小学奥数分数求和专题总结
六年级上册数学竞赛试题分数裂项求和方法总结_通用版
分数裂项求和方法总结（一） 用裂项法求1(1)n n +型分数求和分析：因为 111n n -+＝11(1)(1)(1)n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数） 所以有裂项公式：111(1)1n n n n =-++ 【例1】 求111 (101111125960)+++⨯⨯⨯的和。
（二） 用裂项法求1()n n k +型分数求和：分析：1()n n k +型。
（n,k 均为自然数）因为 11111()[]()()()n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++所以1111()()n n k k n n k =-++【例2】 计算11111577991111131315++++⨯⨯⨯⨯⨯（三） 用裂项法求()k n n k +型分数求和：分析：()k n n k +型（n,k 均为自然数） 11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()k n n k + 所以()k n n k +＝11n n k -+ 【例3】 求2222 (1335579799)++++⨯⨯⨯⨯的和 （四） 用裂项法求2()(2)k n n k n k ++型分数求和： 分析：2()(2)k n n k n k ++ （n,k 均为自然数）211()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-+++++【例4】 计算：4444......135357939597959799++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ （五） 用裂项法求1()(2)(3)n n k n k n k +++型分数求和分析：1()(2)(3)n n k n k n k +++（n,k 均为自然数）【例5】 计算：111......1234234517181920+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（六） 用裂项法求3()(2)(3)k n n k n k n k +++型分数求和： 分析：3()(2)(3)k n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 【例6】 计算：333 (1234234517181920)+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【例7】计算：71＋83＋367＋5629＋6337＋7241＋7753＋8429＋883 【分析与解】解答此题时，我们应将分数分成两类来看，一类是把5629、6337、7241、7753这四个分数，可以拆成是两个分数的和。
四年级奥数专题 巧妙求和
四年级奥数专题巧妙求和【一】求1~20这20个连续自然数的所有数字之和。
练习1、求1~50这50个连续自然数的所有数字之和。
2、求3~19连续自然数的全部数字之和。
【二】一把钥匙只能开一把锁。
现在有4把钥匙和4把锁,但不知道哪把钥匙开哪把锁,最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁？练习1、现在有8对钥匙和锁混在一起,不知道哪把钥匙配哪把锁,最多要试多少次就可以把它们全部配成对？2、有9颗钢珠,其中8颗一样重,另有一颗比这8颗略轻,用一架天平最多称多少次,就可以找到那颗较轻的钢珠？【三】思雨读一本长篇小说,他第一天读20页,从第二天起,他每天读的页数都比前一天多2页,第11天读了40页,正好读完,这本书共有多少页？练习1、王师傅做一批零件,第一天做了40个,以后每天都比前一天多做3个,第15天做了82个,正好做完,这批零件共有多少个？2、张琳读一本故事书,她第一天读了15页,从第二天起,每天读的页数都比前一天多5页。
最后一天读了40页恰好读完,这本书共有多少页？【四】45把锁的钥匙都搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次？练习1、有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次？2、有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试45次,就能使每把锁都配上自己的钥匙,问一共有几把锁的钥匙搞乱了？【五】某班有30个同学,每两个同学互通一次电话,那么他们一共通了多少次电话？练习1、竹苑小学进行象棋比赛,每个参赛选手都要和其他所有的选手各赛一场,如果有15人参加比赛,问一共要进行多少场比赛？2、一次生日party中,参加的有20位同学和3位老师,每两人之间握一次手。
那么一共握了几次手？【六】求1~99中连续自然数的所有数字之和。
练习1、求1~199的199个连续自然数的所有数字之和。
2、求1~999的999个连续自然数的所有数字之和。
3、求1~210连续自然数的全部数字之和。
4、求1~299连续自然数的全部数字之和。
完整版)六年级奥数专题分数的计算技巧
完整版)六年级奥数专题分数的计算技巧例2、计算: (1)73分析与解：（1）73可以化简为73÷（7+3）=73÷10=7.32）把题中的166÷41改写成(4+1/41)，再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。
166÷41=4+1/4173×（4+1/41）=292+73/41=299.78例3、计算：（1）1112) 166÷41可以把111写成(72+39)，再把式子改写成(72+39)×（166÷41），再利用除法的运算性质使计算更简便。
