解析几何中的与三角形面积相关的问题

解析几何中的与三角形面积相关的问题类型对应典例 椭圆中有关三角形的面积最值 典例1 抛物线中有关三角形的面积最值 典例2 椭圆中有关三角形的面积的取值范围 典例3 抛物线中有关三角形的面积的取值范围 典例4 椭圆中由三角形面积问题求参数值或范围 典例5 抛物线中由三角形面积问题求参数值或范围 典例6 椭圆中由三角形面积问题求直线方程 典例7 抛物线中由三角形面积问题求直线方程典例8【典例1】已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为22，且与抛物线x y =2交于M ，N两点，OMN ∆（O 为坐标原点）的面积为22 （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点）1F ，2F 为左、右焦点，2AF 的延长线与椭圆交于B 点，AO 的延长线与椭圆交于C 点，求ABC ∆面积的最大值．【解析】（1）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与抛物线x y =2交于M ，N 两点，可设(M x x ，(,)N x x -， ∵OMN ∆的面积为22∴22x x =2x =，∴2)M ，(2,2)N ，由已知得2222222421c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得22a =2b =，2c =，∴椭圆C 的方程为22184x y +=.（2）①当直线AB的斜率不存在时，不妨取A，(2,B，(2,C -，故142ABC ∆=⨯=；②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(2)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程22(2)184y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得()2222218880k x k x k +-+-=，则()()()222264421883210k k k k ∆=-+-=+>，2122821k x x k +=+，21228821k x x k -⋅=+，||AB ==22121k k +=+，点O 到直线02=--k y kx的距离d ==，因为O 是线段AC 的中点，所以点C到直线AB 的距离为2d =，∴1||22ABCS ABd ∆=⋅2211221k k ⎛⎫+=⋅⎪+⎝⎭= ∵()()()()22222222211211k k k k kk k ++=⎡⎤+++⎣⎦()()222211441k k kk +=+，又221k k ≠+，所以等号不成立. ∴ABC S ∆=<综上，ABC ∆面积的最大值为【典例2】已知抛物线()02:2>=p py x C ，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，1l 与2l 交于点M . （Ⅰ）求p 的值；（Ⅰ）若21l l ⊥，求MAB ∆面积的最小值.【解析】(Ⅰ)由题意知，抛物线焦点为⎪⎭⎫⎝⎛2,0p ，准线方程为2p y -=焦点到准线的距离为2，即2=p . (Ⅰ)抛物线的方程为y x 42=，即241x y =，所以x y 21=' 设()11,y x A ，()22,y x B ，()1121124:x x x x y l -=-()2222224:x x x x y l -=-由于21l l ⊥，所以12221-=⋅x x ，即421-=x x 设直线l 方程为m kx y +=，与抛物线方程联立，得⎩⎨⎧=+=yx mkx y 42，所以0442=--m kx x016162>+=∆m k ，k x x 421=+，4421-=-=⋅m x x ，所以1=m ，即1:+=kx y l联立方程⎩⎨⎧-==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=124242222211y kx x x x y x x x y ，即()1,2-k M M 点到直线l 的距离2221121112kk kk k d ++=+++⋅=()()[]()22122121441k x x x x k AB +=-++=所以()()4141121421232222≥+=++⨯+⨯=k kk k S当0=k 时，MAB ∆面积取得最小值4.【典例3】已知椭圆E ：()012222>>=+b a b y a x 的左焦点为()0,1-F ，且过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,1A ，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅰ）点B 为椭圆E 上的动点，过点F 作平行于OB 的直线l 交椭圆于C ，D 两点，求BCD ∆ 面积的取值范围．【解析】（Ⅰ）依题意得，左焦点()0,1-F ，则右焦点()0,1F ' 即1=c ，且a F A AF 222=='+，则2=a得1222=-=c a b ，∴椭圆方程为1222=+y x.（Ⅰ）当直线CD 的斜率不存在时，2=CD ， 此时221221=⨯⨯=∆BCD S . 当直线CD 的斜率存在时，设直线CD 的方程为()()01≠+=k x k y 0．