幂函数与函数的图象变化
幂函数与指数函数
幂函数与指数函数幂函数与指数函数是高等数学中的重要概念，它们在数学和实际问题中有广泛的应用。
本文将介绍幂函数和指数函数的定义、性质以及它们在不同领域的应用。
一、幂函数的定义与性质幂函数是指形如y = x^a的函数，其中x为自变量，a为常数。
幂函数的定义域为正实数集。
当a>0时，幂函数是严格递增的；当a<0时，幂函数是严格递减的。
特别地，当a=0时，幂函数为常函数。
幂函数的图像可以分为几种不同的情况。
当a>1时，幂函数的图像在原点处是水平右移的U形曲线，右侧逐渐变得陡峭；当0<a<1时，幂函数的图像在原点处是水平右移的倒U形曲线，右侧逐渐变得平缓；当a<0时，幂函数的图像在原点处是水平右移的S形曲线。
二、指数函数的定义与性质指数函数是指形如y = a^x的函数，其中a为底数，x为自变量。
指数函数的定义域为实数集。
当底数a>1时，指数函数是严格递增的；当0<a<1时，指数函数是严格递减的。
特别地，当底数a=1时，指数函数为常函数。
指数函数的图像也有几种不同的情况。
当底数a>1时，指数函数的图像在原点处是水平右移的U形曲线，右侧逐渐变得陡峭；当0<a<1时，指数函数的图像在原点处是水平右移的倒U形曲线，右侧逐渐变得平缓；当底数a<0时，指数函数的图像在原点处是水平右移的S形曲线。
三、幂函数与指数函数的应用1. 科学领域幂函数与指数函数在科学领域的应用非常广泛。
在物理学中，幂函数与指数函数可以描述天体运动、物体的增长规律等。
在化学中，幂函数与指数函数可用于描述化学反应速率、物质的衰变等。
2. 经济领域在经济学中，幂函数与指数函数常用于描述经济增长、人口增长等问题。
其中，指数函数可以用来描述指数增长，而幂函数则可以用来描述多项式增长。
3. 网络领域在网络传输中，幂函数与指数函数可以用于描述网络带宽的分配、传输速度的控制等问题。
指数函数在网络拓扑中也有广泛的应用，如指数递增的网络节点连接数量等。
根据幂函数的增减性知识点及题型归纳总结
根据幂函数的增减性知识点及题型归纳总
结
一、幂函数的增减性知识点
1. 幂函数的定义
幂函数是指以x为变量、以正常数a为底数的函数f(x) = a^x （a>0且a≠1）。
2. 幂函数的图像特点
- 当a>1时，幂函数的图像为增函数，即随着x的增大，f(x)的值也随之增大。
- 当0<a<1时，幂函数的图像为减函数，即随着x的增大，f(x)的值逐渐减小。
- 幂函数的图像都通过点(0,1)。
3. 幂函数的增减性
- 当a>1时，幂函数是严格递增函数，即对于任意的x1和x2（x1<x2），都有f(x1)<f(x2)。
- 当0<a<1时，幂函数是严格递减函数，即对于任意的x1和x2（x1<x2），都有f(x1)>f(x2)。
二、幂函数的题型归纳总结
1. 计算函数值
给定幂函数f(x) = a^x，计算特定x值对应的函数值，即求解f(x)。
2. 求解定义域和值域
给定幂函数f(x) = a^x，求解函数的定义域和值域。
3. 比较大小
给定两个幂函数f(x) = a^x和g(x) = b^x，比较它们在特定区间的大小关系。
4. 求解方程
给定幂函数f(x) = a^x，求解方程f(x) = k的解。
5. 绘制函数图像
根据给定的幂函数，绘制函数的图像。
注意：幂函数的变量x可以是实数，题目中可能会限定x的取值范围。
以上是根据幂函数的增减性的知识点及常见题型的归纳总结。
希望对你的学习有帮助！。
幂函数的图像与性质
图象都经过点（ 图象都经过点（1，1）
在第一象限内,函数图象的变化趋势与指数有什么关系 在第一象限内 函数图象的变化趋势与指数有什么关系? 函数图象的变化趋势与指数有什么关系
幂函数在(0,+∞) １.幂函数在(0,+∞)都 幂函数在(0,+∞)都 有定义, (1,1)点 有定义,且都过 (1,1 点; ２.在x=1的右侧，越在 x=1的右侧 的右侧， 上方的图像对应的幂 函数的k值越大； 函数的k值越大； 轴与x=1之间相反。 x=1之间相反 在y轴与x=1之间相反。
幂函数的性质与图像？ 幂函数的性质与图像？
K>0
K>0
K>0
K>0
K>0
K>0
K>0
K<0
K<0
K<0
K<0
K<0
K<0
K<0
在第一象限内,函数图象的变化趋势与指数有什么关系 在第一象限内 函数图象的变化趋势与指数有什么关系? 函数图象的变化趋势与指数有什么关系
在第一象限内， 在第一象限内， 增大而上升。 当k>0时，图象随 增大而上升。 时 图象随x增大而上升 当k<0时，图象随 增大而下降 时 图象随x增大而下降
3、思想与方法 、
数形结合 寓数于形,赋形于数 互相利用 相得溢彰. 寓数于形 赋形于数,互相利用 相得溢彰 赋形于数 互相利用,相得溢彰
练 习
y=x
I
−
1 2
y=x
G
2 3
y=x
E
4 3
y= x
B
−3
y=x
C
−2
y = x
y
幂函数九个基本图像
幂函数九个基本图像幂函数的图像和性质图表幂函数的图像：幂函数的性质：一、正值性质当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：a、图像都经过点（1,1）（0,0）；b、函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数；c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0；二、负值性质当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：a、图像都通过点（1,1）；b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。
利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。
其余偶函数亦是如此）。
