三线八角基本图

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三招破解“三线八角”难点

两旁的两个角； “ 同旁内角” 指在第三条直线的同旁，且在两条直线之间（内部）的两个角。这样，三
刻理解三种角的概念，ｃ的同旁，即第三条直线ｃ的同旁。这
样概念名称 “ 同位角” 、 “ 同旁内角” 中的“ 同” 的含
义就明确了。另外，１与５、２与６都在直线
《福建教育研究》Ａ２０１３．４・３９・
教学中许多学生很难分清“ 三线八角” ，直接影响了平行线判定与性质的学习。本人认为在 “ 三线八角” 教学中，可从下面三个方面破解难点。
一
、
抓关键宇词。理解本质
“ 若要记得，必先懂得” 。理解是记忆的前提和
基础，理解是最基本、最有效的记忆方法，理解了的
们。 ” 理解记忆的方法很多，抓关键字词是其中的一
种重要方法。韩愈在他的《进学解》中所说的“ 提要
钩玄 ” ，指的就是记忆要抓关键，找到文章的要点、关键和难点，弄明白，牢牢记住。数学也是如此，理解了概念中的关键字词，抓住其本质，就能融会贯
Ｌ４、２与Ｌ３是对顶角；１与Ｌ２、２与Ｌ４、４
生对平行线判定与性质的学习，故其重要性不容置
疑。但是 “ 三线八角 ” 又是本章的一大难点，在实际
与Ｌ３、Ｌ３与１是邻补角。这为 “ 三线八角 ” 与对顶角、邻补角的区分奠定基础。
点？揭示它们都在直线ａ与直线ｂ之间，也称直线

易错拔尖：同位角、内错角、同旁内角(解析版)

