华北电力大学电网络分析第一章网络元件和网络基本性质
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• 实际电路与电路模型 • 网络的基本表征量 • 多口元件 • 网络变量偶 • 容许信号偶 • 赋定关系 • 网络及其元件的分类依据 ★ 集中性与分布性 ★ 时变性与时不变性 ★ 线性与非线性
1. 实际电百度文库与电路模型
电网络理论是建立在电路模型基础之上的 一门科学，它所研究的直接对象并不是实际电 路，而是实际电路的模型。 • 实际电路： 连接起来构成的整体。 • 电路模型： 实际电路的科学抽象，由理想化的网络 元件连接而成的整体。
例: 3Ω电阻的伏安关系为
u = 3i
{3 cos ωt,cos ωt}
容许信号偶
｛3, 2｝ 不是容许信号偶 对于容许信号偶，一部分看成激励，一部分看 成响应。
6. 赋定关系
元件所有的容许信号偶的集合，称为该元件的赋 定关系（或成分关系）（Constitutive Relation) 如果元件N的赋定关系可以用 ξ ( t ) 和η ( t ) 的代数方 程表示，而不包含他们的微分或积分，称为代数赋定关 系，否则称为动态赋定关系。
2. 非线性电容 （1）压控电容 （2）荷控电容 （3）单调电容
q = C (u )
u = S (q)
q = C (u )
u = S (q)
大多数实际电容器属于此类。如变容二极管
q =Q0 ( eku − 1)
( Q0 < 0 )
（4）多值电容 以铁电物质（如钛酸钡）为介质的电容器呈现滞回现象
三. 电感元件 定义：赋定关系为i和Ψ之间的代数关系的元件 符号：
u = R(t) i u =10i
(3) 线性与非线性
对于元件的任意两组容许信号偶
{u1 (t ) , i1 (t )}
{u2 (t ) , i2 (t )}
及任意两个实常数α和β,如果
{αu1 (t ) + βu2 (t ), αi1 (t ) + βi 2 (t )}
也是该元件的容许信号偶,则称该元件是线性的,否则 是非线性的。 ●线性特性包含了齐次性和叠加性两种性质
n口元件的端口电压、电流列向量
u = [u1 , u2 , , un ]
T
1
i1
1′
i2
2′
0
in
n′
i = [i1 , i2 , , in ]
T
4. 网络变量偶
dΨ (t ) u(t ) = dt
dq(t ) i (t ) = dt
( u ( t ) ,ψ ( t ) ) ( i ( t ) , q ( t ) ) (u (t ) , i (t )) (u (t ) , q (t )) ( i ( t ) ,ψ ( t ) ) (ψ ( t ) , q ( t ) )
(2) 时变性与时不变性
如果对于元件的任一容许信号偶 {u(t ) , i (t )} 和任一实数T，{u(t − T ) , i (t − T )} 也是该元件的 容许信号偶，则该元件是时不变的，否则称为时 变的。
●时变元件的赋定关系中显含有时间变量t ●时不变元件的赋定关系中不显含时间变量t ●电气参数为常量的线性元件是时不变的。
−∞ −∞
t
t
3. 多口元件
• 当流入一个端子的电流恒等于流出另一个端子的电流 时，这一对端子称为一个端口，简称“口”。 • 如果多端元件的端子数为偶数，并且两两能组成端口， 则称该多端元件为多口元件。 • 多端元件和多口元件可以互换
2
i2 i1 i0 in
n
i0 = i1 + i2 + + in
§1-2 基本二端代数元件 i u 电阻元件
电 容 元 件 电 感 元 件
元件的赋定关系为 代数赋定关系
i=
dq dt
u=
dΨ dt
θ ) ∈ {( u, i ) ( u, q ) ( i, Ψ ) ( q, Ψ )} (η，，，，
q
忆阻元件
Ψ
一般分类
• η控元件: θ＝θ(η) • θ控元件： η＝η(θ) • 单调元件： 元件既是η控的,又是θ控的 元件既不是η控的,也不是θ控的 • 多值元件：
微分关系
dΨ (t ) u(t ) = dt
积分关系
Ψ (t ) = u
q( t ) = i