c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。
三、零值性质当α=0时，幂函数y=xa有下列性质：a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。
它的图像不是直线。
扩展资料一般地，y=xα（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。
例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x、y=x0时x≠0）等都是幂函数。
参考资料：百度百科—幂函数幂函数的图像和性质幂函数是基本初等函数之一。
一般地，y=xα（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。
例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x、y=x0时x≠0）等都是幂函数。
幂函数的一般形式是，其中，a可为任何常数，但中学阶段仅研究a为有理数的情形（a为无理数时，定义域为(0，+∞) ），这时可表示为，其中m,n，k∈N*，且m，n互质。
特别，当n=1时为整数指数幂。
正值性质当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：a、图像都经过点（1,1）（0,0）；b、函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数；c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0（函数值递增）；负值性质当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：a、图像都通过点（1,1）；b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。
幂函数知识点
幂函数知识点1. 幂函数的定义幂函数是一种特殊的函数，其形式为f(x) = ax^b，其中a 和b都是实数，且a不等于0。
在幂函数中，x是自变量，b 是幂指数，a是幂函数的系数。
2. 幂函数的图像根据幂函数的定义，可以推断出幂函数的图像特征： - 当幂指数b为正数时，幂函数呈现上升趋势。
当x趋近于无穷大时，幂函数的值也趋近于无穷大；当x趋近于零时，幂函数的值趋近于零。
- 当幂指数b为负数时，幂函数呈现下降趋势。
当x趋近于无穷大时，幂函数的值趋近于零；当x趋近于零时，幂函数的值趋近于无穷大。
- 当幂指数b为零时，幂函数为常数函数，图像为一条水平直线。
3. 幂函数的性质幂函数具有以下性质： - 幂函数的定义域为实数集，值域依赖于a的正负性质。
- 幂函数在定义域上是连续的。
- 当幂指数b为正偶数时，幂函数的值始终为正数。
- 当幂指数b为正奇数时，幂函数的值随着x的变化而变化，正负性取决于a 的正负性。
- 当幂指数b为负数时，幂函数的值随着x的变化而变化，正负性取决于a的正负性。
- 幂函数在x=0处存在一个驻点，即当x=0时，幂函数的导数为0。
- 当b>0时，幂函数对x的增长速度随着x的增大而增加；当b<0时，幂函数对x的增长速度随着x的增大而减小。
4. 幂函数的应用幂函数在数学和物理中有广泛的应用，例如： - 在生物学中，幂函数常被用来描述生物体量和身高的关系，以及种群增长和资源利用的关系。
- 在经济学中，幂函数常被用来描述产出与投入的关系，以及利润与销售量的关系。
- 在物理学中，幂函数常被用来描述力与位移的关系，以及电力消耗与电流的关系。
5. 幂函数的求导根据幂函数的定义，我们可以得出幂函数的导数公式： - 对于f(x) = ax^b，其中a不等于0且b不等于0，幂函数的导数为f’(x) = abx^(b-1)。
其中b-1为幂指数减一。
在求幂函数的导数时，需要注意幂指数b的取值范围，以及系数a的正负性。
4.1幂函数的性质与图像
−1
1/2 1/3 …
4
3
2
1
(1,1)
2 4 6
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x2 9 4 1 0 1 4 9
4
3
y=x
2
1
(1,1)
2 4 6
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4)
4
(2,4) y=x
3
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
k>1 0<k<1
x
小结
1、幂函数的定义 及图象特征? 及图象特征? k>0,在(0,+∞)上为增函数; k>0,在(0,+∞)上为增函数; 上为增函数 2、幂函数的性质 k<0,在(0,+∞)上为减函数 k<0,在(0,+∞)上为减函数 3、思想与方法 、 图象过定点(1,1) 图象过定点
小结
作业: 作业
106页1,3 页
成功始于方法 巩固才能提高
(1,1)
2
y=x-1
4 6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2
y=x-1
4
y=x0
6
-1
(-1,-1)
幂函数、指数函数、对数图像及性质
质
x>1时, y>0
x>1时, y<0
(5) 在(0,+∞)上是增函数 (5)在(0,+∞)上是减函数
x
小
x
指数函数的图象和性质 y a
图 象 性 值域:
y
x
(a 0且a 1)
a>1
y 1 o
0<a<1
1 o R (0,&#义域:
过定点: 当x>0时，y>1. 当x>0时，0<y<1, 当x<0时，y>1. 质 当x<0时，0<y<1. 单调性：是R上的增函数 单调性：是R上的减函数 奇偶性： 非奇非偶 奇偶性： 非奇非偶
1. 幂函数的图像
y x, y x , y x ,
2 3
y
y x , y x
的图象.
