高中数学常见函数放缩题汇总

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高中数学专题微专题11 切线放缩

由题意，f′(x)＝1x－(x＋1)ex＋a≤0 在[1，＋∞)上恒成立，从而 a≤(x＋1)ex－1x，设 g(x)＝(x＋1)ex－1x(x≥1)，则 g′(x)＝(x＋2)ex＋x12>0，所以g(x)在[1，＋∞)上单调递增，故g(x)min＝g(1)＝2e－1，
因为a≤g(x)恒成立，所以a≤2e－1，
方法一 (切线放缩，利用ex≥x＋1)
对任意的x>0，f(x)≤xe2x 恒成立，
xe2x－ln x＋1
等价于 a≤
x
在(0，＋∞)上恒成立.
因为xe2x－(ln x＋1)＝e2x＋ln x－(ln x＋1)≥(2x＋ln x＋1)－(ln x＋1)＝2x，
xe2x－ln
所以
x
x＋1≥2xx＝2.
所以h′(x)>0⇔－2<x<－1，h′(x)<0⇔x>－1，从而h(x)在(－2，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减，故h(x)max＝h(－1)＝0，所以h(x)≤0，故ln(x＋2)≤x＋1，当且仅当x＝－1时等号成立，综上所述，有ln(x＋2)≤x＋1≤ex，且两个等号不能同时成立，所以ln(x＋2)<ex，故ex－ln(x＋2)>0，因为当m≤2时，f(x)＝ex－ln(x＋m)≥ex－ln(x＋2)，所以f(x)>0.
即e2x0 ＝x10，2＝－lnx0x0，所以 m(x)≥m(x0)＝e2x0－ln xx00＋1＝x10－lnx0x0－x10＝2，则有 a≤2，
所以实数a的取值范围为(－∞，2].
考点二利用切线放缩证明不等式
典例2 已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m). (1)设x＝0是f(x)的极值点，求m的值，并讨论f(x)的单调性；

高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结（最强大）

放缩技巧（高考数学备考资料）证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求nk k 12142的值; (2)求证:35112nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422n n n n n,所以122121114212n nnknk (2)因为12112121444111222n n nnn,所以35321121121513121112nnknk奇巧积累:(1)1211212144441222nn nnn(2))1(1)1(1)1()1(21211n n n n n n n C C nn (3))2(111)1(1!11)!(!!11r rr rr r nr nr n nC T rrrnr (4)25)1(123112111)11(nn nn(5)n nn n 21121)12(21(6) nnn221(7))1(21)1(2n n n n n (8)nn nnn nn 2)32(12)12(1213211221(9)kn nk k n n n k kn k n k 11111)1(1,11111)1(1(10)!)1(1!1!)1(n n n n (11)21212121222)1212(21nnn n n n n(11))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112n nn n nn nnn nnnnn(12)111)1(1)1(1)1)(1(11123n n nn n n n n n n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221nnnnnnnnn (14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2kk kkk k(15))2(1)1(1n n n n n (15)111)11)((1122222222jij ijij ij i jij i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222n nn (2)求证:nn412141361161412(3)求证:1122642)12(531642531423121n nn (4) 求证：)112(2131211)11(2n nn 解析:(1)因为12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以)12131(211)12131(211)12(112n n ini (2))111(41)1211(414136116141222nnn(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531n nn ,再结合nn n221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nnn n n12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2再证21212121222)1212(21nnn n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211n n例3.求证:35191411)12)(1(62nn n n 解析:一方面: 因为12112121444111222n n nnn,所以35321121121513121112nn knk 另一方面: 1111)1(143132111914112n n n n n n当3n 时,)12)(1(61n n nn n,当1n 时,2191411)12)(1(6nn n n ,当2n时,2191411)12)(1(6n n n n , 所以综上有35191411)12)(1(62nn n n 例 4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x xx x .数列n a 满足101a .1()nn a f a .设1(1)b a ，，整数11ln a bk a b≥.证明:1ka b .解析: 由数学归纳法可以证明n a 是递增数列, 故若存在正整数k m, 使b a m, 则b a a kk1,若)(k mb a m,则由101ba a m知0ln ln ln11ba a a a a mmm ,km mm k k k ka a a a a a a 111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a a km mm ,于是ba ba b a k a a k)(|ln |11111例5.已知m mmmmn S x N m n 321,1,,,求证:1)1()1(11mnmnS mn .解析:首先可以证明:nx x n1)1(nk m m m m m m m m k knnn nn111111111])1([01)2()1()1(所以要证1)1()1(11mnmnS mn 只要证:nk m mm m m m m m m nk mnk m m k kn nnnnkm k k111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([故只要证nk m mnk mn k m m k k km kk1111111])1[()1(])1([,即等价于m mmm m k kk mkk 111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11m m kkm kkm 而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知nnna 24,nnna a a T212,求证:23321nT T T T . 解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321nnn n nnnT 所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111nnnn n n n n nn n nnnnnT 从而231211217131311231321n nnT T T T 例7.已知11x ,),2(1),12(Z kk nn Z k k n n xn,求证:*))(11(21114122454432N nn x x x x x x nn 证明:nn n n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122,因为12n nn,所以)1(2122214122n n n nn x x nn 所以*))(11(21114122454432N n nx x x x x x nn 二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N nn nnn.解析:先构造函数有x x x x x11ln 1ln ,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln nnnncause nnnn311212191817161514131213131216533323279189936365111n nn n n 所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln n n nnnn例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22nn n n nn 解析:构造函数xx x f ln )(,得到22ln ln n n nn ,再进行裂项)1(1111ln 222n n nnn,求和后可以得到答案函数构造形式: 1ln x x,)2(1ln nn 例10.求证:nnn 1211)1ln(113121解析:提示:2ln 1ln1ln1211ln )1ln(nn nn nn nn n 函数构造形式:xxx x 11ln ,ln 当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数xx f 1)(, 首先:ni nABCFxS 1,从而,)ln(ln |ln 11i n n x x in nin nin取1i有,)1ln(ln 1n n n ,所以有2ln 21,2ln 3ln 31,…，)1ln(ln 1n n n,n n n ln )1ln(11,相加后可以得到:)1ln(113121n n 另一方面nin ABDExS 1,从而有)ln(ln |ln 11i n n x xiinninnin 取1i有,)1ln(ln 11n nn ,所以有nn 1211)1ln(,所以综上有nn n 1211)1ln(113121例11.求证:en )!11()!311)(!211(和en)311()8111)(911(2.解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(n en n 解析:1)1(32]1)1(ln[n n n n ,叠加之后就可以得到答案函数构造形式:)0(13)1ln(1)0(132)1ln(x xxx x x x(加强命题)例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(xx x x f ,求导,可以得到: 12111)('xx x x f ,令0)('x f 有21x,令0)('x f 有2x,所以0)2()(f x f ,所以2)1ln(x x ,令12nx有,1ln 22nn所以211ln n nn ,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln nN nn n n n 例14. 已知112111,(1).2nnna a a nn证明2na e.解析:n nnnna n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1,然后两边取自然对数,可以得到nnna n n a ln )21)1(11ln(ln 1然后运用x x )1ln(和裂项可以得到答案)放缩思路：nnn a nna)2111(21nnna n n a ln )2111ln(ln 21nnnna 211ln 2。

高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结(最强大)

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C nn(3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Tr rrn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn(5)nn nn 21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n nn n (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-(9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n nn n n n n n n n n n n n(12)111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫⎝⎛+--=n n nn n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221nn n n n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15))2(1)1(1≥--<+n n n n n (15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i ji j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:nn412141361161412-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(1n n n n n ,所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni (2))111(41)1211(414136116141222nnn-+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析: 一方面: 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面: 1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例 4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a<<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥.证明:1k a b +>.解析: 由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列, 故若存在正整数k m ≤, 使b a m ≥, 则b a a k k ≥>+1,若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=km m m k k k k a a a a a a a111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a akm m m<∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证:1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=n k m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m n k m n k m m k k n n n n n k m k k 111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m n k m nk m m k k k m k k1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kkm kkm 而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知n n n a 24-=,nn na a a T +++=212,求证:23321<++++nT T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n nn T⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n n n n 从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+ 证明:nn n n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n nn∈+-<++++ . 解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n nn+++--<++++ cause ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例9.2ααα例10.所以有nn 1211)1ln(+++<+ ,所以综上有nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++例11.求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211( 和e <+⋅⋅++)311()8111)(911( .解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n 解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以211ln -≤+n n n,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n例14. 已知112111,(1).2n n naa a n n +==+++证明2n a e <. 解析:nn n n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+, 然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n a ln )21)1(11ln(ln 1++++<+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：⇒+++≤+n nn a nn a )2111(21⇒++++≤+n nn a nn a ln )2111ln(ln 21nn n n a 211ln 2+++≤。

