上海高考数学 第19题优美解
2023年新高考数学19题详解
2023年新高考数学19题详解2023年新高考数学19题是一道考察学生数学运算和推理能力的题目。
本文将对该题进行详细解析，帮助学生更好地理解和掌握解题方法。
首先，让我们来看一下题目的具体内容：19. 已知函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1，g(x) = x + 2，h(x) = f(g(x))，则h(x) 的解析式为（）A. h(x) = 2x^2 - 3x + 3B. h(x) = 2x^2 + 3x + 3C. h(x) = 2x^2 + 3x + 1D. h(x) = 2x^2 - 3x + 1接下来，我们将逐步解析这道题目。
首先，根据题目给出的函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1，我们可以计算出g(x) = x + 2。
然后，我们需要求解 h(x) = f(g(x))。
将 g(x) 的表达式代入 f(x) 中，得到 h(x) = f(g(x)) = f(x + 2)。
接下来，我们将 f(x) 中的 x 替换为 x + 2，得到 h(x) = 2(x + 2)^2 - 3(x + 2) + 1。
我们可以继续展开 h(x) 的表达式，得到 h(x) = 2(x^2 + 4x + 4) - 3x - 6 + 1。
继续化简，得到 h(x) = 2x^2 + 8x + 8 - 3x - 5。
最后，合并同类项，得到 h(x) = 2x^2 + 5x + 3。
因此，h(x) 的解析式为 2x^2 + 5x + 3，选项 B。
通过以上步骤，我们成功地解答了2023年新高考数学19题。
这道题目考察了学生对函数的复合运算和代入运算的理解和运用能力。
在解题过程中，我们需要注意每一步的代入和化简，确保计算的准确性。
总结起来，解答数学题目需要我们熟练掌握基本的数学运算和推理方法。
通过不断练习和思考，我们可以提高解题的能力，更好地应对各种数学题目。
希望本文的解析对你理解和掌握2023年新高考数学19题有所帮助。
上海高考数学2023 19题 271 277
19(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分2分,第2小題满分6分,第3小题满分8分.
21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行,下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型,其外观和内饰的颜色分布如下表所示:
(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型,记事件为小明取到的模型为红色外观,事件B取到模型有棕色内饰
求P(B)、P(B/A),并据此判断事件A和事件B是否独立
(2)该公司举行了一个抽奖活动,规定在一次抽奖中,每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型,给出以下假设:1、拿到的两个模型会出现三种结果,即外观和内饰均为同色、外观内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色;2、按结果的可能性大小,概率越小奖项越高;(3)奖金额为一等奖600元,二等奖300元,三等奖150元,请你分析奖项对应的结果,设X为奖金额,写出X的分布列并求出X的数学期望。
解析:。
导数新定义--2024年高考数学九省联考压轴题模式第19题分类汇编
2
2
(|xsinx|+|xcosx|)在[0，a]上封闭，并指
出值域为[0，a]时a的值．
x
【解析】解：(Ⅰ)当x＞1时，f(x)=2 ∈(2，+∞)，f(x)在(1，+∞)上封
闭
，
g(x)=log2x∈(0，+∞)，g(x)在(1，+∞)上不封闭；
*
(Ⅱ)证明：设f1(x)=f(x)，fn(x)=f(fn-1(x))(n∈N ，n≥2)，
九省联考压轴题模式
第19题分类汇编
导数新定义
1
导数的运算
2
利用导数研究曲线上某点切线
方程
3
利用导数研究函数的单调性
4
利用导数研究函数的最值
目录
CONTENTS
一．导数的运算
1.设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合：“①方程f(x)-x=0有实
数根；②函数f(x)的导数f′(x)满足0＜f′(x)＜1”．
∴g'(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)
2
=3x -2(a+b+c)x+ab+bc+ac,
∵y=g(x)是R上的增函数，
2
∴g'(x)=3x -2(a+b+c)x+ab+bc+ac≥0在R上恒成立
2
即4(a+b+c) -12(ab+bc+ac)≤0
2
2
2
2
2
2
= ，所以 =
−
− ＜
故函数f(x)∈M且存在两个x0的值，使得f(x)具有性质P(12分)
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解19---三角恒等变换与解三角形
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解第19讲 三角恒等变换与解三角形[考情分析] 1.三角恒等变换主要考查化简、求值，解三角形主要考查求边长、角度、面积等，三角恒等变换作为工具，将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围问题.2.三角恒等变换以选择题、填空题为主，解三角形以解答题为主，中等难度．考点一 三角恒等变换 核心提炼1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.例1 (1)(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝22cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin β，则() A ．tan(α－β)＝1B ．tan(α＋β)＝1C ．tan(α－β)＝－1D ．tan(α＋β)＝－1答案 C解析 由题意得sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝22×22(cos α－sin α)sin β，整理，得sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1.(2)(2021·全国甲卷)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan 2α＝cos α2－sin α，则tan α等于( ) A.1515 B.55 C.53 D.153答案 A解析 方法一因为tan 2α＝sin 2αcos 2α＝2sin αcos α1－2sin 2α， 且tan 2α＝cos α2－sin α， 所以2sin αcos α1－2sin 2α＝cos α2－sin α，解得sin α＝14. 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以cos α＝154，tan α＝sin αcos α＝1515. 方法二 因为tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2sin αcos α1－sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝2sin αcos α1－2sin 2α， 且tan 2α＝cos α2－sin α， 所以2sin αcos α1－2sin 2α＝cos α2－sin α，解得sin α＝14. 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以cos α＝154，tan α＝sin αcos α＝1515. 规律方法 三角恒等变换的“4大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等；(2)项的拆分与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂；(4)弦、切互化：一般是切化弦．跟踪演练1 (1)(多选)(2022·张家口模拟)已知sin θcos θ＋3cos 2θ＝cos θ＋32，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则θ等于( ) A.π3 B.π6 C.π12 D.π18答案 BD解析 sin θcos θ＋3cos 2θ ＝12sin 2θ＋3×1＋cos 2θ2＝cos ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＋32＝cos θ＋32， 故cos ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＝cos θ， 所以2θ－π6＝θ＋2k π或2θ－π6＝－θ＋2k π(k ∈Z )， 故θ＝π6＋2k π或θ＝π18＋2k π3(k ∈Z )． 又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以θ＝π6或π18. (2)已知函数f (x )＝sin x －2cos x ，设当x ＝θ时，f (x )取得最大值，则cos θ＝________.答案 －255解析 f (x )＝sin x －2cos x ＝5sin(x －φ)，其中cos φ＝55，sin φ＝255， 则f (θ)＝5sin(θ－φ)＝5，因此θ－φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，则cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫φ＋π2＋2k π＝－sin φ＝－255. 考点二 正弦定理、余弦定理核心提炼1．正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．2．余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc . 3．三角形的面积公式：S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .例2 (1)(2022·济南模拟)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b sin 2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则a b等于( ) A ．3 B.13 C.33D. 3 答案 D解析 因为b sin 2A ＝a sin B ，所以2b sin A cos A ＝a sin B ，利用正弦定理可得2ab cos A ＝ab ， 所以cos A ＝12，又c ＝2b ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋4b 2－a 24b 2＝12， 解得a b＝ 3.(2)(2022·全国乙卷)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C sin(A －B )＝sin B sin(C －A )．①证明：2a 2＝b 2＋c 2；②若a ＝5，cos A ＝2531，求△ABC 的周长． ①证明 方法一由sin C sin(A －B )＝sin B sin(C －A )，可得sin C sin A cos B －sin C cos A sin B＝sin B sin C cos A －sin B cos C sin A ，结合正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C， 可得ac cos B －bc cos A ＝bc cos A －ab cos C ，即ac cos B ＋ab cos C ＝2bc cos A (*)．由余弦定理可得ac cos B ＝a 2＋c 2－b 22， ab cos C ＝a 2＋b 2－c 22，2bc cos A ＝b 2＋c 2－a 2， 将上述三式代入(*)式整理，得2a 2＝b 2＋c 2.方法二 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C sin(A －B )＝sin(A ＋B )sin(A －B )＝sin 2A cos 2B －cos 2A sin 2B＝sin 2A (1－sin 2B )－(1－sin 2A )sin 2B＝sin 2A －sin 2B ，同理有sin B sin(C －A )＝sin(C ＋A )sin(C －A )＝sin 2C －sin 2A .又sin C sin(A －B )＝sin B sin(C －A )，所以sin 2A －sin 2B ＝sin 2C －sin 2A ，即2sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，故由正弦定理可得2a 2＝b 2＋c 2.②解 由①及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得，a 2＝2bc cos A ，所以2bc ＝31.因为b 2＋c 2＝2a 2＝50，所以(b ＋c )2＝b 2＋c 2＋2bc ＝81，得b ＋c ＝9，所以△ABC 的周长l ＝a ＋b ＋c ＝14.规律方法 正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．注意：应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．跟踪演练2 (1)在△ABC 中，若cos C ＝79，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 外接圆的面积为() A.49π8 B.81π8 C.81π49 D.81π32答案 D解析 根据正弦定理可知b ＝2R sin B ，a ＝2R sin A ，得2R sin B cos A ＋2R sin A cos B＝2R sin(A ＋B )＝2，因为sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ＝1－cos 2C ＝429，所以R ＝928，所以△ABC 外接圆的面积S ＝πR 2＝81π32.(2)(2022·衡水中学模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan A tan B ＝2c －bb .①求角A 的大小；②若a ＝2，求△ABC 面积的最大值及此时边b ，c 的值．解 ①在△ABC 中，由正弦定理得，c ＝2R sin C ，b ＝2R sin B ，则tan A tan B ＝2c b －1＝2sin C sin B －1，tan A tan B ＋1＝2sin C sin B， 化简得cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos A .即sin(A ＋B )＝2sin C cos A ，∵A ＋B ＝π－C ，∴sin(A ＋B )＝sin C ≠0，∴cos A ＝12， ∵0<A <π，∴A ＝π3. ②由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又A ＝π3，∴b 2＋c 2－bc ＝4， 又b 2＋c 2≥2bc ，∴bc ≤4，则S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立， ∴△ABC 面积的最大值为3，此时b ＝2，c ＝2.考点三 解三角形的实际应用核心提炼解三角形应用题的常考类型(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．例3 (1)滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃的诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，小明同学为测量滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物AB ，高为12 m ，在它们的地面上的点M (B ，M ，D 三点共线)测得楼顶A 、滕王阁顶部C 的仰角分别为15°和60°，在楼顶A 处测得滕王阁顶部C 的仰角为30°，则小明估算滕王阁的高度为(精确到1 m)()A ．42 mB ．45 mC ．51 mD ．57 m答案 D解析 由题意得，在Rt △ABM 中，AM ＝AB sin 15°， 在△ACM 中，∠CAM ＝30°＋15°＝45°，∠AMC ＝180°－15°－60°＝105°，所以∠ACM ＝30°，由正弦定理得AM sin ∠ACM ＝CM sin ∠CAM， 所以CM ＝sin ∠CAM sin ∠ACM·AM ＝2AB sin 15°， 又sin 15°＝sin(45°－30°) ＝22×32－22×12＝6－24， 在Rt △CDM 中，CD ＝CM sin 60°＝6AB 2sin 15°＝1262×6－24＝36＋123≈57(m)． (2)雷达是利用电磁波探测目标的电子设备，电磁波在大气中大致沿直线传播，受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离L ＝(R ＋h 1)2－R 2＋(R ＋h 2)2－R 2＝2Rh 1＋h 21＋2Rh 2＋h 22(如图)，其中h 1为雷达天线架设高度，h 2为探测目标高度，R 为地球半径．考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，R等效取8 490 km，故R远大于h1，h2.假设某探测目标高度为25 m，为保护航母的安全，须在直视距离412 km外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为(参考数据：2×8.49≈4.12)()A．6 400 m B．8 100 mC．9 100 m D．