中有白色地面砖的块数是4n ＋2. 法二 (特殊值代入排除法)由图可知，当n ＝1时，a 1＝6，可排除B 答案当n ＝2时，a 2＝10，可排除C 、D 答案．二、填空题11．(2013·陕西)观察下列等式： (1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 按此规律，第n 个等式可为________．答案 (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ·1·3·5…(2n －1)12．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，推测当n ≥2时，有________．答案 f (2n )>2＋n2(n ≥2)解析观测f (n )中n 的规律为2k (k ＝1,2，…) 不等式右侧分别为2＋k2，k ＝1,2，…，∴f (2n )>2＋n2(n ≥2)．13．用数学归纳法证明：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2n n ＋1时，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边需要添加的项是________．答案2(k ＋1)(k ＋2)解析由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需要添加的项是11＋2＋3＋…＋(k ＋1)＝2(k ＋1)(k ＋2).14．在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE EB ＝ACBC ，把这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中(如图所示)，面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．答案AE EB ＝S △ACDS △BCD解析 CE 平分∠ACB ，而面CDE 平分二面角A －CD －B .∴AC BC 可类比成S △ACD S △BCD ，故结论为AEEB ＝S △ACDS △BCD . 三、解答题15．已知a 、b 、c 是互不相等的非零实数．求证三个方程ax 2＋2bx ＋c ＝0，bx 2＋2cx ＋a ＝0，cx 2＋2ax ＋b ＝0至少有一个方程有两个相异实根．证明反证法：假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1＝4b 2－4ac ≤0，Δ2＝4c 2－4ab ≤0，Δ3＝4a 2－4bc ≤0.相加有a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2bc ＋c 2＋c 2－2ac ＋a 2≤0，(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≤0.①由题意a 、b 、c 互不相等，∴①式不能成立．∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根． 16．设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和． (1)求证：数列{S n }不是等比数列； (2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？(1)证明假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1·(1＋q ＋q 2)，因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾，所以数列{S n }不是等比数列．(2)解当q ＝1时，S n ＝na 1，故{S n }是等差数列；当q ≠1时，{S n }不是等差数列，否则2S 2＝S 1＋S 3，即2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)，得q ＝0，这与公比q ≠0矛盾．17．请你把不等式“若a 1，a 2是正实数，则有a 21a 2＋a 22a 1≥a 1＋a 2”推广到一般情形，并证明你的结论．解推广的结论：若a 1，a 2，…，a n 都是正实数，则有 a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n . 证明：∵a 1，a 2，…a n 都是正实数， ∴a 21a 2＋a 2≥2a 1；a 22a 3＋a 3≥2a 2；… a 2n －1a n ＋a n ≥2a n －1；a 2na 1＋a 1≥2a n ， a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n a n ＋a 2n －1a 1≥a 1＋a 2＋…＋a n . 18．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，是否存在关于自然数n 的函数g (n )，使等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝g (n )·[f (n )－1]对于n ≥2的一切自然数都成立？并证明你的结论．解当n ＝2时，由f (1)＝g (2)·[f (2)－1]，得g (2)＝f (1)f (2)－1＝1⎝⎛⎭⎫1＋12－1＝2，当n ＝3时，由f (1)＋f (2)＝g (3)·[f (3)－1]，得g (3)＝f (1)＋f (2)f (3)－1＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋12＋13－1＝3，猜想g (n )＝n (n ≥2)．下面用数学归纳法证明：当n ≥2时，等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1]恒成立． ①当n ＝2时，由上面计算可知，等式成立．②假设n ＝k (k ∈N *且k ≥2)时，等式成立，即f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1](k ≥2)成立，那么当n ＝k ＋1时，f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝k [f (k )－1]＋f (k )＝(k ＋1)f (k )－k ＝(k ＋1)⎣⎡⎦⎤f (k ＋1)－1k ＋1－k ＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]，∴当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②知，对一切n ≥2的自然数n 等式都成立，故存在函数g (n )＝n ，使等式成立．.....................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。

高中数学高考调研高中数学-课时作业2-新人教A版选修22

课时作业(二)一、选择题1．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则lim Δx→0f x0－Δx－f x0Δx＝( )A．11 B．－11C.111D．－111答案 B2．函数f(x)在x＝0可导，则limh→a f h－f ah－a＝( )A．f(a) B．f′(a) C．f′(h) D．f(h) 答案 B3．已知函数y＝x2＋1的图像上一点(1,2)及邻近点(1＋Δx,2＋Δy)，则limΔx→0Δy Δx＝( )A．2 B．2xC．2＋Δx D．2＋Δx2答案 A4．设f(x)为可导函数，且满足limx→0f1－f1－2x2x＝－1，则f′(1)的值为( )A．2 B．－1C．1 D．－2答案 B二、填空题5．一个物体的运动方程为S＝1－t＋t2，其中S的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是________．答案5米/秒6．函数y＝(3x－1)2在x＝x0处的导数为0，则x0＝________.答案1 3解析 Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(3x 0＋3Δx －1)2－(3x 0－1)2＝18x 0Δx ＋9(Δx )2－6Δx ，∴ΔyΔx＝18x 0＋9Δx －6. ∴li m Δx →0Δy Δx ＝18x 0－6＝0，∴x 0＝13. 7．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 答案 2解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝a (1＋Δx )＋4－a －4＝aΔx . ∴f ′(1)＝li m Δx →0ΔyΔx＝li m Δx →0a ＝a . 又f ′(1)＝2，∴a ＝2.8．质点M 按规律s ＝2t 2＋3做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，则质点M 的瞬时速度等于8 m/s 时的时刻t 的值为________．答案 2解析设时刻t 的值为t 0，则Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝2(t 0＋Δt )2＋3－2t 20－3＝4t 0·Δt ＋2·(Δt )2，Δs Δt ＝4t 0＋2Δt ，lim Δt →0ΔsΔt＝4t 0＝8，∴t 0＝2(s)． 9．已知f (x )＝1x ，则lim Δx →0f 2＋Δx －f 2Δx的值是________．答案－1410.如图，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝________；lim Δx →0f 1＋Δx －f 1Δx＝______.答案 2；－2 三、解答题11．设f (x )＝x 2，求f ′(x 0)，f ′(－1)，f ′(2)．答案 f ′(x 0)＝2x 0，f ′(－1)＝－2，f ′(2)＝412．某物体运动规律是S ＝t 2－4t ＋5，问什么时候此物体的瞬时速度为0? 答案 t ＝2解析 ΔS ＝(t ＋Δt )2－4(t ＋Δt )＋5－(t 2－4t ＋5) ＝2tΔt ＋(Δt )2－4Δt ，v ＝li m Δt →0ΔSΔt＝2t －4＝0，∴t ＝2.13．若f ′(x 0)＝2，求li m k →0f x 0－k －f x 02k的值．解析令－k ＝Δx ，∵k →0，∴Δx →0. 则原式可变形为li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0－2Δx＝－12li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝－12f ′(x 0)＝－12×2＝－1.►重点班·选做题14．若一物体运动方程如下：(位移：m ，时间：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 t ≥3， ①29＋3t －320≤t <3. ②求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．解析 (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度．∵物体在t ＝0附近的平均变化率为Δs Δt ＝f 0＋Δt －f 0Δt＝29＋3[0＋Δt －3]2－29－30－32Δt＝3Δt －18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为lim Δt →0ΔsΔt＝lim Δt →0(3Δt －18)＝－18，即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt ＝f 1＋Δt －f 1Δt＝29＋3[1＋Δt －3]2－29－31－32Δt＝3Δt －12，∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为 lim Δt →0ΔsΔt＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12. 即物体在t ＝1时的速度为－12 m/s.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

