数学分析选讲刘三阳-部分习题解答
数学分析十讲习题册、课后习题答案_
数学分析十讲习题册、课后习题答案_数学分析十讲习题册、课后习题答案习题1-1 1．计算下列极限（1）, 解：原式= == （2）；解：原式（3）解：原式（4），解：原式（5）解：原式= （6），为正整数；解：原式2．设在处二阶可导，计算. 解：原式3．设，，存在，计算. 解：习题1-2 1.求下列极限（1）; 解：原式，其中在与之间（2）; 解：原式===，其中在与之间（3）解：原式，其中在与之间（4）解：原式，其中其中在与之间2．设在处可导，，计算. 解：原式习题1-3 1．求下列极限（1）, 解：原式（2）; 解：（3）; 解：原式（4）; 解：原式2. 求下列极限（1）; 解：原式（2）; 解：原式习题1-4 1．求下列极限（1）；解：原式（2）求；解：原式（3）；解：原式（4）；解：原式此题已换3．设在处可导，，.若在时是比高阶的无穷小，试确定的值. 解：因为，所以从而解得：3．设在处二阶可导，用泰勒公式求解：原式4. 设在处可导，且求和. 解因为所以,即所以习题1-5 1. 计算下列极限(1) ; ; 解：原式(2) 解：原式2．设，求(1) ；解：原式(2) ，解：由于，所以3．设，求和. 解：因为，所以且从而有stolz定理，且所以，4．设，其中，并且，证明：. 证明：因，所以，所以，用数学归纳法易证，。
又，从而单调递减，由单调有界原理，存在，记在两边令，可得所以习题1-6 1. 设在内可导，且存在. 证明: 证明：2. 设在上可微，和存在. 证明:. 证明：记（有限），（有限），则从而所以 3. 设在上可导，对任意的, ，证明:. 证明：因为，所以，由广义罗必达法则得4．设在上存在有界的导函数，证明:. 证明：，有界，，所以习题2-1 （此题已换）1. 若自然数不是完全平方数，证明是无理数. 1.证明是无理数证明：反证法. 假若且互质，于是由可知,是的因子，从而得即,这与假设矛盾2. 求下列数集的上、下确界. （1）解：（2）解：（3）解：（4）. 解：3．设，验证. 证明：由得是的一个下界. 另一方面，设也是的下界，由有理数集在实数系中的稠密性，在区间中必有有理数，则且不是的下界.按下确界定义， . 4．用定义证明上（下）确界的唯一性. 证明：设为数集的上确界，即.按定义，有.若也是的上确界且 .不妨设，则对有即矛盾. 下确界的唯一性类似可证习题2-2 1．用区间套定理证明：有下界的数集必有下确界. 证明：设是的一个下界，不是的下界，则. 令，若是的下界，则取；若不是的下界，则取. 令，若是的下界，则取；若不是的下界，则取；……，按此方式继续作下去，得一区间套，且满足：是的下界，不是的下界. 由区间套定理，且. 下证：都有，而，即是的下界. 由于，从而当充分大以后，有.而不是的下界不是的下界，即是最大下界2. 设在上无界.证明：存在, 使得在的任意邻域内无界. 证明：由条件知，在上或上无界，记使在其上无界的区间为；再二等分，记使在其上无界的区间为，……，继续作下去，得一区间套，满足在上无界. 根据区间套定理，，且. 因为对任意的，存在，当时，有，从而可知在上无界3.设,在上满足,,若在上连续, 在上单调递增. 证明：存在,使. 证明：记且二等分.若，则记若则记. 类似地,对已取得的二等分,若，则记；若，则记按此方式继续下去，得一区间套，其中根据区间套定理可知，且有 . 因为在上连续，所以注意到可得，再由可知， . 习题2-3 1. 证明下列数列发散. (1), 证因为，所以发散.(2), 证明：因为所以发散. 2．证明:单调数列收敛的充要条件是其存在一个收敛子列. 证明：由收敛数列与子列的关系，结论显然不妨假设数列单调递增，且存在收敛子列，由极限定义对任意给定的，总存在正整数，当时，，从而有；由于，对任意，存在正整数，当时，，取，则任意时，所以，即3. 设极限存在,证明：. 证明：记由海茵定理，取，得取，得取，得，解得（此题取消）4. 数列收敛于的充要条件是：其偶数项子列和奇数项子列皆收敛于（此题改为4）5. 已知有界数列发散，证明:存在两个子列和收敛于不同的极限. 证明：因为有界，由致密性定理，必有收敛的子列，设. 又因为不收敛，所以存在，在以外，有的无穷多项，记这无穷多项所成的子列为，显然有界.由致密性定理，必有收敛子列，设，显然 . 习题2-5 1. 用柯西收敛准则判定下列数列的收敛性(1) 解：所以，对，即为柯西列(2) . 解：所以，对，即为柯西列2. 满足下列条件的数列是不是柯西列? (1) 对任意自然数,都有解：不是柯西列，如，对任意的自然数，但数列不收敛。
数学分析选讲刘三阳 部分习题解答(2)
习题2—11、若自然数n是无理数。
(),,,pp q N p qq=∈且互质，于是2222nq pp nq p pp nq=⇒=⇒而(),p q互质，故p不整除q⇒p整除n，记()nn ps s N ps+=∈⇒=，故()2222nnq n qss=⇒=，即n为完全平方数，矛盾。
假设不成立。
2、设,a b是两个不同的实数，证明,a b之间一定存在有理数。
证明：不妨设a b<，则存在m N+∈，使得()111m m b a mb mab a>⇒->⇒>+-又因为存在整数n，使得1n ma n-≤<由1,,1ma n ma nma n mb a b m N n Zma mb m+<≤+⎧⇒<<⇒<<∈∈⎨+<⎩，nm是有理数。
3、设x为无理数，证明存在无穷多个有理数(),,0pp q Z qq∈>，使得21pxq q-<，证明：假设只有n个有理数满足21pxq q-<，设为12,,na a a⋅⋅⋅其中()1,2ia i n=⋅⋅⋅为有理数，且12,na a a<<⋅⋅⋅<对于区间()1,i ia a-显然112i ii ia aa a--+<<，而12i ia a-+为有理数，且11222112i ii na ax a a a a xq q-+-<<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅<<+12i ia a-+满足要求，故假设不成立。
习题2—21、求下列数集的上，下确界()111n⎧⎫-⎨⎬⎩⎭上确界为1（不达到），下确界为0（达到）()121nn N n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭上确界为e （不达到），下确界为2（达到） ()()()11311nn n +⎧⎫-+-⎨⎬⎩⎭上确界为1（不达到），下确界为-1（不达到） ()214,1,2y x x ⎧⎫⎛⎫=∈-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭上确界为1（不达到）下确界为0（达到）2、 设{}2,2,,E x x x Q =<∈验证infE =证明：()1 2,2x E x x ∀∈<⇒>，即是E 的一个下界()2若2β<，则由有理数集在实数系中的稠密性，存在()2x β'∈，且x '为有理数，于是222x x β''<<<⇒<，即存在22,,x E x ββ''∈<故不是E 的下界。
数学分析选讲刘三阳-部分习题解答
1 / 13第一讲 习题解答习题1-11 计算下列极限计算下列极限① ()1lim 11,0pn n p n →∞⎡⎤⎛⎫+->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦解：原式解：原式==()1111110lim lim 110ppp n n n n n n→∞→∞⎛⎫⎛⎫+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-()()0110lim 0p p n x x →+-+=-()()01p x x p ='=+= ② ()sin sin limsin x ax a x a →--解：原式解：原式==()()()()sin sin sin sin limlim sin x ax a x a x ax a x a x a x a →→---⋅=---=()sin cos x a x a ='= ③ 11lim 1mnx x x →--，,m n 为自然数解：原式解：原式==()()111111lim 11mmn x nx x x x nxx mx x →==--'⋅=⋅=--'④ ()lim 21,0nnna a →∞⋅-> 解：原式()()1ln 21lim ln 211limln 21limn x n nx a e a n a nxn e ee→∞→⎛⎫ ⎪⋅- ⎪⎝⎭--→∞====()()()()0ln 21ln 21ln 21lim2ln 20xa a xxa axx e ee a ---→'-====⑤ lim ,0x ax a a x a x a →->-解：原式解：原式==lim x a a a x a a a a x x a →-+--lim lim x a a a x a x a a a x a x a x a →→--=---()()x ax a x a a x ==''=-()ln 1a a a =- ⑥ lim ,0x aax x ax aa a a a x →->-解：原式lim lim x a x a a x a x x a x a x a x a a a a a x a a xx a a x →→---==⋅---()lim x a a a a a x a x a x a a a a a x a x a a x →----=⋅-- lim x a a a a a x a x a x a a a a a x a x a x a a x →⎛⎫---=-⋅ ⎪ ⎪---⎝⎭lim x a a a a a x a a a a a x a x a a a a a x a x a x a x a x a a x→⎛⎫----=-⋅⋅ ⎪ ⎪----⎝⎭ ()()()()1ln 1x a a y a a y a x a x a a a x a a ===⎛⎫'''=-⋅⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭ln a a a a =⋅⑦ ()()101011sin limsin x tgxxx →+--解：原式解：原式==()()101011sin limsin x tgxxx xx→+--⋅()()()()1010101001101sin 1sin 0lim x tgx tg xxx→⎛⎫+-+---=-⎪ ⎪⎝⎭()()()()101011sin x x tgx x ==''=+--20=⑧ ()11lim mk m n i n i kn n -→∞=⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑，m 为自然数为自然数 解：原式()111lim lim 1m m k k m n n i i n i i n n n n n -→∞→∞==⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎢⎥=-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑ ()()()11111lim 12m kkmn i i x i mk k n i i x in→∞===⎛⎫+-⎪+'⎝⎭=⋅=⋅+=∑∑ 2 设()f x 在0x 处二阶可导，计算()()()000202lim hf x h f x f x h h→+-+-。
计算方法-刘师少版第三章课后习题完整答案
⎡2 1 − 1⎤ ⎡ 1 ⎢4 − 1 3 ⎥ = ⎢l ⎢ ⎥ ⎢ 21 ⎢ ⎥ − 6 9 1 ⎣ ⎦ ⎢ ⎣l 31
1 l32
⎤ ⎡u11 ⎥⎢ ⎥⎢ 1⎥ ⎦⎢ ⎣
u12 u 22
u13 ⎤ u 23 ⎥ ⎥ u 33 ⎥ ⎦
将右端两矩阵相乘后比较两端，可得
l 2 = b2 − a 2 u1 = 4 −
1 15 = 4 4
u 2 = c2 / l2 = −
由
4 , 15
l3 = b3 − a3u 2 = 4 −
4 56 = 15 15
⎤ ⎡ ⎢4 0 0 ⎥ ⎡ y1 ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎥ ⎢ 15 y2 ⎥ =⎢ 0 ⎥⎢ 4⎥ ⎢− 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 4 ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢10⎥ ⎢ 56 ⎥⎣ 3 ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ −1 ⎢ 15 ⎥ ⎦ ⎣
−1
消元
0 .5 1 .5 2 .5 0 .5 2 .5 1 .5 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 3 2
1 2 3 0 0 1 0 0 1 1
0 1 0
0 .5
− 0 .5 − 0 .5
0.5