放缩法技巧及例题解析(高中数学)

{an } 满足条件 an1 an f n ）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来
a n 1 a1 a2 ... n (n N * ). 2 3 a2 a3 an1
当 n 3 时,
1 1 1 1 1 2 ,此时 an n n 1 n n 1 n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 a1 a2 an 4 3 4 n 4 2 3 3 4 n 1 n
1

1 (n 1) 2 an1 an

1 (n 1) 2 [1 an ] (n 1) 2

an (n 1)(n 1 ) n 1
这种证法还是比较自然的, 也易让学生接受 .
.
an an 1 n 当 n 2 时， n 1

1 1 1 1 1 an an1 (n 1)(n 2) n 1 n 2
1 1 1 1 1 1 1 2 (n 1) n n 1 n(n 1) n n(n 1) n 1 n 2 2 1 2 2( n n 1) n 1 n n n n n n 1
a a a am , b bm b b
1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) 2 3 3 5 2n 1 2n 1 2 2(2n 1) 2
注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前 n 项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列求和．例 2、已知 an 2n 1(n N * ). 求证：

高中数学-放缩法(详解)

放缩技巧放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。

放缩法的方法有：⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3log 2=<=+<⋅； 2)1()1(++<+n n n n⑷利用常用结论： Ⅰ、kkk k k 21111<++=-+； Ⅱ、k k k k k 111)1(112--=-< ； 111)1(112+-=+>k k k k k （程度大） Ⅲ、)1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<k k k k k k ；（程度小） 1.若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<ca d db dc c a c b bd b a a【巧证】：记m =ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++∵a , b , c , d ∈R+∴1=+++++++++++++++>cb a d db a dc c a c b a bd c b a a m2=+++++++<cd dd c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立2.当 n > 2 时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n 【巧证】：∵n > 2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n∴2222)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-<+-n n n n n n n n n n 12log 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡<n n ∴n > 2时, 1)1(log )1(log <+-n n n n3.求证：213121112222<++++n【巧证】：nn n n n 111)1(112--=-< ∴2121113121211113121112222<-=+-++-+-+<++++n n n n巧练一：设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, yyx x b +++=11，求证：a < b 巧练一：【巧证】：yyx x y x y y x x y x y x +++<+++++=+++11111 巧练二：求证：lg9•lg11 < 1巧练二：【巧证】：122299lg 211lg 9lg 11lg 9lg 222=⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⋅巧练三：1)1(log )1(log <+-n n n n巧练三：【巧证】： 222)1(log )1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤+-n n n n n n 12log 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡<n n 巧练四：若a > b > c , 则0411≥-+-+-ac c b b a 巧练四：【巧证】： c a c b b a c b b a c b b a -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-≥--≥-+-4)()(22))((12112巧练五：)2,(11211112≥∈>+++++++n R n nn n n巧练五：【巧证】：左边11111122222=-+=++++>n nn n n n n n 巧练六：121211121<+++++≤nn n 巧练六：【巧证】： 11121<⋅+≤≤⋅n n n n 中式巧练七：已知a , b , c > 0, 且a 2+ b 2= c 2，求证：a n + b n < c n (n ≥3, n ∈R *)巧练七：【巧证】： ∵122=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a ，又a , b , c > 0,∴22,⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c b c a c a n n ∴1=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛nn c b c a证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查知识的潜能与后继能力，因而成为压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

导数与函数放缩问题之对数放缩

导数与函数放缩问题之对数放缩一、典型的不等式：（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭，)ln 1x x <>，)ln 01x x ><<，（放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102x x x x +≥->（放缩成类反比例函数）1ln 1x x≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+，()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101xx x x +<<+二、典型例题[]'2213()(ln )(),1()()1,22x f x a x x a R a f x f x x x -=-+∈=>+∀∈例1：已知求证：时，对恒成立。

例2 10()ln(1)210.1x f x a x x a x ≥=+++-≥+若，恒成立，求的范围*3.()ln (1)1()(1)11122...ln 23f x x xx f x a x a n n N nn=≥≥-≥∈+++<例已知函数当时，若恒成立，求的取值范围；（）求证：当且时，2()ln 0()0.f x x ax x x f x a =--∀>≥例4：已知对都有恒成立，求的范围三、巩固练习()ln 1,(1)()0(2)ln 10.xf x ax x f x a e x x x-=--≥++-≥练习1：已知若恒成立，求的取值范围；证明：练习2：已知函数()ln 1,f x x x ax a R =++∈.（1）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）当()1,x ∈+∞时，证明：()21ln xe x x x x e-<<-.练习3：已知函数()()1ln f x x x =+，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y ax b =+．（1）求证：1x >时，()f x ax b >+；（2）求证：()()2*2ln 2ln 2ln723...2,1632n n n n n -++++>≥∈-N ．导数与函数放缩问题之对数放缩一、典型的问题：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭，)ln 1x x<>，)ln 01x x ><<，（放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102x x x x +≥->（放缩成类反比例函数）1ln 1x x≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+，()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101xx x x +<<+二、典型例题[]'2213()(ln )(),1()()1,22x f x a x x a R a f x f x x x -=-+∈=>+∀∈例1：已知求证：时，对恒成立。

高中数学数列与不等式综合题放缩法技巧

数列型不等式放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑=-nk k12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Tr rrn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n n n (5)nn nn 21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+- (9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n nn n 11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n (13) 3212132122)12(332)13(2221nn n n n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14) !)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n (15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i j i j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn (4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222nn n -+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n ++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到n n 131211)11(2++++<-+ ,再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n 当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ , 当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(,∑=++++++++--=-++---+--=nk m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m nk m nk m m k k n nnn n k m k k111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m nk m n k m m k k k m k k 1111111])1[()1(])1([,即等价于mm m m m k k k m k k-+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kk m k k m 而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,n n na a a T +++= 212,求证:23321<++++n T T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n n n T ⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n n n n 从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T 例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+证明:nnnn n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+, 所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n∈+-<++++ .解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln nn n n +++--<++++因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例11.求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211( 和e n <+⋅⋅++)311()8111)(911(2 .解析:构造函数后即可证明例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到: 12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n所以211ln -≤+n n n ,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n三、分式放缩姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++<m b a ma mb a b记忆口诀”小者小,大者大”解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之.例19. 姐妹不等式:12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 和121)211()611)(411)(211(+<+---n n也可以表示成为12)12(5312642+>-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n和1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n解析: 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b ma mb ab 可得>-⋅⋅122563412n n=+⋅⋅nn 212674523 )12(212654321+⋅-⋅⋅n nn⇒12)122563412(2+>-⋅⋅n n n 即.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 例20.证明:.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n 解析: 运用两次次分式放缩:1338956.232313784512-⋅⋅⋅⋅>--⋅⋅⋅⋅n n n n (加1)nn n n 31391067.342313784512+⋅⋅⋅⋅>--⋅⋅⋅⋅ (加2)相乘,可以得到:)13(1323875421131381057.2423137845122+⋅--⋅⋅⋅⋅=-+⋅⋅⋅⋅>⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅⋅⋅⋅n n n n n n n 所以有.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n四、分类放缩例21.求证:212131211nn>-++++ 解析: +++++++++>-++++ )21212121()4141(211121312113333n2)211(221)212121(n n nn n n n >-+=-+++ 六、借助数列递推关系例27.求证:1222642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn解析: 设n n a n 2642)12(531⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅= 则nn n n n a na a n a n n a +=+⇒++=++2)1(2)1(21211,从而n n n na a n a 2)1(21-+=+,相加后就可以得到1221)22(1321)1(22)1(21121-+⋅+<-+⋅+<-+=++++n n n n a a n a a a n n ,所以1222642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n n n 例28. 求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn解析: 设n n a n 2642)12(531⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅= 则111)12(]1)1(2[)1(212+++++=++⇒++=n n n n n a a n a n a n n a ,从而n n n a n a n a )12(]1)1(2[11+-++=++,相加后就可以得到11223121)12(3)12(1121-+<-+⋅+<-+=++++n n n a a n a a a n n 例29. 若1,111+=⋅=+n a a a n n ,求证:)11(211121-+≥+++n a a a n解析:nn n n n n n a a a a a n a a -=⇒+⋅=+=⋅+++++21112112所以就有2122111121121121-+=-≥--++=+++++n a a a a a a a a a a a n n n n n 九、均值不等式放缩例32.设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n解析: 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k =+=2121)1(+=++<+<k k k k k k ，)21(11∑∑==+<<∴nk n nk k S k ，即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2b a ab +≤，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n ，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里na a n a a a a a a nnnn n n22111111++≤++≤≤++其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。