由()⎩⎨⎧=++=12122y x x k y ，消去y 得：()022*******=-+++k x k x k 显然0>∆，设()11,y x C ，()22,y x D ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+-=+222122212122214k k x x k k x x ()()22222222222221221122218812122421411kk k k k k k k k k x x k CD ++=++⋅+=+-⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅+=-⋅+= 因为AB CD //，所以点A 到直线CD 的距离即为点O 到直线CD 的距离21kk d +=，所以()()()222222222211221121211221k k k k k k kk k k d CD S ACD++=++⋅=+⨯++=⨯⨯=∆()2224242111221444422k k k k k +-=+++=.因为1212>+k ，所以()1211022<+<k ，所以220<<∆ACDS．综上，⎥⎦⎤ ⎝⎛∈∆22,0ACD S ．【典例4】已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点F 垂直于x 轴的直线与抛物线C 相交于,A B 两点，抛物线C 在,A B 两点处的切线及直线AB 所围成的三角形面积为4. （1）求抛物线C 的方程；（2）设,M N 是抛物线C 上异于原点O 的两个动点，且满足OM ON OA OB k k k k ⋅=⋅，求OMN ∆面积的取值范围.【解析】（1）依题意得⎪⎭⎫⎝⎛p p A ,2，⎪⎭⎫ ⎝⎛-p p B ,2， 由px y 2=，得pxpy 2='， ∴抛物线C 在A 处的切线斜率为1，由抛物线C 的对称性，知抛物线C 在B 处的切线斜率为1-，抛物线在A 处的切线方程为2px p y -=-，令0=y ，得2px -=，4221=⋅⋅=∴p p S ，解得2=p .∴抛物线C 的方程为x y 42=.（2）由已知可得4-=⋅OB OA k k ，设⎪⎭⎫ ⎝⎛121,41y y M ，⎪⎭⎫⎝⎛222,41y y N ，则4416121222121-=⇒-==⋅y y y y y y k k ON OM 令直线MN 的方程为n ty x +=，联立方程组⎩⎨⎧+==n ty x xy 42，消去x 得0442=--n ty y ， 则n y y 421-=，t y y 421=+，∵421-=y y ，1=∴n .∴直线MN 过定点()0,1，()1216162142121222122121+=+=-+=-=∴∆t t y y y y y y S OMN . 02≥t ，2≥∴∆OMN S .综上所示，OMN ∆面积的取值范围是[)∞+,2.【典例5】已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆的离心率为12，过椭圆1C 的左焦点1F ，且斜率为1的直线l ，与以右焦点2F的圆2C 相切. （1）求椭圆1C 的标准方程；（2）线段MN 是椭圆1C 过右焦点2F 的弦，且22MF F N λ=，求1MF N ∆的面积的最大值以及取最大值时实数λ的值.【解析】（1）设()1,0F c -，()()2,00F c c >， 直线l 斜率为1，且过椭圆1C 的左焦点1F .∴直线l 的方程为：y x c =+，即0x y c -+=.直线l 与圆2C 相切，∴圆心2F 到直线l的距离为d ==1c =.椭圆1C 的离心率为12，即112e e a a ===，解得：2a =， 根据：222413b a c =-=-=∴椭圆1C 的方程为22143x y +=. （2）由（1）得()11,0F -，()21,0F ，22MF F N λ=∴直线MN 的斜率不为0，∴设直线MN 的方程为：()1x ty t R =+∈，将直线MN 的方程与椭圆方程联立可得：221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消掉y 可得：()2243690t y ty ++-=，()223636430t t ∆=++>恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1y ，2y 是上述方程的两个不等根，根据韦达定理可得：122643t y y t -∴+=+，122943y y t -=+. 1MF N ∴∆的面积：1121212MF N S F F y y ∆=⋅⋅-1212122y y y y =⨯⨯-=-=243t ==+m =，则m 1≥，122-=m t ，∴223431t m +=+可得：121231MF NmSm =⨯+. 令()()2131mf m m m =≥+ ∴()()22213031m f m m-'=<+恒成立，∴函数()f m 在[)1,+∞上为减函数，故()f m 的最大值为：()114f =， ∴1MF N ∆的面积的最大值为11234⨯=， 当且仅当1m =，即0t =时取最大值，此时直线MN 的方程为1x =，即直线MN 垂直于x 轴，此时22MF F N =，即1λ=.综上所述，1MF N ∆的面积的最大值3，1λ=时1MF N ∆的面积的最大.【典例6】设曲线()02:2>=p py x C ，点F 为C 的焦点，过点F 作斜率为1的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点A ，B 的横坐标的倒数和为1-. （1）求曲线C 的标准方程； （2）过焦点F 作斜率为k 的直线l '交曲线C 于M ，N 两点，分别以点M ，N 为切点作曲线C 的切线相交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点Q ，求三角形MNQ 面积的最小值.