1 2
y x3 y x2 y x
1
yx
1
1 2
yx
1
O1
y x 2
x
幂函数的性质
(1) 所有的幂函数在(0,＋∞)都有定义，
并且图象都通过点(1,1)； (2) 如果a＞0，则幂函数图象过原点， 并且在区间 [0,＋∞)上是增函数；
3、对数函数的图像
y log2 x y log0.5 x y lg x
y log0.1 x
1
对数函数的图象和性质
a>1 图 象
o y (1, 0) x
对数函数y=log a x (a>0, a≠1)
幂函数运算知识点总结
幂函数运算知识点总结一、幂函数的定义幂函数是指数函数的一种特殊形式，其定义为f(x) = ax^n，其中a和n分别为实数且n为正整数。
幂函数的定义域为实数集合，值域为非负实数集合。
当n为偶数时，幂函数的图像呈现“上凸”的形状；当n为奇数时，幂函数的图像呈现“上凹”的形状。
二、幂函数的图像特点1. 当n为奇数时，幂函数的图像在第一象限和第三象限上凹，在第二象限和第四象限上凸。
2. 当n为偶数时，幂函数的图像在第一象限和第三象限上凸，在第二象限和第四象限上凹。
3. 当n为1时，幂函数的图像为直线y=ax，且通过原点。
三、幂函数的性质1、对任意实数a，b，c（a≠0,1）；n，m为正整数，有a^0=1,a^m*a^n=a^(m+n),(a^m)^n=a^(mn),(a*b)^m=a^m*b^m,(a/b)^m=a^m/b^ma^m/a^n=a^(m-n)2、a≠0,1时，当0<a<1时，a^m叫做小于1的幂，a^(−m)=1/a^m；大于1的幂。
a^m>1, 当m>1时 a^m>1, 当m<1时 a^m <1.0^0=1,0^m=0 (m>0).四、幂函数的运算规律1. 幂函数与常数的乘积：y=kx^n(k为常数)，则y=kx^n是一条幂函数的图像，图像基本形状不变，只经过纵向压缩或纵向拉伸。
若k>1，则图像纵向压缩；若0<k<1，则图像纵向拉伸。
2. 幂函数的平移：若对f(x)=x^n加常数c，则其图像向上平移c个单位；若对f(x)=x^n减常数c，则其图像向下平移c个单位。
3. 幂函数的镜像：幂函数关于y轴对称时，原函数的图像将对称于y轴；幂函数关于x轴对称时，原函数图像将对称于x轴。
4. 幂函数的复合函数：将两个幂函数进行复合运算时，其结果仍为幂函数。
五、幂函数的求导幂函数的导数运算利用幂函数的性质和指数函数的导数运算法则，以及利用导数的乘法法则与链式法则。
幂函数图像及性质知识点总结(最新)
幂函数图像及性质知识点总结
一、幂函数图像及性质
1、正值性质
当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：
（1）图像都经过点（1,1）（0,0）；
（2）函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数；
（3）在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0。
2、负值性质
当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：
（1）图像都通过点（1,1）；
（2）图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。
利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。
其余偶函数亦是如此）。
（3）在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。
3、零值性质
当α=0时，幂函数y=xa有下列性质：
1、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。
它的图像不是直线。
二、什么是幂函数
幂函数属于基本初等函数之一，一般y=xα（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。
例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x、y=x0时x≠0）等都是幂函数。
【幂函数图像及性质知识点总结】
1。
幂函数和函数图像的变换
1幂函数和函数图像的变换（一）幂函数：（二）主要方法：1．熟记一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数的图象． 2．作图(1)描点法作图步骤： ①确定定义域； ②化简解析式；③确定函数图象的特殊点； ④讨论函数的性质； ⑤描点连线． （2）图像的变换 1．平移变换：（1）水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；（2）竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到．2．对称变换：（1）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于y 轴对称； （2）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于x 轴对称； （3）函数()y f x =--的图像与函数()y f x =的图像关于原点对称；（4）函数1()y f x -=的图像与函数()y f x =的图像关于直线y x =对称； （5）函数()y f x =的图像与函数)2(x a f y -=的图像关于直线a x =称.3．翻折变换：（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；（2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到．4．伸缩变换：（1）函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；（2）函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x=的图像中的每一点纵坐标不2变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到． 5. 具有对称性的抽象函数：①函数()x f 对于定义域中的任意x ,都有()()x b f x a f -=+，则()x f 是关于直线2b a y +=对称的函数.②函数()x f 对于定义域中的任意x ,都有()()x b f x a f --=+，则()x f 是关于点⎪⎭⎫⎝⎛+0,2b a 对称的函数.（三）例题分析：1.函数y=f(x)的图象如下,那么下列对应错误的是( )解析:y=f(|x|)是偶函数,图象关于y 轴对称,故B 错误.答案:B2.设函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是下面的()解析:由y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,知y=f(x)·g(x)为奇函数,又在x=0处无定义. 答案:D3.先作与函数 12y lgx=-的图象关于原点对称的图象,再将所得图象向右平移2个单位得图象C1,又y=f(x)的图象C2与C1关于y=x 对称,则y=f(x)的解析式是()A.y=10xB.y=10x－2 C.y=lgx D.y=lg(x－2)3答案:A4.