2020-2021学年人教A版数学选修2-2课时作业：模块综合评估2

模块综合评估(二)时间：120分钟满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1.1＋3i 1－i＝( B ) A ．1＋2i B ．－1＋2i C ．1－2i D ．－1－2i解析：1＋3i 1－i ＝(1＋3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－2＋4i 2＝－1＋2i.故选B. 2．下列说法正确的是( B )A ．2>2iB ．2>(3i)2C ．2＋3i<3＋3iD ．2＋2i>2＋i解析：本题主要考查复数的性质．不全为实数的两个复数不能比较大小，故排除A ，C ，D ；而B 中(3i)2＝－9<2，故选B.3．若复数z 满足z (1＋i)＝1－i(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z ＝( C )A ．－iB ．－2iC ．i D.2i解析：本题主要考查复数的运算及共轭复数的概念．因为z (1＋i)＝1－i ，所以z ＝1－i 1＋i＝－2i 2＝－i ，所以z ＝i.故选C. 4．函数f (x )＝e x sin x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角α＝( B )A ．0 B.π4 C ．1 D.3π2解析：本题主要考查导数的几何意义．函数f (x )＝e x sin x 的图象在点(0，f (0))处的切线的斜率k ＝f ′(0)＝e x(sin x ＋cos x )x ＝0＝1，所以倾斜角α＝π4.故选B.5．函数f (x )＝cos x 2x 的导函数f ′(x )＝( B )A.sin x －cos x 2xB ．－sin x ＋ln2·cos x 2x C.sin x －ln2·cos x 2x D ．－sin x ＋cos x 4x解析：f′(x)＝(cos x)′·2x－cos x·(2x)′(2x)2＝－sin x·2x－cos x·2x ln24x＝－sin x＋ln2·cos x2x.6．用反证法证明命题“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD 也是异面直线”的过程分为三步：①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线．则正确的顺序为(B)A．①→②→③B．③→①→②C．①→③→②D．②→③→①解析：本题主要考查反证法的步骤．反证法的步骤是：反设→归谬→结论．结合本题，知选B.7．由“边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为32a”可类比猜想：棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为(B)A.43a B.63a C.54a D.64a解析：将正三角形分割成以三条边为底的三个三角形，利用三个三角形面积的和等于正三角形的面积即可求得正三角形内任一点到三边的距离之和．类比可知，将正四面体分割成以各面为底的四个三棱锥，则四个三棱锥体积之和等于正四面体的体积，即可求得棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为63a.故选B.8．设复数z满足|z－3＋4i|＝|z＋3－4i|，则复数z在复平面上对应的点的轨迹是(C)A．圆B．半圆C．直线D．射线解析：复数z满足|z－3＋4i|＝|z＋3－4i|，则复数z在复平面内对应的点是复平面内到点(3，－4)，(－3,4)的距离相等的点，其轨迹为(3，－4)，(－3,4)两点连线的中垂线．故选C.9．设f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1处均有极值，则下列各点一定在y 轴上的是( A )A ．(b ，a )B ．(a ，c )C ．(c ，b )D ．(a ＋b ，c )解析：本题主要考查导数的应用．f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知1，－1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，则1－1＝－2b 3a ＝0，所以b ＝0.故选A.10．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面内对应的点位于( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：e 2i ＝cos2＋isin2，它在复平面内对应的点为(cos2，sin2)，由于π2<2<π，因此cos2<0，sin2>0，故点(cos2，sin2)在第二象限．11．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (2)＝3，且f (x )在R 上的导数满足f ′(x )－1<0，则不等式f (x 2)<x 2＋1的解集为( C )A ．(－∞，－2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，2)解析：本题主要考查导数的应用．令g (x )＝f (x )－x ，则g ′(x )＝f ′(x )－1<0，∴g (x )在R 上单调递减．由f (x 2)<x 2＋1，得f (x 2)－x 2<1，即g (x 2)<1.又g (2)＝f (2)－2＝1，∴g (x 2)<g (2)，∴x 2>2，解得x >2或x <－ 2.故选C.12．已知函数y ＝f (x )对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式中成立的是( A ) A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 C ．f (0)>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 D ．f (0)>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 解析：令g (x )＝f (x )cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则g ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x .因为f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上恒成立，所以g ′(x )>0在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上恒成立，所以g (x )＝f (x )cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π312<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π422，所以2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4.故选A. 二、填空题(每小题5分，共20分)13．曲线y ＝2cos x －π4在x ＝π4处的切线方程是x ＋y －1＝0.解析：由题意知y ′＝－2sin x ，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝π4＝－1.易知切点为⎝⎛⎭⎪⎫π4，1－π4，所以切线方程为x ＋y －1＝0. 14．复数z 1与z 2在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，|z 1|＝2，则z 1＝1－i 或－1＋i.解析：本题主要考查复数的运算与几何意义．设z 1＝a ＋b i ，则z 2＝－a ＋b i ，∵z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，且|z 1|＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (a ＋b i )(3－i )＝(－a ＋b i )(1＋3i )a 2＋b 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝1，∴z 1＝1－i 或－1＋i.15．观察下列各式：(1)(x 2)′＝2x ；(2)(x 4)′＝4x 3；(3)(cos x )′＝－sin x .根据以上事实，由归纳推理可得，若定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为g (x )，则g (0)＝0.解析：在(x 2)′＝2x 中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；在(x 4)′＝4x 3中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；在(cos x )′＝－sin x 中，原函数为偶函数，导函数为奇函数．我们可以推测，偶函数的导函数为奇函数．若定义在R 上的函数f (x )为偶函数，g (x )为f (x )的导函数，则g (x )为奇函数，故g (－x )＋g (x )＝0，即g (－0)＝－g (0)，g (0)＝0.16．若函数f (x )＝3a －x 2⎝⎛⎭⎪⎫1e ≤x ≤e ，e 为自然对数的底数与g (x )＝2ln x的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的最小值是13.解析：由题意可得f (x )＝－g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解，即3a －x 2＝－2ln x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解，整理可得a ＝x 2－2ln x 3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解．令h (x )＝x 2－2ln x 3，则h ′(x )＝13⎝⎛⎭⎪⎫2x －2x ，易知h ′(x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递增，又h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫2e －2e <0，h ′(1)＝0，h ′(e)＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫2e －2e >0，则h (x )min ＝h (1)＝13，所以实数a 的最小值是13.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知复数z 1满足z 1·i ＝1＋i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2.(1)求z 1；(2)若z 1·z 2是纯虚数，求z 2.解：(1)因为z 1·i ＝1＋i ，所以z 1＝1＋i i ＝－i (1＋i )－i 2＝1－i. (2)因为z 2的虚部为2，所以设z 2＝m ＋2i(m ∈R )．因为z 1·z 2＝(1－i)(m ＋2i)＝(m ＋2)＋(2－m )i 为纯虚数，所以m ＋2＝0，且2－m ≠0，解得m ＝－2.所以z 2＝－2＋2i.18．(12分)(1)求证：当a >2时，a ＋2＋a －2<2a ；(2)证明：2，3，5不可能是同一个等差数列中的三项．证明：(1)要证a ＋2＋a －2<2a ，只需证(a ＋2＋a －2)2<(2a )2，即证2a ＋2a ＋2·a －2<4a ，即证a ＋2·a －2<a ，只需证(a ＋2·a －2)2<a 2，即证a 2－4<a 2，显然成立，所以a ＋2＋a －2<2a .(2)假设2，3，5是同一个等差数列中的三项，且该等差数列的公差为d ，显然d ≠0.令3＝2＋rd,5＝2＋sd (r ，s 为非零整数)，则3－25－2＝r s，等式左端为无理数，等式右端为有理数，矛盾，所以假设不成立，故2，3，5不可能是同一个等差数列中的三项．19．(12分)已知复数z 1＝2＋a i(其中a ∈R 且a >0，i 为虚数单位)，且z 21为纯虚数．(1)求函数实数a 的值；(2)若z ＝z 11－i，求|z |. 解：(1)z 21＝(2＋a i)2＝4－a 2＋4a i ，因为z 21为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧4－a 2＝0，a ≠0，a >0，解得a ＝2.(2)由(1)得z 1＝2＋2i ，则z ＝2＋2i 1－i ＝(2＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝4i 2＝2i ，|z |＝2. 20．(12分)已知函数f (x )＝x ln x ＋x .(1)求f (x )的图象在x ＝1处的切线方程并求函数f (x )的单调区间；(2)求证：e x >f ′(x )．解：(1)由题得f ′(x )＝ln x ＋2，∴f ′(1)＝2，又f (1)＝1，∴所求切线方程为y ＝2x －1.令f ′(x )>0，解得x >e －2，令f ′(x )<0，解得0<x <e －2，故函数f (x )的单调递增区间为(e －2，＋∞)，单调递减区间为(0，e －2)．(2)证明：设g (x )＝e x －f ′(x )＝e x －ln x －2，x >0.g ′(x )＝e x－1x ，易知g ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，且g ′(1)＝e －1>0，g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12 －2<0，∴存在唯一的t ，且12<t <1，使得g ′(t )＝e t －1t ＝0，即e t＝1t ，∴g (x )在(0，t )上单调递减，在(t ，＋∞)上单调递增， ∴g (x )≥g (t )＝e t－ln t －2＝1t －ln 1e t －2＝t ＋1t －2≥2－2＝0，当且仅当t ＝1时等号成立，又12<t <1，∴上式等号不成立，∴g (x )>0，即e x >f ′(x )．21．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，x ∈[0，＋∞)．(1)求f (x )的最小值；(2)证明：当x ≥0时，e x －1≥sin x －cos x ＋1.解：(1)f ′(x )＝2(x －sin x )．设g (x )＝x －sin x ，则g ′(x )＝1－cos x ，当x ≥0时，g ′(x )≥0，即g (x )为增函数，则f ′(x )＝2g (x )≥2g (0)＝0，所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数，因此f (x )min ＝f (0)＝2.(2)证明：由(1)得，当x ≥0时，f ′(x )≥0，即sin x ≤x .又f (x )≥2，即1－cos x ≤x 22，所以sin x －cos x ＋1≤x ＋x 22.证明x ＋x 22≤e x －1成立即可证明原不等式成立．令h (x )＝e x－x 22－x －1，则h ′(x )＝e x －x －1，令m (x )＝e x －x －1，则m ′(x )＝e x －1，当x ≥0时，e x －1≥0，所以h ′(x )是增函数，即h ′(x )≥h ′(0)＝0，所以h (x )是增函数，即h (x )≥h (0)＝0，可得e x－x 22－x －1≥0，即e x －1≥x 22＋x ，所以原不等式成立．22．(12分)已知函数f (x )＝38x 2－2x ＋2＋ln x .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[e m ，＋∞)(m ∈Z )上有零点，求m 的最大值．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝34x －2＋1x ＝(3x －2)(x －2)4x，当f ′(x )>0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(2，＋∞)；当f ′(x )<0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23和(2，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2. (2)由(1)知y 极大＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝56＋ln 23>0，y 极小＝f (2)＝ln2－12>0.当x >0且x →0时f (x )<0，故f (x )在定义域上存在唯一零点x 0，且x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，23. 若m ≥0，则e m ≥1，[e m，＋∞)⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，此区间内不存在零点，舍去，故m <0.当m ＝－1时，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1＋38e 2－2e >0，又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，23上单调递增，此区间不存在零点，舍去．当m ＝－2时，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 2，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝1e 2⎝ ⎛⎭⎪⎫38e 2－2<0，又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2，23上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23>0，故x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2，23. 综上，m 的最大值为－2.。

2019-2020年高中数学 2.1 合情推理与演绎推理课时作业2 新人教A版选修2-2

2019-2020年高中数学 2.1 合情推理与演绎推理课时作业2 新人教A版选修2-2．如图，观察图形规律，在其右下角的空格处画上合适的图形，应为解析：观察图中每一行，每一列的规律，从形状和是否有阴影入手．每一行，每一列中三种图形都有，故填长方形．又每一行每一列中的图形的颜色应有二黑一白，故选答案：A．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝7，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( A.n n －4＋8－n (8－n )－4＝2 n n教学目标：1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、情景设置：如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量ABCD（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片） 1、数量与向量有何区别？ 2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？（三）探究学习1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：；④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义：A(起点)B（终点）a长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段．．．．．的起点无关．．．．．.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．．.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.（四）理解和巩固：例1 书本58页例1.例2判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）例3下列命题正确的是（）A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.例4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量.变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（）课堂练习：1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.2．书本59页练习三、小结：1、描述向量的两个指标：模和方向.2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.四、课后作业：书本59页习题2.1第3、5题。

人教A版选修2-2下学期调研统一测试高一数学.docx

秘密★启用前试卷类型：A下学期调研统一测试高一数学整理录入：一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．观察数列：-1，3，-7，（），-31，63，…，括号中的数字应为 A ．33 B ．15 C ．-21 D ．-37 2．设b<a ，d<C ，则下列不等式中一定成立的是A ．a-c>b-dB ．ac>bdC ．a+c>b+dD ．a+d>b+C3．不等式x 2-x -5>2x 的解集是A ．{ x | x ≥5或x ≤-1}B ．{ x | x >5或x <-1}C ．{ x |-1< x <5}D ．{ x |-1≤≤5} 4．已知两个平面垂直，下列命题中正确的个数是①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 A ．4 B ．3 C ．2 D ．15．已知锐角α、β满足sin α=55，cos β=10103，则α+β等于 4．43π B ．4π或43π C ．4π D ．2k π+43π（k ∈Z ）6．正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成的角的余弦值为 A ．51 B ．52 C ．53 D ．547．某品牌香水瓶的的三视图如右图所示（单位：cm ），它的表面积为 A ．（94-2π）cm 2 B ．（95-2π）cm 2 C ．（94+2π）cm 2 D ．（95+2π）cm 28．在△ABC 中，a =2bcos C ，则△ABC 一定是A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形9．△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b 等于 A ．213+ B ．1+3 C ．223+ D ．2+310．把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去偶数行的奇数和奇数行中的偶数，得到如图乙的三角数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到数列{a n }，若a n =2013，则n =A ．1028B ．1029C ．1030D ．1031二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：全册课堂导学全文 Word版含答案.doc