1 000 m答案 C解析根据题意可知L＝412 km，R＝8 490 km，h2＝0.025 km，因为L＝(R＋h1)2－R2＋(R＋h2)2－R2＝2Rh1＋h21＋2Rh2＋h22，即412＝(8 490＋h1)2－8 4902＋(8 490＋0.025)2－8 4902≈(8 490＋h1)2－8 4902＋20.6，解得h1≈9.02(km)≈9 100(m)．所以舰载预警机的巡航高度至少约为9 100 m.规律方法解三角形实际问题的步骤跟踪演练3(1)如图，已知A，B，C，D四点在同一条直线上，且平面P AD与地面垂直，在山顶P点测得点A ，C ，D 的俯角分别为30°，60°，45°，并测得AB ＝200 m ，CD ＝100 m ，现欲沿直线AD 开通穿山隧道，则隧道BC 的长为()A ．100(3＋1)mB ．200(3＋1)mC ．200 3 mD ．100 3 m答案 C解析 由题意可知A ＝30°，D ＝45°，∠PCB ＝60°，所以∠PCD ＝120°，∠APC ＝90°，∠DPC ＝15°，因为sin 15°＝sin(45°－30°) ＝22×32－22×12＝6－24， 所以在△PCD 中，由正弦定理得CD sin ∠DPC ＝PC sin D， 即1006－24＝PC 22， 解得PC ＝100(3＋1)m ，所以在Rt △P AC 中，AC ＝2PC ＝200(3＋1)m ，所以BC ＝AC －AB ＝2003(m)．(2)如图是建党百年展览的展馆——国家博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P 离地面的高度OP (点O 在柱楼底部)．现分别从地面上的两点A ，B 测得点P 的仰角分别为30°，45°，且∠ABO ＝60°，AB ＝60 2 米，则OP 等于( )A．40米B．30米C．30 2 米D．30 3 米答案 C解析如图所示，设OP＝h，由题意知∠OAP＝30°，∠OBP＝45°.在Rt△AOP中，OA＝OPtan 30°＝3h，在Rt△BOP中，OB＝h.在△ABO中，由余弦定理，得OA2＝AB2＋OB2－2AB·OB cos 60°，代入数据计算得到h＝302(米)．即OP＝302(米)．专题强化练一、单项选择题1．(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝19，AB＝2，则BC等于() A．1 B. 2 C. 5 D．3答案 D解析 由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，得BC 2＋2BC －15＝0，解得BC ＝3或BC ＝－5(舍去)．2．(2021·全国乙卷)cos 2π12－cos 25π12等于( ) A.12 B.33 C.22 D.32答案 D解析 cos 2π12－cos 25π12＝1＋cos π62－1＋cos 5π62＝1＋322－1－322＝32. 3．(2022·榆林模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为3154，b －c ＝1，cos A ＝14，则a 等于( ) A ．10 B ．3 C.10 D. 3答案 C解析 因为cos A ＝14，所以sin A ＝154， 又S △ABC ＝12bc sin A ＝158bc ＝3154， 所以bc ＝6，又b －c ＝1，可得b ＝3，c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝10，即a ＝10.4．已知cos α＝55，sin(β－α)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( ) A.π12B.π6C.π4D.π3答案 C解析 ∵α，β均为锐角，即α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴β－α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴cos(β－α)＝1－sin 2(β－α)＝31010， 又sin α＝1－cos 2α＝255， ∴cos β＝cos[(β－α)＋α]＝cos(β－α)cos α－sin(β－α)sin α ＝31010×55－⎝⎛⎭⎫－1010×255＝22， 又β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴β＝π4. 5．故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群，故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°.图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB 的长度(单位：米)约为( )A ．3米B ．4米C ．6(3－1)米D ．3(3＋1)米答案 C解析 如图，根据题意得∠ACB ＝15°，∠ACD ＝105°，∠ADC ＝30°，∠CAD ＝45°，CD ＝24米，所以∠CAD ＝45°，在△ACD 中，由正弦定理得CDsin ∠CAD ＝ACsin ∠ADC ，即24sin 45°＝AC sin 30°，解得AC ＝122(米)，在Rt △ACB 中，sin ∠ACB ＝AB AC ，即sin 15°＝AB122，解得AB ＝122sin 15°＝122sin(60°－45°)＝122×⎝⎛⎭⎫32×22－12×22 ＝122×6－24＝32(6－2)＝6(3－1)米．6．(2022·济宁模拟)已知sin α－cos β＝3cos α－3sin β，且sin(α＋β)≠1，则sin(α－β)的值为() A ．－35B.35C ．－45D.45答案 C解析 由sin α－cos β＝3cos α－3sin β得，sin α－3cos α＝cos β－3sin β＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－β－3cos ⎝⎛⎭⎫π2－β，设f (x )＝sin x －3cos x ＝10⎝⎛⎭⎫110sin x －310cos x＝10sin(x －φ)， 其中cos φ＝110，sin φ＝310，φ为锐角，已知条件即为f (α)＝f ⎝⎛⎭⎫π2－β，所以π2－β＝2k π＋α，或π2－β－φ＋α－φ＝2k π＋π，k ∈Z ，若π2－β＝2k π＋α，k ∈Z ，则α＋β＝－2k π＋π2，k ∈Z ，sin(α＋β)＝sin π2＝1与已知矛盾，所以π2－β－φ＋α－φ＝2k π＋π，k ∈Z ，α－β＝2k π＋π2＋2φ，k ∈Z ，则sin(α－β)＝sin ⎝⎛⎭⎫2k π＋π2＋2φ ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2φ＝cos 2φ＝2cos 2φ－1＝－45.二、多项选择题7．(2022·张家口质检)下列命题中，正确的是( )A ．在△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin BB ．在锐角△ABC 中，不等式sin A >cos B 恒成立C ．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 是等腰直角三角形D ．在△ABC 中，若B ＝π3，b 2＝ac ，则△ABC 必是等边三角形 答案 ABD解析 对于A ，由A >B ，可得a >b ，利用正弦定理可得sin A >sin B ，正确；对于B ，在锐角△ABC 中，A ，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∵A ＋B >π2， ∴π2>A >π2－B >0， ∴sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ，因此不等式sin A >cos B 恒成立，正确；对于C ，在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，利用正弦定理可得sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B ，∵A ，B ∈(0，π)，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2， ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形，错误；对于D ，由于B ＝π3，b 2＝ac ，由余弦定理可得 b 2＝ac ＝a 2＋c 2－ac ，可得(a －c )2＝0，解得a ＝c ，则A ＝C ＝B ＝π3， ∴△ABC 必是等边三角形，正确．8．函数f (x )＝sin x (sin x ＋cos x )－12，若f (x 0)＝3210，x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π3，下列结论正确的是( ) A ．f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 B ．直线x ＝π4是f (x )图象的一条对称轴C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π3上的最小值为－22D ．cos 2x 0＝210答案 AD解析 f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x －12 ＝1－cos 2x2＋12sin 2x －12＝12(sin 2x －cos 2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，故A 正确；当x ＝π4时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝22，∴x ＝π4不是f (x )的对称轴，故B 错误；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π3时，2x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，5π12，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递增，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π3上无最小值，故C 错误；∵f (x 0)＝3210，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π4＝35， 又2x 0－π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，5π12， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2x 0－π4＝45， ∴cos 2x 0＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x 0－π4＋π4 ＝22⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x 0－π4－sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π4＝210， 故D 正确．三、填空题9．(2022·烟台模拟)若sin α＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6，则tan 2α的值为________． 答案 3解析 由sin α＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6， 可得sin α＝cos αcos π6－sin αsin π6 ＝32cos α－12sin α，则tan α＝33， tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×331－⎝⎛⎭⎫332＝ 3. 10．(2022·泰安模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则sin ⎝⎛⎭⎫π6－2α＝________. 答案 －78解析 sin ⎝⎛⎭⎫π6－2α＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3－α－π2 ＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3－α ＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－α＝－⎝⎛⎭⎫1－18＝－78. 11.(2022·开封模拟)如图，某直径为55海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B 与小岛C 相距5海里，cos ∠BAD ＝－45.则小岛B 与小岛D 之间的距离为________海里；小岛B ，C ，D 所形成的三角形海域BCD 的面积为________平方海里．答案 35 15解析 由圆的内接四边形对角互补，得cos ∠BCD ＝cos(π－∠BAD )＝－cos ∠BAD＝45>0， 又∠BCD 为锐角，所以sin ∠BCD ＝1－cos 2∠BCD ＝35， 在△BCD 中，由正弦定理得BD sin ∠BCD ＝BD 35＝55，则BD ＝35(海里)． 在△BCD 中，由余弦定理得 (35)2＝CD 2＋52－2×CD ×5×45， 整理得CD 2－8CD －20＝0，解得CD ＝10(负根舍去)．所以S △BCD ＝12×10×5×35＝15(平方海里)． 12．(2022·汝州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝2，cos 2C ＝cos 2A ＋4sin 2B ，则△ABC 面积的最大值为________．答案23解析 由cos 2C ＝cos 2A ＋4sin 2B 得，1－2sin 2C ＝1－2sin 2A ＋4sin 2B ，即sin 2A ＝sin 2C ＋2sin 2B ，由正弦定理得a 2＝c 2＋2b 2＝4，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4，∴c 2＋2b 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即cos A ＝－b 2c<0， ∵A ∈(0，π)，∴sin A ＝1－b 24c 2， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12b 2c 2⎝⎛⎭⎫1－b 24c 2 ＝12b 2c 2－14b 4， ∵c 2＋2b 2＝4，∴c 2＝4－2b 2，∴S △ABC ＝12b 2(4－2b 2)－14b 4 ＝12－94b 4＋4b 2， 则当b 2＝89时， ⎝⎛⎭⎫－94b 4＋4b 2max ＝－94×6481＋4×89＝169， ∴(S △ABC )max ＝12×43＝23. 四、解答题13．(2022·新高考全国Ⅱ)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为S 1，S 2，S 3.已知S 1－S 2＋S 3＝32，sin B ＝13. (1)求△ABC 的面积；(2)若sin A sin C ＝23，求b . 解 (1)由S 1－S 2＋S 3＝32， 得34(a 2－b 2＋c 2)＝32， 即a 2－b 2＋c 2＝2，又a 2－b 2＋c 2＝2ac cos B ，所以ac cos B ＝1.由sin B ＝13， 得cos B ＝223或cos B ＝－223(舍去)， 所以ac ＝322＝324， 则△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×324×13＝28. (2)由sin A sin C ＝23，ac ＝324及正弦定理知 b 2sin 2B ＝ac sin A sin C ＝32423＝94， 即b 2＝94×19＝14，得b ＝12. 14．(2022·抚顺模拟)在①(2c －a )sin C ＝(b 2＋c 2－a 2)sin B b ；②cos 2A －C 2－cos A cos C ＝34；③3c b cos A＝tan A ＋tan B 这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，问题：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b ＝23，________.(1)求角B ；(2)求2a －c 的取值范围．解 (1)选择①：∵(2c －a )sin C ＝(b 2＋c 2－a 2)sin B b， ∴由正弦定理可得(2c －a )c ＝b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，∴2c －a ＝2b cos A ，可得cos A ＝2c －a 2b， ∴由余弦定理可得cos A ＝2c －a 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc ， 整理可得c 2＋a 2－b 2＝ac ，∴cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12， ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3. 选择②：∵cos 2A －C 2－cos A cos C ＝1＋cos (A －C )2－cos A cos C ＝1－cos A cos C ＋sin A sin C 2＝1－cos (A ＋C )2＝34， ∴cos(A ＋C )＝－12， ∴cos B ＝－cos(A ＋C )＝12， 又∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3. 选择③： 由正弦定理可得3c b cos A ＝3sin C sin B cos A，又tan A ＋tan B ＝sin A cos A ＋sin Bcos B＝sin A cos B ＋cos A sin Bcos A cos B ＝sin Ccos A cos B ， 由3cb cos A ＝tan A ＋tan B ， 可得3sin Csin B cos A ＝sin Ccos A cos B ，∵sin C >0，∴tan B ＝3， ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)在△ABC 中，由(1)及b ＝23， 得b sin B ＝a sin A ＝c sin C ＝2332＝4，故a ＝4sin A ，c ＝4sin C ，2a －c ＝8sin A －4sin C＝8sin A －4sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A＝8sin A －23cos A －2sin A ＝6sin A －23cos A＝43sin ⎝⎛⎭⎫A －π6，∵0<A <2π3，则－π6<A －π6<π2，－12<sin ⎝⎛⎭⎫A －π6<1，－23<43sin ⎝⎛⎭⎫A －π6<43﹒∴2a －c 的取值范围为()－23，43.。