【解析】（1）由题意可知⎪⎭⎫⎝⎛2,0p F ，故可设直线l 的方程为02-=-x p y 即02=+-p y x联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=0222py x pyx 可得0222=--p px x ，⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+>+=∆∴2222044p x x p x x p p B A B A 由题意知111-=+B A x x ，即1-=⋅+B A B A x x x x ，即122-=-p p ，得2=p . ∴曲线C 的标准方程为y x 42=.（2）由题意知直线l '的斜率是存在的，故设l '的方程为1+=kx y ， 设l '与曲线C 相交于点()11,y x M ，()()2122,x x y x N ≠联立方程⎩⎨⎧+==142kx y y x 可得0442=--kx x ，⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+>+=∆∴440161621212x x k x x k ()()()1416161222+=++=∴k kk MN .由y x 42=，得241x y =，x y 21='∴. 121x k MP =∴，()11121:x x x y y l MP -=-∴……①221x k NP =∴，()22221:x x x y y l NP -=-∴……②上述两式相减得：k xx x p 2221=+=，k x Q 2=∴.∴点Q 坐标为()0,2k∴点Q 到直线l 的距离为11222++=k k d Q .()()112211214212122222++=++⨯+⨯=⋅=∴∆k k k k k d MN S Q QMN又R k ∈ ，02≥∴k .易知当02=k 时，QMN S ∆的面积最小，且为2， 即()2min =∆QMN S .【典例7】在平面直角坐标系中，()2,0A -，()2,0B ，设直线AC 、BC 的斜率分别为1k 、2k 且1212k k ⋅=- ，（1）求点C 的轨迹E 的方程；（2）过()F 作直线MN 交轨迹E 于M 、N 两点，若MAB △的面积是NAB △面积的2倍，求直线MN 的方程．【解析】（1）由题意，设(),C x y ，则12y k x =+，22y k x =-，又由2122142y k k x ==--，整理得22142x y +=，由点,,A B C 不共线，所以0y ≠，所以点C 的轨迹方程为221(0)42x y y +=≠.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，易知直线MN 不与x轴重合，设直线:MN x my =-联立方程组22142x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，整理得得()22220m y +--=，易知>0∆，且1222y y m +=+，122202y y m -=<+ 由2MAB NABSS=，故122y y =，即122y y =-，从而()2212122122141222y y y y m y y m y y +-==++=-+， 解得227m =，即7m =±，所以直线MN的方程为07x y -=或07x y +=． 【典例8】已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，点,A B 在C 上，F 为线段AB 的中点，4AB =.（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 交于,M N 两点.若C 上仅存在三个点(1,2,3)i K i =，使得i MNK △的面积等于16，求l 的方程.【解析】解法一：（1）由抛物线的对称性，可知x AB //轴，且,A B 的坐标分别为2,,2,22p p ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以422pp =⨯，解得2p =，故C 的方程为24x y =. （2）如图，作与l 平行且与C 相切的直线'l ，切点为K .由题意，可知MNK 的面积等于16. 设l 的方程为1y kx =+，方程24x y =可化为214y x =，则1'2y x =，令'y k =，解得2x k =，将2x k =代入24x y =，得2y k =，故()22,K k k ，所以K 到l 的距离22222111k k d k k -+==++由24,1,x y y kx ⎧=⎨=+⎩消去y ，得2440x kx --=， 从而12124,4x x k x x +==-， 所以()()22212121441MN k x x x x k =++-=+，故MNK ∆的面积(2212112MN d k k ⋅=++从而(2221116k k ++=， 解得3k =3k =所以l 的方程为31y x =+或31y x =+.解法二：（1）设()()0000,,','A x y B x y ，则2002x py =，200'2'x py =，因为F 为AB 的中点，所以00'0x x +=，00'y y p +=，故00'2py y ==，从而02AB x =，故02x =， 所以422pp =⨯，解得2p =，故C 的方程为24x y =.