第7章 扭转变形
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材料力学-扭转
8
从圆轴中取一微小的正六面体（单元体）， 其对称两面上的剪应力构成一个力偶，因此 另两个对称面上也必存在转向相反的、由 剪应力构成的力偶。由此得出， 剪应力互等定理： 两个相互垂直的截面上，在其相交处的 剪应力成对存在，且其数值相等而符号相反， 指向或背离交线。 剪应力符号规定： 使单元体产生顺时针方向转动趋势时的剪应力为正 使单元体产生反时针方向转动趋势时的剪应力为负
§7-4 圆轴扭转时的强度计算
要使圆轴杆件扭转时不致产生破坏，应满足各横截面上的最 大剪应力小于材料的许用剪应力，而最大剪应力发生在扭矩最大 的横截面上的边缘处。设圆周半径为R，则圆轴扭转的强度条件 为：
τmax
T = R ≤ [τ ] Ip
Wp =
Ip R
把与截面尺寸和形状有关的参量归到一个参量，令 T 则有：
T ρ ρ 由此，圆轴扭转时横截面上半径为 处的剪应力为：τ ρ = Ip 4、极惯性矩 I 的计算 p πD 4
dϕ T = dX GI p
I p = ∫ ρ dA
2 A
直径为D的实心轴圆截面： I p = 空心轴圆环截面：I p =
π (D 4 − d 4 )
32
32
例：一轴AB传递的功率为Nk=7.5kw， 转速n=360r/min，轴的AC段为实心圆截面， CB段为空心圆截面，如图。已知D=3cm, d=2cm.试计算AC段横截面边缘处的剪应力 以及CB段横截面上外边缘和内边缘处的剪应力。计算扭矩、惯性矩、应力
Wp
≤ [τ ]
Wp
， 称为抗扭截面系数
Wp = 0.2D3
实心圆：
许用剪应力的确定：料 [τ ] = (0.5 ~ 0.6)[σ] 塑 材 ： 性 一般取 脆 材 ：τ ] = (0.8 ~1.0)[σ] 性 料 [
从圆轴中取一微小的正六面体（单元体）， 其对称两面上的剪应力构成一个力偶，因此 另两个对称面上也必存在转向相反的、由 剪应力构成的力偶。由此得出， 剪应力互等定理： 两个相互垂直的截面上，在其相交处的 剪应力成对存在，且其数值相等而符号相反， 指向或背离交线。 剪应力符号规定： 使单元体产生顺时针方向转动趋势时的剪应力为正 使单元体产生反时针方向转动趋势时的剪应力为负
§7-4 圆轴扭转时的强度计算
要使圆轴杆件扭转时不致产生破坏，应满足各横截面上的最 大剪应力小于材料的许用剪应力，而最大剪应力发生在扭矩最大 的横截面上的边缘处。设圆周半径为R，则圆轴扭转的强度条件 为：
τmax
T = R ≤ [τ ] Ip
Wp =
Ip R
把与截面尺寸和形状有关的参量归到一个参量，令 T 则有：
T ρ ρ 由此，圆轴扭转时横截面上半径为 处的剪应力为：τ ρ = Ip 4、极惯性矩 I 的计算 p πD 4
dϕ T = dX GI p
I p = ∫ ρ dA
2 A
直径为D的实心轴圆截面： I p = 空心轴圆环截面：I p =
π (D 4 − d 4 )
32
32
例：一轴AB传递的功率为Nk=7.5kw， 转速n=360r/min，轴的AC段为实心圆截面， CB段为空心圆截面，如图。已知D=3cm, d=2cm.试计算AC段横截面边缘处的剪应力 以及CB段横截面上外边缘和内边缘处的剪应力。计算扭矩、惯性矩、应力
Wp
≤ [τ ]
Wp
， 称为抗扭截面系数
Wp = 0.2D3
实心圆：
许用剪应力的确定：料 [τ ] = (0.5 ~ 0.6)[σ] 塑 材 ： 性 一般取 脆 材 ：τ ] = (0.8 ~1.0)[σ] 性 料 [
第7章静定结构的位移计算
P
A
ql2/2
B
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
EI Pl/4
MP
q B
l/2
l/2
MP
A
l
m=1
l 3l/4
M
P=1
1/2
M
1 1 Pl 1 Pl 2 B l EI 2 4 2 16EI
1 1 ql 2 3 ql 4 B l l EI 3 2 4 8EI
⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理方法： a）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积 分法求位移； 35 b）当 EI 分段为常数或 M、MP 均非直线时，应分段图乘再叠加。
§3—3计算结构位移的虚力原理
3. 虚拟状态的设置
在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设置相应 的虚拟力状态。
例如:
求△
A
实际状态
AH
求
A
A
1
A
虚拟状态
1
虚拟状态
求△
A
AB
1
B
求
A
AB
B
1
广义力与 广义位移
25
1
虚拟状态
虚拟状态
1
4、静定结构在荷载作用下的位移计算 当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位移△KP， 此时没有支座位移，故式（7—15）为
3. 计算位移的目的 （1）为了校核结构的刚度。
（2）结构制造和施工的需要。
（3）为分析超静定结构打下基础。 另外，结构的稳定和动力计算也以位移为基础。
起拱高度
△
结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为 基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论 静定结构的位移计算。
第7章例题-应力状态-扭转应变