( −1)
= ∫ u(τ )dτ
−∞
t
t
dq(t ) i (t ) = dt
dW (t ) p (t ) = = u (t )i (t ) dt
( −1)
= ∫ i (τ )dτ
−∞
W (t ) = ∫ p(τ )dτ = ∫ u(τ )i (τ )dτ
i
L
u
＋
－
非线性电感
线性电感
分类： 1. 线性电感
Ψ =Li
di dL = u L + i 时变 dt dt di u=L 时不变 dt
2. 非线性电感 （1）流控电感 （2）链控电感
Ψ =L ( i )
i =Γ ( Ψ )
(约夫逊结) i = I 0 sin KΨ
约夫逊结可用于检波、放大、振荡等用途，被广泛用 Ψ 于卫星通信设备中。 （3）单调电感 一般非铁芯线圈的电感模型 属于此类，且具有饱和特性。 （4）多值电感 铁芯线圈的电感模型属于 此类，称为磁滞回线特性 。
f (u (t ) , i (t ) , u
(1)
(t ) , i (t ) , i (t )) = 0
(2) ( −1)
diL ( t ) uL ( t ) = L dt
• 分布元件(Distributed Element)
∂u ∂i − = R0i + L0 ∂x ∂t
∂u ∂i − = G0u + C0 ∂t ∂x
或者
u ≤ 0, i ≥ 0,
ui = 0
一. 电阻元件（续） 分类：（续） 2. 非线性电阻 (4) 多值电阻 （理想二极管、符号电阻）
i
＋
u
i 1 0 -1
符号电阻的电路符号及特性曲线
u
－
1 u>0 u = Sgn(i ) = − 1 u < 0
(5) 零口器和非口器 病态元件(Pathological Elements) • 零口器(Nullator) 零口器在任何时刻t, 元件上 的电压u(t)和电流i(t)都为零。 VAR: 或者
u = Ri + U s
等效为线性电阻与 直流电压源串联
或者
i = Gu + I s
等效为线性电阻与 直流电流源并联
一. 电阻元件（续） 分类：（续） 2. 非线性电阻 (4) 多值电阻 （理想二极管、符号电阻）
i
i
＋
u
－
i = 0 u ≤ 0 u = 0 i ≥ 0
0
u
理想二极管的电路符号及特性曲线
0
Ψ
i
0
i
四. 忆阻元件
发展概况
忆阻器是一种有记忆功能的非线性电阻，其概念最早 由菲律宾出生的美籍华人、著名的国际电路理论科学家L. O. Chua（蔡少棠）于1971年提出。
L. O. Chua. Memristor—the missing circuit element. IEEE Trans. On Circuit Theory, 1971, 18(5): 507 – 519
i
凸电阻
i Is R 1
＋
u
u = R i − I s + (i − I s )
( R, I s )
0
－
u
(2) 压控(Voltage controlled)电阻 i = g ( u ) u-i平面上一个电压值对应着唯一的一个电流值，而 一个电流值可以对应多个电压值。 直流电流源、凹电阻元件、隧道二极管、蔡氏二极 管和绝对值电阻是压控电阻的例子； 开路属于特殊的压控电阻，是线性的。
一. 电阻元件 定义： 赋定关系为u和i之间的代数关系的元件 符号：
R
线性
非线性
分类：1. 线性电阻（可以看成是非线性电阻的一个特例）
u R (t ) ⋅ i (1)时变 =
(2)时不变 u= R ⋅ i
一. 电阻元件（续） 分类：（续） 2. 非线性电阻 (1) 流控(Current controlled)电阻 u = r ( i ) u-i平面上一个电流值对应着唯一的一个电压值， 而一个电压值可以对应多个电流值。 直流电压源和凸电阻元件是流控电阻的例子； 短路属于特殊的流控电阻，它是线性的。
动态相关的网络变量偶 动态无关的网络变量偶
由一对动态无关的网络变量向量构成的向量偶称 为动态无关变量向量偶，记为
(η ,θ ) = {( u, i ) , ( u, q ) , ( i,ψ ) , (ψ , q )}
5. 容许信号偶