1．1变化率与导数1．1.1变化率问题1．1.2导数的概念[学习目标]1．了解导数概念的实际背景．2．会求函数在某一点附近的平均变化率．3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．[知识链接]很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？答气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系是r(V)＝33V4π，(1)当V从0增加到1 L时，气球半径增加了r(1)－r(0)≈0.62 (dm)，气球的平均膨胀率为r(1)－r(0)1－0≈0.62(dm/L)．(2)当V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16 (dm)，气球的平均膨胀率为r(2)－r(1)2－1≈0.16(dm/L)．可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了．[预习导引]1．函数的变化率定义实例平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为f(x2)－f(x1)x2－x1，简记作：ΔyΔx①平均速度；②曲线割线的斜率瞬时变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0ΔyΔx.①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.要点一求平均变化率例1已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.(2)根据(1)中的计算，当|Δx|越来越小时，函数h(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解(1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h (1)＝－4.9 (Δx)2－3.3Δx，∴ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3.①当Δx＝2时，ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；②当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－8.2； ③当Δx ＝0.1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.79； ④当Δx ＝0.01时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.349.(2)当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3. 规律方法求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪演练1 求函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值．解函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为 f (x 0＋Δx )－f (x 0)(x 0＋Δx )－x 0＝[3(x 0＋Δx )2＋2]－(3x 20＋2)Δx＝6x 0·Δx ＋3(Δx )2Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. 要点二物体运动的瞬时速度例2 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝6598 s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．解令t 0＝6598，Δt 为增量．则h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt ＝－4.9×⎝ ⎛⎭⎪⎫6598＋Δt 2＋6.5×⎝ ⎛⎭⎪⎫6598＋Δt ＋10Δt ＋4.9×⎝ ⎛⎭⎪⎫65982－6.5×6598－10Δt＝－4.9Δt ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5ΔtΔt ＝－4.9⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5， ∴lim Δt →0h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt ＝lim Δt →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4.9⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5＝0，即运动员在t 0＝6598 s 时的瞬时速度为0 m/s.说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处．规律方法求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下： (1)由物体运动的位移s 与时间t 的函数关系式求出位移增量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)； (2)求时间t 0到t 0＋Δt 之间的平均速度v ＝ΔsΔt ； (3)求lim Δt →0 ΔsΔt的值，即得t ＝t 0时的瞬时速度．跟踪演练2 一质点按规律s (t )＝at 2＋1作直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解 ∵Δs ＝s (2＋Δt )－s (2) ＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1 ＝4a Δt ＋a (Δt )2， ∴ΔsΔt ＝4a ＋a Δt .在t ＝2 s 时，瞬时速度为lim Δx →0 ΔsΔt ＝4a ，即4a ＝8，∴a ＝2. 要点三函数在某点处的导数例3 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．解 Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1)＝3(Δx )2＋4Δx ， ∵Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx ＝3Δx ＋4，∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 规律方法求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx.跟踪演练3 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数．解由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数 f ′(2)＝lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2) ＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0 －(Δx )2－ΔxΔx＝lim Δx →0 (－Δx －1)＝－1.1．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是( ) A ．4 B ．4.1 C ．0.41 D ．3答案 B解析 v ＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1.2．函数f (x )在x 0处可导，则lim Δx →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h ( ) A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关答案 B3．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx 等于( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2(Δx )2 答案 C解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－1＝2(Δx )2＋4Δx ，∴ΔyΔx ＝2Δx ＋4. 4．已知函数f (x )＝1x，则f ′(1)＝________. 答案－12解析 f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 11＋Δx－1Δx＝lim Δx →0－11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12.利用导数定义求导数三步曲：(1)作差求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)作比求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ，简记为一差，二比，三极限.一、基础达标1．函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx中，Δx 不可能是( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于0答案 C 2．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案 B解析 Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1.3．如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2) (s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( ) A ．－4.8 m/s B ．－0.88 m/s C ．0.88 m/s D ．4.8 m/s答案 A解析物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得． 4．设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f (1＋3Δx )－f (1)3Δx 等于( ) A ．f ′(1) B ．3f ′(1) C ．13f ′(1) D ．f ′(3) 答案 A 解析 lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx＝f ′(1)．5．已知函数y ＝2x ＋3，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________. 答案 13解析 Δy ＝f (1.5)－f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21.5＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋3＝43－1＝13.6．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________．答案 3解析 v 初＝s ′|t ＝0＝lim Δx →0s (0＋Δt )－s (0)Δt＝lim Δx →0 (3－Δt )＝3. 7．利用定义求函数y ＝－2x 2＋5在x ＝2处的瞬时变化率．解因为在x ＝2附近，Δy ＝－2(2＋Δx )2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx －2(Δx )2，所以函数在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率为ΔyΔx ＝－8Δx －2(Δx )2Δx ＝－8－2Δx .故函数y ＝－2x 2＋5在x ＝2处的瞬时变化率为lim Δx →0 (－8－2Δx )＝－8. 二、能力提升 8.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是( ) A ．甲 B ．乙 C ．相同 D ．不确定答案 B解析在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，但是，在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1(t 0)－W 1(t 0－Δt )Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2(t 0)－W 2(t 0－Δt )Δt ，所以，在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．9．过曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝________，当Δx ＝0.001时，割线的斜率k ＝________. 答案 2.1 2.001解析 ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2， ∴ΔyΔx ＝2＋Δx ，∴割线斜率为2＋Δx ，当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.1＝2.1. 当Δx ＝0.001时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.001＝2.001.10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为________．答案 2解析由导数的定义，得f ′(0)＝lim Δx →0f (Δx )－f (0)Δx＝lim Δx →0 a (Δx )2＋b (Δx )＋c －cΔx＝lim Δx →0[a ·(Δx )＋b ]＝b ＞0. 又⎩⎨⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0. ∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2bb ＝2.11．求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数．解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ， ∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16ΔxΔx ＝2Δx ＋16.∴y ′|x ＝3＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0(2Δx ＋16)＝16. 12．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值．解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx .∴f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 a (Δx )2＋2a Δx Δx ＝lim Δx →0 (a Δx ＋2a )＝2a ，即2a ＝2，∴a ＝1. 三、探究与创新13．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值．解由导数的定义知， f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ， g ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－x 3Δx ＝3x 2. ∵f ′(x )＋2＝g ′(x )，∴2x ＋2＝3x 2. 即3x 2－2x －2＝0，解得x ＝1－73或x ＝1＋73.1．1.3 导数的几何意义[学习目标]1．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系． 2．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义．3．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义． [知识链接]如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考查函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？答设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线，此割线的斜率是Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的切线．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.[预习导引] 1．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 2．函数的导函数当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称f ′(x )是f (x )的导函数(简称导数)．f ′(x )也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx.要点一过曲线上一点的切线方程例1 若曲线y ＝x 3＋3ax 在某点处的切线方程为y ＝3x ＋1，求a 的值．解 ∵y ＝x 3＋3ax .∴y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3＋3a (x ＋Δx )－x 3－3axΔx ＝lim Δx →0 3x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3＋3a Δx Δx＝lim Δx →0[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2＋3a ]＝3x 2＋3a . 设曲线与直线相切的切点为P (x 0，y 0)，结合已知条件，得⎩⎨⎧ 3x 20＋3a ＝3，x 30＋3ax 0＝y 0＝3x 0＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－322，x 0＝－342.∴a ＝1－322.规律方法一般地，设曲线C 是函数y ＝f (x )的图象，P (x 0，y 0)是曲线C 上的定点，由导数的几何意义知k ＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程．跟踪演练1 求曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12处的切线方程．解因为lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝lim Δx →0 12＋Δx －12Δx＝ lim Δx →0 －12(2＋Δx )＝－14.所以这条曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12处的切线斜率为－14，由直线的点斜式方程可得切线方程为y －12＝－14(x －2)，即x ＋4y －4＝0.要点二求过曲线外一点的切线方程例2 已知曲线y ＝2x 2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (2)曲线过点P (3,9)的切线方程．解 y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 [2(x ＋Δx )2－7]－(2x 2－7)Δx ＝lim Δx →0 (4x ＋2Δx )＝4x . (1)设切点为(x 0，y 0)，则4x 0＝4，x 0＝1，y 0＝－5， ∴切点坐标为(1，－5)． (2)由于点P (3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝4x 0，故所求的切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)．将P (3,9)及y 0＝2x 20－7代入上式，得9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0)．解得x 0＝2或x 0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x －y －15＝0或16x －y －39＝0.规律方法若题中所给点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．跟踪演练2 求过点A (2,0)且与曲线y ＝1x 相切的直线方程．解易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P (x 0，y 0)，由 y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0lim Δx →0 1x 0＋Δx －1x 0Δx ＝－1x 20，得所求直线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)．由点(2,0)在直线上，得x 20y 0＝2－x 0，再由P (x 0，y 0)在曲线上，得x 0y 0＝1，联立可解得x 0＝1，y 0＝1，所求直线方程为x ＋y －2＝0.要点三求切点坐标例3 在曲线y ＝x 2上过哪一点的切线， (1)平行于直线y ＝4x －5；(2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)与x 轴成135°的倾斜角．解 f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点． (1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)是满足条件的点．(2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，所以2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94是满足条件的点．(3)因为切线与x 轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1.即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14是满足条件的点．规律方法解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等．跟踪演练3 已知抛物线y ＝2x 2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0? 解设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2.∴ΔyΔx ＝4x 0＋2Δx .当Δx 无限趋近于零时，ΔyΔx 无限趋近于4x 0. 即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1，该点为(1,3)． (2)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直， ∴斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，该点为(2,9)．1．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2答案 C解析 f ′(2)＝lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx＝lim Δx →0 2(2＋Δx )2－8Δx＝lim Δx →0 (8＋2Δx )＝8，即k ＝8. 2．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1答案 A解析由题意，知k ＝y ′|x ＝0＝lim Δx →0 (0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b Δx ＝1，∴a ＝1. 又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A.3．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．165°答案 B解析 ∵y ＝12x 2－2，∴y′＝limΔx→012(x＋Δx)2－2－⎝⎛⎭⎪⎫12x2－2Δx＝limΔx→012(Δx)2＋x·ΔxΔx＝limΔx→0⎝⎛⎭⎪⎫x＋12Δx＝x.∴y′|x＝1＝1.∴点P⎝⎛⎭⎪⎫1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.4．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16.则P点坐标为________．答案(3,30)解析设点P(x0,2x20＋4x0)，则f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→02(Δx)2＋4x0·Δx＋4ΔxΔx＝4x0＋4，令4x0＋4＝16得x0＝3，∴P(3,30)．1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.一、基础达标1．下列说法正确的是()A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在答案 C解析k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x＝x0.2．已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是()A．f′(x A)>f′(x B)B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B)D．不能确定答案 B解析由导数的几何意义，f′(x A)，f′(x B)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f′(x A)<f′(x B)．3．在曲线y＝x2上切线倾斜角为π4的点是()A．(0,0) B．(2,4)C．(14，116) D．(12，14)答案 D解析∵y′＝limΔx→0(x＋Δx)2－x2Δx＝limΔx→0(2x＋Δx)＝2x，∴令2x＝tanπ4＝1，得x＝12.∴y＝⎝⎛⎭⎪⎫122＝14，所求点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫12，14.4．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于()A．1 B．12C ．－12D ．－1答案 A解析 ∵y ′|x ＝1＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2－a ×12Δx ＝lim Δx →0(2a ＋a Δx )＝2a .∴可令2a ＝2，∴a ＝1. 5．设y ＝f (x )为可导函数，且满足条件lim Δx →0 f (1)－f (1－x )2x ＝－2，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是________．答案－4解析由lim Δx →0 f (1)－f (1－x )2x＝－2，∴12f ′(1)＝－2，f ′(1)＝－4. 6．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________. 答案 3解析由在M 点的切线方程y ＝12x ＋2 得f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12.∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.7．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线．解曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率 k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →0 3(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx ＝lim Δx →0(3Δx ＋2)＝2. ∴过点P (－1,2)的直线的斜率为2，由点斜式得y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0. 二、能力提升 8.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 A解析易得切点P (5,3)，∴f (5)＝3，k ＝－1，即f ′(5)＝－1.∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 9．若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝________. 答案 3解析设切点坐标为(x 0,1)，则f ′(x 0)＝4x 0－4＝0， ∴x 0＝1，即切点坐标为(1,1)．∴2－4＋P ＝1，即P ＝3.10．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12解析 ∵f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )＋3－(x 2＋2x ＋3)Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋2)·Δx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →0 (Δx ＋2x ＋2)＝2x ＋2. ∴可设P 点横坐标为x 0，则曲线C 在P 点处的切线斜率为2x 0＋2.由已知得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12，∴点P 横坐标的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12.11．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求： (1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解 (1) 由⎩⎨⎧ y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，得⎩⎨⎧ x ＝－2，y ＝8，或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝13，∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．(2)∵y ＝x 2＋4，∴y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋4－(x 2＋4)Δx ＝lim Δx →0 (Δx )2＋2x ·Δx Δx ＝lim Δx →0(Δx ＋2x )＝2x . ∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0；在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1) ＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于零时，ΔyΔx 无限趋近于3x 20＋2ax 0－9.即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9∴f ′(x 0)＝3(x 0＋a 3)2－9－a 23.当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12. 解得a ＝±3.又a <0，∴a ＝－3. 三、探究与创新 13．已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？解 (1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，∴切点为P (1,1)．∵f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝m (x 0＋Δ x )3－x 30Δ x＝lim Δx →0 3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3Δx ＝lim Δx →0[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2]＝3x 20， ∴当x 0＝1时，k ＝f ′(1)＝3.∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎨⎧y ＝3(x －1)＋1y ＝x 3，可得(x －1)(x 2＋x －2)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为(1,1)或(－2，－8)．说明切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有其他的公共点.1．2 导数的计算 1．2.1 几个常用函数的导数1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[学习目标]1．能根据定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝x 的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．[知识链接]在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数y＝f(x)的导数？答(1)计算ΔyΔx，并化简；(2)观察当Δx趋近于0时，ΔyΔx趋近于哪个定值；(3)ΔyΔx趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数．[预习导引]1．几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝x f′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝1x f′(x)＝－1x2f(x)＝x f′(x)＝1 2x2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin x f′(x)＝cos_xf(x)＝cos x f′(x)＝－sin_xf(x)＝a x f′(x)＝a x ln_a(a>0，且a≠1)f(x)＝e x f′(x)＝e xf(x)＝log a x f′(x)＝1x ln a(a>0，且a≠1)f(x)＝ln x f′(x)＝1 x要点一利用导数定义求函数的导数例1用导数的定义求函数f(x)＝2 013x2的导数．解f′(x)＝limΔx→02 013(x＋Δx)2－2 013x2x＋Δx－x＝limΔx→02 013[x2＋2x·Δx＋(Δx)2]－2 013x2Δx＝limΔx→04 026x·Δx＋2 013(Δx)2Δx＝limΔx→0(4 026x＋2 013Δx)＝4 026x.规律方法解答此类问题，应注意以下几条：(1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤．(2)当Δx趋于0时，k·Δx(k∈R)、(Δx)n(n∈N*)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用．跟踪演练1用导数的定义求函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数．解y′＝limΔx→0(x＋Δx)2＋a(x＋Δx)＋b－(x2＋ax＋b)Δx＝limΔx→0x2＋2x·Δx＋(Δx)2＋ax＋a·Δx＋b－x2－ax－bΔx＝limΔx→02x·Δx＋a·Δx＋(Δx)2Δx＝limΔx→0(2x＋a＋Δx)＝2x＋a.要点二利用导数公式求函数的导数例2求下列函数的导数(1)y＝sin π3；(2)y＝5x；(3)y＝1x3；(4)y＝4x3；(5)y＝log3x.解(1)y′＝0；(2)y′＝(5x)′＝5x ln 5；(3)y′＝(x－3)′＝－3x－4；(4)y′＝⎝⎛⎭⎫4x3′＝⎝⎛⎭⎪⎫x34′＝34x－14＝344x；(5)y′＝(log3x)′＝1x ln 3.规律方法求简单函数的导函数的基本方法：(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．跟踪演练2求下列函数的导数：(1)y＝x8；(2)y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x；(3)y＝x x；(4)y＝log13x.解(1)y′＝8x7；(2)y′＝⎝⎛⎭⎪⎫12x ln12＝－⎝⎛⎭⎪⎫12x ln 2；(3)∵y＝x x＝x32，∴y′＝32x12；(4) y′＝1x ln13＝－1x ln 3.要点三利用导数公式求曲线的切线方程例3求过曲线y＝sin x上点P⎝⎛⎭⎪⎫π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程．解∵y＝sin x，∴y′＝cos x，曲线在点P⎝⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率是：y′|x＝π6＝cosπ6＝32.∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为－23，故所求的直线方程为y－12＝－23⎝⎛⎭⎪⎫x－π6，即2x＋3y－32－π3＝0.规律方法导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键．跟踪演练3已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．解∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0，又∵PQ的斜率为k＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ，∴k＝2x0＝1，即x0＝12，所以切点为M⎝⎛⎭⎪⎫12，14.∴所求的切线方程为y－14＝x－12，即4x－4y－1＝0.1．已知f(x)＝x2，则f′(3)＝()A．0 B．2xC．6 D．9答案 C解析∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.2．函数f(x)＝x，则f′(3)等于()A.36B．0C．12xD．32答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x，∴f ′(3)＝123＝36. 3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π)C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∵k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1， ∴αl ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2.1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.一、基础达标1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析 ①y ＝ln 2为常数，所以y ′＝0.①错．②③④正确．2．过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B. 3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5答案 A解析 f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，a ＝4. 4．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处有斜率为1的切线． 5．曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是________．答案 x ＋y －6＝0解析 ∵y ′＝－9x 2，∴y ′|x ＝3＝－1，∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为： y －3＝－(x －3)即x ＋y －6＝0.6．若曲线y ＝x －12在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________. 答案 64解析 ∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32，∴曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线斜率k ＝－12a －32，∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )．令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a . ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，∴a ＝64. 7．求下列函数的导数：(1) y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4； (4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫5x 3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2. (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5.(3)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4 ＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x 2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x . (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. 二、能力提升8．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1e C ．－e D ．e答案 D解析y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＝kx 0y 0＝e x 0k ＝e x 0.∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.9．曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4，则a ＝________. 答案 1解析 y ′＝1x ，∴y ′|x ＝a ＝1a ＝1，∴a ＝1.10．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x 的最小距离为________．答案 22 解析根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图．则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即y ′|x ＝x 0＝1. ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为22.11．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值．解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1，由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0，即sin x ≥1，但sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .12．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728. 三、探究与创新13．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，试求f 2 014(x )．解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4， ∴f 2 014(x )＝f 2(x )＝－sin x ．1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)[学习目标]1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 3．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导． [知识链接]前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求f (x )＝5和g (x )＝1.05x 等基本初等函数的导数，那么怎样求f (x )与g (x )的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则． [预习导引] 1．导数运算法则法则语言叙述[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x ) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )·g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方2．复合函数的求导法则复合函数的概念一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积要点一利用导数的运算法则求函数的导数例1 求下列函数的导数： (1) y ＝x 3－2x ＋3； (2)y ＝(x 2＋1)(x －1)； (3)y ＝3x －lg x .解 (1)y ′＝(x 3)′－(2x )′＋3′＝3x 2－2. (2)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1， ∴y ′＝(x 3)′－(x 2)′＋x ′－1′＝3x 2－2x ＋1.(3)函数y ＝3x －lg x 是函数f (x )＝3x 与函数g (x )＝lg x 的差．由导数公式表分别得出f ′(x )＝3x ln 3，g ′(x )＝1x ln 10，利用函数差的求导法则可得(3x －lg x )′＝f ′(x )－g ′(x )＝3x ln 3－1x ln 10.规律方法本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．跟踪演练1 求下列函数的导数： (1)y ＝5－4x 3；(2)y ＝3x 2＋x cos x ； (3)y ＝e x ·ln x ；(4)y ＝lg x －1x 2. 解 (1)y ′＝－12x 2；(2)y ′＝(3x 2＋x cos x )′＝6x ＋cos x －x sin x ； (3)y ′＝e x x ＋e x ·ln x ； (4)y ′＝1x ln 10＋2x 3. 要点二求复合函数的导数例2 求下列函数的导数： (1)y ＝ln(x ＋2)； (2)y ＝(1＋sin x )2；解 (1)y ＝ln u ，u ＝x ＋2∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(x ＋2)′＝1u ·1＝1x ＋2.(2)y ＝u 2，u ＝1＋sin x ，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(1＋sin x )′ ＝2u ·cos x ＝2cos x (1＋sin x )．规律方法应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面： (1)中间变量的选取应是基本函数结构．(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导． (3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导． (4)善于把一部分表达式作为一个整体．(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤．跟踪演练2 (1)y ＝e 2x ＋1； (2)y ＝(x －2)2.解 (1)y ＝e u ，u ＝2x ＋1，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(e u )′·(2x ＋1)′＝2e u ＝2e 2x ＋1. (2)法一 ∵y ＝(x －2)2＝x －4x ＋4， ∴y ′＝x ′－(4x )′＋4′ ＝1－4×12x －12＝1－2x .法二令u ＝x －2，则y x ′＝y u ′·u x ′＝2(x －2)·(x －2)′＝ 2(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12·1x －0＝1－2x . 要点三导数的应用例3 求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程．解设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0) ① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0 ②又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)．即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.规律方法 (1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解．跟踪演练3 已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度．解 ∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， ∴s ′(t )＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ， ∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327 m/s.1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x 答案 D解析利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ， ∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x . 2．函数y ＝cos x1－x 的导数是( )A.－sin x ＋x sin x(1－x )2B ．x sin x －sin x －cos x(1－x )2C ．cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2D ．cos x －sin x ＋x sin x1－x答案 C解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2.3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2答案 A解析 ∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2，∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________. 答案 ln 2－1解析设切点为(x 0，y 0)， ∵ y ′＝1x ，∴12＝1x 0，∴x 0＝2，∴y 0＝ln 2，ln 2＝12×2＋b ，∴b ＝ln 2－1.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、基础达标1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( ) A ．－2e x cos x B ．－2e x sin x C ．2e x sin x D ．－2e x (sin x ＋cos x )答案 D解析 y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )．2．当函数y ＝x 2＋a 2x (a >0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0＝( ) A ．a B ．±a C ．－a D ．a 2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a .3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2B ．12 C ．－12D ．－2答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1)或(1,1) C ．(2,8) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18答案 B解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．答案 4解析依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ， f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.6．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________. 答案 1解析由于f ′(0)是一常数，所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0，则f ′(0)＝0， ∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1. 7．求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝x －sin x 2cos x2.解 (1)法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9. 法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3， ∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9.(2)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .二、能力提升8．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B ．12 C ．－22 D ．22答案 B解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故y ′|x ＝π4＝12， ∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.9．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A ．[0，π4) B ．[π4，π2) C ．(π2，3π4] D ．[3π4，π)答案 D解析 y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1，设t ＝e x∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t ＋2，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈[3π4，π)．10．(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2解析令t ＝e x ，则x ＝ln t ，所以函数为f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，所以f ′(x )＝1x ＋1，即f ′(1)＝11＋1＝2. 11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．解点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 2，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3.当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0；当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27，则所求直线方程是y －27＝27(x －3)，即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.12．已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程．解设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3， ∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16，又切点(x 0，y 0)在切线上，∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16，即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0. 三、探究与创新13．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． (1)解由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12， ①又f ′(x )＝a ＋bx 2， ∴f ′(2)＝74，②。