例 直径为 d 的圆轴受外力偶矩 Mt 作用而发生扭转变形。已
知材料的 E, 。为测量 Mt，现测得圆轴表面 K 处，与轴
工 程
线成 45º角的方向的应变 45，建立 Mt 与该应变的关系。
力 学
3. 得到 Mt
Mt
应变片
Mt
第 8
45
1 E
(1
) 16M t d3
d
K 45
例 直径为 d 的圆轴受外力偶矩 Mt 作用而发生扭转变形。已
知材料的 E, 。为测量 Mt，现测得圆轴表面 K 处，与轴
工 程
线成 45º角的方向的应变 45，建立 Mt 与该应变的关系。
力 学
解 1. K 处剪应力
Mt
应变片
Mt
第 8
T
WP
Mt
d3
16M
d3
t
章
16
d
K 45
章
应 力
Mt
d 3E45 16(1 )
状
态
1 45
理
论
与
！
强 度
工程中测量扭矩的方法
3
理 论
1 , 2 0, 3
版权所有
2
张强 钟艳玲
应 力 状 态 理 论 与 强 度 理 论
版权所有 张强 钟艳玲
2. K 处 45º方向应变
45
1 E
[1
( 2
3)] 1 45来自 1 [ (0 )]
E
3
1 (1 )
E
1 E
(1
《工程力学：第七章+圆轴扭转时的应力变形分析与强度和刚度设计》
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
背 景
材
料
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
背 景
材
料
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 一、扭转的概念 复习 Me
mA
阻抗力 偶
主动力 偶
me
受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于杆的轴线。 变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。 主要发生扭转变形的杆——轴。
Mx 16M x 16 1.5kN m 103 max＝ ＝ 3 ＝ ＝50.9MPa 3 4 -3 4 WP πD 1 π 90mm 10 1 0.9传动轴的强度是安全的。
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 2．确定实心轴的直径 根据实心轴与空心轴具有同样数值的最大剪应力的要求， 实心轴横截面上的最大剪应力也必须等于 50.9MPa 。若设实 心轴直径为d1，则有
b b
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 T 一、 扭转强度计算 变截面圆轴: max W [ ] 1、强度条件： p
max
max
对脆性材料 [ ] 对韧性材料 [ ]
b
nb
工程力学第七版电子课件第七章圆轴扭转
第七章 圆轴扭转
§7-1 圆轴扭转的力学模型
在杆件的两端作用两个大小相等、方向相反,且作用平面垂直于杆件轴线的力偶,致使 杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动这样的变形形式称为扭转变形。
§7-1 圆轴扭转的力学模型
工程中把以扭转为主要变形的杆件称为轴, 其中圆形截面的轴称为圆轴,其受力可简化为 如图7-3所示。 工程中的传动轴 (见图7-4)往往只给出轴的转 速n 和轴传递的功率P ,需通过下面的公式确定 外力偶矩:
§7-2 扭矩和扭矩图
二、扭矩图
用横坐标表示轴的各截面位置,纵坐标 表示相应横截面上的扭矩大小。扭矩为正 时,曲线画在横坐标上方;扭矩为负时,曲线 画在横坐标下方,从而得到扭矩随截面位 置而变化的图线,称为扭矩图。
§7-2 扭矩和扭矩图
传动轴上主动轮与从动轮位置不同,轴的最大扭矩数值也不同。显然,从强度 观点看后者较为合理。
§7-3 圆轴扭转时的应力及强度条件
2.扭转应力切应力 根据静力平衡条件,推导出截面上任意点的切应力计算公式:
圆轴扭转时,横截面边缘上各点的切应力最大,其值为
§7-3 圆轴扭转时的应力及强度条件
极惯性矩I ρ 与抗扭截面系数 W n 表示了截面的几何性质,其大小与截面的形状和尺寸有关
§7-3 圆轴扭转时的应力及强度条件
如已知汽车传动轴所传递的功率P=80kW,其转速 n =582r/min,直径d =55mm,材料的许用切应力 [τ ]=50 MPa,试分析并计算下列问题: 1.计算作用在传动轴上的外力偶矩。 2.计算传动轴所受的扭矩。 3.计算传动轴的抗扭截面系数。 4.校核传动轴的强度。
§7-3 圆轴扭转时的应力及强度条件
二、圆轴扭转的强度条件 1.圆轴扭转强度条件
§7-1 圆轴扭转的力学模型
在杆件的两端作用两个大小相等、方向相反,且作用平面垂直于杆件轴线的力偶,致使 杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动这样的变形形式称为扭转变形。
§7-1 圆轴扭转的力学模型
工程中把以扭转为主要变形的杆件称为轴, 其中圆形截面的轴称为圆轴,其受力可简化为 如图7-3所示。 工程中的传动轴 (见图7-4)往往只给出轴的转 速n 和轴传递的功率P ,需通过下面的公式确定 外力偶矩:
§7-2 扭矩和扭矩图
二、扭矩图
用横坐标表示轴的各截面位置,纵坐标 表示相应横截面上的扭矩大小。扭矩为正 时,曲线画在横坐标上方;扭矩为负时,曲线 画在横坐标下方,从而得到扭矩随截面位 置而变化的图线,称为扭矩图。
§7-2 扭矩和扭矩图
