数学竞赛讲座：同构
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(1,2, ,m ) (1, 2, , n ) Anm
设 1, 2, , n 线性无关，则 1,2, ,m的
线性无关性与 A的列向量的线性相关性相
同。
3．关于 HomF (V ,U ) F mn。
首先考查一一对应。设是线性空间 V到空间 U 的
一个线性映射，取定 V的一组基 1,2, ,n，U的一 组基 1, 2, , n，则
线性空间与线性变换是几何结论，矩阵是代 数的方法。同构架起了代数与几何的桥梁，可 以将矩阵的命题与线性映射（线性变换）的命 题互相转换。这种转换的推导将使学生打开眼 界，这种转换得掌握将使学生增强学习兴趣。 适当讲解这种转换内容，对于提高学生的代数 素质是有好处的。
例4（1）设 是n 维空间V 的线性变换，求证
一映射，这个映射是不是线性空间同构？
（4）求 R从 R 到的线性空间同构 ，满足 : 2 3？
（5）从 R到 R 的线性空间同构是不是都是形如（3） 的形式？
2．关于 V F n。
注意到导出同构的对应关系实际上就是 向量对应到坐标，取定一组基是建立对应 得前提。取不同基，则向量对应得坐标不 同，需要掌握坐标的转换原则。
例2：在
F
22中，1
3 9
6
3
，2
2
0
4 2
，3
1 5
3 0
，
和4一 个37 基54， ，并求扩由充为1,F
2 ,3,4生成子空间的维数 22的一个基。
例3：设 1,2, ,m , 1, 2, , n是 V 的向量， 满足
根据定义，线性空间的同构是保持元素之 间一一对应且保持线性运算的映射。线性空 间的同构就是保持空间的线性运算导出的所 有性质和结构。
研究线性空间的第一个层次是研究向量之 间的线性关系，内容包括线性组合，线性表 示，线性相关性，线性无关极大组，基与维 数等。第二个层次研究线性子空间，内容包 括子空间与子空间的运算（交与和），生成 子空间，直和分解。第三个层次研究线性空 间之间的关系，内容包括线性映射，线性变 换。
V Fn
HomF (V ,U ) F mn
V F n和 HomF (V ,V ) F nn 的
拓广
二．对线性空间同构内容的理解
总设线性空间是有限维的。
1．引进概念。
一一映射等价于可逆映射。
设 :V U是一一映射，是单的指的是
若 ，则 () ( )。是满的指的是 对于任意的 U，存在 V使得( ) 。
对于特殊情况，设 是线性空间 V的一个 线性变换，取定 V 的一组基 1,2, ,n，则
(1,2, ,n ) (1,2, ,n ) Ann 这时映射 保持乘法运算，即 ( )(1,2, ,n ) (1,2, ,n) AB。 （式3） HomF (V ,V ) F nn是环同构，代数同构。
例5（1）设 是 n 维空间V 到 m 维空间U 的线性映
射，则存在 V的基 1,2 , ,n，U的基1, 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ , m，
使得
(1 , 2 ,
,n ) (1, 2,
,
m
)
Ir 0
0
0
。
（2） Im L(1, 2 , , r ) ，Ker=L(r1, ,n ) ，
2．线性空间同构关系是等价分类思想方法的 一个特例。
两个有限维线性空间同构的充分必要条件 是它们的维数相等，所以维数是同构关系的 全系不变量。任意数域上维线性空间都同构
与上维列向量空间同构，所以数域上n 维列 向量空间是 n 维线性空间同构类的代表元。
3．《高等代数》课程中研究线性空间同 构的内容是多层次的。
线性空间的同构
厦门大学 林亚南
代数学是研究一个代数对象的结构理论与 表示理论的一门学科。线性空间则是本科生所 接触，所学习的第一个代数结构。
《高等代数》课程中体现的代数研究基本思 想方法主要有：（1）空间的直和分解方法； （2）同构方法；（3）等价分类方法。
一．对线性空间同构的理解和思考
1．线性空间的同构是刻画两个线性空间具有 相同的代数结构的概念。
是一一的，指的是对于任意的 U ， 存在唯一 V的使得 ( ) 。
例1：
（1）全体正实数 R 在加法定义为a b ab，数乘定
义为 k a ak，是否构成实数域 R上线性空间？
（2）这个空间的维数是多少？
（3） loga : R R，x loga x 导出了从 R 到 R 的一
，其中 是同构映射，2 。 （2）设 A是 n 阶矩阵，求证
A BC， 其中 B 是可逆矩阵，C2 C。
对于不同的基的选取，同一个线性映射对 应得矩阵是相抵的，同一个线性变换对应得 矩阵是相似的。
相抵的矩阵是同一个线性映射在两组不同 基下的矩阵，相似的矩阵是同一个线性变换 在不同基下的矩阵。
（式2）
由此定义HomF (V ,U )到 F mn的映射： : HomF (V ,U ) F mn , A。
引理： 设 ,是 n维线性空间 V到 m维线性空
间 U上线性映射，取定V的一组基1,2, ,n
（1）若对任意的 i，都有(i ) (i)，则 。
（2）对于U中的任意一组向量 1, 2, , n，存 在线性映射 使得 (i ) i 。
再证明 保持线性运算，即证明
( )(1,2, ,n ) (1, 2, , m)( A B) ()(1,2, ,n ) (1, 2, , m )( A)
(1,2, ,n ) (1, 2, , m) A，mn （式1）
其中矩阵 A是m n矩阵。
(1) a111 a212
