第7章 扭转变形

形前后转过的角度，同时 φ角也可表示右端面相对于左端面所转过的
角度的大小（左端面在变形前后转过的角度为0）。所以扭转变形的
变形量大小是用扭转变形后两个横截面间绕轴线的相对扭转角 φ来度
量的。
图7-13
第7章 扭转变形

圆轴扭转时，相距为l的任意两个橫截面之间的相对扭转角 φ可
使用用下规式范来计说算明（推导过程从略）。
轴横截面上切应力的分布情况，可知危险截面上的应力大小和该点到
圆心的距离成正比。所以在横截面上存在危险点，即应力值最大的点
。为保证圆轴具有足够的扭转强度，轴的危险点的工作应力就不能超
过材料的许用切应力[ τ ] ，故等直圆轴扭转的强度条件为

对于阶梯轴，由于 Wp各处不相等，所以最大的工作切应力 τmax
么应该分段计算各段的扭转角，然后叠加。
第7章 扭转变形
使7用.3规.2范说圆明轴扭转时的刚度计算

轴类零件除应满足强度要求外，还应满足刚度要求，即不允许轴
有过大的扭转变形。工程中常采用单位长度的相对扭转角 θ来限制轴
的扭转变形的程度，从而使扭转变形量的表达式中消除长度l的影响
，即

这样求得的 θ的单位为弧度 /米（rad /m）。在工程中， θ 的单
偶矩。这个内力偶矩称为扭矩，用符号T表示，单位为N·m。

当有多个外力偶同时作用时，由截面法分析不难发现：某一所求
截面上的扭矩 等于所求截面任一侧（左侧或右侧）所有外力偶的力 偶矩的代数和。
第7章 扭转变形
为了使从左、右两部分求得的同一截面上的扭矩正负号也相同，
使对用扭规矩范的正说负明号规定如下：按右手螺旋法则，使右手的拇指与其余四
第7章 扭转变形
使7用.2规范圆说轴明 扭转时的应力与强度计算
7.2.1 圆轴扭转时的应力

进行圆轴扭转强度计算时，当求出横截面上的扭矩后，还应进一
步研究横截面上的应力分布规律，以便求出最大应力。
为了观察圆轴的扭转变形，在圆轴表面上画出许多间距很小且相等的 纵向线和垂直于杆轴线的圆周线，如图7-9所示。
不一定发生在最大扭矩所在的截面上，因此需综合考虑扭矩T和 两个
因素来确定。
第7章 扭转变形
使7用.3规范圆说轴明 扭转时的变形与刚度计算
7.3.1 圆轴扭转时的变形

如图7-13所示，在圆轴扭转时，若我们事先在轴的右端面圆周上
做一个记号点A，则在图示的受力情况下，A点将绕轴线转到B点，若
把AB弧所对应的圆心角记作φ ，那么φ 角即表示圆轴的右端面在变
指垂直，四指弯曲的方向与扭矩的转向一致，握住轴线，则大拇指的 指向背离所求截面的扭矩取正值，指向所求截面的扭矩取负值，简称 “背离截面取正，指向截面取负”。
7.1.4 扭矩图
若圆轴上同时受几个外力偶作用时，则各段轴截面上的扭矩就不 完全相等，这时必须分段来求。为了确定最大扭矩及其所在截面的位 置，通常是将扭矩随截面位置变化的规律用图形表示出来，即以横坐 标表示截面位置，以纵坐标表示扭矩的大小，将扭矩按比例画到这个 坐标系上而形成的图形称为扭矩图。

式中：T——所求段圆轴橫截面上的扭矩；

Ip——所求段圆轴橫截面上的极惯性矩；

G——材料的切变模量。

相对扭转角 的单位为弧度（rad）。

由此可见扭转角 与扭矩 和轴的长度l成正比，与GIp成反比。GIp
反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度。

如果两截面之间的扭矩 值有变化，或轴的直径或材料不同，那
工程力学
第7章 扭转变形
使7用.1规范扭说转明 的概念、外力偶矩和扭矩
7.1.1 扭转的概念

在日常生活和工程实际中，有很多承受扭转变形的构件。例如
图7-1所示的汽车转向轴，当汽车转向时，驾驶员在方向盘上施加主
动力偶的作用，转向器则在转向轴的下端施加一阻力偶的作用，使转
向轴产生扭转变形。再如图7-2所示的汽车传动轴AB，在汽车运动过
图7-9
第7章 性矩；Wp称为扭转截面系数。
它们的计算公式见表7-1。
表7-１ 圆截面对截面形心的极惯性矩和扭转截面系数计算公式
第7章 扭转变形
使7用.2规.2范说圆明轴扭转时的强度计算

圆轴扭转时，产生最大切应力的横截面称为扭转危险截面。考虑
使7用.1规.3范说扭明矩

圆轴在外力偶矩作用下产生扭转变形时，横截面上必将产生内力
，仍然采用截面法来研究。如图7-5a所示的圆轴，在两端受一对大小
相等，转向相反的外力偶矩 作用而产生扭转变形，并处于平衡状态
。现用一假想的截面 将轴切成两段，取其中任一段（如左段）为研
究对象，如图7-5b所示。因为原来的轴是处于平衡状态的，所以切开 后的任意一段也应处于平衡状态。所以在截面 上必然存在一个内力
位习惯上用度 /米（ ° /m）表示，所以把公式中的弧度换算为度，
得
谢谢
一对力偶矩大小相等、转向相反、作用面与轴线垂直的外力偶的作用
，其变形特点为介于两外力偶作用面之间的杆的各横截面都绕轴线发
生了相对转动，这种变形称为扭转变形。以扭转变形为主的构件统称
为轴。
第7章 扭转变形
使7用.1规.2范说外明力偶矩的计算

在工程实际中，通常并不直接给出作用在轴上的外力偶矩的大小
。例如图7-4所示的轴AB，通常是已知轴所传递的功率P和轴的转速n
。由此我们可以推出作用于轴上的外力偶矩 Me的计算公式

式中:Me ——外力偶矩，单位为牛顿·米（N·m）。

P——轴传递的功率，单位为千瓦（kW）。

n——轴的转速，单位为转/分（r/min）。
第7章 扭转变形
图7-4
第7章 扭转变形
程中，发动机给传动轴施加一个主动力偶的作用，而后桥则给传动轴
施加一个阻力偶的作用，从而使传动轴产生扭转变形。此外，还有如
两手拧毛巾、用钥匙开门等等。
第7章 扭转变形
图7-1
图7-2
第7章 扭转变形

上述杆件的受力情况，可以简化为如图7-3所示的计算简图。
使用规范说明
图7-3

由图7-3可以看出：受扭转变形的杆件，其受力特点为杆件受到