易错拔尖：同位角、内错角、同旁内角（解析版）➢ 易错点1．如图所示，找出图中所有的与∠1是同位角、内错角和同旁内角的角．思路导引：分四种情况讨论，（1）当AB 、BC 被AC 所截时，∠1和∠7是同旁内角；（2）当AB 、CD 被AC 所截时，∠1和∠2是内错角；（3）当AC 、BD 被AB 所截时，∠1和∠6是同旁内角；（4）当AC 、BC 被AB 所截时，∠1和∠ABC 是同旁内角．解：∠1没有同位角，∠1的内错角有∠2，∠1的同旁内角有∠6、∠ABC 、∠7．易错总结：解答此题时，常常误认为∠1和∠3是同位角，∠1和∠4是同旁内角等，事实上这两对角不是由两直线被第三条直线所截形成的，这是判定同位角、内错角、同旁内角前提条件．误点警示：不注意概念的运用，而导致识别错误➢ 拔尖角度角度1 利用“三线八角”的定义识别相关角1．如图1、图2中的∠1和∠2，∠3和∠4分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们各是什么位置关系的角？思路引领：根据同位角，内错角，同旁内角的定义进行判定即可得出答案．解：图1中，∠1和∠2分别是直线AB ，CD 被直线BD 所截形成的内错角； ∠3和∠4分别是直线AD ，BC 被直线BD 所截形成的内错角；图2中，∠1和∠2分别是直线AB ，CD 被直线BC 所截形成的同位角； ∠3和∠4分别是直线AB ，BC 被直线AC 所截形成的同旁内角．总结提升：本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角的定义，熟练掌握同位角，内错角，同旁内角的定义进行判定是解决本题的关键．D ABC 14325678角度2 利用“三线八角”的定义画示意图2．（2020春•江城区期末）两条直线被第三条直线所截，∠1和∠2是同旁内角，∠3和∠2是内错角．（1）根据上述条件，画出符合题意的示意图；（2）若∠1＝3∠2、∠2＝3∠3，求∠1，∠2的度数．思路引领：（1）根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，画出图形．（2）根据已知角的关系确定∠1＝9∠3，再根据图形中∠1和∠3组成邻补角互补可得方程，再解即可．解：（1）如图所示：（2）∵∠1＝3∠2、∠2＝3∠3，∴∠1＝9∠3，∵∠1+∠3＝180°，∴9∠3+∠3＝180°，∴∠3＝18°，∴∠1＝162°，∠2＝54°．总结提升：此题主要考查了三线八角，以及角的计算，关键是掌握内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．角度3 利用“三线八角”的定义识别相关角3．如图所示．（1）∠1与∠C，∠2与∠B，∠3与∠C各是什么角，是哪两条直线被哪一条直线所截得的？（2）∠3的内错角有哪些？（3）写出直线DE，BC被AB所截得的同旁内角，直线DE，BC被EF所截得的同旁内角．思路引领：（1）在截线的同旁找同位角；（2）根据内错的概念找到即可；（3）由同旁内角的概念解答即可．解：（1）∠1与∠C是直线DE、BC被直线AC所截形成的同位角，∠2与∠B是直线DE、BC被直线AB所截形成的同位角，∠3与∠C是直线DF、AC被直线BC所截形成的同位角；（2）当直线DE与BC被DF所截时，∠3与∠EDF是内错角；当直线AB和BC被EF所截时，∠3与∠ADF是内错角；（3）直线DE，BC被AB所截得的同旁内角有∠B与∠BDE，直线DE，BC被EF所截得的同旁内角∠DEF与∠BFE．总结提升：本题主要考查学生对内错角与同旁内角的掌握情况，观察时，关键要抓住各类角的特征，这也是学生易错的地方，并且还容易出现漏解的情况．角度4 利用“三线八角”的特征说明相关角的关系4．如图，若∠1＝∠B，那么∠2与∠B有何数量关系？并说明理由；若∠4+∠C＝180，那么∠3与∠C有何数量关系？并说明理由．思路引领：根据“同位角相等，两直线平行”推知DE∥BC，则由“两直线平行，同旁内角互补”得到∠2+∠B＝180°；由“同旁内角互补，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”得到∠3＝∠C．解：∠2+∠B＝180°．理由如下：∵∠1＝∠B，∴DE∥BC，∴∠2+∠B＝180°．∵∠4+∠C＝180，∴DE∥BC，∴∠3＝∠C．总结提升：本题考查了平行线的判定与性质．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．5．如图，有四条互相不平行的直线l1、l2、l3、l4所截出的八个角．请你任意选择其中的三个角（不可选择未标注的角），尝试找到它们的关系，并选择其中一组予以证明．思路引领：根据三角形的外角和为360°，三角形的内角和为180°以及三角形外角和定理即可写出三个角之间的数量关系．解：如∠2+∠4+∠6＝360°，∠1+∠5+∠7＝180°，∠2＝∠5+∠7，∠3＝∠1+∠8，已知如图：有四条互相不平行的直线l1、l2、l3、l4所截出的八个角，求证：∠1+∠5+∠7＝180°，证明：∵∠DAC+∠7+∠5＝180°，又∵∠1＝∠DAC，∴∠1+∠5+∠7＝180°．总结提升：此题主要考查了对顶角的性质以及三角形的内角和定理，正确的应用三角形内角和定理是解决问题的关键．角度5 利用“三线八角”的定义探究角的对数6．（1）如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有对，内错角有对，同旁内角有对．（2）如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有对，内错角有对，同旁内角有对．（3）根据以上探究的结果，n（n为大于1的整数）条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有对，内错角有对，同旁内角有对．（用含n的式子表示）思路引领：根据同位角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，内错角是两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，根据同旁内角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，可得答案．解：（1）如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有4对，内错角有2对，同旁内角有2对．（2）如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有12对，内错角有6对，同旁内角有6对．（3）根据以上探究的结果，n（n为大于1的整数）条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有2n（n ﹣1）对，内错角有n（n﹣1）对，同旁内角有n（n﹣1）对，故答案为：4，2，2；12，6，6；2n（n﹣1），n（n﹣1），n（n﹣1）．总结提升：本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．角度6 复杂图形中找出已知角的同位角，内错角和同旁内角．7．（2021春•长白县期中）如图，有下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角．其中正确的是（填序号）．思路引领：准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线．解：①∠A与∠1是同位角，此结论正确；②∠A 与∠B 是同旁内角，此结论正确； ③∠4与∠1是内错角，此结论正确； ④∠1与∠3不是同位角，原来的结论错误；故答案为：①②③．总结提升：此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角时，应当沿着角的边将图形补全，或者把多余的线暂时略去，找到三线八角的基本图形，进而确定这两个角的位置关系8．如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角．跳动时，每一步只能跳到它的同位角、内错角或同旁内角的位置上．如从起始位置∠1跳到终点位置∠3的路径有跳径1：∠1→同旁内角∠9→内错角∠3；跳径2：∠1→内错角∠12→内错角∠6→同位角∠10→同旁内角∠3等．（1）写出从∠1到∠8的一条路径；（2）从起始位置∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点位置∠8？（3）写出从起始位置∠1跳到终点位置∠8的路径，要求跳遍所有的角，且不能重复．思路引领：首先根据已知条件找出角与角之间的关系，再根据“同位角、内错角、同旁内角”的定义进行判断，找到正确的游戏路线即可．解：（1）∠1→同旁内角∠9→内错角∠8（路径不唯一）；（2）能．∠1→同位角∠10 →内错角∠5→同旁内角∠8；（3）∠1→同旁内角∠9→同旁内角∠2→内错角∠10→同旁内角∠3→同旁内角∠4→内错角∠11→同旁内角∠5→同旁内角∠6→内错角∠12→同旁内角∠7→同旁内角∠8（路径不唯一）．总结提升：本题考查同位角、同旁内角与内错角，熟练掌握同位角、同旁内角与内错角的定义是解答本题的关键．。