“放缩法”解不等式的8个例子，难题轻松解决！

“放缩法”解不等式的8个例⼦，难题轻松解决！添加或舍弃⼀些正项（或负项）若多项式中加上⼀些正的值，多项式的值变⼤，多项式中加上⼀些负的值，多项式的值变⼩。

由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加⼀些项，使不等式⼀边放⼤或缩⼩，利⽤不等式的传递性，达到证明的⽬的。

本题在放缩时就舍去了，从⽽是使和式得到化简.先放缩再求和（或先求和再放缩）此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分⼦变为常数，再对分母进⾏放缩，从⽽对左边可以进⾏求和. 若分⼦, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之⼀变为常量，分式的放缩对于分⼦分母均取正值的分式。

如需放⼤，则只要把分⼦放⼤或分母缩⼩即可；如需缩⼩，则只要把分⼦缩⼩或分母放⼤即可。

先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）本题先采⽤减⼩分母的两次放缩，再裂项，最后⼜放缩，有的放⽮，直达⽬标.放⼤或缩⼩“因式”本题通过对因式放⼤，⽽得到⼀个容易求和的式⼦，最终得出证明.逐项放⼤或缩⼩本题利⽤，对中每项都进⾏了放缩，从⽽得到可以求和的数列，达到化简的⽬的。

固定⼀部分项，放缩另外的项此题采⽤了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不⼀定从第⼀项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。

利⽤基本不等式放缩本题通过化简整理之后，再利⽤基本不等式由放⼤即可.先适当组合, 排序, 再逐项⽐较或放缩以上介绍了⽤“放缩法”证明不等式的⼏种常⽤策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的⽅法，有时还需要⼏种⽅法融为⼀体。

在证明过程中，适当地进⾏放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。

但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。

因此，使⽤放缩法时，如何确定放缩⽬标尤为重要。

要想正确确定放缩⽬标，就必须根据欲证结论，抓住题⽬的特点。

掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题⽬的类型，采⽤恰到好处的放缩⽅法，才能把题解活，从⽽培养和提⾼⾃⼰的思维和逻辑推理能⼒，分析问题和解决问题的能⼒。

高中数学导数常见放缩不等式

高中数学导数常见放缩不等式导数常见放缩不等式是高中数学学习中不可遗漏的一个重点内容，它通过对导函数的性质进行分析和推导，引出了许多常用的不等式。

在学习过程中，我们需要理解和掌握这些不等式的性质，以便在数学实践中灵活应用。

下面是高中数学导数常见放缩不等式的详细介绍：一、极值问题1. 定理1：f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，如果在x1和x2两点处取得了极值，那么f'(x1)=f'(x2)=0。

2. 定理2：f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，如果f(x)在[a,b]上有两个极值，一个是局部极大值，一个是局部极小值，那么在两个极值点之间必存在一个驻点。

二、中值定理3. 定理3：f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，那么在[a,b]中至少存在一个点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

三、平均值不等式4. 定理4：f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，那么f(x)在[a,b]上的平均值f(c)满足f(c)=(1/(b-a))*∫[a,b]f(x)dx，且在[a,b]的任意一点x0处有f(x0)-f(c)=[(x0-c)/(b-a)]*[f(b)-f(a)]。

四、柯西-Schwarz不等式5. 定理5：f(x)和g(x)在[a,b]上可导，那么[(∫[a,b]f(x)g(x)dx)^2]<=∫[a,b]f(x)^2dx * ∫[a,b]g(x)^2dx。

五、泰勒公式6. 定理6：f(x)在点x0处n+1阶可导，那么当|x-x0|<=h时，有f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)/1!+f''(x0)(x-x0)^2/2!+...+f^(n)(x0)(x-x0)^n/n!+o((x-x0)^n)。

以上就是高中数学导数常见放缩不等式的详细介绍，掌握好这些重要的定理和公式，将有助于我们在数学学习和实践中有更好的应用。

压轴题专题练习__放缩法

教师訚威学生严斯文上课时间学科数学年级高三教材版本课题压轴题专题练习———放缩法重难点数列与函数的放缩法的训练教学过程证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑=-nkk12142的值; (2)求证:35112<∑=nkk.奇巧积累:(1)⎪⎭⎫⎝⎛+--=-<=1211212144441222nnnnn(2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+nnnnnnnCCnn(3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+rrrrrrnrnrnnCTrrrnr(4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+nnnn(5)nnnn21121)12(21--=-(6) nnn-+<+221(7))1(21)1(2--<<-+nnnnn (8)nnn nnnn2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-+-(9)⎪⎭⎫⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫⎝⎛+-+=-+knnkknnnkknknk11111)1(1,11111)1(1(10)!)1(1!1!)1(+-=+nnnn (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<nnnnnnn(11))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----nnnnnnnnnnnnnn(12)111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-<⋅=nnnnnnnnnnnn11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫⎝⎛+--=nnnnnnn(13)3212132122)12(332)13(2221nnnnnnnnn<-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i ji j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:n n412141361161412-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=. 设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥.证明:1k a b +>.例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .例6.已知n n n a 24-=,nnn a a a T +++=212,求证:23321<++++nT T T T .例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n nn∈+-<++++ .例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n ααααααα例10.求证:nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++例11.求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211( 和e n <+⋅⋅++)311()8111)(911(2 .例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n例14. 已知112111,(1).2n n n aa a n n +==+++证明2n a e <.例15.(2008年福州市质检)已知函数.ln )(x x x f =若).()(2ln )()(:,0,0b f b a f b a a f b a -+≥++>>证明例16.(2008年厦门市质检) 已知函数)(x f 是在),0(+∞上处处可导的函数,若)()('x f x f x >⋅在0>x 上恒成立.(I)求证：函数),0()()(+∞=在xx f x g 上是增函数； (II)当)()()(:,0,0212121x x f x f x f x x +<+>>证明时； (III)已知不等式01)1ln(≠-><+x x x x 且在时恒成立，求证：).()2)(1(2)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21*22222222N n n n n n n ∈++>++++++三、分式放缩姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b ma mb ab 和)0,0(>>>++<m b a ma mb ab记忆口诀”小者小,大者大”解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之. 例19. 姐妹不等式:12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 和121)211()611)(411)(211(+<+---n n 也可以表示成为 12)12(5312642+>-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n和1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n例20.证明:.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n四、分类放缩例21.求证:212131211nn>-++++例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系xoy 中, y 轴正半轴上的点列{}nA 与曲线x y 2=（x ≥0）上的点列{}nB 满足nOB OAn n1==，直线n n B A 在x 轴上的截距为n a .点n B 的横坐标为n b ,*∈N n .例23.(2007年泉州市高三质检) 已知函数),1()(2R c b c bx x x f ∈≥++=，若)(x f 的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列}{n b 满足)()(*3N n nn f bn∈=，记数列}{n b 的前n 项和为n T ，问是否存在正常数A ，使得对于任意正整数n 都有A T n <？并证明你的结论。

高考数学导数放缩大全

高考导数大题中常用的放缩大法切线放缩及推广⑴ 111ln 1xe x x x x x≥+>>−≥≥− 拆开任意组合，在其定义域内恒成立 *1x e x ≥+在0x =时取等；ln x 1x ≤−，1ln 1x x ≥−在1x =时取等。