1）（72+39）×（166÷41）=72×4+39×4=288+156=4442）166÷41=4+2/41所以，（2）的计算式可以改写为×（4+2/41）=+3080/41=.75例2、计算：(1) 73×(2) 166÷41解析：(1) 73可以改写成(72+1)，然后运用乘法分配律，得到73×=72×+×=9×。
因此，73×=9.2) 将166分成41的倍数与另一个较小的数相加的形式，得到166=4×41+42.然后，运用除法的运算性质，得到166÷41=4+÷41=4.因此，166÷41=4.例3、计算：(1) ×39+×25+×40 (2) 1×(2-)+15÷17解析：(1) 根据乘法的交换律和结合律，将×39写成×13，将×写成×，然后运用乘法分配律，得到×39+×25+×=×13+×25+×=×(13+25+2)=×40=10×。
奥数里的分数应用原理总结
奥数里的分数应用原理总结1. 介绍奥数是指奥林匹克数学竞赛，是培养学生逻辑思维和数学能力的重要途径之一。
在奥数中，分数应用是一个重要的内容，我们来总结一下奥数里的分数应用原理。
2. 原理介绍分数是数学中的一种表示方法，表示一个整体被划分成若干部分的数。
在奥数中，分数应用主要包括四则运算、比较大小、化简、混合运算等。
2.1 四则运算分数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
2.1.1 加法和减法两个分数相加或相减，需要满足相同的分母。
具体步骤如下： - 确定两个分数的分母是否相同，如果不同，先通分； - 将两个分数的分子进行对应的加法或减法运算； - 将运算结果的分子写在分数的上方，分母写在分数的下方。
2.1.2 乘法两个分数相乘，直接将两个分数的分子相乘，分母相乘。
具体步骤如下： - 将两个分数的分子相乘，将运算结果的分子写在分数的上方； - 将两个分数的分母相乘，将运算结果的分母写在分数的下方。
2.1.3 除法两个分数相除，可以将除法转化为乘法的形式。
具体步骤如下： - 将被除数的分子乘以除数的分母，将运算结果的分子写在分数的上方； - 将被除数的分母乘以除数的分子，将运算结果的分母写在分数的下方。
2.2 比较大小比较两个分数的大小，可以通过找到两个分数的公共分母进行比较。
具体步骤如下： - 确定两个分数的分母是否相同，如果不同，先通分； - 比较两个分数的分子的大小，如果分子相等，则比较分母的大小，分母越大，分数越小； - 如果分子不相等，比较两个分子的大小，分子越大，分数越大。
2.3 化简分数的化简是指将一个分数约分到最简形式。
具体步骤如下： - 找到分子和分母的最大公约数； - 将分子和分母分别除以最大公约数，得到最简分数。
2.4 混合运算混合运算是指分数与整数的组合运算，包括分数与整数的加减乘除等。
3. 实例分析下面通过一些实例来进一步理解奥数中分数应用的原理。
3.1 实例一：分数的四则运算假设有两个分数：1/3 和 2/5，我们来进行加法运算。
小学五年级奥数练习(分数的综合运算技巧详解 )
小学五年级奥数练习——分数地综合运算技巧详解（分数地复杂运算、分数地混合运算）一、知识点1．混合运算技巧在分数、小数地四则混合运算中，到底是把分数化作小数，还是把小数化作分数，这影响到运算过程地繁琐与简便程度，也影响到运算结果地精确度。
小数化成分数，或分数化成小数’，有如下几种技巧。
（1）在加减法中，有时遇到分数只能化成循环小数时’，不能把分数化成小数，此时要将包括循环小数在内地所有小数都化为分数；（2）在乘除法中，一般情况下，小数化成分数计算则比较简便；（3）一般情况下，在加减法中，分数化成小数比较方便；（4）在运算中，使用假分数还是带分数，需视情况而定；（5）在计算中经常用到除法’、比、分数、小数、百分数互相之间地变换，把这些常用地数互化成数表对学习非常重要。
2．复杂分数地运算注意点先找出分数线，确定分子部分和分母部分，然后这两部分分别进行计算，每部分地计算结果需要约分地要先约分，再改成“分子部分÷分母部分”地形式，最后求出结果。
3．比和比例地技巧化简比地方法：比地前项和后项同时乘以或除以相同地数（0除外’），最后地比值应写成最简整数比。
具体如下：（1）分数比：可以前项除以后项，在根据比值写出最’简单地整数比。
（2）小数比：可以先利用商不’变地性质将其转化为整数比，然后再化简；（3）整数比：可以根据商不变地性质或像分数约分（前后项同时除以它们’地最大公因数）那样进行化简；4．分数拆分从分母M 地约数中’任意找出两个m 和n ，有)()()()(11n m M n n m M m n m M n m M +++=++=B A 11+=；如10地约’数有：1，10，2，5。
如选1和2，有：)21(102)21(101)21(10)21(1101+++=++=151301+=；另外，a ，b ，c 为M 地约数：)()()()()(11c b a M c c b a M b c b a M a c b a M c b a M ++++++++=++++=5．循环小数循环小数与分数地互化，循环小数之间’简单地加、减法运算，涉及循环小数与分数地’运算主要利用运算定律进行简算。
小学数学奥数35个专题题型分类及解题技巧
小学奥数辅导35个专题汇总1.和差倍问题2.年龄问题的三个基本特征：①两个人的年龄差是不变的；②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；③两个人的年龄的倍数是发生变化的；3.归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。
