分数裂项求和
小学奥数裂项公式汇总
裂项运算常用公式 一、分数“裂差”型运算 (1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即b a ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有: )11(11b a a b b a --=⨯(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+-+⨯=+⨯+⨯)2()1(1)1(121)2()1(1n n n n n n n⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+-+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯)3()2()1(1)2()1(131)3()2()1(1n n n n n n n n n n二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a b b a b b a a b a b a 11+=⨯+⨯=⨯+（2）a bb ab a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
裂和：抵消，或 凑整三、整数裂项基本公式(1))1()1(31)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n(2) )1()1)(2(41)1()2(......543432321+--=⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n (3) )1()1(31)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n n n n n +=+2)1((4) )2)(1()1(41)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n(5) !)!1(!n n n n -+=⨯裂项求和部分基本公式1.求和： 1)1(1......541431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：1111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：12)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 13)1311(31+=+-=n n n4.求和：)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)1111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=n n S n )2111211(31)211(21+-+--+=+-+n n n n5.求和：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n 证：因为])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ， ])2)(1(121[21])2)(1(1)1(1[21)431321(21)321211(21++-=++-+++⨯-⨯+⨯-⨯=∴n n n n n n S n特殊数列求和公式2)1(321+=++n n n 212311321n n n n =++++-++-++++ ）（）（2127531n n =-++++）（6)12)(1(21222++=+++n n n n 3)14(3)12)(12(1253122222-⨯=-+=-++++n n n n n n ）（ ()()412121222333+=++=+++n n n n平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-完全平方和（/差）公式 2222)(b ab a b a +±=±。
五六年级分数巧算裂项拆分
思维训练分类为：浓度问题、分数比大小问题、行程问题、分数巧算、逻辑推理、工程问题、牛顿问题、数字的巧算问题。
分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求型分数求和分析：因为＝（n为自然数）所以有裂项公式：【例1】求的和。
（二）用裂项法求型分数求和：分析：型。
（n,k均为自然数）因为所以【例2】计算（三）用裂项法求型分数求和：分析：型（n,k均为自然数）＝＝所以＝【例3】求的和（四）用裂项法求型分数求和：分析：（n,k均为自然数）【例4】计算：（五）用裂项法求型分数求和分析：（n,k均为自然数）【例5】计算：（六）用裂项法求型分数求和：分析：（n,k均为自然数）【例6】计算：【例7】计算：＋＋＋＋＋＋＋＋【分析与解】解答此题时，我们应将分数分成两类来看，一类是把、、、这四个分数，可以拆成是两个分数的和。
