线面角的求法及例题教学提纲

线面角的求法总结

线面角的三种求法1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。

通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。

（2）SC 与平面ABC 所成的角。

B MHSCA 图12. 等体积法例2 （如图2）长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角的正弦值。

3. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2已知，如图，AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于平面α，B 为垂足，则直线AB 是斜线在平面α内的射影。

设AC 是平面α内的任意一条直线，且BC AC ⊥，垂足为C ，又设AO 与AB 所成角为1θ，AB 与AC 所成角为2θ，AO 与AC 所成角为θ，则可以得到：平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角；（最小角定理）A 1 C 1 D1 H 4CB 123 B A Dθθ2θ1O C B A α例3（如图4）已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60°, ，求直线OA 与面OBC 所成的角的余弦值。

OαD AC B图4练习．如图，在正方体1AC 中，求面对角线1A B 与对角面11BB D D 所成的角。

A 1。

精品线线角、线面角角的求法(教案)

DBAC α专题二空间角的求法1一、知识点击1.异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.2.直线和平面所成的角（1）定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．（2）范围：[0，π2]．（3）求直线和平面所成的角用的直接法是射影转化法。

具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。

也是简称为“作，证，求” （4）利用公式sin θ=h ／ι其中θ是斜线与平面所成的角， h 是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