⑵ x e ex ≥ 切点为(1,)eln x x e≥ 切点为(,1)e 略证： 1.构造()1x f x e x =−−，证得1x e x ≥+，对其①ln x 代x ，证得1ln x x −≥②ln x −代x ，证得1ln 1x x≥−③1x −代x ，证得x e ex ≥. 2.对于x e ex ≥①ln x 代x ，证得ln x x e ≥②ln x −代x ，证得 3.对于，两边同时取对数，继而1x −代x ，化简为ln x 1x ≤− 4.对于，两边同时取对数，继而x −代x ，化简为ln x x <5.其他常用变形：，，，x nx x nn x x e x e e n n>=>>=>> 11ln ln ln n n x x x x x <=><=><三角不等式sin tan ,[0,)2x x x x π<<∈不等式链（调几对根算方）数列不等式第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤−，ln x x <，（放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x <−> ，()11ln 012x x x x >−<< ，)ln 1x x <−>，)ln 01x x ><< （ln x < （放缩成二次函数）2ln x x x ≤−，()()21ln 1102x x x x +≤−−<<，()()21ln 102x x x x +≥−> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x≥−，()()21ln 11x x x x −>>+，()()21ln 011x x x x −<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x+<<+，1ln x ex ≥−第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥，122x e x ≥+（放缩成类反比例函数）()101x e x x≤≤−，()10x e x x <−< （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++，2x e x > 第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x −≥+−−=第四组：三角函数放缩sin tan ,[0,)2x x x x π<<∈，21sin 2x x x ≥−，22111cos 1sin 22x x x −≤≤−泰勒公式。

常用导数放缩法

常用导数放缩法一：消参放缩（适合含参）已知函数$f(x)=e^{-\ln(x+m)}$。

1) 设$x_0$是$f(x)$的极值点，求$m$，并讨论$f(x)$的单调性；2) 当$m\leq2$时，证明$f(x)>0$。

解：(1) $f'(x)=e^{-x/(x+m)}$。

由$x_0$是$f(x)$的极值点得$f'(x_0)=0$，所以$m=1$。

于是$f(x)=e^{-\ln(x+1)}$，定义域为$(-1,+\infty)$，$f'(x)=e^{-x/(x+1)}/(x+1)$。

函数$f'(x)=e^{-x/(x+1)}/(x+1)$在$(-1,+\infty)$单调递增，且$f'(0)=0$。

因此当$x\in(-1,0)$时，$f'(x)0$。

所以$f(x)$在$(-1,0)$单调递减，在$(0,+\infty)$单调递增。

2) 当$m\leq2$，$x\in(-m,+\infty)$时，$\ln(x+m)\leq\ln(x+2)$，故只需证明当$m=2$时，$f(x)>0$。

当$m=2$时，函数$f'(x)=e^{-x/(x+2)}/(x+2)$。

又$f'(-1)0$，故$f'(x)=0$在$(-2,+\infty)$有唯一实根$x$，且$x\in(-1,0)$。

当$x\in(-2,x)$时，$f'(x)0$，从而当$x=x$时，$f(x)$取得最小值。

由$f'(x)=e^{-x/(x+2)}/(x+2)$得$e^x/(x+2)$在$(-2,+\infty)$单调递增。

故$f(x)\geq f(x)=(x+1)^2/(x+2)$。

综上，当$m\leq2$时，$f(x)>0$。

2.已知函数$f(x)=me^x-\ln x-1$。

Ⅰ）当$m=1$时，求曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程；Ⅱ）当$m\geq1$时，证明：$f(x)>1$。

高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列及不等问题

用放缩法办理数列和不等问题（教师版）一．先乞降后放（主假如先裂乞降，再放理）例 1．正数数列an 的前 n 的和 Sn ，足 2 S n a n 1，求：（ 1）数列 a n 的通公式；（ 2） b n1，数列 b n 的前 n 的和 B n ，求： B n12a n a n 1解：（ 1）由已知得4S n(a n 1)2 ， n 2 ， 4S n 1(a n 1 1)2 ，作差得：4a na n 22a na n 2 1 2a n 1 ，所以 (a na n 1 )( a nan 12)，又因a n 正数数列，所以 a na n 12 ，即 a n 是公差2 的等差数列，由2 S 1 a 1 1，得 a 11，所以 a n2n 1（ 2） b n1(2n1 1)1 ( 1 1 1 ) ，所以a n a n 1 1)( 2n2 2n 2n 1B n1(1 1 1 1 1 1) 1 1 12 3 3 5 2n 1 2n 12 2(2n 1) 2真演1： (06 全国 1 卷理科 22) 数列a n 的前 n 的和 ,S n4a n 1 2n 12 ， n 1,2,3,ggg3 33nn3 . （Ⅰ）求首a 1 与通 a n ；（Ⅱ） T n2 ， n1,2,3,ggg ，明：T iS ni 124 1 n+124 1 2解 : ( Ⅰ ) 由 S n = 3a n － 3× 2 +3, n=1,2,3 ，⋯ , ① 得 a 1 =S 1= 3a 1－ 3× 4+3 所以 a 1 =24 1 n 2 再由①有 S n － 1=3a n － 1－ 3× 2 +3, n=2,3， 4, ⋯将①和②相减得 : annn － 1= 4nn － 11n+1－ 2 n),n=2,3,⋯=S － S 3(a － a ) －3× (2整理得 : a n +2n =4(a n － 1+2n － 1),n=2,3, ⋯ , 因此数列 { an+2n } 是首 a1+2=4, 公比 4的等比数列 , 即 : an+2n =4× 4n － 1=4n , n=1,2,3,⋯ , 因此 a n =4n － 2n , n=1,2,3, ⋯ ,nn4nn1n+12 1n+1n+1( Ⅱ ) 将 a n =4 － 2 代入①得 S n = 3×(4 － 2 ) － 3× 2 + 3=3× (2－ 1)(2 － 2)=2× (2 n+1－ 1)(2 n － 1) 32n3×(22n3 11T n = S n = 2n+1－ 1)(2 n－ 1)=2× ( 2n － 1 － 2n+1－1)nT i 3 n 1 1 3 11 3 所以 , = ( i － i+1 ) = × ( 1 －2n 1 1) <i 12 i 1 2 － 1 2 － 1 2 2 － 1 2二．先放再乞降1．放后成等比数列，再乞降例 2．等比数列a n中， a 11，前 n 项的和为 S n ，且 S 7 , S 9 , S 8 成等差数列．2设 b na n 2 ，数列b n 前 n 项的和为 T n ，证明： T n1 ．1 a n 3解：∵ A 9A 7 a 8a 9 ， A 8 A 9a 9 ， a 8 a 9a 9 ，∴公比 qa 9 1a 8．21 11∴ a n( 1 n． b n4 n．) 14n( 2) n3 2n21 n( )2 （利用等比数列前 n 项和的模拟公式S n Aq n A 猜想）1 1∴ B nb 1b 2b n111 12 (1 22) 1 1 )13 2 3 2 23 2n31 (12n ．1332真题操练 2： (06 福建卷理科 22 题 ) 已知数列a n知足 a 11,a n 1 2a n 1(n N * ).（ I ）求数列a n的通项公式；（ II ）若数列 b n 滿足 4b 114b21L 4bn1(a n 1)b n (n N * ) ，证明：数列 b n 是等差数列；（Ⅲ）证明：n 1 a 1 a 2... a nn(n N * ) .2 3 a 2 a 3 an 1 2（ I ）解： Q a n 1 2a n 1(n N *),a n11 2(a n 1), a n 1 是以 a 1 12 为首项， 2 为公比的等比数列a n 1 2n . 即 a n 221(n N * ).（ II ）证法一： Q 4k 1 14k 2 1...4k n1(a n 1)k n .4( k1 k 2... k n) n2nk n.2[(b 1 b 2 ... b n ) n] nb n ,①2[(b 1 b 2 ... b n b n 1)( n 1)] (n 1)b n 1 .②②－①，得 2(b n11) (n 1)b n 1 nb n ,即 (n 1)b n 1 nb n 2 0, nb n 2 (n 1)b n 1 2 0.③－④，得nb n 22nb n 1nb n0,即b n 22b n 1b n0,b n 2b n 1b n 1b n (nN * ),b n是等差数列（ III ）证明： Q a k2k 1 2k 11, k 1,2,..., n,a k 12k 1 12(2 k 12)2a 1 a 2 ...a nna 2a 3a n.12a k2k 1 11111 1 11,2,...,n,Qk 112 2(2 k 11) 2kk22 . k , kak 123.2 2 3 2a 1 a 2a nn 1 1 11n 11 n 1a 2 a 3... a n 12 3 ( 2 22...2n)2 3 (12n)2 3 ,n 1 a 1 a 2 ... a nn(nN * ).2 3a 2 a 3an 122．放缩后为“差比”数列，再乞降例 3．已知数列 { a n } 知足： a 11 ， a n(1n 1,2,3 ) ．求证： a na n n 112 n ) a n (n1 3n 12证明：因为 a n1(1nn ) a n ，所以 a n 1 与 a n 同号，又因为a 1 1 0 ，所以 a n0 ，2即 a n1a nn a n 0 ，即 a n 1a n ．所以数列 { a n } 为递加数列，所以 a na 1 1，2 n即 a na nna n n，累加得： a na 112n 1 12 n 2 n2 2 2 2 n 1．令S n1 2n 11S n1 2 n 12222n 1，所以 22 2232n ，两式相减得：1S n1 111n 1 ，所以 S n 2 n 1 ，所以 a n 3 n 1 ，2222232n 1 2n2n 12n 1故得a n 1a n n 1 3．2 n 13．放缩后成等差数列，再乞降例 4．已知各项均为正数的数列{ a n } 的前 n 项和为 S n , 且 a 2 a n 2S .n n(1)求证： S na n2an 12 ；4(2) 求证：S nS 1S 2S nS n 1 122解：（ 1）在条件中，令n 1 ，得 a 12 a 12S 1 2a 1 ， a 1 0a 1 1 ，又由条件 a n 2 a n2S n 有a n21a n 1 2S n 1 ，上述两式相减，注意到an 1Sn 1S n 得(a n 1a n )(a n 1a n1) 0a n0a n 1a n0∴ a n 1a n 1所以，a n 1 1 ( n 1) n ，S n n( n 1)2n( n 1) 1 ? n 2 (n 1) 2 2 2所以 S n a n a n 12 2 2 4（ 2）因为n n( n 1) n 1，所以n n(n 1) n 1，所以2 2 2S1 S2 S n 1 2 2 3 n( n 1) 2 3 n 12 2 2 2 2 2n 2 3n S n 1 1S1 S2 S n 1 2 n n(n 1) S n2 2 2 ；2 2 2 2 2 2练习：1. （ 08 南京一模22 题）设函数 f ( x) 1 x2 bx 3 ，已知无论, 为什么实数，恒有 f (cos ) 0 且4 4N * ) .f (2 sin ) 0 .关于正数列a n ，其前 n 项和 S n f (a n ) ， (n( Ⅰ ) 务实数 b 的值；（ II ）求数列a n 的通项公式；（Ⅲ）若c n 1 , n N ，且数列c n 的前 n 项和为T n，试比较T n和1的大小并证明之 .1 a n 6解： ( Ⅰ ) b 1II ）a n 2n 1；（利用函数值域夹逼性）；（2c n 1 1 1 1，∴ T n c1 c2 c31 1 1 1（Ⅲ）∵(2 n 2)2 2 2n 1 2n⋯ +c n3 2n 3 6 3 22. （ 04 全国）已知数列{ a n } 的前项和 S n知足： S n2a n( 1) n，n 1 （ 1）写出数列{ a n } 的前三项 a1， a2， a3；（2）求数列 { a n } 的通项公式；（ 3）证明：对随意的整数m 4，有11 1 7 a4 a5 a m 8剖析：⑴由递推公式易求： a =1, a2 =0, a =2；1 3⑵由已知得： a n S n S n 1 2a n ( 1)n 2a n 1 ( 1)n 1 （ n>1）化简得： a n2a n 12( 1)n 1a n 2 a n 12 , a n2 2[ a n 1 2]( 1) n( 1) n 1( 1) n 3( 1) n 1 3故数列 {a n2} 是以 a 1 2 为首项 , 公比为 2 的等比数列 . ( 1) n 33故a n 2(1 )( 2) n 1∴ a n 2n 2(n1) n 33[21) ](3∴数列 { a n } 的通项公式为：a n2[2 n 2 ( 1)n ] .3⑶察看要证的不等式，左侧很复杂，先要想法对左侧的项进行适合的放缩，使之可以乞降。