在整个时间区间 ( t0 , ∞ ) 里，对n端口（或n+1端） 元件N观测到的一对动态无关变量向量 (η ( t ) ,θ ( t ) ) 称 为N的容许信号偶。
对赋定关系的说明
● 完全表征了该元件的端口电气性能 ● 区分不同类型元件的基本依据 ● 可以用方程、曲线或者一种规定的算法表示 ● 全局赋定关系 与局部赋定关系
7. 网络及其元件的分类依据
(1) 集中性与分布性
集中化假设: 假设任一网络变量信号仅是时间变量t的函数，与空
间变量无关。
集中化条件:
d << λ
i
＋
u
i
0 u
－
u (t ) = i (t ) = 0
u2 + i2 = 0
作用：相当于同时开路和短路，伏安特性在u～i平面上对 应于原点，即只有平面上的原点是零口器的容许信号偶。 注意：零口器提供2个方程。
• 非口器(Norator) 任何时刻t, 元件上的电压u和电流i都是任意值 u＝任意值, i＝任意值 或者
几种理想二端电阻元件 符号及伏安特性 a) 凹电阻 b) 凸电阻 c) 绝对值电阻
d) 符号电阻 e) f) 零器 泛器
二. 电容元件 定义：赋定关系为u和q之间的代数关系的元件 符号：
u
＋ －
i C
线性电容
非线性电容
分类： 1. 线性电容
q＝Cu
d [Cu ] du dC i = C + u 时变 = dt dt dt du 时不变 i = C dt
集中元件(Lumped Element)
在任何时刻,元件任意两个端子之间的电压都是确定的量。 集中元件可用仅含有有限个对端口变量和有限个附加的 内部变量的同一时刻瞬时值的代数、常微分和积分运算的方 程来描述。
(1) 集中性与分布性（续）
• 集中元件(Lumped Element)
uR ( t ) = RiR ( t )
凹电阻
i ＋ U －
U
i
i
G,Es 0 Es
1
G u
0
u
i = G[ u − U s + (u − U s )]
蔡氏二极管（Chua’s Diode）
一. 电阻元件（续） 分类：（续） 2. 非线性电阻 (3) 单调电阻
u = r (i )
i = g (u )
u-i平面上一个电压值对应着唯一的一个电流值，而一个 电流值也唯一的对应一个电压值，电压值和电流值一一对应。 结型二极管和仿射电阻是单调电阻的例子， 其中结型二极管属于严格单增电阻。 仿射电阻：伏安特性曲线为不过原点的直线。它的伏安关系为：
理想化的模型,其端子上的物理量 服从一定的数学规律 客观存在的物理实体
为了某种目的，把电器件按照一定的方式
2. 基本表征量
• 基本变量： 电压 u (t ) 、电流 i (t ) 、电荷q(t ) 和磁链 Ψ (t ) • 基本复合量：功率 p(t ) 和能量 W (t ) • 高阶基本变量：
u
(α )
主要内容
• 网络元件和网络基本性质 • 网络图论基本理论 • 网络的矩阵分析方法 • 网络的状态变量分析方法 • 无源网络的分析方法
第一讲 网络元件和网络 基本性质
主要内容：
• 网络及其元件的基本概念 • 基本二端代数元件 • 高阶基本二端代数元件 • 代数多口元件 • 动态元件和分布参数元件
§ 1-1 网络及其元件的基本概念
i
＋
(u－x)(i－y)＝0
(x,y)∈R 2
u
i
0
－
作用：可视为一个具有任意值的电阻 元件,它的伏安特性曲线布满整个 u～i平面,即平面上任一点都是非 口器的容许信号偶。 注意：非口器不提供方程。
u
零口器和非口器可以用来组成别的元件
由于零口器给出的方程是两个，因此，网络中只要出现一个 零口器，就会是方程数比网络解变量数多一个；同理，由于 非口器不提供元件方程，只要网络中出现一个非口器，方程 数目就比网络解变量数目少一个。所以，在网络中，零口器 和非口器必须成对出现，方程数与网络解变量数才相等，否 则电路就是病态电路。 二端电阻元件是器件建模中使用最广泛的基本元件，大 量电子器件在低频范围都能用二端电阻来模拟。
t
和
tk
i
(β )
t2
(α、， β ≠0
−1
)
x
(k )
dk x = k dt
x
(−k )
=∫
−∞ −∞
∫ ...∫
−∞
