第二章 拉普拉斯变换
合集下载
2第二章拉普拉斯变换及其应用
斜坡函数的定义式为：
f
(t)
0 Kt
(t 0) (t 0)
式中k为常数
在自动控制原理中，斜坡函数是一个对时间作均匀变化的信号。
在研究随动系统时，常以斜坡信号作为典型的输入信号。同理，
根据拉氏变换的定义式有：
上一页 下一页 返回
2.1 拉氏变换的概念
F (s) LKt Ktestdt 0
L
f
(t
)(dt
)2
F(s) s2
L
n
f
(t)(dt)n
F(s) sn
上一页 下一页 返回
2.2 拉氏变换的运算定理
上式同样表明，在零初始条件下，原函数的重积分的拉氏式等 于其象函数除以。它是微分的逆运算，与微分定理同样是十分 重要的运算定理。
五、位移定理 L et f (t) F(s )
即
0
(t)dt lim 0
0
(t)dt 1
（2.2）
上一页 下一页 返回
2.1 拉氏变换的概念
在自动控制系统中，单位脉冲函数相当一个瞬时的扰动信号。 它的变换式由式（2.1）有
F (s) L (t) (t)estdt 0
lim
0
0
(t
)e
st
dt
(t
)e
st
dt
存在（收敛），应满足下列条件：
当 t 0 ， f (t) 0 ；
当 t 0 ， f (t) 分段连续；
当 t ，est 较 f (t) 衰减得更快。
上一页 下一页 返回
2.1 拉氏变换的概念
由于
f (t)est dt
0
是一个定积分，t 将在新函数中消失。
因此， F(s) 只取决于s，它是复变数s的函数。拉氏变换将原
第二章 拉普拉斯变换
例5 求正弦函数 f (t ) sin k t
解 ℒ
st
(k R) 的拉氏变换
则
1 f (t ) 0 sin k t e dt 0 sin k t de s t s 1 st st e sin k t k e cos k tdt 0 0 s 1 s t 2 e cos k tdt 0 s 1 st st 2 e cos k t k e sin k tdt 0 0 s
f (t T ) f (t ) (t 0)
当 f (t ) 在一个周期上连续或分段连续时,则有
1 ℒ f (t ) s T 1 e
T
0
f (t )e s t dt
这是求周期函数拉氏变换公式
2.2 拉普拉斯变换的性质
2.2.1 线性性质 ℒ [ f 2 (t )] F2 ( s) ， , 常数 设 ℒ [ f1 (t )] F1 ( s) ， 则
Re s 0
n t 例4 求幂函数 n 1 的拉氏变换。
解: ℒ t 0
n
n 1 t e dt s n 1
n st
Re s 0
当 n 为正整数时,
n! ℒ t s n 1
n
Re s 0
0
2 k k sin k t e s t dt 2 2 s s
0
sin k t e s t dt
k 所以 ℒ sin k t 2 s k2
Re s 0
2.1.3 周期函数的拉普拉斯变换 可以证明:若 f (t ) 是周期为 T 的周期函数,即
积分变换-2 拉普拉斯变换
f (t + T ) = f (t) t > 0
且 f (t)在一个周期内分段连续，则有 T 1 st F(s) = f (t)e dt (Re s > 0) sT ∫ 0 1 e
2-2 Laplace变换的基本性质 Laplace变换的基本性质
1、线性性质 2、相似性质 3、延迟性质 4、位移性质 5、微分性质 6、积分性质 7、卷积与卷积定理
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
（1）Laplace变换实际上就是一种单边的广 Laplace变换实际上就是一种单边的广 义的Fourier变换。 义的Fourier变换。 （2）Laplace变换的复反演积分公式： Laplace变换的复反演积分公式 复反演积分公式：
1[F(s)] = 1 β + j∞F(s)est ds (t > 0) f (t) = L 2πj ∫β j∞
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
如何克服上述两个缺点？ （1）单位阶跃函数
1, t ≥ 0 H(t) = 0, t < 0 用H(t)乘以 f (t)，这样得到的 f (t)H(t)，在
t < 0时就等于零，在 t ≥ 0 时仍为 f (t) ， 就有可能使其积分区间由 ( ∞,+∞) 变为 [0,+∞)
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
Fourier变换的局限： Fourier变换的局限： （1）绝对可积的条件较强，许多简单的常见函数 （如单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数以及线 性函数等）都不满足这个条件，都不能作古典的 Fourier变换。 Fourier变换。 （2）可以进行Fourier变换的函数必须在整个数轴 ）可以进行Fourier变换的函数必须在整个数轴 上有定义，但在物理和无线电技术等实际应用中， 许多以时间t 许多以时间t作为自变量的函数往往在 t <0 时是无意义的或是不需要考虑的，像这样的函数 都不能取Fourier变换。 都不能取Fourier变换。
第二章 拉普拉斯变换
k 解：已知 L[sin kt ] = 2 由位移性质得 2 s +k
k L[e sin kt ] = ( s + a)2 + k 2 ì 0 t< t ï ï 例 3 求函数 u (t - t ) = í ï ï î1 t> t
- at
的 Laplace 变换
解：已知 L[u (t )] =
1 s
s= sk
k= 1
f (t ) =
å
n
Re s[ F ( s)e st ]
s = sk
k= 1
例 1 利用留数方法求 F ( s) = s 解： f (t ) = L- 1[