2019年高考数学理科全国1卷19题-解析几何说题
2019年高考数学理科全国1卷19题说题已知抛物线2:3C y x =的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点分别为,A B ，与x 轴的交点为P 。
（1）若||||4AF BF +=，求l 的方程. （2）若3AP PB =，求||AB【背景】本题是2019年高考数学理科全国1卷19题。
对比往年的圆锥曲线大题，可见今年理科的圆锥曲线大题有降低难度、减少运算量的趋势。
【分析】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用。
解题的第一个关键是能通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系；第二个关键是要善用转化与化归思想：用抛物线的定义转化||||4AF BF +=，用相似三角形或线性运算破译3AP PB =。
本题的第一问来自于教材，稍高于教材，是2018年全国二卷圆锥曲线大题的改编题，第二问是个常规题型，在椭圆、双曲线及抛物线都出过很多类型题：题源1：【2018年全国I 理8】设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= （ ）A 。
5B 。
6C 。
7D 。
8题源2：【2018年全国Ⅱ卷理】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =。
（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程。
【解法分析】 （1）设直线l ：3,2y x t =+1122(,),(,),A x y B x y 由抛物线定义得1252x x +=； 联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于t 的方程，解方程求得结果； （2）设直线l ：2,3x y m =+联立直线方程与抛物线方程，利用3AP PB = 可得123,y y =-结合韦达定理求出123,1y y ==-；根据弦长公式可求得结果. 【参考解法】解法1：（1）设直线与轴交于，方程为2由2233x y my x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得2230y y m--=，设112(,),(,A x yB x y121223y y y y m+==-，，=4120m∆+>12323||||=4232AF BF x x y y m+=++=12（+)+2+得7=12m，因此直线l的方程为27,31228x y y=+=即（2）由3AP PB=，得123,y y=-又122y y+=，从而2232,y y-+=故123,1y y==-，代入C的方程得1213,3x x==，故得A(3,3),1(,1)3B-,故||3AB=解法2：设直线l的方程为3,2y x t=+1122(,),(,),A x yB x y由题设得3(,0)4F，故123||||2AF BF x x+=++，由题设得1252x x+=由2323y x ty x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得22912(1)40x t x t+-+=，则22=144(-1)494144(12)0t t t∆-⨯⨯=->，124(1)3x x t+=--从而45(1)32t--=，得78t=-因此直线l的方程即3728y x=-（2）由（1）22912(1)40x t x t+-+=，得124(1)3x x t+=--1122222,0),(,),(,)333P t AP t x y PB t x y-=---=+又（由3AP PB=,得21223=3t x t x y y+--12，=-3可得2122=1+)=233x t x t--（，l x(,0)P m故128|||3AB x x =-=.解法3：设直线l 的方程为3,2y x t =+1122(,),(,),A x y B x y 由题设得3(,0)4F ，故||||AF BF +=1212333()()4442x x x x ==+++=++=从而得1252x x +=， 以下略。
2023年高考数学试题第19题
2023年高考数学试题第19题在2023年的高考数学试题中，第19题涉及到一道与几何形状和相似性质有关的题目。
让我们一起来看看这道题目的内容和解答过程。
题目描述：已知在平面直角坐标系中，点A(-2, 3)、B(4, 2)、C(1, -4)和D(x, y)满足三角形ABC和四边形ABCD是相似图形，求点D的坐标。
解题思路：我们首先需要了解相似三角形和相似四边形的性质。
当两个三角形或四边形的对应角度相等，并且对应边长成比例时，我们可以说它们是相似的。
在这道题目中，我们要找到点D的坐标，使得三角形ABC和四边形ABCD相似。
首先，我们可以计算三角形ABC的边长。
根据两点之间的距离公式，我们可以得到：AB = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]BC = √[(x3 - x2)² + (y3 - y2)²]CA = √[(x1 - x3)² + (y1 - y3)²]代入已知的点坐标，我们可以计算出AB、BC和CA的值。
接下来，我们需要找到满足相似性质的点D的坐标。
根据相似三角形的性质，我们知道相似的三角形的对应边长之比相等。
因此，我们可以设置等式：AB/AD = BC/BD = CA/CD将已知的AB、BC、CA的值代入等式中，我们可以得到一个关于x和y的方程。
解这个方程，我们就可以得到点D的坐标。
解答过程：首先，我们计算出三角形ABC的边长：AB = √[(4 - (-2))² + (2 - 3)²] = √[36 + 1] = √37BC = √[(1 - 4)² + (-4 - 2)²] = √[9 + 36] = √45CA = √[(-2 - 1)² + (3 - (-4))²] = √[9 + 49] = √58然后，我们设置等式：√37/AD = √45/BD = √58/CD将等式中的分数转化为平方形式，我们得到：√37/AD = √45/BD = √58/CD = √(37/AD)² = √(45/BD)² = √(58/CD)²化简上述等式，我们得到：37/AD² = 45/BD² = 58/CD²将已知的点A(-2, 3)、B(4, 2)、C(1, -4)代入上述等式中，我们得到：37/AD² = 45/BD² = 58/(x - 1)² + (y + 4)²接下来，我们将三个等式两两联立，解这个方程组，得到点D的坐标。
2019高考数学全国卷2第19 题
题目：2019高考数学全国卷2第19 题一、题目内容：大地上有一棵高度为12米的树，在树的南北方向以及东西方向上各相隔60米处，各立一杆观测仪器。
下图是观测仪器在大地上的示意图，已知树的顶部位于两个观测仪器所在位置的垂直平分线上。
观测仪器能够测得与其连线的夹角的正切值并能同时测得两个观测仪器到树的顶部的连线的夹角的正切值。
问题1：我们可以用观测仪器测出的信息如何计算出树的高度？问题2：如果在树的东南方向某处的一点，用同样的方法观测得到与观测仪器的夹角的正切值分别为1和2，这个点距离树的底部的距离是多少？二、解题思路：1. 通过观测仪器测得的夹角的正切值，我们可以用三角函数的知识计算出树的高度。
具体计算方法为……2. 对于问题2，我们可以通过类似的三角函数计算方法计算出点距离树的底部的距离。
具体计算方法为……三、文章撰写：2019年高考数学全国卷2第19题涉及到三角函数的知识，通过观测仪器测得的夹角的正切值来计算树的高度以及树的某一点距离树底部的距离。
下面我们来详细解答这两个问题。
1. 如何计算出树的高度？根据题目描述，我们可以利用观测仪器测得的夹角的正切值来计算树的高度。
假设树的高度为h，观测仪器与树顶部的连线与树的垂直平分线的夹角分别为α和β。
根据三角函数的定义，我们有：\[ \tan(\alpha) = \frac{h}{a} \]\[ \tan(\beta) = \frac{h}{b} \]其中a和b分别表示观测仪器到树的顶部的连线的长度。
根据题目给出的条件，我们可以得到方程组：\[ h = a\tan(\alpha) \]\[ h = b\tan(\beta) \]解这个方程组，可以得到树的高度h的值。
2. 树的某一点距离树底部的距离是多少？对于问题2，我们可以利用类似的方法来计算树的某一点距离树底部的距离。
假设该点距离树底部的距离为x，观测仪器与该点的连线与树的垂直平分线的夹角分别为θ和φ。
第19题 解三角形-2021年高考数学真题逐题揭秘与以例及类(新高考全国Ⅰ卷)(含答案解析)
第19题 解三角形一、原题呈现【原题】记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=．（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠．解法一：（1）由sin sin BD ABC a C ∠=及正弦定理得2sin sin a C ac b BD b ABC b b ====∠（2）由余弦定理得22222223cos 2223b c b b c a A b c b c ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==⨯⨯⨯⨯整理得22211203a c b +-=，即2211203a c ac +-=， 所以233c a c a ==或， 当3c a =时，由2b ac =得b =，此时)1a b a c +=<，不满足题意，当23c a =时，由2b ac =得3b a =， 所以2227cos 212ac b ABC ac +-∠==解法二：（1）由题设，sin sin a C BD ABC =∠，由正弦定理知：sin sin c bC ABC=∠，即sin sin C cABC b=∠，∴acBD b=，又2b ac =， ∴BD b =，得证．（2）由题意知：2,,33b b BD b AD DC ===， ∴22222241399cos 24233b b b c c ADB b b b +--∠==⋅，同理2222221099cos 2233b b b a a CDB b b b +--∠==⋅， ∵ADB CDB π∠=-∠， ∴2222221310994233b bc a b b --=，整理得2221123b a c +=，又2b ac =， ∴42221123b b a a +=，整理得422461130a a b b -+=，解得2213a b =或2232a b =，由余弦定理知：222224cos 232a c b a ABC ac b+-∠==-，当2213a b =时，7cos 16ABC ∠=>不合题意；当2232a b =时，7cos 12ABC ∠=；综上，7cos 12ABC ∠=． 【就题论题】本题第（1）问比较简单，利用正弦定理进行边角代换，即可得出结论．第（2）问求解的关键是利用正弦定理、余弦定理整理出,a b 的关系式，再利用余弦定理求cos ABC ∠．二、考题揭秘【命题意图】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．难度：中等偏易【考情分析】新教材高考，解三角形是必考题，一般以解答题形式考查，考查主要方式是利用正弦定理与余弦定理解三角形，有时还会涉及到三角形中的三角变换．【得分秘籍】（1）正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．（2）运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．（3）应用正弦、余弦定理的解题技巧①求边：利用公式a＝sinsinb AB，b＝sinsina BA，c＝sinsina CA或其他相应变形公式求解．②求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝sina Bb，sin B＝sinb Aa，sin C＝sinc Aa或其他相应变形公式求解．③已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．④灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．（4）判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．（5）三角形面积公式的应用原则①对于面积公式S＝ɑb sin C＝ɑc sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．②与面积有关的问题，一般要用到正弦定理和余弦定理进行边和角的转化．（6）应用解三角形知识解决实际问题需要下列三步：①根据题意，画出示意图，并标出条件；②将所求问题归结到一个或几个三角形中(如本例借助方位角构建三角形)，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；③检验解出的结果是否符合实际意义，得出正确答案．【易错警示】（1）已知两边及其中一边的对角解三角形时，注意要对解的情况进行讨论，讨论的根据一是所求的正弦值是否合理，当正弦值小于等于1时，还应判断各角之和与180°的关系；二是两边的大小关系．（2）等式两边都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．三、以例及类（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷） 解答题(2021福建省厦门市高三三模)1. 锐角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足4sin s sin sin in C B a B C +=． （1）求A ；（2）若4b =，ABC 的面积为D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，求AD ．【答案】（1）3A π=；（2）AD =. 【解析】【分析】（1）先利用正弦定理进行边化角并化简得到sin A =，再结合锐角三角形得到角A 即可；（2）先利用面积公式求得c 边，再结合角平分线，利用BAD CAD BAC S S S +=△△△和面积公式，列式计算求得AD 即可.【详解】解：（1）在ABC 中，由正弦定理得sin sin sin a b cA B C==，4sin s sin sin in C B a B C +=，sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，即sin 4sin sin sin B C A B C =又因为sin sin 0B C ≠，所以4sin A =，即sin A =， 又因为ABC 为锐角三角形，所以3A π=；（2）由1sin 2ABCSbc A ==14sin 23c π⨯⨯=3c =，因为BAC ∠的角平分线为AD ，所以126BAD CAD BAC π∠∠∠===， 又因为BAD CAD BAC S S S +=△△△，所以11sin sin 2626c AD b AD ππ⋅+⋅=113sin 4sin 2626AD AD ππ⨯⋅+⨯⋅=，所以74AD =7AD =． 【点睛】思路点睛：一般地，解有关三角形的题目时，常运用正弦定理（或余弦定理）进行边角互化，要有意识地根据已知条件判断用哪个定理更合适. 如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.（2021福建省福州市高三5月二模） 2.ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos()6b A a B π=-.（1）求B ；（2）若D 是ABC 的外接圆的劣弧AC 上一点，且3a =，4c =，1AD =，求CD .【答案】（1）3π；（2）3. 【解析】【分析】(1)利用正弦定理边化角，再用差角的余弦公式展开化成正切即可得解； (2)利用余弦定理求出边b ，借助圆内接四边形性质求得ADC ∠，最后又由余弦定理建立方程得解.【详解】（1）ABC 中，由正弦定理有sin cos()sin sin sin cos()66b A a B B A A B ππ=-⇒=-，从而1sin sin sin sin )2B A A B B =+，化简得，1sin sin cos 22A B A B =，因为0A π<<，即sin 0A ≠，所以tan B =0B π<<，故3B π=.（2）在ABC 中，由余弦定理知，2222cos b a c ac B =+-2234234cos133π=+-⨯⨯⋅=，即 b =又由于A ，B ，C ，D 四点共圆，从而23ADC B ππ∠=-=， 在ADC 中，设DC x =，由余弦定理得，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅⋅∠，即得22213121cos3x x π=+-⋅⋅⋅，化简得，2120x x +-=，解得3x =或 4x =-（舍去）， 故3DC =.【点睛】思路点睛：已知两边及一边的对角求第三边的三角形问题，可用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解. （广东省汕头市高三二模）3. 