常见导数放缩题汇总及解答

= x (ex ln x + 2) + ex−1 − 2
⩾
ex−1 x
+
x ex−1
−2
>0
显然成立，证毕.
题 12
求证：ex
−
ln (x
+
2)
>
1 .
6
证明法 1
即证
ex
>
e2
ln
x
+
1 e2，两侧同除
x3 2
，则有
6
ex x3
2
⩾
e3 2 3
32
25 > e4
3
⩾
e2 ln x + x3
2
1 6
x √
，证毕.
1 − x2
法2
0
<
x
<
1
:
tan x
<
2x 2 − x2
<
x √
，证毕.
1 − x2
题 23 ( 求证：
sin
x
)2
+
tan x
>
2，0
<
x
<
π .
x
x
2
证明 0 < x < π : tan x + 2 sin x > 3x，故有 2
( sin x )2
tan x
( sin x
)2 tan x + 2 sin x
成立，证毕.
题 20 ( 求证： 1
+
1 )x
( 1
+
) 1 > e，x > 0.

高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题(含答案)

用放缩法处理数列和不等问题（教师版）之邯郸勺丸创作一．先求和后放缩（主要是先裂项求和,再放缩处理）例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ,满足12+=n n a S ,试求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设11+=n n n a a b ,数列{}n b 的前n 项的和为n B ,求证：21<n B 解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ,2≥n 时,211)1(4+=--n n a S ,作差得：1212224----+=n n n n n a a a a a ,所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ,又因为{}n a 为正数数列,所以21=--n n a a ,即{}n a 是公役为2的等差数列,由1211+=a S ,得11=a ,所以12-=n a n （2）)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ,所以真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列{}n a 的前n 项的和,14122333n n n S a +=-⨯+,1,2,3,n =（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2nn nT S =,1,2,3,n =,证明：132nii T =<∑. 解: (Ⅰ)由 Sn=43an －13×2n+1+23, n=1,2,3,… , ① 得 a1=S1=43a1－13×4+23所以a1=2 再由①有 Sn －1=43an －1－13×2n+23, n=2,3,4,…将①和②相减得: an=Sn －Sn －1= 43(an －an －1)－13×(2n+1－2n),n=2,3, …整理得: an+2n=4(an －1+2n －1),n=2,3, … , 因而数列{ an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=4×4n－1= 4n, n=1,2,3, …, 因而an=4n －2n, n=1,2,3, …,(Ⅱ)将an=4n －2n 代入①得 Sn= 43×(4n－2n)－13×2n+1 + 23 =13×(2n+1－1)(2n+1－2)= 23×(2n+1－1)(2n －1)Tn= 2n Sn = 32×2n (2n+1－1)(2n －1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1)所以, 1ni i T =∑= 321(n i =∑12i －1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 1121n +-)< 32二．先放缩再求和1．放缩后成等比数列,再求和例2．等比数列{}n a 中,112a =-,前n 项的和为n S ,且798,,S S S 成等差数列．设nn n a a b -=12,数列{}n b 前n 项的和为n T ,证明：13n T <．解：∵9789A A a a -=+,899A A a -=-,899a a a +=-,∴公比9812a q a ==-．∴n n a )21(-=． nn n nn n b 231)2(41)21(141⋅≤--=--=．（利用等比数列前n 项和的模拟公式n n S Aq A =-猜测）∴n n b b b B ++=2131)211(31211)211(213123123123122<-=--⋅=⋅++⋅+⋅≤n n ．真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 滿足12111*444(1)()nnb b b b n a n N ---=+∈,证明：数列{}n b 是等差数列；（Ⅲ）证明：*122311...()232n n a a a n nn N a a a +-<+++<∈. （I ）解：*121(),n n a a n N +=+∈112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项,2为公比的等比数列12.n n a ∴+=即 2*21().n a n N =-∈（II ）证法一：1211144...4(1).nnk k k k n a ---=+122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-=①12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+②②－①,得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+-即1(1)20,n n n b nb +--+=21(1)20.n n nb n b ++-++= ③－④,得 2120,n n n nb nb nb ++-+=即 2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列（III ）证明：1121211,1,2,...,,12122(2)2k k k k k k a k n a ++--==<=-- 2．放缩后为“差比”数列,再求和例3．已知数列{}n a 满足：11=a ,)3,2,1()21(1 =+=+n a na n nn ．求证：11213-++-≥>n n n n a a 证明：因为n nn a na )21(1+=+,所以1+n a 与n a 同号,又因为011>=a ,所以0>n a ,即021>=-+n nn n a na a ,即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列,所以11=≥a a n ,即nn n n n n a n a a 221≥=-+,累加得：121212221--+++≥-n n n a a ．令12212221--+++=n n n S ,所以nn n S 2122212132-+++= ,两式相减得： n n n n S 212121212121132--++++=- ,所以1212-+-=n n n S ,所以1213-+-≥n n n a , 故得11213-++-≥>n n n n a a ． 3．放缩后成等差数列,再求和例4．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.(1) 求证：2214n n n a a S ++<；(2)<⋅⋅⋅+解：（1）在条件中,令1=n ,得1112122a S a a ==+,1011=∴>a a ,又由条件n n n S a a 22=+有11212+++=+n n n S a a ,上述两式相减,注意到n n n S S a -=++11得0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a ∴11n n a a +-=所以, n n a n =-⨯+=)1(11,(1)2n n n S +=所以42)1(212)1(21222++=++•<+=n n n a a n n n n S（2）因为1)1(+<+<n n n n ,所以212)1(2+<+<n n n n ,所以 2122312-=+=+n S n n ；222)1(2222121n n S n n n S S S =+=+++>++练习：1.（08南京一模22题）设函数213()44f x x bx =+-,已知不管,αβ为何实数,恒有(cos )0f α≤且(2sin )0f β-≥.对于正数列{}n a ,其前n 项和()n n S f a =,*()n N ∈.(Ⅰ) 求实数b 的值；（II ）求数列{}n a 的通项公式； 1,1nn N a +=∈+,且数列{}n c 的前n 项和为n T ,试比较n T 和16的大小并证明之.解：(Ⅰ) 12b =（利用函数值域夹逼性）；（II ）21n a n =+；（Ⅲ）∵21111(22)22123n c n n n ⎛⎫=<- ⎪+++⎝⎭,∴1231111+23236n n T c c c c n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅<-< ⎪+⎝⎭…2.