传动轴上主动轮与从动轮位置不同,轴的最大扭矩数值也不同。显然,从强度 观点看后者较为合理。
§7-3 圆轴扭转时的应力及强度条件
2.扭转应力切应力 根据静力平衡条件,推导出截面上任意点的切应力计算公式:
圆轴扭转时,横截面边缘上各点的切应力最大,其值为
§7-3 圆轴扭转时的应力及强度条件
极惯性矩I ρ 与抗扭截面系数 W n 表示了截面的几何性质,其大小与截面的形状和尺寸有关
§7-3 圆轴扭转时的应力及强度条件
如已知汽车传动轴所传递的功率P=80kW,其转速 n =582r/min,直径d =55mm,材料的许用切应力 [τ ]=50 MPa,试分析并计算下列问题: 1.计算作用在传动轴上的外力偶矩。 2.计算传动轴所受的扭矩。 3.计算传动轴的抗扭截面系数。 4.校核传动轴的强度。
§7-3 圆轴扭转时的应力及强度条件
二、圆轴扭转的强度条件 1.圆轴扭转强度条件
机械基础——轴的扭转变形和计算(教学教案)
ab图14—17汽车传动轴轴的扭转变形和计算章节名称 轴的扭转变形和计算授课形式讲授课时2班级中专0101教学目的 掌握外力偶矩、转速和功率三者的关系，会计算轴的扭矩，知道圆轴扭转时 横截面上的应力分布规律。
教学重点 会计算轴的扭矩，知道圆轴扭转时 横截面上的应力分布规律。
教学难点 会计算轴的扭矩辅助手段课外作业课后体会机械中的轴类零件往往承受扭转，它 的受力特点是：在垂直于轴线的两个平面内受一对大小相等、方向相反的力偶作用，轴的各横截面都绕其轴线作相对转动，这种变形称为扭转变形。
一、圆轴扭转时横截面上内力的计算图14—18截面法求扭矩l 、外力偶矩：为了求出圆轴扭转时截面上的内力，必须先计算出轴上的外力偶矩，作用在轴上的外力偶矩往往不是直接给出的，而是根据给定的轴的传递功率和轴的转速算出来的，功率、转速和外力偶矩三者间的关系是：M ＝9550 P ／n式中：P ——轴传递的功率(千瓦， KW) n ——轴的转速(转／分， r ／ min) M ——作用在轴上的外力偶矩(牛顿米，Nm)2、扭转时横截面上的内力——扭矩圆轴在外力偶矩的作用下，横截面上产生内力。
求内力的方法仍用截面法。
右图表示装有四个皮带轮的传动轴，在四个带轮上分别作用有主动力偶矩 M 1和从动力偶矩M 2、M 3、M 4，外力偶矩分别为 M 1＝110Nm ，M 2=60Nm ，M 3=20Nm ， M 4=30Nm 。
若计算 AB 段内任一截面上的内力，可假想沿该段内的任一截面1—1将轴截开，取左边部分为研究对象。
如图所示。
为了保证该段的平衡，必须以内力偶矩 Mn 1代替另一部分对被研究部分的作用， Mn 1称为扭矩。
扭矩的正负有如下规定：使右手拇指与截面法线的方向一致，若截面上的扭矩的转向与其它四指的转向相同，则扭矩取正号：反之取负号。
应用截面法时，一般都先假设截面上的扭矩为正。
扭矩的大小用平衡方程Σm=0求得，即AB 段内： Σm=0， M 1十Mn 1＝0Mn 1＝一M 1＝一l10 Nm (设反)图14—19圆轴扭转变形图14—20圆轴的横截 面上剪应力的分布规律BC 段内： Σm ＝0 M 1—M 2＋Mn 2＝0 得 Mn 2＝—50 Nm (设反) CD 段内： Σm ＝0 M 1—M 2—M 3十Mn 3＝0 得 Mn 3＝—30 Nm (设反) 为了清楚地看出各截面上的扭矩变化情况，以便确定危险截面，通常把扭矩随截面位置的变化绘成图形，称为扭矩图。
工程力学 扭转
第7章 扭转7．1 扭转的概念和工程实际中的扭转问题扭转变形是杆件的基本变形之一。
它的外力特点是杆件受力偶作用，力偶作用在与轴线垂直的平面内，如图7-1所示。
杆件的变形特点是：杆件的任意两个横截面围绕其轴线作相对转动，杆件的这种变形形式称为扭转。
扭转时杆件两个横截面绕轴线相对转动的角度称为扭转角（angle of twist ）ϕ。
以扭转变形为主的杆件通常称为轴。
工程上有很多圆截面等直杆，受到一对大小相等、方向相反的外力偶矩作用。
如图7-2所示的驾驶盘轴，在轮盘边缘作用一对方向相反的切向力构成一力偶。
根据平衡条件，在轴的另一端，必存在一反作用力偶，在此力偶矩作用下，各横截面绕轴线作相对旋转。
此轴产生的变形即为扭转变形。
在工程中，受扭杆件是很常见的，比如机械中的传动轴（图7-3）、攻螺纹所用丝锥的锥杆（图7-4）以及钻杆等，它们的主要变形都是扭转，但同时还可能伴随有拉压、弯曲等变形。
如果后者不大，往往可以忽略，或者在初步设计中，暂不考虑这些因素，将其视为扭转构件。
圆轴是最常见的扭转变形构件，本章主要讨论圆轴的扭转。
BAMAB ϕ图7-1图7-2图7-3图7-47. 2 杆件扭转时的内力要研究受扭杆件的应力和变形，首先需要计算杆件横截面上的内力。
一、外力偶矩的计算作用于圆轴上的外力偶矩往往不是直接给出的，通常是给出轴的转速n 和轴所传递的功率P 。
此时需要根据功率、转速、力矩三者之间的关系来计算外力偶矩的大小。
以工程中常用的传动轴为例，已知它所传递的功率P 和转速n ，作用在轴上的外力偶矩可以通过功率P 和转速n 换算得到。
因为功率是每秒钟内所做的功，有602101033πωn M M P e e ⨯⨯=⨯⨯=−− 于是，作用在轴上的外力偶矩为nPM e 9550= (7-1) 式中:M e —作用在轴上的外力偶矩，单位为N·mP —轴传递的功率， 单位为kW ω—转轴的角速度，单位为rad/s n —轴的转速，单位为是r/min 。
第7章 杆件的变形与刚度
32Tmax ⋅180 4 32 × 2000 ×180 d ≥4 = ×103 = 83.5mm G[θ ]⋅ π 2 80 ×109 × 0.3π 2
该圆轴直径应选择：d =83.5mm.