函数f(x)=log a |x|+1(0<a<1)的图象大致为()解析:作出函数y=log a x(0<a<1)的图象,然后保留y 轴右侧不变,再将y 轴右侧对称到左侧,得y=loga|x|,再将所得图象向上平移一个单位,点(1,0)和(-1,0)变化为(1,1)和(-1,1),故A 正确. 答案:A5.()()21,[1,0),f x 1,[0,1],.x x x x ∈+-⎧=⎨+⎩已知则下列函数的图象错误的是[解析]f(x)的图象如图所示,f(x-1)的图象由f(x)的图象向右平移1个单位; f(-x)的图象与f(x)的图象关于y 轴对称; 由y=f(|x|)的奇偶性可知,保留f(x)在 y 轴右侧的图象,左侧图象由右侧图象 关于y 轴对称得到;|f(x)|的图象是将f(x)图象在x 轴下方部分关于x 轴翻转180°,其余部分不变,故D 错. [答案]D6.若直线y=2a 与函数y=|ax-1|(a>0且a ≠1)的图象有2个公共点,求a 的取值范围.402a 1,a 10,.2⎛ ∈⎪<<⎫⎝⎭由图知所以7．函数1()f x x x=-的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y ＝x 对称 解析：∵f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 又f (－x )＝1()x x ---＝1()x x--＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数，它的图象关于原点对称．答案：C8．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如右图，则不等式f (x )<0的解集是________．解析：∵f (x )是[－5,5]上的奇函数， ∴f (x )的图象关于原点对称，由图象知f (x )<0的解集是{x |－2<x <0或2<x ≤5}． 答案：{x |－2<x <0或2<x≤5}。
幂函数的像与性质
幂函数的像与性质幂函数是高中数学中一个重要的函数概念，它在数学分析、微积分和图像绘制等领域中有着广泛的应用。
在本文中，我们将探讨幂函数的像以及其性质。
一、幂函数的定义和基本形式幂函数的定义如下：f(x) = x^a其中，a为实数，x为定义域内的数值。
幂函数的基本形式有两种：1. 正幂函数：当a>0时，幂函数f(x) = x^a是递增函数，即随着x的增大，f(x)也随之增大。
这种幂函数的图像呈现单调递增的趋势，且过原点(0,0)。
2. 负幂函数：当a<0时，幂函数f(x) = x^a是递减函数，即随着x的增大，f(x)反而减小。
这种幂函数的图像则在第一象限和第三象限之间交替，过原点(0,0)。
二、1. 正幂函数的像正幂函数f(x) = x^a，当a>0时，其像为正实数集(0,+∞)，即函数的取值范围为所有大于零的实数。
2. 负幂函数的像负幂函数f(x) = x^a，当a<0时，其像为(0, +∞)的一个区间，不包括0。
也就是说，负幂函数的取值范围是大于零的实数，但不包括0。
3. 幂函数的奇偶性幂函数f(x) = x^a的奇偶性与a的正负有关。
当a为偶数时，函数f(x)为偶函数，即关于y轴对称；当a为奇数时，函数f(x)为奇函数，即关于原点对称。
4. 幂函数的增减性正幂函数f(x) = x^a在定义域内是递增的。
对于a>1，函数的增长趋势会更为迅速；而当0<a<1时，函数f(x)的增长速度会减弱，趋于缓慢增长。
负幂函数f(x) = x^a在定义域内则是递减的。
5. 幂函数的图像幂函数的图像与a的取值密切相关。
当a>1时，幂函数的图像会向上迅速弯曲；当0<a<1时，图像会向下迅速弯曲；而当a<0时，图像在不同象限间变化。
三、幂函数在实际问题中的应用幂函数在实际问题中有广泛的应用。
以经济增长为例，经济学家常常使用幂函数模型来描述生产、消费和投资等经济变量之间的关系。
幂函数与函数图像-课件
│ 知识梳理
3．函数图象的应用 (1)利用函数图象，研究函数的几何性质，如单调性、 周期性、奇偶性、最值、零点、值域及定义域、对称性 等； (2)利用函数图象、数形结合的思想方法解题，将代 数问题转化为平面解析几何问题处理．
│ 要点探究
要点探究
► 探究点1 幂函数的图象与性质 例１ 已知幂函数 f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图 象关于 y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)m3 <(3－2a)m3 的 a 的取值范围．
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞a＞c
D．c＞a＞b
图10－5
│ 要点探究
[思路] 从图象在坐标轴上的特殊点入手， 由于 f(x)＝axx2＋＋cb是奇函数，所以只研究 x＞0 时的变化情况．
│ 要点探究
B [解析] f(0)＝bc＝0，∴b＝0.f(1)＝1， ∴1＋a c＝1，∴a＝c＋1. 由图象看出 x＞0 时，f(x)＞0，即 x＞0 时，有x2a＋x c＞0， ∴a＞0. 又 f(x)＝x＋a xc，当 x＞0 时，要使 f(x)在 x＝1 时取最大值 1， 需 x＋xc≥2 c，当且仅当 x＝ c＝1 时成立，∴c＝1.此时应有 f(x) ＝a2＝1，∴a＝2.∴a＞c＞的图像
│ 知识梳理
知识梳理
1．幂函数 (1) 幂 函 数 定 义 ： 一 般 地 ， 形 如 _y_＝___x_α (α∈R)的函数称为幂函数，其中 α 为常数． 几种常见幂函数的图象： ①y＝x；②y＝x12；③y＝x2；④y＝ x－1；⑤y＝x3.
│ 知识梳理
│ 要点探究
方法四：函数 y＝ex 的图象向左平移 1 个单位得 y ＝ex＋1 的图象，然后关于 y 轴对称得函数 y＝e－x＋1 的图 象，最后横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变得函数 y＝e－2x＋1.
幂函数与函数的图像变换
第 六 节 幂函数与函数的图像变换重点难点重点：①幂函数的定义、图象与性质．②函数图象三种基本变换规则．难点：①幂函数图象的位置和形状变化与指数的关系．②利用基本变换规则作函数图象知识归纳一、幂函数的定义和图象1．定义：形如y ＝x α的函数叫幂函数(α为常数)要重点掌握α＝1,2,3，12，－1,0，－12，－2时的幂函数 2．图象：(只作出第一象限图象)幂函数在其它象限的图象，可由幂函数的奇偶性根据对称性作出．幂函数y＝xα(α∈R)的图象如下表：α＝qpα<00<α<1α>1p、q都是奇数p为奇数，q为偶数α＝qpα<00<α<1α>1p为偶数，q为奇数3.性质：(1)当α>0时，幂函数图象都过点和点；且在第一象限都是函数；当0<α<1时曲线上凸；当α>1时，曲线下凸；α＝1时，为过(0,0)点和(1,1)点的(2)当α<0时，幂函数图象总经过点，且在第一象限为函数．(3)α＝0时y＝x0，表示过(1,1)点平行于x轴的直线(除去(0,1)点)．二、函数的图象与图象变换1．画图描点法①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性、值域)；④列对应值表(尤其注意特殊点，如最大值、最小值、与坐标轴的交点)；⑤描点，连线．2．识图绘图、识图是学习函数、应用函数的一项重要基本功．识图要首先把握函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性或图象的对称特征、周期性、与坐标轴的交点，另外有无渐近线，正、负值区间等都是识图的重要方面，要注意函数解析式中含参数时．怎样由图象提供信息来确定这些参数．3．