x (τ 1 )dτ 1dτ 2 ...dτ k
(α )
( k >0 )
(β ) i ● 基本变量和高阶基本变量又可统一成 u 和 两种
变量 ，其中α和β为任意整数。
• 基本表征量之间的关系
1. 实际电百度文库与电路模型
电网络理论是建立在电路模型基础之上的 一门科学，它所研究的直接对象并不是实际电 路，而是实际电路的模型。 • 实际电路： 连接起来构成的整体。 • 电路模型： 实际电路的科学抽象，由理想化的网络 元件连接而成的整体。
例: 3Ω电阻的伏安关系为
u = 3i
{3 cos ωt,cos ωt}
容许信号偶
｛3, 2｝ 不是容许信号偶 对于容许信号偶，一部分看成激励，一部分看 成响应。
6. 赋定关系
元件所有的容许信号偶的集合，称为该元件的赋 定关系（或成分关系）（Constitutive Relation) 如果元件N的赋定关系可以用 ξ ( t ) 和η ( t ) 的代数方 程表示，而不包含他们的微分或积分，称为代数赋定关 系，否则称为动态赋定关系。
2. 非线性电容 （1）压控电容 （2）荷控电容 （3）单调电容
q = C (u )
u = S (q)
q = C (u )
u = S (q)
大多数实际电容器属于此类。如变容二极管
q =Q0 ( eku − 1)
( Q0 < 0 )
（4）多值电容 以铁电物质（如钛酸钡）为介质的电容器呈现滞回现象
三. 电感元件 定义：赋定关系为i和Ψ之间的代数关系的元件 符号：
u = R(t) i u =10i
(3) 线性与非线性
对于元件的任意两组容许信号偶
{u1 (t ) , i1 (t )}
{u2 (t ) , i2 (t )}
及任意两个实常数α和β,如果
{αu1 (t ) + βu2 (t ), αi1 (t ) + βi 2 (t )}
也是该元件的容许信号偶,则称该元件是线性的,否则 是非线性的。 ●线性特性包含了齐次性和叠加性两种性质
n口元件的端口电压、电流列向量
u = [u1 , u2 , , un ]
T
1
i1
1′
i2
2′
0
in
n′
i = [i1 , i2 , , in ]
T
4. 网络变量偶
dΨ (t ) u(t ) = dt
dq(t ) i (t ) = dt
( u ( t ) ,ψ ( t ) ) ( i ( t ) , q ( t ) ) (u (t ) , i (t )) (u (t ) , q (t )) ( i ( t ) ,ψ ( t ) ) (ψ ( t ) , q ( t ) )
(2) 时变性与时不变性
如果对于元件的任一容许信号偶 {u(t ) , i (t )} 和任一实数T，{u(t − T ) , i (t − T )} 也是该元件的 容许信号偶，则该元件是时不变的，否则称为时 变的。
●时变元件的赋定关系中显含有时间变量t ●时不变元件的赋定关系中不显含时间变量t ●电气参数为常量的线性元件是时不变的。
−∞ −∞
t
t
3. 多口元件
• 当流入一个端子的电流恒等于流出另一个端子的电流 时，这一对端子称为一个端口，简称“口”。 • 如果多端元件的端子数为偶数，并且两两能组成端口， 则称该多端元件为多口元件。 • 多端元件和多口元件可以互换
2
i2 i1 i0 in
n
i0 = i1 + i2 + + in
§1-2 基本二端代数元件 i u 电阻元件
电 容 元 件 电 感 元 件
元件的赋定关系为 代数赋定关系
i=
dq dt
u=
dΨ dt
θ ) ∈ {( u, i ) ( u, q ) ( i, Ψ ) ( q, Ψ )} (η，，，，
q
忆阻元件
Ψ
一般分类
• η控元件: θ＝θ(η) • θ控元件： η＝η(θ) • 单调元件： 元件既是η控的,又是θ控的 元件既不是η控的,也不是θ控的 • 多值元件：
微分关系
dΨ (t ) u(t ) = dt
积分关系
Ψ (t ) = u
q( t ) = i
( −1)
= ∫ u(τ )dτ
−∞
t
t
dq(t ) i (t ) = dt
dW (t ) p (t ) = = u (t )i (t ) dt
( −1)