0 ⎤ 0 ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎦ 0 ⎤ 1 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦
列选主
− 0.5 − 0.5
6
消元
0 .4 1 .2 0 .2
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
得
3 2 3 3
0 2 3 − 6
0 ⎤ ⎡ y ⎤ ⎡5⎤ ⎥ 1 0 ⎥⎢ 3⎥ y2 ⎥ =⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ 7 y ⎦ ⎣ 3⎦ ⎣ ⎥ 3⎥ ⎦ 1 6 1 3
y1 =
再由
5 3
,
数学分析选讲刘三阳部分习题解答
第一讲 习题解答习题1-11 计算下列极限① ()1lim 11,0p n n p n →∞⎡⎤⎛⎫+->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦解：原式=()1111110lim lim 110ppp n n n n n n→∞→∞⎛⎫⎛⎫+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-()()0110lim 0p p n x x →+-+=-()()01p x x p ='=+= ② ()sin sin limsin x a x a x a →--解：原式=()()()()sin sin sin sin limlimsin x a x a x a x a x ax a x a x a →→---⋅=---=()sin cos x ax a ='= ③1x →，,m n 为自然数 解：原式=11x x n m→='==④()lim 21,0nn a →∞>解：原式()()10ln 21lim ln 211limln 1lim n x n x a e a n nxn ee e →∞→⎛⎫ ⎪⋅- ⎪⎝⎭-→∞====()()()()0ln 21ln 21ln 21lim2ln 20x a a xx a a xx e ee a ---→'-====⑤ lim,0x ax a a x a x a→->- 解：原式=limx a a a x a a a a x x a →-+--lim lim x a a ax a x a a a x a x a x a →→--=---()()x a x a x a a x ==''=-()ln 1a a a =- ⑥ lim ,0xaa xxax a a a a a x →->-解：原式limlim x a x aa x a x x a x a x a x a a a a a x aa x x a a x→→---==⋅---()lim x aa aa a x ax ax a a a a a x ax aa x→----=⋅-- lim xaaaa a x ax a x a a a a a x a x a x a a x →⎛⎫---=-⋅ ⎪ ⎪---⎝⎭lim xaaaa a x a a a a a x a x a a a a a x a x ax a x a x a a x →⎛⎫----=-⋅⋅ ⎪ ⎪----⎝⎭()()()()1ln 1x aa y aa y a x a x a a a x a a ===⎛⎫'''=-⋅⋅ ⎪⎪-⎝⎭ln aa a a =⋅ ⑦ ()()101011sin limsin x tgx x x→+--解：原式=()()101011sin limsin x tgx x xx x→+--⋅()()()()1010101001101sin 1sin 0lim x tgx tg x x x →⎛⎫+-+---=-⎪ ⎪⎝⎭()()()()101011sin x x tgx x ==''=+--20=⑧ ()11lim m k m n i n i kn n -→∞=⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑，m 为自然数 解：原式()111lim lim 1m m k k m n n i i n i i n n n n n -→∞→∞==⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎢⎥=-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑ ()()()110111lim 12mkk m n i i x i mk k n i i x i n→∞===⎛⎫+- ⎪+'⎝⎭=⋅=⋅+=∑∑2 设()f x 在0x 处二阶可导，计算()()()00022limh f x h f x f x h h→+-+-。
数学分析选讲答案刘三阳
数学分析选讲答案刘三阳【篇一：0910012137李凤英-文献综述】txt>院系：年级专业：姓名：学号：应用数学学院 09信息与计算科学李凤英 0910012137实数连续性定理的等价性证明文献综述【内容摘要】实数集是一个完备的数集，实数连续性定理包括：确界定理、单调有界收敛定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、柯西准则。
这七个定理可由确界存在性定理出发依次证明，用致密性定理证明柯西准则的充分性，再由柯西准则充分证明确界存在性定理，形成一个封闭的循环。
同时，对这个环上的任意两个定理都可以证明其等价性，它们都刻画了实数集r的连续性。
本文建立在微积分的基础上，探讨了数学分析中的这个重点、难点，对实数连续性定理的等价性证明进行了深入的学习。
【关键字】确界定理单调有界收敛定理区间套定理有限覆盖定理聚点定理致密性定理柯西准则实数连续性第一章导言数学分析的基础是实数理论。
实数系最重要的特征是实数的连续性，有了实数的连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。
正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系。
《数学分析》课程是一门面向数学类专业的基础课。
学好数学分析是学好其他后继数学课程如微分几何，微分方程，复变函数,实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课程的必备的基础。
作为数学系最重要的基础课之一，数学科学的逻辑性和历史继承性决定了《数学分析》在数学科学中举足轻重的地位，数学的许多新思想，新应用都源于这坚实的基础。
《数学分析》在实数完备性理论体系上的严格化和精确化，确立了它在整个自然科学中的基础地位，并运用于自然科学的各个领域。
同时，数学研究的主体是经过抽象后的对象，数学的思考方式有鲜明的特色，包括抽象化、逻辑推理、最优分析、符号运算等。
这些知识和能力的培养需要通过系统、扎实而严格的基础教育来实现，数学分析课程正是其中最重要的一个环节。
综合所参考的文献，也让我们对实数连续性定理的等价性有了更深入的了解。
数学分析刘三阳第三讲习题解答!
习题3-1 1. 设定义在[,]a b 上的函数()f x 在(,)a b 内连续内连续,,且lim ()x a f x +®和lim ()x bf x -®存在(有限有限).).).问问()f x 在[,]a b 上是否有界上是否有界??是否能取得最值是否能取得最值? ? 解 在闭区间[,]a b 上构造辅助函数ïîïíì==Î=-+. ),(, ,)(),,( ),()(b x b f a x a f b a x x f x g则)(x g 在[,]a b 上连续，从而)(x g 在[,]a b 上有界. 由于)( )()(b x a x f x g <<=，故)(x f 在(,)a b 上也有界，即存在01>M ，使得 ),( ,)(1b a x M x f Σ.令{})( ,)(max ,1b f a f M M =，则有 ],[ ,)(b a x M x f Σ.条件同上，但()f x 在[,]a b 上却不一定能取得极值上却不一定能取得极值. . 例如： 2. 试用确界存在原理或有限覆盖定理证明有界性定理试用确界存在原理或有限覆盖定理证明有界性定理. .证明 （1）用确界存在原理证. 设)({x f x E =在],[x a 上有界.]},[b a x Î，则E 非空且有上界，由确界存在原理，存在E sup =b . 下面要证 b =b 并且E b Î，以使],[b a E =，即()f x 在[,]a b 上有界反证法。
若b <b ，由连续函数的局部有界性，)( ,00x f >$d 在 ),(00d b d b +-内有界，即存在b >0x ，使E x Î0，这与E sup =b 相矛盾，所以b =b .再证()f x 在[,]a b 上有界上有界. . 因为()f x 在点b 连续，所以存在0>d ，使()f x 在],(b b d -上有界；再由E b sup =可知()f x 在]2,[d-b a 上有界，于是()f x 在[,]a b 上有界有界. .（2）用有限覆盖定理证用有限覆盖定理证. . 已知)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上每一点0x 的极限存在，因此存在点0x 的邻域),(0d o x ，使)(x f 在该邻域内有界，M x f £)(，这里的正数d 及M 与点0x 有关有关..由于],[b a 上的每一点都得到这样一个邻域（即开区间），这些开区间的全体构成一个开区间集，它覆盖了],[b a . 根据有限覆盖定理，在开区间集中必有有限个开区间覆盖],[b a ，记这有限个开区间为) ,(,), ,( ), ,(22221111k k k k x x x x x x d d d d d d +-+-+- ，相应的M 分别记为k MM M ,,,21. 令},,max{~21k M M M M =，则有 ],[ , ~)(b a x M x f Σ. 注：对于区间端点a 和b ，可以用延拓的方法将),[d +a a 及],(b b d ¢-换为开区间),(d d +-a a 及),(d d ¢+¢-b b ， 并考虑函数îïíì¢+<<££<<-=d d b x b b f b x a x f a x a a f x g ),( ),( ),()(3. 设()f x 是[0,)+¥上的连续正值函数,若lim(())x f f x ®+¥=+¥.证明l i m ()x f x ®+¥=+¥.证明 反证法反证法. . 假定结论不成立，则n X ">$ ,0有n x n >，使得 X x f n £<)(0.因为)(x f 连续，所以)(x f 在],0[X 上有界，从而0>$M ，使得X x f £)(时，有.))((M x f f £由此可知，n x n n >$",，使 M x f f n £))((，这与l i m(())x f f x ®+¥=+¥矛盾矛盾. .4. 设()f x 在(,)-¥+¥内连续内连续,,且lim ()x f x ®±¥=+¥.证明()f x 在(,)-¥+¥内可取得最小值取得最小值. .证明 因为+¥=±¥®)(lim x f x ，故),(0+¥-¥Î$x 有0)(0>x f ，且0>$X ，当X x >时，时，有有 )()(0x f x f >. 由于()f x 在[-X [-X，，X]X]上连续，上连续，上连续，故可取得最小故可取得最小值，从而()f x 在),(+¥-¥内可取得最小值内可取得最小值. .5. 设()f x 在[,]a b 上连续上连续,,若开区间(,)a b 内任一点均非()f x 的极值点的极值点..证明()f x 在[,]a b 上单调上单调. .证明 容易知道，()f x 的最大、最小值点不在(,)a b 内，因此不妨假定)(a f 是最小值，)(b f 是最大值，此时()f x 是递增的是递增的..事实上，若存在2121),,(,x x b a x x <Î，使得)()(21x f x f >，则)(1x f 是],[21x x 上的最大值，)(2x f 是最小值是最小值. . 而在],[1x a 上，则)(1x f 是最大值，)(a f 是最小值是最小值. . 由此得出1x 是()f x 的极大值点，矛盾的极大值点，矛盾..6. 设()f x 在[,]a b 上连续,且对任意[,]x a b Î总存在[,]y a b Î使1()()2f y f x £.证明()f x 在[,]a b 上存在零点上存在零点. .证明 由于()f x 在[,]a b 上连续，故)(x f 在[,]a b 上也连续，设)(0x f 为其最小值为其最小值. .又依题设，存在],[0b a yÎ，使得 2)()(00xf y f £，这只有0)()(00==y f x f .7. 用有界性定理证明最值存在定理用有界性定理证明最值存在定理. .证明 因为()f x 在[,]a b 上连续，所以有界，从而存在上、下确界M 、m .现证],[0b a x Î$使M x f =)(0（对m 类似可证）类似可证）..