=
s2 + 1
的逆变换
s s st s st ] = e + e 2 s = j 2s s= - j s +1 2s
1 jt (e + e- jt ) = cos t 2
= 1+ (t - 1)et
t> 0
§2.4 卷积
一 、卷积的概念：
f 1 (t ) * f 2 (t ) =
ò
t
0
f1 (t ) f 2 (t - t )d t
交换律 f 1(t ) * f2 (t ) = f2 (t ) * f 1(t ) 结合律 f 1(t ) *[ f2 (t ) * f3 (t )] = [ f 1 (t )*] f2 (t ) * f3 (t ) 对加法的分配率 f 1(t ) *[ f2 (t ) + f3 (t )] = f 1(t ) * f2 (t ) + f 1(t ) * f3 (t ) 二、 卷积定理 设 f 1 (t ) 与 f 2 (t ) 都满足 Laplace 变换存在的条件，且 f (t ) * f 2 (t ) 的 Laplace 变 L[ f1 (t )] = F 1 ( s), L[ f 2 (t )] = F 2 ( s) 则 1 换一定存在，且 L[ f1 (t ) * f2 (t )] = F1 (s) F2 (s) -1 或 L [F1 (s) ?F2 (s)] f1 (t ) * f2 (t )
k L[e sin kt ] = ( s + a)2 + k 2 ì 0 t< t ï ï 例 3 求函数 u (t - t ) = í ï ï î1 t> t
- at
的 Laplace 变换
解：已知 L[u (t )] =
1 s
s= sk
k= 1
f (t ) =
å
n
Re s[ F ( s)e st ]
s = sk
k= 1
例 1 利用留数方法求 F ( s) = s 解： f (t ) = L- 1[
=
s2 + 1
的逆变换
s s st s st ] = e + e 2 s = j 2s s= - j s +1 2s
1 jt (e + e- jt ) = cos t 2
= 1+ (t - 1)et
t> 0
§2.4 卷积
一 、卷积的概念：
f 1 (t ) * f 2 (t ) =
ò
t
0
f1 (t ) f 2 (t - t )d t
交换律 f 1(t ) * f2 (t ) = f2 (t ) * f 1(t ) 结合律 f 1(t ) *[ f2 (t ) * f3 (t )] = [ f 1 (t )*] f2 (t ) * f3 (t ) 对加法的分配率 f 1(t ) *[ f2 (t ) + f3 (t )] = f 1(t ) * f2 (t ) + f 1(t ) * f3 (t ) 二、 卷积定理 设 f 1 (t ) 与 f 2 (t ) 都满足 Laplace 变换存在的条件，且 f (t ) * f 2 (t ) 的 Laplace 变 L[ f1 (t )] = F 1 ( s), L[ f 2 (t )] = F 2 ( s) 则 1 换一定存在，且 L[ f1 (t ) * f2 (t )] = F1 (s) F2 (s) -1 或 L [F1 (s) ?F2 (s)] f1 (t ) * f2 (t )
第二章 拉普拉斯变换
s p1 或s p 2
a3 an a1s a2 s ( s p1 )( s p2 ) 或sp1 p2 ( s pn ) ( s p1 )( s p2 ) ( s p3 )
机械工程控制基础
例8
s 1 已知: F ( s) 3 2 求: f(t) s s s
a1s a2 a3 F ( s) 2 s s 1 s
s s 1
2
1 3 的两个复数根为： j 2 2
将上式两边同乘
s s 1
2
1 3 并令s= 2 j 2
1 3 1 3 得 j a1 ( j ) a 2 2 2 2 2
实部和虚部分别相等，得a1=-1,a2=0
1
6( s 2) 传递函数 ] 若R(s)=1，则 y (t ) L [ 2 s 7 s 12 12 1 6 L [ ] s3 s4 3t 4t 6e 12 e
1
机械工程控制基础
La(t )
0
1 2 st 1 t e dt 3 2 s
0 (t ) t0 t0
(单位）脉冲函数
L (t ) 1
机械工程控制基础
正弦函数 sinωt
Lsin(t ) 2 2 s
余弦函数 cosωt
s Lcos( t ) 2 2 s
3 2
( s 2s 3s 1) x0 ( s) (2s 1) xi ( s)
3 2
2s 1 x0 ( s) 3 机械工程控制基础 xi ( s) 2 s 2s 3s 1
(3) 几种典型时间函数的拉氏变换
单位阶跃函数
机械控制理论基础课件第2章拉普拉斯变换
械的
控位
移
制定
理理
论
若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一 常数a,有
L[eatf (t)] F(s a)
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
机微
械分
控
定 理
制
理
论
设f(t)的拉氏变换为F(s),
则 L[df (t)] L[ f '(t)] sF(s) f (0 )
dt
其中f(0+)由正向使t 0时的f(t)值。
第二章 拉普拉斯变换的数学方法Leabharlann 一、复数和复变函数机
两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.
械
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.
控
说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大小, 如果 不全是实数, 就不能比较大小, 也就是说, 复数不能比
制 较大小.