（5）利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2（如图）若 OA 为平面的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在面α内的射影，OC 为面α内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角，θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么 cos θ=cos θ1·cos θ2，它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）B αOAC二、题组设计命题点1求两条异面直线所成的角 (一)抓异面直线上的已知点1．如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的角为________．答案 60°解析取A 1C 1的中点E ，连接B 1E ，ED ，AE ，在Rt△AB 1E 中，∠AB 1E 即为所求，设AB ＝1，则A 1A ＝2，AB 1＝3，B 1E ＝32，故∠AB 1E ＝60°.（二）抓异面直线(或空间图形)上的特殊点2．空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，求EF 与AB 所成角的大小．解如图，取AC 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG 綊12AB ，FG 綊12CD ，由AB ＝CD 知EG ＝FG ，∴∠GEF (或它的补角)为EF 与AB 所成的角，∠EGF (或它的补角)为AB 与CD 所成的角．∵AB 与CD 所成的角为30°， ∴∠EGF ＝30°或150°.由EG ＝FG 知△EFG 为等腰三角形，当∠EGF ＝30°时，∠GEF ＝75°；当∠EGF ＝150°时，∠GEF ＝15°. 故EF 与AB 所成的角为15°或75°.3．(2015·浙江)如图，三棱锥A —BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是________．答案 78解析如图所示，连接DN ，取线段DN 的中点K ，连接MK ，CK .∵M 为AD 的中点， ∴MK ∥AN ，∴∠KMC 为异面直线AN ，CM 所成的角． ∵AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，N 为BC 的中点，由勾股定理求得AN ＝DN ＝CM ＝22， ∴MK ＝ 2. 在Rt△CKN 中，CK ＝22＋12＝ 3.在△CKM 中，由余弦定理，得cos∠KMC ＝CM 2＋MK 2－CK 22CM ·MK＝22＋22－322×2×22＝78.（三）平移(或构造)几何体4．如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒且PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_____．解：将此多面体补成正方体'''DBCA D B C P -，PB 与AC 所成的角的大小即此正方体主对角线PB 与棱BD 所成角的大小，在Rt △PDB中，即tan PDDBA DB∠==4．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，（1）求异面直线AP 与BD 所成的角；（2）若E ，F ，M 分别是AB ，BC ，PQ 的中点，异面直线EM 与AF 所成的角为θ，求cos θ的值．解析（1）如图，将原图补成正方体ABCD －QGHP ，连接GP ，则GP ∥BD ，所以∠APG 为异面直线AP 与BD 所成的角，在△AGP 中，AG ＝GP ＝AP ，所以∠APG ＝π3.（2）设N 为BF 的中点，连接EN ，MN ，1D 1B 1C PDBCAPBCA则∠MEN 是异面直线EM 与AF 所成的角或其补角．不妨设正方形ABCD 和ADPQ 的边长为4，则EN ＝5，EM ＝26，MN ＝33. 在△MEN 中，由余弦定理得cos∠MEN ＝EM 2＋EN 2－MN 22EM ·EN＝24＋5－332×26×5＝－130＝－3030. 即cos θ＝3030. 5．(2017·杭州第一次质检) 如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ，∠BCD ＝90°，且BC ＝3CD ＝3.将△ABC 沿BC 边翻折，设点A 在平面BCD 上的射影为点M ，若点M 在△BCD的内部(含边界)，则点M 的轨迹的最大长度等于________；在翻折过程中，当点M 位于线段BD 上时，直线AB 和CD 所成的角的余弦值等于________．答案32 66解析当平面ABC ⊥平面BCD 时，点A 在平面BCD 上的射影为BC 的中点M ，当点A 在平面BCD 上的射影M 在BD 上时，因为AB ＝AC ，所以BM ＝MC ，因为BC ＝3CD ＝3，所以∠DBC ＝30°，所以由∠BCD ＝90°得BM ＝MD ，点M 的轨迹的最大长度等于12CD ＝32，将其补为四棱锥，所以AB ＝322，AE ＝AM 2＋EM 2＝322，又因为∠EBA 为直线AB 和CD 所成的角，所以cos∠EBA ＝AB 2＋BE 2－AE 22AB ·BE ＝66.6.(2016浙江文,14,4分)如图,已知平面四边形ABCD ,AB =BC =3,CD =1,AD ADC =90°.沿直线 AC 将△ACD 翻折成△ACD ',直线AC 与BD '所成角的余弦的最大值是 .命题点2 求直线和平面所成的角7．如图5所示，在三棱锥ABC P -中，AB BC ==，平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ， 1AD =，3CD =，PD =．PAD（1）证明△PBC 为直角三角形；（2）求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值．（1）证明1：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥，所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………1分记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，AB BC =，所以AC BE ⊥．因为A B B C ==，4=AC ，所以22B E =-=3分因为PD ⊥AC ，所以△PCD 为直角三角形．因为PD ，3CD =，所以PC ===4分连接BD ，在Rt△BDE 中，因为BE =，1DE =，所以BD ===5分因为PD ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥BD ．在Rt△PBD 中，因为PD=，BD ，所以PB ===…………………………………………………6分在PBC ∆中，因为BC =PB =PC =所以222BC PB PC +=．