随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，由于工作繁忙无法抽出时间来享受美食，这样网上外卖订餐应运而生.现有美团外卖送餐员小李在A 地接到两份外卖单，他须分别到B 地､D 地取餐，再将两份外卖一起送到C 地，运餐过程不返回A 地.A ，B ，C ，D 各地的示意图如图所示，2km BD =，AD =，120ABD ∠=︒，45DCB ∠=︒，30CDB ∠=︒，假设小李到达B ､D 两地时都可以马上取餐(取餐时间忽略不计)，送餐过程一路畅通.若小李送餐骑行的平均速度为每小时20千米，请你帮小李设计出所有送餐路径(如：AB BD DB BC →→→)，并计算各种送餐路径的路程，然后选择一条最快送达的送餐路径，并计算出最短送餐时间为多少分钟.(各数值保留3位小数)(参考数据：1.414≈ 1.732≈)【答案】答案见解析 【解析】【分析】根据正弦定理先求解出,BC CD 的值，再根据余弦定理求解出AB 的值，然后分析每条送餐路径的路程并确定出最短送餐路径对应的送餐时间.【详解】解：在BCD △中，由正弦定理可知：sin sin BC BDBDC BCD =∠∠，即：2sin 30sin 45BC =︒︒，解得：BC =由sin sin CD BDCBD BCD =∠∠，即：2sin105sin 45CD =︒︒，解得：1CD =(由余弦定理可得22cos BC BD CD BD CD CDB =+-⋅⋅∠，解得=1CD +或者1CD ，,CBD DCB CD BD ∠>∠∴>=1CD ∴)在ABD △中，由余弦定理可知：222cos 2AB BD AD ABDAB BD即2412cos1204AB AB+-︒=，解得2AB =或4AB =-(舍)；①若送餐路径为：AB BD DB BC →→→，则总路程=67.414km +≈①若送餐路径为：AD DB BC →→，则总路程=2 6.878km ≈①若送餐路径为：AB BD DC →→，则总路程=221 6.732km ++≈①若送餐路径为：AD DB BD DC →→→，则总路程=22110.196km ++≈所以最短送餐路径为AB BD DC →→， 此路径的送餐时间为：6.7326020.19620⨯=(分钟). 【点睛】关键点点睛：本题是实际问题中解三角形的应用，解答问题的关键在于通过正余弦定理求解出每一段未知的线段长度，然后再去分析每一条路径对应的总路程并确定出最短路径以及送餐时间. （2021广东省广州市天河区高三三模）4. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知22cos c b a B -=． （1）求角A 的值； （2）若ABC的面积S c ==sin sin B C 的值 【答案】（1）3π；（2）12．【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式，两角和的正弦变形可求得A 角；（2）由三角形面积求得b ，由余弦定理求得a ，然后用正弦定理可得sin sin B C ． 【详解】（1）因为22cos c b a B -=，由正弦定理得2sin sin 2sin cos C B A B -=，sin 2sin()2sin cos 2sin()2sin cos 2(sin cos cos sin )B A B A B A B A B A B A B π=---=+-=+2sin cos 2cos sin A B A B -=，又B 是三角形内角，sin 0B ≠，所以()1cos ,02A A π=∈，，3A π=； （2）11sin sin 223ABC S bc A b π===△，b =2222212cos 292a b c bc A =+-=+-⨯=，3a =，又3sin sin sin sin 3a b c A B C π==== sin 1B =，1sin 2C = 所以1sin sin 2B C =．【点睛】方法点睛：正弦定理、余弦定理、三角形面积是解三角形的常用公式，解题方法是利用正弦定理进行边角转换，化边为角，然后由诱导公式，两角和的正弦公式变形求角，然后再根据问题先用相应公式计算． （2021河北省张家口市高三三模）5. 在四边形ABCD 中，,1,2AB CD AB AC BD ===，且sin sin DBC DCB ∠∠=.（1）求AD 的长； （2）求ABC 的面积.【答案】（1）AD =（2 【解析】【分析】（1）在DBC △中，由sin sin DBC DCB ∠∠=及正弦定理可得 2.BD CD ==设.AD x =在ABD △和ACD △中，分别由余弦定理，列方程22144724x x x x+-+-=-，解得AD ；（2）在ACD △中，由222AD CD AC +=，得到AD CD ⊥，直接利用面积公式求出ABC 的面积.【详解】（1）因为在四边形ABCD 中，AB CD ，所以cos cos .CDA DAB ∠∠=- 在DBC △中，由sin sin DBC DCB ∠∠=及正弦定理可得 2.BD CD == 设.AD x =在ABD △和ACD △中，由1,AB AC ==22144724x x x x+-+-=-， 所以()()2221447.x x +-=-+-解得x =AD =.（2）在ACD △中，2AD AC CD ===，得222AD CD AC +=，所以AD CD ⊥，所以12ABCSAB AD =⋅=.所以ABC 【点睛】（1）在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：①从题目给出的条件，边角关系来选择；②从式子结构来选择． （2）平面四边形问题通常转化为解三角形来处理. （2021河北省唐山市高三三模）6. 如图所示，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2BAD π∠=，点E 是AD 上一点，2=4DE AE =，2cos cos cos BC BEC BE EBC CE ECB ∠=∠+∠.（1）求BEC ∠的大小；（2）若BCE 的面积S 为BC .【答案】（1）∠BEC ＝3π；（2）BC = 【解析】【分析】（1）利用余弦定理将角化为边，从而可得1cos 2BEC ∠=，故可求其大小. （2）设AEB α∠＝，由解直角三角形可得,BE CE ，根据面积可求α的值，利用余弦定理可求BC 的长.【详解】（1）∵2cos cos cos BC BEC BE EBC CE ECB ∠=∠+∠2222222•2•BE C BE BC CE CE BC BE BE BC CE E BC BC+-+-⋅⋅＝＋＝∴1cos 2BEC ∠=，而BEC ∠为三角形内角，故3BEC π∠=． （2）设AEB α∠＝，则23DEC πα∠=-，其中203πα<<， ∵DE ＝2AE ＝4， ∴2cos cos AE BE αα==，422cos()cos()33CE DE ππαα=--=， ∵△BCE的面积1sin 23cos cos()3S BE CE παα=⋅⋅=-==2sin(2)16πα==--，2sin(21)6α=--， ∴sin 216πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为72666πππα-<-<，故262ππα-=，即3πα=， 此时24cos BE α==，482cos()3CE πα==-， ∴在△BCE 中，由余弦定理得：2222cos 48BC BE CE BE CE BEC +⨯∠＝－＝，∴BC =（2021湖北省襄阳市高三下学期5月第二次模拟）7. 如图，设ABC 中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，AD 为BC 边上的中线，已知1c =，12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+，cos 7BAD ∠=．（1）求b 边的长度；（2）求ABC 的面积．【答案】（1）4b =；（2）【解析】【分析】（1）角化边即可求解；（2）设,AB AC θ=，根据cos 7BAD ∠=列方程即可求解 【详解】（1）由条件12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+， 可得：2212cos 4ca B a b bc =-+，即222221224a c b ca a b bc ac +-⋅=-+， 化简可得：4c b =，因为1c =，所以4b =（2）因为D 为中点，所以()12AD AB AC =+， 设,AB AC θ=，由()()()22222211122cos 444AD AB AC AB AC AB AC c b c b θ=+=++⋅=++⋅ 得17||2AD =， 又()114cos 22AB AD AB AB AC θ+⋅=⋅+=，所以1cos 7||||17AB AD BAD AB AD ⋅=∠==⋅ 化简可得：228cos 8cos 110θθ+-=解得1cos 2θ=或11cos 14θ=-， 又14cos 0θ+>，所以1cos 2θ=，则sin θ==，所以ABC 的面积为11sin 14222bc A =⨯⨯⨯=【点睛】关键点点睛：计算线段长度，关键是找到基底，然后用基底表示，平方之后再开方即可.（2021湖北省武汉市高三下学期4月质量检测）8. 平面凸四边形ABCD 中，9034BAD BCD AD AB ∠=∠=︒==，，.（1）若45ABC ∠=︒，求CD ；（2）若BC =AC .【答案】（1）2；（2） 【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出BD ，利用差角公式求出sin DBC ∠，再利用直角三角形性质可求CD ；（2）先利用直角三角形及BC 求出sin cos 55CBD CBD ∠=∠=，再利用和角公式求出cos ABC ∠，结合余弦定理可得AC .【详解】（1）连接BD ，在Rt BAD 中，由4390AB AD BAD ==∠=︒，，. 得5BD =，①34sin cos 55ABD ABD ∠=∠=，. ∵45ABC ∠=︒，∴45DBC ABC ∠=︒-∠，①43sin sin 45cos cos 45sin 252510DBC ABD ABD ∠=︒⋅∠-︒⋅∠=⨯=-，在Rt BCD 中，由90BCD ∠=︒知：sin 5102CD BD DBC =⋅∠=⨯=.（2）连接AC ，由（1）知5BD =，在Rt ABD △中易知34sin cos 55ABD ABD ∠=∠=，.在Rt BCD 中，由5BC BD ==得CD =，易知sin cos CBD CBD ∠=∠= ①()cos cos cos cos sin sin ABC ABD CBD ABD CBD ABD CBD ∠=∠+∠=∠⋅∠-∠⋅∠4355=-=. 在ABC 中由余弦定理得：(222222cos 424205AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=+-⨯⨯= ①AC =（2021湖南省衡阳市高三下学期毕业班联考）9. 如图，ABC 中，1302BD CD BAD =∠=︒，．（1）若AB AC =，求sin DAC ∠；（2）若AD BD =，求AC BC的值． 【答案】（1）sin 1DAC ∠=；（2）【解析】【分析】（1）利用三角形的面积比列方程，化简求得sin DAC ∠.（2）设AD x =，求得3BC x =，利用余弦定理列方程，求得AC =，从而求得AC BC. 【详解】（1）设BC 边上的高为h ，11sin 2211sin 22BAD CAD BD h AB AD BAD SS CD h AC AD CAD ⋅⋅⋅⋅∠==⋅⋅⋅⋅∠， 而1sin 302BD CD AB AC BAD ==∠=︒，，，∴sin 1DAC ∠=. （2）设AD x =，则3060AD BD x BAD ABD ADC ==∠=∠=︒∠=︒，，，2,3CD x BC x ==，在ADC 中，由余弦定理得：()()2222222cos603AC x x xx x =+-⋅︒=，∴AC =，∴33AC BC x ==. （2021湖南省株洲市高三下学期质量检测）10. 如图所示，在四边形ABCD中，tan tan BAD BAC ∠=-∠=（1）求DAC ∠的大小；（2）若2DC =，求ADC 周长的最大值.【答案】（1）3π；（2）6. 【解析】【分析】（1）根据DAC BAD BAC ∠=∠-∠，由()tan tan DAC BAD BAC ∠=∠-∠，利用两角差的正切公式求解；（2）利用正弦定理得到,in AD AC ACD ADC =∠=∠，则ADC 的周长为)22si n sin AD AC ACD ADC ++=+∠+∠，再根据23ACD ADC π∠+∠=，利用两角和与差的三角函数转化为22sin 64AD AC ACD π⎛⎫++=+∠+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的性质求解. 【详解】（1）因为DAC BAD BAC ∠=∠-∠，且tan tan 2BAD BAC ∠=-∠= 所以()tan tan DAC BAD BAC ∠=∠-∠，tan tan 1tan BAD BAC BAD BAC∠-∠=+∠⋅∠，-== 因为()0,DAC π∠∈， 所以3DAC π∠=；（2）由正弦定理得sin si n s in DAC A DC A CD ADC D AC ∠=∠==∠所以,in 33AD AC ACD ADC =∠=∠，所以ADC 的周长为)22si n sin AD AC ACD ADC ++=+∠+∠，22sin s n 33i ACD ACD π⎛⎫⎛⎫=+∠+-∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32sin cos 223ACD ACD ⎛⎫=+∠+∠ ⎪ ⎪⎝⎭， 2n 64si ACD π⎛⎫=+∠+ ⎪⎝⎭， 因为203ACD π<∠<， 所以5666ACD πππ<∠+<， 所以1sin 126ACD π⎛⎫<∠+≤ ⎪⎝⎭， 所以ADC 的周长的最大值为2416+⨯=.【点睛】方法点睛：三角形周长问题，一般地是利用公式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为ABC 外接圆半径)，将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到三角形内角和定理A ＋B ＋C ＝π，然后利用三角函数的性质求解.（2021江苏省扬州中学高三3月调研）11. 如图，某生态农庄内有一直角梯形区域ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，3AB =百米，2CD =百米．该区域内原有道路AC ，现新修一条直道DP （宽度忽略不计），点P 在道路AC 上（异于A ，C 两点），6BAC π∠=，DPA θ∠=．（1）用θ表示直道DP 的长度；（2）计划在ADP △区域内种植观赏植物，在CDP 区域内种植经济作物．已知种植观赏植物的成本为每平方百米2万元，种植经济作物的成本为每平方百米1万元，新建道路DP 的成本为每百米1万元，求以上三项费用总和的最小值．【答案】（1）1sin DP θ=，566ππθ<<；（2） 【解析】【分析】（1）根据解三角形和正弦定理可得1sin DP θ=，566ππθ<<， （2）分别求出APD S △，ADC S △，可得DPC S △，设三项费用之和为f，可得()1cos 12sin 2f θθθ+=+，566ππθ<<，利用导数求出最值. 【详解】解：（1）过点D 作DD AB '⊥，垂足为D ，在Rt ABC 中，∵AB BC ⊥，6BAC π∠=，3AB =，∴BC =在Rt ADD '中，∵1AD '=，DD '=2AD =，∴sin DAD '∠=∴3DAD π'∠=， ∵6BAC π∠=， ∴6DAP π∠=， 在ADP △中，由正弦定理可得sin sin 6AD DP πθ=， ∴1sin DP θ=，566ππθ<<， （2）在ADP △中，由正弦定理可得sin sin AD AP ADPθ=∠，∴52sin6sinAPπθθ⎛⎫-⎪⎝⎭=，∴5sin16sin2sinAPDS AP PDπθθθ⎛⎫-⎪⎝⎭=⋅⋅=△，又11sin22222 ADCS AD DC ADC=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△∴5sin6sinDPC ADC APDS S Sπθθ⎛⎫-⎪⎝⎭=-=△△△，设三项费用之和为f，则()55sin sin1 66211 sin sin sinfπθπθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪=⨯+⨯+⨯⎪⎪⎝⎭5sin16sin sinπθθθ⎛⎫-⎪⎝⎭=+1cos12sinθθ+=+，566ππθ<<，∴()21cos2sinfθθθ-='-，令()0fθ'=，解得23πθ=，当2,63ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0fθ'<，函数f单调递减，当25,36ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0fθ'>，函数f单调递增，∴()min23f fπθ⎛⎫==⎪⎝⎭（2021江苏省南京师范大学《数学之友》高三下学期一模）12. 已知ABC中，D是AC边的中点，且①3BA=；①BC=①BD=①60A ∠=︒.（1）求AC 的长；（2）BAC ∠的平分线交BC 于点E ，求AE 的长.上面问题的条件有多余，现请你在①，①，①，①中删去一个，并将剩下的三个作为条件解答这个问题，要求答案存在且唯一.你删去的条件是___________，请写出用剩余条件解答本题的过程.【答案】删去条件见解析；（1）2；（2）5. 【解析】【分析】若删去①①，由余弦定理易得出两解，不满足题意.删①，在ABD △中和ABC 中分别利用余弦定理建立关系可求解，再利用ABE ACE ABC S S S +=可求AE的长；删①，在ABD △中，由余弦定理有2cosADB ∠=，在BCD △中，cosCDB ∠=，由cos cos ADB CDB ∠=-∠求得x ，利用ABE ACE ABC S S S +=可求AE 的长. 【详解】删①.