[例2]图示圆轴，已知mA =1.4kN.m， mB =0.6kN.m， mC =0.8kN.m；d1 =40mm，d2 =70mm； l1 =0.2m，l2 =0.4m； [τ]=60MPa，[θ]=1°/m，G=80GPa；试校核该轴的强度和刚 度，并计算两端面的相对扭转角。 mC
D
解：本题应分4段考虑。 π D4 I P1 = I P 2 = 32
d
A
a
1
2
B 3 b b
4
a
C
32 π D3 Wt1 = Wt 2 = 16 d4 π D3 (1 − 4 ) Wt 3 = Wt 4 = 16 D
I P3 = I P 4 =
π
(D4 − d 4 )
0.5kN.m 0.3kN.m 0.8kN.m 4 1 2 3
16mC
⊕
○ 1kN.m
π [τ ]
16 × 2000 3 = ×10 6 π 60 ×10
3
= 55.4mm
mA A
mB
mC
⑵按刚度条件
l1
B l C 2
2kN.m
⊕
○ 1kN.m
θ max = T ⋅ 180 ≤ [θ ] (°/m) GI p π π 4 Tmax 180 IP = d ≥ ⋅ 32 G[θ ] π
d2
mA
d1
mB
解： ⑴按强度校核
C
l2
A l1 B
0.6kN.m
T1 16mB τ1 = = Wt1 π d13 16 × 600 = = 47.7 MPa < [τ ] 3 π ×4
7-内力分析
1. 不论在左侧梁段上或右侧梁段上，向上的外力均将引 起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。
2. 截面左侧梁段上顺时针转向的外力偶引起正值的
弯矩，而逆时针转向的外力偶则引起负值的弯矩；截面右
侧梁段上的外力偶引起的弯矩其正负与之相反。
剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上的剪
力和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力和
(4)画扭矩图 ，如图e
§7-4 弯曲梁的内力
一、关于平面弯曲的概念
受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的
横向外力或外力偶作用。
变形特点： 直杆的轴线在变形后变为平面曲线。
梁——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。
纵向对称面
对称弯曲——外力作
用于梁的纵向对称面内，
因而变形后梁的轴线(挠曲 线)是在该纵对称面内的平 面曲线。
二、 弯曲内力—剪力和弯矩
Ⅰ. 梁的剪力和弯矩(shearing force and bending moment) 图a所示跨度为l的简支梁其
约束力为
Q
FA
F l a , l
FB
Fa l
梁的左段内任一横截面m－ m上的内力，由m－m左边分离 体(图b)的平衡条件可知：
F l a F l a Q FA , M FA x x l l
Fab 。 l
Fb ； 集中荷载 l
4. 讨论 由剪力图可见，在梁上 的集中力(包括集中荷载和约
束力)作用处剪力图有突变，
这是由于集中力实际上是将 作用在梁上很短长度x范围 内的分布力加以简化所致。若将分布力看作在x范围内是 均匀的(图a),则剪力图在x范围内是连续变化的斜直线(图
b)。从而也就可知，要问集中力作用处梁的横截面上的剪
2. 截面左侧梁段上顺时针转向的外力偶引起正值的
弯矩，而逆时针转向的外力偶则引起负值的弯矩；截面右
侧梁段上的外力偶引起的弯矩其正负与之相反。
剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上的剪
力和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力和
(4)画扭矩图 ，如图e
§7-4 弯曲梁的内力
一、关于平面弯曲的概念
受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的
横向外力或外力偶作用。
变形特点： 直杆的轴线在变形后变为平面曲线。
梁——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。
纵向对称面
对称弯曲——外力作
用于梁的纵向对称面内，
因而变形后梁的轴线(挠曲 线)是在该纵对称面内的平 面曲线。
二、 弯曲内力—剪力和弯矩
Ⅰ. 梁的剪力和弯矩(shearing force and bending moment) 图a所示跨度为l的简支梁其
约束力为
Q
FA
F l a , l
FB
Fa l
梁的左段内任一横截面m－ m上的内力，由m－m左边分离 体(图b)的平衡条件可知：
F l a F l a Q FA , M FA x x l l
Fab 。 l
Fb ； 集中荷载 l
4. 讨论 由剪力图可见，在梁上 的集中力(包括集中荷载和约
束力)作用处剪力图有突变，
这是由于集中力实际上是将 作用在梁上很短长度x范围 内的分布力加以简化所致。若将分布力看作在x范围内是 均匀的(图a),则剪力图在x范围内是连续变化的斜直线(图
b)。从而也就可知，要问集中力作用处梁的横截面上的剪
材料力学第七章
若应力状态由主应力表示，并且在max 0 和 min 0 的情况下，则式（7-7） 成为
max min
max
min
2
1 3
