高考理科数学真题练习题古典概型理含解析

高考数学复习 课时作业66 古典概型

一、选择题

1．已知袋子中装有大小相同的6个小球，其中有2个红球、4个白球．现从中随机摸出3个小球，则至少有2个白球的概率为( C )

A.34

B.35

C.45

D.710

解析：所求问题有两种情况：1红2白或3白，则所求概率P ＝C 12C 2

4＋C 3

4C 3

6＝45

. 2．投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)2为纯虚数的概率为( C )

A.1

3 B.1

4 C.16

D.112

解析：∵(m ＋n i)2

＝m 2

－n 2

＋2mn i 为纯虚数， ∴m 2

－n 2

＝0，

∴m ＝n ，(m ，n )的所有可能取法有6×6＝36种，其中满足m ＝n 的取法有6种，∴所求概率P ＝636＝1

6

.

3．从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，甲被选中的概率是( B ) A.23 B.12 C.13

D.14

解析：P ＝1－C 2

3C 24＝1－12＝1

2

.故选B.

4．已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{(a ，b )|a ∈M ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2

＋1有交点的概率是( C )

A.1

2 B.1

3 C.14

D.18

解析：易知过点(0,0)，与y ＝x 2

＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有16个元素，其中使直线OA 的斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，故所求的概率为416＝1

4

.

5．从数字1,2,3,4,5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于12的概率为( A )

A.225

B.13125

C.18125

D.

9125

解析：从5个数字中任意抽取3个数字组成一个三位数，并且允许有重复的数字，这样构成的数字有53

＝125个，但要使各位数字之和等于12且没有重复数字时，则该数只能含有3,4,5三个数字，它们有A 3

3＝6种；若三位数的各位数字均重复，则该数为444；若三位数中有2个数字重复，则该数为552,525,255，有3种．因此，所求概率为P ＝6＋1＋3125＝2

25.

故选A.

6．(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( C )

A.1

12 B.114 C.115

D.

118

解析：不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，从中随机选取两个不同的数有C 2

10种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率P ＝3C 210＝1

15

，故选C.

7．如图，三行三列的方阵中有九个数a ij (i ＝1,2,3；j ＝1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是( D )

⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a

31

a 32 a 33

A.37

B.47

C.114

D.1314

解析：从九个数中任取三个数的不同取法共有C 3

9＝84种，因为取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C 1

3·C 1

2·C 1

1＝6种，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1－684＝1314

. 二、填空题

8．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是5

6

.

解析：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36种情况．设事件A ＝“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件A ＝“出现向上的点数之和大于或等于10”，A 包含的可能结果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种情况．所以由古典概型的概率公式，得P (A )＝

636＝16，所以P (A )＝1－16＝5

6

. 9．(2019·重庆适应性测试)从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，则所取3个数之和为偶数的概率为2

5

.

解析：依题意，从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，共有10种不同的取法，其中所取3个数之和为偶数的取法共有1＋3＝4种(包含两种情形：一种情形是所取的3个数均为偶数，有1种取法；另一种情形是所取的3个数中2个奇数，另一个是偶数，有3种取法)，因此所求的概率为410＝2

5

.

10．用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是1

4

.

若用两种颜色有122,212,221,211,121,112.所以基本事件共有8种．又相邻颜色各不相同的有2种，故所求概率为14

.

三、解答题

11．在某项大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．

(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； (3)求五名志愿者中仅有一人参加A 岗位服务的概率．