三角函数最值问题
三角函数最值问题的常见类型及解法
三角函数最值问题的常见类型及解法作者：陈德堂来源：《中学课程辅导高考版·教师版》2010年第04期摘要:归纳出三角函数最值问题常见的七种类型及解法。
关键词:三角函数;最值中国分类号:G424 文献标识码:A文章编号:1992-7711(2010)4-015-02一、形如y=a sin x+b cos x型的函数(化归思想)特点是含有正、余弦函数,并且是一次式.解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数.应用公式y=a2+b2sin(x+φ)即可,其中tanφ=ba.然后利用三角函数的有界性求最值.例1.求函数y=sin x+3cos x,x∈\π2\〗的最值.分析:由于a sin x+b cos x=a2+b2sin(x+φ),其中tanφ=ba,此结论在运用是时需注意自变量x的取值范围.所以y=sin x+3cos x=2sin(x+π3)因为0≤x≤π2;所以x+π3∈\π3,5π6\〗由三角函数的图象或单调性可知y min=1,y max=2.二、形如y=a sin x+b sin x cos x+c cos x2型的函数(化归思想)特点是含有sin x,cos x的二次式,处理方式是降幂,再化为型一的形式来解.例2.求y=sin2+2sin x cos x+3cos2x的最小值,并求y取最小值时的x 的集合.解:y=sin2x+2sin x cos x+3cos2x=(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x=2+2sin(2x+π4)当sin(2x+π4)=-1时,y取最小值2-2,此时x的集合{x|x=kπ-38π,k∈Z}.三、形如y=a sin2x+b cos c+c型的函数(化归思想和换元思想)特点是含有sin x,cos x,并且其中一个是二次,处理方式是应用sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数,再应用换元法,转化成二次函数来求解.例3.求函数y=cos2x-2a sin x-a(a为常数)的最大值M.解:y=1-sin2x-2a sin x-a=-(sin x+a)2+a2+1-a令sin x=t,则y=-(t+a)2+a2+1-a,(-1≤t≤1)(1)若-a1时, 在t=-1时,取最大值M=a.(2)若-1(3)若-a>1,即a四、形如y=a sin x+cb cos x+d型的函数(化归思想或数形结合思想)特点是一个分式,分子、分母分别会有正、余弦的一次式.几乎所有的分式型都可以通过分子,分母的化简,最后整理成这个形式,它的处理方式有多种.例4.求函数y=2-sin x2-cosx的最大值和最小值.解法1:原解析式即:sin x-y cos x=2-2y,即sin(x+φ)=2-2y1+y2,∵|sin(x+φ)|≤1,∴2-2y1+y2≤1,解出y的范围即可.解法2:2-sin x2-cos x表示的是过点(2, 2)与点(cos x,sin x)的斜率,而点(cos x,sin x)是单位圆上的点,观察图形可以得出在直线与圆相切时取极值.解法3:应用万能公式设t=tan x2,则y=2t2-2t+23t2+1,即(2-3y)t2-2t+2-y=0,根据Δ≥0解出y的最值即可.五、形如y=sin x cos x型的函数(化归思想或不等式思想)它的特点是关于sin x,cos x的二次式,此类函数用均值不等式求解大为简捷.例5.在直角三角三角形中,两锐角为A和B,则sin A sin B()A.有最大值12和最小值0B.有最大值12,但无最小值C.既无最大值也无最小值D.有最大值1,但无最大值解法1:∵A+B=π2,0∴sin A>0,cos A>0,即sin A cos A>0,又sin AsinB=sin A cos A=12sin2A≤12.故选B.解法2:sin A sin B≤sin2A+sin2B2=sin2A+cos2A2=12.又∵A,B≠0,∴选B.六、含有sin x与cos x的和与积型的函数式(换元思想)其特点是含有或经过化简整理后出现sin x±cos x与sin x cos x的式子,处理方式是应用(sin x±cos x)2进行转化,转化为二次函数的问题.例6.求y=2sin x cos x+sin x+cos x的最大值.解:令sin x+cos x=t(-2≤t≤2),则1+2sin x cos x=t2,所以2sin x cos x=t2-1,所以y=t2-1+t=(t+12)2-54,根据二次函数的图象,解出的最大值是1+2.七、形如y=sin x+a sin x型的函数(分类讨论思想)若0由以上的几种形式可以归纳出解三角函数最值的基本方法:一是应用正弦、余弦函数的有界性来求;二是利用二次函数闭区间内求最大、最小值的方法;此外可以利用重要不等式或利用数形结合的方法来解决.。
十一种类型的三角函数最值问题(附题目详解)
十一种类型的三角函数最值问题1.利用三角函数的有界性求最值利用正弦函数、余弦正数的有界性：∣sinx ∣≤1,∣cosx ∣≤1,可求形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(Asin(ωx+φ)(A ≠0, φ≠0)的函数最值.例:已知函数y=12 cos 2x+32 sinxcosx+1,x ∈R,当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合.2.反函数法 例:求函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域[分析] 此为dx c bx a y -+=cos cos 型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，先用反解法，再用三角函数的有界性去解。
3.配方法—---转化为二次函数求最值例：求函数y=f(x)=cos 22x-3cos2x+1的最值.4.引入辅助角法y=asinx+bcosx 型处理方法：引入辅助角ϕ ，化为y=22b a +sin （x+ϕ）,利用函数()1sin ≤+ϕx 即可求解。
Y=asin 2x+bsinxcosx+mcos 2x+n 型亦可以化为此类。
例：已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。
[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解。
5. 利用数形结合 例： 求函数y xx=+s in c o s 2的最值。
解：6、换元法例：若0<x<2π，求函数y=(1+1sinx )(1+1cosx )的最小值.7. 利用函数在区间内的单调性8. 例： 已知()π,0∈x ，求函数xx y sin 2sin +=的最小值。
[分析] 此题为xax sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解。
三角函数与解三角形中的最值(范围)问题
sin
2
2
（sin＋cos）
sin
＝
π
4
）
sin
2
1
（1＋
），
2
tan
π
π
因为 B ∈［ ， ），所以tan
6
4
因为函数 y ＝
sin（＋
B ∈［
3
，1），
3
2
1
3
（1＋ ）在［ ，1）上单调递减，
2
3
所以 的取值范围为（
2，
6＋ 2
］.
2
＝
高中总复习·数学
2. （2024·湖北三校联考）记△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为
π
≤ ）的图象离原点最近的对称轴为 x ＝ x 0，若满足｜ x 0｜≤
2
π
，则称 f （ x ）为“近轴函数”.若函数 y ＝2
6
“近轴函数”，则φ的取值范围是（
）
sin （2 x －φ）是
高中总复习·数学
解析： y ＝2 sin
π
（2 x －φ），令2 x －φ＝ ＋ k π， k ∈Z，∴图象
6
6
π
［0， ］上的值域为[－1，2].故选D.
2
高中总复习·数学
2.