另一类是把、、这三个分数，可以拆成是两个分数的差，然后再根据题目中的相关分数合并。
原式＝＋＋（－）＋（＋）＋（＋）＋（＋）＋（＋）＋（－）＋（－）＝＋＋－＋＋＋＋＋＋＋＋＋－＋－＝（＋＋＋＋）＋（＋＋＋）＋（＋＋）＋（－）－（＋）＝1＋1＋＋－＝【例8】计算：（1＋＋＋…＋）＋（＋＋…＋＋＋…＋）＋…＋（＋）＋【分析与解】先将题目中分母相同的分数结合在一起相加，再利用乘法分配律进行简便计算。
原式＝1＋＋（＋）＋（＋＋＋＋＋）＋（＋…＋）＋…＋（＋＋＋…＋＋）＝1＋＋×＋×＋×＋……＋×＝1＋＋＋＋＋……＋＝1＋×（1＋2＋3＋4＋ (59)＝1＋×＝1＋15×59＝886【巩固练习】1、＋＋＋……＋2、＋＋＋3、＋＋＋＋＋4、1－＋＋＋5、＋＋……＋6、＋＋＋……＋7、＋＋＋＋8、－＋－＋－9.＋＋＋＋＋10．69316.931÷69.31＝11、（11－×15）+(13－×13)÷(15－×11)19．4×5×6×7×……×355×356的末尾有( )个零。
分数裂项法求和
分数的基本性质，将分子、分母同时乘上2，因为这题中的
每一项都含有 项法的要求。
1 ，我们将其提取，使剩下的部分满足裂 2
例如： 1
1 2 1 1 2 ; ; 1 3 2 1 3 3 5 2 3 5 1 1 2 1 1 2 ; 5 7 2 5 7 7 9 2 7 9
【举一反三】计算：
1 1 1 1 (1) 10 12 12 14 14 16 16 18
1 1 1 1 ( 2) 2 4 4 6 6 8 8 10
例5、计算
1 1 1 1 1 1 ...... 1 3 3 5 5 7 7 9 1993 1995 1995 1997
分析与解：解答这样题目的简算方法：先找出分母两个数 相差几，再用几分之一去乘，然后看算式中的首项和尾项
，最后计算它们的乘积。
1 1 1 1 1 1 ...... 1 3 3 5 5 7 7 9 1993 1995 1995 1997
1 1 (1 ) 2 1997
这样采用裂项法就能较快地求出结果。
原式
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 3 2 3 5 2 5 7 2 79 1 2 2 2 2 ( ) 2 1 3 3 5 5 7 79 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) 2 3 3 5 5 7 7 9 1 1 (1 ) 2 9 1 8 2 9 4 9
（省略了转化过程）
1 1996 2 1997
998 1997
【举一反三】计算：
1 1 1 1 (1) 11 15 15 19 19 23 23 27
裂项法求和典型例题10道
裂项法求和典型例题10道嘿，同学们，今天咱就来好好讲讲裂项法求和典型例题 10 道哈。
第一道题，计算1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+……+1/(99×100)。
咱来分析一下，这每一项都可以写成两项之差，比如1/(1×2)=1-1/2，1/(2×3)=1/2-1/3，以此类推，然后就能相互抵消一些项，最后求出结果是99/100。
再看第二道题，计算1/2+1/6+1/12+1/20+……+1/90。
同样的道理，把每一项都进行裂项，1/2=1-1/2，1/6=1/2-1/3，1/12=1/3-1/4，这样就能简便计算啦，答案是 9/10。
接着第三道，求数列1/(3×5)+1/(5×7)+1/(7×9)+……+1/(19×21)的和。
每一项裂项后可得1/2×(1/3-1/5)+1/2×(1/5-1/7)……，提个 1/2 出来，再进行计算，结果是 10/21。
第四道题，计算1/1+2/(1+2)+3/(1+2+3)+……+9/(1+2+……+9)。
先求出分母的和，再进行裂项，这道题就迎刃而解啦，答案是 9/5。
来第五道，求1/4+1/12+1/24+1/40+……+1/180 的和。
把各项都进行合适的裂项处理，最后可得结果是 5/9。
第六道，计算3/(1×4)+3/(4×7)+3/(7×10)+……+3/(97×100)。
每一项提个 3 出来，再裂项计算，答案是 33/100。
第七道，求2/(2×4)+2/(4×6)+2/(6×8)+……+2/(98×100)。
类似前面的方法，裂项后计算可得结果是 49/100。
第八道，计算1/(1×3)+1/(3×5)+1/(5×7)+……+1/(99×101)。
六年级分数巧算裂项拆分
思维训练分类为：浓度问题、分数比大小问题、行程问题、分数巧算、逻辑推理、工程问题、牛顿问题、数字的巧算问题。
分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求1一型分数求和分析：因为n(n 1)1 n(n 1) n(n 1)（n为自然数）所以有裂项公式: n（n 1）【例1】求丄10 1111 121的和。
59 60【例2】咕右）'111 110 60112用裂项法求1 1k(n计算n(n k)1 1 -[2 5115n(n 1)59 60)型分数求和:k)nn(n k)]分析：n（nk）型。