2
进一步讨论，由式（7-4）和式（7-6）可知
tan
21
1 tan 20
上式表明1 与 0 之间有如下关系：
1
0
4
可见，切应力取得极值的平面与主平面之间的夹角为 45 。
若三个主应力中，只有一个主应力不等于零，这样的应力状态称为 单向应力状态。若三个主应力中有两个不等于零，称为二向应力状态或 平面应力状态。若三个主应力皆不为零，称为三向应力状态或空间应力 状态。
第二节 平面应力状态分析——解析法
一、斜截面上的应力
图 7-1 所示为平面应力状态的最一般情况。已知 x ， y ， xy 和 yx 。现 在研究图中虚线所示任一斜截面上的应力，设截面上外法向 n 与 x 轴的夹角 为 。
令 d /d 0 ，由式（7-1）可得
x
2
y
sin
2
xy
cos 2
0
解得
（7-3）
tan 20
2 xy x y
通过运算，可以得到斜截面上正应力的极值为
（7-4）
max min
x
y 2
x
2
y
2
2 xy
（7-5）
由式（7-4）可知， 取得极值的角0 有两个，二者相差 90 ，即最大正应 力 max 和最小正应力 min ，二者分别作用在两个相互垂直的截面上。当 0 ， 取得极值时，该斜截面上的切应力 0 ，即正应力就是主应力。
（a）
（b） 图7-6
例 7-4 悬臂梁受力如图 7-7（a）所示。试求截面 n n 上 A 点处的主应力 大小和方向，并按主平面画出单元体。
材料力学 第7章 扭转
Me
T Me
m
m Me
xn
2. 扭矩的符号规定
Me
T
T矢量的方向与截面外法线方 向相同时为正，反之为负。
n
x
T Me
7.2 扭矩和扭矩图
3. 扭矩图 (1) 定义：扭矩随杆轴线变化规律的图线称为扭矩图。 (2) 扭矩图的绘制步骤： ① 确定扭矩随截面位置的变化规律， ② 建立扭矩坐标系， ③ 画扭矩图。
7.2 扭矩和扭矩图
例7-1 已知一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 PA=36kW， 从动轮输出 PB=PC=11kW，PD=14kW，求指定截面的扭矩。
解： 1. 计算外力偶矩
MB
B
MA
9549
PA n
1146(N m)
MC
1
2n
C
A
1
2 MA
MD
3
D
3
M B MC 350N m
7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算
钻杆
7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算
传动轴
第七章 扭转
7.1 引言 7.2 扭矩和扭矩图 7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算 7.4 圆轴扭转时的变形计算和刚度设计
7.4 圆轴扭转时的变形计算和刚度设计
一、圆轴扭转时的变形
dφ T dx GIP dφ T dx
WP
πD13 16
D1
3 16Tmax 3 16 1.5 106
π[ τ ]
π 60
50mm
D1
(2) 空心轴
τ max
Tmax WP
[τ]
WP
πD23 (1 16
α4 )
d2
D2
T Me
m
m Me
xn
2. 扭矩的符号规定
Me
T
T矢量的方向与截面外法线方 向相同时为正，反之为负。
n
x
T Me
7.2 扭矩和扭矩图
3. 扭矩图 (1) 定义：扭矩随杆轴线变化规律的图线称为扭矩图。 (2) 扭矩图的绘制步骤： ① 确定扭矩随截面位置的变化规律， ② 建立扭矩坐标系， ③ 画扭矩图。
7.2 扭矩和扭矩图
例7-1 已知一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 PA=36kW， 从动轮输出 PB=PC=11kW，PD=14kW，求指定截面的扭矩。
解： 1. 计算外力偶矩
MB
B
MA
9549
PA n
1146(N m)
MC
1
2n
C
A
1
2 MA
MD
3
D
3
M B MC 350N m
7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算
钻杆
7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算
传动轴
第七章 扭转
7.1 引言 7.2 扭矩和扭矩图 7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算 7.4 圆轴扭转时的变形计算和刚度设计
7.4 圆轴扭转时的变形计算和刚度设计
一、圆轴扭转时的变形
dφ T dx GIP dφ T dx
WP
πD13 16
D1
3 16Tmax 3 16 1.5 106
π[ τ ]
π 60
50mm
D1
(2) 空心轴
τ max
Tmax WP
[τ]
WP
πD23 (1 16
α4 )
d2
D2
工程力学—扭转变形
第四章 扭转4.1预备知识一、基本概念 1、扭转变形扭转变形是杆件的基本变形之一，扭转变形的受力特点是：杆件受力偶系的作用，这些力偶的作用面都垂直于杆轴。
此时，截面B 相对于截面A 转了一个角度ϕ，称为扭转角。
同时，杆件表面的纵向直线也转了一个角度γ变为螺旋线，γ称为剪切角。
2、外力偶杆件所受外力偶的大小一般不是直接给出时，应经过适当的换算。
若己知轴传递的功率P(kW)和转速n(r/min)，则轴所受的外力偶矩)(9549Nm nPT =。