假若不存在这样的0x，则对],[b a x Î有0)(>-x f M .令)(1)(x f M x F -=，易知)(x F 在[,]a b 上连续，从而有界.不妨设],[,)(b a x M x F Σ但因M是()f x 的上确界，故存在],[b a x ΢使M x f M x F MM x f >¢-=¢->¢)(1)(,1)( 矛盾矛盾. .习题3-2 . 1 . 设设1a ,2a ,30a >,123b b b <<.证明证明::方程3121230a a a x b x b x b ++=---在12(,)b b 和23(,)b b 内恰好各有一个实根内恰好各有一个实根. .证明 令 332211)(b x a b x ab x a x f -+-+-=，则)(x f 在12(,)b b 和23(,)b b 内连续，321,,b b b 是)(x f 的无穷型间断点的无穷型间断点. .由-¥=-+¥=--+®®221121lim,lim b x a b x a b x b x ， 则有 +¥=÷÷øöççèæ-+-+-=++®®33221111lim )(lim b x a b x a b x a x f b x b x ，-¥=÷÷øöççèæ-+-+-=--®®33221122lim )(lim b x a b x a b x a x f b x b x . 从而必存在)(,221121b x x b x x <<<，使0)( ,0)(21<>x f x f . 对)(x f 在],[21x x上应用零点定理，则)(x f 在),(),(2121b b x x Ì内至少存在一个根内至少存在一个根..又由于0)(<¢x f ，故)(x f 在12(,)b b 内单调减，所以恰有一个实根内单调减，所以恰有一个实根. . 类似证明)(x f 在),(32b b 内也恰有一个实根内也恰有一个实根.. 2. 闭区间[,]a b 上具有介值性的函数是否一定在[,]a b 上连续上连续? ? 解 如果一个函数可以取到它的任何两个函数值之间的一切值，则称此函数具有介值性质则称此函数具有介值性质..闭区间上的连续函数具有介值性，但反之不真不真. . 例如îíì<£---££-=.01 ,1,10 ,1)(x x x x x f 具有介值性，但在0=x 不连续不连续. . 又例如.11 , ,)(££-îíì-=x x x x x x f 为无理数，为有理数， 虽然)(x f 取介于1)1(,1)1(=-=-f f 之间的所有数作为其函数值，但是)(x f 在]1,1[-上并不连续上并不连续. .3. 设函数()f x 在开区间（,a b ）上连续，且(0)f a +和(0)f b -存在，证明：()f x 可取到介于(0)f a +和(0)f b -之间的一切值之间的一切值. .证明 作辅助函数 . ),0( ),( ),0()(ïîïíì=-<<=+=b x b f b x a x f a x a f x g )(x g 在[,]a b 上连续，当),(b a x Î时，)()(x f x g =.4. 设()f x 在[,]a b 上连续上连续, , [,]nx a b Î,lim ()n n f x A ®¥=.证明存在[,]a b x Î使()f A x =.证法1 因为()f x 在[,]a b 上连续，所以存在最大值M 和最小值m ，且使M x f m n ££)(，从而有M x f A m n n £=£¥®)(lim .由介值定理知],[b a Î$x ，使()f A x =.证法2 因为{}nx 有界，所以存在收敛子列)( ],[¥®Î®k b a x kn x.而()f x 在[,]a b 上连续，故有A x f x f f n n n k k ===¥®¥®)(lim )(lim )(x .5. 设()f x 在[,]a b 上连续上连续, , ()()f a f b =.证明：存在,[,]c d a b Î,2b ad c --=使得()()f c f d =.证明 设 )()2()(x f a b x f x F --+=，则)()2()(a f ba f a F -+=， )2()()2(b a f b f b a F +-=+. 因为)()(b f a f =，所以)()2(a F b a F -=+，故存在]2 ,[b a a +Îx ，使得 0)()2()(=--+=x x x f a b f F ，即)()2(x x f ab f =-+.令 2 ,a b d c -+==x x ，则 )()( ,2c fd f a b c d =-=-. 6. 设()f x 在[0,1]上连续上连续, , n 是任一自然数是任一自然数. .(1) 若(0)(1)f f =.证明存在1,,01,na b a b b a £<£-=,使()()f f a b =；(2) 若(0)0,(1)1f f ==.证明存在(0,1)n x Î使11()()n n f f n n x x +=+.证明 (1) 作)()1()(x f nx f x F -+=，则有).11()1()11(),21()11()21( ),1()2()1(),0()1()0(nf f n F n f n f n F nf n f n F f n f F --=----=--=-=由此，相加得0)0()1()11()1()0(=-=-+++f f nF nF F)(a 若有)1,,2,1,0( -=n k k ，使得 0)(=nkF ，则取n k n k1,+==b a ，即得所证.)(b 若对一切1,,2,1,0-=n k 均有0)(¹nk f ，则必存在21,k k ，使0)( ,0)(21<>n k F n kF ，从而可知在n k 1与nk2之间存在x ，使得 )()1()(0x x x f n f F -+==因此，取n1,+==x b x a 即可得证即可得证. . (2) 作 n x f n x f x F 1)()1()(--+=，证法同，证法同(1). (1). 习题3-3 1. 判断下列函数的一致连续性判断下列函数的一致连续性. . (1)2()sin f x x =,[0,)x Î+¥; (2) 2()f x x =,(,)x Î-¥+¥;(3) 1()sin f x x=,(0,1)x Î; (4) 3()f x x =,[0,)x Î+¥.解 (1) 因为21212122122sin sin sin sin sin sin x x x x x x x x -£+-=- 所以 ,0>"e 只要取2ed =，则),0[,21+¥Î"x x ，当d<-21x x 时，就有 e <-2212sin sin x x故()f x 在),0[+¥上是一致连续的上是一致连续的. . (2)(3) 取21=e . 任给0>d ，取221 ,21p p p+=¢¢=¢n x n x n n ，,)22(4pp p p+=¢¢-¢n n x x n n 当n 充分大时，有d <¢¢-¢nn x x ， 但是 211)22sin()2sin(=>=+-e pp p n n故()f x 在区间1) ,0(非一致连续非一致连续. .(4)2. 设()f x ,()g x 在有限开区间(,)a b 内均一致连续内均一致连续..证明()()f x g x ×也在(,)a b 内一致连续若(,)a b 换为无限区间换为无限区间,,结论还成立吗结论还成立吗??证明 易知()f x ,()g x 在(,)a b 有界，设21)( ,)(M x g M x f ££，则),(,b a x x ΢¢¢"有)()()()( )()( )()()( )()()()()(12x g x g M x f x f M x g x g x f x f x f x g x g x f x g x f ¢-¢¢+¢-¢¢£¢-¢¢¢+¢-¢¢¢¢£¢¢-¢¢¢¢由此可知，()()f x g x ×在(,)a b 内一致连续内一致连续. .若(,)a b 换为无限区间换为无限区间,,结论不一定成立结论不一定成立. . 例如x x g x f ==)()(在),1[+¥一致连续，而2)()(x x g x f =×在),1[+¥不一致连续不一致连续. . 又如),[,sin )(,)(+¥Î==a x x x g x x f .3. 设()f x 在有限开区间(,)a b 内连续内连续. . 证明()f x 在(,)a b 内一致连续的充要条件是充要条件是::极限lim ()x a f x +®和lim ()x bf x -®均存在均存在..证明 必要性必要性. . 由()f x 在(,)a b 内一致连续可知，0>"e ，0>$d ，当),(,, b a x x x x ΢¢¢<¢¢-¢d 时，e <¢¢-¢)()(x f x f . 于是，对(,)a b 中满足 2 ,2dd <-¢¢<-¢a x a x 的任意两点，可知 d <-¢¢+-¢£¢¢-¢a x a x x x ， 从而有e <¢¢-¢)()(xf x f .根据柯西收敛准则，极限lim ()x a f x +®存在存在. . 类似证明 lim ()x bf x -®存在存在. . 充分性充分性. . 作函数 ïîïíì=+Î=+=. ),(),,( ),(, ),()(b x b f b a x x f a x a f x F 显然，)(x F 在],[b a 上连续，由康托定理)(x F 在],[b a 上一致连续，当然在(,)a b 内也一致连续内也一致连续..又因为),(),()(b a x x f x F κ，所以()f x 在(,)a b 内一致连续致连续. .4. 设()f x 在有限开区间(,)a b 内一致连续内一致连续..证明()f x 在(,)a b 内有界内有界. .证明 由3题直接可得题直接可得. .5. 设()f x 在有限区间I 上有定义上有定义,,证明()f x 在I 上一致连续的充要条件是()f x 把柯西列映射成柯西列把柯西列映射成柯西列,,即对任何柯西列{}n x I Ì,{}()n f x 也是柯西列柯西列. .证明 必要性必要性. . 设()f x 在I 上一致连续，则0,0>$>"d e ，使得 I x x x x x f x f ΢¢¢<¢¢-¢<¢¢-¢, , ,)()(d e . 设{}{}n, x x n¢¢¢ 满足0)(lim =¢¢-¢¥®nnn x x ，于是对上述d ，d <¢¢-¢>"$nn x x N n N ,,， 从而有 e <¢¢-¢)()(nn x f x f . 充分性 反证法.假若()f x 在I 上不一致连续，于是{}{}nx x I x x nn n n 1,,,00<¢¢-¢Ì¢¢¢>$e ，。
计算方法-刘师少版课后习题答案
31 32.1 用二分法求方程 x3x 1 0在1, 2 的近似根，要求误差不超过 10 3至少要二分多少？2解：给定误差限 ＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为x *x k 1k 1 (b a) 只要取 k 满足 k 11 (b a) 即可，亦即 lg(b a) lg lg0.5 3lg10 k 1 1 9.96678lg 2 lg2只要取 n ＝ 10.2.3 证明方程 1 - x –sin x ＝0 在区间[0, 1] 内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5 ×10-4的根要二分多少次？ 证明 令 f(x)＝ 1－x －sinx ，∵ f(0)=1>0 ， f(1)= － sin1<0∴ f(x)=1－x －sin x=0在[0，1]有根.又f ( x)=-1 － cosx< 0 ( x [0.1]), 故 f(x) 在[0 ，1]单调减少，所以 f(x) 在区间 [0 ，1] 内有唯一实根 .给定误差限 ＝ 0.5×10－4，使用二分法时，误差限为 x * x k 1k 1 (b a) 只要取k 满足k 1 1 (b a) 即可，亦即lg(b a) lg lg 0.5 4lg10 k 1 1 13.287 7lg 2 lg2只要取 n ＝ 14.322.4 方程 x3x 21 0在 x =1.5 附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代 公式：(1)x 1 12 ，迭代公式 x k 1 1 12 (2)x3 1 x 2 ，迭代公式 x k 1 31 x k 2x2 k 1x k2(3) x21，迭代公式 xk 1 1(4) xx 31 ，迭代公式 x k 1 x k 31x 1 k 1xk 1试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。
12解：( 1)令f (x) 1 2 ，则 f (x) 23 ，由于x 2 x 321f (x) 3 3 0.59 1 ，因而迭代收敛。
数学分析选讲：习题解答(刘三阳)
(1− sin x)10 − sin x
−1
= 10(1 +
t)9
|t = 0
+10(1 +
t)9
|t=0 =
20 .