(2
)
a12 1
a22 2
(n ) a1n1 a2n2
am1m am2m
amnm
设 1, 2, , n 线性无关，则 1,2, ,m的
线性无关性与 A的列向量的线性相关性相
同。
3．关于 HomF (V ,U ) F mn。
首先考查一一对应。设是线性空间 V到空间 U 的
一个线性映射，取定 V的一组基 1,2, ,n，U的一 组基 1, 2, , n，则
线性空间与线性变换是几何结论，矩阵是代 数的方法。同构架起了代数与几何的桥梁，可 以将矩阵的命题与线性映射（线性变换）的命 题互相转换。这种转换的推导将使学生打开眼 界，这种转换得掌握将使学生增强学习兴趣。 适当讲解这种转换内容，对于提高学生的代数 素质是有好处的。
例4（1）设 是n 维空间V 的线性变换，求证
一映射，这个映射是不是线性空间同构？
（4）求 R从 R 到的线性空间同构 ，满足 : 2 3？
（5）从 R到 R 的线性空间同构是不是都是形如（3） 的形式？
2．关于 V F n。
注意到导出同构的对应关系实际上就是 向量对应到坐标，取定一组基是建立对应 得前提。取不同基，则向量对应得坐标不 同，需要掌握坐标的转换原则。
例2：在
F
22中，1
3 9
6
3
，2
2
0
4 2
，3
1 5
3 0
，
和4一 个37 基54， ，并求扩由充为1,F
2 ,3,4生成子空间的维数 22的一个基。
例3：设 1,2, ,m , 1, 2, , n是 V 的向量， 满足
根据定义，线性空间的同构是保持元素之 间一一对应且保持线性运算的映射。线性空 间的同构就是保持空间的线性运算导出的所 有性质和结构。
研究线性空间的第一个层次是研究向量之 间的线性关系，内容包括线性组合，线性表 示，线性相关性，线性无关极大组，基与维 数等。第二个层次研究线性子空间，内容包 括子空间与子空间的运算（交与和），生成 子空间，直和分解。第三个层次研究线性空 间之间的关系，内容包括线性映射，线性变 换。
V Fn
HomF (V ,U ) F mn
V F n和 HomF (V ,V ) F nn 的
拓广
二．对线性空间同构内容的理解
总设线性空间是有限维的。
1．引进概念。
一一映射等价于可逆映射。
设 :V U是一一映射，是单的指的是
若 ，则 () ( )。是满的指的是 对于任意的 U，存在 V使得( ) 。
对于特殊情况，设 是线性空间 V的一个 线性变换，取定 V 的一组基 1,2, ,n，则
(1,2, ,n ) (1,2, ,n ) Ann 这时映射 保持乘法运算，即 ( )(1,2, ,n ) (1,2, ,n) AB。 （式3） HomF (V ,V ) F nn是环同构，代数同构。
例5（1）设 是 n 维空间V 到 m 维空间U 的线性映
射，则存在 V的基 1,2 , ,n，U的基1, 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ , m，
使得
(1 , 2 ,
,n ) (1, 2,
,
m
)
Ir 0
0
0
。
（2） Im L(1, 2 , , r ) ，Ker=L(r1, ,n ) ，
2．线性空间同构关系是等价分类思想方法的 一个特例。
两个有限维线性空间同构的充分必要条件 是它们的维数相等，所以维数是同构关系的 全系不变量。任意数域上维线性空间都同构
与上维列向量空间同构，所以数域上n 维列 向量空间是 n 维线性空间同构类的代表元。
3．《高等代数》课程中研究线性空间同 构的内容是多层次的。
线性空间的同构
厦门大学 林亚南
代数学是研究一个代数对象的结构理论与 表示理论的一门学科。线性空间则是本科生所 接触，所学习的第一个代数结构。
《高等代数》课程中体现的代数研究基本思 想方法主要有：（1）空间的直和分解方法； （2）同构方法；（3）等价分类方法。
一．对线性空间同构的理解和思考
1．线性空间的同构是刻画两个线性空间具有 相同的代数结构的概念。
是一一的，指的是对于任意的 U ， 存在唯一 V的使得 ( ) 。
例1：
（1）全体正实数 R 在加法定义为a b ab，数乘定
义为 k a ak，是否构成实数域 R上线性空间？
（2）这个空间的维数是多少？
（3） loga : R R，x loga x 导出了从 R 到 R 的一
，其中 是同构映射，2 。 （2）设 A是 n 阶矩阵，求证
A BC， 其中 B 是可逆矩阵，C2 C。
对于不同的基的选取，同一个线性映射对 应得矩阵是相抵的，同一个线性变换对应得 矩阵是相似的。
相抵的矩阵是同一个线性映射在两组不同 基下的矩阵，相似的矩阵是同一个线性变换 在不同基下的矩阵。
（式2）
由此定义HomF (V ,U )到 F mn的映射： : HomF (V ,U ) F mn , A。
引理： 设 ,是 n维线性空间 V到 m维线性空
间 U上线性映射，取定V的一组基1,2, ,n
（1）若对任意的 i，都有(i ) (i)，则 。
（2）对于U中的任意一组向量 1, 2, , n，存 在线性映射 使得 (i ) i 。
再证明 保持线性运算，即证明
( )(1,2, ,n ) (1, 2, , m)( A B) ()(1,2, ,n ) (1, 2, , m )( A)
(1,2, ,n ) (1, 2, , m) A，mn （式1）
其中矩阵 A是m n矩阵。
(1) a111 a212
(2
)
a12 1
a22 2
(n ) a1n1 a2n2
am1m am2m
amnm