用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．4．有关结论若f(a＋x)＝f(a－x)，x∈R恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形．误区警示1．对于函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)一定要区分开来，前者将y ＝f(x)位于x轴下方的图象翻折到x轴上方，后者将y＝f(x)图象在y轴左侧图象去掉作右侧关于y轴的对称图，后者是偶函数而前者y ≥0.比如y＝|sin x|与y＝sin|x|.2．由函数y＝f(x)的图象变换成y＝g(x)的图象，变换顺序为①→②时，由y＝g(x)的图象变换成y＝f(x)的图象则是相反的变换且顺序也相反，即②→①.3．在研究幂函数y＝xα的图象、性质时，应考虑α的三种情况：α>0，α＝0和α<0.幂函数的图象一定出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，与坐标轴相交时，交点一定是原点．一、数形结合的思想函数的图象可以形象地反映函数的性质．通过观察图形可以确定图象的变化趋势、对称性、分布情况等．数形结合借助于图象与函数的对应关系研究函数的性质，应用函数的性质．其本质是：函数图象的性质反映了函数关系；函数关系决定了函数图象的性质．二、解题技巧1．图形变换方法作图是学习和研究函数的基本功之一．变换法作图是应用基本函数的图象，通过平移、伸缩、对称等变换，作出相关函数的图象．应用变换法作图，要求我们熟记基本函数的图象及其性质，准确把握基本函数的图象特征，熟练地进行平移、伸缩、对称变换．(1)平移变换①左右平移：y＝f(x－a)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(a<0)或向右(a>0)平移|a|个单位而得到．②上下平移：y＝f(x)＋b的图象，可由y＝f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位而得到．(2)对称变换①y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称．②y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称．③y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称．④y ＝f －1(x )与y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称．⑤y ＝|f (x )|的图象可将y ＝f (x )的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．⑥y ＝f (|x |)的图象可将y ＝f (x )，x ≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y 轴的对称性，作出x ＜0的图象．(3)伸缩变换①y ＝Af (x )(A ＞0)的图象，可将y ＝f (x )图象上所有点的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变而得到．②y ＝f (ax )(a ＞0)的图象，可将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的1a倍，纵坐标不变而得到． 2．图象对称性的证明(1)证明函数图象的对称性，即证明其图象上的任意一点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在图象上．(2)证明曲线C 1与C 2的对称性，即要证明C 1上任一点关于对称中心(对称轴)的对称点在C 2上，反之亦然．3．由于幂函数y ＝x α当α<0时，图象不过坐标原点，故有关幂函数y ＝x α(α<0)的单调性问题，一定要重视分区间讨论．幂函数的定义[例1]幂函数的图象过点(2，14)，则它的单调增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，0)幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫4，12，那么f (8)的值为________． 幂函数的单调性[例2] (1)已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，求m 的范围．(2)比较大小：0.80.7与0.70.8.分析：(1)中两个数的指数相同，故可视作幂函数y ＝x m 在x 取x 1＝0.71.3与x 2＝1.30.7时的两个函数值用单调性讨论．(2)中两个数底数不同，指数也不同，可借助中间量0.80.8(或0.70.7)，用指数函数y ＝0.8x 与幂函数y ＝x 0.8的单调性解决．下列各式中正确的是( )幂函数图象的分布规律[例3] 幂函数y ＝x m 2＋3m (m ∈Z)的图象如右图所示，则m 的值为( )A ．－3<m <0B ．－1C ．－2D ．－1或－2函数y ＝x 13 的图象是()函数f (x )＝x ＋1x图象的对称中心为( ) A ．(0,0) B ．(0,1)C ．(1,0)D ．(1,1)幂函数图象与性质的综合应用已知幂函数f (x )＝x m 2－6m ＋5 (m ∈Z)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则f (x )的解析式为________．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －3是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5数形结合的思想[例5] 方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数是( )A ．2B ．3C ．1D ．4已知f (x )是以2为周期的偶函数．当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，那么在区间[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R 且k ≠－1)有四个根，则k 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(－12，0)C ．(－13，0)D ．(－14，0)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ， x ≥2， x －1 3， x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是________．据解析式作函数的图象[例6] 作出下列函数的图象(1)y ＝x 3|x |； (2)y ＝x ＋2x －1； (3)y ＝|log 2x －1|; (4)y ＝2|x －1|.y ＝|x -13 |的图象为( )设函数f (x )＝ax ＋b x 2＋c的图象如图，则a ，b ，c 满足()A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a一、选择题1．在下列四个函数①y ＝x 13 ②y ＝x 12 ③y ＝x －2 ④y ＝x 0中，为偶函数的是( )A ．①B ．①③C ．③④D ．①②③④2.