（04全国）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：n n n a S )1(2-+=,1≥n （1）写出数列}{n a 的前三项1a ,2a ,3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式；（3）证明：对任意的整数4>m ,有8711154<+++m a a a 阐发：⑴由递推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2；⑵由已知得：1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+----（n>1）化简得：1122(1)n n n a a --=+-2)1(2)1(11---=---n n n n a a ,]32)1([232)1(11+--=+---n n n n a a故数列{32)1(+-nn a }是以321+-a 为首项, 公比为2-的等比数列.故1)2)(31(32)1(---=+-n nn a ∴22[2(1)]3n n n a -=-- ∴数列{n a }的通项公式为：22[2(1)]3n n n a -=--.⑶不雅察要证的不等式,左边很庞杂,先要设法对左边的项进行适当的放缩,使之能够求和.而左边=232451113111[]221212(1)m mm a a a -+++=+++-+--,如果我们把上式中的分母中的1±去掉,就可利用等比数列的前n 项公式求和,由于-1与1交错出现,容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩,测验考试知：32322121121121+>++-,43432121121121+<-++,因此,可将1212-保存,再将后面的项两两组合后放缩,即可求和.这里需要对m 进行分类讨论,（1）当m 为偶数)4(>m 时,（2）当m 是奇数)4(>m 时,1+m 为偶数, 所以对任意整数4>m ,有m a a a 11154+++ 87<. 本题的关头是并项后进行适当的放缩.3.（07武汉市模拟）定义数列如下：*+∈+-==N n a a a a n n n ,1,2211 求证：（1）对于*∈N n 恒有n n a a >+1成立；（2）当*∈>N n n 且2,有11211+=-+a a a a a n n n 成立；（3）11112112006212006<+++<-a a a 阐发：（1）用数学归纳法易证. （2）由121+-=+n n n a a a 得：)1(11-=-+n n n a a a )1(111-=-∴--n n n a a a……)1(1112-=-a a a以上各式两边辨别相乘得： )1(111211-=--+a a a a a a n n n ,又21=a（3）要证不等式11112112006212006<+++<-a a a , 可先设法求和：200621111a a a +++ ,再进行适当的放缩.111120071---=a a 20062111a a a -=1<又2006200612006212=>a a a a 200620062121111->-∴a a a ∴原不等式得证.本题的关头是按照题设条件裂项求和.用放缩法处理数列和不等问题（学生版）一．先求和后放缩（主要是先裂项求和,再放缩处理）例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ,满足12+=n n a S ,试求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设11+=n n n a a b ,数列{}n b 的前n 项的和为n B ,求证：21<n B 真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列{}n a 的前n 项的和,14122333n n n S a +=-⨯+,1,2,3,n =（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2nn nT S =,1,2,3,n =,证明：132nii T =<∑. 二．先放缩再求和1．放缩后成等比数列,再求和例2．等比数列{}n a 中,112a =-,前n 项的和为n S ,且798,,S S S 成等差数列．设nn n a a b -=12,数列{}n b 前n 项的和为n T ,证明：13n T <．真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 滿足12111*444(1)()nnb b b b n a n N ---=+∈,证明：数列{}n b 是等差数列；（Ⅲ）证明：*122311...()232n n a a a n nn N a a a +-<+++<∈. 2．放缩后为“差比”数列,再求和例3．已知数列{}n a 满足：11=a ,)3,2,1()21(1 =+=+n a na n n n ．求证：11213-++-≥>n n n n a a 3．放缩后成等差数列,再求和例4．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.(1) 求证：2214n n n a a S ++<；(2)<⋅⋅⋅+练习：1.（08南京一模22题）设函数213()44f x x bx =+-,已知不管,αβ为何实数,恒有(cos )0f α≤且(2sin )0f β-≥.对于正数列{}n a ,其前n 项和()n n S f a =,*()n N ∈.(Ⅰ) 求实数b 的值；（II ）求数列{}n a 的通项公式；1,1nn N a +=∈+,且数列{}n c 的前n 项和为n T ,试比较n T 和16的大小并证明之.2.（04全国）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：n n n a S )1(2-+=,1≥n（1）写出数列}{n a 的前三项1a ,2a ,3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式；（3）证明：对任意的整数4>m ,有8711154<+++m a a a 3.（07武汉市模拟）定义数列如下：*+∈+-==N n a a a a n n n ,1,2211 求证：（1）对于*∈N n 恒有n n a a >+1成立；（2）当*∈>N n n 且2,有11211+=-+a a a a a n n n 成立；（3）11112112006212006<+++<-a a a。

对数函数放缩题集锦

对数函数放缩题集锦I.lnx<x-1,即ln(x+1 )<x证明:f(x)=x/-lnx, f(x)—(x-l)/xf(x巨fU)=O,即Inxgx-l将X替换为x+1,可得In(x+l)<x 图解例Lf(x)=ln(x+1)(l)f(x)<ax恒成立，求a范围，(2)求证:1+1/ n<e'解:⑴a= 1为临界，显然a属于［1, +cc)(2)两边同时取对数，只需证ln(l+ l/n)<l/n,令a=l, x=I/n 可证.例2.求证山2+2/3+3/4十…+n/(n+l)〉n-ln(n+l) 解:由x> 1 +lnx得，k/(k+1)> I+ln[k/(k+l )]= l+lnk-ln(k+ i)叠加整理可证该不等式成立.例3.求证:1+1/2+1/34…十l/n>ln(n+l)解:由x>ln(x+1 导，l/k>ln(l+l/kHn[(k+l)/k]=ln(k+l)-lnk叠加整理可证该不等式成立.练习L求证:1/2+2/3+3/4+.. .+n/(n+l)<n-ln(n+2)+ln2练习2.求证:1+I/2+1/3+…+l/n4nn+l练习3,求证:ln2/22 +ln3/32 +ln4/42 +...+lnn/n2<(2n2 -n-W4(n+DILlnx>l-l/x,即ln(x+l)>x/(x+l) 证明l:f(x)=lnx+l/x-l? f(x)=(x-l)/xf(x)>f(l)=O?即Inx至］名茂证明2:将不等式I中x替换为1/x得ln(l/x)<l/x- l T即Inx之l-"x将X替换为x十1,可得ln(x+ l)>x/(x.-F1)例4(2014 陕西21).f(x)=ln(x+l), g(x)=ax/(x+l)(2)f(x)空(x)恒成立，求a范围，(3)求证:1/2+1/3+1/4 +…+l/(n+l)<ln(n+l)解:⑵显然，a属于3U](3)由ln(x+l)>x/(x+lX1 /(k+1)=(1 /k)/(l /k+ l)<ln(l /k+ l)=ln[(k+l)/k)] =ln(k+l)-lnk叠加整理可证该不等式成立.例5.求证:l/(n+l)+l/(n+2)+.. ：l/2n<In2解:由lnx>l・i/x得l/(n+k)=l-(n+k-1 )/(n+k)<Ln[(n+k)/(n+k-1)]=ln(n+k)-lti(n+k-l)叠加整理可证该不等式成立.IILx>l时，InxW住?闻⑵0<x<l 时，lnx>(x-l/x)/21 正明:f(x)=x-l/x-21nx, f(x)=(l/x-l)2>0x>!时，—*)=00<x<l 时，f(x)<f( 1 )=0整理可得此不等式例6, f(x)=21nx+(k-1 )(x-1 /x),当x>l 时,f(x)<0 恒成立，求k范围，方军:21nx-(x-1 /x)<0,显然，k E (-j 0]。