= ∫ i (τ )dτ
−∞
W (t ) = ∫ p(τ )dτ = ∫ u(τ )i (τ )dτ
i
L
u
＋
－
非线性电感
线性电感
分类： 1. 线性电感
Ψ =Li
di dL = u L + i 时变 dt dt di u=L 时不变 dt
2. 非线性电感 （1）流控电感 （2）链控电感
Ψ =L ( i )
i =Γ ( Ψ )
(约夫逊结) i = I 0 sin KΨ
约夫逊结可用于检波、放大、振荡等用途，被广泛用 Ψ 于卫星通信设备中。 （3）单调电感 一般非铁芯线圈的电感模型 属于此类，且具有饱和特性。 （4）多值电感 铁芯线圈的电感模型属于 此类，称为磁滞回线特性 。
f (u (t ) , i (t ) , u
(1)
(t ) , i (t ) , i (t )) = 0
(2) ( −1)
diL ( t ) uL ( t ) = L dt
• 分布元件(Distributed Element)
∂u ∂i − = R0i + L0 ∂x ∂t
∂u ∂i − = G0u + C0 ∂t ∂x
或者
u ≤ 0, i ≥ 0,
ui = 0
一. 电阻元件（续） 分类：（续） 2. 非线性电阻 (4) 多值电阻 （理想二极管、符号电阻）
i
＋
u
i 1 0 -1
符号电阻的电路符号及特性曲线
u
－
1 u>0 u = Sgn(i ) = − 1 u < 0
(5) 零口器和非口器 病态元件(Pathological Elements) • 零口器(Nullator) 零口器在任何时刻t, 元件上 的电压u(t)和电流i(t)都为零。 VAR: 或者
u = Ri + U s
等效为线性电阻与 直流电压源串联
或者
i = Gu + I s
等效为线性电阻与 直流电流源并联
一. 电阻元件（续） 分类：（续） 2. 非线性电阻 (4) 多值电阻 （理想二极管、符号电阻）
i
i
＋
u
－
i = 0 u ≤ 0 u = 0 i ≥ 0
0
u
理想二极管的电路符号及特性曲线
0
Ψ
i
0
i
四. 忆阻元件
发展概况
忆阻器是一种有记忆功能的非线性电阻，其概念最早 由菲律宾出生的美籍华人、著名的国际电路理论科学家L. O. Chua（蔡少棠）于1971年提出。
L. O. Chua. Memristor—the missing circuit element. IEEE Trans. On Circuit Theory, 1971, 18(5): 507 – 519
i
凸电阻
i Is R 1
＋
u
u = R i − I s + (i − I s )
( R, I s )
0
－
u
(2) 压控(Voltage controlled)电阻 i = g ( u ) u-i平面上一个电压值对应着唯一的一个电流值，而 一个电流值可以对应多个电压值。 直流电流源、凹电阻元件、隧道二极管、蔡氏二极 管和绝对值电阻是压控电阻的例子； 开路属于特殊的压控电阻，是线性的。
一. 电阻元件 定义： 赋定关系为u和i之间的代数关系的元件 符号：
R
线性
非线性
分类：1. 线性电阻（可以看成是非线性电阻的一个特例）
u R (t ) ⋅ i (1)时变 =
(2)时不变 u= R ⋅ i
一. 电阻元件（续） 分类：（续） 2. 非线性电阻 (1) 流控(Current controlled)电阻 u = r ( i ) u-i平面上一个电流值对应着唯一的一个电压值， 而一个电压值可以对应多个电流值。 直流电压源和凸电阻元件是流控电阻的例子； 短路属于特殊的流控电阻，它是线性的。
动态相关的网络变量偶 动态无关的网络变量偶
由一对动态无关的网络变量向量构成的向量偶称 为动态无关变量向量偶，记为
(η ,θ ) = {( u, i ) , ( u, q ) , ( i,ψ ) , (ψ , q )}
5. 容许信号偶
在整个时间区间 ( t0 , ∞ ) 里，对n端口（或n+1端） 元件N观测到的一对动态无关变量向量 (η ( t ) ,θ ( t ) ) 称 为N的容许信号偶。
对赋定关系的说明