已知函数①y ＝3x ；②y ＝ln x ；③y ＝x －1；④y ＝x 12 .则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序一致的是()A ．②①③④B ．②③①④C ．④①③②D ．④③①②2．要将函数y ＝1＋x －1的图象变换成幂函数y ＝x 12 的图象，需要将y ＝1＋x －1的图象( )A ．向左平移一个单位，再向上平移一个单位B ．向左平移一个单位，再向下平移一个单位C ．向右平移一个单位，再向上平移一个单位D ．向右平移一个单位，再向下平移一个单位4.设a ∈{－1,1，12，3}，则使函数y ＝x a 的定义域为R 且该函数为奇函数的所有a 值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,35.设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使y ＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α值的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题6.幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的x的值是______．7.幂函数(p ∈Z)为偶函数，且f (1)<f (4)，则实数p ＝________.三、解答题 8.已知幂函数f (x )的图象过点(2，2)且幂函数g (x )＝x m 2－m －2(m ∈Z)的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称．(1)求f (x )，g (x )的解析式；(2)当x 为何值时①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )．。
幂函数的性质与图像Ⅲ
(一)幂函数在第一象限内的图像规律
(1)图 过 点11) 像 定 (，
(2)当 > 0时 α ， 数 增 数 函 是 函 ， 像 抛 线 ； 图 是 物 型 (3)当 < 0时 α ， 数 减 数 函 是 函 ， 像 双 线 ． 图 是 曲 型
(二)幂函数的性质(奇偶性) 幂函数的性质(奇偶性)
作幂函数大致图像的一般步骤： 作幂函数大致图像的一般步骤：
(1) k确 图 是 曲 型 是 物 型 由 定 像 双 线 还 抛 线 (哪 抛 线 )； 种 物 型
(2)判断函数奇偶性，由奇偶性确定图像 所在象限．
练习
2 7 1 6
在下列各图中找到适当的表达式的序号： 在下列各图中找到适当的表达式的序号：
2
n m
1
二、例题举隅
例1、已知幂函数f ( x ) = x (m < 0，m ∈ Q )．
m
(1)求证：f ( x ) = x 在(0， ∞ )上是减函数； +
m
1 1 (2)利用(1)的结论判断 与 (a > b > 0，c > 0 ) a b 的大小关系．
c
c
1 1 x 1 例2、已知函数f ( x ) = ，g ( x ) = 和h( x ) = ． x x2 x2
1
0
1
(F )
(G )
(H )
(I )
(J )
思考题
1．幂函数f(x)= x ，f(x)= x ，f(x)=的图像如图所示， a,b,c,d的大小关系 在第一象限的图像如图所示，则a,b,c,d的大小关系 是（ D ） f(x)= x f(x)= x f(x)= x (A)a>b>c>d (B)d>b>c>a f(x)= x (C)d>c>b>a (D)b>c>d>a
幂函数的性质与图像第一象限
幂函数的定义
一般地，函数y = xn叫做幂函数， 其中x是自变量，n是常数。(n∈R)
下列函数中，哪几个函数是幂
函数？ （1）y = 1
x2
（3）y=2x
答案:(1)(4) （2）y=2x2 （4）y=1
(5) y=x2 +2
(6) y=-x3
探究活动一
(1)分别作出下列函数在第一象限内的图像；
０＜ｋ＜１开口 向右抛物线型
O
X
画出函数在第一象限的图象后,再根据函数 的奇偶性,画出函数在其他象限还有些图像有何规律？ (1) y x2，y x3
1
1
(2) y x 2，y x3
(3) y x1，y x2
合作 讨论
归纳幂函数在第一象限内的图像规律
1、当 0时，
(1)图像过定点0，0和1，1；
(2)函数在0， 是增函数，
即在第一象限是增函 数； (3)图像是抛物线型的，
随着的增大，图像逐渐由x轴向y轴靠近． 即当0 1时，图像上凸，
是靠近x轴的抛物线型(图1)；
当 1时，图像下凸，
是靠近y轴的抛物线型(图2)．
归纳幂函数在第一象限内的图像规律
2、当 0时，
(1)图像过定点 1，1；
(2)函数在0， 是减函数，
即在第一象限是减函 数；
(3)图像是双曲线型的，
图像与x轴和y轴无限接近但永远不相交(图3)．
3、当 0时，
y
图像是除去0，1点的一条射线． 1
o 图4 x
(一)幂函数在第一象限内的图像规律
(1)图像过定点1，1
(2)当 0时，
函数是增函数， 图像是抛物线型；
(3)当 0时，
幂函数与指数函数的性质
幂函数与指数函数的性质幂函数和指数函数是数学中常见的函数类型，它们在数学和科学领域中具有重要的应用和性质。
本文将介绍幂函数和指数函数的定义、图像特征和性质，并探讨它们之间的关系。
一、幂函数的定义和图像特征幂函数是以底数为自变量的函数，形式为f(x) = a^x，其中a是常数，x是实数。
幂函数的特征在于底数是自变量，指数是常数。
当a>0且a≠1时，幂函数f(x) = a^x的图像可以分为以下情况：1. 当a>1时，函数图像是上升的，且随着x的增大，函数值也增大；反之，当0<a<1时，函数图像是下降的，且随着x的增大，函数值减小。
2. 当x为整数时，幂函数的函数值等于底数的指数次幂，即f(x) =a^x。
3. 当x是负数时，幂函数的函数值可以表示为倒数的指数次幂，即f(x) = 1/(a^|x|)。
4. 当x为0时，幂函数的函数值始终为1，即f(0) = 1。
二、指数函数的定义和图像特征指数函数是以底数为自变量的函数，形式为f(x) = a^x，其中a是常数，x是实数。
指数函数的特征在于指数是自变量，底数是常数。
当a>0且a≠1时，指数函数f(x) = a^x的图像可以分为以下情况：1. 当a>1时，函数图像是上升的，且随着x的增大，函数值也增大；反之，当0<a<1时，函数图像是下降的，且随着x的增大，函数值减小。
2. 当x为整数时，指数函数的函数值等于底数的指数次幂，即f(x)= a^x。
3. 当x是负数时，指数函数的函数值可以表示为倒数的指数次幂，即f(x) = 1/(a^|x|)。
4. 当x为0时，指数函数的函数值始终为1，即f(0) = 1。
三、幂函数与指数函数的关系幂函数和指数函数之间存在一定的关系。
可以将指数函数f(x) = a^x 看作是幂函数f(x) = x^a的一种特殊情况。
当底数a为常数时，指数函数是幂函数的特殊形式。
幂函数和指数函数在实际应用中都有广泛的运用。
常见函数的变化趋势
常见函数的变化趋势函数的变化趋势是指随着自变量的变化，函数值的变化方式和趋势。
在数学中，常见的函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等。
这些函数的变化趋势有着自己的特点和规律。
下面，我将逐个介绍常见函数的变化趋势。
一、线性函数线性函数的一般形式为f(x)=kx+b，其中k和b是常数。
线性函数的图像为一条直线，其变化趋势是均匀的。