3、扭矩和扭矩图圆轴扭转时，截面上的内力矩称为扭矩，用T 表示。
扭矩的正负号，按右手螺旋法则判定。
如扭矩矢量与截面外向法线一致，为正扭矩，反之为负；求扭矩时仍采用截面法。
扭矩图是扭矩沿轴线变化图形，与轴力图的画法是相似4、纯剪切 切应力互等定理单元体的左右两个侧面上只有切应力而无正应力，此种单元体发生的变形称为纯剪切。
在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线、方向到共同指向或共同背离积这一交线，这就是切应力互等定理。
5、切应变 剪切虎克定律 对于纯剪切的单元体，其变形是相对两侧面发生的微小错动，以γ来度量错动变形程度，即称切应变。
当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力τ和切应变γ成正比，即τ=G γG 称材料的剪切弹性模量，常用单位是GPa 。
6、圆杆扭转时的应力和强度计算(1) 圆杆扭转时，横截面上的切应力垂直于半径，并沿半径线性分布，距圆心为ρ处的切应力为ρτρpI T =图式中T 为横截面的扭矩，I p 为截面的极惯性矩。
(2) 圆形截面极惯性矩和抗扭截面系数实心圆截面324D I p π=， 163D W p π=（D 为直径） 空心圆截面)1(3244a D I p -=π， )1(1643απ-=D W p （D 为外径，d 为内径，D d /=α）(3)圆杆扭转时横截面上的最大切应力发生在外表面处tW T =max τ 式中W t =I p /R ，称为圆杆抗扭截面系数（或抗抟截面模量）。
物理化学 第七章 扭转课件
1. 实验前： 实验前： ①绘纵向线，圆周线； 绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 Te 。
2. 实验后： 实验后： ①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 圆筒表面的各圆周线的形状、 变，只是绕轴线作了相对转动。 只是绕轴线作了相对转动。 ②各纵向线均倾斜了同一微小角度 γ 。 ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。 提出刚性平面假定。 提出刚性平面假定。
传动轴
M0
y
φAB x M0
z
变形前
汽车转向轴 变形后
7.1 概念及实例
扭转变形
7.1 概念及实例 工程实例
汽车传动轴
汽车方向盘轴
7.1 概念及实例 工程实例
机床的传动轴
7.2 扭矩和扭矩图
一、计算外力偶矩的方法
已知：输出功率－ 或马力） 已知：输出功率－P （KW或马力）轴 或马力 转速－ 转速－n （r/min） ） 力偶矩Te(N.m或KN.m) 求：力偶矩 或 外力偶所作功率： 外力偶所作功率：
FN 图
A
简捷画法2: 简捷画法2:不取分离体画扭矩图 2:不取分离体画扭矩图
截面处扭矩的大小: 截面处扭矩的大小: 等于截面任一侧所有外力 偶矩的代数和。 偶矩的代数和。 外力偶矩符号规定: 外力偶矩符号规定: 规定外力偶矩远离截面为 指向截面为负。 正，指向截面为负。
其中的截面是我们为求轴的内所 画的假想截面。
τ´
b
τ
c
τ
d
使微元或其局 部顺时针方向 转动为正； 转动为正；反 之为负。 之为负。
四、剪切虎克定律： 剪切虎克定律：
ϕ 与 γ 的关系： 的关系：
γ ⋅L =ϕ ⋅R
材料力学第七章课后题答案 弯曲变形
EI
将其相继积分两次，得
q q d 2 w 3qa x x2 x a 4 2 2 dx 2
2
dw 3qa 2 q 3 q 3 x x xa C dx 8 6 6 qa 3 q 4 q 4 EIw x x x a Cx D 8 24 24 EI
3．确定积分常数
(4)
D1 0 ， C1
由条件（4） 、式（a）与（c） ，得
qa 3 12 EI
C2
由条件（3） 、式（b）与（d） ，得
qa 3 3EI
D2
7qa 4 24 EI
3. 计算截面 C 的挠度与转角 将所得积分常数值代入式（c）与（d） ，得 CB 段的转角与挠度方程分别为
q 3 qa 3 x2 6 EI 3EI 3 q qa 7 qa 4 4 w2 x2 x2 24 EI 3EI 24 EI 将 x2=0 代入上述二式，即得截面 C 的转角与挠度分别为
0
EI
将其相继积分两次，得
d2w M e x Me x a dx 2 2 a
0
dw M e 2 x Me x a C dx 4 a M M 2 EIw e x 3 e x a Cx D 12a 2 EI
3．确定积分常数 梁的位移边界条件为：
(a) (b)
(a) (b)
6
梁的位移边界条件为：
在x 0处， w0 在x 2a处， w0 将条件(c)与(d)分别代入式(b)，得
D 0，C 3qa 3 16
(c) (d)
4．建立挠曲轴方程 将所得 C 与 D 值代入式(b),得挠曲轴的通用方程为
1 qa 3 q 4 q [ x x xa EI 8 24 24 由此得 AC 段与 CB 段的挠曲轴方程分别为 w
扭矩的正负号规定为
第7章 剪切与扭转 章
γρ
d =ρ dx
2、物理关系
τ = Gγ
τ ρ = Gγ
ρ
d = Gρ dx
第7章 剪切与扭转 章 3、静力学关系
∫
A
ρτ ρ dA = T
d G dx
∫A
ρ 2 dA = T
∫
A