∑ ∑ ∑ （8）原式
=
lim
n→∞
k i =1
(n
+ i)m − nm−1
nm
=
k i =1
i
⋅ lim n→∞
(1 +
i )m n i
−1
=
k i ⋅ m = m k(k +1) .
− (1−
1
)
1 6
]
=
lim
x⋅
2
⋅
1
(1
+
ξ
−
)
5 6
=
1
。
x→+∞
x
x
x→+∞ x 6
3
(8) 原式 = lim
n2
1 ln(n+1)
1 ln n
[en − en+1 ] = lim
n2
eξ [1 ln(n +1) − 1 ln n]
n→∞ ln(n +1)
n→∞ ln(n +1) n
n +1
[ln f (t )]′ t=a (ln t )′ t=a
a f ′(a) f (a)
x→a
x→a
练习 1-2（中值定理求极限）
1.求下列极限
（1） lim (sin x +1 − sin x −1) x→+∞
（2） lim cos(sin x) − cos x
x→0
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第二十一章
第十一章 重积分§1 二重积分的概念1.把重积分⎰⎰D xydxdy 作为积分和的极限,计算这个积分值,其中D=[][]1,01,0⨯,并用直线网x=n i ,y=nj (i,j=1,2,…,n-1)分割这个正方形为许多小正方形,每一小正方形取其右上顶点为其界点.2.证明:若函数f 在矩形式域上D 可积,则f 在D 上有界.3.证明定理(20.3):若f 在矩形区域D 上连续,则f 在D 上可积.4.设D 为矩形区域,试证明二重积分性质2、4和7.性质2 若f 、g 都在D 上可积,则f+g 在D 上也可积,且()⎰+D g f =⎰⎰+D D g f . 性质4 若f 、g 在D 上可积,且g f ≤,则 ⎰⎰≤D Dg f , 性质7(中值定理) 若f 为闭域D 上连续函数,则存在()D ,∈ηξ,使得()D ,f f D∆ηξ=⎰. 5.设D 0、D 1和D 2均为矩形区域,且210D D D =,∅=11D int D int , 试证二重积分性质3.性质3(区域可加性) 若210D D D =且11D int D int ∅=,则f 在D 0上可积的充要条件是f 在D 1、D 2上都可积,且⎰0D f =⎰⎰+21D D f f , 6.设f 在可求面积的区域D 上连续,证明:(1)若在D 上()0y ,x f ≥,()0y ,x f ≠则0f D>⎰; (2)若在D 内任一子区域D D ⊂'上都有⎰'=D 0f ,则在D 上()0y ,x f ≡。
.7.证明:若f 在可求面积的有界闭域D 上连续,,g 在D 上可积且不变号,则存在一点()D ,∈ηξ,使得()()⎰⎰D dxdy y ,x g y ,x f =()ηξ,f ()⎰⎰Ddxdy y ,x g .8.应用中值定理估计积分⎰⎰≤-++10y x 22ycos x cos 100dxdy 的值§2 二重积分的计算1.计算下列二重积分:(1)()⎰⎰-Ddxdy x 2y ,其中D=[][]2,15,3⨯;(2)⎰⎰D2dxdy xy ,其中(ⅰ)D=[][]3,02,0⨯,(ⅱ)D=[]3,0 []2,0⨯; (3)()⎰⎰+Ddxdy y x cos ,其中D=[]π⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,02,0; (4)⎰⎰+D dx dy x y 1x ,其中D=[][]1,01,0⨯. 2. 设f(x,y)=()()y f x f 21⋅为定义在D=[]⨯11b ,a []22b ,a 上的函数,若1f 在[]11b ,a 上可积,2f 在[]22b ,a 上可积,则f 在D 上可积,且⎰D f =⎰⎰⋅1122b a b a 21f f . 3.设f 在区域D 上连续,试将二重积分()⎰⎰Ddxdy y ,x f 化为不同顺序的累次积分:(1)D 由不等式x y ≤,a y ≤,b x ≤()b a 0≤≤所确的区域:(2)D 由不等式222a y x ≤+与a y x ≤+(a>0)所确定的区域;(3)D=(){}1,≤+y x y x .4.在下列积分中改变累次积分的顺序:(1) ()⎰⎰20x 2x dy y ,x f dx ; (2) ()⎰⎰----11x 1x 122dy y ,x f dx ; (3)()⎰⎰10x 02dy y ,x f dy +()()⎰⎰-31x 3210dy y ,x f dx .5.计算下列二重积分:(1)⎰⎰D2dxdy xy ,其中D 由抛物线y=2px 与直线x=2p (p>0)所围的区域; (2)()⎰⎰+D 22dxdy y x,其中D=(){1x 0y ,x ≤≤, y x ≤ }x 2≤; (3)⎰⎰-D x a 2dx dy (a>0),其中D 为图(20—7)中的阴影部分； (4)⎰⎰Ddxdy x ,其中D=(){}x y x y ,x 22≤+; (5)⎰⎰D dxdy xy ,其中为圆域222a y x ≤+.6.写出积分()⎰⎰ddxdy y ,x f 在极坐标变换后不同顺序的累次积分:(1)D 由不等式1y x 22≤+,x y ≤,0y ≥所确定的区域;(2)D 由不等式2222b y x a ≤+≤所确定的区域;(3)D=(){}0x ,y y x y ,x 22≥≤+.7.用极坐标计算二重积分: (1) ⎰⎰+D22dxdy y x sin ,其中D=(){222y x y ,x +≤π }24π≤; (2)()⎰⎰+Ddxdy y x ,其中D=(){}y x y x y ,x 22+≤+; (3)()⎰⎰+'D22dxdy y x f ,其中D 为圆域222R y x ≤+.8.在下列符号分中引入新变量后,试将它化为累次积分:(1) ()⎰⎰--20x 2x 1dy y ,x f dx ,其中u=x+y,v=x-y;(2) ()dxdy y ,x f D⎰⎰,其中D=(){a y x y ,x ≤+,0x ≥, }0y ≥,若x=v cos U 4, v sin U y 4=.(3)()⎰⎰dxdy y ,x f ,其中D=(){a y x y ,x ≤+,0x ≥, }0y ≥,若x+y=u,y=uv.9.求由下列曲面所围立体V 的体积:(1) v 由坐标平面及x=2,y=3,x+y+Z=4所围的角柱体;(2) v 由z=22y x +和z=x+y 围的立体; (3) v 由曲面9y 4x Z 222+=和2Z=9y 4x 22+所围的立体.11.试作适当变换,计算下列积分:(1)()()⎰⎰-+Ddxdy y x sin y x ,D=(){π≤+≤y x 0y .x }π≤-≤y x 0;(2)⎰⎰+D y x y dxdy e,D=(){1y x y ,x ≤+,0x ≥,}0y ≥.12.设f:[a,b]→R 为连续函数,应用二重积分性质证明:()≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰2b a dx x f ()()⎰-b a 2dx x f a b ， 其中等号仅在f 为常量函数时成立。
刘炳初泛函分析部分习题解答
F1 x inf d x ,y ， F2 x inf d x, y ,
y F1
yF2
f x
F1 x , F1 x F2 x
x F F
1 2
由 12 知 F1 x , F2 x 连续，且 F1 F2 . 所以
由于
so , r ,
n n n 1
所以可设 x0 son , rn . 由三角不等式知当 m n N maxN1 , N 2 时，
n 1
d xm , x0 d xm , xn d xn , x0 rn rn 2rn 2 .
d xn , xm .
（1）
由 rn 0 , n 知， 对上述 0, N 2 ， 当 n N 2 时有 rn . 而当 m n 时，
som , rm son , rn ，从而 xm son , rn , 有
d xn , xm rn .
证 设 px sup F x ，记 wk : x X : px k ~
F f
~ F f
x X : F x k.
由 F 的 连 续 性 知 x X : F x k 为 X 中 的 闭 集 . 事 实 上 ， 设
5
x x X : F x k A 且 xn x0 ， n
i 1
1 xi yi 2 i 1 xi y i
设点列 xn x1n , x2 n ,, xk n , ， n 1,2, , x0 x10 , x2 0 ,, xk 0 , . 若 xn x0 , n . 下证: xi n xi 0 ， n , i 1,2, . 由 xn x0 , d xn , x0 0 , n .