当k为正数时，函数的图像从左下方向右上方倾斜；当k为负数时，函数的图像从左上方向右下方倾斜。
b表示线性函数的截距，它决定了函数图像与y轴的交点位置，即直线的纵截距。
二、二次函数二次函数的一般形式为f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数且a不等于零。
二次函数的图像为一个抛物线，其变化趋势与抛物线的开口方向和顶点位置有关。
当a大于零时，抛物线的开口向上，顶点为最小值点；当a小于零时，抛物线的开口向下，顶点为最大值点。
抛物线的平移和伸缩也会改变二次函数的变化趋势。
三、指数函数指数函数的一般形式为f(x)=a^x，其中a是常数且大于零且不等于1。
指数函数的图像呈现出逐渐递增或递减的趋势。
当a大于1时，指数函数的图像从左向右递增；当0<a<1时，指数函数的图像从左向右递减。
指数函数的变化趋势非常敏感，即微小的变化可以导致函数值的大幅度变化。
四、对数函数对数函数的一般形式为f(x)=log_a(x)，其中a是常数且大于0且不等于1。
对数函数的图像为一条曲线，其变化趋势与指数函数相反。
当a大于1时，对数函数的图像从左向右递减；当0<a<1时，对数函数的图像从左向右递增。
对数函数的变化趋势也非常敏感，即微小的变化可以导致函数值的大幅度变化。
五、幂函数幂函数的一般形式为f(x)=x^a，其中a是常数。
幂函数的图像呈现出不同的趋势，其变化趋势与a的值有关。
当a大于1时，幂函数的图像从左向右递增；当0<a<1时，幂函数的图像从左向右递减；当a小于0时，幂函数的图像在x 轴上方和下方交替变化，形成波纹状的曲线。
沪教版高一上册数学第四单元知识：幂函数的性质与图像
沪教版高一上册数学第四单元知识：幂函数的性质与图像函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。
小编带来了沪教版高一上册数学第四单元知识点总结，期望大伙儿认真学习!幂函数的性质与图像一样地，形如y=xα(α为实数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。
例如函数y=x0?、y=x1、y=x2、y=x-1(注：y=x-1=1/x y=x0时x≠0)等差不多上幂函数。
当α取非零的有理数时是比较容易明白得的，而关于α取无理数时，初学者则不大容易明白得了。
因此，在初等函数里，我们不要求把握指数为无理数的问题，只需同意它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续性的极为深刻的知识。
沪教版高一数学上册幂函数的性质与图像知识点指数函数的图像与性质教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采纳范读，让幼儿学习、仿照。
如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。
一样地，形如y=a^x(a>0且a≠1) (x∈R)的函数叫做指数函数(exponential fun ction) 。
也确实是说以指数为自变量，底数为大于0且不等于1的常量的函数称为指数函数，它是初等函数中的一种。
沪教版高一数学上册第四单元知识点：指数函数的图像与性质语文课本中的文章差不多上精选的比较优秀的文章,还有许多名家名篇。
假如有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、杰出段落,对提高学生的水平会大有裨益。
现在,许多语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破裂,总在文章的技巧方面下功夫。
结果教师费劲,学生头疼。
分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的干洁净净。
造成这种事倍功半的尴尬局面的关键确实是对文章读的不熟。
常言道“书读百遍,其义自见”,假如有目的、有打算地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便能够在读中自然领会文章的思想内容和写作技巧,能够在读中自然加强语感,增强语言的感受力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第 七 节 幂函数与函数的图象变换
2019/2/22
2019/2/22
重点难点 重点： ①幂函数的定义、图象与性质． ②函数图象三种基本变换规则． 难点： ①幂函数图象的位置和形状变化与指数的关 系． ②利用基本变换规则作函数图象
2019/2/22
一、幂函数的定义和图象 1．定义：形如 y＝ xα 的函数叫幂函数 (α 为常数) 1 1 要重点掌握 α＝1,2,3， ，－1,0，－ ，－2 时的幂函 2 2 数
2019/2/22
a＋ 1<0 0>a＋ 1>3－ 2a 或 3－ 2a>0
，
幂函数的图象
[例 2]
(文)如果函数 f(x＋ 1)是偶函数，那么函数 y )
＝ f(2x)的图象的一条对称轴是直线(
2019/2/22
A． x＝－ 1
B． x＝ 1
1 1 C． x＝－ D． x＝ 2 2 解析：∵ f(x＋ 1)为偶函数，∴将 f(x＋ 1)的图象向
答案：B
2019/2/22
若函数 y ＝ f(x) 与 y ＝ g(x) 的图象分别如图，则 f(x)· g(x)的图象可能是 ( )
2019/2/22
2019/2/22
解析：由 f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，可知 f(x)· g(x) 为奇函数， x∈(－ 3,0)时， f(x)>0， g(x)>0， 所以 f(x)g(x)>0， 故选 C.
2019/2/22
1 答案：0， 2
2019/2/22
(理 )(2010· 山东临沂 )已知函数
1 f(x)＝ x－ log3x，若 5
x0 是方程 f(x)＝ 0 的解，且 0<x1<x0，则 f(x1)的值( A．恒为正值 C．恒为负值 B．等于 0 D．不大于 0
2019/2/22
2．识图 绘图、识图是学习函数、应用函数的一项重要基本 功．识图要首先把握函数的定义域、值域、单调区间、 奇偶性或图象的对称特征、周期性、与坐标轴的交点， 另外有无渐近线， 正、 负值区间等都是识图的重要方面 ， 要注意函数解析式中含参数时．怎样由图象提供信息来 确定这些参数．
2019/2/22
2019/2/22
2．由函数 y＝ f(x)的图象变换成 y＝ g(x)的图象，变 换顺序为①→②时，由 y＝ g(x)的图象变换成 y＝ f(x)的图 象则是相反的变换且顺序也相反，即②→①.
2019/2/22
3．在研究幂函数 y＝ xα 的图象、性质时，应考虑 α 的三种情况： α>0，α＝ 0 和 α<0.幂函数的图象一定出现 在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，与坐标轴 相交时，交点一定是原点．
－ m 3
<(3－
的 a 的取值范围．
分析： 先根据条件确定 m 的值，再利用幂函数的单 调性求 a 的范围．图象关于 y 轴对称说明此幂函数为偶 函数，在 (0，＋∞ )上单调递减，说明指数为负，故应从 指数小于 0 入手求解．
2019/2/22
解析： ∵函数在 (0，＋∞ )上递减， ∴ m2－ 2m－ 3<0，解得－ 1<m<3. ∵ m∈ N＋ ，∴ m＝ 1,2. 又函数图象关于 y 轴对称，∴ m2－ 2m－ 3 是偶数． 而 22－ 2× 2－ 3＝－ 3 为奇数， 12－ 2× 1－ 3＝－4 为 偶数，∴ m＝ 1.