（2）直线l 斜率显然存在，设直线l 的方程为1y kx =+.由24,1,x y y kx ⎧=⎨=+⎩消去y ，得2440x kx --=， 设()()1122,,,M x y N x y ，则12124,4x x k x x +==-，所以()241MN k ==+，点K 在C 上，设点21,4K m m ⎛⎫⎪⎝⎭，则点K 到直线l的距离d =MNK ∆的面积等于16， 所以关于m 的方程()22114111624k m ⨯+=-+=恰有三个不同实根，即2114m km --=恰有三个不同实根， 所以2m k =，()22122114k k k k -⋅-=+=，解得k =k =所以l 的方程为1y =+或1y =+.1. 已知离心率为12的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点与抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点F 重合，且点F 到E 的准线的距离为2.（1）求C 的方程；（2）若直线l 与C 交于,M N 两点，与E 交于,A B 两点，且4OA OB ⋅=-（O 为坐标原点），求MNF ∆面积的最大值. 【解析】（1）因为点x 到E 的准线的距离为2，所以2p =，(1,0)F ，由2221,1,2,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以C 的方程为22143x y += （2）由（1）知抛物线E 的方程为24y x =.要使直线l 与抛物线E 交于两点，则直线l 的斜率不为0，可设l 的方程为x my n =+，由2,4,x my n y x =+⎧⎨=⎩得2440y my n --=，所以2(4)160m n ∆=-+>，得20m n +>. 设()()1122,,,A x y B x y 则12124,4,y y m y y n +=⎧⎨=-⎩ 所以22222121212()16441616y y y y n x x n =⋅===，因为4OA OB，所以12124x x y y +=-，所以244n n -=-，所以2n =， 即直线l 的方程为2x my =+，所以直线l 过椭圆C 的右顶点(2,0)，不妨设(2,0)M 33(,)N x y，3y 3y ≠0，所以31||||22MNF S MF y =△≤，当且仅当3y =max ()MNF S =△. 2. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点()2,1，且离心率为2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）若过原点的直线1l 与椭圆C 交于P 、Q两点，且在直线2:0l x y -+=上存在点M ，使得MPQ ∆为等边三角形，求直线1l 的方程．【解析】（Ⅰ）由题22222411a b c e a a b c ⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===6222c b a ，∴椭圆C 的方程为22182x y+=. （Ⅰ）由题，当1l 的斜率0=k 时，此时24=PQ ， 直线062:2=+-y x l 与y 轴的交点()62,0满足题意；当1l 的斜率0≠k 时，设直线1:,l y kx =与椭圆联立22182y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得()84122=+x k ，22814x k =+，设()00,y x P ，则()00,y x Q --，222002288 ,,1414k x y PO k k ∴==∴==++ 又PQ 的垂直平分线方程为x ky 1-=，由10y x k x y ⎧=-⎪⎨⎪-+=⎩，解得11x k y k ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， M ,11k k ⎛⎫∴- ⎪ ⎪++⎝⎭，MO ∴=， ∵MPQ ∆为等边三角形，,MO ∴=解得0=k (舍去)或32=k ， ∴直线1l 的方程为x y 32=. 综上可知，直线1l 的方程为0=y 或x y 32=. 3.已知点A ，B 的坐标分别为()2,0-，()2,0，三角形ABM 的两条边AM ，BM 所在直线的斜率之积是34-.（I ）求点M 的轨迹方程：（II ）设直线AM 方程为()20x my m =-≠，直线l 方程为2x =，直线AM 交l 于P 点，点P ，Q 关于x 轴对称，直线MQ 与x 轴相交于点D .若APD ∆面积为62，求m 的值.【解析】（1）设点M 的坐标为(),x y ，因为点A B 、的坐标分别为()20-，、()20，， 所以直线AM 的斜率()22AM y k x x =≠-+，直线BM 的斜率()22BM yk x x =≠-， 由题目可知3224y y x x ⋅=-+-，M 的轨迹方程为()221243x y x +=≠±； （2）直线AM 的方程为()20x my m =-≠，与直线l 的方程2x =联立，可得点42,P m ⎛⎫⎪⎝⎭，故42,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.