所以P ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分证明2：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC I 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥，所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………1分记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，因为AB BC =，所以AC BE ⊥．BPACDE因为A B B C ==，4=AC ，所以22B E =-=3分连接BD ，在Rt △BDE 中，因为90BED ∠=o ，BE =，1DE =，所以2B D =+．………………………………………………………4分在△BCD 中，因为3CD =，BC =BD =，所以2BC BD C D+=，所以B C ⊥．……………………………………………………………5分因为PD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以B ⊥．…………………………………………………………………………………………6分因为BD PD D =，所以BC ⊥平面PBD ．因为PB ⊂平面PBD ，所以BC PB ⊥．所以P ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分（2）解法1：过点A 作平面PBC 的垂线，垂足为H ，连PH ，则APH ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．…………………………………………………………8分由（1）知，△ABC 的面积12ABC S AC BE ∆=⨯⨯=9分因为PD =，所以13P ABC ABC V S PD-∆=⨯⨯13=⨯=10分由（1）知PBC ∆为直角三角形，BC ，PB =所以△PBC的面积11322PBC S BC PB ∆=⨯⨯==．……………………………………11分因为三棱锥A PBC -与三棱锥P ABC -的体积相等，即A PBC P ABC V V --=，即133AH ⨯⨯=，所以3AH =．……………………………………………………………12分在Rt △PAD中，因为PD =，1AD =，所以2A P =+．………………………………………………………13分因为3sin 2AH APH AP ∠=== 所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为14分解法2：过点D 作DM AP ∥，设DMPC M =，则DM 与平面PBC 所成的角等于AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………8分由（1）知BC PD ⊥，BC PB ⊥，且PDPB P =，所以BC ⊥平面PBD ．因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBD ．过点D 作DN PB ⊥于点N ，连接MN ，则DN ⊥平面PBC ．所以DMN ∠为直线DM 与平面PBC 所成的角．……10分在Rt △PAD 中，因为PD =，1AD =，所以2AP ===．………………………………………………………11分因为DM AP ∥，所以DM CD AP CA =，即324DM =，所以32DM =．………………………………12分由（1）知BD =，PB =PD =，所以PD BD DN PB ⨯===．……………………………………………………………13分PA CDMN因为2sin 32DN DMN DE ∠===所以直线AP 与平面PBC所成角的正弦值为314分解法3：延长CB 至点G ，使得BG BC =，连接AG 、PG ，……………………………………8分在△PCG中，PB BG BC === 所以90CPG ∠=o ，即CP PG ⊥．在△PAC中，因为PC =2PA =，4AC =，所以222PA PC AC +=，所以CP PA ⊥．因为PA PG P =I ，所以CP ⊥平面PAG ．…………………………………………………………………………………9分过点A 作AK PG ⊥于点K ，因为AK ⊂平面PAG ，所以CP AK ⊥．因为PG CP P =I ，所以AK ⊥平面PCG ．所以APK ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………………………11分由（1）知，BC PB ⊥，所以PG PC ==．在△CAG 中，点E 、B 分别为边CA 、CG 的中点，所以2AG BE ==……12分在△PAG 中，2PA =，AG =PG =所以222PA AG PG +=，即PA AG ⊥．……………………………………………………………13分因为sin AG APK PG ∠===BPACDEGK所以直线AP 与平面PBC所成角的正弦值为14分解法4：以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E xyz -，…………………………………………………………………………………………………8分则()0,2,0A -，)B，()0,2,0C，(0,P -．于是(AP =，(2,1,PB =，(0,3,PC =设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，则0,0.PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,30.y y +==⎪⎩ 取1y =，则z =x =所以平面PBC的一个法向量为=n ．……………………………………………………12分设直线AP 与平面PBC 所成的角为θ，则sin cos AP AP AP θ⋅=<>===⋅n ,n n．所以直线AP 与平面PBC所成角的正弦值为14分若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下：（1）以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E xyz -……………1分AA则)B，()0,2,0C，(0,P -．于是(BP =-，()2,0BC =．因为()()2,1,32,2,00BP BC =---=，所以BP BC ⊥．所以BP BC ⊥．所以P ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分（2）由（1）可得，()0,2,0A -．于是(AP =，(2,1,PB =，(0,3,PC =．设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，则0,0.PB PC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,30.y y +-==⎪⎩取1y =，则z =x =所以平面PBC的一个法向量为=n ．……………………………………………………12分设直线AP 与平面PBC所成的角为θ，则sin cosAP AP AP θ⋅=<>===⋅n ,n n．所以直线AP 与平面PBC所成角的正弦值为314分 8．如图1－4，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD ，BC ＝1，PC ＝23，PD ＝CD ＝2.