2020学年高中数学学期综合测评(二)新人教A版选修2-2(2021-2022学年)

学期综合测评（二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分１50分,考试时间12０分钟．第Ⅰ卷（选择题,共60分)一、选择题（本大题共1２小题,每小题5分，共６0分）1．下列说法正确的是（）A.2＞2ｉﻩB．2>(3ｉ)2Ｃ.２+3i＜3+３i Ｄ．２＋2i＞2＋ｉ答案B解析本题主要考查复数的性质．不全为实数的两个复数不能比较大小,故排除A，C,D；而B中（3ｉ）2=－9＜2，故选B。

2.用反证法证明命题“若直线AＢ,ＣD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程分为三步:①则Ａ，B，C,D四点共面,所以AB，ＣD共面，这与ＡB,CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AＣ,BD也是异面直线;③假设直线AC，BD是共面直线．则正确的顺序为（)A．①→②→③ ﻩＢ.③→①→②C.①→③→②D.②→③→①答案B解析本题主要考查反证法的步骤.反证法的步骤是：反设→归谬→结论．结合本题，知选B.３.a,b是两个实数,给出下列条件:①a＋b〉1;②a+b＝2;③a+ｂ>2;④ａ2+b２＞2；⑤ab〉1.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是（）Ａ．②③ B.①②③C.③ D．③④⑤答案C解析若a=错误!，b=错误!,则a+b>1,但a〈１,b<1,故①推不出；若ａ=b＝1，则a+b=2，故②推不出；若a＝-2，ｂ=-3,则a2+b2〉2,故④推不出；若ａ=-2，b=-３,则ab〉1，故⑤推不出；若a＋b>2，则ａ,b中至少有一个大于１.我们可以用反证法进行证明:假设ａ≤1且ｂ≤１，则a+b≤2,与a+ｂ〉2矛盾,因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于１.因此③能推出.故选Ｃ.4．用数学归纳法证明12＋22+…+(n-1)2+ｎ２＋（n－1)２+…＋22+1２＝错误!未定义书签。

时,从ｎ＝ｋ到n=k+１时，等式左边应添加的式子是( )A．(k-1)2+2k2B．(k+1）2＋k２C．(k＋1）2ﻩ D.错误!（k+１）［２(k＋1)２+1］答案B解析n=k时，左边=１2+22+…＋(k－１）2＋ｋ２＋（k－1)2＋…＋２２+１２，n＝k＋1时,左边＝12＋2２+…+(ｋ-1)2＋k2+（k+1)２＋ｋ2+(k-1)2+…＋２2+12,∴从n＝k到n＝k＋１,左边应添加的式子为（k+1）2+k2。