（n,k均为自然数）因为n(n k) 所以n(n k)k(； n k9 11 11 13 13 157)11)丄(12 71(19) 1(1 却2、111 1 1 11 , 1 1、1(丄丄2(13 15113)1用裂项法求9 11 11 13型分数求和:n（n k）n n k n(n k) n(n k) n(n k)13分析：型（n,k均为自然数）n（n k）k所以一-n(n k) n n k(11 3 97 99 32009603自然数）n(n k)( n 2k)( n 3k)3k (n(n k^(n 2k)1139 20520I(n k)(n 2k)(n 3k)【例3】的和97 9998 99(四)13) (351 1 )(5 1 7)1 11 99 用裂项法求 型分数求和:n （n k ）（n 2k ）分析:2k n(n k)(n 2k)【例4】计算：44 441 3 53 5 793 959795 97 99(1I II 315) (315 517)…(11)(1 1)3 93 95 95 9/ V 95 9797 99,11（n,k 均为自然数）【例5】 1 1计算：1 2 3 4 2 3 4 51 17 18 19 203[(1 1 1 3[1 2 3 （丘18 19 20]1 17 18 191 18 19 20)]2k n(n k)(n 2k)1 1n(n k) (n k)( n 2k)(五) 用裂项法求型分数求和分析:n(n k)(n 2k)(n 3k)(n,k 均为n(n k)(n 2k)(n 3k)（六）用裂项法求3kn(n k)(n 2k)(n 3k)型分数求和：分析:3kn(n k)(n 2k)( n 3k)(n,k均为自然数）3k 1 1n(n k)(n 2k)( n 3k) n(n k)( n 2k) (n k)( n 2k)(n 3k)【例6】计算： 3 3 31 2 3 4 2 3 4 5 17 18 19 20“ 1 1 1 1 、“ 1 1 、(- ) (—)... ...(- )1 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 5 17 18 19 18 19 201 11 2 3 18 19 2011396840【例7】计算:1 + 3 + 上 + 29 + 37 + 竺 + 兰 + 里 + 27 8 36 56 63 72 77 84 88【分析与解】解答此题时，我们应将分数分成两类来看，一类是把295637634j72这四个分77/ 58 58 59 + — ） + —596060【分析与解】先将题目中分母相同的分数结合在一起相加，再利用乘法分配律进行简便计算。
分数裂项求和方法总结
分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求n（_i_）型分数求和1 1分析：因为------ -------n n 1n 1 n n(n 1)n(n 1)（n为自然数）n（n 1）所以有裂项公式:1 1 1n(n 1) n n 1【例1】10 11111 12的和。
59 601 110 60丄12（二）用裂项法求乔七型分数求和分析: 型。
（n,k均为自然数）n（n k）因为1(1所以【例2】n(nk)] n(n k)n(n k)")1计算5 7 9 11 11 13 13 151勺1(1 9 2'91 1、，1 1 )(丄(丄丄)2 11 131 1)(丄(1 1)2 5 7111-[( )( )( ,、 ,、2 5 7 7 9 9 11 11 13 13 152[515]丄15（三）用裂项法求—「型分数求和n（n k）分析：k- 型（n,k均为自然数）n（n k）1 1 _ n k n kn n k n(n k) n(n k) n(n k)所以k _ 11n(n k) n n k亠2 2 2 2【例3】求2的和1 3 3 5 5 7 97 99（四）用裂项法求仝型分数求和n(n k)(n 2k)分析：2k 均为自然数）分析：n（n k)(n (n,k2k)2k 1 1n(n k)( n 2k) n(n k) (n k)( n 2k)【例4】计算：-4 4 4 4 1 1 1 1(1 3)( ) (-3 5 5 1 1999899(1 1 ) ( 1 1 )(93 9595 97)(95 9797 99)1 1 1 、 “ 1 1 、“ 11 、、[( )()... ...(-)]3 1 2 32 3 4 2 3 4 3 4 5 17 18 19 18 19 20丄[1 1]3 1 2 3 18 19 201139 20520(五)用裂项法求1型分数求和n(n k)(n 2k)(n 3k) 分析：1（n,k 均为自然数）n(n k)( n 2k)(n 3k)1 1 1 n(n k)(n 2k)(n 3k) 3k (n(n k)( n 2k)1(n k)(n 2k)(n3k)【例5】1 1 计算：1234 2 3 4 5117 18 19 203k11n(n k)( n 2k)(n3k) n(n k)( n 2 k) (n k)( n 2k)(n 3k)【例6】计算：-3 3 3分析:(n,k 均为自然数)1 (1 3 1、( 1 1、 3 5) (3 5 5 7)111 3 97 99 32009603(六)用裂项法求 n(n k)(n 2k)(n 3k)型分数求和n(n k)(n 2k)(n 3k)(1 1 ) ( 1 1 )(1 2 3 2 3 4) (2 3 4 3 4 5)1 11 2 3 18 19 2011396840（七）用裂项法求复合型分数和（例题略）( 1 1 )(17 18 19 18 19 20)。