刘三阳线性代数第二版第一章答案
第一章 矩阵及其应用习题解答本章需要掌握的是：1）矩阵的定义，以及矩阵的运算（加、减、数乘和乘法）； 2）方阵的幂和多项式，以及矩阵转置的性质； 3）逆阵的定义，以及逆阵的4条性质； 4）分块矩阵的运算规则；5）矩阵的三种初等变换及行阶梯矩阵和行最简矩阵；6）三种初等矩阵，以及定理1.4（左乘行变，右乘列变）、1.5、1.6和1.7； 7）求逆阵的方法：定义法和初等变换法。
1、 设方阵A 满足2003A 2=5A +16E ，求(A −E)−1。
题型分析：此类题型考核的知识点是逆阵的定义，即AB =BA =E →A −1=B, B −1=A 。
因此无论题中给出的有关矩阵A 的多项式（如本题是2003A 2=5A +16E ）多么复杂，只需要把该多项式配方成“（所求逆的表达式）*（配方后的因子）=E ”即可，即本题是要配成（A-E ）*(?)=E 。
解：∵ 2003A 2−5A −16E =02003A 2−2003A +1998A −16E =0 %配出2003A 可提取的（A-E ） 2003A (A −E )+1998A −1998E +1982E =0 %配出1998可提取的（A-E ） 2003(A −E )+1998(A −E )+1982E =0 %提取公因式（A-E ）(A −E )(2003A +1998E )=−1982E %将只有单位阵的那一项移至等式右端 (A −E )(2003A+1998E )−1982=E %写成“AB=BA=E ”的形式(2003A+1998E )−1982(A −E )=E∴(A −E )−1=(2003A+1998E )−1982%由逆阵定义可知巩固练习：教材第38页第13题2、 设A =[1021]，求A k 。
其中k 为正整数。
题型分析：此类题型考核的知识点是矩阵的乘法和幂运算。
解题思路为依次计算A 2，A 3，最多到A 4，通常这时已经可以看出规律，依此规律解题即可。
《数学分析选论》习题解答
《数学分析选论》习题解答第 三 章 微 分 学１．考察||)(x x f xe =的可导性．解 写出)(x f 的分段表达式：⎩⎨⎧<-≥=.0,,0,)(x x x x x f xx e e它在0≠x 时的导数为⎩⎨⎧<+->+=';0,)1(,0,)1()(x x x x x f xx e e而当0=x 时，由于10lim )0(,10lim )0(00=-='-=--='+-→+→-x e x f x e x f x x x x ，因此f 在0=x 处不可导． □２．设⎩⎨⎧<+≥=.3,,3,)(2x b ax x x x f若要求f 在3=x 处可导，试求b a ,的值．解 首先，由f 在3=x 处必须连续，得到93=+b a ，或a b 39-=-．再由a x x a xb ax f x x =--=--+='--→→-3)3(lim 39lim)3(33，6)3(lim 39lim )3(323=+=--='++→→+x x x f x x ，又得939,6-=-==a b a ． □３．设对所有x ，有)()()(x h x g x f ≤≤，且)()(,)()()(a h a f a h a g a f '='==．试证：)(x g 在a x =处可导，且)()(a f a g '='．证 由条件，有)()()()()()(a h x h a g x g a f x f -≤-≤-，从而又有)()()()()()()(a x a x a h x h a x a g x g a x a f x f >--≤--≤--，)()()()()()()(a x ax a h x h a x a g x g a x a f x f <--≥--≥--．由于)()(a h a f '='，因此)()()()()(a h a h a f a f a f -+-+'='='='='，故对以上两式分别取-+→→a x a x 与的极限，得到)()()()()()(a h a g a f a h a g a f ---+++'='=''='='与． 于是有)()(a g a g -+'='，即证得)(x g 在a x =处可导，且)()(a f a g '='． □４．证明：若)(x f 在],[b a 上连续，且0)()(,0)()(>''==-+b f a f b f a f .，则存在点),(b a ∈ξ，使0)(=ξf ．证 如图所示，设0)(,0)(>'>'-+b f a f ．由极限保号性，在点a 的某一右邻域)(a U +内，使0)(0)()(>'⇒>-'-'x f a x a f x f ，∈'x )(a U +；同理，在点b 的某一左邻域内，有0)(0)()(<''⇒>-''-''x f bx b f x f ，∈''x )(b U -．最后利用连续函数)(x f 在],[x x '''上的介值性，必定),(),(b a x x ⊂'''∈ξ∃，使0)(=ξf ． □*５．设),(,)(b a x x f ∈，它在点),(0b a x ∈可导；{}{}n n y x 与是满足b y x x a n n <<<<0),2,1( =n ，且n n n n y x x ∞→∞→==lim lim 0的任意两个数列．证明：)()()(lim0x f x y x f y f nn n n n '=--∞→．证 先作变形：nn n n n n n n n n n n n n x x x f x f x y x x x y x f y f x y x y x y x f y f ----+----=--000000)()()()()()(..．由)(0x f '存在，故δ<-<>δ∃>ε∀||0,0,00x x 当时，有ε<'---<ε-)()()(000x f x x x f x f ．又由0lim lim x y x n n n n ==∞→∞→，故对上述0>δ，N n N >>∃当,0时，有δ<-<δ<-<n n x x x y 000,0．从而得到ε<'---<ε-)()()(000x f x y x f y f n n ，ε<'---<ε-)()()(000x f x x x f x f nn ．分别以正数n n n x y x y --0与nn nx y x x --0乘以上两式，并相加，又得到.⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+--ε<'⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-----<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--ε-n n n n n n n n n n n n n n nn nn n n x y x x x y x y x f x y x x x y x y x y x f y f x y x x x y x y 000000000)()()(把它化简整理后，即为)()()()(0N n x f x y x f y f nn n n >ε<'---<ε-．从而证得结论：)()()(lim0x f x y x f y f nn n n n '=--∞→． □６．设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，通过引入适当的辅助函数，证明： （１）存在),(b a ∈ξ，使得)()(])()([222ξ'-=-ξf a b a f b f ；（２）存在),(b a ∈η，使得)0()()ln ()()(b a f a ba fb f <<η'η=-．证 （１）在一般形式的中值定理（ 定理 . ）中，令2)(x x g =，即得本题结论．（２）把欲证的式子改写成)(]ln ln [1])()([η'-=η-f a b a f b f ，且令x x g ln )(=，上式即为关于)(x f 与)(x g 所满足的一般中值公式． □７．证明推广的罗尔定理：若)(x f 在),(∞+∞-上可导，且l x f x f x x ==∞+→∞-→)(lim )(lim（ 包括)∞±=l ,则存在ξ，使得0)(=ξ'f ．证 关键在于证明存在两点b a ,，使)(a f )(b f =．为此任取一点0x ，使l x f ≠)(0（ 这样的点0x 若不存在，则0)()(≡'⇒≡x f l x f ）．如图所示，设l x f <)(0．由于l x f x =∞→)(lim ，因此对于02)(0>-=εx f l ，0>∃X ，当X x >||时，满足ε+<<ε-l x f l )(．现取X x X x >''-<',，并使x x x ''<<'0．由于)()(,)()(00x f l x f x f l x f ''<ε-<>ε->'，借助连续函数的介值性，必存在),(),(00x x b x x a ''∈'∈与，使得])([21)()(0x f l l b f a f +=ε-==． 于是由罗尔定理，存在),(b a ∈ξ，使得0)(=ξ'f ． □８．证明：若)(x f 和)(x g 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且0)(≠'x g ， 则存在),(b a ∈ξ，使得)()()()()()(ξ--ξ=ξ'ξ'g b g a f f g f ．证 令)()()()()()()(x g a f b g x f x g x f x --=ϕ，它在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且 )()()()(b g a f b a -=ϕ=ϕ．由罗尔定理，存在),(b a ∈ξ，使得0)()()()()()()()()(=ξ'-ξ'-ξ'ξ+ξξ'=ξϕ'g a f b g f g f g f ，即])()([)(])()([)(a f f g g b g f -ξξ'=ξ-ξ'．由于0)(≠ξ'g ，)()(ξ≠g b g （ 根据0)(≠'x g 和导函数具有介值性，推知)(x g '恒正或恒复，故)(x g 严格单调 ），因此可把上式化为结论式)()()()()()(ξ--ξ=ξ'ξ'g b g a f f g f ． □ *９．设),(,|)(|,|)(|20∞+∞-∈≤''≤x M x f M x f ．证明：202|)(|M M x f ≤'，),(∞+∞-∈x ．证 若02=M ，则可相继推出：B Cx x f C x f x f +=⇒≡'⇒≡'')()(0)(，再由0|)(|M x f ≤，可知0)(0≡'⇒=x f C ，结论成立．同理，当00=M 时结论同样成立．现设00>M ，02>M ．利用泰勒公式，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∈ξ∃202,M M x x ，使 )(421)(2)(222020ξ''+'+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+f M M x f M M x f M M x f .． 由此得到,42)(2)(2|)(|20220020202M M M M M M f M M x f M M x f x f M M =++≤ξ''--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='于是证得 200022421|)(|M M M M M x f =≤'.． □*１０．设)(x f 在],[b a 上二阶可导，0)()(='='-+b f a f ．证明：),(b a ∈ξ∃，使得|)()(|)(4|)(|2a fb f a b f --≥ξ''．证 将⎪⎭⎫⎝⎛+2b a f 分别在点a 与b 作泰勒展开：⎪⎭⎫ ⎝⎛+2b a f ＝⎪⎭⎫⎝⎛+∈ξ⎪⎭⎫ ⎝⎛-ξ''+2,,2!2)()(121b a a a b f a f ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+2b a f ＝⎪⎭⎫⎝⎛+∈ξ⎪⎭⎫ ⎝⎛-ξ''+b b a a b f b f ,2,2!2)()(222， 以上两式相减后得到=-)()(a f b f [])()(221212ξ''-ξ''⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f a b ．设=ξ'')(f {})(,)(max21ξ''ξ''f f ，则有≤-)()(a f b f ())(2)()(2212212ξ''⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤ξ''+ξ''⎪⎭⎫ ⎝⎛-f a b f f a b ，于是证得结论： |)()(|)(4|)(|2a fb f a b f --≥ξ''． □*１１．设在],0[a 上有M x f ≤'')(，且)(x f 在),0(a 内存在最大值．证明： M a a f f ≤'+')()0(．证 设)(x f 在∈c ),0(a 取得最大值，则)(c f 也是一个极大值，故0)(='c f ．