排列组合复习提纲

例7 综合练习
1. 两类计数原理
(1) 从集合
中任选三个不同的数字，使这三个数字成等比数列，则这样的等比数
列有多少个？
(2) 不大于 200 的正整数中，各个数位上都不含数字 5 的正整数有多少个？
(3) 从
中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，能得到多少个不同的
对数值？
2. 排列
(1) 若把单词 error 中的字母的拼写顺序写错了，则可能出现的错误的种数是
(4) 从 6 双鞋中取出 1) 4 只均不成对； 2) 4 只恰有一对； 3) 都是一只脚的 .
4 双，求以下取法各有多少种方法：
例4 元素相同分组——“挡板法” (1) 10 本相同的书，分成 3 堆，每堆至少 1 本，有多少种分法？ (2) 方程 x1 x2 x3 10 有多少组正整数解？ (3) 10 本相同的书，分成 3 堆，每堆至少 2 本，有多少种分法？ (4) 将 10 本相同的书放入四个盒子中，分别放 1 本、 2 本、 3 本、 4 本，有多少种放法？
(4) 角 AOB，边 OA 上有 A1, A2 , A3 , A4 四个不同的点，边 OB 上有 B1 ,B2 , B3 三个不同的点， 以 这七个点和 O 点中的三个为顶点，可以确定多少个不同的三角形？
(5) 平面内有 10 个点，其中仅有 4 点共线，其余任意 3 点不共线 1) 以这些点为顶点可构成多少个不同的三角形？ 2) 有这些点可以确定多少条不同的直线？
第二节 排列
1． 排列 ：
.
2． 排列数 ：
.
记作 Anm
(1) 计算公式： Anm n(n 1)L (n m 1)
n!
(n m)!
(2) 性质：
1) Anm (n m 1) Anm 1 2 ） n ! n (n 1)!
例1 排列数公式运用
5
4
(1)
计算
2 A8
8
7 A8 ； 5
A8 A9
（3）证明： Anm 1 Anm
排列、组合与二项式定理
第一节 计数原理
1. 分类加法计数原理：
.
2. 分步乘法计数原理：
.
抽取、分配问题
例 1：将 4 封不同的信投入 3 个不同的信箱中，有多少种投法？
1) 将 4 封不同的信投入 5 个不同的信箱中，要求每个信箱至多一封信，有多少种投法？
2) 将 1,2,3,4 四个数字填入分别标有 1,2,3,4 的四个方格中， 要求每格填入一个数字， 则
例6 几何背景问题
(1) 直线 l 和直线 m 上分别有 A, B, C, D 四个点和 a, b, c, d, e五个点，以这些点为顶点作三角
形，这样的三角形共有多少个？ (2) 在连接正八边形的三个顶点构成的三角形中，与正八边形没有公共边的三角形有多少 个？ (3) 正六边形的中心和顶点共 7 个点，以其中三个点为顶点的三角形有多少个？
(2) 若站成两排，前排 3 人，后排 4 人 1) 共有多少种不同的排法？ 2) A,B 站前排， C,D 站后排的排法数？ 3) A,B 相邻的排法数？ 4) A,B 不相邻的排法数？
(3) （“相邻”，“不相邻”问题——“捆绑法”和“插空法” ） 1),C 相邻的排法数？ 3) A,B 相邻， C,D,E 相邻的排法数？ 4) A,B 不相邻的排法数？ 5) 三名女生互不相邻的排法数？ 6) A,B 相邻， C,D,E 不相邻的排法数？ 7) A 在 B 的左边（相邻或不相邻）的排法数？ 8) 男生甲不站两端，且恰有两名女生相邻的排法数？
m 6
10C7m
(5) 已知 Cnm 1
Cnm
C
m n
1
，求
m, n .
234
(6)
已知 Cn5 1
C3 n3
C3 n3
3 4,求 n .
5
(7) 解不等式：
1)
4
Cn
6
Cn
.
2) 1 1 2
Cn3 Cn4 Cn5
例2 组合数性质运用
(1)
已知
C x2 16
x
5x
C16
5 ，求
x 的值 .
(2)
已知 Cxy
C2y x
，求 x, y 的值 .
3Cxy 1
11C
y x
1
(3)
已知
n
C 21
4
n2
C 21
n
C 21
1
，求
n
的值 .
(4) 证明：
1)
2
C2
2
C3
L
2
C20
2)
C
k k
Ck k1
L
Ck kn
3) A22 A32 L
A2 20
例3 抽取问题 （注意分步引起的重复计数） (1) 从 20 名足球队员中， 选出 11 名参加比赛， 并从 11 人中选出一人担任守门员 选取方案？
点评： ? 分类、分步计数原理是根本； ? 注意各基本模型的特点，准确联想； ? 向基本模型上转化，注意细微差别； ? 注重一题多解，发散思维；
第四节 二项式定理 例1 特殊项讨论（把握“通项”是关键）
(1) 已知 ( x2 1 ) n 的展开式中第三项的二项式系数为 3x
66，求展开式中含 x 3的系数 .