● 完全表征了该元件的端口电气性能 ● 区分不同类型元件的基本依据 ● 可以用方程、曲线或者一种规定的算法表示 ● 全局赋定关系 与局部赋定关系
7. 网络及其元件的分类依据
(1) 集中性与分布性
集中化假设: 假设任一网络变量信号仅是时间变量t的函数，与空
间变量无关。
集中化条件:
d << λ
i
＋
u
i
0 u
－
u (t ) = i (t ) = 0
u2 + i2 = 0
作用：相当于同时开路和短路，伏安特性在u～i平面上对 应于原点，即只有平面上的原点是零口器的容许信号偶。 注意：零口器提供2个方程。
• 非口器(Norator) 任何时刻t, 元件上的电压u和电流i都是任意值 u＝任意值, i＝任意值 或者
几种理想二端电阻元件 符号及伏安特性 a) 凹电阻 b) 凸电阻 c) 绝对值电阻
d) 符号电阻 e) f) 零器 泛器
二. 电容元件 定义：赋定关系为u和q之间的代数关系的元件 符号：
u
＋ －
i C
线性电容
非线性电容
分类： 1. 线性电容
q＝Cu
d [Cu ] du dC i = C + u 时变 = dt dt dt du 时不变 i = C dt
集中元件(Lumped Element)
在任何时刻,元件任意两个端子之间的电压都是确定的量。 集中元件可用仅含有有限个对端口变量和有限个附加的 内部变量的同一时刻瞬时值的代数、常微分和积分运算的方 程来描述。
(1) 集中性与分布性（续）
• 集中元件(Lumped Element)
uR ( t ) = RiR ( t )
凹电阻
i ＋ U －
U
i
i
G,Es 0 Es
1
G u
0
u
i = G[ u − U s + (u − U s )]
蔡氏二极管（Chua’s Diode）
一. 电阻元件（续） 分类：（续） 2. 非线性电阻 (3) 单调电阻
u = r (i )
i = g (u )
u-i平面上一个电压值对应着唯一的一个电流值，而一个 电流值也唯一的对应一个电压值，电压值和电流值一一对应。 结型二极管和仿射电阻是单调电阻的例子， 其中结型二极管属于严格单增电阻。 仿射电阻：伏安特性曲线为不过原点的直线。它的伏安关系为：
理想化的模型,其端子上的物理量 服从一定的数学规律 客观存在的物理实体
为了某种目的，把电器件按照一定的方式
2. 基本表征量
• 基本变量： 电压 u (t ) 、电流 i (t ) 、电荷q(t ) 和磁链 Ψ (t ) • 基本复合量：功率 p(t ) 和能量 W (t ) • 高阶基本变量：
u
(α )
主要内容
• 网络元件和网络基本性质 • 网络图论基本理论 • 网络的矩阵分析方法 • 网络的状态变量分析方法 • 无源网络的分析方法
第一讲 网络元件和网络 基本性质
主要内容：
• 网络及其元件的基本概念 • 基本二端代数元件 • 高阶基本二端代数元件 • 代数多口元件 • 动态元件和分布参数元件
§ 1-1 网络及其元件的基本概念
i
＋
(u－x)(i－y)＝0
(x,y)∈R 2
u
i
0
－
作用：可视为一个具有任意值的电阻 元件,它的伏安特性曲线布满整个 u～i平面,即平面上任一点都是非 口器的容许信号偶。 注意：非口器不提供方程。
u
零口器和非口器可以用来组成别的元件
由于零口器给出的方程是两个，因此，网络中只要出现一个 零口器，就会是方程数比网络解变量数多一个；同理，由于 非口器不提供元件方程，只要网络中出现一个非口器，方程 数目就比网络解变量数目少一个。所以，在网络中，零口器 和非口器必须成对出现，方程数与网络解变量数才相等，否 则电路就是病态电路。 二端电阻元件是器件建模中使用最广泛的基本元件，大 量电子器件在低频范围都能用二端电阻来模拟。
t
和
tk
i
(β )
t2
(α、， β ≠0
−1
)
x
(k )
dk x = k dt
x
(−k )
=∫
−∞ −∞
∫ ...∫
−∞
x (τ 1 )dτ 1dτ 2 ...dτ k
(α )
( k >0 )
(β ) i ● 基本变量和高阶基本变量又可统一成 u 和 两种
变量 ，其中α和β为任意整数。
• 基本表征量之间的关系