理 共轭复数：实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两
f (0 ) lim f (t) lim sF(s)
t 0
s
证明技巧：可利用微分定理来进
行证明
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
机
械
终 值
控定
制理
理
论
若f(t)的拉氏变换为F(s),则终值
定理表示为：
lim f (t) lim sF(s)
t
s0
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
机 拉普拉斯(Laplace)变换:
械 时域的微分方程
复数域的代数方程
控 优点：1、用图解法预测系统性能；
制
2、解微分方程时，可同时获得解的瞬态分量
和稳态分量。
理
教学课件：第二章拉普拉斯变换及其应用
信号处理
在信号处理中，拉普拉斯变换可以用于分析信号的频域特性，例如傅里 叶变换和Z变换等。
03
电路分析
在电路分析中，拉普拉斯变换可以用于分析线性时不变电路的响应，例
如求解一阶和二阶电路的零状态响应。
02 拉普拉斯变换的基本理论
拉普拉斯变换的公式和定理
拉普拉斯变换的定义
对于所有实数$s$，定义函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$int_{0}^{infty}f(t)e^{-st}dt$。
拉普拉斯变换的线性性质
如果$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换存在，那么对于任意实数$a$和$b$，$(af(t)+bg(t))$的 拉普拉斯变换等于$aF(s)+bG(s)$，其中$F(s)$和$G(s)$分别是$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变 换。
拉普拉斯变换的延迟性质
如果$f(t)$的拉普拉斯变换存在，那么$f(t-a)$的拉普拉斯变换等于$e^{-as}F(s)$，其中 $F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换的公式为：F(s) = ∫f(t)e^(-st) dt (s为复数，t为 实数)。
拉普拉斯变换的性质
线性性质
如果c1和c2是常数，f1(t)和f2(t) 是任意函数，那么c1f1(t) + c2f2(t)的拉普拉斯变换等于 c1F1(s) + c2F2(s)。
时移性质
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(at-b)的拉普拉斯变换为 a^(-b)F(s/a)。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
根轨迹的应用
03
根轨迹分析在控制系统分析和设计中具有重要应用，通过根轨
迹可以判断系统的稳定性、分析系统的性能指标等。
在信号处理中，拉普拉斯变换可以用于分析信号的频域特性，例如傅里 叶变换和Z变换等。
03
电路分析
在电路分析中，拉普拉斯变换可以用于分析线性时不变电路的响应，例
如求解一阶和二阶电路的零状态响应。
02 拉普拉斯变换的基本理论
拉普拉斯变换的公式和定理
拉普拉斯变换的定义
对于所有实数$s$，定义函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$int_{0}^{infty}f(t)e^{-st}dt$。
拉普拉斯变换的线性性质
如果$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换存在，那么对于任意实数$a$和$b$，$(af(t)+bg(t))$的 拉普拉斯变换等于$aF(s)+bG(s)$，其中$F(s)$和$G(s)$分别是$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变 换。
拉普拉斯变换的延迟性质
如果$f(t)$的拉普拉斯变换存在，那么$f(t-a)$的拉普拉斯变换等于$e^{-as}F(s)$，其中 $F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换的公式为：F(s) = ∫f(t)e^(-st) dt (s为复数，t为 实数)。
拉普拉斯变换的性质
线性性质
如果c1和c2是常数，f1(t)和f2(t) 是任意函数，那么c1f1(t) + c2f2(t)的拉普拉斯变换等于 c1F1(s) + c2F2(s)。
时移性质
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(at-b)的拉普拉斯变换为 a^(-b)F(s/a)。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
根轨迹的应用
03
根轨迹分析在控制系统分析和设计中具有重要应用，通过根轨
迹可以判断系统的稳定性、分析系统的性能指标等。
第二章 拉普拉斯变换
t
的 Fourier 变换
两点说明
(1) 像函数 F ( s ) 的存在域一般是一个右半平 Re s c 面 即只要复数 s 的实部足够大就可以了。 ,
因此在进行Laplace变换时，常常略去存在域， 只有在非常必要时才特别注明。
(2) 在 Laplace 变换中的函数一般均约定在 t < 0 时为零，
(1)
(2) (3)
[1] = [ u ( t ) ]
[ ( t ) ] 1; [t m ]
s m!
m 1
1 s
;
(4)[eat源自]1 sa
2
;
s ; .
(5)
Γ ( m 1) s
m 1
[ cos a t ]
[
sin a t
;
(6)
]
s a a s a
2
2
2
特点 变换的结果均为分式函数。
3、复数的向量表示法 4、复数的三角表示法 5、复数函数
首页
上页
返回
下页
结束
铃
2
1、复数域
1.1 虚单位:
实例 : 方程 x 1 在实数集中无解
2
.
对虚数单位的规定:
( 1 ) i 1;
2
(2) i 可以与实数进行四则运算
3
虚数单位的性质:
i i;
1 4 2 2
i 1;
4n 2
1,
i
4n 3
i.
4
1.2 复数的代数形式的定义:
对于 x , y R , 称 z x yi 或 z x iy 为复数 .