4
3
sin+5
函数 y ＝
的最大值是
2−sin
6 ，最小值是
解析：法一
2−5
sin x ＝
，而－1≤
+1
原函数可化为
.
sin x ≤1，所以
2−5
4
－1≤
≤1，所以 ≤ y ≤6，因此原函数的最大值是6，最小值
三角函数的最值问题
上的最值问题。
2、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值：
asinxb co xa2b2sin (x )
如函数 y
1
的最大值是
2sinxcox
3、数形结合
常用到直线斜率的几何意义， 例如求函数
y sin x cox 2
四、作业：
»
一、我们因梦想而伟大，所有的成功者都是大梦想家：在冬夜的火堆旁，在阴天的雨雾中，梦想着未来。有些人让梦想悄然绝灭，有些人则细心培育维护，直到它安然度过困境，迎来光明和希望，而光明和希望总是降临在那些真心相信梦想一定会成真的在我们心底，使我们的心境永远得不到宁静，直到这些梦想成为事实才止；像种子在地下一样，一定要萌芽滋长，伸出地面来，寻找阳光。——林语堂
•
五十七、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。——伏尼契
•
五十八、梦想一旦被付诸行动，就会变得神圣。——阿·安·普罗克特
•
五十九、一个人追求的目标越高，他的才力就发展得越快，对社会就越有益。——高尔基
•
六十、青春是人生最快乐的时光，但这种快乐往往完全是因为它充满着希望，而不是因为得到了什么或逃避了什么。——佚名
0
,
2
82
上的最大值是1？若存在，求出对应
的a值？若不存在，试说明理由。
思维点拨：
闭区间上的二次函数的最值问题字母分 类讨论思路。
3、换元法解决 sixn co x,ssixn co xs
同时出现的题型。
例4、求函数 的最小值。
y 4 3 sx i4 n 3 cx o s
•
三十三、在劳力上劳心，是一切发明之母。事事在劳力上劳心，变可得事物之真理。——陶行知
（word完整版）高中三角函数最值问题难题
（word完整版）⾼中三⾓函数最值问题难题⾼中三⾓函数最值问题难题⼀、直接应⽤三⾓函数的定义及三⾓函数值的符号规律解题例1：求函数y ＝xx x x x x x x cot |cot ||tan |tan cos |cos ||sin |sin +++的最值分析：解决本题时要注意三⾓函数值的符号规律，分四个象限讨论。
解：（1）当x 在第⼀象限时，有sin cos tan cot 4sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++=（2）当x 在第⼆象限时，有sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++=----（3）当x 在第三象限时，有sin cos tan cot 0sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++=--（4）当x 在第四象限时，sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x xy x x x x=+++=----综上可得此函数的最⼤值为4，最⼩值为-2. ⼆、直接应⽤三⾓函数的有界性（sin 1,cos 1x x ≤≤）解题例1：（2003北京春季⾼考试题）设M 和m 分别表⽰函数cos 13x -1y=的最⼤值和最⼩值，则M m +等于（）（A ）32（B ）32-（C ） 34-（D ）-2解析：由于cos y x =的最⼤值与最⼩值分别为1,-1,所以,函数cos 13x -1y=的最⼤值与最⼩值分别为32-,34-,即M m +＝32-+（34-）=-2,选D.例2：求3sin 1sin 2x y x +=+的最值（值域）分析：此式是关于sin x 的函数式，通过对式⼦变形使出现12sin 3yx y -=-的形式，再根据sin 1x ≤来求解。
解：3sin 1sin 2x y x +=+，即有sin 23sin 1sin 3sin 12y x y x y x x y +=+?-=-12(3)sin 12sin 3yy x y x y --=-?=-。
高三数学三角函数的最值问题
高三备课组
1一： 基础知识
1 、 配方法求最值
主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性，转化为 二次函数在闭区间上的最值问题， 如求函数 y sin2 x sin x 1 的最值
可转化为求函数 y t2 t 1,t 1,1
上的最值问题。
2、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值：
使得函数 y sin 2 x a cosx 5 a 3
练习:求函数 y sin2 x 3 sin x cos x 1
的最值，并求取得最值时的值。
思维点拨：
三角函数的定义域对三角函数有界性 的影响。
2、转化为闭区间上二次函数的最值问题。
例2 P(66)
求函数y cot x sin x cot x sin 2x的最值. 2
练习: 是否存在实数a，
注意变换前后函数的等价参数函数的最值，解题 要注意参数的作用和影响。
二、题型剖析 1、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值。
P(66) 函数Y=acosx+b (a.b为常数),若 7 y 1
,求bsinx +acosx 的最大值.
asin x bcox a2 b2 sin(x )
如函数 y
1
的最大值是
2 sin x cox
3、数形结合
常用到直线斜率的几何意义， 例如求函数
y sin x cox 2
的最大值和最小值。
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；
我们就成了虚伪的坏蛋。 你骗了别人的钱，可以退赔，你骗了别人的爱，就成了无赦的罪人。假如别人不曾识破，那就更惨。除非你已良心丧尽，否则便要承诺爱的假象，那心灵深处的绞杀，永无宁日。 爱怕沉默。太多的人，以为爱
三角函数最值问题(典型题型)
三角函数最值问题求解三角函数最值问题不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图象以及三角函数的恒等变形，还经常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算等众多知识．这类问题往往概念性较强，具有一定的综合性和灵活性，下面结合例子给出几种求最值的方法，供大家学习时参考。
1、利用三角函数的单调性求最值例1：求函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(-⋅-= ⎢⎣⎡⎥⎦⎤∈2,0πx 的最值 解:x x x x x x x x f 2sin 2cos 2sin )sin )(cos sin (cos )(2222-=--+=)42cos(2π+=x 45424,20ππππ≤+≤∴≤≤x x ,由余弦函数的单调性及图像知： 当442ππ=+x ， 即0=x 时 ，)42cos(π+x 取最大值22； 当ππ=+42x ，即83π=x 时，)42cos(π+x 取最小值-1； 故2)(,1)(min max -==x f x f方法评析：本题虽然含有的三角函数的项的次数不尽相同，但最终能通过变形变为形如θθcos sin b a +的形式，再用辅助角公式)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a 化为标准形式结合三角函数的单调性加以解决，这是一种最常见的求最值的方法。
2、利用三角函数的有界性或数形结合求最值例2：求1cos 2sin --=x x y 的最小值 解：(方法一)由1cos 2sin --=x x y 得：y x y x -=-2cos sin ，y x y -=-+∴2)sin(12ϕ 即212)sin(y yx +-=-ϕ，故11212≤+-≤-y y ，解之得43≥y ， 故y 的最小值为43 方法评析：通过变形，借助三角函数的有界性求函数最值是一种很常见的方法，一般在分式型且对自变量无特殊限制条件下使用。
(方法二)设),(),sin ,(cos 21M x x P ,则1cos 2sin --=x x y 表示单位圆上的动点P 与平面内定点M 连线的斜率，当斜率存在时，设过P 、M 两点的直线方程为)1(2-=-x k y ，由距离公式得1122=+-k k ，解之得43=k ，结合图形可知函数的最小值为43。
三角函数的最值问题
三角函数的最值问题河南省漯河实验高中张银焕高中数学中，函数的最值是比较重要的内容之一，并且一直是各类考试的热点问题。