高考数学题型通关21讲第21讲函数不等式放缩(解析版)

第21讲函数不等式放缩1．已知函数()xm e f x lnx e=-．（Ⅰ）设1x =是函数()f x 的极值点,求m 的值并讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当2m -时,证明：()0f x >．【解析】（本题满分14分）解：（Ⅰ）1(),(0)x m e f x x e x '=->,1x =是函数()f x 的极值点,即10m e e-=,所以1m =．⋯（2分）于是函数()x x m e e f x lnx lnx e e =-=-,1()x e f x e x'=-, 由()0f x '=,可得1x =,因此,当(0,1)x ∈时,()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时,()0f x '>,所以,函数()f x 在(0,1)上单调递减,在(1,)+∞上单调递增． ⋯（6分）（Ⅱ）当2m -时,对于任意(0,)x ∈+∞,1x e x +恒成立,又(0,)x ∈+∞,x lnx 恒成立, 11x m x x e e e x x lnx -+∴>+>,即x m e lnx ->,0x m e lnx -∴->．即()0f x >．2．已知函数3()x m f x e ln x-=+．（Ⅰ）设1x =是函数()f x 的极值点,求m 的值并讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当2m 时,证明：()3f x ln >．【解析】解：（Ⅰ）3()x m f x e ln x-=+, 0x ∴>,1()x m f x e x-'=-, 1x =是函数()f x 的极值点,f ∴'（1）110m e -=-=,解得1m =．13()x f x e ln x-∴=+,定义域为0x >, 11()x f x e x -'=-,121()0x f x e x-''=+>, 1x ∴=是()0f x '=的唯一零点,∴当(0,1)x ∈时,()0f x '<,函数()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时,()0f x '>,函数()f x 单调递增．（Ⅱ）证明：当2m ,(0,)x ∈+∞时,2x m x e e --,又1x e x +,21x m x e e x --∴-．取函数3()1h x x ln x =-+,(0)x >,1()1h x x'=-, 当01x <<时,()0h x '<,()h x 单调递减；当1x >时,()0h x '>,()h x 单调递增,得函数()h x 在1x =时取唯一的极小值即最小值为h （1）3ln =．2333()13x m x f x e ln e ln x ln ln x x x--∴=+---, 而上式三个不等号不能同时成立,故()3f x ln >．3．已知函数()(2)x m f x e ln x -=-．（Ⅰ）设1x =是函数()f x 的极值点,求m 的值并讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当2m 时,证明：()2f x ln >-．【解析】（Ⅰ）解：()(2)x m f x e ln x -=-,1()x m f x e x-∴'=-, 由1x =是函数()f x 的极值点得f '（1）0=,即110m e --=,1m ∴=． ⋯（2分）于是1()(2)x f x e ln x -=-,11()x f x e x -'=-, 由121()0x f x e x -''=+>知()f x '在(0,)x ∈+∞上单调递增,且f '（1）0=, 1x ∴=是()0f x '=的唯一零点．⋯（4分）因此,当(0,1)x ∈时,()0f x '<,()f x 递减；(1,)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 递增,∴函数()f x 在(0,1)上单调递减,在(1,)+∞上单调递增．⋯（6分）（Ⅱ）证明：当2m ,(0,)x ∈+∞时,2x m x e e --,又1x e x +,21x m x e e x --∴-． ⋯（8分）取函数()1(2)(0)h x x ln x x =-->,1()1h x x'=-, 当01x <<时,()0h x '<,()h x 单调递减；当1x >时,()0h x '>,()h x 单调递增,得函数()h x 在1x =时取唯一的极小值即最小值为h （1）2ln =-． ⋯（12分）2()(2)(2)1(2)2x m x f x e ln x e ln x x ln x ln --∴=-----,而上式三个不等号不能同时成立,故()2f x ln >-．⋯（14分）4．设1a >,函数2()(1)x f x x e a =+-（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：()f x 在R 上仅有一个零点；（3）若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行,且在点(,)M m n 处的切线与直线OP 平行(O 是坐标原点）,证明：132()1m a e--．【解析】解：（1）22()(21)(1)x x f x e x x e x '=++=+,()0f x ∴',2()(1)x f x x e a ∴=+-在(,)-∞+∞上为增函数．（2）证明：(0)1f a =-,1a >,10a ∴-<,即(0)0f <, ()(1)(1)f a aa a =+-=+-,1a >,∴1>,10->,即0f >,且由（1）问知函数在(,)-∞+∞上为增函数,()f x ∴在(,)-∞+∞上有且只有一个零点．（3）证明：2()(1)x f x e x '=+,设点0(P x ,0)y 则）020()(1)x f x e x '=+,()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行,0()0f x ∴'=,即：020(1)0x e x +=,01x ∴=-,将01x =-代入()y f x =得02y a e=-． 221a e kop a e -∴==--,2()(1)2f m em m a e∴'=+=-, 要证132()1m a e --,即证32(1)m a e+-, 需要证32(1)(1)m m e m ++,即证1m m e +,因此构造函数()(1)m g m e m =-+,则()1m g m e '=-,由()0g m '=得0m =．当(0,)m ∈+∞时,()0g m '>,当(,0)m ∈-∞时,()0g m '<,()g m ∴的最小值为(0)0g =,()(1)0m g m e m ∴=-+,1m e m ∴+,23(1)(1)m e m m ∴++, 即：32(1)a m e-+, 132()1m a e∴--． 5．已知函数2()(21)f x lnx ax a x =+++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a <时,证明：3()24f x a--．【解析】（1）解：因为2()(21)f x lnx ax a x =+++,求导212(21)1(21)(1)()2(21)ax a x ax x f x ax a x x x+++++'=+++==,(0)x >, ①当0a =时,1()10f x x'=+>恒成立,此时()y f x =在(0,)+∞上单调递增； ②当0a >,由于0x >,所以(21)(1)0ax x ++>恒成立,此时()y f x =在(0,)+∞上单调递增； ③当0a <时,令()0f x '=,解得：12x a =-．因为当(0x ∈,1)()02f x a -'>、当1(2x a∈-,)()0f x +∞'<,所以()y f x =在1(0,)2a-上单调递增、在1(2a -,)+∞上单调递减．综上可知：当0a 时()f x 在(0,)+∞上单调递增,当0a <时,()f x 在1(0,)2a-上单调递增、在1(2a -,)+∞上单调递减；（2）证明：由（1）可知：当0a <时()f x 在1(0,)2a -上单调递增、在1(2a -,)+∞上单调递减, 所以当12x a =-时函数()y f x =取最大值111()()12()24max f x f ln ln a a a=-=---+-．从而要证3()24f x a --,即证13()224f a a ---, 即证11312()244ln ln a a a ---+---,即证111()()122ln ln a a--+--+．令1t a=-,则0t >,问题转化为证明：1122t lnt ln -+-+．(*)⋯ 令1()2g t t lnt =-+,则11()2g t t '=-+, 令()0g t '=可知2t =,则当02t <<时()0g t '>,当2t >时()0g t '<,所以()y g t =在(0,2)上单调递增、在(2,)+∞上单调递减,即()g t g （2）122122ln ln =-⨯+=-+,即(*)式成立, 所以当0a <时,3()24f x a--成立． 6．已知函数()(x f x e x e =-为自然对数的底数）．（1）求函数()f x 的最小值；（2）若*n N ∈,证明：121()()()()1n n n n n n e n n n n e -++⋯++<-．【解析】解：（1）()x f x e x =-,()1x f x e '∴=-,令()0f x '=,得0x =．∴当0x >时,()0f x '>,当0x <时,()0f x '<．∴函数()x f x e x =-在区间(,0)-∞上单调递减, 在区间(0,)+∞上单调递增．∴当0x =时,()f x 有最小值1．（2）证明：由（1）知,对任意实数x 均有1x e x -,即1x x e +．令*(k x n N n=-∈,1k =,2,1)n -, 则01k n k e n-<-,∴(1)()(1,2,1)k n n k n k e e k n n ---==-．