关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；4.植树问题5.鸡兔同笼问题基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路：①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）关键问题：找出总量的差与单位量的差。
6.盈亏问题基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．基本题型：①一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差②当两次都有余数；基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差③当两次都不足；基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差基本特点：对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：确定对象总量和总的组数。
7.牛吃草问题基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。
六年级数学奥数第二讲 分数裂项巧求和
（10）+++…+
（11）+++…+
计算：（5）+++…+ 例4. 计算：+++…+
（6）+++…+
分析与解：是不是觉得本题和例3有些相似，但又不完全一样？例3 中每一个分数的分子都是4（两个自然数的差），而这道题中每一个分 数的分子都是1，可以直接将每一个分数写成两个分数相减的形式吗？ 该怎么计算呢？ 这就启发我们思考，能否将每一个分数的分子也变成两个自然数的 差呢？利用分数的基本性质是完全可以的。所以给原题乘4，为了使原 题的值不变，然后再除以4.即：
+++…+ ＝（+++…+）×4÷4 ＝（+++…+）÷4 ＝（—+—+—+…+—）÷4 ＝（—）÷4 ＝÷4 ＝ 【举一反三】 计算： （7）+++…+
（8）+++…+
例5. 计算：+++…+ +++…+
分析与解：先算出每一个分数中的分母，再仔细观察每一个分 数，找出规律然后计算。
＝+++…+ ＝+++…+ （分子分母同时乘以2） ＝（+++…+）×2 （利用乘法分配律，把分子的2同时 ＝（—）×2 提到括号外面） ＝×2＝ 【举一反三】 计算：（9）+++…+
【典型例题】 例1．计算：+++…++
五年级奥数分数求和的技巧
五年级奥数分数求和的技巧
一、把十位数弄清楚
把学习数字的范围缩小到个位和十位数，再把十位数分类好，归类成小于等于6及大于6的两类。
二、个位数的求和运算
对于小于等于6的十位数，在个位上按常规方法做相应的运算，把加法按照数字从右往左从上到下依次排列，就可以更快地把个位数两两相加求和。
三、计算大于6的十位数
当十位数为7，8或者9时，我们可以把它们转换成一个十位数和一个个位数，分别进行记忆，然后把它们分别加上个位数，比如说7可以看做是6+1，8可以看做是6+2，9可以看做是6+3，然后再把6的分数和1、2、3的分数分别加起来就可以了。
四、综合利用技巧
我们可以先把小于等于6的十位数求和，然后把大于6的十位数把它们拆成十位数和个位数进行加减，最后综合处理，就可以较快地求出五年级奥数分数求和的结果了。
小学分数奥数题的知识点
小学分数奥数题的知识点在小学奥数的学习中，分数是一个非常重要的知识点。
通过学习和掌握分数的概念和运算规则，可以帮助学生建立数学思维，培养逻辑思维能力。
下面将介绍一些小学分数奥数题的常见知识点。
1. 分数的概念分数是表示一个数与单位整体的关系，由分子和分母两部分组成。
分子表示单位整体的份数，分母表示每份的份数。
例如，1/2表示一个整体分成两份，取其中的一份。
分数中的分子和分母都是整数，分母不能为零。
2. 分数的大小比较在比较两个分数的大小时，可以通过找出它们的公共分母，然后比较分子的大小来判断。
如果两个分数的分母相同，那么分子大的分数就更大；如果两个分数的分母不同，可以通过通分将它们的分母变为相同，再进行比较。
3. 分数的约分和通分对于一个分数，如果分子和分母有公共的因数，可以约去这个公共因数，得到一个与原分数相等的最简分数。
例如，4/8可以约分为1/2。
通分是指将两个或多个分数的分母改成相同的分母。
通分后，可以方便地进行分数的加减运算。
4. 分数的加减运算对于两个分数的加减运算，首先需要将它们的分母通分，然后再按照通分后的分母进行相应的加减操作。
最后再进行约分，得到最简分数。
5. 分数的乘法和除法两个分数的乘法可以直接将它们的分子相乘得到新分子，分母相乘得到新分母。
最后对新分数进行约分。
两个分数的除法可以将除数的分子和被除数的分母相乘得到新分子，除数的分母和被除数的分子相乘得到新分母。
同样地，最后对新分数进行约分。
6. 分数和整数的转换一个自然数可以看作是分母为1的分数，一个整数可以看作是分母为1的分数。
对于一个分数，如果分子和分母相等，那么它可以化简为1。
因此，分数和整数之间可以相互转换。
7. 分数的混合运算混合运算是指将分数与整数进行加减乘除的运算。
在混合运算中，可以先将分数转换为带分数表示，然后按照整数的加减乘除规则进行运算。
通过学习以上的知识点，可以帮助小学生在奥数题中灵活运用分数的概念和运算规则，提高解题能力。
五年级下学期奥数班第25讲 分数的裂项求和
一般地利用下面的等式，巧妙地计算一些分数求和的问题：
①
②
（推倒过程： ）
【典型例题】
例1计算：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例2计算：
例3计算：
例4计算：
例5
随堂小测
姓名成绩
1.
2.
3.
4.
5.
课后作业
姓名家长签名成绩
1.
2.
3.
4.