同样，三角函数的最大值，最小值也是非常重要的。
从近几年的高考试卷中可以看到，三角函数的最值问题是高考中一个重要内容。
在学习和教学中发现三角函数最值问题不仅仅是一个热点问题，也是一个难点问题。
一、三角函数最值问题的常见类型1.1y=acosx+bsinx 型.通常是化为y=22b a +sin(x+a),其中（tanΦ=a b ）.这种类型可借助三角函数的值域来求最值.例1当-2π≤x≤2π时，函数f(x)=sinx+3cosx 的最值是什么？分析f(x)=2(12cosx)=2sin(x+3π).由-2π≤x≤2π，可得–6π≤x+3π≤56π,所以–12≤sin(x+3π)≤1.所以-1≤f(x)≤2.所以f(x)的最大值是2、最小值是-1.1.2y=sin sin c x d a x b++型.通常是先解出sinx=d by ay c −−后，再解出不等式|d by ay c−−|≤1得出y 的范围.例2求y=2sin 1sin 2x x −+的最值.分析由y=2sin 1sin 2x x −+，解得sinx=212y y −−−.再有|212y y −−−|≤1，解得-3≤y≤13.所以y 的最大值是13、最小值是-3.1.3y=cos sin c x d a x b++型.通常是将原式化为aysinx-ccosx=d-by,即22)(cay +sin(x-Φ)=d-by.得sin(x-Φ)≤|1|≤1，得出y 的范围.例3求函数y=12sin cos x x ++的最大值.分析由y=12sin cos x x ++，知y≠0.于是原式可以化为ysinx+ycosx=1-2y，即2ysin(x+4π)=1-2y.∵y≠0,∴sin(x+4π)=.解得≤y≤1+.所以y 的最大值是.1.4y=asin 2x+bsinx+c(或y=acos 2x+bcosx+c)型.通常用配方法求最值，但是应该注意条件-1≤sinx1≤以及对称轴与区间[-1，1]的位置关系.例4求函数y=cos 2x-2asinx-a.(a 为定值)的最大值M.分析y=cos 2x-2asinx-a=1-sin 2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a 2-a+1.(1)若a>1,则sinx=-1时，M=-(-1+a)2+a 2-a+1=a.(2)若a<-1,则sinx=1时，M=-(1+a)2+a 2-a+1=-3a.(3)若-1≤a≤1,则sinx=a 时，M=a 2-a+1.1.5y=asin 2x+bsinxcosx+ccos 2x 型.通常是运用降幂公式、倍角公式整理后化为y=acosx+bsinx 型.例5若0≤θ≤π，且f(θ)=53cos 2θ+3sin 2θ-4sinθcosθ,求f(θ)的最大值和最小值.分析利用降幂公式可得：f(θ)=−−++22cos 1322cos 135θθ)23sin(4332sin 2θπθ−+=.由0≤θ≤π，可得-53π＜3π-2θ≤3π.所以-1≤sin(3π-2θ)≤1.所以f(θ)的最大值是33+4、最小值是33-4.1.6y=sinxcos 2x 型.通常是用均值不等式求解.例6已知sin 2α+sin 2β+sin 2γ=1(α、β、γ为锐角)，那么cosαcosβcosγ最大值是什么？分析由sin 2α+sin 2β+sin 2γ=1，得sin 2α+sin 2β=cos 2γ.那么cos 2αcos 2βcos 2γ=cos 2αcos 2β(sin 2α+sin 2β)≤（3sin sin cos cos 2222βαβα+++）3=827.所以.1.7f(sinx±cosx、sinxcosx)型.通常是用和差换元的方法化为二次函数问题.例7求函数y=sinxcosx+sinx+cosx 的最大值.分析设sinx+cosx=t(|t|≤2)，则sinxcosx=212t −.这样y=212t −+t=12(t+1)2-1(-2≤t≤2).所以t=2时y 的最大值是12（2+1）2-1=2+12.二、三角函数最值问题的常见错误.最值问题是中学数学中很常见，很重要的体型，也是高考的热点，此类问题在代数、三角、立体几何和解析几何中屡屡出现，它的解法灵活多变，在学习中发现大家在解题时常常出现错误，而且有的还相当隐蔽，现列举解三角函数最值时常见错误加以分析仅供参考。
三角函数最值问题常见解法
三角函数最值问题的几种常见解法一 、配方法若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，切它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理。
例1 函数3cos 3sin 2+--=x x y 的最小值为（ ）.A ． 2B . 0C . 41- D . 6 [分析]本题可通过公式x x 22cos 1sin -=将函数表达式化为2cos 3cos 2+-=x x y ，因含有cosx 的二次式，可换元，令cosx=t ，则,23,112+-=≤≤-t t y t 配方，得41232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y , ∴≤≤-,11t 当t=1时,即cosx=1时，0min =y ,选B.例2 求函数y=5sinx+cos2x 的最值[分 析] ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。
()48331612,,221sin 683316812,,22,1sin ,1sin 183345sin 21sin 5sin 2sin 21sin 5max min 222=+⨯-=∈+=∴=-=+⨯-=∈-=-=∴≤≤-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=-+=y z k k x x y z k k x x x x x x x x y ππππ 二 、引入辅助角法例3已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。
[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解。
解： ().47,6,2262,4562sin 21452sin 232cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⋅++⋅=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ三 、利用三角函数的有界性在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。
常用三角函数最值求解四法 三角函数公式大全表格
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解. 或者也可先用反解法,再用三角函数的有界性求解.
∴ f(x)的最小正周期为π,最大值为 1+■.
解 原函数可变形为 y=1+■.
说明 解这类问题先降幂是关键,一般常用以下四个三角公式来降
又|cosx|≤1,可直接得到 y≥3 或 y≤■.
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常用三角函数最值求解四法 三角函数公式大全表格
解 y=5sinx+(1-2sin2x)=-2sin2x+5sinx+1 =-2(sinx-■)2+■.
三角函数最值问题是高考数学中常常涉及的问题,解这一类问题,对 三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高,一方面应充分利用三角函 数自身的特殊性(如有界性等),另一方面还要留意将求解三角函数最值问 题转化为求我们所熟知的函数(二次函数等)最值问题. 那么,常见的求三 角函数最值的方法有哪些呢?让我们一起看过来!
一、配方法
二、界值法
若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数,且它们的最高次数是 2 时,一般可通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处 理.
例 1 求函数 y=5sinx+cos2x 的最值. 分析 题目中的三角函数名一个为正弦,一个为余弦,角分别是单角和 倍角,所以可先化简,使三角函数的名和角到达统一,然后配方求最值.
分析 式中有两个三角名,可通过角的变换转化为代数式求函数值域
最大值.
问题.
分析 在此题的函数表达式中,既含有正弦函数,又含有余弦函数,并
解 令 sinx+cosx=t,则 t=■sin(x+■),t∈[-■,■].