【优化方案】2020学年高中数学第二章推理与证明课时作业新人教A版选修2-2

【优化方案】2020学年高中数学第二章推理与证明课时作业新人教A 版选修2-2[学业水平训练]1．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.n n －4＋8－n 8－n －4＝2 B.n ＋1n ＋1－4＋n ＋1＋5n ＋1－4＝2 C ．n n －4＋n ＋4n ＋4－4＝2 D ．n ＋1n ＋1－4＋n ＋5n ＋5－4＝2 解析：选A.观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.2．对命题“正三角形的内切圆切正三角形于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切正四面体于四面的( )A ．各正三角形内的任意点B ．各正三角形的某高线的中点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点解析：选C ．三角形的三边与四面体的面是类比对象，边的中点与正三角形的中心相对应．3．因为奇函数的图象关于原点对称(大前提)，而函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋1，x ＞00，x ＝0x x －1，x ＜0是奇函数(小前提)，所以f(x)的图象关于原点对称(结论)．上面的推理有错误，其错误的原因是( )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错解析：选B.本题主要考查演绎推理的三段论与分段函数的综合应用．因为f(1)＝f(－1)＝2，所以f(－1)≠－f(1)，所以f(x)不是奇函数，故推理错误的原因是小前提错导致结论错，故选B.4．观察下列不等式：1＞12，1＋12＋13＞1,1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2,1＋12＋13＋…＋131＞52，…，由此猜测第n 个不等式为( )A ．1＋12＋13＋…＋12n ＋1＞2n ＋12 B ．1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 2C ．1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 2 D ．1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 2 解析：选D ．3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 2. 5．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)·…·(n ＋n)＝2n·1·3·…·(2n －1)(n ∈N*)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时左边需增乘的代数式是( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋1解析：选B.左边增乘的式子是k ＋1＋k k ＋1＋k ＋1k ＋1＝2(2k ＋1)． 6．(2020·珠海质检)用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a ，b 全为0(a 、b 为实数)”，其反设为________．解析：“a ，b 全为0”即是“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”．答案：a ，b 不全为07．(2020·多面体面数(F) 顶点数(V) 棱数(E) 三棱柱5 6 9 五棱锥6 6 10 立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中，F ，V ，E 所满足的等式是____________．解析：观察F ，V ，E 的变化得F ＋V －E ＝2.答案：F ＋V －E ＝28．(2020·银川调研)用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n ，总有2n ＞n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是________．解析：∵210＝1 024＞103,29＝512＜93，∴填10.答案：109．已知|x|≤1，|y|≤1，用分析法证明：|x ＋y|≤|1＋xy|.证明：要证|x ＋y|≤|1＋xy|，即证(x ＋y)2≤(1＋xy)2，即证x2＋y2≤1＋x2y2，即证(x2－1)(1－y2)≤0，因为|x|≤1，|y|≤1，所以x2－1≤0,1－y2≥0，所以(x2－1)(1－y2)≤0，不等式得证．[高考水平训练]1．0＜a≤15是函数f(x)＝ax2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上为减函数的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若f(x)为(－∞，4]上的减函数，则a ＞0且－a －1a ≥4⇔0＜a≤15或a ＝0，即a ∈[0，15]．而由a ∈(0，15]⇒a ∈[0，15]，但由a ∈[0，15]⇒a ∈(0，15]．故选A.2．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行．类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件．充要条件①________________________________________________________________________；充要条件②________________________________________________________________________. (写出你认为正确的两个充要条件)解析：运用类比思想，从平面到空间，由四边形到四棱柱．四棱柱为平行六面体的充要条件为其底面四边形为平行四边形．因此，只要保证底面是平行四边形即可．答案：①底面为平行四边形 ②两组相对侧面分别平行(注：答案不唯一)3．已知数列{an}满足a1＝1，an ＋an ＋1＝(15)n(n ∈N*)，若Tn ＝a1＋a2·5＋a3·52＋…＋an·5n－1，bn ＝6Tn －5nan ，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，求数列{bn}的通项公式．解：因为Tn ＝a1＋a2·5＋a3·52＋…＋an·5n －1，①所以5Tn ＝a1·5＋a2·52＋a3·53＋…＋an －1·5n －1＋an·5n ，②由①＋②得：6Tn ＝a1＋(a1＋a2)·5＋(a2＋a3)·52＋…＋(an －1＋an)·5n －1＋an·5n＝1＋15×5＋(15)2×52＋…＋(15)n －1×5n －1＋an·5n＝n ＋an·5n ，所以6Tn －5nan ＝n ，所以数列{bn}的通项公式为bn ＝n.4．(2020·高考广东卷)设数列{an}的前n 项和为Sn ，满足Sn ＝2nan ＋1－3n2－4n ，n ∈N*，且S3＝15.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)由题意知S2＝4a3－20，∴S3＝S2＋a3＝5a3－20.又S3＝15，∴a3＝7，S2＝4a3－20＝8.又S2＝S1＋a2＝(2a2－7)＋a2＝3a2－7，∴a2＝5，a1＝S1＝2a2－7＝3.综上知，a1＝3，a2＝5，a3＝7.(2)由(1)猜想an ＝2n ＋1，下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，结论显然成立；②假设当n ＝k(k≥1)时，ak ＝2k ＋1，则Sk ＝3＋5＋7＋…＋(2k ＋1)＝k[3＋2k ＋1]2＝k(k ＋2)．又Sk＝2kak＋1－3k2－4k，∴k(k＋2)＝2kak＋1－3k2－4k，解得2ak＋1＝4k＋6，∴ak＋1＝2(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时，结论成立．由①②知，∀n∈N*，an＝2n＋1.。

【人教A版数学选修2-2】课时作业20

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6．在复平面内，复数 z＝sin3＋icos3 对应的点位于( D )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析：∵π2<3<π，∴sin3>0，cos3<0， ∴z＝sin3＋icos3 在第四象限．
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7．已知复数 z 满足|z|＝2，则|z＋3－4i|的最小值是( D )
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三、解答题 12．已知复数 z1＝3＋2i，z2＝－5－i，且 z1，z2 在复平面内对应的点分别为 Z1，Z2，求过 Z1，Z2 两点的直线的斜率．
解：由题知 Z1(3,2)，Z2(－5，－1)，所以 kZ1Z2＝－－15－－23＝38 为所求直线的斜率．
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∴||zz||≤ ≥11，， ∴|z|＝1. 由复数的模的几何意义知，复数 z 在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，1 为半径的圆．
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4．在复平面内，O 为原点，向量O→A对应的复数为－1＋2i，
若点 A 关于直线 y＝－x 的对称点为 B，则向量O→B对应的复数为
( B)
A．－2－i
B．－2＋i
C．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＋2i
D．－1＋2i
解析：∵A(－1,2)关于直线 y＝－x 的对称点 B(－2,1)，∴向量O→B对应的复数为－2＋i.
A．5
B．2
C．7
D．3

2020年高中数学人教A版选修2-2 课时作业《函数的单调性与导数》(含答案解析)

2020年高中数学人教A 版选修2-2 课时作业《函数的单调性与导数》一、选择题1.下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A ．y=sin xB ．y=xe xC ．y=x 3-xD ．y=ln x-x2.若函数y=x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，133.函数y=x 4-2x 2＋5的单调递减区间为( )A ．(-∞，-1)和(0,1)B ．[-1,0]和[1，＋∞)C ．[-1,1]D ．(-∞，-1]和[1，＋∞)4.函数y=xln x 在(0,5)上的单调性是( )A ．单调递增B ．单调递减C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ， 5上单调递增 D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1e 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ， 5上单调递减5.若函数y=a(x 3-x)的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－33， 33，则a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(-1,0) C ．(1，＋∞) D ．(0,1)6.已知函数f(x)=x ＋ln x ，则有( )A ．f(2)<f(e)<f(3)B ．f(e)<f(2)<f(3)C ．f(3)<f(e)<f(2)D ．f(e)<f(3)<f(2)7.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y=f′(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是( )8.若函数f(x)=kx-ln x 在区间(1，＋∞)内单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(-∞，-2]B ．(-∞，-1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)9.设函数F(x)=f x e x 是定义在R 上的函数，其中f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)<f(x)对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f(2)>e 2f(0)，f(2 016)>e 2 016f(0)B ．f(2)<e 2f(0)，f(2 016)>e 2 016f(0)C ．f(2)<e 2f(0)，f(2 016)<e 2 016f(0)D ．f(2)>e 2f(0)，f(2 016)<e 2 016f(0)二、填空题10.函数f(x)=cos x ＋32x 的单调递增区间是________．11.若函数y=13ax 3-12ax 2-2ax(a≠0)在[-1,2]上为增函数，则a ∈________.12.若函数y=-43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是 .13.已知函数f(x)的定义域为R ，f(-1)=2，对任意x ∈R ，f′(x)＞2，则f(x)＞2x ＋4的解集为____________．14.若f(x)=-12x 2＋bln(x ＋2)在(-1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是___________．三、解答题15.已知函数f(x)=13x 3＋ax 2＋bx ，且f′(-1)=-4，f′(1)=0. (1)求a 和b ；(2)试确定函数f(x)的单调区间．16.已知a≥0，函数f(x)=(x 2-2ax)e x.设f(x)在区间[-1,1]上是单调函数，求a 的取值范围．17.已知x ＞0，证明不等式ln(1＋x)＞x-12x 2成立．18.已知函数f(x)=x 3-ax-1.(1)是否存在实数a ，使f(x)在(-1,1)上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．(2)证明：f(x)=x 3-ax-1的图象不可能总在直线y=a 的上方．答案解析1.答案为：B ；解析：B 中，y′=(xe x )′=e x ＋xe x =e x (x ＋1)＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴y=xe x 在(0，＋∞)上为增函数．对于A 、C 、D 都存在x ＞0，使y′＜0的情况．2.答案为：C ；解析：y′=3x 2＋2x ＋m ，由条件知y′≥0在R 上恒成立，∴Δ=4-12m≤0，∴m≥13.3.答案为：A ；解析：y′=4x 3-4x ，令y′<0，即4x 3-4x<0，解得x<-1或0<x<1，所以函数的单调递减区间为(-∞，-1)和(0,1)，故应选A.4.答案为：C ；解析：由已知得函数的定义域为(0，＋∞)．∵y′=ln x＋1，令y′＞0，得x ＞1e. 令y′＜0，得x ＜1e .∴函数 y=xln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ， 5上单调递增．5.答案为：A ；解析：y′=a(3x 2-1)=3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33. 当-33＜x ＜33时，⎝⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33＜0，要使y=a(x 3-x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－33， 33上单调递减，只需y′＜0，即a ＞0.6.答案为：A ；解析：在(0，＋∞)内，f′(x)=12x ＋1x>0，所以f(x)在(0，＋∞)内是增函数，所以有f(2)<f(e)<f(3)．7.答案为：C ；解析：由f′(x)的图象知，x ∈(-∞，0)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，x ∈(0,2)时， f′(x)<0，f(x)为减函数，x ∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．只有C 符合题意，故选C.8.答案为：D ；解析：因为f(x)=kx-ln x ，所以f′(x)=k -1x.因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x>1时，f′(x)=k -1x ≥0恒成立，即k≥1x 在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x>1，所以0<1x <1，所以k≥1.故选D.9.答案为：C ；解析：∵函数F(x)=f x e x 的导数F′(x)=f′x e x －f x e x e x 2=f′x －f x ex <0， ∴函数F(x)=f x ex 是定义在R 上的减函数， ∴F(2)<F(0)，即f 2e 2<f 0e0，故有f(2)<e 2f(0)．同理可得f(2 016)<e 2 016f(0)．故选C.一、填空题10.答案为：(-∞，＋∞)；解析：因为f′(x)=-sin x ＋32＞0，所以f(x)在R 上为增函数．11.答案为：(-∞，0)；解析：y′=ax 2-ax-2a=a(x ＋1)(x-2)>0，∵当x ∈(-1,2)时，(x ＋1)(x-2)<0，∴a<0.12.答案为：(0，＋∞)；解析：∵y′=-4x 2＋a ，且y 有三个单调区间，∴方程y′=-4x 2＋a=0有两个不等的实根，∴Δ=02-4×(-4)×a>0，∴a>0.13.答案为：(-1，＋∞)；解析：设g(x)=f(x)-2x-4，则g′(x)=f′(x)-2.∵对任意x ∈R ，f′(x)＞2，∴g′(x)＞0. ∴g(x)在R 上为增函数．又g(-1)=f(-1)＋2-4=0，∴x ＞-1时，g(x)＞0.∴由f(x)＞2x ＋4，得x ＞-1.14.答案为：(-∞，-1]；解析：∵f(x)在(-1，＋∞)上为减函数，∴f′(x)≤0在(-1，＋∞)上恒成立，∵f′(x)=-x ＋b x ＋2，∴-x ＋b x ＋2≤0， ∵b≤x(x＋2)在(-1，＋∞)上恒成立，g(x)=x(x ＋2)=(x ＋1)2-1，∴g(x)min =-1，∴b≤-1.二、解答题15.解：(1)∵f(x)=13x 3＋ax 2＋bx ，∴f′(x)=x 2＋2ax ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧ f′－1＝－4，f′1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ＋b ＝－4，1＋2a ＋b ＝0.解得a=1，b=-3. (2)由(1)得f(x)=13x 3＋x 2-3x.f′(x)=x 2＋2x-3=(x-1)(x ＋3)．由f′(x)>0得x>1或x<-3；由f′(x)<0得-3<x<1.∴f(x)的单调递增区间为(-∞，-3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(-3,1)．16.解： f′(x)=(2x -2a)e x ＋(x 2-2ax)e x =e x [x 2＋2(1-a)x-2a]．令f′(x)=0，即x 2＋2(1-a)x-2a=0.解得x 1=a-1-1＋a 2，x 2=a-1＋1＋a 2，令f′(x)＞0，得x ＞x 2或x ＜x 1，令f′(x)＜0，得x 1＜x ＜x 2.∵a≥0，∴x 1<-1，x 2≥0.由此可得f(x)在[-1,1]上是单调函数的充要条件为x 2≥1，即a-1＋1＋a 2≥1，解得a≥34.故所求a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.17.证明：设f(x)=ln(1＋x)-x ＋12x 2，其定义域为(-1，＋∞)，则f′(x)=11＋x -1＋x=x 21＋x. 当x ＞-1时，f′(x)＞0，则f(x)在(-1，＋∞)内是增函数．∴当x ＞0时，f(x)＞f(0)=0.∴当x ＞0时，不等式ln(1＋x)＞x-12x 2成立．18.解：(1)已知函数f(x)=x 3-ax-1，∴f′(x)=3x 2-a ，由题意知3x 2-a≤0在(-1,1)上恒成立，∴a≥3x 2在x ∈(-1,1)上恒成立．但当x ∈(-1,1)时，0＜3x 2＜3，∴a≥3，即当a≥3时，f(x)在(-1,1)上单调递减．(2)证明：取x=-1，得f(-1)=a-2＜a ，即存在点(-1，a-2)在f(x)=x 3-ax-1的图象上，且在直线y=a 的下方．即f(x)的图象不可能总在直线y=a 的上方．。