5.
同学们能够牺牲自己的课余时间来学习知识，我为大家而骄傲！今天让我们一起来学习——
分数的裂项求和
月日姓名
当同学们在做分数计算题时，若分数的个数超过三个时，就要想一些简便算法。（特别是有省略号的）
有一类型的题目有以下特征：
①分子相同
②分母中是乘法，且首尾相同，环环相扣，差相等。
此列分数的和=（头－尾）×
小学奥数全解 之 分数加减法速算与巧算
分数加减法速算与巧算知识点拨一、基本运算律及公式一、加法加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，他们的和不变。
即：a＋b＝b＋a其中a，b各表示任意一数．例如，7＋8＝8＋7＝15.总结：多个数相加，任意交换相加的次序，其和不变．加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再与第一个数相加，他们的和不变。
即：a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）其中a，b，c各表示任意一数．例如，5＋6＋8＝（5＋6）＋8＝5＋(6＋8).总结：多个数相加，也可以把其中的任意两个数或者多个数相加，其和不变。
二、减法在连减或者加减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时要带数字前面的运算符号“搬家”．例如：a－b－c＝a－c－b，a－b＋c＝a＋c－b，其中a，b，c各表示一个数．在加减法混合运算中，去括号时：如果括号前面是“＋”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“－”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”．如：a＋（b－c）＝a＋b－ca－（b＋c）＝a－b－ca－（b－c）＝a－b＋c在加、减法混合运算中，添括号时：如果添加的括号前面是“＋”，那么括号内的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面是“－”，那么括号内的数的原运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”。
如：a＋b－c＝a＋（b－c）a－b＋c＝a－（b－c）a－b－c＝a－（b＋c）二、加减法中的速算与巧算速算巧算的核心思想和本质：凑整常用的思想方法：1、分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有相同尾数的减数．“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”．2、加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整．3、数值原理法．先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加．4、“基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上）【例 1】 如果111207265009A +=，则A =________（4级） 【考点】分数约分 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，六年级，一试 【解析】 111112591207265009873773725125920082008+=+=⨯=⨯⨯⨯⨯，所以A =2008. 【答案】2008【例 2】 11410410042282082008+++=_____ 【考点】分数约分 【难度】1星 【题型】计算【关键词】希望杯，五年级，一试【解析】 原式=1111=22222+++ 【答案】2模块一：分组凑整思想【例 3】 1111222233318181923420345204520192020⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【考点】分组凑整 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 观察可知分母是2分子和为1分母是3分子和为12+；分母是4分子和为123++；……依次类推；分母是20子和为12319++++. 原式()1111(12)(123)1231923420=+⨯++⨯++++⨯++++ ()1111(12)22(13)3211919223420=+⨯+⨯÷+⨯+⨯÷++⨯+⨯÷ 12319952222=++++=【例 4】 11211232112199511222333331995199519951995+++++++++++++++ 【考点】分组凑整 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 观察可知分母是1的和为1；分母是2的和为2；分母是3的和为3；……依次类推；分母是1995的和为1995.这样，此题简化成求1231995++++的和.11211232112199511222333331995199519951995+++++++++++++++ 12341995119951995299819951991010=+++++=+⨯÷=⨯=() 【答案】1991010例题精讲【考点】分组凑整 【难度】2星 【题型】计算【解析】 因为1996=2×2×499。
小学奥数之分数问题
第 一 讲 小 升 初· 竞 赛 中 的 分 数 问 题知识 导 航在分数式的计算应用问题中，主要包括以下几个方面的题型。
①和(差)倍问题。
具体表现为“已知分数的分子与分母的和(差)，和约分过后的结果，求原分数。
②变化类。