第四周：三线八角

直线的位置关系一．互补与互余1．余角的定义：若两个角的和等于一个直角时，那么这两个角叫做互为余角，（简称互余）其中一个角叫做另一个角的余角；简单推理：①∵∠A+∠B=90°（已知）∴∠A、∠B互为余角（余角的定义）②∵∠A、∠B互为余角（已知）∴∠A+∠B=90°（余角的定义）2．补角的定义：若两个角的和等于一个平角时，那么这两个角叫做互为补角，（简称互补）其中一个角叫做另一个角的补角；简单推理：①∵∠A+∠B=180°（已知）∴∠A、∠B互为补角（补角的定义）②∵∠A、∠B互为补角（已知）∴∠A+∠B=180°（补角的定义）3．余角的性质：同角（等角）的余角相等；简单推理：∵∠A、∠B互为余角，∠A、∠C互为余角，∴∠B=∠C，4．补角的性质：同角（等角）的补角相等；简单推理：∵∠A、∠B互为补角，∠A、∠C互为补角，∴∠B=∠C，5．有关问题：①30°的余角等于________；30°的补角等于________；②如果一个角的补角等于这个角的余角的3倍，这个角等于________；③一个锐角的补角与这个锐角的余角的差等于二．垂线的定义1．定义：如图1，在同一个平面内，两条直线相交组成的四个角中，如果有一个角是直角，那么这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线；表示方法：1l⊥2l；简单推理：①∵AB、CD交于点O，且∠AOB=90°，（已知）∴AB⊥CD，（垂直定义）②∵AB⊥CD，（已知）∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=9 0°，（垂直定义）2．性质：（在同一个平面内）性质一：经过一点有一条直线并且只有一条直线垂直于已知直线；性质二：直线外一点与直线上的点连结的所有线中，以垂线段最短；3．点到直线的距离：直线外一点A到直线l的垂线段的长度叫做点A到直线l的距离；4．线段的垂直平分线：经过线段AB 的中点且垂直于这条线段的直线叫做线段AB 的垂直平分线（如图2）简单推理：如图2， ①∵OA =OB ，CD ⊥AB ，（已知）∴CD 是线段AB 的垂直平分线（垂直平分线定义）②∵CD 是线段AB 的垂直平分线（已知） ∴OA =OB ，CD ⊥AB ，（垂直平分线定义）5．垂线的有关作图：（工具作图）①用工具画出△ABC 的三条高所在的直线；②用工具画出△ABC 的三条高所在的直线；③用工具画出△ABC 的三条高所在的直线；三．三线八角如图6、图7、图8，两条直线AB 、CD 被第三条直线EF 所截，图中有三条直线，组成了八个角，我们把这个图形称为“三线八角”． 1．同位角：如图6，∠EGB 与∠EHD 、∠EGA 与∠EHC 、 ∠FHD 与∠FGB 、∠FHC 与∠FGA 叫做同位角．2．内错角如图7，∠FGB 与∠EHC 、∠FGA 与∠EHD 叫做内错角．3．同旁内角如图8，∠FGB 与∠EHD 、∠FGA 与∠EHC 叫做同旁内角．四．两条直线的位置关系在同一个平面内，两条直线有相交和平行两种位置关系．相交：两条直线都经过一点，叫做两条直线相交；平行：在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线；五．工具做图过点C 作直线AB的平行线；B图2B C 图3 图4 AB A 图5A 图9六．平行线 1.平行线的判定：平行公理：过直线外一点有一条直线并且只有一条直线平行于已知直线．公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．定理：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．定理：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．定理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2.平行线的性质：定理：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等．定理：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角相等．定理：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补．定理：如果一个角的两条边分别平行于另一个角的两条边，那么这两个角相等或互补．定理：如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．3.平行线性质与判定的应用 1．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，过点C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于点E ，指出图中与∠BAD 相等的角？并判断△AEC 的形状2．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，过点D 作DE ∥AC 交AB 于点E ，指出图中与∠BAD 相等的角？并判断△ADE 的形状3．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，过点C 作CE ∥AB 交AD 的延长线于点E ，指出图中与∠BAD 相等的角？并判断△ACE 的形状4．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，G 在AB 上，过点G 作GE ∥AD 交CA 的延长线于点E，交BC 于点F ，指出图中与∠BAD 相等的角？并判断△AEG 的形状图1 C 图2C C 图45．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，E 在AC 上，过点E 作GE ∥AD 交BA 的延长线于点G ，交BC 于点F ，指出图中与∠BAD 相等的角？并判断△AEG 的形状6．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，过点B 作BE ∥CD 交AC 的延长线于点E ，指出图中所有的45°角？并判断△BCE 的形状7．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，指出图中所有的45°角？并判断△CDE 的形状8．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，过点B 作BE ∥AC 交CD 的延长线于点E ，指出图中所有的45°角？并判断△BCE 的形状9．如图，在△ABC 中，∠BAC =120°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，过点C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于点E ，指出图中所有的60°角？并判断△ACE 的形状10．如图，在△ABC 中，∠BAC =120°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，过点D 作DE ∥AC 交BA 于点E ，指出图中所有的60°角？并判断△ADE 的形状图9 C 图5E 图6B图8 图1011．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，指出图中所有的60°角？并判断△ACE的形状12．如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=70°，BE平分∠ABC，交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D，求∠ADE、∠BED、∠AEB的度数，并判断△BDE 的形状13．如图，在△ABC中，过点A作DE∥BC，写出图中与∠ABC相等的角，写出图中与∠ACB相等的角，你能求出∠ABC+∠ACB+∠BAC的度数吗？14．如图，在△ABC中，点D在BC上，过点D作DE∥AB交AC于E，过点D作DF∥AC交AB于F，分别写出图中与∠BAC、∠ABC、∠ACB相等的角，并计算∠AB C+∠ACB+∠BAC的度数。

