初中数学九年级下册《相似三角形》复习导学案
人教案初中初三九年级数学下册 相似三角形的判定 导学案1
27.2.1 相似三角形的判定第2课时相似三角形的判定(2)——相似三角形的判定1和判定2一、新课导入1.课题导入问题1：请叙述三角形全等的SSS和SAS定理.问题2：把SSS中的“三边对应相等”改为“三边成比例”,那么这两个三角形是什么关系呢？问题3：把SAS中的“夹这个角的两边对应相等”改为“夹这个角的两边对应成比例”, 那么这两个三角形又是什么关系呢？由此导入新课.（板书课题）2.学习目标（1）知道三边成比例的两个三角形相似,知道两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.（2）能够运用这两个判定定理解决简单的证明和计算问题.3.学习重、难点重点：三角形相似的判定1和判定2.难点：两判定定理的证明.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P32探究~P33思考上面的内容.（2）自学时间：6分钟.（3）自学要求：完成探究提纲.（4）探究提纲：△ABC①探究1:任意画△ABC和△A′B′C′,使△A′B′C′的各边长都是△ABC各边长的k 倍,△ABC∽△A′B′C′吗？a.操作：度量这两个三角形的对应角,这两个三角形的对应角相等,对应边成比例.b.猜想：在△ABC和△A′B′C′中,如果AB BC CAA B B C C A=='''''',那么△ABC∽△A′B′C′.c.证明：如图,在线段A′B′上截取A′D=AB,过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E,则△A′DE∽△A′B′C′.∴A DA B'''=A EA C'''=DEB C'',又∵AB BC CAA B B C C A=='''''',A′D=AB,∴A E CA A C C A '='''',∴A′E=AC.同理,DE BCB C B C='''',∴DE=BC. ∴△A′DE≌△ABC. ∴△ABC∽△A′B′C′.d.归纳：三边成比例的两个三角形相似.e.推理格式：∵AB BC CAA B B C C A=='''''',∴△ABC∽△A′B′C′.②探究2:利用刻度尺和量角器画△ABC和△A′B′C′,使∠A=∠A′,AB ACkA B A C==''''.△ABC∽△A′B′C′吗？a.操作：量出BC和B′C′,它们的比值等于k吗？∠B=∠B′,∠C=∠C′吗？b.改变∠A的大小,结果怎样？改变k的值呢？c.猜想：在△ABC和△A′B′C′中,如果AB ACkA B A C=='''',∠A=∠A′,那么△ABC∽△A′B′C′.d.证明：在A′B′上截取A′D=AB,作DE∥B′C′交A′C′于点E.∵DE∥B′C′,∴△A′DE∽△A′B′C′.∴A D A E A B A C ''=''''.又∵AB ACA B A C='''',A′D=AB,∴A′E=AC.∴△ABC≌△A′DE. ∴△ABC∽△A′B′C′.e.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.f.推理格式：∵AB ACA B A C='''',∠A=∠A′,∴△ABC∽△A′B′C′.③在△ABC与△A′B′C′中,如果AB ACkA B A C=='''',∠B=∠B′,那么△ABC与△A′B′C′一定相似吗？如果一定相似,给予证明；如果不一定相似,举一反例(画图).2.自学：参考自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：观察学生是否清楚定理的证明思路和每步推理的依据.②差异指导：根据学情进行指导.（2）生助生：小组交流、研讨.4.强化1.自学指导（1）自学内容：课本P33思考~P34.（2）自学时间：6分钟.（3）自学方法：先运用定理给出判定,然后对照课本解答进行检验,并完成探究提纲.（4）探究提纲：①教材P33例1的第（1）题中,三条边成比例吗？符合判定定理1的条件吗？②例1的第（2）题中,∠A与∠A′分别是两条对应边的夹角吗？符合哪个判定定理的条件？③小结运用判定定理1和2判定两个三角形是否相似的要点.④练习：根据下列条件,判定△ABC与△A′B′C′是否相似,并说明理由.a.AB＝10 cm,BC＝8 cm,AC＝16 cm,A′B′＝16 cm,B′C′＝12.8 cm,A′C′＝25.6 cm.（相似,三边对应成比例）b.∠A=40°, AB＝8 cm,AC＝15 cm,∠A′=40°, A′B′＝16 cm,A′C′＝30 cm.（相似,两边成比例且夹角相等）c.下图中的两个三角形是否相似？为什么？（图1相似,两边成比例且夹角相等；图2不相似,三边不成比例）2.自学：学生参照自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生探究提纲的第③、④题的完成情况.②差异指导：根据学情进行针对性指导.（2）生助生：小组交流、研讨.4.强化：运用判定定理1和2判定两个三角形是否相似的要点.三、评价1.学生学习的自我评价：这节课你学到了哪些知识？有些什么收获和不足？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：从学生学习的参与程度、思维是否活跃、回答问题是否积极等方面给予评价.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时教学采用类比的方法进行,根据全等三角形是特殊的相似三角形,通过对判定全等三角形所需条件进行分析,类比全等三角形的判定方法,诱导学生在类比中猜想相似三角形的判定方法.课堂上突出学生的主体地位,多给学生提供自主学习、自主操作、自主活动的机会,让学生真正成为数学学习的主体.一、基础巩固（70分）1.(10分)下列四个选项中的三角形,与图中的三角形相似的是（B）2.(10分)下列条件能判定△ABC 与△A′B′C′相似的是（C ）3.(20分)根据下列条件,判断△ABC 与△A′B′C′是否相似,并说明理由. （1）AB ＝10 cm,BC ＝12 cm,AC ＝15 cm,A′B′＝150 cm,B′C′＝180 cm,A′C′＝225 cm ；(2)∠A ＝87°,AB ＝8 cm,AC ＝7 cm,∠A′＝87°,A′B′＝16 cm,A′C′＝12 cm. 解：（1）△ABC ∽△A ′B ′C ′.理由：∵AB BC ACA B B C A C =='''''',∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.（2）△ABC 与△A′B′C′不相似.理由：AB ACA B A C ≠''''. 4.(20分)(1)判断图1中两个三角形是否相似；(2)求图2中x 和y 的值.解：（1）相似.理由：设小方格边长为1,则AB =2,EF=2. 通过勾股定理易求得BC 2,AC 5,DE 2,DF =10. ∴22DE EF DF AB BC AC ===,∴△DE F ∽△ABC . (2)∵1.5AC BCEC DC==,∠AC B=∠ECD, ∴△AC B ∽△ECD,∴∠B=∠D=98°,1.527x=,∴x=40.5,y=98. 5.(10分)如图,△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 上的点,且AD=5,DE=4,AE=92,DB=7,BC=485,EC=6310,那么△A DE∽△ABC吗？为什么？解：△A DE∽△ABC.理由：∵512 AD AE DEAB AC BC===,∴△A DE∽△ABC.二、综合应用（20分）6.(10分)要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边长分别为4,5,6,另一个三角形框架的一边长为2,它的另外两边应当是多少？解：两个形状相同的三角形框架,它们是相似的.如果边长2与边长4是对应边,则另外两边为2.5和3.如果边长2与边长5是对应边,则另外两边为1.6和2.4.如果边长2与边长6是对应边,则另外两边为43和53.7.(10分)如图,已知△AB D∽△AC E．求证：△ABC∽△A DE.证明：∵△AB D∽△AC E,∴∠BAD=∠CAE,AB AD AC AE=.∴∠BAD+∠D AC=∠CAE+∠D AC,即∠B AC=∠DAE.又∵AB AC AD AE=,∴△ABC∽△A DE.三、拓展延伸（10分）8.(10分)在△ABC中,∠B=30°,AB=5 cm,AC=4 cm,在△A′B′C′中,∠B′=30°,A′B′=10 cm,A′C′=8 cm,这两个三角形一定相似吗？若相似,说说是用哪个判定方法;若不相似,请说明理由.解：不一定.理由：虽然12AB ACA B A C=='''',∠B=∠B′,但∠B和∠B′不是对应边的夹角,∴这两个三角形不一定相似.。
相似三角形判定导学案(1)
相似三角形的判定导学案【课前延伸】1、全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角。
全等三角形的判定方法：、、、。
（用字母表市即可）2、相似三角形的性质：相似三角形的对应边、对应角。
【学习目标】1、通过画图、测量，了解两角对应相等两三角形相似三角形的判定方法。
2、会灵活选取条件，证明两三角形相似。
3、会利用三角形相似解决简单的实际问题。
4、进一步培养学生的逻辑推理能力，能简练地写出证明过程。
【课内探究】实验与探究：画一个三角形，使三个角分别为60°，45°，75°。
①同桌分别量出两个三角形三边的长度；②同桌画的这两个三角形相似吗?换另三个角试试？小组总结：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形_______。
小组讨论：两三角形相似一定要三个角相等吗？将你小组讨论的结果填写在下面：并说明理由。
知识应用一：例：如图所示，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，DE//BC。
(1)图中有哪些相等的角？(2)找出图中的相似三角形，并说明理由；(3)写出成比例的线段。
知识应用二：例：在阳光下，为了测量学校水塔的高度，小亮走进水塔的影子里，使自己的影子刚好被水塔的影子遮住，已知小亮的身高BC=1.6米，此时，他的影子的长AC=1米，他距水塔底部E处11.5米，水塔的顶部为点D，你能由此算出水塔的高度DE 吗？小组总结：通过以上两个例题的解答，你们发现利用相似三角形可以：练习：1.有一个锐角对应相等的两个直角三角形是否相似？为什么？画图说明。
2.一个角相等的两个等腰三角形是否相似？为什么？画图说明。
【课堂小结】小组谈谈本节课的收获和疑惑【课堂检测】1、图1中DE∥FG∥BC，找出图中所有的相似三角形。
2、图2中AB∥CD∥EF，找出图中所有的相似三角形。
3、在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝80°，∠C＝60°，∠A′＝80°，∠B′＝40°，那么这两个三角形是否相似？为什么？4、找出图中所有的相似三角形你能写出对应边的比例式和相等的角吗? 图35、如图3，已知△ABC中D为AC的中点，AB=5,AC=7,∠AED=∠C,则ED=【课后提升】基础题：习题8.5A组1、2题能力题：习题8.5A组3题【课堂检测】1、图1中DE∥FG∥BC，找出图中所有的相似三角形。
2022年苏科版九年级数学下册第六章《相似三角形复习》导学案
新苏科版九年级数学下册第六章《相似三角形复习》导学案一、知识要点：1、相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形；应注意：△ABC ∽△C B A '''与△C B A '''∽△ABC 的相似比互为倒数，当k=1时，两个三角形全等。
2、预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似，这是今后证明三角形相似的重要依据。
3、三角形相似的判定定理：定理1：两角对应相等，两三角形相似；定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； 定理3：三边对应成比例，两三角形相似。
推论1：斜边和直角边对应成比例，两直角三角形相似； 推论2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 4、黄金分割、位似图形、中心投影和平行投影、实际应用。
二、典型例题： （一）、求线段长或线段比例1 雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2m 远一块小积水处，他看到了旗杆的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40 m ，该生眼睛的高度是1.5 m ，那么旗杆的高度是______．例2 如图2所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上一点，CF 的延长线交AB 于点E ，若AF ： FD ＝1：3，则AE ：EB ＝___________；若AF ：FD ＝1：n(n>0)，则AE ：EB ＝________．解析 过D 作DG ∥AB 交CE 于G ．由于D 是BC 的中点，可知DG 是BCE 的中位线，解：（二）、求周长与面积或周长与面积比例3 如图，已知：△ABC 中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB ，P 点在AC 上(与点A 、C 不重合)，Q 点在BC 上． (1)当△PQC 的面积与四边形PABQ 的面积相等时，求CP 的长；(2)当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长；例 4 如图3所示，在□ABCD 中，E 为DC 边的中点，AE 交BD 于D ．若S △DOE ＝9 cm 2，则S △AOB 等于( )(A)18 cm 2 (B)27 cm 2 (C)36 cm 2 (D)45 cm 2（三）、证明比例线段例5 如图4所示，已知正方形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点， ∠DAC 的平分线AP 于点P ，∠BDC 的平分线DQ 交AC 于点Q ，求证：BD APCD BQ=． （四）、实际应用举例例6 如图，一天早上，小张正向着教学楼AB 走去，他发现教学楼后面有一水塔DC ，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔了？”心里很是纳闷，经过了解，教学楼、水塔的高分别是20 m 和30 m ，它们之间的距离为30 m ，小张身高为1.6 m ，小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有多少米？三、易混淆概念1、比例线段的相关概念在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． ②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项， d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
相似三角形的性质 导学案(含答案)