将2x my =-与22143x y +=联立，消去x ，整理得()2234120m y my +-=，解得0y =，或21234my m =+，根据题目可知点2226812,3434m m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，由42,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭可得直线MQ 的方程为()2221246842203434mm x y m m m m ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫+---+= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令0y =，解得226432m x m -=+，故2264032m D m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，， 所以2222641223232m m AD m m -=+=++，APD ∆的面积为22224112423232m m m m m ⨯⨯=++ 又因为APD ∆的面积为6，故2242632m m =+整理得232620m m -+=，解得63m =，所以63m =±. 4. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>3其短轴的端点分别为,,||2A B AB =，且直线,AM BM 分别与椭圆C 交于,E F 两点，其中点1,2M m ⎛⎫⎪⎝⎭，满足0m ≠，且3m ≠（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）若BME ∆面积是AMF ∆面积的5倍，求m 的值.【解析】（Ⅰ）由题意可得：222322c e a AB b a b c ⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：222413a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，椭圆的方程为2214x y += .（Ⅰ）()()10,1,0,1,,2A B M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭且0m ≠，∴直线AM 的斜率为112k m =-，直线BM 的斜率为232k m =， ∴直线AM 的方程为112y x m =-+，直线BM 的方程为312y x m=-，由221,411,2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得()22140m x mx +-=， ∴240,1mx x m ==+， ∴22241,11m m E m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.由221,431,2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()229120m x mx +-=， ∴2120,9mx x m ==+， ∴222129,99m m F m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.∵11sin sin 22AMF BME S MA MF AMF S MB ME BME ∆∆=∠=∠，，AMF BME ∠=∠， 5AMFBMESS=，∴5MA MF MB ME =， ∴5MA MB MEMF=∴22541219m m mm m m m m =--++ ∵0m ≠，且m ≠∴整理方程得21m =， ∴1m =±为所求.5．已知椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的右焦点为()0,1F ，离心率为22.（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点F 的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，若OMN ∆（O 为坐标原点）的面积为32，求直线l 的方程.【解析】（1）由题意可知1=c ， 离心率22=a c ，所以2=a 所以1222=-=c a b所以椭圆C 的方程为1222=+y x .（2）由题意可以设直线l 的方程为1+=my x ，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+11222my x y x 得()012222=-++my y m ， ()()018244222>+=++=∆m m m设()11,y x M ，()22,y x N 所以22221+-=+m m y y ，21221+-=m y y 所以()21224222142121222221221212++⋅=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+=-=∆m m m m m y y y y y y OF S OMN因为OMN ∆的面积为32，所以322122=++m m ，解得1±=m . 所以直线l 的方程为01=-+y x 或01=--y x .6. 已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，若点P 在C 上，点E 在l 上，且PEF∆是边长为8的正三角形． （1）求C 的方程；（2）过点()1,0的直线n 与C 交于,A B 两点，若23FA FB ⋅=-，求FAB ∆的面积. 