2019/2/22
∵ y＝ x
－
1 3
在 (－ ∞， 0)和(0，＋ ∞)上均为减函数，
－ 1 3
∴ (a＋ 1)
<(3－ 2a)
－
1 3
等价于 a＋ 1>3－ 2a>0 或 0>a
＋ 1>3－ 2a 或 a＋ 1<0<3－2a. 2 3 解得 a<－1 或 <a< . 3 2 故
2 3 a 的范围为 aa<－1或3<a<2 .
2019/2/22
2019/2/22
一、数形结合的思想 函数的图象可以形象地反映函数的性质．通过观察 图形可以确定图象的变化趋势、对称性、分布情况等．数 形结合借助于图象与函数的对应关系研究函数的性质， 应用函数的性质．其本质是：函数图象的性质反映了函 数关系；函数关系决定了函数图象的性质．
2019/2/22
2019/2/22
2．图象：(只作出第一象限图象 )
2019/2/22
幂函数在其它象限的图象，可由幂函数的奇偶性根 据对称性作出． 幂函数 y＝ xα(α∈ R)的图象如下表：
2019/2/22
q α＝ p
α<0
0<α<1
α>1
p、q 都是 奇数
2019/2/22
α＝
q p
α<0
0<α<1
α>1
2019/2/22
解析： (1)∵ 0<0.71.3<1,1.30.7>1，∴ 0.71.3<1.30.7 考察幂函数 y＝ xm 由(0.71.3)m<(1.30.7)m 知 y＝ xm 为 (0，＋∞ )上的增函数，∴ m>0. (2)指数函数 y＝ 0.8x 是减函数，∴ 0.80.7>0.80.8 又幂函数 y＝ x0.8 在第一象限为增函数 ∴ 0.80.8>0.70.8，∴ 0.80.7>0.70.8.
⑤ y＝ |f(x)|的图象可将 y＝ f(x)的图象在 x 轴下方的部 分以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方，其余部分不变． ⑥ y＝ f(|x|)的图象可将 y＝f(x)，x≥ 0 的部分作出，再 利用偶函数的图象关于 y 轴的对称性， 作出 x＜ 0 的图象．
2019/2/22
(3)伸缩变换 ① y＝ Af(x)(A＞0)的图象， 可将 y＝ f(x)图象上所有点 的纵坐标变为原来的 A 倍，横坐标不变而得到． ② y＝ f(ax)(a＞ 0)的图象，可将 y＝ f(x)图象上所有点 1 的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变而得到． a
答案：C
2019/2/22
数形结合的思想
[例 4]
(文)若直线 y＝2a 与函数 y＝|ax－1|(a>0，且
a≠1)的图象有两个公共点，则 a 的取值范围是 ________．
2019/2/22
解析： 由图可知，ⅰ)当 a>1 时， 2a>2，不成立． 1 ⅱ )当 0<a<1 时， 0<2a<1⇒0<a< . 2 1 综上所述， a 的取值范围是 0<a< . 2
二、图形变换方法 作图是学习和研究函数的基本功之一．变换法作图 是应用基本函数的图象，通过平移、伸缩、对称等变换， 作出相关函数的图象．应用变换法作图，要求我们熟记 基本函数的图象及其性质，准确把握基本函数的图象特 征．
2019/2/22
2019/2/22
幂函数的单调性
[例 1] (1)已知(0.71.3)m<(1.30.7)m，求 m 的范围． (2)比较大小：0.80.7 与 0.70.8.
减
函数．
(3)α＝ 0 时 y＝ x0， 表示过(1,1)点平行于 x 轴的直线(除 去 (0,1)点)．
2019/2/22
二、函数的图象与图象变换 1．画图 描点法 ①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论 函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性、值域 )； ④列对应值表 (尤其注意特殊点，如最大值、最小值、与 坐标轴的交点 )；⑤描点，连线．
2019/2/22
图象变换法 (1)平移变换 ①左右平移：y＝f(x－ a)的图象，可由 y＝f(x)的图象 向左 (a<0)或向右 (a>0)平移 |a|个单位而得到． ②上下平移：y＝f(x)＋ b 的图象， 可由 y＝f(x)的图象 向上 (b>0)或向下 (b<0)平移 |b|个单位而得到．
p 为奇 数， q 为 偶数 p 为偶 数， q 为 奇数
2019/2/22
3.性质： (1)当 和
(1,1)
点；
且在第一象限都是 增 函数； 当 0<α<1 时曲线上凸； 当 α>1 时，曲线下凸； α＝ 1 时，为过 (0,0)点和 (1,1)点的 直线． (2)当 α<0 时，幂函数图象总经过 (1,1) 点，且在第一 象限为
2019/2/22
幂函数 y＝ x 的值为 ( )
m2＋ 3m
(m∈Z)的图象如下图所示，则 m
A．－ 3<m<0 B．－ 1 C．－ 2 D．－ 1 或－2
2019/2/22
解析： ∵ y＝ xm 3m<0，∴－ 3<m<0
2＋ 3m
在第一象限为减函数，∴ m2 ＋
∵ m∈ Z，∴ m 的可能值为－ 2，－ 1. 代入函数解析式知，当 m＝－ 1 和－ 2 时，函数都是 y＝ x－ 2，为偶函数，故选 D.
)
2019/2/22
解析： 构造函数 y＝ 2－x 与 y＝ 3－x2，由图象可知两 函数图象有两个交点， 故方程 2－x＋ x2＝ 3 有 2 个实数根， 所以选 A.
答案：A
2019/2/22
(理)已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数．当 x∈[0,1]时， f(x)＝ x，那么在区间 [－ 1,3]内，关于 x 的方程 f(x)＝ kx＋ k＋ 1(k∈ R 且 k≠－ 1)有四个根， 则 k 的取值范围是 ( A． (－ 1,0) 1 C． (－ ， 0) 3 1 B． (－ ， 0) 2 1 D． (－ ， 0) 4 )
答案：D
2019/2/22