高三数学三角函数的最值问题分类例析
三角函数的最值问题分类例析三角函数式的最值问题是函数最值的重要组成部分，也是历屉高考的热点之一。
三角函数的最值问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关，而且与代数中的二次函数、一元二次议程、不等式及某些几何知识的联系也很密切。
因此，三角函数的最值问题的求解，往往要综合应用多方面的知识。
三角函数的最值问题的类型很好，其常见类型有以下几种： 一、y=asinx+b （或y=acosx+b ）型 处理方法：利用()1cos 1sin ≤≤x x 或，即可求解，此时必须注意字母a 的符号对最值的影响。
例1 函数y =a cos x +b （a 、b 为常数），若－7≤y ≤1，求b sin x +a cos x 的最大值. 剖析：函数y =a cos x +b 的最值与a 的符号有关，故需对a 分类讨论.解：当a ＞0时，⇒⎩⎨⎧=+-=+71b a b a a =4，b =－3； 当a =0时，不合题意；当a ＜0时，⇒⎩⎨⎧-=+=+-71b a b a a =－4，b =－3. 当a =4，b =－3时，b sin x +a cos x =－3sin x +4cos x =5sin （x +ϕ）（tan ϕ=－34）； 当a =－4，b =－3时，b sin x +a cos x =－3sin x －4cos x =5sin （x +ϕ）（tan ϕ=34）. ∴b sin x +a cos x 的最大值为5.例2．例3已知函数()b a x x a x a x f++--=2cos sin 322cos 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，值域为[5,1]-，求常数a 、b 的值. 解：∵()b a x a x a x f++--=22sin 32cos ，b a x a ++⎪⎭⎫ ⎝⎛--=232cos 2π .∵20π≤≤x ，∴32323πππ≤-≤-x ，∴1 32cos 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-πx .当0a >时，()3b f x a b ≤≤+.∴⎩⎨⎧-==+.513b b a ，解得⎩⎨⎧-==.52b a ，当0a <时，3()a b f x b +≤≤.∴⎩⎨⎧=-=+.153b b a ，解得⎩⎨⎧=-=.12b a ，故a 、b 的值为⎩⎨⎧-==52b a 或⎩⎨⎧=-=12b a感悟：分类讨论是重要的数学思想方法，本例若不对常数a 进行讨论，将会出错。
高考专题资料4三角函数最值问题的几种常见类型
三角函数最值问题的几种常见类型1．y=asinx+bcosx 型的函数特点是含有正余弦函数，并且是一次式。
解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数。
应用课本中现成的公式即可：y=22a b +sin(x+φ)，其中tan ba φ=例1.已知函数f(x)=2cosxsin(x+3π)－3sin 2x+sinxcosx(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x 的值； 2．y=asin 2x+bsinxcosx+cos 2x 型的函数。
特点是含有sinx, cosx 的二次式，处理方式是降幂，再化为型1的形式来解。
例2．求y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最小值，并求出y 取最小值时的x 的集合。
3．y=asin 2x+bcosx+c 型的函数 特点是含有sinx, cosx ，并且其中一个是二次，处理方式是应用sin 2x+cos 2x=1,使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成二次函数来求解。
例3. 是否存在实数a ，使得函数y=sin 2x+a ·cosx+85a －23在闭区间［0，2π］上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由. 4．y=sin cos a x cb x d++型的函数特点是一个分式，分子、分母分别会有正、余弦的一次式。
几乎所有的分式型都可以通过分子，分母的化简，最后整理成这个形式，它的处理方式有多种。
例4．求函数y=2sin 2cos xx--的最大值和最小值。
5．含有sinx 与cosx 的和与积型的函数式。
其特点是含有或经过化简整理后出现sinx+cosx 与sinxcosx 的式子，处理方式是应用(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx 进行转化，变成二次函数的问题。
例5．求y=2sinxcosx+sinx+cosx 的最大值。
三角函数最值问题的十种常见解法
三角函数最值问题的十种常见解法解法一：利用图像性质求解利用三角函数的图像性质，首先将函数图像画出来，观察函数在指定区间上的最大值和最小值所对应的点的坐标。
解法二：使用导数求解通过对三角函数进行求导，然后将导数等于零进行求解，可以得到函数的关键点，进而通过函数的变化趋势确定最值。
解法三：使用平均值不等式求解根据平均值不等式的性质，可以得到三角函数的最值。
例如，对于正弦函数sin(x)，可以利用平均值不等式得到最值。
解法四：使用二次函数的性质求解将三角函数转化为二次函数的形式，然后利用二次函数的性质求解最值。
例如，可以将正弦函数sin(x)转化为二次函数的形式。
解法五：使用三角函数的周期性质求解三角函数的周期性质可以帮助我们确定最值所在的区间。
通过观察函数的周期性质，可以得到函数的最大值和最小值。
解法六：使用三角函数的反函数求解利用三角函数的反函数，可以将问题转化为求解反函数的最值问题。
通过对反函数的最值进行求解，可以得到原函数的最值。
解法七：使用三角函数的恒等式求解利用三角函数的恒等式，可以将复杂的三角函数转化为简单的形式，进而求解最值问题。
例如，可以利用和差公式将三角函数的角度转化为相对简单的形式。
解法八：使用三角函数的基本关系求解利用三角函数的基本关系，可以将复杂的三角函数转化为简单的形式，进而求解最值问题。
例如，可以利用正切函数和余切函数的基本关系求解最值。
解法九：使用三角函数的积分求解通过对三角函数进行积分，可以得到函数的积分表达式，并通过积分表达式求解最值。
例如，可以通过对正弦函数进行积分得到函数的积分表达式。
解法十：使用泰勒级数展开求解利用泰勒级数展开，可以将三角函数转化为幂级数形式，进而求解最值问题。
通过计算前几项幂级数的和，可以得到函数的近似值，并进一步求解最值。
三角函数最值问题的解法
知识导航在历届数学高考试题中，三角函数最值问题总是备受命题者的青睐.三角函数最值问题不仅考查了三角函数的基本公式、图象、性质，还考查了求最值的方法，是一类难度较大的问题.下面，我们重点探讨解答三角函数最值问题的三种方法：基本不等式法、换元法、化一法.一、基本不等式法基本不等式法是指运用基本不等式：若a ，b ∈R*,则a +b ≥2ab 求得最值的方法.运用基本不等式求最值，必须满足三个条件：①各项都是正值；②各项之和或积是定值；③取等号时不等式一定成立.同时还要灵活运用拆项、添项、凑系数等技巧凑出各项之和或积，使其和或积是定值.例1.若x ∈()0,π，求函数y =()1+cos x ∙sin x2的最大值.解：因为x ∈()0,π，所以y =()1+cos x ∙sin x 2=2cos 2x 2∙sin x2>0，所以y 2=4cos 4x 2∙sin 2x2≤2æèççççöø÷÷÷÷cos 2x 2+cos 2x 2+2sin 2x 233=1627，所以0<y ，当cos 2x 2=2sin 2x 2时，即tan x 2=±2,则x =2k π±2arctan 2，所以当x =2k π±2arctan 2时，函数的最大值为.这里先从所求的目标函数出发，通过三角恒等变换，配凑出两项之积，并使其和为定值，进而运用基本不等式求得三角函数的最值.二、换元法对于题目中含有sin x +cos x 、sin x -cos x 、sin x ·cos x 的三角函数最值问题，我们一般采用换元法求解.利用同角的关系式sin 2x +cos 2x =1可将上述三式相互转化，将其中之一用新元替换，进而将三角函数最值问题转化为关于新元的函数最值问题来求解.例2.求函数y =sin x ∙cos x +sin x +cos x 的最大值.解：设sin x +cos x =t ，则sin x ∙cos x =t 2-12()||t ≤2.则y =12t 2+t -12=12()t -12-1()||t ≤2，当t ≤2时，即当sin æèöøx +π4=1时，y 取最大值.所以y max =，即函数y =sin x ∙cos x +sin x +cos x 的最大值是.解答本题主要运用了换元法，首先令sin x +cos x =t ，将目标函数式转化为关于t 的函数式，然后根据正弦函数的有界性以及二次函数的性质求得三角函数式的最值.在换元的过程中，要注意定义域的等价转换.三、化一法化一法是指利用三角恒等变换技巧及辅助角公式把三角函数式化成y =A sin(ωx +φ)+t 或y ＝A cos (ωx +φ)+t 的形式，然后利用正弦函数与余弦函数的图象和性质求得最值的方法.化一法是解答三角函数最值问题的常用方法.例3.求函数y =sin 2x +2sin x cos x +3cos 2x 的最大值，并写出函数y 取最小值时x 的集合.解：因为y =sin 2x +2sin x cos x +3cos 2x ，所以y =1-cos 2x 2+sin 2x +32()1+cos 2x ，=2+cos 2x +sin 2x =2+2sin æèöø2x +π4，当2x +π4=2k π-π2()k ∈Z ，即x =k π-38π()k ∈Z 时，y min =2-2，当x ∈{}|x x =k π-38π,k ∈Z 时，函数y 有最小值y min =2-2.在解答本题时，我们首先利用正弦和余弦的二倍角公式、辅助角公式将目标三角函数式化简，然后运用正弦函数的性质求得三角函数的最值.上述三种方法的适用范围各不相同，其中化一法的应用范围最广，基本不等式法的应用范围较窄.三角函数最值问题具有较强的灵活性，解法有很多，同学们在学习中要注意总结.（作者单位：浙江省宁波北仑明港高级中学）38Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
三角函数-秒杀技巧-最值问题
三角函数-秒杀技巧-最值问题三角函数是高中数学中的一个重要章节，也是考试中的一个难点和重要知识点。
在三角函数中，最为常见的就是求解最值问题，即给定一些函数的定义域，要求确定该函数的最大值或最小值。
下面将详细介绍三角函数的求解最值问题的秒杀技巧。
首先，我们先来回顾一下三角函数的基本性质。
三角函数是代数函数的一种，其定义域是实数集，值域是[-1,1]。
在解决三角函数最值问题时，我们还需要利用到单位圆、周期性、奇偶性等特点。
其次，我们要了解最值问题的一般思路。
对于求解最大值问题，一般是先找到函数的极值点，在极值点中找到最大值。
而求解最小值问题，则是先找到函数的不可求之点，然后求取其他点的最小值。
在找到极值点和不可求之点之后，可以通过画函数图像、用导数等方法求解最值。
接下来，我们将详细介绍三角函数最值问题的秒杀技巧。