4.7相似三角形的性质 导学案 第1课时 相似三角形的性质定理(一)1、预习目标 1．三角形中除三条边外的主要线段有角平分线、高、中线．2．相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比． 2、课堂精讲精练【例1】如图，某同学拿着一把12 cm 长的尺子，站在距电线杆30 m 的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子恰好遮住电线杆，已知臂长60 cm ，则电线杆的高度是(D)A ．2.4 mB ．24 mC ．0.6 mD ．6 m【跟踪训练1】若△ABC ∽△A ′B ′C ′，BD 和B ′D ′是它们的对应中线，已知BD ∶B ′D ′＝5∶2，AC ＝10 cm ，则A ′C ′＝4_cm ．【跟踪训练2】已知△ABC ∽△DEF ，且相似比为4∶3，若△ABC 中∠A 的平分线AM ＝8，则△DEF 中∠D 的平分线DN ＝6．【例2】如图，△ABC 是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC ＝40 cm ，AD ＝30 cm ，从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G ，H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M.(1)求证：AM AD ＝HGBC ；(2)求矩形EFGH 的周长．解：(1)证明：∵四边形EFGH 为矩形，∴EF ∥GH.∴∠AHG ＝∠ABC ，∠AGH ＝∠ACB.∴△AHG ∽△ABC. ∵AD ⊥BC ，∴AM ⊥HG. ∴AM AD ＝HG BC. (2)设HE ＝x cm ，则MD ＝x cm ，HG ＝2x cm.∵AD ＝30 cm ，∴AM ＝(30－x)cm. ∵AM AD ＝HG BC ，∴30－x 30＝2x 40. 解得x ＝12.∴矩形EFGH 的周长为2(x ＋2x)＝72 cm.【跟踪训练3】如图，已知正方形DEFG 的顶点D ，E 在△ABC 的边BC 上，顶点G ，F 分别在边AB ，AC 上．如果BC ＝4，△ABC 的面积是6，那么这个正方形的边长是127．3、课堂巩固训练1．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为3∶4，AD 与A ′D ′分别是△ABC 与△A ′B ′C ′的角平分线，则AD ∶A ′D ′等于(A)A ．3∶4B ．4∶3C ．9∶16D ．16∶92．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，BM ⊥CE ，则Rt △BEM 与Rt △BCM 斜边上的高的比为(C)A ．1∶3B ．2∶3C ．1∶2D ．3∶53．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，两腰BA 与CD 的延长线交于点P ，PF ⊥BC 于点F ，交AD 于点E.若AD ＝2，BC ＝5，EF ＝3，则PF ＝5．4．如图，在△ABC 中，BC ＝12，AD 是BC 边上的高，AD ＝8，P ，N 分别是AB ，AC 边上的点，Q ，M 是BC 上的点，连接PQ ，PN ，MN ，PN 交AD 于点E.若四边形PQMN 是矩形，且PQ ∶PN ＝1∶2，求PQ ，PN 的长．解：设PQ ＝y ，则PN ＝2y. ∵四边形PQMN 是矩形，∴PN ∥QM.∴∠APN ＝∠B ，∠ANP ＝∠C. ∴△APN ∽△ABC. ∴PN BC ＝AE AD ，即2y 12＝8－y 8. 解得y ＝247.∴PQ ＝247，PN ＝487.第2课时 相似三角形的性质定理(二)1、预习目标1．相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．2．上述性质可推广到相似多边形，即相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 2、课堂精讲精练【例1】如图，点D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 上的一点，且DE ∥BC ，S △ADE ＝4，S 四边形DBCE ＝5，则△ADE 与△ABC 的相似比为(D)A ．5∶9B ．4∶9C ．16∶81D ．2∶3【跟踪训练1】如图，把△ABC 沿着BC 的方向平移到△DEF 的位置，它们重叠部分的面积是△ABC 面积的一半．若BC ＝3，则△ABC 移动的距离是(D)A.32B.33C.62D.3－62【跟踪训练2】如图，在▱ABCD 中，E 为CD 的中点，AE 与BD 相交于点F.若△DEF 的面积为2，则▱ABCD 的面积为24．【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点M 是斜边AB 的中点，MD ∥BC ，且MD ＝CM ，DE ⊥AB 于点E ，连接AD ，BD.(1)求证：△MED ∽△BCA ；(2)当S △BDM ＝13S △ABC 时，求S △BED ∶S △MED 的值．解：(1)证明：∵MD ∥BC ， ∴∠DME ＝∠CBA. ∵∠DEM ＝∠ACB ＝90°， ∴△MED ∽△BCA.(2)∵∠ACB ＝90°，点M 是斜边AB 的中点，∴MB ＝12AB.∵MC ＝MD ，∴MD ＝12AB.∵△MED ∽△BCA ，∴S △MED S △ABC ＝(DM AB )2＝14.∵S △BDM ＝13S △ABC ，∴S △MED S △BDM ＝34.又∵S △MED ＋S △BED ＝S △BDM ， ∴S △BED ∶S △MED ＝1∶3.【跟踪训练3】如图所示，在▱ABCD 中，点E 是CD 的延长线上一点，且DE ＝12CD ，BE 与AD交于点F.(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB ＝CD. ∴∠ABF ＝∠E. ∴△ABF ∽△CEB. (2)∵AD ∥BC ，∴△DEF ∽△CEB.∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2.∵DE ＝12CD ，AB ＝CD ，∴DE CE ＝13，DE AB ＝12.∴S △DEF S △ABF ＝14，S △DEF S △CEB ＝19. ∴S △ABF ＝8，S △CEB ＝18.∴S ▱ABCD ＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝8＋18－2＝24.3、课堂巩固训练1．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ∶DB ＝1∶2，△ADE 的周长是6，则△ABC 的周长是(C)A ．6B ．12C ．18D ．242．已知△ABC 与△DEF 相似且周长的比为2∶3，则△ABC 与△DEF 的面积比为(D)A ．2∶3B ．16∶81C ．9∶4D ．4∶93．如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE∶AB＝2∶3，△BEF的面积为4，则▱ABCD 的面积为(A)A．30 B．27 C．14 D．324．如果两个相似三角形的周长比为1∶2，那么它们某一组对应边上的高之比为1∶2．5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，两腰的延长线相交于点P.若S△PAD∶S梯形ABCD＝1∶2，且BC＝26，求AD的长．解：∵S△PAD∶S梯形ABCD＝1∶2，∴S△PAD∶S△PBC＝1∶3.∵AD∥BC，∴△PAD∽△PBC.∴ADBC＝33.∴AD＝2 2.。
九年级数学 相似三角形的判定(教案、导学案)
27.2相似三角形27.2.1 相似三角形的判定第1课时相似三角形的判定（1)【知识与技能】1.了解相似三角形的概念及其表示方法；2.掌握平行线分线段成比例定理及平行于三角形一边的直线的性质定理；3.掌握相似三角形判定的预备定理.【过程与方法】经历从探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力和逻辑思维能力.【情感态度】体验从一般到特殊及由特殊到一般的认知规律，发展辩证思维能力. 【教学重点】平行线分线段成比例定理及判定三角形相似的预备定理.【教学难点】探索平行线分线段成比例定理的过程.一、情境导入，初步认识问题1相似多边形的性质是否也适用于相似三角形呢？问题2如果△ABC与△A1B1C1相似，能类似于两个三角形全等，给出一种相似表示方法吗？△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为k ，那么△A 1B 1C 1与△ABC 的相似比也是k 吗？问题3 如何判定两个三角形相似呢？【教学说明】通过上述三个问题的设置，既帮助学生认识了相似三角形的一些基本知识，又为引出平行线分线段成比例定理作些铺塾，教师可釆用自问自答形式讲述这部分内容. 二、思考探究，获取新知问题1 如图，任意画两条直线l 1，l 2，再画三条与l 1，l 2相交的平行线l 3，l 4，l 5分别度量AB ，BC ，DE ，EF 长度，则EFDEBC AB 与相等吗？呢？与DF DE AC AB 呢？与DFEFCA BC【教学说明】教师可让学生在自己准备的 白纸上画出类似图形，测出所截各条线段的长度（尽可能准确些），然后求出相应比值的近似值，便于作出说明.教师巡视，发现问题及时引导.对出现比值相差较大情形，帮助他们分析，找出原因，尽量让学生们获得对应线段的比值近似相等这一结果，形成感性认知.最后，教师可综合大多数同学的认知，给予总结，得出结论.平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等.【教学说明】这一结论不要求学生证明，只需形成感性认识.为了便于记忆，上述定理的结论可使用下面形象化的语言，如：.等全下全下，全上全上，上下上下，下上下上==== 问题 2 如图，当l 1//l 2//l 3时，在（1）中是否仍有呢？，，AF EFAC BCAF AE AC AB EF AE BC AB ===在（2）中是否仍有呢？，，DFBFACBCDF DB AC AB BF DB BC AB ===【教学说明】针对问题2，教师应引导学生利用“平行线分线段成比例定理”来进行说明，不可继续用测量方法得到，这样就由感性认识 上升到理性思考.这里建议将学生进行分组，小组讨论，相互交流，形成认识，最后教师再与全 班同学一道分析，得出结论.平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得到的对应线段的比相等.问题3 如图，在△ABC 中，DE// BC ，DE 分别交AB 、AC 于D 、E ，则△ABC 与△ADE 能相似吗？为什么？问题4如图，已知DE//BC，DE分别交AB.AC的反向延长线于D、E，则△ADE与△ABC能相似吗？为什么？【教学说明】将全班学生分成两组，分别完成问题3、4的探究，教师应先给予点拨，突破难点（即添加辅助线，达到两个三角形的三边的比能相等的目的），然后学生自主完成，锻炼逻辑思维能力和推理能力.平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 (相似三角形判定的预备定理).三、运用新知，深化理解1.如图，DE//BC，EF//AB，请尽可能多地找出图中的相似三角形，并用符号表示出来.2.如图D 为△ABC 中BC 边的中点，E 为AD 中点，连接并延长BE 交 AC 于F.过E 作EG//AC 交BC 于G. （1） 求AC EG 的值；（2)求CF EG 的值；（3)求FCAF的值.3.如图，已知在△ABC 中，DE//BC ，AD=EC ，BD=1cm ，AE=4cm ，BC=5cm ， 求 DE 的长.【教学说明】 让学生自主完成，也可合作完成，在练习中加深理解.教师巡视指导，及时点拨.在完成上述题目后，教师引导学生完成创 优作业中本课时的“名师导学”部分.【答案】1.解：△ADE ～△ABC ，△CEF ～△CAB, △ADE ～△EFC. 2.解：（1）∵EG//AC ，∴△DGE ～△DCA ，∴21==DA DE AC EG . （2）∵EG//AC ，E 是AD 的中点，∴G 是CD 的中点，即CG=DG.又D 是BC 的中点，∴BD=CD ，∴BG=3CG ，BC=4CG ，∴34BG BC = . ∵EG//FC, ∴△BEG ～△BFC,∴43==BC BG FC FG . （3）过D 点作DH//CF ，交BF 于H.易得DH=AF ，∴21==FC DH FC AF . 3.解：∵DE//BC ，∴ECAEDB AD =,又AD=CE ，∴AD 2=4，∴AD=2，∴AB=3.由DE//BC 可知△ADE ～△ABC ，∴）（cm 310352=⨯==BC DE AB AD . 四、师生互动，课堂小结 1.这节课你学到了哪些知识？ 2.你还有哪些疑惑？【教学说明】师生以交谈方式回顾本节知识，重点应关注哪些内容，还有什么地方不太明白，及时解疑.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.本课时教学思路应从探究、猜想、验证归纳出发，遵循学生的理解认知能力，由浅入深、逐步推进，激发学生自主探究的学习热情，培养学生的自主学习能力.27.2 相似三角形 27.2.1 相似三角形的判定 第1课时 相似三角形的判定（1）一、新课导入 1.课题导入问题1：我们学过哪些判定两个三角形全等的方法？问题2：类比上面这些方法，猜一猜判定两个三角形相似的方法有哪些？ 由此导入课题(板书课题). 2.学习目标（1）能用符号表示两个三角形相似，能确定它们的相似比、对应边和对应角.（2）能叙述平行线分线段成比例定理及其推论，并能结合图形写出正确的比例式.（3）能用平行线分线段成比例定理的推论证明三角形相似的判定引理. 3.学习重、难点重点：平行线分线段成比例定理及其推论. 难点：正确理解定理中的“对应线段”. 二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P29~P30思考上面的内容. （2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：学生分小组采用度量的方法和已学知识探究平行线分线段成比例定理，并完成自学参考提纲.（4）自学参考提纲：①三个角相等，三条边成比例的两个三角形相似.在△ABC 和△A′B′C′中, 如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=C′,AB BC CAk A B B C C A ==='''''', 那么△ABC 和△A′B′C′相似，记作△ABC ∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k，△A′B′C′与△ABC的相似比为1 k .全等三角形也是相似三角形, 它们的相似比为1.②相似三角形的对应角相等，对应边成比例.③完成教材P29探究：a.如图1，量一量，算一算，ABBC与DEEF相等吗？BCAB与EFDE呢？ABAC与DEDF呢？BCAC与EFDF呢?b.由上一步可得：∵l3∥l4∥l5,∴ABBC=DEEF，BCAB=EFDE，ABAC=DEDF，BC AC =EFDF.c.