即()(1,2,1)n k n k e k n n --=-．()1n n n=, ∴(1)(2)21121()()()()1n n n n n n n n e e e e n n n n-------++⋯++++⋯⋅+++．(1)(2)2111111111n n n e e e e e e e e e ----------++⋯+++=<=---, ∴121()()()()1n n n n n n e n n n n e -++⋯++<-． 7．已知函数()(x f x e x e =-为自然对数的底数）．（1）求()f x 的最小值；（2）设不等式()f x ax >的解集为P ,且{|02}x x P ⊆,求实数a 的取值范围；（3）设*n N ∈,证明：1()1nn k k e n e =<-∑．【解析】（Ⅰ）解：()f x 的导数()1x f x e '=-．令()0f x '>,解得0x >；令()0f x '<,解得0x <．从而()f x 在(,0)-∞内单调递减,在(0,)+∞内单调递增．所以,当0x =时,()f x 取得最小值1．（Ⅱ）解：因为不等式()f x ax >的解集为P ,且{|02}x x P ⊆,所以对于任意[0x ∈,2],不等式()f x ax >恒成立．由()f x ax >,得(1)x a x e +<．当0x =时,上述不等式显然成立,故只需考虑(0x ∈,2]的情况．将(1)xa x e +<变形为1xe a x <-, 令()1x e g x x =-,则()g x 的导数2(1)()xx e g x x -'=, 令()0g x '>,解得1x >；令()0g x '<,解得1x <．从而()g x 在(0,1)内单调递减,在(1,2)内单调递增．当1x =时,()g x 取得最小值1e -,实数a 的取值范围是(,1)e -∞-．（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）得,对于任意x R ∈,都有1x e x -,即1x x e +．令*(,1,2,1)i x n N i n n=-∈=-,则01i n i e n -<-<．∴(1)()(1i n n i n i e e i n ---<==,2,1)n -, 即()(1n i n i e i n --<=,2,1)n -．∴(1)(2)11121()()()()()1n n n n n n n n k k n n e e e nn n n n -----=-=++++<++++∑．(1)(2)111111111n n n e e e e e e e e ---------++++=<=---,∴1()1n n k k e n e =<-∑． 8．已知函数()(1)(1)(0)f x xln x a x x =+-+>,其中a 为实常数．（1）若函数2()()01x g x f x x'=-+定义域内恒成立,求a 的取值范围；（2）证明：当0a =时,2()1f x x ；（3）求证：111111(1)123123ln n n n++⋯+<+<+++⋯++．【解析】解：（1）由题意()(1),[0,)1x g x ln x a x x =+--∈+∞+ 则2211()01(1)(1)x g x x x x '=-=+++ 即()g x 在[0,)+∞上单调递增,(0)0a g =,(a ∴∈-∞,0]；（2）即证(1)ln x x +,[0x ∈,)+∞,设()(1)(0)h x ln x x x =+->, ∴11()1011h x x x-'=-=++ ()h x ∴在[0,)+∞上单调递减,()(0)0h x h ∴=,(1)ln x x ∴+,[0x ∈,)+∞；（3）利用(1)1x ln x x x ++,[0x ∈,)+∞, 令1x n=,得： 11(1)1ln n lnn n n<+-<+, 11(1)1lnn ln n n n <--<-, ⋯,12112ln ln <-<, 累加得：111111(1)123123ln n n n++⋯+<+<+++⋯++, ∴当0a =时,2()1f x x； 9．已知函数1()(0)x f x lnx a ax -=+≠ （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()0f x 在(0,)+∞上恒成立,求a 的取值范围；（3）求证：*111123()1233ln ln n N n n n n<+++⋯+<∈+++ 【解析】解：（1）因为函数1()x f x lnx ax -=+,其定义域为(0,)+∞ 所以211()[]()x a x f x lnx ax ax --'='+'= 即21()ax f x ax -'= 当0a <时,增区间为(0,)+∞；当0a >时,减区间为1(0,)a ,增区间为1(a,)+∞ （2）1︒当0a <时,函数增区间为(0,)+∞,此时不满足()0f x 在(0,)+∞上恒成立；2︒当0a >时,函数减区间为1(0,)a ,增区间为1(a,)+∞, 要使()0f x 在(0,)+∞上恒成立, 只需1()0f a即可, 即110lna a--, 令g （a ）11lna a =--(0)a > 则g '（a ）221110a a a a-=-==, 解得1a =,因此g （a ）在(0,1)单调递增,在(1,)+∞上单调递减,所以当1a =时,g （a ）取最大值0,故()0f x 在(0,)+∞上恒成立,当且仅当1a =时成立,即1a =；（3）由（2）知,令1k x k +=时,*11()(1)0()1k f ln k lnk k N k k +=-++->∈+∴*1(1)()1ln k lnk k N k <+-∈+ ∴111131233ln n n n n+++⋯+<+++ 令1k x k =+,则*1()(1)0()1k f ln k lnk k N k k =-++>∈+ ∴*1(1)()ln k lnk k N k>+-∈ ∴111121233ln n n n n<+++⋯++++ 综上1111231233ln ln n n n n <+++⋯+<+++成立． 10．已知函数2()(1)f x ln x ax =++,其中a 为不大于零的常数．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：*222111(1)(1)(1)(242ne n N ++⋅⋯⋅+<∈,e 为自然对数的底数）．【解析】解：（1）22222()11x ax x a f x a x x ++'=+=++,（1分） ①当0a =时,()020f x x '>⇔>,即0x >,()020f x x '<⇔<,即0x <,()f x ∴在(0,)+∞单调递增,在(,0)-∞单调递减；（3分） ②当00a <⎧⎨⎩,即1a -时,()0f x '对x R ∈恒成立, ()f x ∴在(,)-∞+∞上单调递减；（5分）③当10a -<<时,2()020f x ax x a x '>⇔++>⇔<<,2()020f x ax x a x '<⇔++<⇔<或x >,∴()f x ⎝⎭在上单调递增,在(-∞和)+∞上单调递减；（7分）综上所述,当1a -时,()f x 在(,)-∞+∞上单调递减,当10a -<<时,()f x 在上单调递增,在(-∞和)+∞上单调递减．当0a =时,()f x 在(0,)+∞单调递增,在(,0)-∞上单调递减；（8分）（2）由（1）知,当1a =-时,()f x 在(,)-∞+∞上单调递减,当(0,)x ∈+∞时,由()(0)0f x f <=得：2(1)ln x x +<,（10分） ∴22222211(1)111111111122[(1)(1)(1)](1)(1)(1)(1)11242242242212n n n n n ln ln ln ln lne -++⋅⋯⋅+=++++⋯++<++⋯+==-<=-, ∴222111(1)(1)(1)242ne ++⋅⋯⋅+<（14分） 11．已知函数2()f x alnx x =+,其中a R ∈．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时,证明：2()1f x x x +-；（3）求证：对任意的*n N ∈且2n ,都有：22221111(1)(1)(1)(1)234e n+++⋯+<．（其中 2.7183e ≈为自然对数的底数）．【解析】解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞,22()2a a x f x x x x+'=+=, ①当0a 时,()0f x '>,所以()f x 在(0,)+∞上单调递增,②当0a <时,令()0f x '=,解得x =．当0x <<,220a x +<,所以()0f x '<,所以()f x在上单调递减；当x >时,220a x +>,所以()0f x '>,所以()f x在)+∞上单调递增．综上,当0a 时,函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时,函数()f x在上单调递减,在)+∞上单调递增．（2）当1a =时,2()f x lnx x =+,要证明2()1f x x x +-,即证1lnx x -,即10lnx x -+．即10lnx x -+．设()1g x lnx x =-+则1()x g x x-'=,令()0g x '=得,1x =．当(0,1)x ∈时,()0g x '>,当(1,)x ∈+∞时,()0g x '<．所以1x =为极大值点,也为最大值点所以()g x g （1）0=,即10lnx x -+．故2()1f x x x +-．（3）证明：由（2）1lnx x -,（当且仅当1x =时等号成立）令211x n =+,则2211(1)ln n n +<, 所以222222111111(1)(1)(1)2323ln ln ln n n ++++++<+++ 1111111111111223(1)12231lne n n n n n <++⋯+=-+-+⋯+-=-<=⨯⨯--, 即22221111[(1)(1)(1)(1)]234ln lne n +++⋯+<,所以22221111(1)(1)(1)(1)234e n +++⋯+<。