实部 记做：Rez=x
第二章 拉普拉斯变换
非重根si：
二重根sj：
1.对F(s)的分母做因式分解后，将F(s)分 解为三部分：
2.利用留数定理确定待定系数：
由此得到F(s)的常用函数组合：
3.利用Laplace变换的线性性质和复移位性 质，反变换F(s)得到f(t):
三、象函数包含有共轭复根
• 共轭复根的特点是两个根具有相同的实部 和符号相反的虚部，如： • 共轭复根在象函数的分母中可以表示为：
的形式，其中
。
的形式，其中
。
6. 初值定理： 若 和 均可以进行Laplace变
换，且
存在，则：
7. 终值定理： 若 和 且
均可以进行Laplace变换，
存在，则：Байду номын сангаас
说明：该定理只适用于像函数 在复平 面右半平面和虚轴上（除坐标原点外）没有 极点的情况。即： 的根不能是 正实数或纯虚数
第二章
第3小节
的
推论：若
，则
同理：
4. 延迟性质： 时间函数 数等于 若 在时间轴上平移 的像函数 ，则： ,其像函 。 乘以指数因子
5. 复移位性质： 原函数 乘以指数 ，其像函数等于 的像函数 在复数域平移a，其中a 为实常数可取正、负值。 若 ，则：
例： 可以拆分成 已知： 那么：
例： 可以拆分成 已知： 那么：
例：电阻、电感、电容串联 构成的电路如图，其中， 各元件初始状态皆为0，即：
当电压源上产生单位阶跃函 数的电压后，电路的输出会 产生怎样的响应函数。
解： 1. 列写电路的微分方程 输入信号： 输出信号： 串联电路：
2. 对微分方程进行拉氏变换 零初始条件下：
3.求解拉氏变换后的代数方程：
第二章拉普拉斯变换.ppt
K11 (s s1)r
(s
K12 s1)r1
...
K1r s s1
F2 (s)
(s s1)r F(s) K11 (s s1)K12 ... (s s1)i1K1i ...
(s s1)r1K1r (s s1)r F2(s)
K11
s2 2
cost 1 d sin t dt
线性、微分定理
Lcost
1
s
s2
2
s2
s
2
Example 3
sin t 1 d cost dt
线性、微分定理
?
Lsin t
1
s
s2
s
2
s2 / s2 2
cos
m
m1
s X c (s) an1s X c (s) a0 X c (s)
n
n1
用 s 替代微分，用1/s 替代积分
五、时域积分特性(定理)
f t Fs
n重f积t分dt n
s n
1
m1
F(s)
f
s nm1 (0 )
n (m)
1(t) F (s) 0 (t)e dt
st
s 1
2)e-at
eat F(s) 0eatestdt
sa 1
前一页 后一页
3)tn(n为整数)
tn F(s)
0t
nest dt
s
t n est
s
0
n
0t
n1est
第2章 拉普拉斯变换及其应用
j
这个平面就被 我们称为是S 域或复数域
＋１
5
第二章 拉普拉斯变换及其应用
•
由于0
f
(t)e是st d一t 个定积分，
将在t 新函数
中消失。因此， 只取F(s决) 于 ，它是s 复
变数 的函数s。拉氏变换将原来的实变
量函数 转化为复f (变t) 量函数 。
• 拉氏变换是一种单值变换。 和 之间
第二章 拉普拉斯变换及其应用
自动控制原理
1
第二章 拉普拉斯变换及其应用
• 拉氏变换的概念 • 拉氏变换的运算定理 • 拉氏反变换 • 应用拉氏变换求解微分方程
2
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.1 拉氏变换的概念
Laplace变换是求解线性常微分方程常用的一 种数学工具。与线性常微分方程的经典求解 方法相比，Laplace变换有如下两个显著的特 点： • 只需一步运算就可以得到微分方程的通解
s(s 1)
s s 1
19
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.4 应用拉氏变换求解微分方程
例2-5 求典型一阶系统的单位阶跃响应的原函数。
T dc(t) c(t) r(t) dt
解：单位阶跃信号， r(t) 1(t) 则
R(s) 1 s
TsC(s) C(s) R(s) C(s) 1 1
其中，A、B是待定系数，将上式进行通分后可得：
A B A(s 1) Bs (A B)s A
s s 1 s(s 1)
s(s 1)
比较以上两式的分子，可得： A
B A
1
2
A
B
1
这个平面就被 我们称为是S 域或复数域
＋１
5
第二章 拉普拉斯变换及其应用
•
由于0
f
(t)e是st d一t 个定积分，
将在t 新函数
中消失。因此， 只取F(s决) 于 ，它是s 复
变数 的函数s。拉氏变换将原来的实变
量函数 转化为复f (变t) 量函数 。
• 拉氏变换是一种单值变换。 和 之间
第二章 拉普拉斯变换及其应用
自动控制原理
1
第二章 拉普拉斯变换及其应用
• 拉氏变换的概念 • 拉氏变换的运算定理 • 拉氏反变换 • 应用拉氏变换求解微分方程
2
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.1 拉氏变换的概念
Laplace变换是求解线性常微分方程常用的一 种数学工具。与线性常微分方程的经典求解 方法相比，Laplace变换有如下两个显著的特 点： • 只需一步运算就可以得到微分方程的通解
s(s 1)
s s 1
19
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.4 应用拉氏变换求解微分方程
例2-5 求典型一阶系统的单位阶跃响应的原函数。
T dc(t) c(t) r(t) dt
解：单位阶跃信号， r(t) 1(t) 则
R(s) 1 s
TsC(s) C(s) R(s) C(s) 1 1