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.d.指出图1中的所有对应线段(如AB与DE)：BC与EF,AC与DF.④把平行线分线段成比例定理应用到三角形中，会出现图2和图3两个基本图形：在这两个图形中，把DE看成平行于△ABC的边BC的直线，截其他两边（如图1）或其他两边的延长线（如图2），于是可得推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.即：∵DE∥BC,∴ADDB=AEEC，ADAB=AEAC，BDAB=CEAC.2.自学：结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：能否正确理解“对应线段”，尤其是在推论的两个图形中.②差异指导：根据学情，指导学生结合图形理解“对应线段”.（2）生助生：小组交流、研讨.4.强化（1）分清平行线分线段成比例定理的条件与结论,弄清哪些是“对应线段”.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等（强调“对应”）.1.自学指导（1）自学内容：教材P30思考~P31.（2）自学时间：6分钟.（3）自学方法：学生分小组对不同类型的相似三角形进行证明，并完成自学参考提纲.（4）自学参考提纲：①已知DE∥BC,运用定义证明△ADE∽△ABC(如图1，作EF∥AB).证三个角相等：∠A公共，由DE∥BC可得∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.证三条边成比例：由DE∥BC可得ADAB＝AEAC，由EF∥AB可得BFBC＝AEAC.由DE∥BC，EF∥AB可得四边形BFED是平行四边形，所以BF=DE.故DE BCADAB=AEAC=BFBC.所以△ADE∽△ABC.②如图2, DE∥BC分别交BA、CA的延长线于点D、E，那么△ADE与△ABC 相似吗？能否给予证明？相似.∵DE ∥BC,∴∠E=∠C,∠D=∠B.过E 作EF ∥BD 交CB 的延长线于点F. ∵DE ∥BC ，EF ∥BD ，∴,AE AD BF AEAC AB BC AC==. 又∵四边形BDEF 是平行四边形，∴DE=BF,∴AE AD DEAC AB BC==. ∴△ADE ∽△ABC.③如图3，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，求证:△ADE ∽△EFC. ∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴∠CEF=∠A,∠ADE=∠B=∠EFC,AD AE DB EC =,BF AEFC EC=. 又∵四边形BDEF 是平行四边形， ∴BD=EF,DE=BF. ∴AD AE DEEF EC FC==, ∴△ADE ∽△EFC.④如图4，DE ∥FG ∥BC ，找出图中所有的相似三角形. 由DE ∥FG ∥BC ，易知△ADE ∽△AFG ∽△ABC. 2.自学：结合自学指导进行自学. 3.助学 （1）师助生：①明了学情：看学生能否添加辅助线构造比例线段进行转化. ②差异指导：根据学情指导学生弄清引理的证明思路和方法. （2）生助生：小组交流、研讨. 4.强化（1）判定三角形相似的预备定理及其两个基本图形. （2）点两名学生板演自学参考提纲中第③、④题，并点评. 三、评价1.学生学习的自我评价：这节课你有什么收获？还有哪些不足？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：从学生的课堂参与程度、思维状况、小组协作等方面的课堂表现去评价.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时先给出相似三角形的定义，说明有关概念，明确相似三角形的符号表示和相似比的意义.由于三角形的相似与比例线段密不可分，因此在形成相似三角形的概念之后，主要安排学习比例线段，进而讨论平行于三角形一边的平行线的性质与判定以及平行线分线段成比例定理，为研究相似三角形提供了必要的知识准备.教学过程中应遵循学生的理解认知能力，由浅入深，逐步推进.一、基础巩固（70分）1.(10分)如图，在△ABC中，DE∥BC, 且AD=3，DB=2.图中的相似三角形是△ADE∽△ABC，其相似比是35.第1题图第2题图2.(10分)如图，DE∥BC，DF∥AC，则图中相似三角形一共有（C）A.1对B.2对C.3对D.4对3.(10分)如图，DE∥BC，12ADDB，则AEAC=(B)A.12B.13C.23D.32第3题图第4题图4.(10分)如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是（A ）5.(10分)如图，AB ∥CD ∥EF,AF 与BE 相交于点G ，且AG=2，GD=1，DF=5，求BC CE .解：∵AB ∥CD ∥EF,∴35BC AD AG GD CE DF DF +===. 6.(20分)如图，DE ∥BC.（1）如果AD=5，DB=3，求DE ∶BC 的值;（2）如果AD=15，DB=10，AC=15，DE=7，求AE 和BC 的长.解：（1）∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC,∴58DE AD BC AB ==. （2）AE AD AC AB =,即151525AE =,求得 AE=9. DE AD BC AB =,即71525BC =,求得 BC=353. 二、综合应用（20分）7.(20分)如图,△ABC ∽△DCA ，AD ∥BC ，∠B=∠DCA.（1）写出对应边的比例式；（2）写出所有相等的角；（3）若AB=10,BC=12,CA=6,求AD 、DC 的长．解：（1）BC AB AC CA DC DA==; (2)∠BAC=∠CDA,∠B=∠ACD,∠ACB=∠DAC; (3)由（1）中的结论和已知条件可知121066DC AD==,求得AD=3，DC=5. 三、拓展延伸（10分）8.(10分)如图，在△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB 、AC 于点D 、E ，试证明：ADAB=DOCO.证明：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC,△DOE ∽△COB,∴,AD DE DO DE AB BC CO CB==. ∴AD DO AB CO =.。
人教版九年级数学下册第二十七章27.2《相似三角形》复习教学设计
4.作业完成后，及时上交，教师将给予点评和反馈。
人教版九年级数学下册第二十七章27.2《相似三角形》复习教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握相似三角形的定义及性质，理解相似三角形的判定方法，能熟练运用比例线段、相似三角形的判定与性质解决实际问题。
2.培养学生运用几何画板等工具绘制相似三角形，并能够通过观察、分析、归纳相似三角形的基本性质，提高学生的几何直观和空间想象能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.复习全等三角形的知识，引导学生回顾全等三角形的判定与性质，为新课的学习打下基础。
-提问：全等三角形有哪些判定方法？它们有哪些性质？
-学生回答后，教师点评并总结。
2.创设情境，引出相似三角形的定义。
-演示：使用几何画板展示两个形状相同但大小不同的三角形，引导学生观察它们的相同点和不同点。
（2）完成小组讨论后，撰写一份小论文，阐述相似三角形在实际问题中的应用。
5.思考题：
（1）思考相似三角形与全等三角形之间的联系与区别，总结它们在几何学习中的重要性。
（2）如何运用相似三角形的知识，解释生活中的对称美？
作业要求：
1.请学生认真完成作业，确保作业质量。
2.鼓励学生在解题过程中，注重几何直观和逻辑推理。
-相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
-相似三角形的面积比等于相似比的平方；
-相似三角形周长的比等于相似比。
3.讲解相似比的概念及应用。
-相似比：两个相似三角形对应边的比值；
-应用：利用相似比解决实际问题。
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：让学生分成小组，讨论以下问题。
人教版九年级数学下册第二十七章27.2《相似三角形》复习教学设计
（一）教学重难点
1.重点：相似三角形的判定方法和性质的应用。
学生在掌握相似三角形的定义的基础上，需要熟练运用AA、SAS、SSS等判定方法来判断和证明相似三角形。此外，相似三角形的性质在解决实际问题中具有重要作用，学生需深刻理解并能够灵活运用。
2.难点：相似三角形在实际问题中的应用。
（四）课堂练习，500字
1.教师设计具有针对性和层次性的练习题，涵盖相似三角形的判定、性质和应用等方面。
2.学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
3.选取部分学生的解答进行展示和点评，分析解题思路和方法，提高学生的解题能力。
（五）总结归纳，500字
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，梳理相似三角形的判定方法、性质和应用。
3.通过多媒体展示一些相似三角形的图形，让学生观察并总结相似三角形的特点，激发学生的学习兴趣。
（二）讲授新知，500字
1.教师明确相似三角形的定义，并解释相似比的概念。
2.讲解相似三角形的判定方法，如AA、SAS、SSS等，结合具体例题进行演示。
3.介绍相似三角形的性质，如对应角相等、对应边成比例等，并通过实例进行验证。
7.融入情感教育，培良好品质。
在教学过程中，教师要注意挖掘教材中的情感因素，关注学生的情感态度，培养他们积极向上、勇于克服困难的品质。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
1.教师以生活中的实例引入新课，如建筑物的相似结构、摄影中的透视原理等，让学生感受到相似三角形在生活中的广泛应用。
2.提问学生：“我们之前学过全等三角形，那么相似三角形和全等三角形有什么联系和区别呢？”引导学生思考，为新课的学习做好铺垫。
4.分析相似三角形在实际问题中的应用，如求线段长度、角度大小等。
人教版初三数学下册相似三角形导学案
学科养成：△ ABC 中，/ ACB= 90°, CDLAB 于 D,找出图中所有的相似三角形。
【教学过程】时间过程目标 教师活动及方法 学生活动及方法命题立意及思路 点拨形成性评价板书【目标1】知识回顾：1 •相似三角形的概念。
类比全等三角 【例1】已知：△ ABC A ' B ' C ',且相5/形的判定方法 似比为k ，AD 、A ' D '分别是△ ABC 、 △理2 •如何判定两个三角形相似？ 探索其它判定 A ' B ' C '对应边BC 、 B ' C ' 上的高，求证：1、性质1： 相解相似三角 形对应高的3、相似图形的性质有哪些？方法S ABC| 2-------- =k似三角形对应咼的比、对应中线提出问题：【探究】△ ABC 和厶A ' B ' C '是两个相似三角形，比等于相似比15/的比、对应角 1、问题：两个三相似比为k ，其中AD 、A ' D '分别为BC 、B ' C 'A2、性质2： 相平分线的比等于相似比角形相似，除了对边上的高，那么 AD 、A ' D '之间有什么关系？培养学生自/ %似三角形对应角分的这个性质， 应边成比例、对应4主探索问题，积线的比等于相似比并会应用这极参与，归纳概H 一些性质解决角相等之外，还有/括能力图 24.3.93、性质3:相问题.相其他的结论吗？似三角形对应中线同桌讨论，大胆图 24.3.9巩固新知的比等于相似比【目标2】 猜想【讨论】得 AD _AB1 •如果两个三角形相似，相似比为 3 : 5，那么对应4、性质4： 相知识点一：A D A B角的角平分线的比等于多少？经历探索相所以-AD-t =AB 知识系统化、准 2•相似三角形对应边的比为0. 4,那么相似比为似三角形的周长比似三角形的AD r A B确化，对应角的角平分线的比为，周长的比有关性质的知识迁移【结论】相似三角形对应咼的比等于为，面积的比为.等于相似比过程，掌握相2433相似三角形的性质--（导学案）【课程目标】15 似三角形性质的应用方法.【目标3】以探究的思想，培养学生积极进取的学习态度，发展学生的认知，使学生体会数学知识的应用价值.合作、交流、动手实践(画图说明)知识点二：三边对应成比例的两个三角形相似知识点三:判定两个三角形相似例题讲解【猜想】相似三角形对应中线、对应角分线、周长的比等于什么呢？【结论】相似三角形对应中线的比等于相似三角形对应角分线的比等于三角形相似性3 .如图，在正方形网格上有A1 B1C1和A2 B2C2 ,这两个三角形相似吗？如果相似，请给出证明，并求出-■: A1B1C1 和-■:A2 B2C2 的面积5、性质5:相似三角形的面积比等于相似比的平方例题相似三角形周长的比等于问题：图24. 3. 10中(1)、(2)、( 3)分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似.图24.3.10质方法的应用检验(2)与(1)(2)与(1)(3)与(1)(3)与(1)的相似比=的面积比=的相似比=的面积比=【猜想】相似三角形的面积比等于相似比的平方？【结论】相似三角形的面积比等于小结：1、性质1：相似三角形对应高的比等于相似比2、性质2：相似三角形对应角分线的比等于相似比3、性质3 :相似三角形对应中线的比等于相似比4、性质4 :相似三角形的周长比等于相似比5、性质5 :相似三角形的面积比等于相似比的平方本课的学习你体会到了哪些重要的数学思想？VL^识框^ 一厂相似三角形的性质性质方法的应用c作业：P59――练习1、2.比.AB 14、已知△ ABC A ' B ' C', 一，一,• = ,AB 边上AB 2的中线CD=4厘米，△ ABC的周长为20厘米，△ A'B 'C '的面积是64平方厘米，求：(1) A ' B '边上的中线C'D'的长(2)^ A ' B ' C'的周长(3)^ ABC的面积教学反思:。
《相似三角形的性质》 导学案
《相似三角形的性质》导学案一、学习目标1、理解相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、掌握相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比。
3、了解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
二、学习重难点1、重点（1）相似三角形的性质的理解和应用。
（2）相似三角形的对应线段的比、周长比、面积比与相似比的关系。
2、难点相似三角形性质的综合应用，特别是涉及到面积比与相似比的关系。
三、知识回顾1、什么是相似三角形？三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2、相似三角形的判定方法有哪些？（1）两角分别相等的两个三角形相似。
（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
（3）三边成比例的两个三角形相似。
四、新课导入我们已经知道了如何判断两个三角形相似，那么相似三角形又有哪些性质呢？这就是我们今天要学习的内容。
