《电磁场与电磁波》(第四版)习题集：第8章 电磁辐射

第8章 电磁辐射

前面讨论了电磁波的传播问题，本章讨论电磁波的辐射问题。时变的电荷和电流是激发电磁波的源。为了有效地使电磁波能量按所要求的方向辐射出去，时变的电荷和电流必须按某种特殊的方式分布，天线就是设计成按规定方式有效地辐射电磁波能量的装置。

本章先讨论电磁辐射原理，再介绍一些常见的基本天线的辐射特性。

8.1滞后位

在洛仑兹条件下，电磁矢量位A 和标量位ϕ满足的方程具有相同的形式

22

2t ϕρ

ϕμεε∂∇-=-∂ （8.1.1）

J A A μμε-=∂∂-∇222

t

（8.1.2）

我们先来求标量位ϕ满足的方程式（8.1.1）。该式为线性方程，其解满足叠加原理。设标量位ϕ是由体积元'V ∆内的电荷元'q V ρ∆=∆产生的，'V ∆之外不存在电荷，则由式（8.1.1）'V ∆之外的标量位ϕ满足的方程

22

20t

ϕ

ϕμε∂∇-=∂ （8.1.3）

可将q ∆视为点电荷，它所产生的场具有球对称性，此时标量位ϕ仅与r 、t 有关，与θ和φ无关，故在球坐标下，上式可简化为

222

210r r r r t

ϕϕ

με∂∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂∂⎝⎭ （8.1.4） 设其解()()

,,U r t r t r

ϕ=

，代入式（8.1.4）可得 012

2222=∂∂-∂∂t

U

v r U （8.1.5） 其中，με

1

=

v 。该方程的通解为

(),()()r r

U r t f t g t v v

=-++ （8.1.6）

式中的()r f t v -和()r g t v +分别表示以()r t v -和()r

t v

+为变量的任意函数。所以q ∆周围的

场为

()11,()()r r

r t f t g t r v r v

ϕ=

-++ （8.1.7） 式（8.1.7）中第一项代表向外辐射出去的波，第二项代表向内汇聚的波。在讨论发射天线的

电磁波辐射问题时，第二项没有实际意义，取0=g ，而f 的具体函数形式需由定解条件来确定。此时

()1,()r

r t f t r v

ϕ=

- （8.1.8）

为得到()r f t v

-的具体形式，将式(8.1.8)与同样位于原点的准静态电荷元'V ρ∆产生的标量位()(0,)'

4t V r r

ρϕπε∆∆=比较，可以看出应取

()1(0,)'

,()4

r t r v V r t f t r v r ρϕπε-∆∆=∆-=

（8.1.9） 若电荷元'V ρ∆不是位于原点，而是位于'r ，则在场点r 处产生的标量位为

()(,)

1,'4t v t V ρϕπε''--∆=∆'

-r r r r r r

由场的叠加性可得体积V 内分布的电荷产生的标量位为

()(,)

1

,'4V

t v t dV ρϕπε''--=

'

-⎰

r r r r r r （8.1.10）

上式表明，t 时刻场点r 处的标量位，不是决定于同一时刻的电荷分布，而是决定于较早时刻

t t v ''=--r r 的电荷分布。换句话说，观察点的位场变化滞后于源的变化，所推迟的时间v '-r r 恰好是源的变动以速度με

1

=v 传播到观察点所需要的时间，这种现象称为滞后现

象，故将式（8.1.10）表示的标量位(),t ϕr 称为滞后位。

由于矢量位A 所满足的方程在形式上与标量位ϕ所满足的方程相同，我们可将矢量位

(),t A r 分解为三个分量，因而每个分量都应具有与式（8.1.10）相似的解。故矢量滞后位可

由下式表示

()(,)

,'4V

t v t dV μ

π

''--=

'

-⎰

J r r r A r r r （8.1.11）

对于正弦时变场，则式（8.1.10）和（8.1.11）的复数形式为

1()()'4jk V

e dV ρϕπε

'

--'=

'

-⎰

r r

r r r r （8.1.12）

()()'4jk V

e dV μπ

'

--'=

'

-⎰

r r J r A r r r （8.1.13）

式中2k π

λ

==

为波数。

至此可以看出，根据天线上的电流分布来计算由其产生的电磁场的步骤是：利用式（8.1.13），由给定的J 求出A ，再根据=∇⨯B A 求得B ，最后由j ωε∇⨯=H E 求得E 。

8.2 电偶极子的辐射

在几何长度远小于波长的线元上载有等幅同相的电流，这就是电偶极子。关于电偶极子产生的电磁场的分析计算，是线形天线工程计算的基础。

设线元上的电流随时间作正弦变化，表示为

()cos Re j t

i t I t Ie ωω⎡⎤==⎣⎦

如图8.2.1所示，电偶极子沿z 轴放置，中心在坐标原点。元的长度为l 、横截面积为S ∆，故

有

d 'd d z

z I

V S z I z S '''=∆='

∆J e e 用d 'z I z e 替换d 'V J ，得载流线元在点P 产生的矢量位为

d 'z '

-r r

（8.2.1）

考虑到l <

0()4jkr

z

Il r e r

μπ-=A e （8.2.2） 它在球坐标系中的三个坐标分量为

00cos cos 4sin sin 40jkr

r

z jkr z Il A A e r

Il A A e r A θφμθθπμθθπ--⎧==⎪⎪

⎪

=-=-⎨⎪

=⎪⎪⎩

（8.2.3） 点P 的磁场强度为

200sin sin 11sin r r

r r r r

A rA r A φθθ

φ

θ

θμμθφθ∂∂∂

=∇⨯=

∂∂∂e e e H A 将式（8.2.3）代入上式，得

+q t -图8.2.1 电偶极子