直线的相交、垂直、三线八角

北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线暑假培训讲义集体备课教案（授课内容：直线的相交、垂直、三线八角）（一）知识梳理回顾一、直线的相交 1．两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线要么相交，要么平行．【注】两条直线：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，则两直线平行；③两个或两个以上公共点，则两直线重合，视为一条直线．2．直线的相交——两线四角（1）邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有一条公共边且另一边互为反向延长线的两个角，互为邻补角．【例】如图1，∠1和∠2，∠1和∠4，∠2和∠3，∠3和∠4互为邻补角．【注】互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定互为邻补角．（2）对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，则这两个角互为对顶角．【例】如图1，∠1和∠3，∠2和∠4，互为对顶角．【注】互为对顶角的两个角一定相等，但两个角相等不一定互为对顶角．图1 图2 图3二、垂直1．垂直：一条直线与另一条直线相交成90︒，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．【例】如图2，AB CD ⊥，垂足为O ，可记为“AB CD ⊥于点O ”． 2．性质：4321DCBADC BAO87654321FE DCBA（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．【注】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．三、三线八角1．同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角（即两个角分别在两条直线的同一侧，并且在第三条直线的同侧），叫做同位角．【例】如图3，∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8都是同位角．2．内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错的一对角（即两个角分别在第三条直线的两侧），叫做内错角．【例】如图3，∠3和∠5，∠4和∠6都是内错角．3．同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同侧的一对角，叫做同旁内角．【例】如图3，∠3和∠6，∠4和∠5都是同旁内角． 4．角的计数技巧：（1）“F ”字型中的同位角，如下图所示：（2）“Z ”字型中的内错角，如下图所示：（3）“U ”字型中的同旁内角，如下图所示：FMNDB F M N CAMNDB EMNECANMDANM B C（二）例题精讲 1、直线的相交（1）在同一平面内的两条直线的位置关系有（）A ．平行或垂直B ．垂直或相交C ．平行，垂直或相交D ．平行或相交（2）判断正误：①两条直线的位置关系只有两种：平行或相交．（） ②平面内，两条线段不相交，则平行．（） ③平面内不平行的两条射线必定相交．（）（1）D ；（2）①错误，异面；②错误；③错误．（1）下列图中∠1和∠2是对顶角的有（） A ．0对 B ．1对 C ．2对 D ．3对（2）下列四个图中，α∠与β∠成邻补角的是（）NMCAMNDB（4）12（3）12（2）12（1）12αβαβαβαβA ．B ．C ．D ．（3）下列各项中，①有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角；②如果两个角是对顶角，则这两个角相等；③相等的两个角是对顶角；④如果两个角不是对顶角，则这两个角不相等；⑤如果两个角不相等，则这两个角不是对顶角，其中正确的有________．（填序号）【解析】（1）A ；（2）C ；（3）②⑤．（1）如图3-1，AB 、CD 、EF 交于点O ，AOE ∠=25︒，DOF ∠=45︒，求AOD ∠的对顶角和邻补角的度数．（2）如图3-2，直线AB 、CD 交于O ，OE 平分AOD ∠，BOC BOD ∠=∠-30︒，求COE ∠的度数．图3-1 图3-2【解析】（1）由对顶角相等可知，COE DOF ∠=∠=45︒，故AOC AOE COE ∠=∠+∠=25︒+45︒=70︒．由AOC ∠、AOD ∠互为邻补角可知，AOD ∠=180︒-70︒=110︒ 由对顶角相等可知，AOD ∠的对顶角BOC ∠=110︒．（2）由BOC ∠、BOD ∠互为邻补角可知，BOC BOD ∠+∠=180︒．又BOC BOD ∠=∠-30︒，故BOD ∠=105︒，BOC ∠=75︒．由对顶角相等可知，AOD BOC ∠=∠=75︒．AECBODAEF D CBO又OE 平分AOD ∠，故.AOE ∠=375︒，从而可知，..COE ∠=375︒+105︒=1425︒．【提示】两线四角倒角，规范书写．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分BOC ∠，COF ∠=90︒．（1）若BOE ∠=70︒，求AOF ∠的度数；（2）若::BOD BOE ∠∠=12，求AOF ∠的度数．【解析】（1）50︒；（2）54︒．求证：成对顶角的两个角的平分线在同一直线上．【解析】如图，AB 、CD 交于点O ，则AOC ∠与BOD ∠成对顶角．设OE 、OF 分别为AOC ∠、BOD ∠的平分线，则AOE COE AOC 1∠=∠=∠2，BOF DOF BOD 1∠=∠=∠2，∵AOC BOD ∠=∠，∴AOE BOF ∠=∠．又∵BOF DOF AOD ∠+∠+∠=180︒， ∴AOE DOF AOD ∠+∠+∠=180︒，即EOF ∠=180︒，∴OE 、OF 在同一直线上．【提示】可补充证明：成邻补角的两个角的平分线互相垂直． 2、垂直（1）下列说法中正确的是（） ①点到直线的距离是点到直线所作的垂线；②两个角互为邻补角，这两个角的角平分线互相垂直； ③两个对顶角互补，则构成这两个角的两条直线互相垂直；ECBDAOF④连接直线外一点到直线上所有点的线段中垂线段最短．A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④（2）P 为直线外一点，点A 、B 、C 为l 上的三点，且PB l ⊥，下列说法错误的是（） A ．P A 、PB 、PC 三条线段中，PB 最短 B ．