(1)求异面直线PA 与BC 所成角的正切值； (2)证明平面PDC ⊥平面ABCD ；(3)求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值．图1－4【答案】解：(1)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以AD＝BC且AD∥BC，又因为AD⊥PD，故∠PAD为异面直线PA与BC所成的角．在Rt△PDA中，tan∠PAD＝PDAD＝2.所以，异面直线PA与BC所成角的正切值为2.(2)证明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD，又由于AD⊥PD，CD∩PD＝D，因此AD⊥平面PDC，而AD⊂平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD.(3)在平面PDC内，过点P作PE⊥CD交直线CD于点E，连接EB.由于平面PDC⊥平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，故PE⊥平面ABCD.由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角．在△PDC中，由于PD＝CD＝2，PC＝23，可得∠PCD＝30°.在Rt△PEC中，PE＝PC sin30°＝ 3.由AD∥BC，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC，因此BC⊥PC.在Rt△PCB中，PB＝PC2＋BC2＝13.在Rt△PEB中，sin∠PBE＝PEPB ＝3913.所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为39 13.9．（2012高考浙江文20）如图1－5，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．(1)证明：(i)EF∥A1D1；(ii)BA1⊥平面B1C1EF；(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．图1－5【答案】解：(1)证明：(ⅰ)因为C 1B 1∥A 1D 1，C 1B 1⊄平面A 1D 1DA ，所以C 1B 1∥平面A 1D 1DA ，又因为平面B 1C 1EF ∩平面A 1D 1DA ＝EF ，所以C 1B 1∥EF ，所以A 1D 1∥EF .(ⅱ)因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以BB 1⊥B 1C 1. 又因为B 1C 1⊥B 1A 1，所以B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，所以B 1C 1⊥BA 1.在矩形ABB 1A 1中，F 是AA 1的中点，tan ∠A 1B 1F ＝tan ∠AA 1B ＝22，即∠A 1B 1F ＝∠AA 1B ，故BA 1⊥B 1F ，所以BA 1⊥平面B 1C 1EF .(2)设BA 1与B 1F 交点为H ，连结C 1H .由(1)知BA 1⊥平面B 1C 1EF ，所以∠BC 1H 是BC 1与面B 1C 1EF 所成的角．在矩形AA 1B 1B 中，AB ＝2，AA 1＝2，得BH ＝46.在直角△BHC 1中，BC 1＝25，BH ＝46，得 sin ∠BC 1H ＝BH BC 1＝3015，所以BC 1与平面B 1C 1EF 所成角的正弦值是3015. 10．(2016·温州一模)如图，在三棱锥D —ABC 中，DA ＝DB ＝DC ，点D 在底面ABC 上的射影为点E ，AB ⊥BC ，DF ⊥AB 于点F .(1)求证：平面ABD ⊥平面DEF ；(2)若AD ⊥DC ，AC ＝4，∠BAC ＝60°，求直线BE 与平面DAB 所成的角的正弦值． (1)证明如图，由题意知DE ⊥平面ABC ，所以AB ⊥DE ，又AB ⊥DF ，DE ∩DF ＝D ，所以AB ⊥平面DEF ，又AB ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面DEF .(2)解由DA ＝DB ＝DC ，知EA ＝EB ＝EC ，E 为AC 的中点，所以E 是△ABC 的外心．过点E 作EH ⊥DF 于点H ，则由(1)知EH ⊥平面DAB ，所以∠EBH 即为BE 与平面DAB 所成的角．由AC ＝4，∠BAC ＝60°，得DE ＝2，EF ＝3，所以DF ＝7，EH ＝237，所以sin∠EBH ＝EH BE ＝217. 所以直线BE 与平面DAB 所成角的正弦值为217. 11．在如图所示的多面体ABCDE 中，已知AB ∥DE ，AB ⊥AD ，△ACD 是正三角形，AD ＝DE ＝2AB ＝2，BC ＝5，F 是CD 的中点． (1)求证：AF ∥平面BCE ；(2)求直线CE 与平面ABED 所成角的余弦值．(1)证明如图所示，取CE 的中点为M ，连接BM ，MF ，因为F 为CD 的中点，所以MF 綊12ED .又AB ∥DE ，DE ＝2AB ，所以MF 綊AB ，所以四边形ABMF 为平行四边形．所以BM ∥AF .因为BM ⊂平面BCE ，AF ⊄平面BCE ，所以AF ∥平面BCE .(2)解因为△ACD 是正三角形，所以AC ＝AD ＝CD ＝2.在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，BC ＝5，所以AB 2＋AC 2＝BC 2，故AB ⊥AC . 又AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，所以AB ⊥平面ACD .如图所示，取AD 的中点H ，连接CH ，EH ，则AB ⊥CH . 又AC ＝CD ，所以CH ⊥AD .又AB ∩AD ＝A ，所以CH ⊥平面ABED ，所以∠CEH 是直线CE 与平面ABED 所成的角．在Rt△CHE 中，CH ＝3，EH ＝5，CE ＝22，所以cos∠CEH ＝EH CE ＝104. 所以直线CE 与平面ABED 所成角的余弦值为104. 12.(2016浙江文,18,15分)如图,在三棱台ABC -DEF 中,平面BCFE ⊥平面ABC ,∠ACB =90°,BE =EF = FC =1,BC =2,AC =3.(1)求证:BF ⊥平面ACFD ;(2)求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.解析 (1)证明:延长AD ,BE ,CF 相交于一点K ,如图所示.因为平面BCFE ⊥平面ABC ,且AC ⊥BC ,所以AC ⊥平面BCK ,因此BF ⊥AC .又因为EF ∥BC ,BE =EF =FC =1,BC =2,所以△BCK 为等边三角形,且F 为CK 的中点,则BF ⊥CK . 所以BF ⊥平面ACFD .(2)因为BF⊥平面ACK,所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.13.(2017浙江绍兴质量调测(3月),19)如图,已知三棱锥P-ABC,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,∠BAC=60°,PA=AC,M为PB的中点.(1)求证:PC⊥BC;(2)求AM与平面PAC所成角的正切值.14.