具体表现为“已知分数的分子与分母和(差)的关系，再告诉分子或分母变化后的结果，求原分数。
”③因数分解类。
具体表现为“已知最简真分数的分子与分母的积，求原分数的可能值。
” ④中间分数计算类。
具体表现为“已知某分数在两个分数之间，求该分数的分子与分母的和的最小值。
”……精 典 例 题例1：一个分数约分后是37，若约分前分子与分母的和是40，那么约分前的分数是多少?思路 点 拨想一想：约分后是37 ，你可以想到什么？你有几种方法来解答这个问题？(友情提示：从方程与算术两个角度来思考。
)模 仿 练 习一个分数的分子与分母和是40，约分后是35,那么这个分数原来是多少？例2：一个分数的分子与分母的和是19，加上这个分数的分数单位就是14 ,这个分数是多少？（2006年成都外国语学校奖学金考试数学试题）3/16思路点拨想一想：加上这个分数的分数单位实际是分数中谁发生了变化？想明白后，再结合例1方法来思考一下，相信你能自己解答的！模仿练习一个分数的分子与分母之和是37，若分子减去1，分数值是12,原分数是多少？(2007年成都外国语学校小语种数学试卷)例3：分子、分母相乘的积是2002的最简真分数共有多少个？(2005年成都七中育才东区衔接班招生考试题)思路点拨想一想：满足什么条件的分数才是最简真分数？再想一想对“分子、分母相乘的积是2002”的信息又应该怎样去理解？模仿练习一个最简真分数，分子与分母的积是24，这个真分数是多少？(成都外国语学校2011年“德瑞杯”知识竞赛数学试题)学以致用A级1.一个分数分子与分母的和是72，约分后是27，这个原分数是多少？(2005年成都七中育才东区衔接班招生考试题)2.将分数711 的分子增加77后，如果要求分数的大小不变，分母应变为多少？(2010年成都七中嘉祥外国语学校6年级衔接班试题2)3.一个分数，分子、分母的和是2010，约成最简分数后是760,这个分数是多少？（嘉祥外国语学校2011年5升6招生数学试题）B 级4.某分数分子分母的和为23，若分母增加17，此分数值为14 ，原分数为多少？（成都实验外国语学校“德瑞教育发展基金会”2010年奖学金测试数学A 卷）5.分子与分母的乘积是156的最简真分数有多少个？（2008年成都嘉祥外国语衔接班招生考试题2）6. 一个分数，分子与分母的和是75，若分子加上3，则可约简成58 ,原来的分数是多少? （2007年成都七中育才东区衔接班招生考试题2）C 级7.m,n 为自然数，若34 ＜n m ＜45 ，则m+n 的最小值是多少？（2007年成都七中育才东区衔接班招生考试题2）第 二 讲 分 数 计 算 中 的 拆 分知识 导 航分数计算中的拆分，又叫裂项计算。
分数求和技巧裂项法奥数专题课件数学六年级上册全国通用
练习题1
计算： 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 64 128
练习题2
计算： 1 1 1 1 1 1
2 4 8 16
1024
练习题3
计算： 1- 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 2 4 8 16 32 64
1- 1 - 1 - 1 - 1 -- 1
例三 计算：1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 64 志坚者，功名之柱也。登山不以艰险而止，则必臻乎峻岭。
贫困能造就男子气概。
穷人的孩子早当家。
1 1 1 1 1 1 1 1 原式 = 立志是事业的大门，工作是登门入室的旅程。
石看纹理山看脉，人看志气树看材。
2 4 8 16 32 64 64 64 虽长不满七尺，而心雄万丈。
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1 1
11
10 11
练习题1
计算： 1 1 1 1 1 1 34 45 56 67 78 89
1 1 1 9900 99 100
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
裂项法： 当分子是1，分母是两个连续自然数的乘积时，
可以裂成两个以连续自然数为分母的分数之差。
例一
计算：1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110
裂项法
原式 =
分母是126， 分子是1~125， 共有125个真分数。
分数求和的技巧
分数求和的技巧在学习数学时，分数求和是一个常见的问题。
对于一些复杂的分数求和题目，可能需要一些技巧和方法来解决。
本文将介绍一些分数求和的技巧，帮助读者更好地理解和解决这类问题。
首先，我们需要了解分数的基本概念。
分数由分子和分母组成，分母表示总份数量，分子表示实际数量。
在求解分数相加时，必须要先将分母统一，然后将分子相加。
例如，如果要计算1/3 + 1/4，首先要找到这两个分数的最小公倍数，即12，然后将两个分数的分子乘以相应的倍数，即4/12 + 3/12 = 7/12。
其次，在分数求和时，可以利用分数的性质进行简化。
对于分数a/b和c/d，如果分母相同，那么可以直接将分子相加得到(a+c)/b；如果分母不同，可以通过通分的方法将分母统一，再进行相加。
另外，如果要计算多个分数的和，可以依次两两相加，逐步求和，这样可以减少出错的可能性，确保计算的准确性。
另一种常见的分数求和技巧是借助整数部分进行计算。
对于带分数的求和，可以先转化为假分数，然后进行相加。
例如，要计算2 1/3 + 3 2/5，可以先将它们转化为假分数，即7/3 + 17/5，然后按照前面介绍的方法进行求和。
此外，有些复杂的分数求和问题可能需要利用最大公约数和最小公倍数的性质来解决。
当分母不同且无法通过通分的方法简化时，可以利用最大公约数将分数进行化简，然后再进行相加。
通过找到适当的最大公约数，可以简化计算过程，提高求解效率。