由微分中值公式得到),0(,)()0()()()0(111c f c c f c f f ∈ξξ''-=-ξ''+'='， ),(,)()()()()()(222a c f c a c a f c f a f ∈ξξ''-=-ξ''+'='；从而又有M c a f c a a f cM f c f )()()()(,)()0(21-≤ξ''-='≤ξ''='，由此立即证得 M a a f f ≤'+')()0(． □*１２．证明：若),(00y x f x '存在，),(y x f y'在点0P ),(00y x 连续，则),(y x f 在点0P 可微．证 =∆z -∆+∆+),(00y y x x f ),(00y x f =-∆+∆+),([00y y x x f ]),(00y x x f ∆+-∆++),([00y x x f ]),(00y x f ．因),(y x f y'在点0P 连续，故z ∆的第一部分可表为 -∆+∆+),(00y y x x f ),(00y x x f ∆+=y y y x x f y∆∆θ+∆+'),(00 =y y y x f y ∆β+∆'),(00（其中0lim 0=β→∆→∆y x ）；又因),(00y x f x '存在，故z ∆的第二部分可表为-∆+),(00y x x f =),(00y x f x x y x f x ∆α+∆'),(00（其中0lim 0=α→∆x ）．所以有=∆z +∆'x y x f x ),(00y x y y x f y∆β+∆α+∆'),(00， 而且由于)0,0(0||||22→∆→∆→β+α≤∆+∆∆β+∆αy x yx y x ，便证得),(y x f 在点0P 可微． □１３．若二元函数f 与g 满足：f 在点0P ),(00y x 连续，g 在点0P 可微，且0)(0=P g ，则g f .在点0P 可微，且)()()(000P g P f g f P d d =.．证 记g f h .=．由于g 在点0P 可微，根据定理３.４（必要性），存在向量函数[])(,)()(21P G P G P G =，它在点0P 连续，且满足.)()(,))(()()()(0000P G P g P P P G P g P g P g ='-=-=由此得到,)()()()()()()()()()()(00000P P P H P P P G P f P g P f P g P f P h P h -=-=-=-其中)()()(P G P f P H =在点0P 连续．仍由定理３.４（充分性），推知h 在点0P 可微，且因)()()()()()(000000P g P f P G P f P H P h '===，进一步证得)()()(000P g P f hg f P P d d d ==.． □１４．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=.)0,0(),(,0,)0,0(),(,),(222y x y x y x y x y x f证明：（１）f 在原点O )0,0(连续；（２）y x f f '',在点O 都存在； （３）y x f f '',在点O 不连续； （４）f 在点O 不可微．证 （１）若令θ=θ=sin ,cos r y r x ，则因0sin cos lim )sin ,cos (lim 20=θθ=θθ→→r r r f r r ，可知f 在0=r 处（即在点O 处）连续．（２） ⎪⎩⎪⎨⎧.0)0,0(),0(lim )0,0(,0)0,0()0,(lim)0,0(0=∆-∆='=∆-∆='→∆→∆yf y f f xf x f f y yx x（３）求出⎪⎩⎪⎨⎧≠≠+-=';)0,0(),(,0,)0,0(),(,)()(),(222222y x y x y x x y y y x f x⎪⎩⎪⎨⎧≠≠+='.)0,0(),(,0,)0,0(),(,)(2),(2223y x y x y x y x y x f y由于当0≠r 时,,sin cos 2)sin ,cos (,)cos sin (sin )sin ,cos (3222θθ=θθ'θ-θθ=θθ'r r f r r f y x它们都不随0→r 而趋于0( 随θ而异 )，因此yx f f '',在点O 都不连续． （４）倘若f 在点O 可微，则.)()0,0()0,0()0,0(),(22222y x o y x y x y f x f f y x f y x ∆+∆=∆+∆∆∆=∆'-∆'--∆∆但是当令θ=∆θ=∆sin ,cos r y r x 时，)0(0\sin cos )(22/3222→→θθ=∆+∆∆∆r y x y x ，所以f 在点O 不可微．□１５．设可微函数),(y x f 在含有原点为内点的凸区域D 上满足0),(),(='+'y x f y y x f x yx ． 试证：≡),(y x f 常数，D y x ∈),(．证 对于复合函数θ=θ==sin ,cos ,),(y r x y x f z ，由于,)0(0)(1sin cos ≠='+'=θ'+θ'=∂∂'+∂∂'=∂∂r f y f x rf f ry f r x f r z yx yx y x因此在极坐标系里f 与r 无关，或者说f 只是θ的函数（ 除原点外 ）．如图所示，2121,,OP OP D P P 与∈∀的 极角分别为21θθ与．若21θ=θ，则由上面 讨论知道)()(21P f P f =．若21θ≠θ，此时 利用f 在点O 连续，当动点P 分别沿半直线21θ=θθ=θ与趋向点O 时，f 在1θ=θ上的常值与在2θ=θ上的常值都应等于)(O f ．这就证得)()(21P f P f =，即≡),(y x f 常数，D y x ∈),(． □*１６．设二元函数),(y x f 在2ℜ上有连续偏导数，且)1,0()0,1(f f =．试证：在单位圆122=+y x 上至少有两点满足),(),(y x f x y x f y yx '='． 证 在单位圆1=r 上，记π≤θ≤θθ=θϕ20,)sin ,cos ()(f ．由于y xf f ''与连续，故f 可微，一元函ϕ也可微． 已知)2()1,0()0,1()0(πϕ===ϕf f ，由罗尔定理，)2,0(1π∈θ∃，使得0)(1=θϕ'．同理，由)2()2(πϕ=πϕ，)2,2(2ππ∈θ∃，使得0)(2=θϕ'．而y x yx f x f y f r f r r r f '+'-='θ+'θ-=θθθ∂∂cos sin )sin ,cos (， 1)()(='+'-=θϕ'r yx f x f y ，故在1=r 上存在两点)sin ,cos ()sin ,cos (222111θθθθP P 和，满足2,1,)()(='='i P f x P f y i y i x． □ １７．证明：（１）若),(y x f 在凸开域D 上处处有0),(),(='='y x f y x f y x，则≡),(y x f 常数，D y x ∈),(；*（２）若),(y x f 在开域D 上处处有0),(),(='='y x f y x f y x ，则同样有≡),(y x f 常数，D y x ∈),(．证 （１）由于D 为凸开域，因此D y x y x ∈∀),(,),(21，联结这两点的直线段必含于D , 根据§３.５的例１０知道),(y x f 与x 无关；类似地，),(y x f 又与y 无关．这样，f 在D 上各点处的值恒相等．（２）当D 为一般开域时（ 如图 ），D Q P ∈∀,,必存在一条全含于D 内、联结Q P ,两点的有限折线．又因这条折线上 的点全为D 的内点，故在每一点处有一邻域含于D限个邻域所覆盖．在这每一个邻域内，由（１）已知≡),(y x f 常数，而相邻两个邻域之交非空，故经有限次推理，可知)()(Q f P f =．由Q P ,在D 内的任意性，这就证得在整个D 上≡),(y x f 常数． □ １８．证明：若),(y x f 存在连续的二阶偏导数，且令θ+θ=θ-θ=cos sin ,sin cos v u y v u x（ 其中θ为常量 ），则在此坐标旋转变换之下，yy xxf f ''+''为一形式不变量，即 vv uu yy xxf f f f ''+''=''+''． 证 由条件，x y y xf f ''=''，且有 ⎩⎨⎧θ'+θ'-=''+''='θ'+θ'=''+''=';cos sin ,sin cos y x v y vx v y x u y ux u f f y f x f f f f y f x f f⎪⎩⎪⎨⎧θ''+θθ''-θ''=''θ''+θθ''+θ''=θ'''+'''+θ'''+'''=''.2222cos cos sin 2sin ,sin cos sin 2cos sin )(cos )(y y y x x x vv y y y x x x u y y u x y u y x ux x u u f f f f f f f y f x f y f x f f 由此容易推至结论 vv uu yy xxf f f f ''+''=''+''成立． □ *１９．设2ℜ⊂D 为一有界闭域，),(y x f 在D 上可微，且满足),(),(),(y x f y x f y x f yx ='+'． 证明：若f 在D ∂上的值恒为零，则f 在D 上的值亦恒为零．证 由于f 在D 上可微，D 为有界闭域，因此f 在D 上存在最大值和最小值，分别设为)()(21P f m P f M ==和．如果D P int 1∈，则)(1P f 为一极大值，故满足0)()(11='='P f P f y x，由条件， 0)()()(111='+'==P f P f P f M yx ； 如果D P int 2∈，则)(2P f 为一极小值，同理有0)(2==P f m ；如果M 与m 都在D 的内部取得，则有0==m M ；如果D P P ∂∈)(21或，则由条件又使M 0)(=m 或．综上，在任何情形下恒有D y x y x f m M ∈≡⇒==),(,0),(0． □２０．设),(v u f 为可微函数．试证：曲面0),(=--by z ay x f 的任一切平面恒与某一直线平行．证 由于f 可微，因此该曲面在其上任一点处的法向量为()v v u u f f b f a f z f y f x f n ''-'-'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂=,,,, ．又因0=l n .，其中),1,(b a l = ，所以上述法向量n 恒与常向量l 正交．这说明以n为法向量的切平面恒与以l为方向向量的直线相互平行． □２１．证明：以λ为参数的曲线族)(122b a b y a x >=λ-+λ- 是相互正交的（ 当相交时 ）．证 设曲线族中当21,λλ=λ时所对应的两条曲线相交，则应满足2,1,122==λ-+λ-i b y a x ii ；将此二式相减，经整理得到0))(())((221221=λ-λ-+λ-λ-y a a x b b ．另一方面，此二曲线在交点),(y x 处的法向量分别为2,1,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛λ-λ-=i b y a x n i i i ． 由于,0))()()(())(())((,,2121221221221121=λ-λ-λ-λ-λ-λ-+λ-λ-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λ-λ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λ-λ-=b b a a ya a xb b b y a x b ya x n n ..因此这两条曲线在交点),(y x 处互相垂直． □２２．设nD ℜ⊂为凸集，ℜ→D f :为凸函数．证明：（１）对任何正数f αα,是D 上的凸函数；（２）若g 也是D 上的凸函数，则g f +仍是D 上的凸函数；（３）若h I D f ,)(⊂是I 上的凸函数，且递増，则f h 亦为D 上的凸函数． 证 （１）据凸函数定义，)1,0(,,∈λ∀∈∀D y x ，有)()()1())1((x f x f y x f λ+λ-≤λ+λ-．以α乘之，得)()()1())1((x f x f y x f αλ+αλ-≤λ+λ-α，此即表示f α亦满足凸函数定义．（２）由)()()1())1((x f x f y x f λ+λ-≤λ+λ-， )()()1())1((x g x g y x g λ+λ-≤λ+λ-，两式相加后得到)()()())(1())1(()(x g f x g f y x g f +λ++λ-≤λ+λ-+，此即表示g f +亦为D 上的凸函数．（３） 由)()()1())1((x f x f y x f λ+λ-≤λ+λ-，以及h 为递増凸函数，得到,))(())(()1())()()1(()))1(((y f h x f h x f x f h y x f h λ+λ-≤λ+λ-≤λ+λ-或者写成,)()()()()1()))1(()(y f h x f h y x f h λ+λ-≤λ+λ-此即表示f h 亦为D 上的凸函数． □２３．设)0()()(>=x xx f x F ，其中)(x f 在),0[∞+上为非负严格凸函数，且 0)0(=f ．试证：)(x F 与)(x f 都是严格递増函数．证 由条件，0)0()()()(--==x f x f x x f x F ．)