2020-2021学年人教A版数学选修2-2课时作业：第二章推理与证明单元质量评估

第二章单元质量评估时间：120分钟满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分) 1．下面几种推理是合情推理的是( B )①由正三角形的性质类比出正三棱锥的有关性质；②由正方形、矩形的内角和是360°，归纳出所有四边形的内角和都是360°；③三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n 边形内角和是(n －2)·180°；④小李某次数学模块考试成绩是90分，由此推出小李的全班同学这次数学模块考试的成绩都是90分．A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．②③④解析：本题主要考查对合情推理(归纳推理、类比推理)的判断．①是类比推理，②③是归纳推理．故选B.2．用反证法证明命题“若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c ∈Z )有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是奇数”时，下列假设正确的是( B )A ．假设a ，b ，c 都是奇数B ．假设a ，b ，c 都不是奇数C ．假设a ，b ，c 至多有一个奇数D ．假设a ，b ，c 至多有两个奇数解析：本题主要考查反证法的应用．命题“a ，b ，c 中至少有一个是奇数”的否定是“a ，b ，c 都不是奇数”，故选B.3．因为奇函数的图象关于原点对称(大前提)，而函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋1)，x >00，x ＝0x (x －1)，x <0是奇函数(小前提)，所以函数f (x )的图象关于原点对称(结论)．上面的推理有错误，其错误的原因是( B )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错解析：本题主要考查演绎推理的三段论与分段函数的综合应用．因为f (1)＝f (－1)＝2，所以f (－1)≠－f (1)，所以f (x )不是奇函数，故推理错误的原因是小前提错导致结论错，故选B.4．已知函数f (x )＝5x ，则f (2 015)的末四位数字为( D ) A ．3 125 B ．5 625 C ．0 625 D ．8 125解析：本题主要考查归纳推理的应用．因为f (5)＝55＝3 125的末四位数字为3 125，f (6)＝56＝15 625的末四位数字为5 625，f (7)＝57＝78 125的末四位数字为8 125，f (8)＝58＝390 625的末四位数字为0 625，f (9)＝59＝1 953 125的末四位数字为3 125，故周期T ＝4.又由于2 015＝502×4＋7，因此f (2 015)的末四位数字与f (7)的末四位数字相同，即f (2 015)的末四位数字是8 125.故选D.5．已知函数f (x )＝12x ＋2，计算f (0)＋f (1)，f (2)＋f (－1)的值，可归纳其一般性的结论是( D )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝12B ．f (－x )＋f (x ＋1)＝12C ．f (－x )＋f (x －1)＝22D ．f (－x )＋f (x ＋1)＝22 解析：本题主要考查归纳推理等知识．∵f (x )＝12x＋2，∴f (0)＋f (1)＝11＋2＋12＋2＝2－1＋2－22＝22，f (－1)＋f (2)＝21＋22＋14＋2＝42－27＋4－214＝22，可归纳：f (－x )＋f (x ＋1)＝22.事实上，f (－x )＋f (x ＋1)＝12－x ＋2＋12x ＋1＋2＝2x 1＋2×2x ＋12x ＋1＋2＝2×2x 2＋2x ＋1＋12x ＋1＋2＝2×2x ＋12(1＋2×2x )＝22.故选D.6．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面( C )A ．各正三角形内任一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．7．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，则a 2 015等于( B )A.12 B ．－1 C ．2 D ．3解析：∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1a 4＝－1，a 6＝1－1a 5＝2，∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *)．∴a 2 015＝a 2＋3×671＝a 2＝－1.8．已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )不能等于( C )A ．f (1)＋2f (1)＋…＋nf (1)B ．f ⎝⎛⎭⎪⎫n (n ＋1)2 C.n (n ＋1)2 D.n (n ＋1)2f (1) 解析：f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令x ＝y ＝1，得f (2)＝2f (1)，令x ＝1，y ＝2，f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)， ⋮f (n )＝nf (1)，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝(1＋2＋…＋n )f (1)＝n (n ＋1)2f (1)．所以A ，D 正确．又f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝f (1＋2＋…＋n )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n (n ＋1)2，所以B 也正确．故选C.9．对于奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组有1个数{1}，第二组有2个数{3,5}，第三组有3个数{7,9,11}，……，依此类推，则每组内奇数之和S n 与其组的编号数n 的关系是( B )A ．S n ＝n 2B ．S n ＝n 3C ．S n ＝n 4D ．S n ＝n (n ＋1)解析：∵当n ＝1时，S 1＝1；当n ＝2时，S 2＝8＝23；当n ＝3时，S 3＝27＝33.∴归纳猜想S n ＝n 3，故选B.10．在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d >0，则有a 4a 6>a 3a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，公比q >1，则b 4，b 5，b 7，b 8的一个不等关系是( A )A ．b 4＋b 8>b 5＋b 7B ．b 4＋b 8<b 5＋b 7C ．b 4＋b 7>b 5＋b 8D ．b 4＋b 7<b 5＋b 8解析：b 5＋b 7－b 4－b 8＝b 4(q ＋q 3－1－q 4)＝b 4(q －1)(1－q 3)＝－b 4(q －1)2(1＋q ＋q 2)＝－b 4(q －1)2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫q ＋122＋34.∵b n >0，q >1，∴－b 4(q －1)2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫q ＋122＋34<0，∴b 4＋b 8>b 5＋b 7. 11．将石子摆成如图的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差，即a 2 012－5＝( D )A ．2 018×2 012B ．2 018×2 011C ．1 009×2 012D ．1 009×2 011 解析：由已知可得a 2－a 1＝4， a 3－a 2＝5， a 4－a 3＝6， ……a 2 012－a 2 011＝2 014.以上各式相加得a 2 012－a 1＝(4＋2 014)×2 0112＝1 009×2 011.∵a 1＝5，∴a 2 012－5＝1 009×2 011.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则14是m 2，n 2的等差中项．现有一椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)内切于矩形A ′B ′C ′D ′，任取椭圆上一点P ′，若OP ′→＝λ·OA ′→＋μOB ′→(λ，μ∈R )，则λ2，μ2的等差中项为( A )A.14 B.12 C.22 D ．1解析：本题主要考查类比推理的应用．如图，设P ′(x ，y )，由x 2a 2＋y 2b 2＝1，知A ′(a ，b )，B ′(－a ，b )，由OP ′→＝λOA ′→＋μOB ′→，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝(λ－μ)a y ＝(λ＋μ)b ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1可得(λ－μ)2＋(λ＋μ)2＝1，即λ2＋μ2＝12，所以λ2＋μ22＝14，即λ2，μ2的等差中项为14，故选A.二、填空题(每小题5分，共20分)13．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)，将命题类比到三棱锥中得到的命题为在三棱锥A -BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)．14．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，推测当n ≥2时，有f (2n )>2＋n 2(n ≥2)．解析：观测f (n )中n 的规律为2k(k ＝1,2，…)，不等式右侧分别为2＋k2，k ＝1,2，…，所以f (2n)>2＋n2(n ≥2)．15．已知两个圆：(x ＋1)2＋(y －2)2＝4 ①与(x ＋2)2＋(y －3)2＝4 ②，则由①式减去②式可得两圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，可得到一般性的命题为两个圆的方程分别为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2__①和(x －c )2＋(y －d )2＝r 2__②，其中a ≠c 或b ≠d ，r >0，则由①式减去②式可得两圆的对称轴方程．解析：本题主要考查归纳推理的应用．观察到已知两个圆的半径相等，且两圆的圆心位置不同，故可归纳出其一般性的命题．16．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为A. 解析：根据甲、乙、丙说的可列表得A B C 甲 √ × √ 乙 √ × × 丙√三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－aca < 3. 证明：因为a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，所以a >0，c <0.要证明原不等式成立，只需证明b 2－ac <3a ，即证b 2－ac <3a 2，从而只需证明(a ＋c )2－ac <3a 2，即(a －c )(2a ＋c )>0，因为a －c >0,2a ＋c ＝a ＋c ＋a ＝a －b >0，所以(a －c )(2a ＋c )>0成立，故原不等式成立．18．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15n(n ∈N *)，若T n ＝a 1＋5a 2＋52a 3＋…＋5n －1a n ，b n ＝6T n －5n a n ，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，求数列{b n }的通项公式．解：因为T n ＝a 1＋5a 2＋52a 3＋…＋5n －1a n ， ① 所以5T n ＝5a 1＋52a 2＋53a 3＋…＋5n －1a n －1＋5n a n ， ②①＋②，得6T n ＝a 1＋5(a 1＋a 2)＋52(a 2＋a 3)＋…＋5n －1(a n －1＋a n )＋5n a n＝1＋5×15＋52×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋ (5)－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫15n －1＋5n a n ＝n ＋5n a n ，所以6T n －5n a n ＝n ，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝n .19．(12分)已知实数x ，且有a ＝x 2＋12，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，求证：a ，b ，c 中至少有一个不小于1.证明：假设a ，b ，c 都小于1，即a <1，b <1，c <1，则a ＋b ＋c <3.∵a ＋b ＋c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋(2－x )＋(x 2－x ＋1)＝2x 2－2x ＋72＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3，且x 为实数，∴2⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋3≥3，即a ＋b ＋c ≥3，这与a ＋b ＋c <3矛盾．∴假设不成立，原命题成立．∴a ，b ，c 中至少有一个不小于1. 20．(12分)先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a 1，a 2∈R ，且a 1＋a 2＝1，求证：a 21＋a 22≥12.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋a 21＋a 22.因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0，所以Δ＝4－8(a 21＋a 22)≤0，从而得a 21＋a 22≥12.(1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，请写出上述结论的推广式；(2)参考上述证法，对你推广的结论加以证明．解：(1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n≥1n .(2)证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝nx 2－2x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n .因为对一切x ∈R ，都有f (x )≥0，所以Δ＝4－4n (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≤0，从而证得a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n .21．(12分)设函数f (x )＝x 3＋11＋x ，x ∈[0,1]．证明：(1)f (x )≥1－x ＋x 2； (2)34<f (x )≤32.证明：(1)因为1－x ＋x 2－x 3＝1－(－x )41－(－x )＝1－x41＋x，由于x ∈[0,1]，有1－x 41＋x ≤11＋x ，即1－x ＋x 2－x 3≤11＋x ，所以f (x )≥1－x ＋x 2.(2)由0≤x ≤1得x 3≤x ，故f (x )＝x 3＋11＋x ≤x ＋11＋x ＝x ＋11＋x －32＋32＝(x －1)(2x ＋1)2(x ＋1)＋32≤32，所以f (x )≤32.由(1)得f (x )≥1－x ＋x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1924>34，所以f (x )>34，综上，34<f (x )≤32.22．(12分)是否存在二次函数f (x )，使得对任意n ∈N *，都有12＋22＋32＋…＋n 2n＝f (n )成立？若存在，求出f (x )；若不存在，请说明理由．解：假设存在二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，使得对任意n ∈N *，都有12＋22＋32＋…＋n 2n＝f (n )成立．当n ＝1时，a ＋b ＋c ＝1， ① 当n ＝2时，4a ＋2b ＋c ＝12＋222， ② 当n ＝3时，9a ＋3b ＋c ＝12＋22＋323， ③ 联立①②③式，得a ＝13，b ＝12，c ＝16，则由以上可假设存在二次函数f (x )＝13x 2＋12x ＋16，使得对任意n ∈N *，都有12＋22＋32＋…＋n 2n＝f (n )成立．下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，121＝1，f (1)＝13＋12＋16＝1，所以121＝f (1)成立；(2)假设当n ＝k (n ∈N *)时，12＋22＋32＋…＋k2k＝f (k )成立，那么，当n ＝k ＋1时，12＋22＋32＋…＋(k ＋1)2k ＋1＝12＋22＋32＋…＋k 2k ·k k ＋1＋(k ＋1)＝f (k )·k k ＋1＋(k ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13k 2＋12k ＋16·k k ＋1＋(k ＋1)＝(k ＋1)(2k ＋1)6·k k ＋1＋(k ＋1)＝k (2k ＋1)6＋(k ＋1)＝k 23＋76k ＋1＝13(k ＋1)2＋12(k ＋1)＋16＝f (k ＋1)，故当n ＝k ＋1时，12＋22＋32＋…＋(k ＋1)2k ＋1＝f (k ＋1)也成立．由(1)(2)，知对任意n ∈N *，12＋22＋32＋…＋n2n ＝f (n )都成立．即存在二次函数f (x )＝13x 2＋12x ＋16，使得对任意n ∈N *，都有12＋22＋32＋…＋n 2n＝f (n )成立．。