总的来说，分数求和并不是一件困难的事情，只要掌握一些基本的技巧和方法，就可以轻松应对各种分数求和问题。
通过实践和不断练习，相信读者们可以更加熟练地解决分数求和问题，提高数学解题能力。
希望本文介绍的分数求和技巧对读者有所帮助，谢谢阅读！。
奥数之分数的运算
奥数之分数的运算分数是数学中的一种数形式，由分子和分母两个整数通过一个分数线连接而成。
分数的表示方法及应用最早可以追溯到古埃及文明时期。
在数学中，分数的四则运算是基本运算之一，本文将详细介绍奥数中分数的运算方法，包括加减乘除四种运算。
1. 加法运算两个分数相加，需要先将分母化为相同的分母，再对分子进行加法运算。
例如：1/2 + 1/4 = (1×2)/(2×2) + (1×1)/(4×1) = 2/4 + 1/4 = 3/42. 减法运算两个分数相减，同样需要将分母化为相同的分母，再对分子进行减法运算。
例如：3/4 - 1/2 = (3×2)/(4×2) - (1×4)/(2×2) = 6/8 - 4/8 = 2/8 = 1/43. 乘法运算两个分数相乘，只需要将分子与分母分别相乘即可。
例如：1/2 × 2/3 = (1×2)/(2×3) = 2/6 = 1/34. 除法运算两个分数相除，需要将被除数的分子与分母互换位置，再将整个式子视为一个乘法运算。
例如：1/2 ÷ 3/4 = 1/2 × 4/3 = (1×4)/(2×3) = 4/6 = 2/3需要注意的是，分数运算中可能会出现约分的情况，即将分子和分母同时除以一个较大的公因数，化简分数的形式。
例如：2/4 = (2÷2)/(4÷2) = 1/2此外，分数还可以转化为小数或百分数的形式。
将分子除以分母即可得到小数，将小数乘以100即可得到百分数。
例如：3/4 = 0.75 = 75%总结奥数中分数的运算主要包括加减乘除四种基本运算，其中加减运算需要先将分母化为相同的分母再进行计算，乘法运算只需要将分子和分母分别相乘，除法运算需要将被除数转化为一个乘法式，并将除数的分子和分母互换位置后进行计算。
小学数学竞赛二、分数求和的一些技巧
二、分数求和的一些技巧例1 计算：分析与解此题如按异分母加法法则来求和，计算量太大，下面用裂项法试一试.上面这998个等式左边的分数，其分母分别与题目中各加数的分母一样，例2 计算：分析与解题中的每一项的分子都是1，分母不是连续相邻两个自然数之积，而是连续三个自然数的乘积.下面我们试着从前几项开始拆分，探讨解这类问题的一般方法.因为这里n是任意一个自然数.利用这一等式，采用裂项法便能较快地求出例2的结果.例3 计算：分析与解仿上面例1、例2的解题思路，我们也先通过几个简单的特例试图找出其规律，再用裂项法求解.这几个分数的分子都是2，分母是两个自然数的积，其中较小的那个自然数正好等于分母中自然数的个数，另一个自然数比这个自然数大3.把这个想法推广到一般就得到下面的等式：连续使用上面两个等式，便可求出结果来.因为第一个小括号内所有分数的分子都是1，分母依次为2，3，4，…，199，所以共有198个分数.第二个小括号内所有分数的分子也都是1，分母依次为5，6，7，…，202，所以也一共有198个分数.这样分母分别为5，6，7，…，199的分数正好抵消，例4 求下列所有分数的和：分析与解这是分数求和题，如按异分母分数加法法则算，必须先求1，2，3，…，1991这1991个数的最小公倍数，单是这一点就已十分麻烦，为此我们只好另找其他的方法.先计算分母分别为1，2，3，4的所有分数和各等于多少.这四个结果说明，分母分别为1，2，3，4的上述所有分数和分别为1，2，3，4.如果这一结论具有一般性，上面所有分数的求和问题便能很快解决.下面我们来讨论一般的情况.假定分数的分母是某一自然数k，那么分母为k的按题目要求的所有分这说明，此题中分母为k的所有分数的和为k，利用这一结论，便可得到下面的解答.例5 自然数m至n之间所有分母为P的最简分数和是多少（这里m＜n，P 是奇质数）？分析与解先写出这些分数来，因为P是奇质数，所以与P互质且比P小的数有1，2，3，…，P-1，共（P-1）个.换句话说，每相邻的两个自然数之间，以P为分母的最简分数都有（P-1）个，故下面来求这些分数的和：因为m至（n-1）之间自然数的个数为：（n-1）-m+1=n-m，所以上面结果故上面结果又可改写为：由以上例题可知，认真观察，发现题目中的规律，然后利用规律去解题，是我们解题的一大法宝.。
梳理知识点教师与学生一起总结分数的和写法以及分数的简便运算
梳理知识点教师与学生一起总结分数的和写法以及分数的简便运算梳理知识点：教师与学生一起总结分数的和写法以及分数的简便运算在学习数学的过程中，分数是我们经常会遇到的一个概念。
掌握好分数的写法和简便运算方法，对于学生来说非常重要。
通过与教师一起梳理相关知识点，学生们可以更好地理解和应用分数。
本文将探讨教师与学生一起总结分数的和写法以及分数的简便运算。
1. 分数的和写法学生们在学习分数的过程中，需要掌握分数的和写法。
在这里，我们以两个分数相加为例进行说明。
首先，我们要确保分数的分母相同，才能进行相加运算。
如果两个分数的分母相同，那么直接将两个分数的分子相加，再将结果写在相同的分母下方即可。
这样，我们就得到了两个分数的和。
例如，我们要计算1/4 + 3/4的和。
由于两个分数的分母相同（都为4），所以我们只需要将分子1和3相加得到4，然后将结果4写在分母4下方，即1。
2. 分数的简便运算除了将两个分数相加的方法外，我们还可以使用更简便的方法进行分数的运算。
下面，我们来介绍两种常用的简便运算法则。
（1）找出最小公倍数当两个分数的分母不相同时，我们可以通过找出它们的最小公倍数，将分母转化为相同的数，然后进行运算。
例如，我们要计算1/2 + 1/3的和。
首先，我们找出2和3的最小公倍数，即6。
然后，将分子乘以对应的倍数，得到1/2变成了3/6，1/3变成了2/6。
