对数函数图象及性质——定义域、值域

1 f ( x ) log 2 x
x [1,2]
2 f ( x ) log a x
2 3
x [1,2]
(3) y log 1 ( x 4 x 5)
• 【例】 已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求y＝[f(x)]2 ＋f(x2)的最大值，及y取最大值时x的值． • 思路分析：要求函数y＝[f(x)]2 ＋f(x2)的最大值，要 做两件事，一是要求其表达式；二是要求出它的定 义域．
• 由于对数函数y＝logax的图象和性质与底数a 的取值范围密切相关．当a>1时，函数y＝ logax在定义域内为单调增函数，当0<a<1时， 函数y＝logax在定义域内为单调减函数，因此 当题目条件中所给的对数函数的底数含有参 数时，常依底数的取值范围为分类标准进行 分类讨论求解．
思考题：1、若函数y=lg(ax2+ax+1)的定义域是实数集R， 求实数a的取值范围。 2、若函数y=lg(ax2+ax+1)的值域为R， 则实数 a的取值范围。 解:1 ∵ y=lg(ax2+ax+1)的定义域是R ∴ 在R上ax2+ax+1>0恒成立, ∴ a=0 a>0 ⊿=a2-4a<0
答案：D
• 练习2．函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在[2,3] 上的最大值为1，则a＝________. • 解析：当a>1时，f(x)的最大值是f(3)＝1， • 则loga3＝1，∴a＝3>1. • ∴a＝3符合题意； • 当0<a<1时，f(x)的最大值是f(2)＝1，则loga2 ＝1，∴a＝2>1.∴a＝2不合题意． • 答案：3
• 含有对数式的函数最值问题一般首先考虑函数的定 义域，在函数定义域的制约之下对数式就在一定的 范围内取值，问题利用换元法往往就转化为一个函 数在一个区间上的最值问题．
2 2 log x (1) y (log x) 3 3
x x 2 f ( x) (log 2 )(log 2 ) ( 2 x 8) 2 4
• 【例】 已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的 最大值，及y取最大值时x的值．
解：∵f(x)＝2＋log3x， ∴y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2 ＝(2＋log3x) ＋2＋2log3x ＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3. ∵函数 f(x)的定义域为[1,9]， ∴要使函数 y＝[f(x)]2＋f(x 2)有意义， 就需 1≤x 2≤9 1≤x≤9. ∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1，
当0 x 1时, y 0
3当x 1时, y 0
当0 x 1时, y 0
质
4 在 0, 上是增函数
4 在 0, 上是减函数
(5) 随着a增大，在第一象限内，绕着点（1，0）顺时针旋转
• • • •
求函数y＝log2x(1≤x≤8)的值域是( ) A．R B．[0，＋∞) C．(－∞，3] D．[0,3] 答案：D
2
∴6≤y＝(log3x＋3)2－3≤13. 当 log3x＝1 即 x＝3 时，y＝13. ∴当 x＝3 时，函数 y＝[f(x)]2＋f(x 2)取最大值 13.
• 温馨提示：本例正确求解的关键是：函数y＝[f(x)]2 ＋f(x2)定义域的正确确定．如果我们误认为[1,9]是 它的定义域．则将求得错误的最即不仅要考虑内函数的定 义域，还要考虑内函数的值域是外函数定义域的子 集)，是解决有关复合函数问题的关键．
例：已知集合A＝{x|2≤x≤π}，定义在集合A上 的函数y＝logax的最大值比最小值大1，求a 的值．
解：(1)当 a>1 时，由题意得 logaπ－loga2＝1，所 π π π 以 a＝ ，∵ >1，∴a＝ 符合题意． 2 2 2 2 2 (2)当 0<a<1 时，loga2－logaπ＝1，a＝ .∵0< <1， π π 2 ∴a＝ 符合题意． π π 2 综上所述，所求 a 的值为 a＝ ，或 a＝ . 2 π
• 思悟升华 • 1．与对数函数有关的复合函数单调区间的 求法 • 求与对数函数有关的复合函数的单调区间， 首要的是弄清楚这个函数是怎样复合而成 的，再按“同增异减”的方法来求其单调 区间．
• 2．对于对数型复合函数的综合应用的题目， 无论是求最值还是求参数的取值范围，必 须抓住两点：一是先求出原函数的定义域， 二是在定义域内求出函数的单调区间，然 后由函数的单调性求出其最值或参数的取 值范围．此外在解题过程中一定要注意数 形结合方法的灵活应用．
复习.对数函数的图象和性质：
图 a >1
y =log a x
0< a < 1
x=1
( a>1)
(1,0)
象
0
(1,0)
0
y =log a x
x=1
(0< a<1)
1 定义域 0, , 值域为R
性
2 恒过点1, 0 ，即当x 1时, y 0
3当x 1时, y 0
1>0
或
∴ 0≤a＜4
思考题：1、若函数y=lg(ax2+ax+1)的定义域是实数集R， 求实数a的取值范围。 2、若函数y=lg(ax2+ax+1)的值域为R， 则实数 a的取值范围。 解:2 设u=ax2+ax+1 ∵ y=lg(ax2+ax+1)的值域是R ∴区间（0，+∞）是函数u=ax2+ax+1 的值域 的子区间. a>0 ∴ a≥4 ∴当a=0时, u=1 (不合题意) 或 ⊿=a2-4a≥0
练习 1：设 a>1，函数 f(x)＝logax 在区间[a,2a]上的最 1 大值与最小值之差为 ，则 a＝( 2 )
A. 2
B．2
C．2 2
D．4
解析：∵a>1，∴f(x)＝logax 在[a,2a]上 递增， 1 1 ∴loga(2a)－logaa＝ ，即 loga2＝ ， 2 2
1
∴a2 ＝2，a＝4.