五、相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等因为两个三角形相似，所以它们的对应角是相等的。
例如，若△ABC∽△A'B'C'，则∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，∠C ＝∠C'。
2、相似三角形的对应边成比例若△ABC∽△A'B'C'，则有：AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝ AC/A'C'，这个比例值就是它们的相似比。
3、相似三角形的对应线段的比等于相似比（1）相似三角形对应高的比等于相似比如图，△ABC∽△A'B'C'，AD 和 A'D'分别是△ABC 和△A'B'C'的高。
因为∠B ＝∠B'，∠ADB ＝∠A'D'B' ＝90°，所以△ABD∽△A'B'D'，所以 AD/A'D' ＝ AB/A'B'，即相似三角形对应高的比等于相似比。
2023年人教版九年级数学下册第二十七章《相似三角形》导学案2
新人教版九年级数学下册第二十七章《相似三角形》导学案【明确目标】1．了解相似三角形的定义，掌握相似三角形的表示方法及判定方法．(平行线分线段成比例定理及预备定理)2．经历用类比三角形全等知识探究相似三角形的定义及表示方法的过程，进一步探索相似三角形的预备定理． 3．在观察、发现、探索相似三角形判定的过程中，感受在学习中合作交流的乐趣，增强学习数学的兴趣．【自主预习】1．阅读教材P29—31，自学“探究”与“思考”，弄懂相似三角形的概念，掌握平行线分线段成比例定理，理解相似三角形判定的预备定理．并尝试完成自主预习区．2．预习反馈：学生独自完成集体订正．①如图，△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为k ，则△A 1B 1C 1∽△ABC 的相似比为__________．第①题图 第②题图 第③题图②如图l 1、l 2分别被l 3、l 4、l 5所截，且l 3∥l 4∥l 5，则AB 与_______对应，BC 与_______对应，DF 与_______对应；(___)(___)AB BC =，(___)(___)AB DF =，(___)(___)(___)(___)AB DE ==. ③如图所示，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是( )A ．AD BC DF CE =B ．BC DF CE AD = C ．CD BC EF BE = D ．CD AD EF AF=1．三个角分别__________，三条边__________的两个三角形相似．2．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段__________，平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段__________.3．平行于三角形一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形__________．4．如图，若AB ∥CD ，则△__________∽△__________，._________AB BO AO == 【合作探究】活动1 新知探究(预备定理)1．提出问题如图，在△ABC 中，点D 是边AB 的中点，DE ∥BC ，DE 交AC 于点E ，△ADE与△ABC有什么关系?2．合作探究分析：观察上图，易知AD=12AB，AE=12AC，∠A=∠A，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，只需引导学生证得DE=12BC即可，从而得出△ADE≌△ABC，相似比为12．3．延伸问题改变点D在AB上的位置，先让学生猜想△ADE与△ABC仍相似，然后再用几何画板演示验证．4．知识归纳平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．活动2 新知运用例如图所示，直线l1∥l2，AF：FB=2：3，BC：CD=2：1，试求AE：EC 的值．【当堂反馈】教材P31页练习1、2知识点一相似三角形的定义1．已知△ABC∽△A'B'C'，当AB：A'B'=l时，△ABC∽△A'B'C'__________．若AB：A'B'=1：2，则△A'B'C'与△ABC的相似比为__________．2．如图，△ABC∽△DEF，相似比为1：2，若BC=1，则EF的长是( ) A．1 B．2 C．3 D．4知识点二平行线分线段成比例3．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是( )A．AD BCDF CE=B．BC DFCE AD=C．CD BCEF BE=D．CD ADEF AF=第3题图 第4题图 第5题图4．如图，直线l 交△ABC 的边AB 、AC 的延长线于点D 、E ，且l ∥BC ．若53AD AB ，且AE=10，则AC=__________，EC=__________. 知识点三 相似三角形判定的引理5．如图，BC ∥DE ∥FG ，图中有_______对相似三角形．6．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，DE=1，AD=2，DB=3，则BC 的长是( )A ．12B ．32C ．52D ．72【拓展提升】1．如图所示，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连接AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形( )A ．1对B 2对C ．3对D ．4对2．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD ∥BC ，交AB 于点D ，连接PQ ，点P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒(t ≥0)．(1)直接用含t 的代数式分别表示：QB ＝__________，PD ＝__________；(2)是否存在f 的值，使四边形PDBQ 为菱形，若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q 的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．【课后检测】一、选择题1．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是AD 、CD 边上的点，连接BE 、AF ，它们相交于点G ，延长BE 交CD 的延长线于点H ．则图中相似三角形共有( )A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对第1题图 第2题图2．如图，直线l 1∥l 2，AF ：FB ＝2：3，BC ：CD ＝2：1，则AE ：EC 为( )A ．5：2B ．4：1C ．2：lD ．3：2二、填空题3．如图，AB ∥GH ∥CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，AB ＝2，CD ＝3，则GH 的长为__________.第3题图 第4题图4．如图所示，尹颖在打网球时，击球点距球网的水平距离为4m ，已知网高为0.4m ，要使球恰好能打过网，而且落在离网2m 的位置，则球拍击球的高度h 为_______m ．三、解答题5．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，点A 在直线l 1上，D ，E 在直线l 2上，C 在直线l 3上，且AD ＝4，DB ＝8，DE ＝3.(1)求ABAD 的值； (2)求BC 的长．6．如图，△ABC 中，点D 在BC 上，EF ∥BC ，分别交AB 、AC 、AD 于点E 、F 、G ，图中共有几对相似三角形?分别是哪几对?。
人教版九年级数学下册第27章相似三角形全章导学案设计
课题：27・1 •图形的相似（一）年级：九年级课题：相似课型：新授主备人：审核人—时间：2017」学习目标1.理解并掌握两个图形相似的概念.2.了解成比例线段的概念.会确定线段的比.3.知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等.对应边的比相等.4.会根据相似第边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算.■点与难点重点：相似图形的概念与成比例线段的概念.相似炙边形的主要特征与识别. 难点：成比例线段概念.运用相似多边形的特征进行相关的计算学习过程J课前預习］（课本p24—26）1.（1）请同学们先观察第27章章头图，他们的形状、大小有什么关系.（2）教材P24引入.（3） _________________________________________________________ 相似图形概念：•（4）让同学们再举几个相似图形的例子.2.成比例线段：对于四条线段a,b,c,d,如果其中_____________________________________ 相等，如三=£b d（即ad=b€）,我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.【注意】（1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计凳时要注軽统一单位：（2）线段的比是一个没右单位的正数：（3）四条线段a,b.c,d成比例，记作r = T或a:b=c:d：（4）若阿条线段满足- = 则有ad=bc.b d课堂預习21.如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形.2.问題：对F图中两个相似的四边形，它们的对应角.对应边的比是否相等. ______________________3.【结论】：（1） _________________________________________________________________ 相似多边形的特征：（2） _______________________________________________ 相似比：问題：相似比为1时.相似的两个图形有什么关系？____________________________________ 结论： _______________________________________________________________________二•自主探究一・、）观察图片，体会相似图形1、同学们，请观察下列儿幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗? （课本图27. 1-1）（课本图27. 1-2）2、小组讨论、交流.得到相似图形的概念・什么是相似图形？3、思考：如图27. 1-3是人们从平而镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗？二、）成比例线段概念1.问题：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB和CD,那么这两条线段的比是多少？归纳：两条线段的比，就是两条线段长度的比.2、成比例线段：对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如春琲（即ad=bc）,我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.三、）小组探讨什么是相似多边形，相似比应该注意什么？三.典例分析例1如图，下面右边的阿个图形中，与左边的图形相似的是（）O 0 O o oA BCDH2C知：F地图的比例尺是1:32000000・量得北京到上海的图匕距离大约为3.5cm・求北京到上海的实际跑离大约是多少km?四.课堂练习1.在比例尺是1 ：8000000的“中国政区”地图上，星得福州与上海之间的距离时7.5cm,那么福州与上海之间的实际距离是多少？22.AABC与ADEF相似，且相似比是则Z\DEF与ZiABC与的相似比是（）.A. ZB. 2C. 1D. i3 2 5 93.下列所给的条件中，能确定相似的有（）（1）两个半径不相等的岡：（2）所有的正方形：（3）所有的等腰三角形：（4）所有的等边三角形：（5）所有的等腰梯形：（6）所有的正六边形.A. 3个 B. 4个C. 5个 D. 6个4.已知四边形ABCD和四边形A,B|C|D|相似，四边形ABCD的最长边和最短边的长分别是10cm和4cm.如果四边形A.B.C.D,的蜃短边的长是6cm,那么四边形A^.C.D,中垠长的边长是多少？课题：27・2・1相似三角形的判定（一）年级：九年级 课题：业 课型：新授 主备人： 审核人时间：2017」 1. 经历两个三角形相似的探索过程.体验分析归纳得出数学结论的过程.进一步发展同学们的探究、交 流能力. 2. 会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题.■点与难点教学霓点：理解学握平行线分线段成比例定理及应用.教学难点：学握平行线分线段成比例定理应用.学习过程一•课前预习导学1. 知识回顾（1） 相似多边形的主要特征是什么？（2） 在相似多边形中，最简取的就是相似三角形.在ZkABC 与ZkA' B # C r 中.如果ZA=ZA* , ZB=ZB‘ f ZC=ZC r .且 我们就说ZiABC 与ZkA' B 1 C r 相似.记作△ ABC S ^A 'C f • k 就是 它们的相似比•反之如果△ABC S /^A ' B‘ C 9 •则有ZA=ZA r , AB BC CA A 7?* BV^CA 7-（3）问题：如果这两个三角形何怎样的关系？二•自主探究教材P29的探究，并引导同学们探索.3. ___________________________________________________________________________ ［归纳］平行线分线段成比例定理： _________________________________________________________________________平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线〉， ____________________________________三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的貢线和其它两边相交.所构成的三角形与原三角形相（1） 写出对应边的比例式：（2） 写出所右相等的角：（3） 若 AB=10,BC=12,CA=6.求 AD 、DC 的长.例 2 如图.在ZkABC 中.DE/ZBCt AD=EC, DB=lcm ・AE=4cm- BC=5cm, DE 的长.四、课堂练习 1. 下列孑组三角形一定相似的是（ZB=ZB‘ , ZOZC', 且三、例JK 讲解例1 （补充）如图△ ABC^A?题因A.两个直角三角形B.两个钝角三角形C.两个等腰三角形D.两个等边三角形 2. 如图.DE 〃BC, EF 〃AB,则图中相似三角形一共有() A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对3. 