(完整版)分数裂项求和
学生曹一诺学校年级六年级科目数学教师陈作谦日期16年4月24日时段15:00-17:00 次数第一次课题分数裂项求和教学重点难点重点：清楚掌握几种简单的裂项求和的方法及其解答过程。
难点：能判断所处题目的特点，并用其对应的方法进行解答。
教学步骤及教学内容一、作业检查：平时成绩中上，卓师的小升初模拟试题测试结果，数学为46分二、课前热身：与学生探讨小升初的意义，互动中令学生明白考试的应对方式。
三、内容讲解：先做几个题目：（1）+⨯+⨯+⨯752532312……+1192⨯，（2）求2222......1335579799++++⨯⨯⨯⨯的和这种题目就是分数裂项求和的运用。
分数裂项求和，分成减法裂项和加法裂项：减法裂项就是：分母化成两个数的积，分子化成这两个数的差；加法裂项就是：分母化成两个数的积，分子化成这两个数的和。
（1）+⨯+⨯+⨯752532312……+1192⨯，解：原式=+⨯+⨯+⨯755-7533-5311-3……+1199-11⨯=(+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯)755-757()533-535()311-313 ……+(11911⨯-1199⨯) )11191()7151()5131()3111(-+⋯⋯+-+-+-= 11191715151313111-+⋯⋯+-+-+-=11111-=1110=（2）求2222 (1335579799)++++⨯⨯⨯⨯的和 解：原式=+⨯+⨯+⨯755-7533-5311-3……+999797-99⨯1111111(1)()()......()33557979911999899=-+-+-++-=-=再看一道例题：例1：计算：7217561542133011209127651-+-+-+- 解：原式=98988787767665655454434332321⨯+-⨯++⨯+-⨯++⨯+-⨯++⨯+-）（）（）（）（）（）（）（91818171716161515141413131211+-+++-+++-+++-= 91818171716161515141413131211--++--++--++--=911-=98=有的同学可能担心是不是所有的这种题目都会按照这种方法来做。
分数裂项求和标准个性化教案模板
分数裂项求和标准个性化教案模板一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解分数裂项求和的概念及原理；（2）掌握分数裂项求和的基本方法；（3）能够运用分数裂项求和解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过实例演示，引导学生发现分数裂项求和的规律；（2）利用图形、符号等辅助工具，帮助学生形象地理解分数裂项求和的过程；（3）设计具有层次性的练习题，引导学生逐步提高解题能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生勇于探索、合作交流的精神；（3）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 分数裂项求和的概念及原理；2. 分数裂项求和的基本方法；3. 分数裂项求和在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）分数裂项求和的概念及原理；（2）分数裂项求和的基本方法。
2. 教学难点：（1）分数裂项求和过程中涉及的分式运算；（2）如何灵活运用分数裂项求和解决实际问题。
四、教学过程1. 导入：（1）复习相关知识点，如分式、分式运算等；（2）通过实例引入分数裂项求和的概念，引导学生发现其中的规律。
2. 新课讲解：（1）讲解分数裂项求和的概念及原理；（2）演示分数裂项求和的基本方法；（3）结合实际例子，说明分数裂项求和在解决实际问题中的应用。
3. 练习与讨论：（1）设计具有层次性的练习题，让学生独立完成；（2）组织学生进行小组讨论，分享解题心得；（3）教师引导学生总结解题规律，解答疑难问题。
4. 课堂小结：（1）回顾本节课所学内容，让学生加深对分数裂项求和的理解；（2）强调分数裂项求和在实际问题中的应用价值。
五、课后作业1. 完成教材相关练习题；2. 搜集生活中的实际问题，尝试运用分数裂项求和解决；六、教学评估1. 课堂表现评估：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况以及合作交流的表现，了解学生对分数裂项求和的理解程度。