(2017浙江镇海中学模拟卷(五),19)在四棱锥P -ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,AB ⊥AD ,AC ⊥CD ,∠ABC =3π,PA =AB =BC ,E 是PC 的中点. (1)求证:AE ⊥PD(2)求BE 与平面PDC 所成角的正弦值 .15.(2017浙江名校(绍兴一中)交流卷一,19)如图,三棱锥P -ABC 中,PC ⊥平面ABC ,AB =PC =2,AC =4, ∠PBC =6π,点E 在BC 上,且BE =12EC .(1)求证:平面PAB ⊥平面PBC ;(2)求AE 与平面PAB 所成角的正弦值.16.(2017浙江名校新高考联盟第四次联考,19)如图,在四面体ABCD中,平面ACD⊥平面BCD,∠BCA=90°,AC=1,AB=2,△BCD为等边三角形.(1)求证:AC⊥平面BCD;(2)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.17.(2017浙江镇海中学模拟卷四,19)在四棱锥P -ABCD 中,侧面PAD ⊥底面ABCD ,底面ABCD 为梯形,AB ∥CD ,∠ABC =∠BCD =90°,BC =CD =2AB=2. (1)证明:BD ⊥PA ;(2)若△PAD 为正三角形,求直线PA 与平面PBD 所成角的余弦值.18.(2017年浙江)如图，已知四棱锥P –ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，PC =AD =2DC =2CB ，E 为PD 的中点．（第19题图）（1）证明：CE ∥平面PAB ；（2）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值． 19.解：（1）如图，设PA 中点为F ，连接EF ，FB ．因为E ，F 分别为PD ，PA 中点，所以EF ∥AD 且EF=12AD ，又因为BC ∥AD ，BC=12AD ，所以EF ∥BC 且EF=BC ，即四边形BCEF 为平行四边形，所以CE ∥BF ，因此CE ∥平面PAB ．PAB CDE（2）分别取BC ，AD 的中点为M ，N ，连接PN 交EF 于点Q ，连接MQ. 因为E ，F ，N 分别是PD ，PA ，AD 的中点，所以Q 为EF 中点，在平行四边形BCEF 中，MQ ∥CE. 由△PAD 为等腰直角三角形得PN ⊥AD. 由DC ⊥AD ，N 是AD 的中点得BN ⊥AD ．所以AD ⊥平面PBN ，由BC //AD 得BC ⊥平面PBN ，那么平面PBC ⊥平面PBN ．过点Q 作PB 的垂线，垂足为H ，连接MH ．MH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线CE 与平面PBC 所成的角．设CD =1．在△PCD 中，由PC =2，CD =1，PD=2得CE =2，在△PBN 中，由PN =BN =1，PB =3得QH =14，在Rt △MQH 中，QH=14，MQ =2，所以sin ∠QMH =28，所以直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是28．堂测题组专题二空间角的求法1【A 】1．如图所示，已知在长方体ABCD －EFGH 中，AB ＝23，AD ＝23，AE ＝2，则BC 和EG 所成角的大小是______，AE 和BG 所成角的大小是________．答案 45° 60°解析 ∵BC 与EG 所成的角等于EG 与FG 所成的角即∠EGF ，tan∠EGF ＝EF FG ＝2323＝1，∴∠EGF＝45°，∵AE 与BG 所成的角等于BF 与BG 所成的角即∠GBF ，tan∠GBF ＝GF BF ＝232＝3，∴∠GBF＝60°.2．已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( ) A.16 B.36 C.13 D.33 答案 B解析画出正四面体ABCD 的直观图，如图所示．设其棱长为2，取AD 的中点F ，连接EF ，设EF 的中点为O ，连接CO ，则EF ∥BD ，则∠FEC 就是异面直线CE 与BD 所成的角． △ABC 为等边三角形，则CE ⊥AB ，易得CE ＝3，同理可得CF ＝3，故CE ＝CF .因为OE ＝OF ，所以CO ⊥EF . 又EO ＝12EF ＝14BD ＝12，所以cos∠FEC ＝EOCE＝123＝36.3．(2015·课标全国Ⅱ)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的底面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值．解 (1)交线围成的正方形EHGF 如图：(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EM ＝AA 1＝8.因为四边形EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10.于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，所以AH ＝10. 以D 为坐标原点，DA →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则A (10,0,0)，H (10,10,0)，E (10,4,8)，F (0,4,8)，FE →＝(10,0,0)，HE →＝(0，－6，8)．设n＝(x ，y ，z )是平面EHGF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·FE →＝0，n ·HE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧10x ＝0，－6y ＋8z ＝0，所以可取n ＝(0,4,3)．又AF →＝(－10,4,8)，故|cos〈n ，AF →〉|＝|n ·AF →||n ||AF →|＝4515.所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4515.专题二空间角的求法1【B 】1．如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G 、H 、M 、N 分别为DE 、BE 、EF 、EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行； ②BD 与MN 为异面直线； ③GH 与MN 成60°角； ④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案 ②③④2．设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________．解：取AE 中点G, 连结GM 、BG ∵GM ∥ED ，BN ∥ED ，GM ＝21ED ，BN ＝21ED ． ∴ GM ∥BN ，且GM ＝BN ． ∴BNMG 为平行四边形，∴MN//BG ∵A 的射影为B ． ∴AB ⊥面BCDE ． ∴∠BEA ＝∠BAE ＝45°，又∵G 为中点，∴BG ⊥AE ．即MN ⊥AE ．∴MN 与AE 所成角的大小等于90度．图1C图2故填90°．3．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD，AC =2PA =，E 是PC 上的一点，2PE EC =。