其中，A、B是待定系数，将上式进行通分后可得：
A B A(s 1) Bs (A B)s A
s s 1 s(s 1)
s(s 1)
比较以上两式的分子，可得： A
B A
1
2
A
B
1
第二章拉普拉斯变换
page 3
第二章 拉普拉斯变换
一、拉普拉斯变换的定义
设时间函数 f (t)，,则t 0 的拉普f (拉t) 斯变换定义为
控 制
L[ f (t)] F(s) f (t) estdt 0
工
程
基 础
象函数(Image Function)
原函数(Original Function )
page 4
制 工
2
程
基 础
cost 1 (e jt e jt )
2
page17
第二章 拉普拉斯变换
三、使用MATLAB符号运算工具箱进行拉氏变换
MATLAB提供了 laplace（）函数来实现拉氏变换。
例2-1 求解函数 ebt cosat c 的拉氏变换。
控 制
解：输入以下命令
工
程 %L0201.m
A s2
eTs
1 eTs
seTs
page24
第二章 拉普拉斯变换
三、周期函数的拉氏变换
若函数 f 是(t)以T 为周期的周期函数,L f t f t estdt 0
控 制
T f testdt 2T f testdt n1T f t estdt
第二章 拉普拉斯变换
（六）正弦函数
正弦函数（Sine Function）的数学表达式为
r(t) sin t (t≥0)
控 式中， 为正弦函数的角频率。
制
工 程 基
其拉氏变换为 L[sin t] sin t estdt 0
础
1 (e jt ejt )est d t 2j 0
s2 2
u(t或) 1(t)来表示。 其变化曲线
0
t
控 如图2-1-2所示。
拉普拉斯变换
三、一些常用函数的拉普拉斯变换
公式
1 1. L[u (t )] = (Re p > 0) p 1 − pb L[u (t − b)] = e (Re p > 0) p 1 at 2. L[e ] = (Re p > Re a ) p−a a 3. L[sin at ] = (Re p > Im a ) 2 2 p +a p L[cos at ] = 2 (Re p > Im a ) 2 p +a
(2) L[t sin t ]
5. 积分性
F ( p) L[ f (t )] = F ( p ) ⇒ L[ ∫0 f (u )du ] = , p ∞ f (t ) ∞ −1 若 ∫p F ( ρ )d ρ 存在 ⇒ = L [ ∫p F ( ρ )d ρ ] t f (t ) ∞ ⇔ L[ ] = ∫p F ( ρ )d ρ t
p →∞
f (0) = lim f (t )= lim pF ( p).
t →0 p →∞
终值定理 若 L[ f (t )] = F ( p ), L[ f ′(t )]与 lim f (t )
t →+∞
存在，则
f (+∞) = lim f (t )= lim pF ( p).
t →+∞ p →0
基本公式
+∞
1 α + i∞ pt ==== ∫α −i∞ F ( p)e dp = f (t )(t > 0) dp = idw 2π i
p =α + iw
二、求拉氏逆变换的方法
1、公式+性质法： 2、留数法：（p181定理）
f (t ) = L [ F ( p )] = ∑ Re s[ F ( p)e , pk ]
拉普拉斯变换
其中s j，f t t u t
0
0
f t e
j t
dt
f t e st dt
s 设F s G j
3
则F s
定义：
0
f t e st dt （s为复参量）
2.微分性质
若L f t F s ，则有L f t sF s f 0 .
证明： L f t
0
f t e-st dt
19
f t e
-st 0
sL f t f 0 .
2 f 0 1 ， f 0 0 ， f t k cos kt 解：
由性质2有
2 L k cos kt f t L
s2 L f t sf 0 f 0
如u t ， cos kt ，t m 等函数都不满足傅氏积分定理中
的绝对可积条件,但它们满足拉氏定理中的条件2
9
事实上 u t 1 e 0t，M 1，c 0
cos kt 1 e ， M 1，c 0
0t
tm 由于 lim t 0，所以t 充分大后有t m e t t e 故t m 是按指数级增长的函数 M 1，c 1
k 0
2 k 1b
2 kb
f t e dt
-st
令t 2kb，则
2 k 1b
2 kb
f t e dt
-st
2b
第二章拉普拉斯变换
f (t )
F ( s)
解：将F(s)进行因式分解后得到
C3 C2 C1 C4 ( s 1) 2 s 1 s s 3 s2 2 C3 lim s F ( s) lim 2 3 s 0 s 0 ( s 1) ( s 3) s2 1 C 4 lim ( s 3) F ( s) lim 2 12 s 3 s 3 s ( s 1) s2 1 C 2 lim ( s 1) 2 F ( s) lim 2 s 11 s 11 s ( s 3) d d s2 3 C1 lim [(s 1) 2 F ( s)] lim [ ] 4 s 11 ds s 11 ds s ( s 3)
f (t )
的拉
拉氏变换的几 个基本定理
并称 4.位移定理 e at t 0 f (t ) at f(t) 称为 F(s) 的原函数。 L [ e f ( t )] F 0 at) 0 • 复域位移定理 (s
f(t)
0
n L t... f ( t ) dt s n F ( s) F(s) f(t) 的象函数或变换函数， n 为
s 0
0
2.1 控制系统的微分方程
例一
已知
f (t ) A，求F(s)。这里A是常数。
A s
解：因为A是常数，所以，根据线性定理则有