线段PB 叫做点P 到直线的l 的距离 C ．PB 是点P 到l 的垂线段D ．线段AB 的长是点A 到PB 的距离【解析】（1）D ；（2）B ．（1）如图7-1，直线AB 与CD 相交于点O ，OE CD ⊥，OF AB ⊥，DOF ∠=65︒，求BOE ∠和AOC ∠的度数．（2）如图7-2，已知直线AB 和CD 相交于点O ，OE OC ⊥，OF 平分AOE ∠，COF ∠=35︒，求BOD ∠的度数．图7-1 图7-2【解析】（1）∵OF AB ⊥，∠DOF =65︒∴BOD ∠=90︒-65︒=25︒（垂直定义）． ∴AOC BOD ∠=∠=25︒（对顶角相等）． ∵OE CD ⊥，∴BOE ∠=90︒-25︒=65︒（垂直定义）． lCBAPF ACDBOEFA CDB OE（2）∵COE ∠是直角，∴COE ∠=90︒．又∵COF ∠=35︒，∴FOE COE COF ∠=∠-∠=90︒-35︒=55︒． ∵OF 平分AOE ∠， ∴AOF FOE ∠=∠=55︒．∴AOC AOF COF ∠=∠-∠=55︒-35︒=20︒． ∵BOD AOC ∠=∠， ∴BOD ∠=20︒．【提示】利用垂直的定义来倒角，倒角一定要反复练习．如图所示，在一个面积为1843200平方米的正方形货场中有一条长为1600米的直线铁路AE ．现有一辆装满货物的卡车停放在D 点，如果卡车的速度是每分钟96米，请说明11分钟内能否将这车货物运到铁路线旁？【解析】由垂线段最短，可知比较D 到AE 的垂线段长度与卡车行驶11分钟路程的大小，即可得出结论．如右图所示，汽车由D 到AE 的最短距离是由D 向AE 引的垂线DH ，连结DE ．则△AED ABCD S S 11==1843200⨯=92160022正方形，又△AED S AE DE DH DH 11=⋅=⨯1600⋅=800⋅22，解得DH =1152（米）． A BCD EHEDCBA而卡车行驶11分钟的路程为96⨯11=1056（米）<1152（米），所以11分钟内不能将这车货物由D 点运到铁路线旁． 3、三线八角如图，填空：①∠1与∠2是两条直线______与______被第三条直线______所截构成的________角．②∠1与∠3是两条直线______与______被第三条直线______所截构成的________角．③∠2与∠4是两条直线______与______被第三条直线______所截构成的________角． ④∠3与∠4是两条直线______与______被第三条直线______所截构成的________角． ⑤∠5与∠6是两条直线______与______被第三条直线______所截构成的________角．【解析】①∠1与∠2是两条直线l 2与l 3被第三条直线l 1所截构成的同位角．②∠1与∠3是两条直线l 1与l 3被第三条直线l 2所截构成的同位角． ③∠2与∠4是两条直线l 2与l 3被第三条直线l 1所截构成的内错角． ④∠3与∠4是两条直线l 1与l 3被第三条直线l 2所截构成的内错角． ⑤∠5与∠6是两条直线l 1与l 2被第三条直线l 3所截构成的同旁内角．过点O 任意作7条直线，求证：以O 为顶点的角中，必有一个小于26︒．【解析】如图所示，点O 把7条直线分成14条射线，记为OA 1，OA 2，…，OA 14.相邻两射线组成14个角，记为α1，α2，…，α14. 其和为一个周角：ααα1214+++=360︒L . 若结论不成立，则i α≥26︒，(,,,)i =1214L . 相加，得ααα1214360︒=+++≥26︒⨯14=364︒L .l 2l 1l 3124563A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1O这一矛盾说明，在α1，α2，…，α14中，必有一个角小于26︒．（三）课后作业设计1、（1）如图1-1所示，AB 与CD 相交所成的四个角中，1∠的邻补角是______，1∠的对顶角是______．若125∠=︒，则2∠=______，3∠=______，4∠=_______．（2）如图1-2，直线AB 、CD 、EF 相交于O ，图中对顶角共有（） A ．3对 B ．4对 C ．5对 D ．6对图1-1 图1-2【解析】（1）2∠和4∠，∠3，155︒，25︒，155︒．（2）D ．2、（1）如图2-1，已知直线a 、b 、c 相交于点O ，∠1=30︒，∠2=70︒，则∠3=______．（2）如图2-2，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分AOD ∠，若BOD ∠=100︒，则AOE ∠=___________．图2-1 图2-2∴∠3=180︒-∠1-∠2=80︒．O c ba321CBODEA ACD B1234A FCEOBD（2）40︒．3、如图，已知直线AB 和CD 相交于点O （AOC ∠为锐角）（1）写出AOC ∠和BOD ∠的大小关系；判断的依据是_____________．（2）过点O 作射线OE 、OF ，若COE ∠=90︒，OF 平分AOE ∠，求AOF COF ∠+∠的度数，说明你的理由．（3）在（2）的条件下，若AOD ∠=120︒，请计算COF ∠的度数．【解析】（1）AOC BOD ∠=∠；对顶角相等．（2）AOF COF ∠+∠=90︒．（3）COF ∠=15︒．4、如图，已知∠ACB =90︒．CD AB ⊥，垂足为D ，则点A 到直线CB 的距离为线段________的长；线段DB 的长为点________到直线________的距离．【解析】AC ，B ，CD ．5、已知：如下图A 、O 、B 三点共线，OC 为任意一条射线，OE 平分BOC ∠，OD 平分AOC ∠．求证：OD OE ⊥．【解析】∵A 、O 、B 三点共线∴AOB ∠=180︒，∵OE 平分BOC ∠，OD 平分AOC ∠， ∴COE BOC 1∠=∠2，DOC AOC 1∠=∠2，∴()COE DOC BOC AOC BOC AOC 111∠+∠=∠+∠=∠+∠222AOB 11=∠=⨯180︒=90︒22又∵DOE COE DOC ∠=∠+∠，∴DOE ∠=90︒， ∴OD OE ⊥．6、如图，A 点处是一座小屋，BC 是一条公路，一人在O 处．（1）此人到小屋去，怎么走最近？理由是什么？FE ODCBAAC D BE（2）此人要到公路，怎么走最近？理由是什么？【解析】（1）走线段OA最近，因为两点之间线段最短；（2）如图，过点O作OD BC⊥，垂足为D，则走线段OD最近，因为垂线段最短．7、如图，判断下列各对角的位置关系：①∠1与∠4；②∠2与∠6；③∠5与∠8；④∠4与BCD∠；⑤∠3与∠5．【解析】①∠1与∠4是同位角，∠2与∠6是内错角，∠5与∠8是对顶角，∠4与BCD∠是同旁内角，∠3与∠5是内错角．。