1. 利用单位圆：单位圆是一个半径为1的圆，它的圆心为原点O(0,0)。
对于三角函数来说，单位圆的图像非常重要。
利用单位圆的图像，我们可以快速判断三角函数的最大值和最小值。
例如对于正弦函数sin(x)，它的最大值是1，最小值是-1；对于余弦函数cos(x)，它的最大值也是1，最小值也是-1、通过记忆这些最大值和最小值，我们可以快速判断一个三角函数的最值问题。
2. 利用周期性：三角函数都是周期函数，即在定义域内存在一个正整数n，使得f(x + 2πn) = f(x)。
由于周期性的存在，三角函数的最值问题可以转化为在一个周期内求解。
例如对于正弦函数sin(x)，它的周期是2π，因此在0到2π之间寻找最值即可；对于余弦函数cos(x)，它的周期也是2π。
3. 利用奇偶性：三角函数中的正弦函数和正割函数是奇函数，余弦函数、余割函数和正切函数是偶函数。
利用奇偶性，我们可以快速判断三角函数的最值问题。
例如对于正弦函数sin(x)，它的最大值一定在定义域的中点取到；对于余弦函数cos(x)，它的最小值一定在定义域的中点取到。
数学-三角函数中的最值问题(4种方法)
三角函数中的最值问题（4种方法）基本方法1、直接法：形如f (x )＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b ),值域为[－|a |＋b ，|a |＋b ]，形如y＝asinx＋bcsinx＋c 的函数可反解出sinx，利用|sinx|≤1求解，或分离常数法.2、化一法：形如f (x )＝a sin x ＋b cos x ，f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＋c sin x cos x 的函数可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，利用正弦函数的有界性求解，给定x 范围时要注意讨论ωx ＋φ的范围，注意利用单位圆或函数图象．3、换元法：形如f (x )＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a cos 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a (sin x ±cos x )＋b sin x ·cos x 的函数可通过换元转化为二次函数在某区间上的值域求解．4、几何法（数形结合）：形如dx c bx a y ++=cos sin 转化为斜率问题，或用反解法.典型例题例1已知函数f (x )=(sin x+cos x )2+cos 2x ,求f (x)在区间.解：（化一法）因为f (x )=sin 2x+cos 2x+2sin x cos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=2sin2 +1,当x∈0,2 ∈由正弦函数y=sin x当2x+π4π2,即x=π8时,f (x )取最大值2+1;当2x+π45π4,即x=π2时,f (x )取最小值0.综上,f (x )在0,上的最大值为2+1,最小值为0.例2求函数y ＝2＋sin x ＋cos x 的最大值.解：（化一法）y ＝2＋2sin(x ＋π4)，当x ＝π4＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝2＋2例3求函数f (x )＝cos2x ＋6cos(π2－x )的最大值.解：（换元法）f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2(sin x －32)2＋112.令sin x ＝t ，则t ∈[－1,1]，函数y ＝－2(t －32)2＋112在[－1,1]上递增，∴当t ＝1时，y 最大＝5，即f (x )max ＝5，例4已知x 是三角形的最小内角，求函数y ＝sin x ＋cos x －sin x cos x 的最小值.解：（换元法）由0≤x ≤π3，令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，又0<x ≤π3，∴π4<x ＋π4≤712π，得1<t ≤2；又t 2＝1＋2sin x cos x ，得sin x cos x ＝t 2－12，得y ＝t －t 2－12＝－12(t －1)2＋1，例5已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的取值范围.解：（换元法）令cos α＋cos β＝t ，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝t 2＋12，即2＋2cos(α－β)＝t 2＋12⇒2cos(α－β)＝t 2－32，∴－2≤t 2－32≤2⇒－12≤t 2≤72，∴－142≤t ≤142，即－142≤cos α＋cos β≤142.例6求函数y ＝1＋sin x3＋cos x的值域解法一：（几何法）1＋sin x3＋cos x可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x3＋cos x满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为[0，34]．解法二：（反解法）由y ＝1＋sin x3＋cos x 得sin x －y cos x ＝3y －1，∴sin(x ＋φ)＝3y －11＋y2其中sin φ＝－y 1＋y 2，cos φ＝11＋y 2.∴|3y －11＋y2|≤1，解得0≤y ≤34.例7求函数y ＝2sin x ＋1sin x －2的值域解法一：（分离常数法）y ＝2sin x ＋1sin x －2＝2＋5sin x －2，由于－1≤sin x ≤1，所以－5≤5sin x －2≤－53，∴函数的值域为[－3，13]．解法二：（反解法）由y ＝2sin x ＋1sin x －2，解得sin x ＝2y ＋1y －2，∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤2y ＋1y －2≤1，解得－3≤y ≤13，∴函数的值域为[－3，13]．针对训练1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为____.此时x ＝____.2.函数xxy cos -3sin -4的最大值为.3.函数f (x )=sin 2x+3cos ∈的最大值是.4.函数y ＝12＋sin x ＋cos x的最大值是【解析】1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．2.解析式表示过A (cos x ,sin x ),B (3,4)的直线的斜率,则过定点(3,4)与单位圆相切时的切线斜率为最值,所以设切线的斜率为k ,则直线方程为y-4=k (x-3),即kx-y-3k+4=+11,∴k max3.由题意可知f (x )=1-cos 2x+3cos x-34=-cos 2x+3cos x+14=-cos -+1.因为x ∈0,cos x ∈[0,1].所以当cos f (x )取得最大值1.4.∵y ＝12＋2sin (x ＋π4)，又2－2≤2＋2sin(x ＋π4)≤2＋2∴y ≤12－2＝1＋22，含参问题一、单选题1．已知函数()sin cos (0,0)62af x x x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭，对任意x ∈R ，都有()f x ≤，若()f x 在[0,]π上的值域为3[2，则ω的取值范围是（）A．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．12,33⎡⎤⎢⎣⎦C．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()sin cos 62a f x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos 2a x x ωω++max ()f x =02a a >∴= ，())3f x x πω∴=+0,0x πω≤≤> ，333x πππωωπ∴≤+≤+，3()2f x ≤ 2233πππωπ∴≤+≤，1163ω∴≤≤.故选：A2．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，关于函数()g x ，下列说法正确的是（）A．在,42ππ⎡⎤⎢⎣⎦上是增函数B．其图像关于直线6x π=对称C．在区间,1224ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1--D．函数()g x 是奇函数【解析】因()()cos 2sin 06f x x x x πωωωω⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，则()f x 的最小正周期为22T ππω==，即4ω=，所以()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得()2sin 42sin 42cos 46662f x g x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，所以，()g x 为偶函数，故D 选项不正确；由4,k x k k Z πππ≤≤+∈，即,44k k x k Z πππ+≤≤∈，故()g x 在区间(),44k k k Z πππ+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故A选项不正确；由4,2x k k Z ππ=+∈，即,48k x k Z ππ=+∈，所以()g x 图像关于,48k x k Z ππ=+∈对称，故B选项不正确；当,1224x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，4,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，则()21g x -≤≤-，所以C 选项正确.故选：C.3．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（）A．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．73,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．57,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为0>ω，所以当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[,]4424x ππωππω-∈--因为函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以52244πωπππ≤-≤，解得332ω≤≤，故选：B．4．已知函数()(2)f x x ϕ=+22ππϕ-≤≤，若()0f x >在5(0,)12π上恒成立，则3(4f π的最大值为（）B．0C．D．