2. 练习题评估：对学生的练习题进行批改，分析学生的答题情况，找出学生掌握分数裂项求和过程中的薄弱环节。
五年级分数裂项练习题
五年级分数裂项练习题题目一：求和1. 将以下分数相加：3/8 + 1/4 + 5/6。
解答：首先，我们需要找到这三个分数的最小公倍数（LCM）作为分母。
这里的3，4，6的最小公倍数是12。
将分母改写为12，得到：3/8 = 9/241/4 = 3/125/6 = 10/12现在，我们可以将这三个分数加在一起：9/24 + 3/12 + 10/12 = (9 + 3 + 10)/12 = 22/1222/12可以约分为11/6，所以最终结果为11/6。
题目二：求差2. 将以下分数相减：5/6 - 2/3。
解答：首先，我们需要找到这两个分数的最小公倍数（LCM）作为分母。
这里的6和3的最小公倍数是6。
将分母改写为6，得到：5/6 = 5/62/3 = 4/6现在，我们可以将这两个分数相减：5/6 - 4/6 = (5 - 4)/6 = 1/6所以最终结果为1/6。
题目三：求积3. 将以下分数相乘：2/3 × 4/5。
解答：我们可以将两个分数的分子相乘，分母相乘：2/3 × 4/5 = (2 × 4)/(3 × 5) = 8/15所以最终结果为8/15。
题目四：求商4. 将以下分数相除：3/5 ÷ 2/3。
解答：我们可以将第一个分数乘以第二个分数的倒数：3/5 ÷ 2/3 = 3/5 × 3/2 = (3 × 3)/(5 × 2) = 9/10所以最终结果为9/10。
5. 将以下裂项求和：1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32。
解答：这是一个等比数列，我们可以使用求和公式：S = a / (1 - r)其中，a是首项，r是公比。
首项a为1/2，公比r为1/2。
将这些值代入公式：S = (1/2) / (1 - 1/2) = (1/2) / (1/2) = 1所以最终结果为1。
题目六：裂项求差6. 将以下裂项求差：1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + 1/16 - 1/32。
分数裂项求和标准个性化教案
文佳宇
学校
岭南花园小学
年级
六年级
科目
数学
教师
林老师
日期
时段
次数
3
课题
分数裂项求和
教学重点
难点
重点：清楚掌握几种简单的裂项求和的方法及其解答过程。
难点：能判断所处题目的运用的形式，并用其对应的方法进行解答。
教
学
步
骤
及
教
学
内
容
一、课前热身:
对裂项求和这个概念认识有多少分数裂项求和呢这节课就让我们一起来学习这个板块的内容。内容比上两节的难一些，所以需要学生认真点耐心点的来跟着老师学。
教师签字：
教师
留言
校长签字： 日期： 年 月 日
（ ）-（ ）
（ ）-（ ）
解：原式 =
= 1-
= 1-
=
例2 计算：
观察：直接裂项
...............
（ ）+（ ）
（ ）+（ ）
解：原式
例3. ……+
变形裂项：
..............
解：原式
例4
观察前一个数是后一个数的2倍，“补一退一”
解：原式
例5
由 知，可以将原式变形为：
解：原式
评分标准：每项满分为10分，十分满意10分，满意9分，一般7—8分，不满意6分，很不满意5分以下。共100分。
总分
一、学生评定
学生签字：
二、教师评价
1、学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差
2、学生本次上课总体情况评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差
3.本堂课学生掌握知识点的情况：○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差
小学奥数裂项公式汇总
a ⨯b = b - a an ⨯ (n + 1) ⨯ (n + 2) = 1 ⎛1 2 ⎝ n ⨯ (n + 1) - (n + 1) ⨯ (n + 2) ⎭ (n + 1) ⨯ (n + 2) ⨯ (n + 3) ⎪⎭a ⨯b = aa ⨯b + b a ⨯ b = 1（1） a + b ⎝a ⨯b = a b + ba ⨯b = a ⨯ b(1)1⨯ 2 + 2 ⨯ 3 + 3 ⨯ 4 + ...... + (n - 1) ⨯ n = (n - 1)n (n + 1)裂项运算常用公式一、分数“裂差”型运算(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1形式的，这里我们把较小的数写在前面，a ⨯ b即 a ＜b ，那么有:1 1 1 1( - )b(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：11 ⎫⎪⎪1 1 ⎛ 1 n ⨯ (n + 1) ⨯ (n + 2) ⨯ (n + 3) = 3 n ⨯ (n + 1) ⨯ (n + 2) -二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：1b + a1 ⎫⎪（2） a 2 + b 2 a 2 b 2+a裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