0(,2121x x x x <<∀，因为)(x f 为严格凸函数，根据严格凸函数的充要条件（ 定理 ），有)0()(0)0()(2211--<--x f x f x f x f ，而这就是)()(21x F x F <，所以)(x F 是严格递増函数． 又因0)()()()(])()([1121122121>-=->-x F x F x x f x x f x f x f x ， 所以)()(12x f x f >，即)(x f 也是严格递増函数． □２４． 证明定理３.１３的推论１和推论２．证 这里要证明的是：若f 在开区间I 上为凸函数，则 （１）f 在I 中每一点处都连续；（２）f 在I 中每一点处的左、右导数都存在． 现分别证明如下——（１）由定理３.１３，f 在任何I ⊂βα],[上满足利普希茨条件⇒f 在],[βα上一致连续⇒f 在],[βα上连续⇒f 在I 上处处连续．（２）I x ∈∀0，设)0()()()(00>-+=h hx f h x f h F ．由定理３.１２，知道)(h F 为递増函数．另一方面，因I 为开区间，必存在,1I x ∈使01x x <，于是又有)()()(1010h F x x x f x f ≤--，这说明)(h F 有下界．综合起来，根据关于函数极限的单调有界定理，存在右导数)()(lim 00x f h F h ++→'=． 同理可证存在左导数)(0x f -'． □ （ 注：如果先证得)(0x f -'与)(0x f +'都存在，则立即知道f 在点0x 既是左连续，又是右连续，从而f 在点0x 连续．由0x 在I 中的任意性，便证得f 在I 中处处连续．）２５． 证明定理３.１４的推论１和推论２．证 这里要证明的是：（１）若f 在区间I 上二阶可导，则有f 在I 上为凸函数I x x f ∈≥''⇔,0)(；（２）若f 在区间I 上是一可微的凸函数，则有I x ∈0是f 的极小值点0)(0='⇔x f ．现分别证明如下——（１）当f ''存在时，已知I x x f I x x f ∈'⇔∈≥'',)(,0)(递増．据定理３.１４（ⅱ），f '在I 上递増⇔f 在I 上为凸函数，故结论得证．（２）其中“⇒”已由费马定理所保证，这里只要证明“⇐”． 由0)(0='x f ，根据定理３.１４（ⅲ），对一切I x ∈恒有)()()()()(0000x f x x x f x f x f =-'+≥，因此)(0x f 是)(x f 在I 上的最小值．由)(0x f '存在，说明0x 是I 的一个内点，所以)(0x f 是)(x f 在I 上的一个极小值． □２６．用凸函数方法证明如下不等式： （１）对任何,,b a 恒有 )(212b aba e e e +≤+； （２）对于b a ≤≤0，恒有b a ba arctan arctan 2arctan2+≥+． 证（１）设x x f e =)(，由于0)(>=''xx f e ，因此)(x f 为凸函数．故对=λλ-=121，有 [])()(212b f a f b a f +≤⎪⎭⎫⎝⎛+， 即)(212b aba e e e +≤+． （２）设x x f arctan )(=，由于)0(0)1(2)(,11)(222≥≤+-=''+='x x x x f xx f ，因此在),0[∞+上)(x f 为凹函数．故对=λλ-=121，有 []b a b f a f b a f ≤≤+≥⎪⎭⎫⎝⎛+0,)()(212，即 b a ba arctan arctan 2arctan2+≥+． □ ２７．设ABC ∆为正三角形，各边长为a ；P 为ABC ∆内任一点，由P 向三边作垂线，垂足为F E D ,,．试求点P ，使DEF ∆的面积为最大；并求此最大面积．解 如图所示，记x PD =||，y PE =||，z PF =||．因ABC ∆为正三角形，故32π=∠=∠=∠F P D E P F D P E ， 所以DEF ∆的面积为.)(43)(3sin 21x z z y y x x z z y y x S S S S PFDPEF PDE ++=++π=++=∆∆∆ 再由ABC PAB PCA PBC S S S S ∆∆∆∆=++，得约束条件为a z y x a z y x a23,43)(22=++=++即． 借助 乘数法，令,000,)23(z y x x y L z x L z y L a z y x x z z y y x L z y x ==⇒⎪⎭⎪⎬⎫=λ++='=λ++='=λ++='-++λ+++=由此求得..2216363343max 63233a a S a z y x a x z y x DEF =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒===⇒==++∆□（２８）在平面上有一个ABC ∆，三边长分别为c AB b CA a BC ===,,．以此三E FCyABDPxz角形为底，h 为高，可作无数个三棱锥，试求其中侧面积为最小者．解 如图所示，三棱锥ABC H -的高为h HO =．在ABC ∆中，由点O 作三条边的垂线：AB OF CA OE BC OD ⊥⊥⊥,,，并记z OF y OE x OD ===||,||,||．于是三棱锥ABC H -的侧面积为 222222212121h z c h y b h x a S +++++=；而约束条件为02S S z c y b x a ABC =⨯=++∆， 其中.)2()()()(c b a p c p b p a p p S A B C++=---=∆由 乘数法，设)(0222222S z c y b x a h z ch y b h x aL -++λ-+++++=，并令⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+---='=λ-+='=λ-+='=λ-+='λ.0,0,0,00222222S z c y b x a L c hz zc L b h y y b L a hx x a L zy x由此易得λ=+=+=+222222hz z hy y hx x ．根据实际意义，侧面积无最大值，有最小值．上式表示HFO HEO HDO ∠=∠=∠，这说明侧面积的最小值发生在三侧面与底面成等角的情形．由此式又可解出pc p b p a p p z y x )()()(---===，此时O 适为ABC ∆的内心，并求得BCHOAE h DFxy z,)()()()(212222min h p c p b p a p p h x c b a S +---=+++=其中 )(21c b a p ++=． □ ２９．试用条件极值方法证明不等式：nn n y x y x ⎪⎭⎫⎝⎛+≥+22，其中n 为正整数，0,0≥≥y x ．证 设目标函数为nn y x y x f +=),(，约束条件为a y x 2=+．用 乘数法，令.a y x a x y x y x y n L xn L a y x y x L n y n x n n ====+⇒=⇒⎪⎭⎪⎬⎫=λ+='=λ+='-+λ++=--,22,00,)2(11当动点沿直线a y x 2=+无限趋近端点)0,2(,)2,0(a a 时，≥→na y x f )2(),(n a a a f 2),(=，故n a a a f 2),(=是条件最小值．于是有不等式：nnnny x a y x y x f ⎪⎭⎫⎝⎛+=≥+=22),(，即证得 nn n y x y x ⎪⎭⎫⎝⎛+≥+22成立. □*３０．设n i x b a i i i ,,2,1,0,0,0 =≥≥≥；1,1-=>p pq p ； ∑==ni i i n x a x x x f 121),,,( ，（Ｆ１）11=∑=ni pix ． （Ｆ２）（１）求在条件（Ｆ２）的约束下，目标函数（Ｆ１）的最大值；（２）由以上结果，导出赫尔德不等式：pni ip q ni q i ni i i b a b a 11111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤∑∑∑===． （Ｆ３）证（１）设 函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-λ-=∑∑==111n i p i ni i i x p x a L ．由n i x a x Lp i i i,,2,1,01 ==λ-=∂∂-可解出 n i a x i p i,,2,1,1=λ=-．令1-=p pq ，对上式两边取q 次幂，得 n i a x qi p i,,2,1, =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λ=； 由条件（Ｆ２），又得qn i q i n i qi q ni pia a x 111111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λ⇒=λ=∑∑∑===．由此求得;.n i a a a a a a x pn i q ip i p q n i q i p i p i pq i i,,2,1,111111111111=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λ=-=---=--*∑∑并有qn i q i pni q i n i q i ni i i na a a x a x x f1111111),,(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑∑∑=-===*** ． （Ｆ４）设由（Ｆ２）所表示的集合为D ，D 的边界为（Ｆ２）与),,2,1(0n i x i ==的交线．由对称性，只需考虑0=n x 一种情形．因为qn i q i qn i q i a a 11111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑=-=，所以（Ｆ４）所示即为f 在D 上的最大值．这就得到D x x pq a x a n qni q i ni i i ∈=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑==),,(,111,1111 ． （Ｆ５） （２） 在不等式（Ｆ５）中，令n i b b b x i p n i pi i i ,,2,1,0,11 =≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-=∑，这样的i x 满足条件条件（Ｆ２），代入（Ｆ５）后，即得赫尔德不等式（Ｆ３）． □ 补充说明：赫尔德不等式也可以用凸函数方法（詹森不等式）来求得——考虑函数qxx f 1)(=．由于0)11(1)(,1)(2111<-=''='--q q x q q x f x q x f ，因此)(x f 在0>x 时为凹函数．根据詹森不等式，对于∑==λ>λ>ni i i i x 1)1(0,0，n i ,,2,1 =，有qn n qn n qx x x x 1111111)(λ++λ≤λ++λ ．取n i a a a b x nni p i pi i pi qii ,,2,1,, ==λ=∑=，代入上式得：()()q n i p i qn i q i qp nqnpnqp qp ni pia b a b a a b a a 11111111111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++∑∑∑=== ． 因111=+qp ，故1=-q p p ，于是上式左边可化为40 / 21 ∑∑=--=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++n i p i n n q p pn n q pp n i pi a b a b aa ba b a 11111111 ．从而证得qn i i q p n i p i q n i p i qn i i q n i p i n i i i b a a b a b a 1111111111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑∑∑∑======.．显然，此式中交换i a 与i b ，即为（Ｆ３）．由于上述δ只与ε有关，因此f 在D 上一致连续． □。
数学分析课后习题答案3.1
但逆命题不真.
− 1 , x > 0 1, x ≠ 0 如对 f ( x) = 0 , x = 0 ,有 f ( x) = 0 , x = 0 1 , x < 0
且 lim f ( x) = 1 ,但 lim f ( x) 不存在.
x → x0 x → x0
5、 证明定理 3.1 定理 3.1 lim f ( x) = A 的充分必要条件是 lim+ f ( x) = lim− f ( x) = A .
x2 − 5 = 1. x →∞ x 2 − 1
(4)设 x ∈ [1, 2) ,则
4 − x2 = 2 + x ⋅ 2 − x ≤ 2 2 − x .
,则当 0 < 2 − x < 8 ,即 1 − δ < x < 2 时,
∀ε > 0 ,取 δ =
ε2
4
4 − x2 < ε ,
故 lim 4 − x = 0 .
2
ε
3
故 lim( x − 6 x + 10) = 2 .
