第7章 向量代数与空间解析几何 习题 7- (4)

第四节 空间直线及其方程

习题 7-4

1. 求过点(1,1,2)−且与平面20x y z +−=垂直的直线方程.

解 取已知平面的法向量(1,2,1)=−n 为所求直线的方向向量, 则直线的对称式方程为

112

.121

x y z −+−==− 2. 求过点(1,3,2)−−且平行两平面35202340x y z x y z −++=+−+=及的直 线的方程.

解 因为两平面的法向量12(3,1,5)(1,2,3)=−=−n n 与不平行, 所以两平面相交

于一直线, 此直线的方向向量为

1231

5(7,14,7)7(1,2,1),1

2

3

=×=−=−=−−i j

k

s n n 故可取所求直线的方向向量为(1,2,1)−, 由题设, 所求的直线方程为

132

.121

x y z ++−==− 3. 用点向式方程及参数方程表示直线

10

2340

x y z x y z +++=⎧⎨

−++=⎩. 解 先在直线上找一点.

令1x =, 解方程组2,

36,y z y z +=−⎧⎨−=⎩ 得0,2y z ==−, 故(1,0,2)−是直线上一点.

再求直线的方向向量s .

交于已知直线的两平面的法向量为: 12(1,1,1),(2,1,3)==−n n ,

12,,⊥⊥s n s n ∵

121

11(4,1,3),213

∴=×==−−−i

j k

s n n

故所给直线的点向式方程为

12

,413x y z −+==−−

参数方程为 14,,23.x t y t z t =+⎧⎪

=−⎨⎪=−−⎩

4. 求过点(2,0,3)−且与直线2470,

35210x y z x y z −+−=⎧⎨

+−+=⎩

垂直的平面方程. 解 要求所求平面垂直于直线, 所以直线的方向向量为所求平面的法向量, 取

1212

4(16,14,11),3

5

2

==×=−=−−i j

k

n s n n 由点法式可得

16(2)14(0)11(3)0,x y z −−+−++=

即161411650x y z −−−=为所求的平面方程.

5. 求过点(3,1,2)−且通过直线

43521

x y z

−+==的平面的方程. 解 法1

所求平面过点0(3,1,2)M −及1(4,3,0)M −, 设其法向量为n , 则01,M M ⊥⊥

n n s ,

其中(5,2,1)=s .

取01(1,4,2)(5,2,1)(8,9,22)M M =×=−×=−n s

, 则平面方程为

8(3)9(1)22(2)0,x y z −−+−++=

即8922590x y z −−−=.

法2 直线L 的交面式方程为25230,

230,x y y z −−=⎧⎨−+=⎩

过L 的平面束方程为

(23)(2523)0.y z x y λ−++−−=

点(3,1,2)−在平面上, 因此(143)(6523)0λ+++−−=, 解得4

11

λ=, 因此平面的方程为

4

(23)(2523)0,11

y z x y −++

−−= 即8922590x y z −−−=. 容易验证25230x y −−=不是所求的平面方程.

6. 确定下列直线与直线的位置关系:

(1)

2111x y z +==

−−与2240,

230;x y z x y z −+−=⎧⎨−+−=⎩

(2) 1421315x y z ++==

与19,3

13,1

15;

3x t y t z t ⎧=−⎪⎪=−⎨⎪⎪=−−⎩ (3) 340,290x z y z +−=⎧⎨+−=⎩与610

290.x y y z −+=⎧⎨+−=⎩

解 (1) 直线12

:

111

x y z L +==

−−的方向向量为 1(1,1,1),=−−s

直线22240,

:230x y z L x y z −+−=⎧⎨−+−=⎩

的方向向量为

2212(0,2,2).112

=−=−−i j k

s

1212(1,1,1)(0,2,2)0,,⋅=−−⋅−=∴⊥s s s s ∵

因此, 两直线垂直.

(2) 直线11421

:

315

x y z L ++==

的方向向量为 1(3,1,5),=s

直线219,3:13,1

153x t L y t z t

⎧

=−⎪⎪

=−⎨⎪⎪=−−⎩

的方向向量为

2(9,3,15)3(3,1,5).=−−−=−s

故21123,//.s s s s =−

又因211111

(,1,),(,1,)3333

L L −∈−∉点但, 因此, 两直线平行.

(3) 直线1340,

:290x z L y z +−=⎧⎨+−=⎩

的方向向量为

1301(1,6,3),012

==−−i j k

s

直线2610,

:290x y L y z −+=⎧⎨+−=⎩

的方向向量为

2610(2,12,6)2(1,6,3).0

1

2

=−=−−=−−i j k

s

21122,//.=故s s s s

又因12(0,1,4),(0,1,4),L L ∈∈点且 因此, 两直线重合.

7. 下列直线与平面是否垂直？是否平行？若不平行, 求出它们的夹角.

(1) 34273x y z

++==−−与42230x y z −−−=;

(2) 327

x y z

==−与641410x y z −++=; (3)

234

314

x y z +−−==

−与50x y z ++−=; (4) 10,

210x y z x y z +−−=⎧⎨

−++=⎩

与320x y z −+=. 解 (1) 直线的方向向量为

(2,7,3),=−−s

平面的法向量为

(4,2,2).=−−n

81460,

,⋅=−+−=∴⊥s n s n ∵

从而直线平行于平面或直线在平面上.

又因为(3,4,0)−−点在直线上, 但不在平面上, 故此直线与平面平行.