解析几何中的与三角形面积相关的问题

解析几何中的与三角形面积相关的问题

类型

对应典例 椭圆中有关三角形的面积最值 典例1 抛物线中有关三角形的面积最值 典例2 椭圆中有关三角形的面积的取值范围 典例3 抛物线中有关三角形的面积的取值范围 典例4 椭圆中由三角形面积问题求参数值或范围 典例5 抛物线中由三角形面积问题求参数值或范围 典例6 椭圆中由三角形面积问题求直线方程 典例7 抛物线中由三角形面积问题求直线方程

典例8

【典例1】已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2

2

，且与抛物线x y =2交于M ，N

两点，OMN ∆（O 为坐标原点）的面积为22 （1）求椭圆C 的方程；

（2）如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点）1F ，2F 为左、右焦点，2AF 的延长线与椭圆交于B 点，AO 的延长线与椭圆交于C 点，求ABC ∆面积的最大值．

【解析】（1）椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>与抛物线x y =2交于M ，N 两点，

可设(M x x ，(,)N x x -， ∵OMN ∆的面积为22

∴22x x =2x =，∴2)M ，(2,2)N ，

由已知得222222

242

1c a

a b a b c ⎧=⎪

⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩

，解得22a =2b =，2c =，

∴椭圆C 的方程为22

184

x y +=.

（2）①当直线AB

的斜率不存在时，不妨取A

，(2,B

，(2,C -，故

1

42

ABC ∆=⨯=；

②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(2)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，

联立方程22(2)18

4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得()2222

218880k x k x k +-+-=，

则()()()2222

64421883210k k k k ∆=-+-=+>，

2122821k x x k +=+，212288

21

k x x k -⋅=+，

||AB =

=

22121k k +=+，

点O 到直线02=--

k y kx

的距离d =

=

，

因为O 是线段AC 的中点，所以点C

到直线AB 的距离为2d =

，

∴1

||22ABC

S AB

d ∆=

⋅2211221k k ⎛⎫+=⋅

⎪+⎝⎭

= ∵

()

()

()()22222

2

2

2211211k k k k k

k k ++=

⎡⎤

+++⎣⎦()

()

222211

4

41k k k

k +=

+，又221

k k ≠+

，所以等号不成立. ∴

ABC S ∆=<

综上，ABC ∆面积的最大值为

【典例2】已知抛物线()02:2>=p py x C ，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛物线C 交于A ，

B 两点，过A ，B 分别作抛物线

C 的切线1l ，2l ，1l 与2l 交于点M . （Ⅰ）求p 的值；

（Ⅰ）若21l l ⊥，求MAB ∆面积的最小值.

【解析】(Ⅰ)由题意知，抛物线焦点为⎪⎭

⎫

⎝⎛2,0p ，准线方程为2p y -=

焦点到准线的距离为2，即2=p . (Ⅰ)抛物线的方程为y x 42=，即241x y =，所以x y 2

1

=' 设()11,y x A ，()22,y x B ，

()11

2112

4:x x x x y l -=-

()222

222

4:x x x x y l -=-

由于21l l ⊥，所以

12

22

1-=⋅x x ，即421-=x x 设直线l 方程为m kx y +=，与抛物线方程联立，得⎩⎨⎧=+=y

x m

kx y 42，所以0442=--m kx x

016162>+=∆m k ，k x x 421=+，4421-=-=⋅m x x ，所以1=m ，即1:+=kx y l

联立方程⎩

⎨⎧-==⇒⎪⎪⎩⎪

⎪⎨

⎧-=-=124

2422

222

11y k

x x x x y x x x y ，即()1,2-k M M 点到直线l 的距离2

22

1121112k

k k

k k d ++=

+++⋅=

()()

[]

()2212

2

1

2

1441k x x x x k AB +=-++=

所以()()41411214212

32222≥+=++⨯+⨯=k k

k k S

当0=k 时，MAB ∆面积取得最小值4.

【典例3】已知椭圆E ：()0122

22>>=+b a b y a x 的左焦点为()0,1-F ，且过点⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛22,1A ，O 为坐标原点．

（Ⅰ）求椭圆E 的方程；