此时，我们可以直接将分子相加得到5/6，即为最终结果。
（2）分数与整数的运算有时，我们还会遇到分数与整数相加的情况。
此时，我们可以将整数转化为分数，然后按照相同分母的规则进行运算。
例如，计算2/5 + 3的和。
我们可以将3转化为分母为5的分数，即3/1。
然后，按照相同分母的规则，将2/5和3/1相加，得到13/5。
通过掌握这两种简便运算法则，学生们可以更加便捷地进行分数的运算，提高计算效率。
总结：通过与教师一起梳理分数的和写法以及分数的简便运算，学生们可以更好地理解和应用分数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
分数求和的常用方法1、公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。
2、图解法，将算式或算式中的某些部分的意思，用图表示出来，从而找出简便方法。
3、裂项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便。
4、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。
5、代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。
典型例题一、公式法：和公式：（首项+末项）X项数+ 2来计算。
1 I2 |3 |4 | ( 2006 +20072008 + 2008 + 2008 + 2008 * + 2008 2008=(土+ 3007)x 2007 + 220081=1003-20082二、图解法：1 1 1 1… 1 1计算：一 +—+—+-- +-- +2 4 8 16 32 64分析：解法一，先画出线段图：从图中可以看出:1 + 1 + 1 + -1 + -1 + -1=1--1=632 4 8 16 32 64 64 64解法二：观察算式，可以发现后一个加数总是前一个加数的一半。
因此，只要添上一个加数1 、，…， 1 ................ ，一，一一，就能凑成一，依次向刖类推，可以求出算式之和。
64 32111111-+一 + 一 + ——F ------- F一2 4 8 16 32 641 1 1 1 1 , 1 1、 1=+ - + - + —+ 一+ ( 一 + 一 )——2 4 8 16 32 64 64 64.1 ,1 ,1 1 ,1 1、 1+ — + —+—+ (——+——) -----2 4 8 16 32 32 64分数求和计算：n^+M+工+2008 2008 2008 2008分析：这道题中相邻两个加数之间相差+ 2006 + 2007+ 2008 20081 ... ............... ......... ................,成等差数列，我们可以运用等差数列求2008— 1 ill2 4 S 10 321 1 -X 2-—— 264=63"64解法三：由于题中后一个加数总是前一个加数的一半, 2倍，然后两式相减，消去一部分。
1 1 1 1 1 1 设x= — + — + —+• + -- + ----2 4 8 16 32 64那么,2x= (1+ 1 + 1 1 1 1 、 —+ — + — + — ) X 22 48 16 32 64,1 ,11 1 1 =1 + — + — + —+ — + —2 48 16 32用②一①得2x-x=1+1 + 1+1 + 1 + 1- (1 + 1 + 1 + 1 + -1 + -1)2 4 8 16 32 2 4 8 16 32 6463 x=64所以，1 +1 +1 + -1 + 1 + -1=632 4 8 16 32 64 64三、裂项法分析：由于每个分数的分子均为 1,先分解分母去找规律： 2=1 X 2,6=2X 3, 12=3X 4, 20=4X 5, 30=5 X 6,……110=10X11,这些分母均为两个连续自然数的乘积。
=1 1 =1 — -11 10 111-+ - F ……+5 99 13 29 33再变数型：因为1=工=1_ 1 , 1=工=]_ 12 1 2 2 6 23 2 1 一一，，，一。
这样将连加您算变成加减混合您算， 111111 ----------------------------------------- --------------- ---------- ----------12 3 4 34中间分数互相抵消， 只留下头1+1 * 1 * 1 * 1 1 1+ •+ 一 + ——2 6 12 20 3090 110 1 , 1 1 , 1 1 1111=1 — — + ----- --- + ------- -+• + — - ------P---- --- 2 2 3 3 4 9 10 10 11 110 10 11 10 和尾两个分数，给计算带来方便。
根据这一特点，我们可以把原式扩大1、计算:,1 ,.,.,, H 1 ---------- 1 --------------- F ……+ 12 20 301 ----F90 1102、计算:+ --------- 33 37分析：因为_J L=I — 1, J L = 11 5 55 9 5373、计算：21 -4 4 4 一-4-一-j444 - 4-—-一一一一，一 一，4分析：因为一 3 1535 6399 1 143 1 195255=4 X 1 =4 X 1 =4X (1 一 )x , 3 3 1 3324… ----- 4 X 151 … =4 X15 工=4X(1- 1) x 13 5 3 5 24 1 1, 11、 1 ————=4X ------ =4X ( — )X3535 5 7 57 2-±=4X 1=4X-^=4X (1 - 1) X 1.255 255 15 17 15 172所以，先用裂项法求出分数串的和，使计算简便。