线面角的求法总结

线面角的三种求法1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。

通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。

（2）SC 与平面ABC 所成的角。

解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,BMHSCA图1∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。

（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。

∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。

sin ∠SCH=SH ／SC∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。

） 2. 利用公式sin θ=h ／ι其中θ是斜线与平面所成的角， h 是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

例2 （如图2）长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角的正弦值。

A 1C 1D 1H4C123BAD解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5设AB 与面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5图23. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2已知，如图，AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于平面α，B 为垂足，则直线AB 是斜线在平面α内的射影。

线面角的求法总结[学习]

线面角的求法总结[学习]
一、定义
斜线面角，又称为投影面角，是指在一个平面和另一个平面上投影的两个斜线之间的
夹角。

一般我们用斜线来表示斜线面角，用直线来表示竖直面角。

二、求法
1.两斜线角度法
如果两斜线是相互垂直的，则斜线面角等于这两条斜线的夹角，这也是斜线面角最常
使用的求法。

4.斜线特点法
如果斜线有一个特点或异性，则可以用它来求斜线连接线的夹角，进而求出斜线面角。

比如说斜线的弦长、半径长I、斜线的最大距离C可以用来求斜线的斜线面角。

计算方式
如下：斜线面角=arcsin[(I-C)/C]
三、总结
以上就是斜线面角的求法总结：1.两斜线角度法；2.斜线直线角度法；3.斜线圆心角法；4.斜线特点法。

此外，也可以把斜线面角写成三角形的标准式求出，只要知道斜线面
角上两个边长，以及所角的度数就可以求出三角形的剩余一边所构成的总面角，也就是斜
线面角。

高中数学必修2立体几何专题线面角典型例题求法总结

线面角的求法1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。

通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。

（2）SC 与平面ABC 所成的角。

BMHSCA解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,图1∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。

（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。

∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。

sin ∠SCH=SH ／SC∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。

） 2. 利用公式sin θ=h ／ι其中θ是斜线与平面所成的角， h 是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

例2 （如图2）长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。

A 1C 1D 1H4C123BAD解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h ，∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB，易得h=12／5 ，设AB 与面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5，∴AB 与面AB 1C 1D 所成的角为arcsin0.8 3. 利用公式cos θ=cos θ1·cosθ2（如图3）若 OA 为平面的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在面α内的射影，OC 为面α内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角，B αOAC图3θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么 cos θ=cos θ1·cosθ2，它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）1．平面的斜线和平面所成的角：已知，如图，AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于平面α，B 为垂足，则直线AB 是斜线在平面α内的射影。

线面角的求法总结

线面角的三种求法直线和平面所成的角——斜线和射影所成的锐角(1)取值范围0°≤θ≤90° (2)求解方法①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ. ②解含θ的三角形，求出其大小.1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。

通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。

（2）SC 与平面ABC 所成的角。

解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,BMHSCA图1∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。

（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。

∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。

sin ∠SCH=SH ／SC∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。

） 2. 利用公式sin θ=h ／ι其中θ是斜线与平面所成的角， h 是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

例2 （如图2）长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。

线面角的求法总结

线面角的三种求法1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。

通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。

（2）SC 与平面ABC 所成的角。

解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,BMHSCA图1∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。

（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。

∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。

sin ∠SCH=SH ／SC∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。

） 2. 利用公式sin θ=h ／ι其中θ是斜线与平面所成的角， h 是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

例2 （如图2）长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角的正弦值。

A 1C 1D 1H4C123BAD解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5设AB 与面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5图23. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2已知，如图，AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于平面α，B 为垂足，则直线AB 是斜线在平面α内的射影。

空间中线线角,线面角,面面角成法原理与求法思路教学资料

空间中线线角,线面角,面面角成法原理与求法思路DBA C α空间中的夹角福建屏南一中李家有 QQ52331550空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

1、异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围是2,0(π。

求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。

具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用解三角形来求角。

简称为“作，证，求” 2、线面夹角直线与平面所成的角的范围是2,0[π。

求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

具体步骤如下：（若线面平行，线在面内，线面垂直，则不用此法，因为角度不用问你也知道）①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。

也是简称为“作，证，求”注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，β为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有θβ≤；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。

在右图的解释为BAD CAD ∠>∠））2.1确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上； ②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；已知：如图，BAC ∠在一个平面α内，,,PN AC PM AB PN PM ⊥⊥且＝（就是点P 到角两边的距离相等）过P 作PO α⊥（说明点O 为P 点在面α内的射影）求证：OAN OAM ∠∠＝（OAN OAM ∠∠＝，所以AO 为BAC ∠的角平分线，所以点O 会在BAC ∠的角平分线上）证明：PA ＝PA ，PN ＝PM ，90PNA PMA ∠∠︒＝＝PNA PMA ∴∆≅∆（斜边直角边定理） AN AM ∴＝ ①(PO NO MO PN PM α⊥⎫⇒=⎬⎭斜线长相等推射影长相等）＝ O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ⎫⎪⇒∆≅∆⇒∠∠⎬⎪⎭＝＝＝＝所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。