ρ 2 dA = I p
称截面的极惯性矩
d T = dx GI p
τρ
T ρ = Ip
得到圆轴扭转横截面上 任意点切应力公式 任意点切应力公式
第7章 剪切与扭转 章 7.3 等直圆轴扭转时横截面上的切应力 3 7.3.1 实心圆轴横截面上的应力
1、变形几何关系
变形后，圆轴上所有的横截面均保持为平面， ⑴ 变形后，圆轴上所有的横截面均保持为平面， 即平面假设； 即平面假设； 横截面上的半径仍保持为直线； ⑵ 横截面上的半径仍保持为直线； 各横截面的间距保持不变。 ⑶ 各横截面的间距保持不变。
T2 = M eB M eA
Байду номын сангаас
（图d）
= 143.2 N m - 318.3 N m = -175 N m T3 = M eD = 63.7 N m
（图e）
为负值说明实际方向与假设的相反。 T2、T3为负值说明实际方向与假设的相反。 2、作扭矩图
T max = 175N m
第7章 剪切与扭转 章
T Tl = ∫ d = ∫ dx = l l GI GI p p
第7章 剪切与扭转 章
称为圆轴扭转刚度 扭转刚度， 式中 GI p称为圆轴扭转刚度， 它表示轴抵抗扭转变形的能力。 它表示轴抵抗扭转变形的能力。 相对扭转角的正负号由扭矩的正负号确定， 相对扭转角的正负号由扭矩的正负号确定， 即正扭矩产生正扭转角， 即正扭矩产生正扭转角，负扭矩产生负扭 转角。若两横截面之间T有变化， 转角。若两横截面之间T有变化，或极惯 性矩变化，亦或材料不同（切变模量G 性矩变化，亦或材料不同（切变模量G变 ），则应通过积分或分段计算出各段的 化），则应通过积分或分段计算出各段的 扭转角，然后代数相加， 扭转角，然后代数相加，即：
工程力学-第7章
圆轴扭转时的剪应力分析
圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式－例题 1 例题
实心轴 空心轴
d1=45 mm D2＝46 mm d2＝23 mm
解：确定实心轴与空心轴的重量之比 解：确定实心轴与空心轴的重量之比 长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：
1 A d 45×10 1 = 2 1 2 = ＝ .28 1 × 3 2 A2 D2 (1α ) 46×10 1 0.5
τ =τ′
D
z
剪应力互等定理
y
切应力互等定理
τ′
如果在微元的一对面上存在剪 应力，另一对与剪应力作用线互 相垂直的面上必然垂直大小相等 相垂直的面上必然垂直大小相等 、方向或相对(两剪应力的箭头相 x 方向或相对( 对)或相背(两剪应力的箭尾相对) 或相背(两剪应力的箭尾相对) ，以使微元保持平衡。这种相互 关系称为剪应力互等定理或 关系称为剪应力互等定理或剪应 力成对定理。 力成对定理。
圆轴扭转时的剪应力分析
弹性范围内的剪应力－剪应变关系
于是，上式表明，横截面上各点的剪应力与点到横截面中 心的距离成正比，即剪应力沿横截面的半径呈线性分布。
τ = Gγ = Gρ
d dx
圆轴扭转时的剪应力分析
静力学方程
圆轴扭转时的剪应力分析
静力学方程
作用在横截面上的剪应力形成一分布力系，这一力系向 截面中心简化结果为一力偶，其力偶矩即为该截面上的扭 截面中心简化结果为一力偶，其力偶矩即为该截面上的扭 矩。于是有
平面假定
变 形 应变分布
物性关系
应力分布
静力方程
应力公式
圆轴扭转时的剪应力分析
变形协调方程 弹性范围内的剪应力－剪应变关系 静力学方程 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式
工程力学基础课件：第7章 圆轴扭转时的应力变形分析及强度和刚度设计
实心圆截面
空心圆截面
薄壁圆环截面
t/R0<1/10
I p
d 2 23d D4
0
32
I
p
D4
32
(1
4)
I p R02 dA 2R03t
WT
D4
D
/ 32 2
D3
16
WT
I p D3 (1 4 )
D 2 16
WT
Ip R0
2R02t
例：由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模
3. 静力学关系
G
G
d
dx
静力等效原理（合力矩定理）
分力系：分布于横截面上的剪应力
合力系：扭矩MT
A ( dA) MT
G
G
d
dx
MT
A ( dA)
(G d dA) G d
A dx
dx
2dA
A
引入记号
Ip
2dA
A
WT
Ip R
G
d
dx
G
MT GI p
max
MT R Ip
MT Ip /R
dx
扭转圆轴时横截面上距离圆心 处的剪应变
2. 物理关系
对线性弹性材料，根据剪切胡克定律，在弹性范围内有
G
G
d
dx
tan 1 G
O
推论一：圆轴扭转时横截面上只有垂直于半径方向的剪应力， 而无正应力。
推论二：横截面上各点剪应变与该点到轴心的距离成正比。
推论三：横截面上各点剪应力与该点到轴心的距离成正比。
d MT
dx GI p
MT
Ip
max
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形前后转过的角度，同时 φ角也可表示右端面相对于左端面所转过的
角度的大小（左端面在变形前后转过的角度为0）。所以扭转变形的
变形量大小是用扭转变形后两个横截面间绕轴线的相对扭转角 φ来度
量的。
图7-13
第7章 扭转变形