2-【解析】因为5(0,)12x π∈,故52(,)6x πϕϕϕ+∈+；由()0f x >，即1sin(2)2x ϕ+>-，得722266k x k πππϕπ-+<+<+，k Z ∈，故57(,)(2,2)666k k πππϕϕππ+⊆-++，k Z ∈，故2657266k k πϕπππϕπ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得2263k k πππϕπ-+≤≤+，k Z ∈；又22ππϕ-≤≤，故63ππϕ-≤≤，5．已知曲线()sin cos f x x m x ωω=+，()m R ∈相邻对称轴之间的距离为2π，且函数()f x 在0x x =处取得最大值，则下列命题正确的个数为（）①当0,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，m的取值范围是⎣；②将()f x 的图象向左平移04x 个单位后所对应的函数为偶函数；③函数()()y f x f x =+的最小正周期为π；④函数()()y f x f x =+在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．故33()()42f ππϕϕ⎡⎤+++-⎢⎥⎣⎦，故3()4f π的最大值为0．故选：BA．1B．2C．3D．4【解析】函数()f x 的相邻对称轴之间的距离为2π，则周期为22T ππ=⨯=，∴22πωπ==，()sin 2cos 2f x x m x =+)x ϕ=+，其中cos ϕ=，sin ϕ=[0,2)ϕπ∈，()f x 在0x 处取最大值，则022,2x k k Z πϕπ+=+∈，0222k x πϕπ=+-，k Z ∈，①若0[,]126x ππ∈，则[2,2]63k k ππϕππ∈++，1sin 2ϕ≤≤，12解m ≤正确．②如()sin(28f x x π=+，0316x π=时函数取最大值，将()f x 的图象向左平移04x 个单位后得313()sin[2(4)sin(2)1688g x x x πππ=+⨯+=+，不是偶函数，错；③()()y f x f x =+中，()y f x =是最小正周期是π，()y f x =的最小正周期是2π，但()()y f x f x =+的最小正周期还是π，正确；④003[,44x x x ππ∈++时，()()0y f x f x =+=，因此在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有无数个零点，错；∴正确的命题有2个．故选：B．6．已知函数()cos 4cos 12=+-xf x x 在区间[0,]π的最小值是（）A．-2B．-4C．2D．4【解析】22()cos 4cos 12cos 14cos 12(cos 1)42222x x x x f x x =+-=-+-=+-，由[0,]x π∈知，[0,]22xπ∈，cos [0,1]2x ∈，则当x π=时，函数()f x 有最小值min ()2f x =-.故选：A.7．已知()cos31cos xf x x=+,将()f x 的图象向左平移6π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12得到()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法中正确的个数为（）①函数()g x 的周期为2π;②函数()g x 的值域为[]22-,;③函数()g x 的图象关于12x π=-对称;④函数()g x 的图象关于,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】()()cos 2cos311cos cos x x xf x x x+=+=+cos 2cos sin 2sin 12cos 2cos x x x x x x -=+=.即：()2cos 2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈.()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈.①因为函数()g x 的周期为2π，因此①正确.②因为,62k x k Z ππ≠+∈，故() 2.g x ≠-因此②错误.③令4,3x k k Z ππ+=∈，得,124k x k Z ππ=-+∈.故③正确k ππ二、填空题8．函数()2sin()sin()2sin cos 66f x x x x x ππ=-++在区间[0,2π上的值域为__________．【解析】由11(x)sinx cosx)(sinx cosx)sin 2x2222f =-++22312(sin x cos x)sin 2x 44=-+2231sin cos sin 222x x x=-+11cos 2sin 22x x =--+1x )24π=-当[0,]2x π∈时，2[,]444x ππ3π-∈-，则sin(2)[42x π-∈-，所以11(x)[,22f ∈-.故答案为：11[,22-9．若函数()()2cos 2cos 202f x x x πθθ⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭的图象过点()0,1M ，则()f x 的值域为__________.【解析】由题意可得()02cos 2cos 02cos 211f θθ=+=+=，得cos 20θ=，02πθ<<，02θπ∴<<，22πθ∴=，则4πθ=，()22cos cos 2cos 22sin 2sin 2sin 12f x x x x x x x π⎛⎫∴=++=-=--+ ⎪⎝⎭2132sin 22x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，令[]sin 1,1t x =∈-，则213222y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.当12t =-时，该函数取最大值，即max 32y =，当1t =时，该函数取最小值，即min 3y =-.因此，函数()y f x =的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.10．函数32()sin 3cos ,32f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域为_________．【解析】由题意，可得()3232ππf x sin x 3cos x sin x 3sin x 3,x ,,32⎡⎤=+=-+∈-⎢⎥⎣⎦，令t sinx =，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()32g t t 3t 3=-+，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()2g't 3t 6t 3t t 2=-=-，当t 0<<时，()g't 0>，当0t 1<<时，()g't 0>，即()y g t =在⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，在[]0,1为减函数，又g ⎛=⎝⎭()g 03=，()g 11=，故函数的值域为：⎤⎥⎣⎦．11．（2019·广东高三月考（文））函数()cos 2|sin |f x x x =+的值域为______．【解析】2219()cos 2|sin |12|sin ||sin |2|sin |48f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭,所以当1sin 4x =时,()f x 取到最大值98,当sin 1x =时,()f x 取到最小值0,所以()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
高中数学解题方法系列：三角函数最值问题的10种方法
高中数学解题方法系列：三角函数最值问题的10种方法三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高.解决三角函数最值这类问题的基本途径，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题.下面介绍几种常见的求三角函数最值的方法：一．转化一次函数在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法.例1．求函数2cos 1y x =-的值域[分析] 此为cos y a x b =+型的三角函数求最值问题， 设cos t x =，由三角函数的有界性得[1,1]t ∈-，则21[3,1]y t =-∈-二. 转化sin()y A x b ωϕ=++(辅助角法)观察三角函数名和角，先化简，使三角函数的名和角统一.例2．（2017年全国II 卷）求函数()2cos sin f x x x =+的最大值为.[分析] 此为sin cos y a x b x =+型的三角函数求最值问题，通过引入辅助角公式把三角函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用|sin cos |a x b x +≤求最值.()f x ≤三. 转化二次函数(配方法)若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，且它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理.例3． 求函数3cos 3sin 2+--=x x y 的最小值.[分析]利用22sin cos 1x x +=将原函数转化为2cos 3cos 2+-=x x y ，令cos t x =，则,23,112+-=≤≤-t t y t 配方，得41232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y , ∴≤≤-,11t Θ当t=1时,即cosx=1时，0min =y四. 引入参数转化（换元法）对于表达式中同时含有sinx+cosx ，与sinxcosx 的函数，运用关系式(),cos sin 21cos sin 2x x x x ±=± 一般都可采用换元法转化为t 的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围.例4. 求函数sin cos sin .cos y x x x x =++的最大值.[分析]解：令().cos sin 21cos sin 2x x x x +=+，设sin cos .t x x =+则[]()t t y t t x x +-=∴-∈-=21,2,221cos sin 22，其中[]2,2-∈t 当.221,14sin ,2max +=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x t π 五. 利用基本不等式法利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区.例5. 已知()π,0∈x ，求函数1sin 2sin y x x =+的最小值. [分析] 此题为xa x sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解.