裂和：抵消，或 凑整三、整数裂项基本公式13(3)n (n + 1) = n (n + 1)(n + 2) - (n - 1)n (n + 1)(4) n (n + 1)(n + 2) = n (n + 1)(n + 2)(n + 3) - (n - 1)n (n + 1)(n + 2)证： S = (1 - ) + ( - ) + ( - ) + ( - ) + Λ + ( - ) = 1 - =证： S = (1 - ) + ( - ) + ( - ) +Λ + ( - )3 4 3 4 7 3 7 10 3 3n - 2 3n + 1(2)1⨯ 2 ⨯ 3 + 2 ⨯ 3 ⨯ 4 + 3 ⨯ 4 ⨯ 5 + ...... + (n - 2) ⨯ (n - 1) ⨯ n = 1(n - 2)(n - 1)n (n + 1)41 13 3n(n + 1) = n 2 + n1 14 4(5)n ⨯ n != (n + 1)!- n !裂项求和部分基本公式1.求和： S = n 1 1 1 1 1 n+ + + + ...... + =1⨯ 2 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 4 ⨯ 5 n (n + 1) n + 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 nn 2 2 3 3 4 4 5 n n + 1 n + 1 n + 12.求和： S = n证： S = n 1 1 1 1 1 n+ + + +Λ + =1⨯ 3 3 ⨯ 5 5 ⨯ 7 7 ⨯ 9 (2n - 1)(2n + 1) 2n + 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n(1 - ) + ( - ) + ( - ) + Λ + ( - ) = (1 - ) =2 3 2 3 5 2 5 7 2 2n - 1 2n + 1 2 2n + 1 2n + 13.求和： S = n 1 1 1 1 n+ + +Λ + =1⨯ 4 4 ⨯ 7 7 ⨯ 10 (3n - 2)(3n + 1) 3n + 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1n1 1 n= (1 - ) =3 3n + 1 3n + 1+ + +Λ + = - 1⨯ 2 ⨯ 3 2 ⨯ 3 ⨯ 4 3 ⨯ 4 ⨯ 5 n(n + 1)(n + 2) 2 ⎝ 2 (n + 1)(n + 2) ⎪⎭= [ - ] ，∴ S = 12 1⨯ 2 2 ⨯3 2 2 ⨯ 3 3 ⨯4 2 n (n + 1) (n + 1)(n + 2) 12 + 32 + 52 + Λ +（2n - 1）2 = =1 1 1 + 2+Λ + n (4.求和： S = n证： S = n5.求和： S = n证：因为 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + +Λ + = (1 + - - )1⨯ 3 2 ⨯ 4 3 ⨯ 5 4 ⨯ 6 n (n + 2) 3 2 n + 1 n + 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 - ) + ( - ) + ( - ) + ( - ) +Λ + ( - )2 3 2 2 4 2 3 5 2 4 6 2 n - 1 n + 11 1 1 1 1 1 1 + ( - ) = (1 + -- - )2 n n + 23 2 n + 1 n + 21 1 1 1 1 ⎛ 1 1 ⎫1 1 1 1n (n + 1)(n + 2) 2 n (n + 1) (n + 1)(n + 2)1 1 1 1 1 1 1 1( - ) + ( - ) +Λ + [ - ]n1 1 1 = [ - ]2 2 (n + 1)(n + 2)特殊数列求和公式1 +2 + 3Λ n = n(n + 1)21 +2 +3 + Λ +（n - ）+ n +（n - ）+ Λ + 3 + 2 + 1 = n 21 + 3 + 5 + 7Λ +（2n - ）= n 212+ 22+ Λ + n 2= n (n + 1)(2n + 1)6n (2n + 1)(2n - 1) n ⨯ (4n2 - 1)3 313 3 3 = 1 + 2 + Λ n )2=n2 (n + 1)2 4平方差公式a 2 -b 2 = (a + b )(a - b )完全平方和（/差）公式(a±b)2=a2±2ab+b2。
专题3：分数的裂项求和
题目
1/3+1/15+1/35+1/63
解析