同位角、内错角、同旁内角-PPT课件

截线:两侧
内错角被截线:内部
1 2
代表相同字母点
F 都在截线同侧
U 都在被截
Z 线内部
共同特征
这三类角都是没有公共顶点的
随堂训练
线，即直线EF被第三条直线CD所截，构成了几个角？
B
E
4
C
1 A
3
6
2
7
5
8 F
D
简称“三线八角”.
知识讲解
一、同位角
A C
活动1 观察∠1与∠5的位置关系：
①在直线EF的同旁（右侧）
②在直线AB、CD的同一侧（上方）
E
21
B
34
1
同位角
65
78 D
5
F ∠2和∠6；∠3和∠7；图中的同位角还有哪些？∠4和∠8
1
1
2
12
2 1
2
特征：在形如“Z”的图形中有内错角.
三、同旁内角
活动3 观察∠4与∠5的位置关系:
①在直线EF的同旁
②在直线AB、CD内部
E
B
1
2
A
34
65
C
78 D
F
同旁内角
4 5
图中还有哪些同旁内角？ ∠3和∠6
变形：图中的∠1与∠2都是同旁内角.
1 2
1 2
12
12
特征：在形如“U”的图形中有同旁内角.
解：两条直线是AB，AC，截线是DE，
同位角：∠2与∠5，∠4与∠7，∠1与
∠8, ∠6和∠3；内错角：∠4与∠5，∠1与∠6；同旁内角：∠1与∠5，∠4与∠6.
D 21
3 B