设()1sin ,01,2x t t y t t =<≤=+≥=2t =. 六．利用函数在区间内的单调性 例6.已知()π,0∈x ，求函数x x y sin 2sin +=的最小值. [分析] 此题为xa x sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解. 设()t t y t t x 1,10,sin +=≤<=，在（0，1）上为减函数，当t=1时，3min =y .七．转化部分分式例7．求函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域[分析] 此为dx c b x a y -+=cos cos 型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解.或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解. 解法一：原函数变形为1cos ,1cos 221≤-+=x x y Θ，可直接得到：3≥y 或.31≤y 解法一：原函数变形为()()∴≤-+∴≤-+=,1121,1cos ,121cos y y x y y x Θ3≥y 或.31≤y 八． 数形结合由于1cos sin 22=+x x ，所以从图形考虑，点(cosx,sinx)在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得. 例8． 求函数()π<<--=x xx y 0cos 2sin 的最小值. [分析] 法一：将表达式改写成,cos 2sin 0x x y --=y 可看成连接两点A(2,0)与点(cosx,sinx)的直线的斜率.由于点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆的上半圆（如图），所以求y 的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小.设过点A 的切线与半圆相切与点B,则.0<≤y k AB 可求得.3365tan -==πAB k 所以y 的最小值为33-（此时3π=x ）. 法二：该题也可利用关系式asinx+bcosx=()φ++x b a sin 22（即引入辅助角法）和有界性来求解.九． 判别式法例9．求函数22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++的最值. [分析] 同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法.解：()()()()222tan tan 1tan tan 11tan 1tan 101,tan 0,x x y x x y x y x y y x x k k ππ-+=++∴-+++-=∴===∈1≠y 时此时一元二次方程总有实数解()()()().3310313,014122≤≤∴≤--∴≥--+=∆∴y y y y y 由y=3，tanx=-1，()3,4max =∈+=∴y z k k x ππ 由.31,4,1tan ,31min =+=∴==y k x x y ππ 十． 分类讨论法含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论.例10.设()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤--+-=20214sin cos 2πx a x a x x f ，用a 表示f(x)的最大值M(a). 解：().214sin sin 2+-+-=a x a x x f 令sinx=t,则,10≤≤t ()().21442214222+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-+-==a a a t a at t x f t g （1） 当12≥a ，即()t g a ,2≥在[0，1]上递增， ()();21431-==a g a M （2） 当,120≤≤a 即20≤≤a 时，()t g 在[0，1]上先增后减，();214422+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a g a M （3） 当,02≤a 即()t g a ,0≤在[0，1]上递减，()().4210a g a M -== ()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+-≥-=∴0,42120,21442,21432a a a a a a a a M以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见.解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在.挑战自我：1.求函数y=5sinx+cos2x 的最值2.已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合.3.已知函数())cos (sin sin 2x x x x f +=，求函数f(x)的最小正周期和最大值.参考答案：1.[分 析] ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一. ()48331612,,221sin 683316812,,22,1sin ,1sin 183345sin 21sin 5sin 2sin 21sin 5max min 222=+⨯-=∈+=∴=-=+⨯-=∈-=-=∴≤≤-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=-+=y z k k x x y z k k x x x x x x x x y ππππΘ 2.[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解.解： ().47,6,2262,4562sin 21452sin 232cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⋅++⋅=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ∴ f(x)的最小正周期为π，最大值为21+.3.[分析] 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式. 解：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-=+=42212sin 2cos 1cos sin 2sin 22πx sn x x x x x x f。
三角函数最值问题的十种常见解法
三角函数最值问题的十种常见解法t=sinx+cosx，则y=t+sinx*cosx，利用关系式sinx*cosx≤1可得y≤t+1，而t的取值范围为[-√2,√2]，当t=√2时，y取得最大值√2+1.五.利用导数法求极值对于一些复杂的三角函数最值问题，可以利用导数法求解.例如对于y=2sinx+3cosx+4sin2x，求其最大值.分析]解：y'=2cosx-3sinx+8cos2x，令y'=0，得cosx=3/10或cosx=-1/2，代入原式可得y的最大值为(7+8√6)/5.六.利用三角函数的周期性对于周期函数，可以利用其周期性来求解最值问题.例如对于y=3sin(2x+π/6)+4cos(2x-π/3)，求其最大值.分析]解：由于sin和cos函数都是周期为2π的函数，因此可以将y化简为y=3sin2x+4cos2x+3√3，利用三角函数的性质可得y的最大值为7+3√3.七.利用三角函数的单调性对于单调函数，可以利用其单调性来求解最值问题.例如对于y=2sinx+3cosx，求其最小值.分析]解：y的导数y'=2cosx-3sinx，y'的符号与sinx和cosx的符号相同，因此y在[π/2,π]上单调递减，在[0,π/2]上单调递增，因此y的最小值为y(π/2)=2.八.利用三角函数的对称性对于一些具有对称性的三角函数，可以利用其对称性来求解最值问题.例如对于y=sin2x+cos2x，求其最大值和最小值.分析]解：y=sin2x+cos2x=1，因此y的最大值为1，最小值也为1.九.利用三角函数的积分性质对于一些三角函数的积分性质，可以利用其求解最值问题.例如对于y=sin2x/x，求其最大值.分析]解：y'=2cos2x/x-sin2x/x²，令y'=0，得x=tanx，代入原式可得y的最大值为2.十.利用三角函数的平均值不等式对于一些三角函数，可以利用其平均值不等式来求解最值问题.例如对于y=sin2x+cos2x，求其最大值和最小值.分析]解：由平均值不等式可得(sin2x+cos2x)/2≥sinx*cosx，因此y的最大值为1，最小值也为1.sin x+\cos x=1+2\sin x\cos x$，设$t=\sin x+\cos x$，则$2\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$，$\therefore y=\frac{t+\frac{t^2-1}{2}}{2}=\frac{t^2+t-1}{4}$，其中$t\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$。
三角函数最值问题的十种常见解法-6.18
三角函数最值问题的十种常见解法三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。
解决三角函数的最值问题不仅会用到三角函数的基本定义、单调性、奇偶性、周期性、有界性和三角函数图像，而且还会用到三角函数的多种恒等变化。
同时，在三角函数的最值问题中常常涉及到初等函数、不等式、方程、几何等方面问题；常用公式1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=。
2. 辅助角公式sin cos ),sin a x b x x ϕφφ+=+==3．二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；22tan tan 21tan ααα=-。
4．半角公式sin2α=cos 2α=tan 2α= （sin 1cos tan21cos sin ααααα-==+）5. 万能公式22222tan1tan 2tan222sin ,cos ,tan 1tan 1tan 1tan 222ααααααααα-===++-题型一：sin y a x b =+或cos y a x b =+型函数策略：转化为一次函数在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法，即利用sin 1x ≤或cos 1x ≤便可求解，max min ,y a b y a b =+=-+。
评析:①必须注意字母a 的符号对最值的影响;②必须注意自变量x 对最值的影响。