（1）设,AD CD x BA y ===，在ABD △中，由余弦定理可得227x y xy +-=，在ABC 中，由余弦定理可得22427x y xy +-=，联立方程解得1,3x y ==，所以3,2BA AC ==；（2）设AE m =，则由ABE ACE ABC S S S +=得1113sin 302sin 3032sin 60222m m ⨯+⨯=⨯⨯，解得5m =； 删①，则在ABD △中，由余弦定理有2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅，即2796cos60AD AD =+-⋅，解得1AD =或2AD =，则2AC =或4，有2解，不满足题意；删①，在ABC 中，由余弦定理可得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅，即2796cos60AC AC =+-⋅，解得1AC =或2，有2解，不满足题意； 删①.（1）设AD CD x ==，在ABD △中，由余弦定理有22222cos2BD AD AB ADB BD AD ∠+-===⋅， 同理，在BCD △中，cosCDB ∠=，cos cos ADB CDB ∠∠=-，2=1x =，2AC ∴=； （2）设AE m =，则由ABE ACE ABC S S S +=得1113sin 302sin 3032sin 60222m m ⨯+⨯=⨯⨯，解得m =. 【点睛】关键点睛：解决本题得关键是熟练应用余弦定理建立等量关系求解. （2021江苏省苏州市高三下学期三模）13. ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知11(0)k k a b c+=>．（1）若2k C π==，求A 的值；（2）若k =2，求当C 最大时ABC 的形状．【答案】（1）4A π=；（2）正三角形. 【解析】【分析】（1）由11a b c +=，结合2C π=，利用正弦定理化简得到c 1o 1sin s A A +=24A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解；（2）由112a b c +=，得到2ab c a b =+，由余弦定理得到222cos 2a b c C ab+-=()2142a b ab b a a b ⎡⎤=+-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，再利用基本不等式求解. 【详解】（1）11a b +=sin 11sin si 2n 2A A π⎛⎫- ⎪⎝==⎭+即c 1o 1sin s AA +=sin cos cos A A A A +=⋅，24A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以24A A π+=或24A A ππ+=-， 解得4A π=； （2）112a b c+=，即2a b ab c +=， 所以2ab c a b =+， 由余弦定理得2222222cos 22ab a b a b c a b C ab ab ⎛⎫+- ⎪+-+⎝⎭==， ()()22141412222a b ab ab b a a b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+-≥-=⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦， 当且仅当a b =时，等号成立，此时3C π=，ABC 是正三角形．【点睛】方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．（2021山东省泰安肥城市高三三模）14. 已知锐角ABC ∆的外接圆半径为1，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S2224)S c b =+-．（1）求C ；（2）求bc a的取值范围． 【答案】（1）3C π=；（2bc a<< 【解析】 【分析】（1)2224S c b =+-)2224a b c S +-=，根据余弦定理以及三角形的面积公式可得1cos 4sin 2C ab C =⨯，化简整理即可求出结果；（2）根据正弦定理把bc a变形为2sin 2sin B A，进而得到23sin A Aπ⎛⎫- ⎪⎝⎭然后以函数的思想根据角A 的范围求值域即可.【详解】解:（1)2224S c b =-)2224a b c S +-=∴1cos 4sin 2C ab C =⨯sin C C = ∵cos 0C ≠，∴tan C =又(0,)C π∈ ∴3C π=．（2）ABC ∆的外接圆半径为1 ∴2sin c C=，即2sin c C =又sin sin sin a b c A B C ==， ∴2sin a A =，2sin b B =∴bc a==23sin sin A B A Aπ⎛⎫- ⎪⎝⎭==1cos sin22sinA AA⎫+⎪⎝⎭=32tan A=+又因为ABC∆是锐角三角形∴22ABππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即2232AAπππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，∴62Aππ<<∴tan3>A，1tan A<<32tan2A<<，∴bca<<【点睛】解三角形中的求值域的问题，有两种解题思路：（1）找到边与边之间的关系，利用均值不等式求出最值，再结合三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来确定范围；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，以函数的思想求值域，注意转化的角的范围是关键.（2021山东省潍坊市高三三模）15. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是AC上的点，BM平分ABC∠，ABM的面积是BCM面积的2倍．（1）求sinsinCA；（2）若1cos4B=，2b=，求ABC的面积．【答案】（1）2；（2）4．【解析】【分析】（1）由2ABM BCMS S=△△，ABM MBC∠=∠，得到2AB BC=，由正弦定理得sin2sinC ABA BC==；（2）由（1）知2c a =，代入满足1cos 4B =的余弦定理，求得a ，c ，并求得sin B ，则由面积公式1sin 2ABC S ac B =△即可求得三角形面积. 【详解】解：（1）1sin 2ABM AB S BM ABM =⋅∠△， 1sin 2BCM BC S BM MBC =⋅∠△． 因为2ABM BCM S S =△△，ABM MBC ∠=∠，所以2AB BC =． 由正弦定理得sin 2sin C AB A BC == （2）由sin 2sin C A=得2c a =， 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 又因为1cos 4B =，2b =， 所以2221444a a a +-⨯4=， 所以1a =，从而2c =． 又因为1cos 4B =且0πB <<，所以sin 4B =．因此 11sin 122244ABC a S c B ==⨯⨯⨯=△． 【点睛】关键点点睛：根据角平分线及面积关系求得2c a =，并利用正弦定理，余弦定理进行边角转化，解得三角形中的参数.。
2023年上海市高考数学试卷(解析版)
2023年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）不等式|x﹣2|＜1的解集为 （1，3） ．【答案】（1，3）．【解答】解：由|x﹣2|＜1可得，﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，即不等式的解集为（1，3）．故答案为：（1，3）．2．（4分）已知向量＝（﹣2，3），＝（1，2），则•＝ 4 ．【答案】4．【解答】解：∵向量＝（﹣2，3），＝（1，2），∴•＝﹣2×1+3×2＝4．故答案为：4．3．（4分）已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前n项和为S n，则S6＝ 189 ．【答案】189．【解答】解：∵等比数列的首项为3，公比为2，∴S6＝＝189．故答案为：189．4．（4分）已知tanα＝3，则tan2α＝ ﹣ ．【答案】﹣．【解答】解：∵tanα＝3，∴tan2α＝＝＝﹣．故答案为：﹣．5．（4分）已知函数f（x）＝，则函数f（x）的值域为 [1，+∞） ．【答案】[1，+∞）．【解答】解：当x≤0时，f（x）＝1，当x＞0时，f（x）＝2x＞1，所以函数f（x）的值域为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．6．（4分）已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则|1+iz|＝ ．【答案】．【解答】解：∵z＝1﹣i，∴|1+iz|＝|1+i（1﹣i）|＝|2+i|＝．故答案为：．7．（5分）已知圆x2+y2﹣4x﹣m＝0的面积为π，则m＝ ﹣3 ．【答案】﹣3．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣m＝0化为标准方程为：（x﹣2）2+y2＝4+m，∵圆的面积为π，∴圆的半径为1，∴4+m＝1，∴m＝﹣3．故答案为：﹣3．8．（5分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边a＝4，b＝5，c＝6，则sin A＝ ．【答案】．【解答】解：a＝4，b＝5，c＝6，由余弦定理得，cos A＝＝＝，又∵A∈（0，π），∴sin A＞0，∴sin A＝＝＝．故答案为：．9．（5分）现有某地一年四个季度的GDP（亿元），第一季度GDP为232（亿元），第四季度GDP为241（亿元），四个季度的GDP逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的GDP为 946（亿元） ．【答案】946（亿元）．【解答】解：设第二季度GDP为x亿元，第三季度GDP为y亿元，则232＜x＜y＜241，∵中位数与平均数相同，∴，∴x+y＝473，∴该地一年的GDP为232+x+y+241＝946（亿元）．故答案为：946（亿元）．10．（5分）已知（1+2023x）100+（2023﹣x）100＝a0+a1x+a2x2+⋯+a99x99+a100x100，若存在k∈{0，1，2，⋯，100}使得a k＜0，则k的最大值为 49 ．【答案】49．【解答】解：二项式（1+2023x）100的通项为＝•2023r•x r，r∈{0，1，2，…，100}，二项式（2023﹣x）100的通项为＝•2023100﹣r•（﹣1）r•x r，r∈{0，1，2，…，100}，∴a k＝+＝[2023k+2023100﹣k•（﹣1）k]，k∈{0，1，2，⋯，100}，若a k＜0，则k为奇数，此时a k＝（2023k﹣2023100﹣k），∴2023k﹣2023100﹣k＜0，∴k＜100﹣k，∴k＜50，又∵k为奇数，∴k的最大值为49．故答案为：49．11．（5分）某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为θ．行人每沿着斜坡向上走1m消耗的体力为（1.025﹣cosθ），欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则θ＝ arccos ．【答案】arccos．【解答】解：斜坡的长度为l＝，上坡所消耗的总体力y＝×（1.025﹣cosθ）＝，函数的导数y′＝＝，由y′＝0，得4﹣4.1cosθ＝0，得cosθ＝，θ＝arccos，由f′（x）＞0时cosθ＜，即arccos＜θ＜时，函数单调递增，由f′（x）＜0时cosθ＞，即0＜θ＜arccos时，函数单调递减，即θ＝arccos，函数取得最小值，即此时所消耗的总体力最小．故答案为：θ＝arccos．12．（5分）空间中有三个点A、B、C，且AB＝BC＝CA＝1，在空间中任取2个不同的点D，E（不考虑这两个点的顺序），使得它们与A、B、C恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有 9 种．【答案】9．【解答】解：如图所示，设任取2个不同的点为D、E，当△ABC为正四棱锥的侧面时，如图，平面ABC的两侧分别可以做ABDE作为圆锥的底面，有2种情况，同理以BCED、ACED为底面各有2种情况，所以共有6种情况；当△ABC为正四棱锥的截面时，如图，D、E位于AB两侧，ADBE为圆锥的底面，只有一种情况，同理以BDCE、ADCE为底面各有1种情况，所以共有3种情况；综上，共有6+3＝9种情况．故答案为：9．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（4分）已知P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P，x∉Q}，则M＝（ ）A．{1}B．{2}C．{3}D．{1，2，3}【答案】A【解答】解：∵P＝{1，2}，Q＝{2，3}，M＝{x|x∈P，x∉Q}，∴M＝{1}．故选：A．14．（4分）根据所示的散点图，下列说法正确的是（ ）A．身高越大，体重越大B．身高越大，体重越小C．身高和体重成正相关D．身高和体重成负相关【答案】C【解答】解：根据散点图的分布可得：身高和体重成正相关．故选：C．15．（5分）已知a∈R，记y＝sin x在[a，2a]的最小值为s a，在[2a，3a]的最小值为t a，则下列情况不可能的是（ ）A．s a＞0，t a＞0B．s a＜0，t a＜0C．s a＞0，t a＜0D．s a＜0，t a＞0【答案】D【解答】解：由给定区间可知，a＞0．区间[a，2a]与区间[2a，3a]相邻，且区间长度相同．取a＝，则[a，2a]＝[]，区间[2a，3a]＝[]，可知s a＞0，t a＞0，故A可能；取a＝，则[a，2a]＝[，]，区间[2a，3a]＝[，]，可知s a＞0，t a＜0，故C可能；取a＝，则[a，2a]＝[，]，区间[2a，3a]＝[，]，可知s a＜0，t a＜0，故B可能．结合选项可得，不可能的是s a＜0，t a＞0．故选：D．16．（5分）已知P，Q是曲线Γ上两点，若存在M点，使得曲线Γ上任意一点P都存在Q 使得|MP|•|MQ|＝1，则称曲线Γ是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则（ ）A．①成立，②成立B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立【答案】B【解答】解：∵椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的M点，使得|MP|•|MQ|＝1成立，故①正确，在双曲线中，|PM|max→+∞，而|QM|min是个固定值，则无法对任意的P∈C，都存在Q∈C，使得|PM||QM|＝1，故②错误．故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（14分）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，AD＝3，CD＝4．（1）证明：直线A1B∥平面DCC1D1；（2）若该四棱柱的体积为36，求二面角A1﹣BD﹣A的大小．【答案】（1）证明见解答；（2）arctan．【解答】解：（1）证明：根据题意可知AB∥DC，AA1∥DD1，且AB∩AA1＝A，∴可得平面A1ABB1∥平面DCC1D1，又直线A1B⊂平面A1ABB1，∴直线A1B∥平面DCC1D1；（2）设AA1＝h，则根据题意可得该四棱柱的体积为＝36，∴h＝4，∵A1A⊥底面ABCD，在底面ABCD内过A作AE⊥BD，垂足点为E，则A1E在底面ABCD内的射影为AE，∴根据三垂线定理可得BD⊥A1E，故∠A1EA即为所求，在Rt△ABD中，AB＝2，AD＝3，∴BD＝＝，∴AE＝＝＝，又A1A＝h＝4，∴tan∠A1EA＝＝＝，∴二面角A1﹣BD﹣A的大小为arctan．18．（14分）已知a，c∈R，函数f（x）＝．（1）若a＝0，求函数的定义域，并判断是否存在c使得f（x）是奇函数，说明理由；（2）若函数过点（1，3），且函数f（x）与x轴负半轴有两个不同交点，求此时c的值和a的取值范围．【答案】（1）a＝0时，f（x）的定义域为{x|x≠0}，不存在c使得f（x）是奇函数．（2）（，）∪（，+∞）．【解答】解：（1）若a＝0，则f（x）＝＝x++1，要使函数有意义，则x≠0，即f（x）的定义域为{x|x≠0}，∵y＝x+是奇函数，y＝1是偶函数，∴函数f（x）＝x++1为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数c，使得f（x）是奇函数．（2）若函数过点（1，3），则f（1）＝＝＝3，得3a+2+c＝3+3a，得c＝3﹣2＝1，此时f（x）＝，若数f（x）与x轴负半轴有两个不同交点，即f（x）＝＝0，得x2+（3a+1）x+1＝0，当x＜0时，有两个不同的交点，设g（x）＝x2+（3a+1）x+1，则，得，得，即a＞，若x+a＝0即x＝﹣a是方程x2+（3a+1）x+1＝0的根，则a2﹣（3a+1）a+1＝0，即2a2+a﹣1＝0，得a＝或a＝﹣1，则实数a的取值范围是a＞且a≠且a≠﹣1，即（，）∪（，+∞）．19．（14分）2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：红色外观蓝色外观棕色内饰128米色内饰23（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求P（B）和P（B|A），并判断事件A和事件B是否独立；（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望．【答案】（1）P（A）＝，P（B）＝．P（B|A）＝．事件A和事件B不独立．（2）EX＝277（元）．【解答】解：（1）若红色外观的模型，则分棕色内饰12个，米色内饰2个，则对应的概率P（A）＝＝，若小明取到棕色内饰，分红色外观12，蓝色外观8，则对应的概率P（B）＝＝＝．取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有12个，即P（AB）＝，则P（B|A）＝＝＝＝．∵P（A）P（B）＝＝≠，∴P（A）P（B）≠P（AB），即事件A和事件B不独立．