大庆实验中学2020-2021上学期高三期末考试数学(理)试题

大庆实验中学2020-2021上学期高三期末考试数学（理）试题答案

一．选择题 ACDBB DABBA AB

二．填空题 13.3log 2±；14.1215；15.2；16.8

三．解答题

17.【解析】（1）当n ＝1时，12a =，当2n ≥时a 1＋a 2＋a 3＋…＋1n a -＝12n -②

①-②得1

2n n a -=经检验1a 不符合上式

∴12,1

2,2n n n a n =-=⎧⎨≥⎩.（6分）

（2）由（1）得当n ＝1时12b =

当2n ≥时()()n 2n b n 1log a 11n n =+=+-（）,

∴(

)()()n 1111

12b 11211n n n n n ⎛⎫

==-≥ ⎪-+-+⎝⎭.

()n 12n 1

11521

...b b b 421

n S n n +∴=+++=-+.（12分）

18.【解析】（1）4656

56666676

0.010100.020100.04510222x +++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯

7686

8696

0.020100.0051022+++⨯⨯+⨯⨯

70=.（3分）

（2）由题意样本方差2100s =

，故10σ≈=.

所以2(70,10)X N ，

由题意，该厂生产的产品为正品的概率(6090)(6070)(7090)P P X P X P X =<<=<<+<<

1

(0.68270.9545)0.81862=+=.（6分）

（3）X 所有可能为0,1,2,3.

()0335385028C C P X C === ()12

353815

128

C C P X C ===

()21353815256C C P X C === ()3035381356

C C P X C ===.（10分） X 的分布列为

X

0 1 2 3 P 528 1528 1556 156

()9

8E X =.（12分）

19.【解析】（1）取BC 的中点F ，连接EF ，HF .

∵H ，F 分别为AC ，BC 的中点，

∴HF ∥AB ，且AB ＝2HF .

又DE ∥AB ，AB ＝2DE ，∴HF ∥DE 且HF ＝DE ，

∴四边形DEFH 为平行四边形．∴EF ∥DH ，

又D 点在平面ABC 内的正投影为AC 的中点H ，

∴DH ⊥平面ABC ，∴EF ⊥平面ABC ，∵EF BCE ⊂面∴ECB ABC ⊥面面.（5分）

（2）∵DH ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，

∴以C 为原点，建立空间直角坐标系,则B (0,2,0)，D ⎝⎛⎭⎫1

2，0，1，()0,1,1E

设平面CDE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，CD ＝⎝⎛⎭⎫12，0，1，CE ＝()0,1,1，

则1

020

x z y z ⎧

+=⎪⎨⎪+=⎩取y ＝1，则x ＝2，z ＝-1.∴n ＝(2,1,1)，

∵1

,2,12BD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴214

sin cos ,21BD n BD n BD n α===

∴BD 与面CDE 夹角的余弦值为385

.（12分）

20.解析：【解析】（1）由题意

222222(2)1122b a c a b c ⎧+=⎪⎪⎪-=-⎨⎪=+⎪⎪⎩

，解得222

a b c =

⎧⎪=⎨⎪=⎩，

故椭圆C 的方程为2

2

142x y +=.（4分）

（2）设11(,)P x y 、22(,)Q x y .

将直线与椭圆的方程联立得：()

2231

42y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，

消去y ，整理得2222(21)121840k x k x k +-+-=.

由根与系数之间的关系可得：2

1221221k x x k +=+，2122184

21k x x k -⋅=+.

∵点P 关于y 轴的对称点为P '，则11(,)P x y '-． ∴直线P Q '的斜率21

21

y y k x x +=-

方程为：21

1121()y y y y x x x x ++=--，即21

21

112121

()

y y x x y x x y x x y y +-=---+ 212112112121()()()y y y y x x x y x x x y y +++-=--+211221

2121

()y y x y x y x x x y y ++=--+

2112212121(3)(3)()(3)(3)y y x k x x k x x x x k x k x +-+-=---+-2

11212211223()

()

6

y y x x x x x x x x x +-+=--+- 22

22

21221218412232121()126

21k k y y k k x k x x k -

⨯-⨯+++=---+21

214()3

y y x x x +=--. ∴直线P Q '过x 轴上定点4

(,0)3．（12分）