11 +—— 1 1 1 -+ ■ ------ +• ••…+ ------- + -1 5 5 99 1329 3333 3744444 、=(- ——++-------- + ••… •+ --------- + ---------) + 41 5 5 9 9 1329 33 33 371 1 1 1 11 1 1 1、,=(1 ■——+ —— —+ —— -- + , .•…+ ------- -——+ —- ——)+45 5 9 9 132933 3337=(1 ■ 1 )+ 43741 1~… ........ ... .... ..............—4一 =—-上。
所以，我们可以将题中的每一个加数都扩大33 37 33 37 的差进行简便计算。
9 21---———— ——一——一——一——一——3 15 35 63 99 143 195 255 1 1 1 1 1 1 1、 1 =21 - (1 - + ---- + ----- —+ ...... + — — — ) x —3 3 5 5 7 15 17 2 =21 - 2X (1 - 1)17 2 =19 —17… 1 5 119 29 9701 9899 4、计募： ---- 1 - + 一 + 一 + ------ ■••+ ---------F ----- 2 6 120 30 9702 9900 4 _ 4 _ 4 _ 4 _ 4 _ 土 _ 土 _ 4每个加数的分子均比分母少 分析：仔细观察后发现, 1.这样可变形为: 1=1 5 =1-】=1 一 6 6 _^=1 =1 — 9900"-1=1--X,12 12 3 42 311一 .然后再裂项相消。
99 1001920 2=1 - — =1 --------- --- , 20 4 51=12 9899=1- 9900 1411 —. ----------- =—— -------9 9 13 9 13 4 1 1 … -------- = ----- —— -29 33 29334倍后，再分裂成两个数1 5 11 19 29 9701 —+ — + ---- + --- + --- + .... + ------- +2 6 12 20 30 9702 =(1 - 1) + (1 - 1) + (1 -—)12 989921 =1X 99 -( — +21 ——+2 =99—(-1 61 1 1 —+——12 201 ----- +3 4=99一(1 一—)100+……++ (11 =99——1005、计算:11+——1 299001、，,-—)+ ......... +20)9900----------------- + ........ + ------------------------------1 2 3 4 1 2 3 (100)1,第二项的分母为两个数相加，依此类推，最后一个分1 2 3分析：可以看出，第一项的分母为母是100个数相加且都是等差数列。
这样，利用等差数列求和公式，或利用分数基本性质, 变分母为两个数相乘。
(1)解法一：1+ -----------1 21(1 2) 222 再裂项求和。
1=2X (2 31-上101(1 3) 32 3 41(1 4) 4+ ....... + -1 100(1 100) 100100 101】99=1 -101解法二：原式=2 (1 2) (1 2 3) 2 (1 23 4) 2 (1 2 99 100)=2X (-1100=2X ( 1- )101 1011 —)101 100=1堕1016、计算:1 2 3分析：可以把题中的每两个加数分解成两个分数之差: ...+ ----------------98 99 10098 99 100 1 原式=1x (一 2 11 1=—x ( 2 1 =Lx ( 2 4949 19800 (98 99 1 —) + 3 1 99 )100-------- )， 99 1001 1 -x ( 1 21此时, 可消中间，留两头进行巧算。
+……+98 991 , 1 …+ — X ( ----------2 98 9999 1005 ,6 . -, ---- + ----- ------- ------- + 2004 2004 2004 2004 2001 2002 4 , ---- + 2004 ——+ 2004 2004 20041999 2000 __ _____ 一 ---- 一 ----- + ------ + ----2004 2004 2004 2004.一 .......... … 2 ......... ... ,^一 …，一 ， 分析：算式中共有2002个分数，从第二个分数 二^开始依次往后数，每四个分数为一组, 2004 四、分组法 :计算,10 9 + 2004 2004 2001 一到2001为止，共有500组，每组计算结果都是 0. 2004原式=^^+ ( 22004 ,10 + -------- …… 2004 =1 + 20022004 2004 2003 2004 2004 2004 2000 2004 1998 2004 1999 2004 七+直)+ 2004 ,2001、2004 2004 2004 2002 2004 2804 + 2004 五、代入法：计算(1、几1 1 1 1 1 1 1 小 设_ =A,— — =B,则 2 3 4 2 3 4 5 原式= :(1+A) X B- (1+B) X A 4 分析：可以把算式中相同的一部分式子，设字母代替,=B+ AE^ A — AB ,1 1 1 11 1 1() -()2 3 4 52 3 4=B — A =1 5 热点习题1、-)-(1+ 一 - 一 5 2 3 4 可化繁为简，化难为易。