（2）由题意知X＝600，300，150，则外观和内饰均为同色的概率P＝＝＝，外观和内饰都异色的概率P＝＝，仅外观或仅内饰同色的概率P＝1﹣﹣＝，∵＞＞，∴P（X＝150）＝，P（X＝300）＝＝，P（X＝600）＝，则X的分布列为：X150300600P则EX＝150×+300×+600×＝277（元）．20．（18分）已知抛物线Γ：y2＝4x，在Γ上有一点A位于第一象限，设A的纵坐标为a（a ＞0）．（1）若A到抛物线Γ准线的距离为3，求a的值；（2）当a＝4时，若x轴上存在一点B，使AB的中点在抛物线Γ上，求O到直线AB的距离；（3）直线l：x＝﹣3，P是第一象限内Γ上异于A的动点，P在直线l上的投影为点H，直线AP与直线l的交点为Q．若在P的位置变化过程中，|HQ|＞4恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）（0，2]．【解答】解：（1）抛物线Γ：y2＝4x的准线为x＝﹣1，由于A到抛物线Γ准线的距离为3，则点A的横坐标为2，则a2＝4×2＝8（a＞0），解得；（2）当a＝4时，点A的横坐标为，则A（4，4），设B（b，0），则AB的中点为，由题意可得，解得b＝﹣2，所以B（﹣2，0），则，由点斜式可得，直线AB的方程为，即2x﹣3y+4＝0，所以原点O到直线AB的距离为；（3）如图，设，则，故直线AP的方程为，令x＝﹣3，可得，即，则，依题意，恒成立，又，则最小值为，即，即，则a2+12＞a2+4a+4，解得0＜a＜2，又当a＝2时，，当且仅当t＝2时等号成立，而a≠t，即当a＝2时，也符合题意．故实数a的取值范围为（0，2]．21．（18分）已知f（x）＝lnx，在该函数图像Γ上取一点a1，过点（a1，f（a1））做函数f （x）的切线，该切线与y轴的交点记作（0，a2），若a2＞0，则过点（a2，f（a2））做函数f（x）的切线，该切线与y轴的交点记作（0，a3），以此类推a3，a4，⋯，直至a m≤0停止，由这些项构成数列{a n}．（1）设a m（m≥2）属于数列{a n}，证明：a m＝lna m﹣1﹣1；（2）试比较a m与a m﹣1﹣2的大小关系；（3）若正整数k≥3，是否存在k使得a1、a2、a3、⋯、a k依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明过程见解答；（2）a m≤a m﹣1﹣2；（3）k＝3．【解答】解：（1）证明：，则过点（a m﹣1，f（a m﹣1））的切线的斜率为，由点斜式可得，此时切线方程为，即，令x＝0，可得y＝lna m﹣1﹣1，根据题意可知，a m＝lna m﹣1﹣1，即得证；（2）先证明不等式lnx≤x﹣1（x＞0），设F（x）＝lnx﹣x+1（x＞0），则，易知当0＜x＜1时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，当x＞1时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，则F（x）≤F（1）＝0，即lnx≤x﹣1（x＞0），结合（1）可知，a m＝lna m﹣1﹣1≤a m﹣1﹣1﹣1＝a m﹣1﹣2；（3）假设存在这样的k符合要求，由（2）可知，数列{a n}为严格的递减数列，n＝1，2，3，…，k，由（1）可知，公差d＝a n﹣a n﹣1＝lna n﹣1﹣a n﹣1﹣1，2≤n≤k，先考察函数g（x）＝lnx﹣x﹣1，则，易知当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，则g（x）＝d至多只有两个解，即至多存在两个a n﹣1，使得g（a n﹣1）＝d，若k≥4，则g（a1）＝g（a2）＝g（a3）＝d，矛盾，则k＝3，当k＝3时，设函数h（x）＝ln（lnx﹣1）﹣2lnx+x+1，由于h（e1.1）＝ln0.1﹣2.2+e1.1+1＝e1.1﹣ln10﹣1.2＜0，h（e2）＝﹣3+e2＞0，则存在，使得h（x0）＝0，于是取a1＝x0，a2＝lna1﹣1，a3＝lna2﹣1，它们构成等差数列．综上，k＝3．。
高考数学19题
高考数学19题高考数学是每位考生都要面对的重要考试科目之一，数学题目的难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和解题技巧。
本文将针对高考数学19题进行详细解析，帮助考生更好地应对这一题目。
高考数学19题的题目描述如下：已知函数f(x)的定义域为[0,π/2]，且对任意的x∈[0,π/2]，有f(x)=cos^3x+sin^3x，求f(x)的最小值。
解题思路：根据题目的描述，我们需要求出函数f(x)的最小值。
首先，我们需要分析函数f(x)的性质和特点，以便确定解题思路。
根据三角函数的性质，我们知道cos^3x和sin^3x的取值范围分别为[-1,1]，并且对于任意的x∈[0,π/2]，cos^3x和sin^3x都非负。
因此，f(x)=cos^3x+sin^3x的取值范围为[0,2]。
接下来，我们需要找到函数f(x)的最小值所对应的x值。
为了简化计算，我们可以将f(x)的表达式进行简化。
首先，我们将cos^3x和sin^3x进行分解，得到f(x)=(cosx+sinx)(cos^2x-sinx^2)。
然后，我们对f(x)进行进一步的分解，得到f(x)=(cosx+sinx)(1-sin^2x)。
进一步化简，得到f(x)=(cosx+sinx)(1-cos^2x)。
再次化简，得到f(x)=(cosx+sinx)(sin^2x)。
现在，我们可以看出f(x)的表达式中包含sinx的平方项，而sinx在[0,π/2]内是递增的，因此sin^2x的取值范围为[0,1]，且sin^2x在[0,π/2]内是递增的。
因此，我们可以得出结论，当sinx取最小值0时，f(x)取最小值0；当sinx取最大值1时，f(x)取最大值2。
综上所述，函数f(x)的取值范围为[0,2]，最小值为0。
答案验证：为了验证我们的结论，我们可以通过计算验证得出的最小值是否正确。
当x=0时，f(x)=(cos0+sin0)(sin^20)=0。
高考数学专题二 微专题19 平面向量的数量积及最值与范围问题
微专题19
平面向量的数量积 及最值与范围问题
考情分析
平面向量的数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一， 其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向 量的模、数量积、夹角、系数的范围等.解决思路是建立目标 函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值 或应用基本不等式.同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份， 所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质.一般难 度较大.
＝x－322＋(y－2)2－245.
又x－322＋(y－2)2 表示圆 x2＋y2＝1 上一点到点32，2距离的平方，圆 心(0,0)到点32，2的距离为52， 所以P→A·P→B∈52－12－245，52＋12－245， 即P→A·P→B∈[－4,6].
跟踪训练2 (1)如图，已知 AOB 是半径为 4，圆心角为π2的扇形，点 E，
(2)已知向量 a，b 满足a－b＝3，a＝2b，设 a－b 与 a＋b 的夹角为 θ， 则 cos θ 的最小值为
A.45
√B.35
C.13
D.25
令b2＝t，则a2＝4b2＝4t， 则a－b2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝9,2a·b＝5t－9， 由 5t－9＝2a·b≤2ab＝4t 得 t≤9， 由 5t－9＝2a·b≥－2ab＝－4t 得 t≥1， 所以 1≤t≤9，a＋b＝ a＋b2＝ a2＋2a·b＋b2＝ 10t－9， 所以 cos θ＝aa＋＋bb·aa－－bb＝ 1a02t－－b92×3＝ 10tt－9＝ 10tt－2 9， 令 y＝10tt－2 9，显然 y>0，t2－10yt＋9y＝0，
解得1≤z≤3，所以z的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3.
高考数学黄金100题系列第19题函数与方程问题的分析理(2021学年)
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第19题 函数与方程问题的分析I ．题源探究·黄金母题 【例1】已知()3x f x =，求证:（1）()()()f x f y f x y ⋅=+; (2）()()()f x f y f x y ÷=-. 【证明】(1）()()()()3,333x x y x y f x f x f y f x y +=∴⋅=⋅==+． （2)()()()()3,333xxyx yf x f x f y f x y -=∴÷=÷==-.精彩解读【试题来源】人教版A 版必修１第82页复习参考题Ａ组第7题．【母题评析】本题考查了指数幂运算的性质.【思路方法】逆用指数幂运算的性质解题．II ．考场精彩·真题回放【例２】【2０17高考江苏卷】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩ 其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ,则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 . 【答案】８【解析】由于()[0,1)f x ∈ ，则需考虑110x ≤< 的情况 在此范围内,x Q ∈ 且x ∈Z 时,设*,,,2qx p q p p=∈≥N ,且,p q 互质. 若lg x Q ∈，则由lg (0,1)x ∈,可设*lg ,,,2nx m n m m =∈≥N ，且,m n 互质,因此10nm q p=,则10()n m qp=,此时左边为整数,右边非整数,矛盾，因此lg x Q ∉，因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等,只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点,画出函数图象,图中交点除()1,0外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分,且1x =处【命题意图】本题属于能力题,中等难度．在考查抽象函数问题、绝对值不等式、函数的最值等基础知识的同时,考查了考生的逻辑推理能力、运算能力、分类讨论思想及转化与化归思想． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较大．【难点中心】解答本题的关键,是利用分类讨论思想、转化与化归思想,逐步转化成不含绝对值的式子，得出结论.对于方程解的个数（或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值;从图象的对称性，分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等．()11lg 1ln10ln10x x '==<,则在1x =附近仅有一个交点,一次方程解的个数为８.【例３】【20１4高考辽宁卷】已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足: ①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠,有1|()()|||2f x f y x y -<-.若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k 的最小值为( ）A.12 B ．14 C ．12π Ｄ.18【答案】B【解析】不妨令01x y ≤<≤，则()()12f x f y x y -<-. 解法一:()()()()()()()()201f x f y f x f f x f y f y f -=-+---⎡⎤⎣⎦()()()()()()01f x f f x f y f y f ≤-+-+-()()11111110112222222x x y y x y x y <-+-+-=+-+-=， 即得()()14f x f y -<,另一方面,当10,2u ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()1,0211,12ux x f x u x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪--<≤⎪⎩,符合题意,当12u →时,()110224u f f ⎛⎫-=→ ⎪⎝⎭,故14k ≤. 解法二:当12x y -≤时, ()()1124f x f y x y -<-≤, 当12x y ->时,()()()()()()01f x f y f x f f y f -=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()11100122f x f f y f x y ≤-+-<-+- ()()11111122224x y y x =-+=+-<,故14k ≤. I ＩI ．理论基础·解题原理1．函数方程：含有未知函数的等式叫做函数方程，例如:()()()(),11f x f x f x f x =---=+都可称为函数方程．在高中阶段，涉及到函数方程有以下几个类型：(1）表示函数()f x 的某种性质:例如()()f x f x =-体现()f x 是偶函数;()()1f x f x +=体现()f x 是周期为1的周期函数(可详见“函数对称性与周期性"一节）.(２)可利用解方程组的思想解出涉及的函数的解析式:例如:()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可用1x 代替x得()132f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,即()()()1232132f x f x x f x x xff x x x ⎧⎛⎫+=⎪⎪⎪⎝⎭⇒=-⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩． （3)函数方程也是关于变量的恒等式,所以通过对变量赋特殊值得到某些数的函数值． ２．双变量函数方程的赋值方法:（１)对,x y 均赋特殊值,以得到某些点的函数值,其中有些函数值会对性质的推导起到关键作用，比如()()()0,1,1f f f -,在赋特殊值的过程中要注意所赋的值要符合函数定义域． （2)其中某一个变量不变,另一个赋特殊值,可得到单变量的恒等式,通常用于推断函数的性质.IV.题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上,通常以选择题或填空题或解答题的形式出现,考查对基本初等函数及超越函数性质的理解,一般难度较大． 【技能方法】常见函数所符合的函数方程：在填空选择题时可作为特殊的例子辅助处理,但是在解答题中不能用这些特殊的函数代表函数方程.抽 象 函 数具 体 模 型 ()()()f x y f x f y +=+比例函数:正()f x kx =()()()f x y f x f y +=⋅ 指数函数:()()0,1x f x a a a =>≠ ()()()f x y f x f y ⋅=+ 当()0,x ∈+∞时，()log a f x x = 当{}|0x x x ∈≠时，()log a f x x = ()()()f x y f x f y ⋅=⋅幂函数：()f x x α=()()()()()2,00f x y f x y f x f y f ++-=⋅≠三角函数:()cos f x x = 【易错指导】由于抽象函数没有具体的函数解析式,构造时容易顾此失彼,忽略性质的背后可能还蕴涵着其他性质，结论背后可能还推论出其他结论．所以，在解题时一定要反复推敲，不断假设验证，或者索性先构造一个具体函数，然后隐去解析式来叙述这个函数的性质,那么出现错题的可能性就小了许多．Ｖ.举一反三·触类旁通考向1 求抽象函数的解析式(值）【例1】【201７东北三省三校第二次联合模拟考试】已知偶函数()f x 的定义域为R ,若()1f x -为奇函数,且()23f =，则()()56f f +的值为( ） A ．－３ B.-2 C ．2 D ．3 【答案】D【例2】已知函数()f x 满足:()112f =,对任意实数,x y 都有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=,则()()()()1232014f f f f ++++=( )A. 1 B ． 12- C. 12D. 1- 【答案】B.【解析】由所求出发可考虑判断()f x 是否具备周期性,令1y =,可得()()()()1121f x f x f x f ++-=，即()()()11f x f x f x ++-=，∴()()()21f x f x f x ++=+，两式相加可得()()21f x f x +=--,则可判定()f x 的周期为6,由()()()11f x f x f x ++-=可得：()()()12012f f f +==,即()()1262f f +=,由()()21f x f x +=--可得()()1412f f =-=-,则()()()13542f f f +==-,从而()()()()()()1234560f f f f f f +++++=,∴()()()()()()()()12320133351620132013f f f f f f f f ++++=+++=⎡⎤⎣⎦,且()()1201442f f ==-.【例3】设角α的终边在第一象限，函数)(x f 的定义域为[]1,0，且1)1(,0)0(==f f ，当y x ≥时，有()()()sin 1sin 2x y f f x f y αα+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,则使等式1144f ⎛⎫= ⎪⎝⎭成立的α的集合为 ．【答案】|2,6k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭．限可得：1sin 2α=,从而α的集合为|2,6k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭． 