专题3 线线角、线面角求法高一数学必修第二册

CM⊂平面 PCD,所以 AM⊥CM.所以 S = △ACM 1 AM·MC= 6 .
2
2
设点 D 到平面 ACM 的距离为 h,由 V =V ,得 D-ACM M-ACD
1 S△ACM·h= 1 S · △ACD 1 PA,解得 h= 6 .
3
3
2
3
设直线 CD 与平面 ACM 所成的角为θ,则 sin θ= h = 6 ,
(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以 PA⊥AB. 因为AB⊥AD,AD∩PA=A,AD⊂平面PAD,PA⊂平面PAD, 所以AB⊥平面PAD.
因为PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD. 因为BM⊥PD,AB∩BM=B,AB⊂平面ABM,BM⊂平面ABM, 所以PD⊥平面ABM. 因为AM⊂平面A的一般步骤：（1）作：在斜线上选择恰当的一个点，作平面的垂线，确定垂足，
连接斜足和垂足，得到斜线在平面内的射影，斜线和其射影所成的角，即为斜线和平面所成的角；
（2）证：证明(1)中所作出的角就是所求直线与平面所成的角；（注：关键证明线面垂足，即证得斜线在面内的射影）
l
I．在其中一个半平面内取恰当的一点P，
过点P作另一个平面的垂线，垂足设为Q；
II．过点Q作棱l的垂线，垂足为O，连接OP；
III．易知，l垂直OP，所以∠POQ即为二面角
的平面角.
P
Q
难点突破二面角
例2. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-A1C1-B1的正切值.
【解】如图，取A1C1的中点O，连接B1O，BO，由题意知B1O⊥A1C1. 又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，所以BO⊥A1C1，所以∠BOB1是二面角B-A1C1-B1的平面角.

线面角的求法总结

线面角的求法总结三种求解线面角的方法1.直接法：当平面的斜线与斜线在平面内的射影相交时，它们所成的角即为直线与平面所成的角。

一般通过解直角三角形来计算，其中垂线段是最重要的元素，它可以联系各线段。

例如，在四面体ABCS中，SA、SB、SC两两垂直，且∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。

（2）SC与平面ABC所成的角。

解：（1）由于SC垂直于SB和SA，因此SB是BC在平面SAB上的射影，∴∠XXX为60°。

2）连接SM和CM，得到SM垂直于AB。

由于SC垂直于AB，因此AB垂直于平面SCM，从而面ABC垂直于面SCM。

过S作SH⊥CM于H，则SH⊥平面ABC，∴CH即为SC在面ABC内的射影。

因此，∠SCH为SC与平面ABC所成的角，其正弦值为√7／7.2.利用公式sinθ=h／ι，其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，ι是斜线段的长。

求出垂线段的长是关键也是难点，可以使用三棱锥的体积相等来求解。

例如，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，A1A=4，求AB与面AB1C1D1所成的角的正弦值。

解：设点B到AB1C1D1的距离为h，由于VAB1C1D1=VA1B1C1D，因此1／3S△AB1C1·h=1／3S△BB1C1·AB，解得h=12／5.设AB与面AB1C1D1所成的角为θ，则sinθ=h／AB=4／5.3.利用公式cosθ=cosθ1·cosθ2已知，其中AO是平面α的斜线，A是斜足，OB垂直于平面α，B为垂足，则直线AB是斜线在平面α内的射影。

设AC是平面α内的任意一条直线，且OBC垂直于AC，垂足为C，则∠BAO=θ1，∠BAC=θ2.例如，如图所示，求直线AB与平面α所成的角的余弦值。

解：由于OB垂直于平面α，因此∠XXX即为直线AB与平面α所成的角。

线面角的求法(最全版)PTT文档

（1）直线 A 1 与B 平面ABCD所成的角
（2）直线 A 1与B 平面 BD所D成1B1的角
向量法：以点D为原点建立空间直角坐标系 [D;X,Y,Z], 如图所示 A1(1,0,1)B(1,1,0)A(1,0,0） C(0,1,0)D(0,0,0)
A1 B (0 ,1, 1) 面ABCD的法向量是n=（0，0， 1）
所成的角
（2）转化的思想方法：在二维与三维空间的转化及线面角与线线角的转化过程中，体现出转化的思想方法。
掌握最小角定理并会B面与ABCDO所M成的所角成的角为
1、正四棱锥P-ABCD的所有棱长相等，E为PC中点，那么2 异面直线PA
OA与OM所成的角为
证明： 1
掌握最小角定理并会利用公式解决一些问题。
（同学们自己O推B导是三个斜角线度之O间A的在关系平）面内的射影。设OM
（2）直线与平面
所成的角
0
1
B
例2、1、在正正方三形棱是锥S平-ABC面中，内D为通的AB棱中过长点点为，1且O。SD的与B任C所意成角条为4直50，线则SD
2M
OA与OB所成的角为（2）直线与平面
cos cos 1
1 （ 0 90）
ab abcos a,b
斜线与平面所成的角
1、最小角定理：斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜
线与这个平面内所有直线所成角中最小的角。
2、规定：斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。
说明：（1）实质：空间角——平面角；线面角——线线角；（2）线面角的范围：斜线直线
二、教学重点和难点：
重点：线面角的概念、最小角定理
难点：线面角的求法