如图.DE 〃BC,(1) 如果AD=2・ DB=3,求DE:BC 的值：(2) 如果 AD=8・ DB=12> AC=15・ DE=7.求 AE 和 BC 的长.4.如图.在Z7ABCD 中，EF 〃AB ・ DE:EA=2:3・ EF=4・求 CD 的长.课题：27.2.1相似三角形的判定(二) 年级：九年级 课题：相似 课型：新授2.如图. △ABC 求证：AABC3题图主备人：审核人时间：2017」学习目标1•初步韋握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法.以及*两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法.2.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.重点与难点能够运用三角形相似的判定定理解决简单的问题一•课前预习导学1.复习提问:(1)两个三角形全等有哪些判定方法？ ________________________________________(2)我们学习过哪些判定三角形相似的方法？_______________________________(3)全等三角形与相似三角形有怎样的关系？_______________________________(4)如图，如果要判定AABC与△A，B・C相似.是不是一定盅要一一验证所有的对应角和对应边的关系？_________________________________________2.(1)思考：首先，由三角形全等的SSS判定方法.我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例.那么能否判定这两个三角形相似呢? 二•自主探究教材P32的探究•并引导同学们探索【归纳结论】三角形相似的判定方法1 _______________________________________________________I.(1)提出问题：怎样证明这个命題是正确的呢？(2)引领同学们探求证明方法.2.用上而同样的方法进一步探究三角形相似的条件：(1)提出问题：由三角形全等的SAS判定方法，我们也会想如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，那么能否判定这曲个三角形相似呢？(2)同学们画图，门主展开探究活动.(3)【归纳结论】三角形相似的勇I定方法2 _____________________________________________________三・例题讲解例1已知：如图.在四边形ABCD中，ZB=ZACD. AB=6. BC=4・ AC=5, CD=7丄.求AD 的长.2课型：斯授姓名四.课堂练习1.如果在ZkABC 中ZB=3（T ■ AB=5cm tAC=4an・在△A^B'C'中.ZB =30* A^B =10cm t A'C=8an. 这两个三角形一定相似吗？试看画一顾.看一看？2.如图.Z\ABC中.点D、E、F分别是AB、BC. CA的中点• 求证：△ABC S/XDEF.3.已知：如图.P为AABC中线AD上的一点.且BD^PD-AD.求证：△ADCs^CDP.课题：27.2.1相似三角形的判定（三）年级：九年级课範相似主备人：审核人时间：2017.1学习目标1.学握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法.2.能够运岁三角形相似的条件解决简单的问题.带习■邮韋握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似.学莎洞：（1）三角形相似的条件归纳、证明：（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似.一•课前预习导学（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？（2）如图.ZXABC中.点D在AB上.如果AC2=AD>AB.那么AACD与AABC相似吗？说说你的理由•二•自主探究（1）如（2）題图，AABC 中，点D 在AB±,如果ZACD=ZB.那么ZkACD与ZkABC相似吗？（2）教材P35的探究•三.例題讲解例1 （It材P35例2）.证明*略（见教材P35例2〉.例2 已知：如图.矩形ABCD中.E为BC±一点，DF丄AE于F.若AB=4・ AD=5・ AE=6・求DF的B长・解:四.课堂练习1.已知：如图.Zl=Z2=Z3> 求证：AABC^AADE.2.下列说法是否正确，并说明理由.(1)有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形:(2)冇一个角相等的两等腰三角形是相似三角形. 3•已知：如图，ZiABC的高AD、BE交于点F.求证: AF 三EF BF"FD4.已知：如图.BE是ZkABC的外接岡O的直径.CD是ZiABC的髙.(1)求证：AC*BC=BE>CD：(2)若CD=6. AD=3・ BD=8,求OO的直径BE的长.课题：27.2.2相似三角形的性质年级：九年级课题：相似课型：新授主备人：审核人—时间：2017.1洋习目栩1.理解并初步拿握相似三角形周长的比等于相似比.面枳的比等于相似比的平方•2.能用三角形的性质解决简瑕的问题.一•课前预习导学1.复习提问：已知：AABC^AA 根据相似的定义，我们有哪些结论？__________________________________________ 问：两个三角形相似.除了对应边成比例、对应角相等之外，我们还可以得到哪些结论？2.思考：看教材p37（1）如果两个三角形相似，它们的对应边高、对应中线、对应角平分线的比与相似比之间何什么关系？（2） _______________________________________________________________________________ 如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？ _______________________________________________________（3） __________________________________________________________________________________ 如果两个三角形相似，它们的面积之间有什么关系？ _______________________________________________________（4）__________________________________________________________________________________ 两个相似多边形的周长和面积分别有什么关系？ __________________________________________________________ 二•合作与探究结论~~相似三角形的性质：itsti ______________________________________Oil ________________________________________________________________________________________________三.钏题讲解例l.p38例3例2已知：如图：ZiABC S* B' C',它们的周长分别是60 cm 和72 cm,且AB=15 cm, B' C* =24 cm・求BC、AB、A' B' 、A' C'的长.分析：根据相似三角形周长的比等于相似比可以求出BC等边的长.四.课堂练习1.填空*（1）_____________________________________________________________ 如果两个相似三角形对应边的比为3 ：5 ,那么它们的相似比为______________________________________________ ，周长的比为_______ ，面枳的比为 _____ ・（2）__________________________________________________________ 如果两个相似三角形面枳的比为3：5・那么它们的相似比为________________________________________________ ，周长的比为___________ .（3）___________________________________________________________________________ 连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______________________________ ・面积比等于 _______ •（4）两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm和18 cm,若较大三角形的周长是42 cm ,而积是12cm2,则较小三角形的周长为cm,面枳为cm—AF 0(2)若S^=S. — = 过点E 作EF 〃AB 交BC 于F.求OBFED 的面税: EC 327.2.3相似三角形的应用举例 年级：九年级 课题：她 课型：新授主备人： 审核人— 时间：2017.1 学习目标1. 进一步巩固相似三角形的知识.2. 能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测虽物体的长度和高度（如测址金塔高度问题、测虽河 宽问题、肓区问题）等的一些实际问题.学习重点|：运用三角形相似的知识计算不能直接测址物体的长度和髙度.若送ECS^ABC =5,过EAABC学习难点|：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问題抽彖为数学问題）.舍作与探究一、问題1:学校操场上的国旗旗杆的奇度是多少？你有什么办法测虽?问题2：世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家•叫什么金字塔？胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一“ •塔的4个斜面正对东南西北四个方向•塔基呈正方形，每边长约230多米.据考证，为建成大金孑塔.共动用了10万人花了20年时间.原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低.在古希胎，有一位伟大的科学家叫泰勒斯.一天.希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测呈一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难題.因为是很难杞到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测虽大金字塔的高度的吗？二例見讲H例1 （教材P39例4—测童金字塔高度问解：略（见教材P40）练习：在某一时刻.有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米.那么高楼的岛度是多少米？（在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例•）例2 （教材P40例一测童河妄问JK）解：略（见教材P40）R：你还可以用什么方法来河的尢度? 解法二*如图构造相仪三角形（解法踣）.例3 （教材PJ0例_盲区问JI）A分析，« （见教材P40）« （见教材P41）三.课堂练习1.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例.在菜一时刻.有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一离楼的影长为60米.那么髙楼的髙度是多少米？2.小明要测虽一座古塔的髙度.从距他2米的一小块枳水处C看到塔顶的倒影.已知小明的眼部离地面的高度DE是1.5米■塔底中心B到枳水处C的距离是40米•求塔高？3•小明想利用树彩测呈树髙.他在某一时刻测得长为lm的竹竿彩长0.9m・但当他马上测址树影时，因树靠近一幢建筑物.彩子不全落在地面上.有一部分彩子在墙上. 如图，他先测得留在墙上的彩髙1.2m, 乂测得地面部分的彩氏2.7m,他求得的树髙是多少？27.3 位似（一）年级：九年级课邂：相似课型：新授主备人：审核人时间：2017」学习目标1 • 了解位似图形及其有关概念.了解位似与相似的联系和区别，京握位似图形的性质.2.学握位似图形的刚法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小.一.魅引入1.观察：在日常生活中.我们经常见到下而所给的这样一类相似的图形.它们有什么特征?2•问：已知：如图.多边形ABCDE.把它放大为原來的2倍.即新图与原图的相似比为2.应该怎样做? 你能说出iffli 相似图形的一种方法吗？三、例Ji 讲解分析：位似图形是特殊位置匕的相似图形.因此判断两个图形是否为位似图形•肯先要看这两个图 形是否相似.再看对应点的连线是否都经过同一点.这两个方面缺一不可. 解：例2 （教材P47例题）把图1中的四边形ABCD 缩小到原来的 2分析：把原图形缩小到原來的丄.也就是使新图形上，顶点到位似中心的距离与原 2图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1 ：2 •四、课堂练习1.应出所给图中的位似中心.例1 （补(1)(2) (3) (4) ◎2.把右图中的五边形ABCDE扩大到原来的2倍.3.已知：如图，△ABC,顾Z\A' B' C .使AA' B' C' S^A BC・且使相似比为1.5,要求(1)位似中心在AABC的外部：(2)位似中心在AABC的内部：(3)位似中心在AABC的一条边上：(4)以点C为位似中心.27.3 位似(二)年级：九年级课顾：相似课型：新授主备人：审核人：时间：学习目标1.巩固位似图形及其有关概念.2.会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律.3.了解四种变换(平移、轴对称.旋转和位似)的异同.并能在复杂图形中找出这些变换.一.课堂引入1.如图.ZkABC三个顶点坐标分别为A(23), B(2J)> C(62), (1)将ZkABC向左平移三个单位得到厶A|B|C P写出人、B,> G三点的坐标： ___________________________________________________________________(2)写出ZkABC关于x轴对称的厶A2B2C2三个顶点A" B“ C2的坐标：__________________________________(3)将ZkABC绕点O旋转180・得到△ A3B3C3,写出Aj. B3. C3三点的坐标. ____________________________ 2・在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转(中心对称)等变换，相似也是一种图形的变為一些特殊的相似(如位似)也可以用图形坐标的变化来表示.二合作探究：(1)如图.在平而直角坐标系中，仔两点A(6.3), B(6,0).以原点O为位似中心.相似比为丄.把线段AB缩小.观察对应点之间坐标的变化.你3有什么发现？ ___________________________________________________________(2)如图，ZkABC三个顶点坐标分别为A(2,3), B(2,l)・ C(62)，以点O为位似中心.相似比为2,将AABC放大，观察对应顶点坐标的变化.你有什么发现？_______________________________________________________________________［归纳］位似变换中对应点的坐标的变化規律， ____________________________三.例题讲解例1 (教材P49的例題) 解:刨你还可以得到其他图形吗？请你自己试一a |解法二：四.课堂练习1. AABO的定点坐标分别为A(・l,4), B(3,2), 0(0,0),试将AABO放大为使ZiEFO与厶ABO 的相似比为2.5 : k求点E和点F的坐标.2.如图，AAOB缩小后得到ACOD.观察变化前后的三角形顶点.坐标发生了什么变化.并求出苴相似比和面积比.3.如图.将图中的AABC以A为位似中心.放大到1.5 倍.请曲岀图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化・。