这道题同样是分数的裂项求和基础练习题，可以通过将每个 分数拆分成两个分数之差的形式，然后进行求和。具体来说， 可以将1/3拆分为1-1/3，将1/15拆分为1/3-1/5，以此类推， 最后得到结果为5/9。
总结
这道题同样考察了分数的裂项求和基础方法，需要掌握如 何将分数拆分成两个分数之差的形式。
分数裂项的局限性
虽然分数裂项求和是一种有效的解题方法，但它并不是万能的。有些分数无法通过简单的裂项求和得到解决，需要采用其他 方法。
在使用分数裂项求和方法时，需要注意其适用范围和局限性，避免在不适合的情况下使用该方法导致错误的结果。
05
分数的裂项求和的练习题 及解析
分数的裂项求和基础练习题
题目
将分数$frac{1}{3}$分别与$a$、$b$和$c$相乘，得到$frac{1}{3}a$、$frac{1}{3}b$和 $frac{1}{3}c$。
$frac{1}{2}timesfrac{1}…
将分数$frac{1}{2}$和$frac{1}{3}$相乘，得到$frac{1}{6}$，再将$frac{1}{6}$分别与 $a$和$b$相乘，得到$frac{1}{6}a$和$frac{1}{6}b$。
VS
可以通过化简或计算验证来确认分数 裂项的正确性，例如，将裂项后的分 数进行加减运算，看是否能够得到原 分数的值。
分数裂项的适用范围
分数裂项求和适用于一些具有特定形式的分 数，如形如1/n(n+d)或1/(n1^2)(n2^2)等 。
对于一些复杂的分数形式，可能需要通过观 察、归纳或演绎等方法来确定其裂项形式。
例如，在排序算法、图算法等领域中，分数裂项可以帮助优化算法性能，提高程 序的执行效率。同时，在处理大数据时，分数裂项也可以帮助减少内存占用和计 算时间。
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学生曹一诺学校年级六年级科目数学教师陈作谦日期16年4月24日时段15:00-17:00 次数第一次课题分数裂项求和教学重点难点重点：清楚掌握几种简单的裂项求和的方法及其解答过程。
难点：能判断所处题目的特点，并用其对应的方法进行解答。
教学步骤及教学内容一、作业检查：平时成绩中上，卓师的小升初模拟试题测试结果，数学为46分二、课前热身：与学生探讨小升初的意义，互动中令学生明白考试的应对方式。
三、内容讲解：先做几个题目：（1）+⨯+⨯+⨯752532312……+1192⨯，（2）求2222......1335579799++++⨯⨯⨯⨯的和这种题目就是分数裂项求和的运用。
分数裂项求和，分成减法裂项和加法裂项：减法裂项就是：分母化成两个数的积，分子化成这两个数的差；加法裂项就是：分母化成两个数的积，分子化成这两个数的和。
（1）+⨯+⨯+⨯752532312……+1192⨯，解：原式=+⨯+⨯+⨯755-7533-5311-3……+1199-11⨯=(+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯)755-757()533-535()311-313 ……+(11911⨯-1199⨯) )11191()7151()5131()3111(-+⋯⋯+-+-+-= 11191715151313111-+⋯⋯+-+-+-=11111-=1110=（2）求2222 (1335579799)++++⨯⨯⨯⨯的和 解：原式=+⨯+⨯+⨯755-7533-5311-3……+999797-99⨯1111111(1)()()......()33557979911999899=-+-+-++-=-=再看一道例题：例1：计算：7217561542133011209127651-+-+-+- 解：原式=98988787767665655454434332321⨯+-⨯++⨯+-⨯++⨯+-⨯++⨯+-）（）（）（）（）（）（）（91818171716161515141413131211+-+++-+++-+++-= 91818171716161515141413131211--++--++--++--=911-=98=有的同学可能担心是不是所有的这种题目都会按照这种方法来做。
回答是绝对肯定的，所有这种题目一定绝对都是按照分母化成两个数的积，分子化成这两个数的和或差来做。
否则，就不会有人做得出来。
这是考纲，考纲是不允许超出的。
下面做几道课堂练习：1.+⨯+⨯+⨯199919981199819971199719961……+200220011⨯+200212．34313312831073743413⨯+⨯+⋯⋯+⨯+⨯+⨯ 3. 11011216121+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++4． 7217561542133011209127311+-+-+-+这节课，我们就已经学习了分数裂项求和，极其简单。
分数 裂项求和，分为减法裂项和加法裂项，减法裂项就是：分母化成两个数的积，分子化成这两个数的差； 加法裂项就是：分母化成两个数的积，分子化成这两个数的和。
分数裂项求和，法则很简单，就是把分母化成两个数相乘，分子化成这两个数相加或相减。
而且，考试一定不会超出这个范围。
但是有时候，需要对要求的式子稍微变一下形，这是不超出考纲范围的。
