材料力学课件全套2 已打教材

三、切应变 剪切胡克定律
在切应力的作用下，单 元体的直角将发生微小的
G
τ
改变，这个改变量
应变。
称为切
G
—
剪切弹性模量(GN/m2)
当切应力不超过材料 的剪切比例极限时，切应
变与切应力τ成正比，这
各向同性材料， 三个弹性常数之间的 关系：
个关系称为剪切胡克定律。 G E
2(1 )
§3.4 圆轴扭转时的应力
二、切应力互等定理
由平衡方程
，得Mz 0
M e 2 r r
Me 2 r 2
'
Байду номын сангаас
§3.3 纯剪切
切应力互等定理：
纯剪切
在相互垂直的
两个平面上，切
应力必然成对存
在，且数值相等；
两者都垂直于两
个平面的交线，
方向则共同指向
各个截面上只有切应
或共同背离这一 力没有正应力的情况称为
交线。
纯剪切
§3.3 纯剪切
§3.4 圆轴扭转时的应力
Me
pq
Me
_扭转角（rad）
pq p
q
d
a
d
c
a' O b
R
p
b′ q
dx
d _ dx微段两截面的
x
相对扭转角
边缘上a点的错动距离：
aa' Rd dx
边缘上a点的切应变：
R d
dx
发生在垂直于半径的平面内。
§3.4 圆轴扭转时的应力
p
q
d
ae
d
c
a ' e′O b
R
p
b′ q
dx
R dx
d
d
距圆心为的圆周上e点的错动距离：
距圆心为处的切应变：
d —扭转角 沿x轴的变化率。
d
dx
dx
cc' d dx
也发生在垂直于 半径的平面内。
§3.4 圆轴扭转时的应力
2.物理关系
根据剪切胡克定律
距圆心为 处的切应力：
横截面上任意点的切应力
G
G
G
d
dx
1.变形几何关系
Me
Me
pq
观察变形：
x
圆周线长度形状不变，各圆周线间 距离不变，只是绕轴线转了一个微小角 度；纵向平行线仍然保持为直线且相互 平行，只是倾斜了一个微小角度。
Me
pq
pq
Me
x
圆轴扭转的平面假设：
pq
圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍 保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线； 且相邻两截面间的距离不变。
§3.4 圆轴扭转时的应力
例题3.4
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大切应力不 得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。
(2)计算扭矩 (3) 扭矩图
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
MB
MC
MD
MA
T3 M A 1432N m
Tmax 1432N m
传动轴上主、 从动轮安装的位 置不同，轴所承 受的最大扭矩也 不同。
B
C
D
A
T3
MA
A
318N.m
795N.m
1432N.m
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
令
Wt
Ip R
抗扭截面系数
max
T Wt
在圆截面边缘上， 有最大切应力
§3.4 圆轴扭转时的应力
I
与
p
Wt
的计算
实心轴
T
Ip
max
T Wt
Wt I p / R 1 D3
16
§3.4 圆轴扭转时的应力
空心轴
则
令
Wt I p /(D / 2)
§3.4 圆轴扭转时的应力
实心轴与空心轴 I p 与 Wt 对比
d 0.945
D
Wt 0.2D3 (1 4 ) 0.2 8.93 (1 0.9454 ) 29 cm3
（2） 强度校核
max
T Wt
1930 29 106
66.7106 Pa
66.7MPa [ ] 70MPa 满足强度要求
§3.4 圆轴扭转时的应力
例3.3 如把上例中的传动轴改为实心轴，要求 它与原来的空心轴强度相同，试确定其直径。 并比较实心轴和空心轴的重量。
解：当实心轴和空心轴的最大应力同 为[]时，两轴的许可扭矩分别为
T1
Wt [
]
16
D13[
]
T2
16
D3(1 4 )[
]
16
(90)3 (1
0.9444 )[
]
若两轴强度相等，则T1=T2 ，于是有
D13 (90)3 (1 0.9444 )
D1 53.1mm 0.0531m
§3.4 圆轴扭转时的应力
实心轴和空心轴横截面面积为
A1
D12
4
(0.0531)2
4
22.2104 m2
A2
4
(D2
d2)
4
[(90 103 )2
(85103)2 ]
6.87 104 m2
在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横截面面 积之比。
A2 A1
6.87 104 22.2 104
0.31
可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的31% 。
Wt
Ip
/R
1 D3
16
Wt I p /(D / 2)
§3.4 圆轴扭转时的应力
扭转强度条件：
max
Tmax Wt
1. 等截面圆轴：
2. 阶梯形圆轴：
max
Tmax Wt
max
(Tmax Wt
)max
§3.4 圆轴扭转时的应力
强度条件的应用
（1）校核强度
max
Tmax Wt
§3.3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的切应力
将一薄壁圆筒表面用纵向平行线和圆 周线划分；两端施以大小相等方向相反一 对力偶矩。
观察到：
圆周线大小形状不变，各圆周线间距 离不变；纵向平行线仍然保持为直线且 相互平行，只是倾斜了一个角度。
结果说明横截面上没有正应力
§3.3 纯剪切
采用截面法将圆筒截开，横截面 上分布有与截面平行的切应力。由于 壁很薄，可以假设切应力沿壁厚均匀 分布。
垂直于半径
与该点到圆心的距离 成正比。
§3.4 圆轴扭转时的应力
3.静力关系
T A dA
T A dA
G d 2dA
dx A
I p
2dA
A
Ip
横截面对形心的极惯性矩
T
GI p
d
dx
G
d
dx
T Ip
§3.4 圆轴扭转时的应力
公式适用于：
1）圆杆
2） max
p
横截面上某点的切应力的方向与扭矩 方向相同，并垂直于半径。切应力的大 小与其和圆心的距离成正比。
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
例题3.1 传动轴,已知转速 n=300r/min,主动轮A输入功率
PA=45kW,三个从动轮输出功率分别为 PB=10kW,PC=15kW, PD=20kW.试绘轴的扭矩图.
解: (1)计算外力偶矩 由公式 M e 9549P / n
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
max
Tmax Wt
（2）设计截面
Wt
Tmax
（3）确定载荷
Tmax Wt
§3.4 圆轴扭转时的应力
例3.2 由无缝钢管制成的汽车传动轴，外径 D=89mm、壁厚=2.5mm，材料为20号钢，使用 时的最大扭矩T=1930N·m,[]=70MPa.校核此轴 的强度。
解：（1）计算抗扭截面模量