教学反思帮你学习“三线八角”

帮你学习“三线八角”两条直线被第三条直线所截，构造了八个角，一般称为“三线八角”．如图1，其中没有公共顶点的角可分为三类，即同位角、内错角、同旁内角．它们是进一步学习平行线的一个重要基础，又是以后学习三角形、相似形及圆等不可缺少的知识．那么怎样学好“三线八角”呢？一、注意弄清截线与被截线辨别“三线八角”的关键是哪两条直线被哪一条直线所截．因此必须弄清截线与被截线．如图1，直线 c 与直线a 、b 相交，则直线c 为截线；如图2，直线AB 、BC 、CA 两两相交，对于直线AB 、AC 来说，直线BC 是截线；对于直线AB 、BC 来说，直线AC 是截线；对于直线AC 、BC 来说，直线AB 是截线 .可见，与两条直线都相交的直线就是这两条直线的截线. 二、注意掌握三类角的基本特征同位角、内错角、同旁内角是根据每对角所在的位置而命名的，因而它们都有各自的特征．1.同位角的基本特征：同旁同侧，即在两条直线的同旁，第三条直线（截线）的同侧．如图1，∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8．故两角的边所在直线构成任意旋转的“F ”字形 .2.内错角的基本特征：内部两旁，即在两条直线的内部，第三条直线（截线）的两旁．如图1，∠3与∠5，∠4与∠6．故两角的边所在直线构成任意旋转的“Z ”字形 .3.同旁内角的基本特征：内部同旁，即在两条直线的内部，第三条直线（截线）的同旁．如图1，∠3与∠6，∠4与∠5．故两角的边所在直线构成任意旋转的“U ”字形 .由此可见，在截线的同旁，找同位角和同旁内角；在截线的两旁，找内错角．图112 3 4 56 7 8abc（图2） A BC三、注意图形的识别1.基本图形的识别方法. 识别基本图形中各种相关的角时，可直接根据各类角的基本特征进行识别判断.例 1 如图3，指出所标出的各角中的同位角、内错角和同旁内角．析解：直线AB 、AC 被直线EF 所截，所以∠3与∠4是同位角，∠1与∠4是内错角，∠2与∠4是同旁内角．2.复杂图形的识别方法复杂的图形是由简单的图形组合而成的．在识别比较复杂的图形时，要善于将图形分解，即根据自己所思考的问题，把图形定位，抽出只与所考察的角有关的直线或线段，去掉那些与问题无关的直线或线段，从而把复杂图形的识别转化为简单的基本图形的识别．例 2 如图4，指出图中所有的同位角、内错角和同旁内角．析解：把相关的两个角从图4中分离出来，得到如图5所示的简单图形，这样就容易判断出：图5∠1与∠4是同位角（图5①）；∠2与∠5是内错角（图5②）；∠3与∠4是同旁内角（图5③），∠4与∠5是同旁内角（图5④），∠3与∠5是同旁内角（图5⑤）.A（图3） C 1 BE F 2 3 41 2 3 4 5（图4）35142 534 54① ② ③④⑤。

“三线八角”指的是什么？

“三线八角”指的是什么？
我们看右下角的图，可以归纳如下（注：表示∠1，∠2，……时，数字1，2，……可以写在角的顶点与弧之间，也可以写在弧的外侧，右图中数学都写在弧的外侧）：
（1）∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8都是同位角。