F ( s ) L[ A 1(t )] AL[1(t )]
例二
已知 f (t ) t ，求F(s)。
解：根据实域位移定理则有
e s F ( s) L[(t ) 1(t )] 2 s
将所求得的系数代入F(s)中
1 1 3 1 2 1 1 1 F ( s) 2 ( s 1) 2 4 s 1 3 s 12 s 3
拉普拉斯变换
t
目录 上页 下页 返回 结束
工程数学 --------- 积分变换
推论
1 Λ[∫ dt∫ dtL∫ f (t)dt] = n F(s) 0 0 0 s 象函数积分性质 ∞ f (t) − 1 Λ [∫ F(s)ds] = s t 或 ∞ f (t) ] = ∫ F(s)ds Λ[ s t 一般地 ∞ ∞ ∞ f (t) Λ[ n ] = ∫ ds∫ dsL∫ F(s)ds s s s t
Λ[ f (n) (t)] = snF(s) −sn−1 f (0) −L− f (n−1) (0)
特别地， 特别地， f (0) = f ′(0) =L= f (n−1) (0) = 0 ， 当 时 有
Λ[ f (t)] = s F(s)
(n) n
工程数学 --------- 积分变换
目录 上页 下页 返回 结束
F(s) = ∫ f (t)e−stdt
0 +∞
在 平 R s) > c一 存 ， 端 分 R s) ≥ c1 > c上 半 面 e( 定 在 右 积 在 e( 半 面 ， 绝 收 而 一 收 ， 且 R s) > c的 平 内 对 敛 且 致 敛 并 在 e(
F(s)为 析 数 解 积分变换 . 函 工程数学 ---------
F(s) = Λ[ f (t)]
工程数学 --------- 积分变换
目录 上页 下页 返回 结束
f (t)称 F(s)的 普 斯 变 (象 函 ), 记 为 拉 拉 逆 换 原 数 作
f (t) = Λ−1[F(s)]
注：
Λ[ f (t)] = Φ [ f (t)u(t)e−βt ]
工程数学 --------- 积分变换
目录 上页 下页 返回 结束
工程数学 --------- 积分变换
推论
1 Λ[∫ dt∫ dtL∫ f (t)dt] = n F(s) 0 0 0 s 象函数积分性质 ∞ f (t) − 1 Λ [∫ F(s)ds] = s t 或 ∞ f (t) ] = ∫ F(s)ds Λ[ s t 一般地 ∞ ∞ ∞ f (t) Λ[ n ] = ∫ ds∫ dsL∫ F(s)ds s s s t
Λ[ f (n) (t)] = snF(s) −sn−1 f (0) −L− f (n−1) (0)
特别地， 特别地， f (0) = f ′(0) =L= f (n−1) (0) = 0 ， 当 时 有
Λ[ f (t)] = s F(s)
(n) n
工程数学 --------- 积分变换
目录 上页 下页 返回 结束
F(s) = ∫ f (t)e−stdt
0 +∞
在 平 R s) > c一 存 ， 端 分 R s) ≥ c1 > c上 半 面 e( 定 在 右 积 在 e( 半 面 ， 绝 收 而 一 收 ， 且 R s) > c的 平 内 对 敛 且 致 敛 并 在 e(
F(s)为 析 数 解 积分变换 . 函 工程数学 ---------
F(s) = Λ[ f (t)]
工程数学 --------- 积分变换
目录 上页 下页 返回 结束
f (t)称 F(s)的 普 斯 变 (象 函 ), 记 为 拉 拉 逆 换 原 数 作
f (t) = Λ−1[F(s)]
注：
Λ[ f (t)] = Φ [ f (t)u(t)e−βt ]
工程数学 --------- 积分变换
第二章 拉氏变换
− f (t) = L 1[F(s)]
它表示对中括号中的函数求拉氏反变换。 它表示对中括号中的函数求拉氏反变换。 不同的原函数对应着不同的象函数；反过来， 不同的原函数对应着不同的象函数；反过来，不同 的象函数对应着不同的原函数。它们之间有一一对应 的象函数对应着不同的原函数。 的关系。 的关系。 以后我们用小写字母表示原函数， 以后我们用小写字母表示原函数，用大写的相同字 母表示象函数。 母表示象函数。如：
=∫ e
0−
∞
−(s+α)t
1 −(s+α)t ∞ 1 dt = − e = 0− s +α s +α
1 ∴ L[e ] = s +α 1 −1 −αt L[ ] =e s +α
−αt
③ (s) = L[δ (t)] = ∫ δ (t)e dt = ∫ δ (t)e dt F
−st −st 0− −∞
解 ① (s) = L[ε(t)] = ∫ ε(t)e−stdt ： F
0− ∞
1 −st ∞ 1 = ∫ e dt = − e = 0+ 0+ s s
−st
∞
1 ∴ L[ε(t)] = s −1 1 L [ ] = ε(t) s
② (s) = L[e ] = ∫ e e dt F
0−
−αt
∞
−αt −st
ε(t)
eαt
1 s 1 s −α
t e (n为正整数 为正整数) 为正整数
n −αt
(1−αt)e−atδ (t)A源自A(1−e−αt )1
A s Aα s(s +α) n! sn+1
sin( ωt +φ)
cos(ωt +φ)
它表示对中括号中的函数求拉氏反变换。 它表示对中括号中的函数求拉氏反变换。 不同的原函数对应着不同的象函数；反过来， 不同的原函数对应着不同的象函数；反过来，不同 的象函数对应着不同的原函数。它们之间有一一对应 的象函数对应着不同的原函数。 的关系。 的关系。 以后我们用小写字母表示原函数， 以后我们用小写字母表示原函数，用大写的相同字 母表示象函数。 母表示象函数。如：
=∫ e
0−
∞
−(s+α)t
1 −(s+α)t ∞ 1 dt = − e = 0− s +α s +α