例1：求函数2cos 1y x =-的值域解析：此为cos y a x b =+型的三角函数求最值问题， 设cos t x =， 由三角函数的有界性得[1,1]t ∈-，则21[3,1]y t =-∈-巩固：求sin()cos 6y x x π=-，(,)43x ππ∈的值域解析：111sin()cos sin(2)sin sin(2)6266264y x x x x ππππ⎡⎤=-=--=--⎢⎥⎣⎦∵(,)43x ππ∈，∴2(,)632x πππ-∈，∴sin(2)6x π-∈∴1)4y ∈题型二：sin cos y a x b x =+型，引入辅助角ϕ ，化为y=22b a +sin （x+ϕ）,利用函数()1sin ≤+ϕx 即可求解。
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目录摘要................................................................................................................................................... I I ABSTRACT ......................................................................................................................................... I II 第一章绪论.. (4)1.1 三角函数的起源与发展 (4)1.2 三角函数的最值问题 (4)第二章解决三角函数最值问题的方法技巧 (6)2.1 利用三角函数的定义、性质与函数图像解决最值问题 (6)2.2 利用转化（或化归）思想解决最值问题 (7)2.3 利用换元法解决最值问题 (10)2.4 利用数形结合解决最值问题 (14)2.5 利用不等式解决最值问题 (15)第三章三角函数最值的简单应用 (17)3.1 在数列中的简单应用 (17)3.2 在不等式中的简单应用 (18)3.3 在几何中的简单应用 (19)3.4 在复数中的简单应用 (20)第四章结论 (22)参考文献........................................................................................................... 错误!未定义书签。
致....................................................................................................................... 错误!未定义书签。
三角函数最值问题的若干讨论学生：指导教师：摘要三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，在近几年的高考试题中经常出现，成为高考中的一个命题热点，同时也是高中数学必修课中的几大容之一。
解决三角函数的最值问题不仅会用到三角函数的基本定义、单调性、奇偶性、周期性、有界性和三角函数图像，而且还会用到三角函数的多种恒等变化。
同时，在三角函数的最值问题中常常涉及到初等函数、不等式、方程、几何等方面问题；而且在解决一些不等式、数列等问题中也会用三角函数的最值来求解。
由此看来，三角函数的最值问题具有一定的综合性和灵活性。
本文将从具体的是实例出发，介绍并分析求解三角函数最值问题的几种基本方法和几种比较典型的解题方法，找出一般的解题方法和技巧；在介绍三角函数最值在数列、不等式等题型中的简单应用。
关键字：三角函数；最值；方法；技巧；应用TRIGONOMETRIC NUMBER OF DISCUSSIONS ON THE QUESTION OF THE MOST V ALUEStudent:teacher:ABSTRACT Trigonometry problem is the most value of trigonometric function that the basic knowledge of comprehensive application, In recent years the high exams often appears in, become a hot spot in the university entrance exam proposition, also the high school mathematics required courses in one of several major contents. To solve the most value of trigonometric function, not only can use ask basic trigonometric definition, monotony, parity, the periodicity, the boundedness and trigonometric functions image, and will use trigonometry multiple identical changes. Meanwhile, in the most value problem trigonometric function often involves elementary function,, inequality equation, a few problems; how And in solving some problems such as sequence, inequality will also be by trigonometric function of most value to solve. Consequently, the most value problem trigonometric function has certain comprehensive and flexibility.This paper will start from the concrete examples, is introduced and analyzed the most value problem solving trigonometric functions of several basic method and several comparatively typical problem solving method, and find out the general problem solving methods and skills; In the introduction of the most value in the sequence of trigonometric function and inequality in regearching into simple application.Key words:trigonometric function, optimum value, method, technique, adhibition第一章绪论1.1 三角函数的起源与发展三角学的概念起源甚早，在古文献「莱因德纸草书」出土后证据显示古埃及人己有实用三角学的粗略概念，来保持金字塔每边都有相同的斜度，只是当时并没有使用余切这个名词而已。
至公元前150年至100年间，希腊人热衷天文学，开始研究三角学，于是三角学渐渐有了雏形。
后来印度人吸收了希腊人在三角学方面的知识，再加以改进，也把它当成研究天文学的利器。
长久以来，三角学就这样依附着天文学发展，直到十三世纪，才从天文学中脱离成一门独立的学科。
十六世纪的欧洲，由于航海，历法计算的需要，更增加三角学的重要性。
如今它不但应用于天文、地理、航海、航空、建筑、工程、体育等的一门基础学问，甚至在我们日常生活中，也成为不可欠缺的知识。
三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。
它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变数之间的映射。
由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有重要的应用，在物理学中也是常用的工具。
在数学中，三角函数(也叫做圆函数)是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。
三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。
更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。
三角函数最一开始是用来表示角度和直角三角形三边边长关系的式子，直角三角形中的sin x和cos x可由毕氏定理给出它的定义：若一个直角三角形，它的一个锐角角度为x，因此得到正弦函数sin x和余弦函数cos x的定义。
1.2 三角函数的最值问题三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，在近几年的高考试题中经常出现，成为高考中的一个命题热点。
其出现的形式，或者是在小题中单纯的考察三角函数的值域问题，或者隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一，或者在解决某问题时，应用三角函数的有界性会使问题更易于解决。
在三角函数最值问题中，不仅仅会考查到三角函数的定义、基本性质、函数图像，它可能会牵涉到数列、几何、方程等高中其他章节的知识。
因此，三角函数的最值问题也成为高中必修课中几大容之一。
由于，三角函数的最值问题变化性强、综合性高，学生在解有关三角函数最值问题的题目时，常常出现思路模糊，难以抓住问题的中心导致不能找到适合题目问题的解题方法。
本文将针对历年高考中出现的关于三角函数最值的各类问题进行探讨，寻找解决该类题型的基本思路、技巧和方法。
查阅三角函数最值问题的相关书籍与1995年到2010年的高考试题，不难发现：三角函数最值问题的出现形式变化多，有时以小题单独考查，有时结合三角函数的其他基本知识综合考查，甚至出现在数列、几何、不等式等大题之中。
虽然，三角函数最值问题的题型多而杂，但是我们可以根据解决不同最值问题的方法将其进行归纳汇总。
本文中归纳和总结了多种方法技巧，如用三角函数的基本性质解决最值问题、用转化思想与换元思想如何将复杂的三角函数化为较简单的函数来解决最值问题、以及如何利用数形结合或不等式解决三角函数最值问题的。
我们在解题的基础上加以分析与点评，使方法技巧更加易懂与迁移。
在归纳总结的基础上，本文将简要的介绍三角函数最值在数列、几何、不等式、复数等中的应用。
第二章 解决三角函数最值问题的方法技巧2.1 利用三角函数的定义、性质与函数图像解决最值问题对于一些比较简单的纯粹求三角函数最值的问题，我们可以直接利用三角函数的定义、基本性质和一般三角函数的图像求解最值。
(1)、应用三角函数的定义及三角函数值的符号规律求解问题。
三角函数值在四个象限中的符号规律如下：当角α在第一象限时：sin α 正，cos α 正，tan α 正，cot α 正；当角α在第二象限时：sin α 正，cos α 负，tan α 负，cot α 负；当角α在第三象限时：sin α 负，cos α 负，tan α 正，cot α 正；当角α在第四象限时：sin α 负，cos α 正，tan α 负，cot α 负.例1 函数cos cot sin tan sin cos tan cot x x x x y x x x x=+++的值域是（ ）。