【解析】（1）由题知，PE PF =，则l PE ⊥． 设准线l 与x 轴交于点D ，则DF PE //．又PEF ∆是边长为8的等边三角形，︒=∠60PEF ，︒=∠∴60EFD ，4218cos =⨯=∠⋅=EFD EF DF ，即4=P ．∴抛物线C 的方程为x y 82=.（2）设过点()1,0的直线n 的方程为1+=ty x ，联立⎩⎨⎧+==182ty x x y ，得0882=--ty y ．设()11,y x A ，()22,y x B ，则t y y 821=+，821-=⋅y y ．()()()1111212122121=+++⋅=++=⋅y y t y y t ty ty x x ． ()28222121+=++=+t y y t x x ．由23-=⋅，得()()()()2121221122,2,2y y x x y x y x +--=-⋅-()()23842821422212121-=-++-=+++-=t y y x x x x ，解得1±=t ．不妨取1=t ，则直线方程为01=--y x ．()383282412212212=+⋅=-+⋅+=y y y y t AB ． 而F 到直线01=--y x 的距离222121=-⨯=d ．FAB ∆∴的面积为12⨯=． 7. 已知曲线G 上的点到点(1,0)F 的距离比它到直线3x =-的距离小2.（1）求曲线G 的方程. （2）是否存在过F 的直线l ，使得l 与曲线G 相交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A '，且A BF '∆的面积等于4？若存在，求出此时直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）设(),S x y 为曲线G 上任意一点，所以点S 到()1,0F 的距离与它到直线1x =-的距离相等，根据抛物线的定义得曲线G 是以()1,0F 为焦点，直线1x =-为准线的抛物线， 所以曲线G 的方程为24y x =.（2）设直线l 的方程为1x my =+，与抛物线C 的方程联立，得241y x x my ⎧=⎨=+⎩，消去x ，得2440y my --=.设()11,A x y ，()22,B x y ，()22164416160m m ∆=-⨯-=+>恒成立，则124y y m +=，124y y =-.441221212121====-=-='∆'∆'∆m y my my y x y S S S F A A B A A BF A ， 解得1m =±，则直线为01=-±y x .8. 已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线距离为2. （1）若点(1,1)E ，且点P 在抛物线C 上，求PF PE +的最小值；（2）若过点(0,)N b 的直线l 与圆22:(2)4M x y +-=相切，且与抛物线C 有两个不同交点,A B ，求AOB ∆的面积. 【解析】（1）根据题意可知2p = 所以抛物线方程为24x y =则抛物线C 焦点为(0,1)F ，准线为1y =-； 记点,P E 到抛物线C 准线的距离分别为12,d d ，故12||||||2PE PF PE d d +=+≥=，等号成立当且仅当PE 垂直于准线， 故||||PE PF +的最小值为2. （2）设()11,A x y ，()22,B x y由题意知，直线l 斜率存在，设直线l 的方程为：b kx y += 将b kx y +=与24x y =联立得2440x kx b --=， 由韦达定理得12124,4x x k x x b +==-， 由()0,2M 到直线l 的距离为12d ==得：2244b b k -=，又||AB ==点O 到直线l 的距离为2d =所以2|ABC S b b ∆===9. 已知抛物线()02:2>=p py x C 的焦点为F ，准线为l ，若点P 在C 上，点E 在l 上，且PEF ∆是周长为12的正三角形． （1）求C 的方程； （2）过点F 的直线与抛物线相交于,A B 两点，抛物线在点A 处的切线与l 交于点N ，求ABN ∆面积的最小值.【解析】（1）由PEF ∆是周长为12的等边三角形，得=4PE PF EF ==，又由抛物线的定义可得PE l ⊥.设准线l 与y 轴交于D ，则DF PE //，从而︒=∠=∠60EFD PEF 在Rt EDF 中，2214cos =⨯=∠⋅=EFD EF DF ，即2=p . 所以抛物线C 的方程为24x y =.（2）依题意可知，直线AB 的斜率存在，故设直线AB 的方程为：1y kx =+，联立24,1,x y y kx ⎧=⎨=+⎩消去y 可得，2440x kx --=.设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,4x x k x x +==-. 所以2121AB k x =+- ()22121214k x x x x =++-2211616k k ++()241k =+.由24x y =，得2x y ='，所以过A 点的切线方程为()1112x y y x x -=-， 又2114x y =，所以切线方程可化为42211x x x y -⋅=.令1y =-，可得k x y x x x 21221411121=-⋅=-=， 所以点()1,2-k N ，所以点N 到直线AB 的距离12122222+=++=k k k d ，所以()4142132≥+=⋅=∆k d AB S ABN ，当0k =时，等号成立面积的最小值为4.所以ABN。