圆轴扭转时，相距为l的任意两个橫截面之间的相对扭转角 φ可
使用用下规式范来计说算明（推导过程从略）。
轴横截面上切应力的分布情况，可知危险截面上的应力大小和该点到
圆心的距离成正比。所以在横截面上存在危险点，即应力值最大的点
。为保证圆轴具有足够的扭转强度，轴的危险点的工作应力就不能超
过材料的许用切应力[ τ ] ，故等直圆轴扭转的强度条件为
对于阶梯轴，由于 Wp各处不相等，所以最大的工作切应力 τmax
么应该分段计算各段的扭转角，然后叠加。
第7章 扭转变形
使7用.3规.2范说圆明轴扭转时的刚度计算
轴类零件除应满足强度要求外，还应满足刚度要求，即不允许轴
有过大的扭转变形。工程中常采用单位长度的相对扭转角 θ来限制轴
的扭转变形的程度，从而使扭转变形量的表达式中消除长度l的影响
，即
这样求得的 θ的单位为弧度 /米（rad /m）。在工程中， θ 的单
偶矩。这个内力偶矩称为扭矩，用符号T表示，单位为N·m。
当有多个外力偶同时作用时，由截面法分析不难发现：某一所求
截面上的扭矩 等于所求截面任一侧（左侧或右侧）所有外力偶的力 偶矩的代数和。
第7章 扭转变形
为了使从左、右两部分求得的同一截面上的扭矩正负号也相同，
使对用扭规矩范的正说负明号规定如下：按右手螺旋法则，使右手的拇指与其余四
第7章 扭转变形
使7用.2规范圆说轴明 扭转时的应力与强度计算
7.2.1 圆轴扭转时的应力
进行圆轴扭转强度计算时，当求出横截面上的扭矩后，还应进一
步研究横截面上的应力分布规律，以便求出最大应力。
为了观察圆轴的扭转变形，在圆轴表面上画出许多间距很小且相等的 纵向线和垂直于杆轴线的圆周线，如图7-9所示。
不一定发生在最大扭矩所在的截面上，因此需综合考虑扭矩T和 两个
因素来确定。
第7章 扭转变形
使7用.3规范圆说轴明 扭转时的变形与刚度计算
7.3.1 圆轴扭转时的变形
如图7-13所示，在圆轴扭转时，若我们事先在轴的右端面圆周上
做一个记号点A，则在图示的受力情况下，A点将绕轴线转到B点，若
把AB弧所对应的圆心角记作φ ，那么φ 角即表示圆轴的右端面在变
指垂直，四指弯曲的方向与扭矩的转向一致，握住轴线，则大拇指的 指向背离所求截面的扭矩取正值，指向所求截面的扭矩取负值，简称 “背离截面取正，指向截面取负”。
7.1.4 扭矩图
若圆轴上同时受几个外力偶作用时，则各段轴截面上的扭矩就不 完全相等，这时必须分段来求。为了确定最大扭矩及其所在截面的位 置，通常是将扭矩随截面位置变化的规律用图形表示出来，即以横坐 标表示截面位置，以纵坐标表示扭矩的大小，将扭矩按比例画到这个 坐标系上而形成的图形称为扭矩图。
式中：T——所求段圆轴橫截面上的扭矩；
Ip——所求段圆轴橫截面上的极惯性矩；
G——材料的切变模量。
相对扭转角 的单位为弧度（rad）。
由此可见扭转角 与扭矩 和轴的长度l成正比，与GIp成反比。GIp
反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度。
如果两截面之间的扭矩 值有变化，或轴的直径或材料不同，那
工程力学
第7章 扭转变形
使7用.1规范扭说转明 的概念、外力偶矩和扭矩
7.1.1 扭转的概念
在日常生活和工程实际中，有很多承受扭转变形的构件。例如
图7-1所示的汽车转向轴，当汽车转向时，驾驶员在方向盘上施加主
动力偶的作用，转向器则在转向轴的下端施加一阻力偶的作用，使转
向轴产生扭转变形。再如图7-2所示的汽车传动轴AB，在汽车运动过
图7-9
第7章 性矩；Wp称为扭转截面系数。
它们的计算公式见表7-1。
表7-１ 圆截面对截面形心的极惯性矩和扭转截面系数计算公式
第7章 扭转变形
使7用.2规.2范说圆明轴扭转时的强度计算
圆轴扭转时，产生最大切应力的横截面称为扭转危险截面。考虑
使7用.1规.3范说扭明矩
圆轴在外力偶矩作用下产生扭转变形时，横截面上必将产生内力
，仍然采用截面法来研究。如图7-5a所示的圆轴，在两端受一对大小
相等，转向相反的外力偶矩 作用而产生扭转变形，并处于平衡状态
。现用一假想的截面 将轴切成两段，取其中任一段（如左段）为研
究对象，如图7-5b所示。因为原来的轴是处于平衡状态的，所以切开 后的任意一段也应处于平衡状态。所以在截面 上必然存在一个内力
位习惯上用度 /米（ ° /m）表示，所以把公式中的弧度换算为度，
得
谢谢
一对力偶矩大小相等、转向相反、作用面与轴线垂直的外力偶的作用
，其变形特点为介于两外力偶作用面之间的杆的各横截面都绕轴线发
生了相对转动，这种变形称为扭转变形。以扭转变形为主的构件统称
为轴。
第7章 扭转变形
使7用.1规.2范说外明力偶矩的计算
在工程实际中，通常并不直接给出作用在轴上的外力偶矩的大小
。例如图7-4所示的轴AB，通常是已知轴所传递的功率P和轴的转速n
。由此我们可以推出作用于轴上的外力偶矩 Me的计算公式
式中:Me ——外力偶矩，单位为牛顿·米（N·m）。
P——轴传递的功率，单位为千瓦（kW）。
n——轴的转速，单位为转/分（r/min）。
第7章 扭转变形
图7-4
第7章 扭转变形
程中，发动机给传动轴施加一个主动力偶的作用，而后桥则给传动轴
施加一个阻力偶的作用，从而使传动轴产生扭转变形。此外，还有如
两手拧毛巾、用钥匙开门等等。
第7章 扭转变形
图7-1
图7-2
第7章 扭转变形
上述杆件的受力情况，可以简化为如图7-3所示的计算简图。
使用规范说明
图7-3
由图7-3可以看出：受扭转变形的杆件，其受力特点为杆件受到