(7) 现安排 A,B,C,D,E 五人参加志愿者服务，每人从事甲、乙、丙、丁四项工作之一，每项
工作至少一人参加， A,B 不能从事甲工作，但能参加其他工作，其他人能参加任四项工作
.
则不同的安排方案有多少种？
(8) 某班新年联欢会原定的五个节目已经排成节目单，开演前又增加了两个新节目 这两个节目插入原节目单中，那么有多少种不同的插法？
. 如果将
(9) 6 位同学排成三排，每排 2 人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，这样的排法共有多
少种？
(10)
某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、物理、化学、体育共六门课程，如果
第一节不排体育，最后一节不排数学，共有多少种排课方法？
3. 组合 (1) 电影院一排有 7 把椅子， 4 个人去做，要求三个空位不相邻，则共有多少种不同坐法？
第三节 组合 1. 组合 ： 2. 组合数 ： (1) 计算公式 ：
(2) 性质 ：
.
.
记作 Cnm .
m
Cnm
An Amm
n(n 1)L (n m 1)（乘积式） . m(m 1)L 2 1
n!
（阶乘式） .
m!( n m)!
Cmn
n
m m
1Cnm 1.
C
m n
C
n n
m.
C
m n
1
C
n n
1
+C
不能排在第二个节目上，则共有
种不同的排法 .
(5) 把 0,1,2,3,4,5,6,7
这八个数字组成无重复数字且四个偶数在一起的八位数字有多少
种.
(6) 从 A,B,C,D,E 五人中选派四人分别从事甲、乙、丙、 丁四项不同工作，其中 A,B 只能从
事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作 . 则不同选派方案有多少种？
（ 2）解关于
x 的方程：
A4 2x 4
140 Ax3 ；
mAnm 1 ； （4）化简： 1 2 2! 3 3! L n n! ；
例2 数字问题 (1) 用 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的数：
1) 能组成多少个五位数？ 2) 能组成多少个六位奇数？ 3) 能组成多少个比 20000 大的五位偶数？ 4) 能组成多少个比 23145 大的五位数？ 5) 能组成多少个能被 5 整除的四位数？ 6) 求所有可能的三位数的总和？ (2) 在 1,2,3,4 的排列 abcd 中，满足 a b, c b, c
(2) 设集合 A={-1,0,1},B={1,2,3,4,5} ，映射 f : A B , 使对任意 x A , 都有 x f ( x) 是奇
数，这样的映射有多少种？
(3) 已知集合 I={ 1,2,3,4,5} ，现取出集合 A 和 B 是 I 的两个子集， 使得 B 中最小的数字比 A
中最大的数字大，有多少种不同的取法？ (4) 已知集合 A={ 1,2,3,4,5,6,7} ，映射 f : A A 满足 f (1) f (2) f (3) f (4) ，这样的映射 f 有 多少种？
点评 ：把握好“映射”概念的本质： 对于集合 A 中的任何元素在集合 B 中都有唯一元素和 它对应 。于是，要确定一个映射，必须给集合 A 中每一个元素在集合 B 中确定一个“象” 。 可根据集合 A 中元素个数分成 card(A) 步，每一步“搞定”一个元素，都有 card(B) 种。所
以，共有 card (B )card ( A) 种。
人，并且甲不能在 A 岗位，则有多少种不同的安排方法？
(5) 已知集合 {1,2} M {1,2,3,4,5} ，满足这个关系式的集合 M 有多少个？
(6) 马路上有 8 只路灯， 为节约用电又不影响正常照明， 可把其中的三只关掉， 要求关掉的 灯不相邻且不是两端的灯，则关灯的方法有多少种？
(7) 从 1,3,5,7,9 中任取三个数字， 从 0,2,4,6,8 中任取两个数字， 组成没有重复数字的五 位数，共有多少个？
例5 不同元素分组或分配 （分组后全排列） 问题 (1) （分组—— 防止重复 ） 将 6 本不同的书，分成 3 组：
1) 若平均分成 3 组，有几种不同分法？ 2) 若分成 1 本、 2 本、 3 本三组，有几种不同分法？ 3) 若分成 1 本、 1 本、 4 本三组，有几种不同分法？ (2) （分配） 将 6 本不同的书分给甲、乙、丙三个人： 1) 甲、乙、丙三人各 2 本书，有几种不同分法？ 2) 若甲 1 本、乙 2 本、丙 3 本，有几种不同分法？ 3) 若分给 3 人分别 1 本、 2 本、 3 本，有几种不同分法？ 4) 若甲 1 本、乙 1 本、丙 4 本，有几种不同分法？ 5) 若分给 3 人分别 1 本、 1 本、 4 本，有几种不同分法？