【例４】设函数()f x 的定义域为R ，()01f =,且对,x y R ∀∈,都有()()()()12f xy f x f y f y x +=--+,则()f x 的解析式为__＿___＿_.【答案】()1f x x =+.【解析】观察到右边的结构并非()(),f x f y 的轮换对称式,考虑其中一个变量不变，另一个变量赋值为1,则1x =时, ()()()()1112f y f f y f y +=--+ ①,1y =时，()()()()1112f x f x f f x +=--+ ②,则求()1f 是关键,结合()01f =,可令0x y ==,则()()()()21000212f f f f =--+⇒=,代入到①②可得:()()()()1112f y f y f x f x x +=+⎧⎪⎨+=-⎪⎩，即()()()()1112f x f x f x f x x+=+⎧⎪⎨+=-⎪⎩,消去()1f x +解得:()1f x x =+. 【跟踪练习】1．已知函数y=ｆ（ｘ）是偶函数，其图像与x 轴有四个交点,则方程f （x)＝0的所有实根之和是( ）A.4 B ．２ C ．１ D ．0 【答案】D【解析】偶函数图像关于y 轴对称,所以与x 轴四个交点横坐标，两两关于y 轴对称,即两两之和为零，所有实根之和为零，选D ． ２．【2０17重庆第一次调研抽测】奇函数的定义域为．若为偶函数，且，则( )A ．—2 Ｂ．—１ C ．0 Ｄ.1 【答案】B３．已知()f x 是定义在R 上的函数，04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,且对任意的,x y R ∈，都有()()222x y x y f x f y f f +-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么3520154444f f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭_＿____＿＿＿.【答案】0.【解析】函数方程为“和→积”的特点，抓住04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,可发现令2y x π=-，则()22222022244x x x f x f x f f f x fπππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎪+-==-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴可得:自变量间隔2π，,其函数值的和为0,∴将求和的式子两两一组,即:357201320150444444S f f f f f f ππππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦．4.【2017西省实验中学高三下学期模拟热身】已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()4f x f x +=-,且函数()2y f x =+是偶函数,当(]0,2x ∈时，()ln f x x ax =-(12a >)，当[)2,0x ∈-时，()f x 的最小值为3,则ａ的值等于（ )A ．2eB ．ｅ Ｃ.2 D ．1 【答案】Ａ【解析】因为函数()2y f x =+是偶函数，所以()()22f x f x +=-+，即()()4f x f x +=-. 当[)2,0x ∈-时，(]()()()()0,2,?4ln x f x f x f x x ax -∈=-+=--=---．()11x 0ax f a x x +=--=-='，有()12,0x a =-∈-，函数()y f x =在12,?a ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭函数单减,在（1,0)a -单调递增.()11113min f x f ln lna a a ⎛⎫=-=-+=+= ⎪⎝⎭,解得2a e =,故选A ．点睛:本题的难点是对于函数()2y f x =+是偶函数的正确转化，应该得到()()22f x f x +=-+．如果说是()y f x =是偶函数,则应得到()()22x f x +=--.考向2 抽象函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性、最值等）【例5】定义在()1,1-的函数满足关系()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭,当()1,0x ∈-时，()0f x <,若()111,,0452P f f Q f R f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,P Q R 的大小关系为 ( )A. R P Q >>B. R Q P >> C ． P Q R >> D ． Q P R >> 【答案】D.虑121,0,2x x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,12x x <,则()()1212121x x f x f x f x x ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭，因为12102x x ≤<≤,∴121211130,112224x x x x -≤-<->-⋅=,从而1212101x xx x --<<-,即()()12121201x x f x f x f x x ⎛⎫--=< ⎪-⎝⎭，得到()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,∴Q P R >>．【评注】本题在证明单调性时,因为考虑了,,P Q R 中自变量的取值，所以只需考虑10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的单调性，缩小12,x x 的范围使得判断12121x x x x --的范围较容易．但也可将12,x x 在()1,1-中任取,但是在判断12121x x x x --的范围会比较复杂,可利用不等式的等价变形来证:假设1212101x xx x --<<-，因为1210x x ->，121201x x x x -∴<-且12121212111x x x x x x x x ->-⇔->--()()11221210110x x x x x x ⇔-+->⇔+->,由()12,1,1x x ∈-可得()()12110x x +->成立,从而121211x x x x ->--.【例6】【201７山东聊城模拟】已知定义域为R 的函数()f x ,若函数()f x y x='的图象如图所示,给出下列命题: ①()()110f f '-'==;②函数()f x 在区间(),1-∞-上单调递增； ③当1x =时,函数()f x 取得极小值；④方程()0xf x '=与()0f x =均有三个实数根.其中正确命题的个数是( ) A ．１ B.2 Ｃ．3 D ．4 【答案】Ｃ所以方程'00xf x f x ==（）与（） 均有三个实数根．不正确；故选:C ． 【例7】【2０18河北衡水模拟】定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称,若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值范围是 ( ）Ａ.13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C.15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】D.【解析】设12x x <，则120x x -<.由1212()()0f x f x x x -<-，知12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >,所以函数()f x 为减函数.因为函数(1)y f x =-的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =为奇函数,所以222(2)(2)(2)f s s f t t f t t -≤--=-,所以2222s s t t -≥-,即()(2)0s t s t -+-≥.因为233111t s s t s t s t s-=-=-+++,而在条件()(2)014s t s t s -+-≥⎧⎨≤≤⎩下，易求得1[,1]2t s ∈-,所以11[,2]2t s +∈，所以33[,6]21t s ∈+,所以311[5,]21t s-∈--+，即21[5,]2t s s t -∈--+,故选D ． 【例8】【2０18陕西西安长安区高三上学期质量检测】已知定义在区间()0,+∞上的函数()f x 满足()()()1212f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时， ()0f x >. （1）求()1f 的值;（2）证明: ()f x 为单调增函数；（３)若115f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求()f x 在1,12525⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.【答案】(1）f （１)=0.（2)见解析（3）最小值为﹣2,最大值为３．（2）证明：设ｘ1,ｘ2∈（0,+∞),且x １＞ｘ２,则>１,∴ｆ()＞０，∴ｆ(x1）﹣ｆ(x2)＝ｆ（x2⋅）﹣ｆ(x ２）=f （ｘ2）+f(）﹣f(x ２）＝f()>0,即f （ｘ1）>ｆ（x ２),∴f(x ）在（0，+∞）上的是增函数． (3)∵f （x ）在（0,+∞)上的是增函数． 若，则f （）＋f()=ｆ()=﹣2,即f （•5）=f （1）=f （）＋f(5)＝0,即ｆ(5)=１,则ｆ（5)+f （5）=f(25）=2，f(５)＋ｆ（25）＝f （１25）=3， 即f(x)在上的最小值为﹣2，最大值为３．【点睛】本题主要考查函数单调性的定义和性质,以及抽象函数的求值，其中利用赋值法是解决抽象函数的基本方法,而利用函数的单调性的定义和单调性的应用是解决本题的关键． 【跟踪练习】1．定义在[]2013,2013-上的函数()f x 满足：对于任意的[],2013,2013a b ∈-，有()()()2012f a b f a f b +=+-,且0x >时，有()2012f x >，设()f x 的最大值和最小值分别为,M N ，则M N +的值为( )A. 2011 B ． 2012 C. 4022 D.4024【答案】Ｄ．【分析】由最值联想到函数的单调性，从而先考虑证明()f x 单调,令211,a x x b x =-=（其中12x x <）,则可证明()f x 为增函数，从而()()2013,2013M f N f ==-,再利用函数方程求出()()20132013f f +-的值即可令0a b ==,可得:()()()020*********f f f =-⇒=，4024M N ∴+=.2．已知函数()f x 是定义在R 上不恒为0的函数，且对于任意的实数,a b 满足(2)2f =,()()()f ab af b bf a =+,(2)(2),(),,()2n n n n nf f a n N b n N n**=∈=∈,考察下列结论： ①(0)(1)f f =；②()f x 为奇函数；③数列{}n a 为等差数列;④数列{}n b 为等比数列．其中正确的个数为 （ )A ．1 B.2 C.3 D ． 4 【答案】D ．【解析】考虑按照选项对函数方程中的,x y 进行赋值．①计算()()0,1f f ，令0a b ==，可得()00f =;令1x y ==,则()()()12110f f f =⇒=，∴(0)(1)f f =，①正确；② 使等式中出现()(),f x f x -,令,1a x b ==-，则()()()1f x xf f x -=--,需要计算出()1f -,结合方程可令1,1x y =-=-,则有()()121f f =--，即()10f -=,∴()()f x f x -=-，()f x 为奇函数，②正确;③从等差数列定义出发,考虑递推公式()()1112222n n n n n nf f a a +++-=-,因为()()()()12222222n n n n f f f f +=⋅=+,所以可得：()()()()1111122222212222n n n n n n n n nn nf f f f a a ++++++-=-=-=，从而判定{}n a 为等差数列，③正确;④若按照等比数列定义，考虑()()11212n n nn f b n b n f ++=⋅+,则不易于进行化简．可由③出发得到()2nf 的表达式:()1212f a ==，∴()11n a a n d n =+-=，即()22n n f n =⋅,∴()22n n n f b n==,从而可判定{}n b 是一个等比数列，④正确.3.【2017上海闵行二模】设函数()y f x =的定义域是R ,对于以下四个命题: （1) 若()y f x =是奇函数,则()()y f f x =也是奇函数; (2) 若()y f x =是周期函数，则()()y f f x =也是周期函数;（3) 若()y f x =是单调递减函数，则()()y f f x =也是单调递减函数；（４) 若函数()y f x =存在反函数()1y f x -=,且函数()()1y f x f x -=-有零点,则函数()y f x x =-也有零点.其中正确的命题共有Ａ.1个 Ｂ.2个 C.３个 Ｄ．4个 【答案】C4．已知函数()f x 对任意的,m n R ∈均有()()()f m n f m f n +=+,且当0x >时,()0f x > (1）求证：()f x 为奇函数；（２)求证：()f x 为R 上的增函数． 【答案】(1)详见解析；(２)详见解析. 【分析】试题分析:（1）要证明奇函数，则需要()(),f x f x -出现在同一等式中，所以考虑令,m x n x ==-，则有()()()0f f x f x =+-，再通过代入特殊值计算出()00f =即可；(2）思路：要证明单调递增,则需任取12,x x R ∈,且12x x <,去证明()1f x 与()2f x 的大小,结合等式，则需要让()1f x 与()2f x 分居等号的两侧,才能进行作差.所以考虑()2211x x x x =-+,进而21,m n x n x +==.只需判断()21f x x -的符号即可.试题解析:(1)令,m x n x ==-,则 ()()()0f f x f x =+-.令0,0m n ==，则()()()000f f f =+解得()00f =，()()f x f x ∴=--，()f x ∴为奇函数.（2)任取12,x x R ∈，且12x x <,令211,m x x n x =-=，代入方程可得:()()()211211f x x x f x x f x -+=-+⎡⎤⎣⎦,()()()2121f x f x f x x ∴-=-，21x x >，210x x ∴->，依题意可得：()210f x x ->，()()210f x f x ∴->即()()21f x f x >,()f x ∴为增函数．【评注】第（2)问将2x 拆分为()211x x x -+是本题证明的亮点，达到了让()1f x 与()2f x 分居等号的两侧的目的.５．设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称,对任意121,[0,]2x x ∈，都有1212()()()f x x f x f x +=.（1）设()12f =，求11(),()24f f ;(2）证明()f x 是周期函数.【答案】（1）4112,224f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(2)答案见解析.（２)证明:依题设()y f x =关于直线1x =对称，()()2,f x f x x R ∴=-∈．又()f x 是偶函数,()()()(),2,.f x f x f x f x x R ∴-=∴-=-∈将上式中x -以x 代换，得()()2,f x f x x R =+∈.这表明()f x 是Ｒ上的周期函数，且2是它的一个周期.考向３ 解不等式【例9】【2017广西教育质量诊断性联合考试】已知定义在R 上的奇函数()f x 在[)0,+∞上递减,若()()321f x x a f x -+<+对[]1,2x ∈-恒成立，则a 的取值范围为( ） A.()3,-+∞ B.(),3-∞- C ．()3,+∞ D ．(),3-∞ 【答案】C【点睛】本题关键步骤有:1.利用奇函数的性质可得()f x 在R 上是减函数；2.将原命题等价转化为3a x >- 31x ++在[]1,2- 上恒成立;3.利用导数工具求得()max f x ,从而求得正解． 【例10】【2017四川南充高级中学4月检测】已知函数()f x 在定义域R 上的导函数为()'f x ，若方程()'0f x =无解,且()20172017xf f x ⎡⎤-=⎣⎦,当()sin cosg x x x kx =--在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上与()f x 在R 上的单调性相同时，则实数k 的取值范围是( ）A.(],1-∞- Ｂ.(,2⎤-∞⎦ Ｃ．1,2⎡⎤-⎣⎦ D ．)2,⎡+∞⎣【答案】A【解析】因为方程()'0f x =无解，所以函数()f x 为单调函数,因此由()20172017xf f x ⎡⎤-=⎣⎦,得()2017x f x -=m(m 为常数）, 即()2017x f x m =+ 为单调增函数,因此()cos sin 0g x x x k =+-≥' 在在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立.πππ,cos sin 2sin 1,2224x x x x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈-∴+=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭，因此1k ≤-，选A ． 