1 ∴ L[e ] = s +α 1 −1 −αt L[ ] =e s +α
−αt
③ (s) = L[δ (t)] = ∫ δ (t)e dt = ∫ δ (t)e dt F
−st −st 0− −∞
解 ① (s) = L[ε(t)] = ∫ ε(t)e−stdt ： F
0− ∞
1 −st ∞ 1 = ∫ e dt = − e = 0+ 0+ s s
−st
∞
1 ∴ L[ε(t)] = s −1 1 L [ ] = ε(t) s
② (s) = L[e ] = ∫ e e dt F
0−
−αt
∞
−αt −st
ε(t)
eαt
1 s 1 s −α
t e (n为正整数 为正整数) 为正整数
n −αt
(1−αt)e−atδ (t)A源自A(1−e−αt )1
A s Aα s(s +α) n! sn+1
sin( ωt +φ)
cos(ωt +φ)
第2章第1节拉普拉斯变换
lim f ( t ) lim s F ( s )
t
AEEC
航空工程实验中心
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
二.拉氏反变换
1. 定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称 为拉氏反变换。记为 L1 [ F ( s )] 。由F(s) 可按下式求出 1 C j 1 st f (t ) L [ F ( s)] F ( s )e ds(t 0) 2 j C j 式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实 部。接按上式求原函数太复杂，一般都用查 拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必 须是一种能直接查到的原函数的形式。
0
0 t
f 2 ( ) d f1 (t )e st dt
令t , 则 L[ f1 (t ) f 2 ( ) d ]
0
0
f 2 ( ) d f1 ( )e s ( ) d
0
0
f 2 ( )e
s
1
即：
同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为 1 1 ( 1) 1 ( 2 ) 2 L[ f (t )dt ] 2 F ( s ) 2 f (0) f (0) s s s 若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0 则有 1 n L[ f (t )dt ] n F ( s) s 即原函数 f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象 n 函数除以 s 。
L[ h(t )] sL[ h(t )] h(0)
1 1 1 1 L[ h(t )] L[ h (t )] h(0) L[ f (t )] h(0) s s s s 1 1 1 F ( s ) f ( 0) s s
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如果时间函数 f (t )在t＝0处包含一个脉冲函数
函数用拉氏积分 0
e st dt
进行变换；
第二章 拉普拉斯变换
(4) F (s)为时间函数 f (t ) 的拉氏变换。
于是，时间函数f (t ) 的拉氏变换为
L[ f (t )] F (s) e dt[ f (t )] f (t )e st dt
st 0 0
0
( j ) t
（2.2）
dt
这就产生了一种新的变换—拉普拉斯（Laplace）变换， 简称拉氏变换。 我们规定：
(1) f (t ) (t )u(t ) 为时间t的函数，并且当t<0时 f (t ) 0 ；
(2) s j为复变量； (3) L 为运算符号，放在某个时间函数之前，表示该时间
At 2 f (t ) 0 t0 t0
（2.27）
式中，A为常数。 其拉氏变换为
A L[ At ] At e dt t 2e st 0 s 1 2A 3 s
2 2 st 0
2 te st dt 0
（2.28）
当 A 时的加速度函数称为单位加速度函数，如图2.6(a) 2 所示，用
sin t 1 jt jt (e e ) 2j
因此，正弦函数的拉氏变换为
L[ A sin t ] A jt jt st (e e )e dt 2 j 0 A 1 A 1 A 2 2 j s j 2 j s j s 2
（2.17）
(2) 当求解控制系统输入输出微分方程时，求解的过程得到简
化，可以同时获得控制系统的瞬态分量和稳态分量。 (3) 拉氏变换可把时域中的两个函数的卷积运算转换为复频域
中两函数的乘法运算。
第二章 拉普拉斯变换
2.1 拉氏变换的概念
2.1.1问题的提出 利用单位阶跃函数 u(t ) 和指数衰减函数 e t (β＞0)所具有的
f (t )
A t0
0
（2.20）
其拉氏变换为
（2.21）
t0
t
图2.4 脉动函数
第二章 拉普拉斯变换 (6) 脉冲函数 脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况。
A lim g (t ) 0 0 0t t 0, t
（2.22）
其拉氏变换为：
A L[ g (t )] lim (1 e s ) 0 s d A(1 e s ) As lim d A 0 d s s d
a(t ) 表示。发生在t＝t
0时的单位加速度函数通常写
1
第二章 拉普拉斯变换 成 a(t t0 ) ，如图2.6(b)所示。
a(t )
8 6 4 2
0
a(t t0 )
1 2 3 4
(a)
t
0
t0
(b)
t
图2.6 单位加速度函数
单位加速度函数
0 a(t ) 1 2 t 2