2019-2020学年高中数学选修2-2人教A版课时跟踪检测：第2章推理与证明 2.3 Word

姓名，年级：时间：第二章推理与证明2。

3 数学归纳法课时跟踪检测一、选择题1．在数列｛a n}中，a n＝1－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!，则a k＋1＝（) A．a k＋错误!B．a k＋错误!－错误!C．a k＋错误! D.a k＋错误!－错误!解析：a k＋1＝1－错误!＋错误!－错误!＋错误!－错误!＋错误!－错误!＝a k＋错误!－错误!，故选D.答案：D2．已知n为正整数用数学归纳法证明f（n）＝1＋3＋5＋…＋（2n－1)＝n2时，假设n＝k(k∈N*)时命题为真，即f（k)＝k2成立，则当n＝k＋1时,需要用到的f（k ＋1）与f（k）之间的关系式是（)A．f(k＋1）＝f(k)＋2k－3B．f(k＋1)＝f（k）＋2k－1C．f（k＋1)＝f(k)＋2k＋1D．f（k＋1)＝f（k)＋2k＋3解析:因为f（n）＝1＋3＋5＋…＋（2n－1），所以f(k）＝1＋3＋5＋…＋（2k－1），f（k＋1）＝1＋3＋5＋…＋（2k－1）＋(2k＋1)，所以f(k＋1）＝f(k）＋2k＋1，故选C.答案：C3．在数列｛a n}中,a1＝2，a n＋1＝错误!(n∈N＊），依次计算a2,a3，a4，归纳猜想出数列{a n｝的通项公式为( )A.错误!B．错误!C。

错误!D。

错误!解析：∵a1＝2,∴a2＝a13a1＋1＝错误!,a3＝错误!，a4＝错误!，∴猜出a n＝错误!.故选B。

答案：B4．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!＝2错误!时，若已知假设n＝k（k≥2且k为偶数）时命题为真,则还需要再证（）A．n＝k＋1时等式成立B．n＝k＋2时等式成立C．n＝2k＋2时等式成立 D.n＝2(k＋2)时等式成立解析：因为假设n＝k(k≥2且k为偶数），故下一个偶数为k＋2.故选B.答案：B5．对于不等式错误!〈n＋1（n∈N＊)，某同学应用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1〈1＋1，不等式成立;(2）假设当n＝k（k∈N＊）时，不等式成立，即错误!〈k＋1。

高中数学高考调研高中数学-课时作业20-新人教A版选修22

课时作业(二十)一、选择题1．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°③教室内有一把椅子坏了，则猜想该教室内的所有椅子都坏了④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n边形的内角和是(n－2)·180°(n∈N*，且n≥3)A．①②B．①③④C．①②④D．②④答案 C2．下列说法正确的是( )A．类比推理是从一般到一般的推理B．类比推理是从个别到个别的推理C．类比推理是从个别到个别或一般到一般的推理D．类比推理是从个别到一般的推理答案 C3．平面内平行于同一直线的两直线平行，由类比推理，我们可以得到( )A．空间中平行于同一直线的两直线平行B．空间中平行于同一平面的两直线平行C．空间中平行于同一直线的两平面平行D．空间中平行于同一平面的两平面平行答案 D4．在等差数列{a n}中，若a n>0，公差d≠0，则有a4a6>a3a7.类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，公比q≠1，则关于b5，b7，b4，b8的一个不等关系正确的是( ) A．b5b7>b4b8B．b7b8>b4b5C．b5＋b7<b4＋b8D．b7＋b8<b4＋b5答案 C二、填空题5．正方形面积为边长的平方，则立体几何中，与之类比的图形是________，结论是________．答案正方体正方体的体积为边长的立方6．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看做(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr .①①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径R 的球，若将R 看做(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：_______________________________________；②式可用语言叙述为______________________________．答案 ①(43πR 3)′＝4πR 2②球的体积函数的导数等于球的表面积函数 7．如图(1)有关系S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′·PB ′PA ·PB ，如图(2)有关系：V P －A ′B ′C ′V P －ABC＝________.答案PA ′·PB ′·PC ′PA ·PB ·PC8．在以原点为圆心，半径为r 的圆上有一点P (x 0，y 0)，则圆的面积S 圆＝πr 2，过点P的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中，当离心率e 趋近于0时，短轴b就趋近于长半轴a ，此时椭圆就趋近于圆．类比圆的面积公式得椭圆面积S 椭圆＝__________.类比过圆上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程，则过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点P (x 1，y 1)的椭圆的切线方程为________．答案 πabx 1x a 2＋y 1y b 2＝1 9．若数列{a n }是等差数列，b n ＝1n(a 1＋a 2＋…＋a n )，则数列{b n }也是等差数列．类比上述性质，若数列{c n }是各项都为正数的等比数列，则d n ＝________时，数列{d n }也是等比数列．答案nc 1c 2…c n10．已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，前n项积为T n，类比等差数列的性质，填写等比数列的相应性质(m，n，k，ω∈N*)．等差数列等比数列a n＝a1＋(n－1)da n＝a m＋(n－m)d若m＋n＝k＋ω，则a n＋a n＝a k＋aω若m＋n＝2ω，则a m＋a n＝2aωS n，S2n－S n，S3n－S2n构成等差数列答案a n＝a1·q n－1a n＝a m·q n－ma m·a n＝a k·aωa m·a n＝a2ωS n，S2n－S n，S3n－S2n成等比数列11．如图甲，在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足，则AB2＝BD·BC，该结论称为射影定理．如图乙，在三棱锥ABCD中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O为垂足，且O在△BCD 内，类比射影定理，探究S△ABC、S△BCO、S△BCD之间满足的关系式是________．思路分析常用方法：(1)将点扩展为线；(2)将线(边长)扩展为面(面积)；(3)将面(面积)扩展为体(体积)．解析连接DO 延长交BC 于E ，连接AE . ∵AD ⊥面ABC ，∴AD ⊥BC . ∵AO ⊥面ABC ，∴AO ⊥BC .∴BC ⊥面ADO ，即BC ⊥面ADE .∴BC ⊥AE . 在△ADE 中，由射影定理，得AE 2＝EO ·ED . ∴(12BC ·AE )(12BC ·AE )＝(12BC ·EO )(12BC ·ED )． ∴S 2△ABC ＝S △BCO ·S △BCD .12．对于大于1的自然数m 的n 次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a ，而52的“分裂”中最大的数是b ，则a ＋b ＝________.答案 30 三、解答题13．观察等式sin 220°＋sin 240°＋sin20°·sin40°＝34；sin 228°＋sin 232°＋sin28°·sin32°＝34.请写出一个与以上两个等式规律相同的等式．解析 ∵20°＋40°＝60°，28°＋32°＝60°，而cos60°＝12，sin60°＝32，∴归纳到一般有：“若α＋β＝γ，则sin 2α＋sin 2β＋sin α·sin β＝sin 2γ”． ►重点班·选做题 14.如右图所示，在平面上，设h a ，h b ，h c 分别是△ABC 三条边上的高，P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，p b ，p c ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p c h c＝1.证明此结论，并通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．解析 P 为三棱锥A －BCD 内任意一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，h a ，h b ，h c ，h d 分别是相应四个面上的高．求证：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P d h d＝1. 证明如下：P a h a ＝13S △BCD P a 13·S △BCD ·h a＝V P －BCDV ABC，同理P b h b ＝V P －ABC V ＝V P －CBDV，P c h c ＝V P －ADC V ，P d h d ＝V P －ABD V. ∴P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝V P －BCD ＋V P －ABC ＋V P －ADC ＋V P －ABDV＝1.故结论正确．1．(1)已知a 、b 为实数，且|a |<1，|b |<1，求证：ab ＋1>a ＋b .(2)已知a、b、c均为实数，且|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证：abc＋2>a＋b＋c.解析(1)两边作差，得ab＋1－a－b＝(a－1)(b－1)．∵|a|<1，|b|<1，则(a－1)(b－1)>0.∴ab＋1>a＋b.(2)如图点P为斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于M，PN⊥BB1交CC1于点N.①求证：CC1⊥MN；②在任意△DEF中，有余弦定理DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF·cos∠DFE.拓展到空间，类比三角形中的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．解析(1)证明略．(2)在斜三棱柱ABC－A1B1C1中有S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A1·cosα其中α为平面CC1B1B与平面CC1A1A所成二面角的大小．∵CC1⊥平面PMN，∴α＝∠MNP.在△PMN中，PM2＝PN2＋MN2－2PN·MN cosα，得PM2·CC21＝PN2·CC21＋MN2·CC21－2(PN·CC1)(MN·CC1)·cosα.由于SBCC1B1＝PN·CC1，SACC1A1＝MN·CC1，SABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，∴S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A1·cosα.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