线面角的求法

03
线面角的应用
平面几何中的应用
01
直线和平面的交点
02
三角形的高线
通过线面角，可以确定一条直线和一个平面的交点位置。
在三角形中，可以使用线面角确定高线的位置，从而求得三角形的面积。
03
圆和直线的位置关系
通过线面角，可以确定一条直线和一个圆的位置关系。
空间几何中的应用
确定空间中点的位置
通过线面角，可以确定一个点在三个平面上的位置。源自空间几何体的表面积和体积
通过线面角，可以确定一个几何体的表面积和体积。
异面直线的距离
通过线面角，可以确定两条异面直线之间的距离。
物理学中的应用
弹性碰撞
在弹性碰撞中，可以通过线面角确定入射和反射的角度。
光的反射和折射
在光学中，可以通过线面角确定光的反射和折射角度。
波的传播
在波的传播过程中，可以通过线面角确定波的方向。
利用圆的性质
在圆中，利用圆的性质可以求出圆的半径和圆心坐标等。
利用向量求解的技巧
01
02
03
向量的数量积
利用向量的数量积可以求出两个向量的夹角，进而求出线面角。
向量的向量积
利用向量的向量积可以求出两个向量的外积，进而求出线面角。
向量的模长
利用向量的模长可以求出线段或平面的长度等。
06
计算点的坐标
根据题目所给条件，计算出线段或平面上的点的坐标。
计算向量
利用向量的坐标运算性质，计算出线段或平面上的向量的坐
标。
利用几何定理求解的技巧
利用勾股定理
在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段或平面上的点到原点的距离。

线面角的求法总结

线面角的求法总结一．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。

通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。

（2）SC 与平面ABC 所成的角。

解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,BMHSCA图1∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。

（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。

∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。

sin ∠SCH=SH ／SC∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。

）二利用公式sin θ=h ／ι其中θ是斜线与平面所成的角， h 是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

例2 （如图2）长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。

解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5设AB 与面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5A 1C 1D 1H4C123BAD图2∴AB 与面AB 1C 1D 所成的角为arcsin 4／5 三. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2（如图3）若 OA 为平面的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在面α内的射影，OC 为面α内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角，B αOAC图3θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么 cos θ=cos θ1·cos θ2 （同学们可自己证明），它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）例3（如图4）已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60°, ，求直线OA 与面OBC 所成的角的余弦值。

(完整版)求线面角的三种常见思路方法

求线面角的三种常见思路方法舒云水本文以2009年湖南卷理18题为例，介绍求线面角的三种常见思路方法，并对这三种方法作比较分析﹒如图1，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA =，点D 是11A B 的中点,点E 在11A C 上，且DE AE ⊥．(I ）证明：平面ADE ⊥平面11ACC A ；（II)求直线AD 和平面1ABC 所成角的正弦值．（Ⅰ）证明略．下面主要谈（Ⅱ）小题的解法﹒ 思路1：直接作出线面角求解﹒分析:因为本题几何图形是特殊的几何体-—正三棱柱，点D 在特殊位置上—-线段11B A 的中点，所以本题比较容易作出线面角﹒如图2，取AB 的中点F ,连结DF ，1DC ,F C 1，则面⊥1DFC 面1ABC ，过D 作FC DH 1⊥于H ,则⊥DH 面1ABC ，连结AH ，则HAD ∠是AD 和平面1ABC 所成的角﹒解法1 如图2，设F 是AB 的中点,连结DF ，1DC ，1C F ．由正三棱柱111ABC A B C -的性质及D 是11A B 的中点知，111A B C D ⊥,11A B DF ⊥．又1C DDF D =，所以11A B ⊥平面1C DF ．而11AB A B ∥，所以AB ⊥平面1C DF ．又AB ⊂平面1ABC ，故平面1ABC ⊥平面1C DF ．过点D 作DH 垂直1C F 于点H ，则DH ⊥平面1ABC ．连结AH ，则HAD ∠是直线AD 和平面1ABC 所成的角．由已知12AB AA =，不妨设12AA =，则2AB =，2DF =，13DC =，15C F =，2211AD AA A D =+3=，11·233055DF DC DH C F ⨯===．所以10sin 5DH HAD AD ∠==．105．即直线AD 和平面1ABC 所成角的正弦值为思路2：用等体积法求出点D 到面1ABC 的距离h ,ADh为所求线面角的正弦值．分析如图3，连结D C 1，BD ，即得四棱锥1ABC D -．用等体积法，即DAB C ABC D V V --=11，容易求出点D 到平面1ABC 的距离h ，ADh为所求线面角的正弦值．解法2：如图3，连结D C 1,BD ．因为平面⊥111C B A 平面1AB ，D C 1⊥11B A ,所以D C 1⊥平面1AB ．不妨设12AA =，则2AB =，13DC =，611==BC AC ，BD AD ==3。

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