这里的脉动函数可以看做是一个从t＝0开始的高度为A/t0的
阶跃函数，与另一个从t＝t0开始的高度为A/t0的负阶跃函数叠 加而成，如图2.4所示，即
A A f (t ) u (t ) u (t t0 ) t0 t0
A A L[ f (t )] L u (t ) L u (t t0 ) t0 t0 A A st 0 A e (1 e st 0 ) t0 s t0 s t0 s
第二章 拉普拉斯变换 单位阶跃函数 u(t )
0 u(t ) 1 t 0 t 0
（2.10）
其拉氏变换为
L[u (t )] e st dt
0
1 s
（2.11）
实际上，发生于 t 0 时的阶跃函数，相当于在时间 t 0时， 把一个定常信号突然加到系统上。 高度为A的阶跃函数，即式 （2.8）中的 f (t ) ，当其发生在 t 0 时，可以写成 f (t ) Au(t ) 。 (3) 斜坡函数
t 特点，分别构成两个新的函数 (t )u(t ) 和 (t )e，这时， (t )u(t )
的积分区间由(-∞，∞)变成
[0, )，在积分区间 [0, )内
(t )u(t ) (t ) ；而 (t )e t 就有可能变得绝对可积。
如果再构成一个新的函数
(t )u(t )e t
(t t0 )
d u (t t0 ) dt
（2.25）
相反，如果对单位脉冲函数 (t t0 ) 积分
(t t )dt u(t t )
t0 0 0
t
（2.26）
积分的结果就是单位阶跃函数 u(t t0 ) 。
第二章 拉普拉斯变换 利用脉冲函数的概念，我们可以对包含不连续点的函数进行 微分，从而得到一些脉冲，这些脉冲的量值等于每一个相应 的不连续点上的量值。 (7) 加速度函数
（2.15）
1 st 1 e dt 2 s 0 s
t 0 t 0
f (t )
(4) 正弦函数
0 f (t ) A sin t
f (t )
（2.16）
式中，A和ω为常数，如
图2.3(a)所示。
0
t
(a)
0
t
(b)
图2.3 正弦函数和余弦函数
第二章 拉普拉斯变换 根据欧拉公式
脉动输入量值很大，而持续时间与系统的时间常数相比较非 常小时，可以用脉冲函数去近似地表示脉动输入。
第二章 拉普拉斯变换 当描述脉冲输入时，脉冲的面积大小是非常重要的，而脉 冲的精确形状通常并不重要。脉冲输入量在一个无限小的时 间内向系统提供能量。 单位脉冲函数 (t t0 ) 可以看作是单位阶跃函数 u(t t0 ) 在间 断点 t t0上的导数，即
L[ Ae t ] Ae t e st dt A e ( s )t dt
0 0
A s
（2.7）
可以看出，指数函数在复平面内将产生一个极点。
第二章 拉普拉斯变换 (2) 阶跃函数
0 f (t ) A t 0 t 0
（2.8）
式中，A为常数。 其拉氏变换为
在常数M>0及c≥0，使得
|f(t)| ≤Mect，0≤ t
成立（满足此条件的函数，称它的增大是指数级的，c为 它的增长指数）。 则
f (t )的拉氏变换
F (s) f (t )e st dt
0
（2.5）
在半平面 Re (s) c上一定存在，右端的积分在 Re (s) c1 c
第二章 拉普拉斯变换 上绝对收敛而且一致收敛，并且在 为解析函数。 即：如果拉氏积分收敛，则时间函数 f (t ) 的拉氏变换存在。 1. 常用函数的拉氏变换
R e ( s) c
F 半平面内， (s)
(1) 指数函数
0 f (t ) t Ae
t 0 t 0
（2.6）
式中，A和α为常数。 其拉氏变换为
（2.23）
当面积A=1的脉冲函数称为单位脉冲函数，或称为狄拉克 (Disac)函数，如图2.5(a)所示，用 (t ) 表示。发生在t = t0处的 单位脉冲函数通常用 (t t0 ) 表示，如图2.5(b)所示。此时，
第二章 拉普拉斯变换
(t )
1
(t t0 )
(β＞0)
（2.1）
只要β值选得适当，式（2.1）就能满足傅立叶变换的条件， 即时间函数 (t ) 的傅立叶变换存在。
第二章 拉普拉斯变换 对式（2.1）取傅立叶变换，得
G ( ) (t )u (t )e t e jt dt
(t )u (t )e
第二章 拉普拉斯变换
第二章
本章学习要点：
拉普拉斯变换
拉氏变换的概念；
拉氏变换的性质；
常用函数的拉氏变换；
拉氏逆变换； 卷积定理。
第二章 拉普拉斯变换
拉氏变换法的优点：
(1)从数学角度看，拉氏变换方法是求解常系数线性微分方程 的工具。可以分别将“微分”与“积分”运算转换成“乘 法”和“除法”运算，即把积分微分方程转换为代数方程。
1
t≥0
（2.4）
式（2.4）式（2.3）为一对互逆的积分变换公式，我们也称
F (s) 和 f (t ) 构成了一个拉氏变换对。
第二章 拉普拉斯变换 2.1.2 拉氏变换的存在定理 若时间函数
f (t )满足下列条件：
(1) 在t≥0的任一有限区间上分段连续；
f (2) 当 t 时，(t ) 的增长速度不超过某一指数函数，亦即存
（2.3）
f 即时间函数 F (s)为 f (t ) 的拉普拉斯变换。在这里，(t ) 称为“原
F (s 函数”， ) 称为“象函数”。
从拉氏变换 F (s)求时间函数 f (t ) 的逆变换过程称为拉普拉斯 逆变换，简称为拉氏逆变换，其运算符号为 L1。
1 j st L [ F ( s)] f (t ) j F (s)e ds 2j
(t ) ，必须明确地指出拉氏积分的下限是0－还是0＋。
L [ f (t )] f (t )e st dt
0
L [ f (t )] f (t )e dt f (t )e dt L [ f (t )]
st st 0 0
0
（2.31）
(t ) ，则
L[ A] Ae st dt
0
A s
（2.9）
当A＝1时的阶跃函数称为单位阶跃函数，如图2.1(a)所示， 用