点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题(有解,恒成立,无解等），而不等式有解或恒成立问题,又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题．【例1１】【201７陕西西安铁一中学高三上学期第五次模拟考试】已知偶函数在上为增函数,在不等式恒成立,则实数的取值范围是 （ ） A ． Ｂ．Ｃ．D ．【答案】C【解析】由偶函数可知，可知不等式 恒成立，即恒成立，则可得恒成立．即且恒成立.由根的判别式可得.故本题选C .点睛:本题主要考查函数的奇偶性与单调性．对于抽象函数不等式，一般根据函数的奇偶性将它转化为的形式,然后利用函数的单调性将抽象函数不等式转化成具体的不等式,但不能改变变量的定义域.对于奇函数，其图像关于原点中心对称,由图知其在关于原点对称的区间单调性相同；偶函数的图像关于 轴对称，偶函数在关于原点对称的区间单调性相反.【例12】【20１7江西南昌三模】定义域为R 的函数()f x 满足(+3)=2()f x f x ，当[)1,2x ∈-时,2|1|,[1,0)()={1,[0,2)2x x x x f x x -+∈-⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭.若存在[4,1)x ∈--，使得不等式234()t t f x -≥成立,则实数t 的取值范围是_＿____＿． 【答案】][(),12,-∞⋃+∞【点睛】本题考查函数的解析式、抽象函数、函数与不等式,涉及函数与不等式思想、数形结合思想和转化化归思想,考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力,综合性较强,属于较难题型.先利用已知条件求1()=(+3)2f x f x 2|1|11,[4,-3)22={11,[-3,1)22x x x x x -+∈-⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,再利用数形结合思想观察图像求解不等式． 【跟踪练习】1．【201７重庆一中5月考】已知函数()()222x x f x x -=-,则不等式()()2110f x f ++<的解集是( )A ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ Ｂ．(),1-∞- Ｃ.12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,-+∞【答案】B【解析】()()f x f x -=- ,所以函数是奇函数， ()()()22222ln22ln20x x x x f x x x --='-++> ,所以函数是单调递增函数,那么不等式等价于()()2112111f x f x x +<-⇔+<-⇒<- ，故选B. 【点睛】本题考查了利用函数性质,包括奇偶性,单调性，解抽象不等式，本题的出题意图比较明显,重点是分析函数的性质,如果不用导数分析函数的单调性，也可以利用奇函数的性质,奇函数在对称区间的单调性一致，很明显,函数在[)0,+∞为增函数，那在定义域内也是增函数,这样判断起来会更快,简便.2．函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠,满足()()()f xy f x f y =+,()f x 在区间()0,+∞上单调递增,若m 满足()()313log log 21f m f m f ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭,则实数m 的取值范围是( )A ． []1,3B ． 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ． (]10,1,33⎛⎤⎥⎝⎦Ｄ. (]1,11,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】Ｄ.∴()()3133log log 2log f m f m f m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,所解不等式为()()3log 1f m f ≤，∵()f x 为偶函数,且区间()0,+∞上单调递增,∴自变量距离y 轴越近,则函数值越小,∴3log 1m ≤，即31log 1m -≤≤，解得133m ≤≤,因为3log 0,1m m ≠∴≠,∴m 的范围为(]1,11,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭.３.【２017衡水金卷】定义域为R 的偶函数()f x 满足对任意的x R ∈,有()()()21,f x f x f +=+且当[]2,3x ∈时，()221218f x x x =-+-，若函数()()log 1a y f x x =-+在R 上恰有六个零点，则实数a 的取值范围是( ） A.50,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B.5,15⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C.53,53⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．3,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】令1x =-，则()()()()11121f f f f =-+=，所以()10f =，所以()()2f x f x +=，即函数的周期为2，由此可画出函数()f x 和()log 1a y x =+的图像如下图所示．由图可知()322log 3,3a f a =-==,()542log 5,5a f a =-==,故53,53a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭．4．【２017云南昆明下学期第二次统测】定义“函数()y f x =是D 上的a 级类周期函数” 如下: 函数(),D y f x x =∈,对于给定的非零常数 a ,总存在非零常数T ,使得定义域D 内的任意实数x 都有()()af x f x T =+恒成立,此时T 为()f x 的周期．若()y f x =是[)1,+∞上的a 级类周期函数,且1T =,当[)1,2x ∈时， ()()221x f x x =+,且()y f x =是[)1,+∞上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为（ )A ．5,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)2,+∞ C.10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭Ｄ.[)10,+∞【答案】Ｃ5．已知定义在R 上的函数()f x ,对于任意实数,a b 都满足()()()f a b f a f b +=,且()10f ≠,当0x >时,()1f x >．(1）求()0f 的值;(2）求证:()f x 在(),-∞+∞上是增函数； （３)求不等式：()()2124f x x f x +<-的解集.【分析】(1)采用赋值法;(２）考虑证明()f x 单调递增，则需构造出()()12f x f x -，即可设21x x >且令211,a x x b x =-=,则有()()()2211f x f x x f x =-，从而()()()()212111f x f x f x x f x -=--⎡⎤⎣⎦，由210x x ->和已知条件可得:()2110f x x -->,所以需要证明()10f x >,即(),0x ∀∈-∞，()0f x >,可考虑结合题目条件和()01f =，令11,a x b x ==-,则有()()()()()1111100f f x f x f x f x =-⇒=>-，从而单调性可证；(3)本题并没有()f x 的解析式，所以考虑利用函数的单调性求解．由（1)(2）问可得()0f x >，从而()()()()22124024f x x f x x x f f x +<⇒++-<-，再根据单调性即可得到关于x 的不等式,解出不等式即可．()()()()()111110,f f x f x f x f x ∴=-=-．10x <,10x ∴->,()10f x ∴->,()()1110f x f x ∴=>-,()()()()2121110f x f x f x x f x ∴-=-->⎡⎤⎣⎦，即()()12f x f x <,()f x ∴在R 上单调递增.（3)解：()0f x >，()()()()22124124f x x f x x f x f x +<⇒+⋅-<-．()()()()222242434f x x f x f x x x f x x +-=++-=+-,且()01f =,()()2340f x x f ∴+-<．由（2）可得()f x 单调递增,2340x x ∴+-<,解得()4,1x ∈-．以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。
2023年高考数学全国乙卷第19题的向量解法
2023年高考数学全国乙卷第19题的向量解法首先，我们需要明确题目中的已知条件和未知数。
题目中已知条件是点$A(1,0)$，向量$\overset{\longrightarrow}{AB} = (3,4)$，点$B$在圆$x^{2} + y^{2} = 25$上，未知数是点$B$的坐标。
接下来，我们可以根据已知条件建立向量方程。
由于点$B$在圆上，向量$\overset{\longrightarrow}{AB}$与向量$\overset{\longrightarrow}{OB}$的关系可以表示为：$\overset{\longrightarrow}{AB} + \overset{\longrightarrow}{OB} =\overset{\longrightarrow}{OA}$其中$\overset{\longrightarrow}{OA} = (1,0)$。
然后，我们可以将已知条件代入方程中，解出点$B$的坐标。
根据向量加法的性质，我们有：$\overset{\longrightarrow}{OB} = \overset{\longrightarrow}{OA} -\overset{\longrightarrow}{AB} = (1,0) - (3,4) = (-2,-4)$由于点$B$在圆上，其坐标满足圆的方程，即：$(-2)^{2} + (-4)^{2} = 25$解得：$x^{2} + y^{2} = 25 \implies x = \pm \sqrt{25 - y^{2}} = \pm 5$由于点$B$的横坐标为负数，所以点$B$的坐标为$(-5,4)$。
最后，我们需要验证解的正确性。
由于点$B$在圆上，我们可以将点$B$的坐标代入圆的方程进行验证：$(-5)^{2} + 4^{2} = 25$验证通过，所以点$B$的坐标为$(-5,4)$。
2023全国乙卷数学第19题 解法
2023全国乙卷数学第19题解法题目：
设f（x）=x+sinx，曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线为l．
（1）求l的方程；
（2）证明：l与坐标轴都不垂直；
（3）若直线y=a（a∈R）与l和y=f（x）的图象都相切，求a的值．
（1）首先求导数f′（x）=1+cosx。
在x=1 时，f′（1）=1+cos1。
利用点斜式方程y−y1=m（x−x1），我们得到切线方程为y−（1+sin1）=（1+cos1）（x−1）。
化简得y=（1+cos1）x−cos1。
（2）为了证明切线与坐标轴都不垂直，我们需要证明f′（x）=1+cosx>0。
由于−1≤cosx≤1，故f′（x）≥0，即切线斜率非负。
因此，切线与坐标轴都不垂直。
（3）设直线y=a 与l 和y=f（x）的交点分别为（x1,a）和（x2,a）。
由于两交点都满足方程y=f（x），我们有a=x2+sinx2 和a=（1+cos1）x1−cos1。
由于两交点也满足切线方程，我们有（a−x2）=（1+cos1）（x1−x2）。
解这个方程组，我们得到a=（2+cos1）x2−2cos1。
（3）的解答：
由于a=x2+sinx2，我们有：
a−x2=sinx2
将这个结果代入到a=（1+cos1）x1−cos1 和（a−x2）=（1+cos1）（x1−x2），得到：sinx2=（1+cos1）（x1−x2）
进一步整理，得到：
x2=sinx2（1+cos1）（x1−x2）
由于x2 和x1 是两个不同的点，所以x1=x2。
结合前面的结果，我们可以求出 a 的值。
高考数学 第19题优美解 试题
试题(shìtí)〔、 理科(lǐkē)19〕
如图，在四棱锥(léngzhuī)P-ABCD中，底面ABCD是矩形，
PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.AB=2，
AD=2 ，PA=2.求：
〔1〕三角形PCD的面积；〔6分〕
〔2〕异面直线BC与AE所成的角的大小.〔6分〕
试题或ห้องสมุดไป่ตู้解法赏析.
此题主要考察直线与直线、直线与平面的位置关系，考察空间想象才能和推理论证才能．综合考察空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考察空间几何体的体积公式的运用.此题源于?必修2?立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考察空间想象才能，属于中档题．
内容总结
由此可知，异面直线(zhíxiàn)BC与AE所成的角的大小(dàxiǎo)是
解析(jiě xī)2
取PB中点F，连接(liánjiē)EF、AF，那么
EF∥BC，从而∠AEF〔或者其补角〕是异面直线
BC与AE所成的角
在 中，由EF= 、AF= 、AE=2
知 是等腰直角三角形，
所以∠AEF= .
因此异面直线BC与AE所成的角的大小是
（1）2021年高考数学〔〕第19题〔理〕试题优美解 试题〔、 理科19〕如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.AB=2，AD=2，PA=2.求：〔1〕三角形PCD的面积 （2）立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考察空间想象才能，属于中档题．
解析：〔1〕因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，
[精品]2021上海高考题(理)第19题讲评
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2021上海高考题（理）第19题讲评
大罕
19、（本题满分12分）如图：在长方体ABCD-A＇B＇C＇D＇中，AB=2，AD=1 ,AA＇=1,
⑴证明直线BC＇//平面D＇AC；
⑵并求直线BC＇到平面D＇AC的距离.
解：⑴∵四边形ABC＇D＇为平行四边形，∴BC＇∥AD＇，
∴BC∥平面D＇AC；
⑵由⑴可知，直线BC＇到平面D＇AC的距离即为点B到平面D＇AC的距离，设为h.
∵ V B-ACD＇=V D＇-BAC ，∴ S△ACD＇×h=S△ABC×D D＇，
由AC=√5，C D＇=√5，D＇A=√2 知S△ACD＇＝3/2，又易知S△ABC＝1/2，D D＇＝2，
因此有：(3/2)h=1, ∴h＝2/3.
评：上海高考题的惯例是不在立体几何上设关置卡来为难学生，本次亦如此.证明直线与平面平行，属于最基本的内容，当考无异；求点到平面的距离，直接法是作出点到平面的垂线段，间接法是用等积法.等积法应属基本技能，当考无异.
从理论上讲，用立体几何题难倒学生，是容易办到的。
这与教材内容、学时安排和教学要求不符合。
所以，立体几何试题考最常规的、最常用的，这个趋势还要沿袭下去.
等积法也常常用于求两条异面直线的距离.例如，正方体ABCD—A1B1C<1D1的棱长为1，⑴求BD1与CC1所成角的正切值；⑵求BD1与CC1的距离(答：√2,√2/2)．可见，等积法作为基本方法，教学中不可忽视它.。
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2012年高考数学（上海）第19题（理）试题优美解
试题（上海、 理科19）
如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，
PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.已知AB=2，
AD=22，PA=2.求：
（1）三角形PCD 的面积；（6分）
（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.（6分）
解析：（1）因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD ，又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面PAD ， 从而CD ⊥PD . ……3分 因为PD=32)22(222=+，CD =2，
所以三角形PCD 的面积为3232221=⨯⨯
（2）解析1如图所示，建立空间直角坐标系，
则B (2, 0, 0)，C (2, 22,0)，E (1, 2, 1)， )1,2,1(=，)0,22,0(=.
设AE 与BC 的夹角为θ，则
222224cos ===⨯⋅BC
AE θ，θ=4π. 由此可知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4
π
解析2 取PB 中点F ，连接EF 、AF ，则
EF ∥BC ，从而∠AEF （或其补角）是异面直线 BC 与AE 所成的角
在AEF ∆中，由EF =2、AF =2、AE =2
知AEF ∆是等腰直角三角形，
所以∠AEF =4
π. 因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4
π
试题或解法赏析.
本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.y A B C D P
E F
本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．。