（2）∠3和∠5，∠4和∠6都是内错角。

（3）∠3和∠6，∠4和∠5都是同旁内角。

我们可以看出，同位角有4对，内错角、同旁内角分别有2对，似乎话没有说完。

对了，请让我再补充以下五条：
（4）∠1和∠7，∠2和∠8都叫做外错角，它们也有2对。

（5）∠1和∠8，∠2和∠7都叫做同旁外角，它们也有2对。

（6）以上（1）—（5）中的三条直线和八个角统称“三线八角”。

注意：即使AB与CD 不平行，也有三线八角。

（7）如果AB平行CD，那么同位角相等；内错角相等，外错角也相等；同旁内角互补，同旁外角也互补。

（8）两条直线被第三条直线所截，只要“同位角相等”，“内错角相等”，“外错角相等”，“同旁内角互补”，“同旁外角互补”中有一个命题成立，那么这两条直线平行。

四法巧辨三类角

四法巧辨三类角侯怀有两条直线被第三条直线所截，构造了八个角，一般称为“三线八角”，其中没有公共顶点的角可分为三类：同位角、内错角、同旁内角.现有四种方法辨别这三类角，一起去看一下吧！一、特征判断法同位角的特征：同旁、同侧，即在两条被截线的同旁，截线的同侧；内错角的特征：内部、两旁，即在两条被截线的内部，截线的两旁；同旁内角的特征：内部、同旁，即在两条被截线的内部，截线的同旁.二、形象识别法如图1，直线a ，b 被第三条直线l 所截得到八个角，其中同位角有4对：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8.不难发现，每一对同位角的边所在直线均可构成“F”型.内错角2对：∠3与∠5，∠4与∠6，每一对内错角的边所在直线均可构成“Z”型. 图1同旁内角2对：∠4与∠5，∠3与∠6，每一对同旁内角的边所在直线均可构成“U”型.三、图形分离法由于较复杂的图形都是由一些基本图形组合而成的，因此，在识别这三类角时，可以把相关的基本图形从复杂的图形中分离出来，排除其他直线的干扰，从而把问题转化为对简单的基本图形的识别.如图2所示，图中∠1与∠4，∠2与∠3，∠1与∠BAD ，∠2与∠BAD ， ∠2与∠CAE 分别是什么位置关系的角.分别把这些角所对应的基本图形从图2中分离出来，如图3所示.这样很容易判断出∠1与∠4是内错角，∠2与∠3是同旁内角，∠1与∠BAD 是内错角，∠2 图2与∠BAD 是同位角，∠2与∠CAE 是同旁内角.1423D1A A B 2D 2C E A图 3四、手型识别法如图4，“手型”辨别，其形式既好玩、易于接受，又能加深对同位角、同旁内角、内错角的印象.同位角内错角同旁内角图4 54321E D CB A。

3 三线八角

2图⑶中直线a,b被直线c所截，指出其中的同位角，内错角，同旁内角
学生练习讨论老师小结
巩固三类角的相关内容，并进一步提高
达
标
测
试
1.如图∠BAD和ACD是什么角？
2.图中的∠1,∠2不是同位角的是
3.如图中的同旁内角共有几对
小结
提升
1同位角，内错角和同旁内角的含意
2含有同位角，内错角和同旁内角的图形的特点
2∠AED与∠ACB是直线____和____所截，构成的____角；∠DEB和____是直线DE和BC被____所截构成的内错角；∠____和∠____是DE和BC被AC所截构成的同旁内角；∠____与∠____是直线AB和AC被BE所截，构成的内错角
3如图直线AB，AC被BC所截，则∠1与∠2是____角，∠1与∠4是____角，∠3与∠4是____角，∠3与∠2是____角，∠4与∠2是____角。
内错角和同旁内角在位置上有什么相同点和不同点?
(5)这三类角的共同特征是什么?
2.归纳：
⑴语言叙述：
⑵同位角F型；内错角Z型；同旁内角U型
让学生尝试学习,充分发挥学生的积极性､主动性和创造性,几个问题的设计目的是深化教学重点,学生互相评价可以增加讨论的深度,教师最后评价可以统一学生的观点,学生在议议评评的过程中明理､增智,培养能力
推
荐
作
业
必做题目：预习平行线的性质
选做题目：
1如图∠BAD与∠CDA是直线____和____所截，构成的同旁内角；∠1和∠2是直线____和____被____所截构成的内错角；∠3和∠4是____和____被____所截构成的内错角；∠DCA与∠ABC是直线____和____被____所截，构成的同旁内角。

5.1.3同位角、内错角、同旁内角

（2）∠1与∠7这对角在两被截线AB,CD的，在截线EF的，形如英语大写字母“”,具有这种关系的一对角叫内错角。
（3）∠1与∠8这对角在两被截线AB,CD的，在截线EF的，形如英语大写字母“”,具有这种关系的一对角叫同旁内角。
3.找出图2中所有的同位角、内错角、同旁内角。
四、疑难摘要
。
【学习探究】
一、合作交流、解决困惑
（1）指出∠3所有的同位角、内错角和同旁内角。
（2）试说明∠2＝∠3的理由。（提示：三角形三个内角的和是180°）
四、反思总结
本节课你学到了哪些知识或方法？还有什么困惑？
【自我检测】
1.如图4，∠DCA和∠B是（）
（A）同位角（B）同旁内角
（C）内错角（D）以上结论都不对
2.பைடு நூலகம்5中的同旁内角共有（）
（A）3对（B）4对
（C）5对（D）6对
3.课本P9中的第11题。
【应用拓展】
4.如图6，在⊿ABC中，∠C＝90°，DE⊥AC于E,交AB于D。
二、应用新知、解决问题
例1.在图3中
（1）直线AB、CD被直线AC所截，构成的内错角是与。
（2）∠BAD与∠D是直线和被所截，构成的角。
（3）∠DCE与∠B是直线和被所截，构成的角。
例2.课本P7的例2.
注意：自己要先想一想怎样回答，再看书上的“答法”。
三、巩固新知、变式训练
课本P7中的练习（完成于书中）。
三、自主学习
请仔细阅读课本P6页的内容后,回答下列问题：
1.描述图形
图2中的三条直线AB、CD和EF可说成“直线和直线与直线相交”，也可以说成“两条直线，被第三条直线所截”，构成了个小于平角的角，通常称这种图形为“三线八角”。其中直线，称为两被截线，直线称为截线。