相似三角形复习导学案
相似三角形复习导学案一、学习目标1、理解相似三角形的定义、性质和判定定理。
2、能够熟练运用相似三角形的性质和判定定理解决相关问题。
3、通过复习，提高对相似三角形的综合运用能力和逻辑推理能力。
二、重点难点1、重点（1）相似三角形的判定定理。
（2）相似三角形的性质。
2、难点（1）相似三角形的综合应用。
（2）利用相似三角形解决实际问题。
三、知识梳理1、相似三角形的定义三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2、相似三角形的表示方法用“∽”表示，读作“相似于”。
如△ABC 与△A'B'C'相似，记作△ABC∽△A'B'C'。
3、相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
（2）相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
4、相似三角形的判定定理（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（2）三边成比例的两个三角形相似。
（3）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
（4）两角分别相等的两个三角形相似。
四、典型例题例 1：如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD ＝ 3，BD ＝ 2，AE ＝ 4，求 CE 的长。
解：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC。
所以\（＼frac{AD}｛AB} ＝＼frac{AE}｛AC}＼）因为 AD ＝ 3，BD ＝ 2，所以 AB ＝ AD ＋ BD ＝ 3 ＋ 2 ＝ 5又因为 AE ＝ 4，设 CE ＝ x，则 AC ＝ AE ＋ CE ＝ 4 ＋ x所以\（＼frac{3}｛5} ＝＼frac{4}｛4 ＋ x}＼）解得 x ＝＼（＼frac{20}｛3}＼）例 2：如图，在△ABC 中，∠B ＝∠ACD，AB ＝ 6，BC ＝ 4，求AC 的长。
解：因为∠B ＝∠ACD，∠A ＝∠A所以△ABC∽△ACD所以\（＼frac{AB}｛AC} ＝＼frac{BC}｛CD}＼）设 AC ＝ x，则\（＼frac{6}｛x} ＝＼frac{4}｛x 6}＼）解得 x ＝ 12例 3：如图，在矩形 ABCD 中，AB ＝ 6，BC ＝ 8，点 E 是 BC 边上一点，连接 AE，将△ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在点 F 处。
相似三角形的复习导学案
2012-2013学年铁中府河八年级数学学案相似三角形一、比例的性质1、线段的比若d c b a ,,,是成比例线段，那么用比例可表示为____________。
2、比例的基本性质如果dc ba =，根据比例的基本性质可得____________。
3、比例的合比性质若d c ba =，则______________； 4、比例的等比性质 若n md c ba ===，当______________时，有_____________________；典型题型 1、已知352=-b b a ，求b ba +的值。
2、若75===f e d c ba，且032≠++f d b ，则=++++fd be c a 3232___________；3、已知c b a ,,是△ABC 的三边，若482334+=+=+c b a ，且12=++c b a ，试判断△ABC 的形状。
二、黄金分割点2.1 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果_________,点C 称为线段AB的黄金分割点。
2.2 判断黄金分割点的方法有①________ ②__________ ③___________ ④_____________; 典型题型1、已知AB=6cm，点C为AB的黄金分割点，求AC的长度。
2、已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC,且BC=()5515-cm，试求线段AB的长。
三、相似三角形的判定与性质3.1 相似三角形的定义：_________________________________;3.2 相似三角形的判定①___________________________________;②____________________________________;③____________________________________;3.3 相似三角形的性质①___________________________________;（对应边、对应角）②____________________________________;（对应三线）③____________________________________;（对应周长、面积）典型例题1、(1)如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若AD ∶AB ＝3∶4，AE ＝6，则AC 等于( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．8(1) (2)(3)(2)如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且△ABC ∽△DBA ，则下列结论一定正确的是( )A ．AB 2＝BC·BD B ．AB 2＝AC·BDC ．AB·AD ＝BD·BC D ．AB·AD ＝AD·CD(3)如图3，∠1＝∠2，添加一个条件：________，使得△ADE ∽△ACB.3、如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果BE BC ＝23，求BFFD 的值.4、已知△ABC ，延长BC 到D ，使CD ＝BC ，取AB 的中点F ，连结FD 交AC 于点E.(1)求AEAC 的值；(2)若AB ＝a ，FB ＝EC ，求AC 的长．5、一块直角三角形形状的铁皮材料，两直角边长分别为30 cm、40 cm，现要把它加工成一个面积最大的正方形，两种加工方法如图①、②，请你用学过的知识说明哪种加工方法符合要求？四、位似图形（略）五、补充：乘积式证明的方法方法一、三点定型法1如图：在Rt△ABC中，90CD⊥于D，E为AC的=∠ACB°AB中点，ED的延长线交CB的延长线于点P，求证：PC2.=PD⋅PB方法二、找相等的量（比、线段、等积式）替换类型一找相等的量2、已知：如图2，在Rt△ABC中有正方形H EFG，点H、G分别在AB、AC上，EF在斜边BC上．求证：EF2=BE·FC．类型二 找相等的比 3、已知：如图3，AC 是ABCD 的对角线，G 是AD 延长线上的一点，BG 交AC 于F ，交CD 于E ．类型三 利用射影定理4、如图，已知CE 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，在EC 的延长线上取一点P ，连结AP ，AP BG ⊥垂足为G ，交CE 于D ，求证：DE PE CE ⋅=2.六、中考典型题型1、已知：如图，在正方形ABCD 中，12AD =，点E 是边CD 上的动点（点E 不与端点C D ，重合），AE 的垂直平分线FP 分别交AD AE BC ，，于点F HG ，，，交AB 的延长线于点P ．（1）设(012)DE m m =<<，试用含m 的代数式表示FHHG的值； （2）在（1）的条件下，当12FH HG =时，求BP 的长．AEHD CBGFP2、如图，BD 、CE 是ABC ∆的两条高，AM 是BAC ∠的平分线，交BC 于M ，交DE 于N ，求证：（1）;DEBCAN AM =（2）.ECB EDB ∠=∠ MNEDCBA3、如图，在ABC ∆中，cm AB 8=，cm BC 16=.点P 从点A 开始，沿AB 边向点B 以s cm /2的速度移动；点Q 从点B 开始，沿边BC 向点s cm /4以的速度移动，如果P 、Q 同时出发，经过几秒钟，PBQ ∆与ABC ∆相似？P CAQB4、如图，D 是ABC ∆的边AC 上一点，CBD ∠的平分线交AC 于点E ，AB AE =.求证：AC AD AE ⋅=2.EDCB A。
人教版九年级数学下册27.2《相似三角形》复习导学案
九年级数学《相似三角形》复习导学案班级姓名日期【复习目标】1.掌握两个三角形相似的条件.2.知道相似三角形的对应角相等、对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方.3.能运用常见的基本图形解决一些问题.【复习重点】能运用常见的基本图形解决一些问题.一、自主复习自主复习教材九下P34-P73.二、自主练习1.如图，平行四边形中，是边上的点，交于点，如果，那么．2.下列四个三角形中，与左图中的三角形相似的是（）3.如图,在△ABC中,P是边AB上一点,连结CP,使△ACP∽△ABC的条件是 .4.如图，△ABC中，CD⊥AB于D,下列条件中，能证明△ABC是直角三角形的有 .①∠A+∠B=90°②222BCACAB+=③BDCDABAC=④2CD AD BD=ABCD E BC AE BD F23BEBC=BFFD=A B C D5.如图，正方形ABCD 的边长为8，E 是AB 的中点，点M 在BC 上，当BM=_________时，△EBM 与△ADE 相似.三、合作探究1. 如图，已知DE∥BC，CD 和BE 相交于点O ，9:4:=∆∆COB DOE S S . （1）求AE:AC 的值.（2）求△ADE 与△ABC 的周长比.2. 数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米，求树高．3.已知：如图，ΔABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，连结DE 并延长交BC 的延长线于点F ，连结DC 、BE ．若∠BDE+∠BCE=180°，写出图中一对相似三角形，并说明它们相似的理由．(注意：不得添加字母和线)ΔADE 和ΔACB ΔABE 和ΔACD ΔFBE 和ΔFDC ΔFEC 和ΔFBD四、回扣目标相似三角形在初中数学中的地位与作用：利用相关的性质计算线段的长度、图形的周长和面积，说明线段成比例、角相等以及解决相关的实际问题．课堂反馈班级姓名日期1.已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长与△DEF的周长比为1:4，则AB:DE= .2.数学兴趣小组要测量树高，在阳光下，一名同学测得一根长1米的竹竿的影长0.4米，同时另一名同学测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影长为0.2米，一级台阶高0.3米，如图所示,若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为米.（第2题图）（第3题图）3.在平行四边形ABCD中,AE:BE=1:2.若S△AEF=6cm2,则S△CDF = cm2,=____cm2.S△ADF4.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD, ∠A=900，AB=2，DC=10，AD=9，P是AD上一动点(不与A、D重合)，连接PB、PC，若△ABP与△DPC相似，求AP的长.。
人教版九年级数学下册相似三角形复习导学案(无答案)
人教版九年级数学下册相似三角形复习导学案（无答案）1 / 5相似三角形复习【学习目标】1.通过再现型题组的练习记住相似三角形的性质及判定2.通过巩固型题组使学生进一步掌握基本知识和基本能力3.在提高型题组的练习过程中将知识综合运用、总结方法、提高能力． 【学习重、难点】相似三角形性质和判定方法的应用． 【学习过程】再现型题组1.如图，在中，，AB =4，AC =6，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )A. B. C.D.2.如图，点P 在的边AC 上，要判断∽，添加一个条件，不正确的是( )A. B. C. APAB =ABACD. ABAP =ACCB3.如图，，添加一个条件使得∽______．4.如图，在中，，E 是BC 上一点，，垂足为D ． 求证：∽．问题1：相似三角形的判定有哪些？5.如图，中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则以下结论错误的是( )A. DE =12BC B.与的面积之比为12C. DE//BCD.与的周长之比为126.已知AB//CD ，AD 与BC 相交于点O.若BOOC =23，AD =10，则AO = ______ ．7.如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A 处，则小明的影子AM 长为______米.问题2：相似三角形的性质有哪些？巩固型题组，1.在平面直角坐标系中，已知点A(-4,2)，B(-2,-2)，以原点O为位似中心，相似比为12把缩小，则点A的对应点A'的坐标是( )A. (-2,1)B. (-8,4)C. (-8,4)或(8,-4)D. (-2,1)或(2,-1)问题3：位似坐标变换有什么规律？2.如图，D是一边BC上一点，连接AD，使∽的条件是( )A. B.C. D.3.如图，是的外接圆，O点在BC边上，的平分线交于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．(1)求证：PD是的切线；(2)求证：∽；(3)当AB=6，AC=8时，求线段PB的长．问题4：证明相切有哪两种方法？4.如图，四边形ABCD中，AC平分，，，E为AB的中点．(1)求证：∽；(2)CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由；(3)若AD=4，AB=6，求AC的值．AF人教版九年级数学下册相似三角形复习导学案（无答案）5.如图，AB为的直径，C，E 为O上的两点，若AC平分，于点D．(1)求证：DC是切线(2)若AO=6，DC =3√3，求DE的长6.如图，四边形ABCD是平行四边形，且AB=AC，过A，B，C三点的与DC的延长线交于点E，连接AE交BC于F．(1)求证：AD是的切线；(2)求证：∽．3 / 57.如图，在，AB=AC，以AB为直径的分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且．(1)求证：直线BF是的切线；(2)若AB=5，，求BC和BF的长．问题5：当把圆和相似三角形放在一起时，才常见的辅助线有哪些？提高型题组1.如图的中，AB为直径，，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作的切线交于点G，并与AB延长线交于点E．(1)求证：．(2)已知：OF：OB=1：3，的半径为3，求AG的长．2.如图，已知，，以直角边AB为直径作，交斜边AC于点D，连接BD．(1)若AD=3，BD=4，求边BC的长；(2)取BC的中点E，连接ED，试证明ED与相切．人教版九年级数学下册相似三角形复习导学案（无答案）3.如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞.工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N两点之间的直线距离问题6：用相似三角形解决实际问题的步骤是什么？5 / 5。