2020秋高中数学人教A版选修2-2课时作业：综合学业质量标准检测1

综合学业质量标准检测(一)时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( A )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根[解析] 结论“方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．结论词没有至少有一个至多一个不大于不等于不存在反设词有一个也没有至少两个大于等于存在＋A ．f (k )＋k －1 B ．f (k )＋k ＋1 C ．f (k )＋kD ．f (k )＋k －2[解析] 三棱柱有0个对角面；四棱柱有2个对角面(0＋2＝0＋(3－1))；五棱柱有5个对角面(2＋3＝2＋(4－1))；六棱柱有9个对角面(5＋4＝5＋(5－1))．猜想：若k 棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱有f (k )＋k －1个对角面．故选A ． 3．曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( A ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2[解析] 因为y ＝1－2x ＋2＝xx ＋2，所以y ′＝x ＋2－x (x ＋2)2＝2(x ＋2)2，y ′|x ＝－1＝2，所以曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，所以所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 4．定积分⎠⎛12x 2＋1xd x 的值为( A )A ．32＋ln2B ．34C ．3＋ln2D ．12[解析] ⎠⎛121＋x 2x d x ＝⎠⎛12(1x ＋x )d x ＝⎠⎛121x d x ＋⎠⎛12x d x ＝ln x |21＋12x 2|21＝ln2－ln1＋12×22－12×12＝32＋ln2. 5．如图是某年元宵花灯中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( A )[解析] 观察图形可知，下一个呈现出来的图形是A 选项中的图形． 6．已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则( A )A ．函数f (x )有1个极大值点，1个极小值点B ．函数f (x )有2个极大值点，2个极小值点C ．函数f (x )有3个极大值点，1个极小值点D ．函数f (x )有1个大值点，3个极小值点[解析] 根据极值的定义及判断方法，检查f ′(x )的零点左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个点处取得最小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么f (x )在这个点处不是极值．由此可见，x 2是函数f (x )的极大值点，x 3是极小值点，x 1，x 4不是极值点．7．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x 、y ∈R )在复平面内对应的向量的模为3，则yx 的最大值是( D )A ．32B ．33C ．12D ． 3[解析] 因为|(x －2)＋y i|＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3，所以点(x ，y )在以C (2,0)为圆心，以3为半径的圆上，如图，由平面几何知识知－3≤yx≤ 3.8．设a ＝e ，b ＝πln π，c ＝3ln 3，则a ，b ，c 大小关系是( A )A ．a ＜c ＜bB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b[解析] 考查函数f (x )＝x ln x，则f ′(x )＝ln x －－1(ln x )2，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增， ∵e ＜3＜π， ∴f (e)＜f (3)＜f (π)即e ln e ＜3ln 3＜πln π， a ＜c ＜b ，故选A ．二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( CD ) A ．y ＝1xB ．y ＝2－x C ．y ＝2x ＋cos xD ．y ＝x 3＋3x[解析] 由函数图象可知，A 选项中y ＝1x 和B 选项中y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(0，＋∞)上，均为单调递减，可排除A ，B ；C 选项中，y ′＝2－sin x ，因为sin x ∈[－1,1]，所以y ′>0，可知函数在(0，＋∞)上单调递增，则C 正确；D 选项中，y ′＝3x 2＋3>0，所以函数在区间(0，＋∞)上为增函数，则D 正确．故选应CD ．10．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则下列命题为真命题的是( BD ) A ．若z ·z ∈R ，则z ∈R B ．若b ＝0，则z ＝z C ．若z 2为纯虚数，则a ＝b ≠0 D ．若z ＋i 与z 2＋i都是实数，则|z |＝ 5[解析] 对于选项A ：因为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，所以z ＝a －b i(a ，b ∈R )，所以z ·z ＝(a ＋b i)·(a －b i)＝a 2－(b i)2＝a 2＋b 2，所以z ·z ∈R .故A 选项错．对于选项B ：当b ＝0时，z ＝a (a ∈R )，所以z ＝a (a ∈R )，所以z ＝z .故B 选项正确．对于选项C ：因为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，所以z 2＝(a ＋b i)(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i.因为z 2为纯虚数，所以a 2－b 2＝0且2ab ≠0，解得：a ＝b ≠0或a ＝－b ≠0.故C 选项错误．对于选项D ：因为z ＋i ＝a ＋(b ＋1)i 为实数，所以b ＋1＝0，所以b ＝－1. 因为z2＋i ＝(a ＋b i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝(2a ＋b )＋(2b －a )i 5＝2a ＋b 5＋2b －25i 为实数，所以2b －a5＝0，又因为b ＝－1，所以a ＝－2.所以z ＝－2－i ，所以|z |＝(－2)2＋(－1)2＝5.故D 选项正确．11．已知函数f (x )＝x 2＋x －1e x ，则下列结论正确的是( ABC )A ．函数f (x )存在两个不同的零点B ．函数f (x )既存在极大值又存在极小值C ．当－e<k <0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根D ．若x ∈[t ，＋∞)时，f (x )m ax ＝5a2，则t 的最小值为2[解析] A ．f (x )＝0⇒x 2＋x －1＝0，解得x ＝－1±52，所以A 正确；B ．f ′(x )＝－x 2－x －2e x＝－(x ＋1)(x －2)e x，当f ′(x )>0时，－1<x <2，当f ′(x )<0时，x <－1或x >2(－∞，－1)，(2，＋∞)是函数的单调递减区间，(－1,2)是函数的单调递增区间，所以f (－1)是函数的极小值，f (2)是函数的极大值，所以B 正确．C ．当x →＋∞时，y →0，根据B 可知，函数的最小值是f (－1)＝－e ，再根据单调性可知，当－e<k <0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根，所以C 正确；D ．由图象可知，t 的最大值是2，所以不正确．12．如图是国家统计局发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图(注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比)，根据该折线图，下列结论正确的是( ABD )A ．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨B ．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C ．2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大D ．2019年3月全国居民消费价格环比变化最快[解析] 对于选项A ，从图可以看出同比涨跌幅均为正数，故A 正确；对于选项B ，从图可以看出环比涨跌幅有正数有负数，故B 正确；对于选项C ，从图可以看出同比涨幅最大的是2018年9月份和2018年10月份，故C 错误；对于选项D ，从图可以看出2019年3月全国居民消费价格环比变化最快，故D 正确．故选ABD ．三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2019·天津卷理，9)i 是虚数单位，则|5－i1＋i |的值为__13__.[解析] ∵5－i 1＋i ＝(5－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－3i ，∴ |5－i1＋i|＝|2－3i|＝13. 14．函数y ＝x 3＋x 2－5x －5的单调递增区间是__(－∞，－53)和(1，＋∞)__.[解析] ∵y ＝x 3＋x 2－5x －5，∴y ′＝3x 2＋2x －5，令y ′＝3x 2＋2x －5>0，解得x <－53，x >1，∴函数的单调递增区间为(－∞，－53)和(1，＋∞)．15．在等比数列{a n }中，若前n 项之积为T n ，则有T 3n ＝(T 2nT n)3.那么在等差数列{b n }中，若前n 项之和为S n ，用类比的方法得到的结论是__S 3n ＝3(S 2n －S n )__.[解析] 由等比数列前n 项积，前2n 项的积，前3n 项的积类比得到等差数列前n 项的和，前2n 项的和，前3n 项的和，由等比数列中(T 2nT n )3类比得等差数列中3(S 2n －S n )，故有S 3n ＝3(S 2n－S n )．16．(陕西高考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝__1__.[解析] ∵f (1)＝0，∴f (f (1))＝f (0)＝0＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3＝1，∴a ＝1.四、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|<|z 1|，求a 的取值范围．[解析] 因为z 1＝－1＋5i1＋i ＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z 2＝a －2＋i ，所以|z 1－z 2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)| ＝|4－a ＋2i|＝(4－a )2＋4，又因为|z 1|＝13，|z 1－z 2|<|z 1|，所以(4－a )2＋4<13，所以a 2－8a ＋7<0，解得1<a <7. 所以a 的取值范围是(1,7)．18．(本题满分12分)(1)设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy .(2)1≤a ≤b ≤c ，证明：log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .[证明] (1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.将上式中的右式减左式，得 [y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)．由于x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立． (2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得 log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y ，log a c ＝xy .于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ，其中x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1. 故由(1)知所要证明的不等式成立．19．(本题满分12分)设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)设g (x )＝f ′(x )e －x ，求函数g (x )的极值． [解析] (1)∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3 令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ＝－b ，因此12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32，因此f (x )＝x 3－x 2－3x ＋1 ∴f (1)＝－52，又∵f ′(1)＝2×(－32)＝－3，故曲线在点(1，f (1))处的切线方程为y －(－52)＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.(2)由(1)知g (x )＝(3x 2－3x －3)e －x 从而有g ′(x )＝(－3x 2＋9x )e －x 令g ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝3 ∵当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )＜0，当x ∈(0,3)时，g ′(x )＞0，当x ∈(3，＋∞)时，g ′(x )＜0，∴g (x )＝(3x 2－3x －3)e －x 在x ＝0时取极小值g (0)＝－3，在x ＝3时取极大值g (3)＝15e －3. 20．(本题满分12分)(1)已知复数z 在复平面内对应的点在第四象限，|z |＝1，且z ＋z －＝1，求z ；(2)已知复数z ＝5m 21－2i －(1＋5i)m －3(2＋i)为纯虚数，求实数m 的值．[解析] (1)设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，2a ＝1.解得a ＝12，b ＝±32.∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限，∴b ＝－32. ∴z ＝12－32i.(2)z ＝5m 21－2i －(1＋5i)m －3(2＋i)＝(m 2－m －6)＋(2m 2－5m －3)i ，依题意，m 2－m －6＝0，解得m ＝3或－2. ∵2m 2－5m －3≠0.∴m ≠3.∴m ＝－2.21．(本题满分12分)设数列a 1，a 2，…，a n ，…中的每一项都不为0.证明：{a n }为等差数列的充分必要条件是对任何n ∈N *，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1. [证明] 先证必要性．设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立．若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1 ＝1d ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1 ＝1d ⎝⎛⎭⎫1a 1－1a n ＋1＝1d a n ＋1－a 1a 1a n ＋1＝na 1a n ＋1. 再证充分性．证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切n ∈N *都成立．首先，在等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，所以a 1，a 2，a 3成等差数列，记公差为d ，则a 2＝a 1＋d .假设a k ＝a 1＋(k －1)d ，当n ＝k ＋1时，观察如下两个等式 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＝k －1a 1a k，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1，② 将①代入②，得k －1a 1a k ＋1a k a k ＋1＝k a 1a k ＋1，在该式两端同乘a 1a k a k ＋1，得(k －1)a k ＋1＋a 1＝ka k . 将a k ＝a 1＋(k －1)d 代入其中，整理后，得a k ＋1＝a 1＋kd .由数学归纳法原理知，对一切n ∈N ，都有a n ＝a 1＋(n －1)d ，所以{a n }是公差为d 的等差数列．证法2：(直接证法)依题意有 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＋1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2.② ②－①得1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2－n a 1a n ＋1，在上式两端同乘a 1a n ＋1a n ＋2，得a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2.③ 同理可得a 1＝na n －(n －1)a n ＋1(n ≥2)④ ③－④得2na n ＋1＝n (a n ＋2＋a n ) 即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，由证法1知a 3－a 2＝a 2－a 1，故上式对任意n ∈N *均成立．所以{a n }是等差数列． 22．(本题满分12分)(2019·全国Ⅲ卷理，20)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋b .(1)讨论f (x )的单调性．(2)是否存在a ，b ，使得f (x )在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．[解析] (1)f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a3.若a >0，则当x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫a3，＋∞时， f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，a3时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，a3单调递减．若a ＝0，则f (x )在(－∞，＋∞)单调递增．若a <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，a3∪(0，＋∞)时， f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫a 3，0时，f ′<0.故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a 3，(0，＋∞)单调递增，在⎝⎛⎭⎫a3，0单调递减． (2)满足题设条件的a ，b 存在．①当a ≤0时，由(1)知，f (x )在[0,1]单调递增，所以f (x )在区间[0,1]的最小值为f (0)＝b ，最大值为f (1)＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当b ＝－1,2－a ＋b ＝1，即a ＝0，b ＝－1.②当a ≥3时，由(1)知，f (x )在[0,1]单调递减，所以f (x )在区间[0,1]的最大值为f (0)＝b ，最小值为f (1)＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当2－a ＋b ＝－1，b ＝1，即a ＝4，b ＝1.③当0＜a ＜3时，由(1)知，f (x )在[0,1]的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 3＝－a327＋b ，最大值为b 或2－a ＋b .若－a 327＋b ＝－1，b ＝1，则a ＝332，与0＜a ＜3矛盾．若－a 327＋b ＝－1,2－a ＋b ＝1，则a ＝33或a ＝－33或a ＝0，与0＜a ＜3矛盾．综上，当a ＝0，b ＝－1或a ＝4，b ＝1时，f (x )在[0,1]的最小值为－1，最大值为1.。

【高考调研】2020高中数学 课时作业2 新人教A版选修2-2

2020年高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：章末检测 推理与证明 Word版含答案