2 x→2
(3)当 x > 2 时,
x2 − 5 4 4 −1 = < . 2 x −1 x +1 x x −1
对任给正数 ε ,只要取 M = {2 , } ,当 x > M 时,便有
4
ε
x2 − 5 −1 < ε , x2 −1
故 lim
x → x0
4、 证明 lim f ( x) = A ,则 lim f ( x) = A .但反之不真.
x → x0 x → x0
证: 设 lim f ( x) = A ,则对任给正数 ε ,存在正数 δ ,当 0 < x − x 0 < δ 时,
数学分析选讲习题答案。我们学校自己编的《数学分析选讲》讲义习题解答,不要乱评论。OK？
参 考 文 献
1. 庄亚栋, 王慕三 数学分析, 北京, 高等教育出版社, 1990.
2. Rudin, w., Principles of Mathematical Analysis, 3-d. New York, McGraw-Hill, 1976. 中译 本, 数学分析原理(上册), 赵慈庚、蒋铎译， 3. G. 克莱鲍尔, 数学分析, 庄亚栋译, 上海 , 上海科学技术出版社, 1981. 4. Birkhoff, G., and MacLane, S., A Survey of Modern Algebra, 4-d. New York, Macmillan, 1977. 中译本: G. 伯克霍夫, S. 麦克莱恩 , 近世代数概论(上册), 王连祥、徐广善译, 人 民教育出版社, 1979. 5. 杨宗磐, 数学分析入门 , 北京, 科学出版社 , 1958. 6. 华东师范大学数学系 , 数学分析(第二版), 北京, 高等教育出版社, 1990. 7. 庄亚栋, 方洪锦, 姚林, 基础数学试题选解 , 南京 , 江苏科学技术出版社, 1986 8. Dieudonne, J., Foundations of Morden Analysis, New York, Academic, 1969. 中译本: J. 狄厄多尼, 现代分析基础 , 苏维宜译, 科学出版社, 1982. 9. 方企勤, 数学分析, 第一册 , 北京, 高等教育出版社, 1986. 10. 沈燮昌, 数学分析, 第二册, 北京, 高等教育出版社, 1986. 11. 廖可人, 李正元 , 数学分析, 第三册 , 北京 , 高等教育出版社 , 1986. 12. 陈传璋, 金福临 , 朱学炎, 欧阳光中 数学分析(第二版), 北京, 高等教育出版社, 1983. 13. 14. 15. 16. 17. 18. Г .М .菲赫金哥尔茨 , 微积分学教程 , 第二卷二、 三分册 , 北京大学高等数学教研室译, 北京, 高等教育出版社 , 1954. 强文久, 李元章 , 黄雯荣, 数学分析的基本概念与方法, 北京, 高等教育出版社, 1989. 汪林, 数学分析中的问题与反例, 昆明, 云南科技出版社, 1990. 裴礼文, 数学分析中的典型问题与方法, 北京 , 高等教育出版社 , 1993. 周家云, 刘一鸣 , 解际太, 数学分析的方法, 济南, 山东教育出版社, 1991.
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第一讲 习题解答习题1-11 计算下列极限① ()1lim 11,0p n n p n →∞⎡⎤⎛⎫+->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦解：原式=()1111110lim lim 110ppp n n n n n n→∞→∞⎛⎫⎛⎫+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-()()0110lim 0p p n x x →+-+=-()()01p x x p ='=+= ② ()sin sin limsin x a x a x a →--解：原式=()()()()sin sin sin sin limlimsin x a x a x a x a x ax a x a x a →→---⋅=---=()sin cos x ax a ='= ③1x →，,m n 为自然数 解：原式=11x x n m→='==④()lim 21,0nn a →∞>解：原式()()10ln 21lim ln 211limln 1lim n x n x a e a n nxn ee e →∞→⎛⎫ ⎪⋅- ⎪⎝⎭-→∞====()()()()0ln 21ln 21ln 21lim2ln 20x a a xx a a xx e ee a ---→'-====⑤ lim,0x ax a a x a x a→->- 解：原式=limx a a a x a a a a x x a →-+--lim lim x a a ax a x a a a x a x a x a →→--=---()()x a x a x a a x ==''=-()ln 1a a a =- ⑥ lim ,0xaa xxax a a a a a x →->-解：原式limlim x a x aa x a x x a x a x a x a a a a a x aa x x a a x→→---==⋅---()lim x aa aa a x ax ax a a a a a x ax aa x→----=⋅-- lim xaaaa a x ax a x a a a a a x a x a x a a x →⎛⎫---=-⋅ ⎪ ⎪---⎝⎭lim xaaaa a x a a a a a x a x a a a a a x a x ax a x a x a a x →⎛⎫----=-⋅⋅ ⎪ ⎪----⎝⎭()()()()1ln 1x aa y aa y a x a x a a a x a a ===⎛⎫'''=-⋅⋅ ⎪⎪-⎝⎭ln aa a a =⋅ ⑦ ()()101011sin limsin x tgx x x→+--解：原式=()()101011sin limsin x tgx x xx x→+--⋅()()()()1010101001101sin 1sin 0lim x tgx tg x x x →⎛⎫+-+---=-⎪ ⎪⎝⎭()()()()101011sin x x tgx x ==''=+--20=⑧ ()11lim m k m n i n i kn n -→∞=⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑，m 为自然数 解：原式()111lim lim 1m m k k m n n i i n i i n n n n n -→∞→∞==⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎢⎥=-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑ ()()()110111lim 12mkk m n i i x i mk k n i i x i n→∞===⎛⎫+- ⎪+'⎝⎭=⋅=⋅+=∑∑2 设()f x 在0x 处二阶可导，计算()()()00022limh f x h f x f x h h→+-+-。
解：()()()()()000002002lim lim 2h h f x h f x f x h f x h f x h h h→→''+-+-+--=()()()()000001lim 2h f x h f x f x h f x h h →''''+---⎡⎤=+⋅⎢⎥-⎣⎦()0f x ''= 3 设()0f x '存在，计算()()000limx x xf x x f x x x →--解：原式()()()()00000000limx x xf x x f x x f x x f x x x →---⎡⎤⎣⎦=-()()()()()00000000limx x f x f x f x x f x x f x x x →-'=-⋅=--4 设()0,a f a '>存在，计算()()1ln ln lim x ax a f x f a -→⎡⎤⎢⎥⎣⎦解：原式()()()()()()ln ln ln ln limlimln ln ln ln x ax aaf a f x f a f x f a x af a x ax ax ae e e→→'---⋅---===习题1-21求下列极限 ①(lim sinx →+∞解：原式()()lim211x x x →+∞=+--(lim sin 20x ξξ→+∞='=⋅=ξ介于1x -，与1x +之间。
② ()40cos sin cos lim sin x x xx→-？？？？解：原式()()40sin sin lim0sin x x x xξξ→--=→ ()32000sin cos 1sin 1limlim lim 366x x x x x x x x x x →→→---+====③ 3320lim sin x xx e e tgx x -→-⋅解：原式()()3333333000lim lim 2lim 22x x x x x x x x e e e e e x x x ξξ--→→→=--'==⋅==-- ④ 2222lim ,0x ax a a x a x a →->- 解：原式2222221lim x aa a x a a a x a x a x ax a →⎛⎫⎛⎫--=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎪--+⎝⎭⎝⎭()()222211211lim lim ln 22xaa aax x ax a a a ξξξξ→→=='⎛⎫'=-⋅=- ⎪⎝⎭ ⑤ 2lim 1n a a n arctgarctg n n →+∞⎛⎫- ⎪+⎝⎭解：原式()21lim11n a aarctgarctg an n n a a n n n n →+∞-+=⋅+-+()0lim x arctgx a a ξξ→='=⋅= ⑥((()11111lim 1n x x -→-L解：原式1111lim 111x x x x→=---1111lim 111x x x x →=⋅---L11lim !x n →'''=⋅=L⑦limx解：原式lim x x →+∞=lim211x x x →+∞=+-- ⎪⎝⎭11lim 23x ξξ→='=⋅=⑧()2limln 1n n n →∞+解：原式()()11ln 1ln 21lim ln 1n n n n n e e n n ++→∞⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=+()()2ln 1ln 1lim ln 1n n n nn n n →∞+⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+()()()()21ln 1ln lim 1ln 1n n n n n n n n →∞++-=++()()()()22ln 1ln ln 1lim 1ln 1n n n n n n n n n →∞+-++=++()()()21ln 1ln 1lim 1ln 1n n n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=++()()()21ln 1lim 1ln 1n n n n n n n →∞++=++()()1ln 1lim1ln 1n n n n n →∞++=⋅++=1 2 设()f x 在a 处可导，()0f a >，计算1lim 1nn f a n f a n →∞⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥=⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解：原式1ln 1lim f a n n f a n n e⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭→∞=11ln ln .211lim f a f a n n a a n n n e⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→∞==()()2f a f ae '习题1-31 求下列极限① ()()011lim ,011x x n x λμ→+-≠+- 解：原式()()011lim 11x x x λλμμ→+-==+-（也可利用对数等价关系求解）②x →解：利用等价代换可得原式0lim x →=()122ln cos cos 2cos lim ln 1x x x nxx→⋅⋅⋅=-+20ln cos ln cos 2ln cos 2limx x x nxx→++⋅⋅⋅+=- 2220cos 1cos 21cos 12lim x x x nx x x x →⎛---⎫⎛⎫=-++⋅⋅⋅+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 212222n ⎛⎫⎛⎫=---+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22212n =++⋅⋅⋅+()()11216n n n =++③ 011lim 1x x x e →⎛⎫-⎪-⎝⎭解：原式()200111lim lim 21x x x x x e x e x x x e →→----===-④ ()112lim 1x x x x x x →∞⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦解：原式()()11ln 12ln 211lim lim ln 1ln x x x x x x x e e x x x xx +→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤=-=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()1ln 1lim ln 1ln lim 11x x x x x x x→+∞→+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+-==⎡⎤⎣⎦⑤ 3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦解：原式()3200ln 2cos ln 312cos 1lim ln lim 36xx x x x x x →→+-+⎛⎫===- ⎪⎝⎭⑥20x x -→解：原式2cos 11x x x e -→---=，而211cos 2x x -:，21x e -→，cos 1x →，()0x →且220112lim 12x xx →=-≠--。
故原式222126112x x x-==- 3计算下列极限 ① 2221cos ln cos limsin x x x x x e ex-→----解：211cos 2x x -:，()()22222222,sin x x e e x x x x x ----=::，且2202lim 21x x x →=-≠--，故原式1=。