2020普陀区高三数学二模答案

普陀区2019学年第二学期高三数学质量调研评分标准

17.（1）因为函数()f x 为偶函数，所以定义域关于原点对称且()()f x f x -=， 则2m =， …………………………………… 3分 当02x <≤时，()()f x g x =，则20x -≤-<，()31()x

f x f x -=-=

， 故()31x

g x =-. …………………………………… 6分 （2

）函数()g x 在区间[0,2]上的反函数为()1g x -，

则()

1

23

12g --=，即1(2)1g -=， ……………………………………4分

即2log 15a <，则2log 1

5

01

a a ⎧

<⎪⎨⎪<<⎩ 或 2log 1

51a a ⎧<⎪⎨

⎪>⎩

，即205a <<或1a > 则实数a 的取值范围为2

(0,)

(1,)5+∞. ………………………………8分 18.（1）2()2sin ())1263

x f x x ωππω=++- 1cos())133

x x ππ

ωω=-++-

2sin()6

x π

ω=+， ……………………………………4分 因为函数()f x 的最大值为()2

f π，所以sin()126

π

π

ω⋅+=， 即2,Z 262k k πππ

ωπ⋅

+

=+

∈，即2

43

k ω=+，

又01ω<<，则2

3

ω=， ……………………………………6分

则函数()f x 的最小正周期为23π

πω

=.……………………………………8分

（2）因为函数()f x 在区间(,2)ππ内不存在零点， 所以(,2)(,),Z 66

k k k π

π

ωπωππππ+

+⊆+∈， 即626k k πωπππωπππ

⎧

+≥⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩， ……………………………………3分

则15

,Z 6212k k k ω-

≤≤+∈， 因为15,Z 6212k k k -≤+∈，所以7

,Z 6

k k ≤∈，即0,1k =，………5分

则所求的ω的取值范围为5511

(0,][,]12612

. …………………6分

19. （1）连接BO ,依题意FO 为立柱，即FO ABCD ⊥平面,

则FBO ∠是直线FB 与底面ABCD 所成角， (2)

分 由俯视图可知，GH BC

⊥，则BO ==

在Rt FOB ∆

中，tan FO FOB BO ∠=

==

，…………………………4分 即arctan

20FBO ∠=.

（或，

则斜梁FB 与底面ABCD 所成角的大小为arctan 20

. ………………………6分 备注：用空间向量求线面角的，请相应评分.

（2）依题意，该“楔体”两端成对称结构，钢架所在的平面FGH 与EF 垂直，结合俯视图可知，可将该“楔体”分割成一个直三棱柱和两个相同的四棱锥，………………2分

则直三棱柱的体积11

(2)2FGH V S EF GH FO AD AG ∆=⋅=⋅⋅- 13

104030022=⨯⨯⨯=（立方米），……………4分 两个四棱锥的体积222

233

F GABH GABH V V S FO A

G AB FO -==⋅=⋅⋅

23

5105032

=⨯⨯⨯=（立方米）， ………6分 则所求的楔体ABCDEF 的体积12350V V V =+=(立方米). ……………………8分

20. （1）连接1PF ，又直线l 过原点，由椭圆的对称性得12PF QF =，

则2PQF ∆的周长22216PQ PF QF PQ PF PF PQ ++=++=+, ………………2分 要使得2PQF ∆的周长最小，即过原点的弦PQ 最短，

由椭圆的性质可知，当弦PQ 与Γ的短轴重合时最短，即弦PQ 的最小值为4， 则2PQF ∆周长的最小值为10. ………………………………4分 （2）依题意，设平行弦所在的直线方程为y x m =-+，与Γ的交点坐标为11(,)x y 、22(,)x y ， 平行弦中点的坐标为00(,)x y ，

联立22

194

x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩

，化简整理得22

13189360x mx m -+-=， ………………2分 当2

2

2

(18)413(936)8(13)0m m m ∆=--⨯⋅-=-->，

即m << ………………………………3分 则1209213x x x m +=

=，121204

2213

y y x x y m m ++==-+=，即00490x y -=， 故存在满足条件的直线l ，其方程为490x y -=. ………………………………6分 （3）设直线l 的方程为y kx =，点11(,)P x y ，22(,)Q x y ,（不妨12x x >），

由22

194x y y kx

⎧+=⎪⎨⎪=⎩

化简得22

(94)36k x +=

，即1x =，21x x =-

=， 依题意，直线MN 的方程为2y x =-+，

由22

1942

x y x y ⎧+

=⎪⎨⎪+=⎩

解得3610,1313N N

x y ==-，

则13MN =. 又l 与线段MN 有交点，则5

[,)18

k ∈-+∞， ………………………………2分

点P ，Q 到直线MN

的距离分别为1d =

2d =

，