先看一个题目。
例2：计算11111577991111131315++++⨯⨯⨯⨯⨯如果我们按照上节课所学的方法，这分母现在都已经是两个数的积的形式，如果把分子化成这两个数的差的形式，这分子就都是2，而原式的分子都是1。
这个时候，如果我们把所有的项都乘以21，就和原式相等了。
所以，可以将原式进行这样的变形： 原式=21（+⨯752+⨯9721192⨯+13112⨯+15132⨯），然后就可以用上节课所学的内容直接做出来了：解：原式=21（+⨯752+⨯9721192⨯+13112⨯+15132⨯） 111111*********()()()()()25727929112111321315=-+-+-+-+- 11111111111[()()()()()]2577991111131315=-+-+-+-+- 111[]2515115=-=、再来看一个题目： 例3：110118116114112122222-+-+-+-+- 像这种题目，需要利用到一个公式， )()(22b a b a b a +⨯-=-.根据这个公式，就能够将把这个式子很容易进行一个变形：原式1191971751531311⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，于是，这个题目就变成和上一个题目例题2一样的解法了：解： 原式1191971751531311⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=[]21)11191()7151()51313111⨯-+⋯⋯+-+-+-=2111191715151313111⨯-+⋯⋯+-+-+-=2111111⨯-=）（ 115=这变形也不难。
所有的这种分数裂项求和的题型，要变形的话，就是这两种变形，至少最基本的，最常考的就是这两种变形，90%以上，不会超出这两种变形，其他的，要变形，也是一些很简单的变形，都可以直接看出来。
分数裂项求和两种变形：一种是将式子的每一项都乘以一个数；另一种就是利用这个)()(22b a b a b a +⨯-=-这个公式。
再来做几道课堂练习1.521⨯+851⨯+1181⨯+ (29261)2.11231631431232222-+⋯⋯+-+-+-今天最后一种题型，这种题型不是用分数裂项求和的方法，但是它的题型却和分数裂项求和很相似。
例4：例4：1111111248163264128++++++这种题目的解题方法其实也很简单，就叫做“补一退一”。
这种题目的特点是前一个数是后一个数的2倍，做题的方法就是在原式上加上最后一个数再又减去这个数。
看例题的演示： 解：原式128112811281641321161814121-+++++++=1281641641321161814121-++++++=1281321321161814121-+++++=1281161161814121-++++=）（ 1281221-⨯=128127=很简单。
所有这种题目都是这种特点，所有这种题目的解题方法也是完全相同，就是加上最后一个数再又减去这个数，所谓的“补一退一”。
也来做一个课堂练习：1. 2561-1281-641-321-161-81-41-21-1=四、课堂小结这种分数裂项求和的题目的特点是很多项的分数相加减，这种题目的解法就是就是把分母化成两个数相乘，分子化成这两个数相加或相减。
有时候，需要把式子变一下形，变形最常考的就两种形式，一种是把原式的每一项都乘以一个数，另一种是运用公式)()(22b a b a b a +⨯-=-。
另外还有一种题型和分数裂项求和很相似，它的特点也是很多项分数相加减，只是它的前一项都是后一项的2倍，这种题目的做法就是“补一退一”，就是加上最后一个数再又减去这个数。
五、作业布置1.11111111111315171921232527612203042567290++++++++2.57911131517191612203042567290-+-+-+-+3.1111123981223349899++++⨯⨯⨯⨯ 4.14121121011081861641421⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 5.549+ 5499+ 54999+ 53课后评价项目内容评分内容评分教学时间保障是否有效充分利用课堂时间休息时间是否合理教学流程保障教学是否计划性是否留作业并检查作业教师个性教学听课过程能否学会该学科学习方法听课中是否激发了学习兴趣教学内容教学内容是否有针对性讲课是否与练习相结合教师课堂教学能否听懂老师讲课教学语言是否准确教师课堂是否精神饱满形象是否得体大方评分标准：每项满分为10分，十分满意10分，满意9分，一般7—8分，不满意6分，很不满意5分以下。
共100分。
总分一、学生评定学生签字：二、教师评价1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差2、学生本次上课总体情况评价：○好○较好○一般○差3.本堂课学生掌握知识点的情况：○好○较好○一般○差教师签字：教师留言。