人教版九年级数学下第四讲 相似三角形的性质与判定复习导学案
第四讲 相似三角形的性质与断定一、知识精讲1.比例的性质kka b =k k a a b b ++=++为正整数，120k b b b ++++≠成比例线段及相关概念概定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 如图1，所示，假如123l l l ∥∥，那么AB DE BC EF =，AB DE AC DF =，BC EFAC DF=． 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边〔或两边的延长线〕，所得的对应线段成比例．如图2，所示，假设DE BC ∥，那么有AD AE DB EC =，AD AE AB AC =，DB ECAB AC=． 如图3，假设AB DE ∥，那么有AB AC BCDE CE CD==． 图⑴图⑵ 图⑶断定二、典例解析题型一：线段成比例【例1】 ⑴ 假设(0)23x y x =≠，那么2x yx+=〔 〕 A ．12B ．83C ．73D ．72⑵ (0)a c abcd bd =≠，那么以下等式中不成立的是〔 〕 A ．b dac= B ．a b c db d --=C ．a ca b c d =++ (0a b +≠且0c d +≠) D ．a d ab c b+=+ ⑶ 457x y z==，那么x y y z +=+ ． ⑷ 在比例尺为1︰2021的地图上测得AB 两地间的图上间隔 为5cm ，那么AB两地间的实际间隔 为 m ．⑸ b 是a 、c 的比例中项，且cm a 3=，cm c 6=，那么=b _____cm .【解析】 ⑴ D ．⑵ D ．⑶ ∵457x y z ==，∴4557x y y z++=++，∴93124x y y z +==+．⑷ 100；⑸【例2】 ⑴ 在ABC △中，DE BC ∥交AB 于D ，交AC 于E ，以下不能成立的比例式是〔 〕 A ．AD AE DB EC = B ．AB ACAD AE=C ．AC ECAB DB=D ．AD AEEC DB=⑵ 如图，32AB AC BC AD AE DE ===，那么 ②假设10cm BD =，那么AD = cm ，③假设ADE △的周长为16cm ，那么ABC △的周长为 ．⑶ 如图，ABC △中有菱形AMPN ，假如12AM MB =，那么BP BC的值为 ． ⑷ 如图，DE BC ∥，EF AB ∥，现得到以下结论： 其中正确比例式的个数有〔 〕PNMCBAA ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【解析】 ⑴ D ；⑵52；4；24cm ；⑶ 23；⑷ B. 题型二：相似的相关计算【例3】 ⑴ 手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是〔 〕A B C D ⑵ 如图，ABC △中，点D 在线段BC 上，且ABC DBA △∽△，那么以下结论一定正确的选项是〔 〕 A ．AB AD AD CD ⋅=⋅B ．2AB AC BD =⋅C ．2AB BC BD =⋅ D ．AB AD BD BC ⋅=⋅ ⑶ 如图，在平行四边形ABCD 中，10AB =，6AD =，E 是AD 的中点，在AB 上取一点F ，使CBF CDE △∽△，那么BF 的长是〔 〕⑷如图，ABC AED △∽△，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且∠ABC =∠AED ．假设DE =4，AE =5，BC =8；那么AB 的长为 ．【解析】 ⑴ D. ⑵ C. ⑶ D. ⑷10．题型三：相似三角形的断定【例4】 ⑴如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确的选项是．．．．．．．〔 〕 A ．∠ABD =∠C B ．∠ADB =∠ABCC ．CD CB BD AB = D ．ACAB AB AD =⑵ 给出以下条件：①ABC △的两个角分别是58°和70°，A B C '''△的两个角分别是58°和52°.FE D CBADCBA ECBFDEADCB AA DE CB②ABC △的两边长分别为4cm 和3cm 2，夹角为40°，A B C '''△的两边长分别为4cm 3和1cm 2，夹角为40°.③ABC △的边长分别是5cm 、6cm 、8cm ，A B C '''△的边长分别是5cm 2、3cm 、4cm . ④ABC △中，90C ∠=°，3AC =，4BC =，A B C '''△中，90C '∠=°，6A C ''=，8B C ''=. 其中能断定ABC △和A B C '''△相似的条件有〔 〕 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4 个【解析】 ⑴ ADC ACB ∠=∠或ACD B ∠=∠或AB ACAC AD=〔答案不唯一〕； ⑴ D .【例5】 ⑴ 如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①ABC △，②BCD △，③BDE △，④BFG △，⑤FGH △，⑥EFK △，其中②～⑥中，与三角形①相似的是〔 〕 A ．②③④ B ．③④⑤C ．④⑤⑥D ．②③⑥⑵ 如图，在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中，ABC △是格点三角形〔三角形的三个顶点都是小正方形的顶点〕，假设以格点P 、A 、B 为顶点的三角形与ABC △相似〔全等除外〕，那么格点P 的坐标是 ．⑶ ︒=∠=∠90E C ，3=AC ，4=BC ，2=AE ，那么=AD ．【解析】 ⑴ B ；⑵()114P ，、()234P ，. ⑶310． 【例6】 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°．点E 为底AD 上一点，将△ABE 沿直线BE 折叠，点A 落在梯形对角线BD 上的G 处，EG 的延长线交直线BC 于点F ． (1) 求证：△ABG ∽△BFE ；(2) 设4=AD ，3=AB ，当四边形EFCD 为平行四边形时，求BC 的长度．【解析】 (1) 证明：∵AD ∥BC ；∴∠AEB =∠EBF ；K H GF E D C BA ⑥⑤④③②①∵由折叠知△EAB≌△EGB，∴∠AEB=∠BEG，∠EBF=∠BEF；∴FE=FB，△FEB为等腰三角形；∵∠ABG+∠GBF=90°，∠GBF+∠EFB=90°；∴∠ABG=∠EFB；在等腰△ABG和△FEB中，∴∠BAG=∠FBE；∴△ABG∽△BFE；(2) ∵四边形EFCD为平行四边形， EF∥DC；∵由折叠知，∠DAB=∠EGB=90°，∠DAB=∠BDC=90°；又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC；∴△ABD∽△DCB；∵AD=4，AB=3，∴BD=5；25.即BC=4【练1】如图，E是矩形ABCE的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC、CD于点M、F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H．(1) 求证：△ABE∽△ECF；(2) 找出与△ABH相似的三角形，并证明；(3) 假设E是BC中点，AB=，2BC2AB，求EM的长．=【解析】(1) 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠ECF=90°．∵AE⊥EF，∠AEB +∠FEC =90°．∴∠AEB +∠BEA =90°，∴∠BAE =∠CEF ，∴△ABE ∽△ECF ．(2) △ABH ∽△ECM ．证明：∵BG ⊥AC ，∴∠ABG +∠BAG =90°，∴∠ABH =∠ECM ，由(1)知，∠BAH =∠CEM ，∴△ABH ∽△ECM ． (3) 解：作MR ⊥BC ，垂足为R ，∵AB =BE =EC =2，∴AB ：BC =MR ：RC =2，∠AEB =45°，∴∠MER =45°，CR =2MR ，∴21==ER MR ，32=RC ，∴3222==MR EM ． 【练2】 如图，直角梯形ABCD 中，90ADC =︒∠，AD BC ∥，点E 在BC 上，点F 在AC 上，DFC AEB =∠∠． ⑴求证：ADF CAE △∽△．⑵当8AD =，6DC =，点E 、F 分别是BC 、AC 的中点时，求直角梯形ABCD 的面积．【解析】 ⑴ 在梯形ABCD 中，AD BC ∥又∵F 是AC 的中点，∴5AF = ∵E 是BC 的中点∴直角梯形ABCD 的面积12512386222⎛⎫=⨯+⨯=⎪⎝⎭.【练2】 类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完好．(1) 如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ．假设m EF AF =，求CGCD的值． (2) 拓展迁移：如图2，梯形ABCD 中，DC //AB ，点E 是BC 的延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ．假设a CD AB =，b BE BC =()0 0＞，＞b a ，那么EFAF的值是__________(用含a ，b 的代数式表示) ．F EDCBAM EDCBA【解析】 (1)作EH ∥AB 交BG 于点H ，那么EFH ∆∽AFB ∆ ∵AB =CD ，∴EH ∥AB ∥CD ，∴BEH ∆∽BCG ∆ ∴，∴CG =2EH (2) ，过点E 作EH ∥AB 交BD 的延长线于点H ．【练3】 ⑴ 如下图，AD 是ABC △的中线，点E 在AD 上，F 是BE 的延长线与AC 的交点．① 假如E 是AD 的中点，求证：12AF FC =；② 由①知，当E 是AD 的中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，假设E 是AD 上任意一点〔如下图，E 与A 、D 不重合〕，上述结论是否成立？假设成立，请写出证明；假设不成立，请说明理由．⑵ 如下图，在ABC △中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于点D ，求BCCD 的值．【解析】 ⑴过点D 、E 、F 作平行线均可构造出平行线的根本图形，然后利用这些根本图形的性质来解题．①如下图，过点D 作BF 的平行线，交AC 于点H ． 由BD DC =可得FH HC =， 由AE ED =可得AF FH =， 那么12AF FC =； ②结论仍然成立，解法同上．⑵ 如下图，过点C 作DE 的平行线交AB 于点F ．2mCD mEH =2CG BCEH BE==ab H图4BAFCED H A BCDEFFA BCDEM因为AM MC =，CF DE ∥， 那么AE EF =． 而14AE AB =，故2BFEF=． 又因为CF DE ∥， 那么2BC BFCD EF==. 三、课堂检测1.如图，在ABC △中，AB AC <，延长AB 到D ，在AC 上取CE BD =，连结DE 与BC 交于F ，求证：AB EFAC FD=． 【解析】 过E 作EH BC ∥交AD 于H ．在DHE △中，有EF BH FD BD =， EC BD =，∴EF BHFD EC=①． 在ABC △中，∵EH BC ∥，∴BH ABEC AC=②． 由①②得AB EFAC FD=． 2.如图，在长为8cm 、宽为4cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形〔图中阴影局部〕与原矩形相似，那么留下矩形面积是〔 〕A ．22cmB ．24cmC ．28cmD ．216cm【解析】 C ．3.如图，D 、E 是ABC △的边AC 、AB 上的点，且AD AC ⋅=AE AB ⋅， 求证：ADE B ∠=∠.4.梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AB DC =，E 、F 分别为AB 与BC 中点．求证：⑴ EDM FBM △∽△； ⑵ 9BD =，求BM 的长．【解析】 ⑴ ∵E 为AB 的中点，且2AB DC =又∵CD BE ∥∴四边形BCDE 是平行四边形 又∵DM E BM F =∠∠ ⑵ 由⑴知2DE BC BF == 由∵EDM FBM △∽△5.以下四个三角形，与左图中的三角形相似的是〔 〕【解析】 B ．四、课后练习1.：()20a c e b d f b d f ===++≠，那么a c eb d f ++++= ；⑵2323ac eb d f-+-+= .2.如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上一点，连接DE ，交BC 于F ，交AC 于G ，那么图中相似三角形〔不含全等三角形〕共有〔 〕对. A. 6B. 5C.4D. 3【解析】 B .3.如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且AFE B =∠∠．⑴ 求证：ADF DEC △∽△．⑵ 假设4AB =，AD =，3AE =，求AF 的长．【解析】 ⑴ ∵四边形ABCD 是平行四边形⑵ ∵四边形ABCD 是平行四边形 又∵AE BC ⊥在Rt ADE △中，6DE ==FE DCB AG FEDCB A五、第04讲精讲：作平行线构造相似三角形方法探究 引入新的概念：线段的分点与公共分点；线段的分点：线段AB ，在直线AB 上有一点C ，假设AC 与BC 之间具有特殊的比例关系，那么将点A 、B 、C 称为线段AB 的三个不同的分点；公共分点：不在同一条直线上的具有特殊比例关系的两条线段的共同的分点； 过公共分点作平行线，构造根本相似模型，来沟通题设所给的两个特殊比例关系是常见的相似解题方法； 根本相似模型为“A 字型〞和“8字型〞.【探究1】如图，一条直线与△ABC 的边AB 、AC 及BC 的延长线交于D 、E 、F 三点.假设CFBFEC AE =，试说明：D 是AB 的中点.【分析】结论AD =BD ，我们可视A 、B 、D 为线段AB 的三个不同的分点；条件CFBFEC AE =，我们可视A 、E 、C 为线段AC 的三个不同的分点.两者结合可得：A 为公共分点，过A 作BF 的平行线交FD 的延长线于点G .图中就可以出现与条件和结论都有亲密联络的两个“8字型〞的根本构图，如以下图所示；类似地：过点A 作DF 的平行线交BF 的延长线于点H ，我们可以得到两个“A 字型〞的根本构图，如以下图所示；FCBE DA【探究2】：如图，在△ABC 中，3:2:=DB AD ，E 为CD的中点，AE 的延长线交BC 于点F .求BFFC. 【分析】由3:2:=DB AD 可知：A 、D 、B 为线段AB 的三个分点；由CE =DE 可知：C 、D 、E 为线段CD 的三个分点； 由BFFC可知：B 、C 、F 为线段BC 的三个分点， 故此共有三个公共分点：点D 、点B 、点C .过这三个公共分点均可作两条平行线构造与条件和结论有联络的根本构图，因此此题至少共有六种不同的求法. 辅助线如以下图所示；方法一：过点D 作AC 的平行线交BC 与点G ； 方法二：过点D 作BC 的平行线交AF 与点G ； 方法三：过点B 作AF 的平行线交CD 的延长线于点G ； 方法四：过点B 作DC 的平行线交AF 的延长线于点G ； 方法五：过点C 作AB 的平行线交AF 的延长线于点G ； 方法六：过点C 作AF 的平行线交BA 的延长线于点G .FE DB A。
2023年人教版九年级数学下册第二十七章《相似三角形》导学案1
新人教版九年级数学下册第二十七章《相似三角形》导学案【明确目标】1．掌握相似三角形的判定方法3(有两个角对应相等的两个三角形相似)和直角三角形相似，并运用它们解决一些实际问题．2．经历探究相似三角形的判定，体会类比思想在学习数学中的作用．3．在探究发现相似三角形的判定和直角三角形相似的过程中，体会动手操作的乐趣．【自主预习】判定三角形相似已有哪些定理?两个角相等的两个三角形相似吗?你有什么样的例子?阅读教材P35～36，自学“思考”及“例2”，理解相似三角形判定定理3及直角三角形相似的判定方法．并思考解答下列问题．①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应__________，那么这两个三角形相似．②如果两个直角三角形中，有一-条直角边和斜边对应成比例，那么这两个直角三角形__________．③要判定两个直角三角形相似，最简单的方法就是再找__________对应相等，就可以根据相似三角形的判定3，判定这两个直角三角形相似．④如图所示，已知∠ADE＝∠B，则△AED∽△_______．理由是____________________________________.⑤顶角对应相等的两个等腰三角形相似吗?为什么?相似．理由：对应角相等的两个三角形相似．教师点拨：要根据已知条件选择适当的方法．1．两角分别__________的两个三角形相似．2．斜边和一条直角边__________的两个直角三角形相似．3．如图，在△ABC和△A'B'C'中，若∠A=60°，∠B=40°，∠A'=60°，当∠C'=_______时，则△ABC∽△A'B'C'．4．在△ABC和△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AC=3，AB=5，A'C'=6，则当A'B'=_______时，△ABC∽△A'B'C'．【合作探究】活动1 小组讨论(新知运用)例1 如图所示，在△ABC中，∠C＝60°，BE⊥AC于E，AD⊥BC于D．求证：△CDE∽△CAB．活动2 小组讨论(新知拓展)例2 已知，如图所示，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC=b，当BD与a，b之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似?【当堂反馈】教材P36练习1、2、3题知识点一两角分别相等的两个三角形相似1．已知△ABC中，∠A=40°，∠B=75°，下图各三角形中与△ABC相似的是_______、_______．2．下列各组条件中，不能判定△ABC与△A'B'C'相似的是( )A．∠A=∠A'，∠B=∠B'B．∠C=∠C'=90°，∠A=35°，∠B'=55°C．∠A=∠B，∠B'=∠A'D．∠A+∠B=∠A'+∠B'，∠A－∠B=∠A'－∠B'3．如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线EC，BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形__________________________．(用相似符号连接)第3题图第4题图4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有( )A．1对B．2对C．3对D．4对知识点二斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似5．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15cm，BC=8cm，另一个Rt△DEF中，∠D=90°，EF=454cm，DE一6cm，则△ABC与△DEF_______(选填“是”或“不是”)相似的两个三角形．6．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，则CF等于( )A．23B．1 C．32D．27．如图，△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm．D是AB上一点，AD=4cm，DE⊥AB交AC于点E．当AE的长为多少时，△ADE与△ABC相似？【拓展提升】(1)如图所示，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，G是CD与EF的交点．①求证：△BCF≌△DCE；②若BC=5，CF=3，∠BFC=90°，求DG：GC 的值．(2)如图所示，在⊙O中，AB=AC，则△ABD∽_______，若AC=12，AE=8，则AD=_______.第1题图第2题图第3题图(3)如图所示，在直角坐标系中，有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x 轴上(C与A不重合)，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似，符合条件的C点的坐标为_______．【课后检测】一、选择题1．如图，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③AC AB CD BC；@AC2=AB·AD．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( ) A．1个B．2个C．3个D．4个第1题图第2题图第3题图2．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，∠BDA＝90°，AB ＝a，BD＝b，CD＝c，BC＝d，AD＝e，则下列等式成立的是( ) A．b2＝ac B．b2＝ce C．be＝ac D．bd＝ae二、填空题3．已知∠ACB＝∠ABD＝90°，AB＝6，AC＝2，当AD＝__________时，△ABD与△BCA相似．4．在△ABC中，AB>BC>AC，D是AC的中点，过点D作直线l，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l有_______条．三、解答题5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD ∽△CBE．6．已知：∠ACB＝∠ABD＝90°，AB＝13，AC＝2，求AD的长为多少时，图中两直角三角形相似?7．如图，直线MN交⊙O于A、B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．。
初中数学九年级下册《相似三角形》复习导学案
相似三角形复习学案 葛家中学崔名宇复习目标：相似是解决数学中图形问题的重要的工具， 也是初中数学的重点内容， 因此也是中考的重要考查内容。
1 •会运用三角形相似的性质与判定进行有关的计算和推理。
2 •能运用三角形相似的知识解决相关的实际问题。
3 •能探索解决一些与三角形相似有关的综合性题型。
一.知识要点：1、 比例、第四比例项、比例中项、比例线段;2、 比例性质：3、相似三角形定义:4、判定方法:5、 相似三角形性质：(1) 对应角相等，对应边成比例；(2) ___________________________ 对应线段之比等于 ;(对应线段包括哪几种主要线段？)(3) ________________________ 周长之比等于 ; (4) ______________________ 面积之比等于 .6、 相似三角形中的基本图形.(1 )平行(A 型，X 型)(2)交错型：、练习:(一)、自我训练(1) 基本性质:(2) 合比定理: (3) 等比定理:?亠 ad =bc ?且 b 2 =ac b d bea b a b e - a 二b e 二 d —二d b de m a e 亠 亠m a"L一二• (b d n =dn b db(3 )旋转型: (4)母子三角形:BADE训练1:判断1 •两个等边三角形一定相似。
（ ）2•两个相似三角形的面积之比为1 ： 4,则它们的周长之比为 1 : 2o （）3 •两个等腰三角形一定相似。
（ ）4•若一个三角形的两个角分别是 40°、70°,而另一个三角形的两个角分别是 70°、70°,则这两个三角形不相似。
（）训练2:填空1 •如果a =3, c =12，则a 与c 的比例中项是 __________________ • 一 a b c a +2c —2b2 .已知， ，贝U2 4 5 a+c-b3. ______________________________________________________________ 如图，在△ ABC 中，DE// BC, AD=3, BD=2, EC=1,贝U AC= _______________________________4. __________________________________________________ 下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是 ______________________________________________6.在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为 0.8米,树的高度为 ___________ . 7.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射 到古城墙 CD 的顶端C 处，已知AB 丄BD,CDL BD,且测得AB=1.2 米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是 ______________________ .（二）、大展身手:1. 已知旦=丄，则一^的值为 _________________B . C.D . A .5.如图，每个小正方形边长均为 似的是1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ ABC 相一棵大树的影长为 4.8米，则（弟7观呛）nE Bb 2 a+b2. 如图，平行四边形ABCD中，AE： EB=1 : 2,若圧AE F=6,贝H S A CD F=______ .A D3 .如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是BC 延长线上一点， 于点 F ,若 AB = 7cm , CF = 3cm ，贝U AD : CE = __________于 __________ .6.如图，DE 是三角形ABC 的中位线，△ ADE 的面积为3cm 2，则梯形DBCE 的面积为 __________ .7. ____________________________________________________ 如图，已知△ ABC 的面积为4 cm 2,它的三条中位线组成△ DEF, △ DEF 的三条中位线组成△ MNP 则厶MNP 勺面积等于 ____________________________ .8. E 是矩形 ABCD 的边CD 上的点，BE 交AC 于点0,已知△ COE 与 △ B0C 的面积分别为2和8，则四边形A0ED 勺面积为 __________ .（三）、更上层楼：1、过三角形边 AB 上的一点，EABC 边上任一点，且以 APE 为顶点的三角形与△ ABCt 目似，在图中找出点 E 的位置（你能找出几个？）。
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相似三角形复习学案 葛家中学 崔名宇
复习目标：
相似是解决数学中图形问题的重要的工具，也是初中数学的重点内容，因此也是中考的重要考查内容。
1．会运用三角形相似的性质与判定进行有关的计算和推理。
2．能运用三角形相似的知识解决相关的实际问题。
3．能探索解决一些与三角形相似有关的综合性题型。
一．知识要点：
1、比例、第四比例项、比例中项、比例线段；
2、比例性质：
（1）基本性质：
bc ad d c b a =⇔= ac b c b
b a =⇔=2 （2）合比定理：d d
c b b a
d c b a ±=±⇒=
（3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒
==n d b b
a
n d b m c a n m d c b a 3、相似三角形定义：________________________________．
4、判定方法：
______________________________________________________________________ 5、相似三角形性质：
（1）对应角相等，对应边成比例； （2）对应线段之比等于 ；（对应线段包括哪几种主要线段？） （3）周长之比等于 ； （4）面积之比等于 ． 6、相似三角形中的基本图形． （1）平行型：（A 型，X 型） （2）交错型：
（3）旋转型：
（4）母子三角形：
二、练习：
（一）、自我训练
训练1：判断
A B
C
D
E
A B
C D
E
A
B
C
D
A B
C
D E
D A
B C
1．两个等边三角形一定相似。
（ ）
2．两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为1∶2。
（ ） 3．两个等腰三角形一定相似。
（ ）
4．若一个三角形的两个角分别是40°、70°，而另一个三角形的两个角分别是70°、70°，则这两个三角形不相似。
（ ）
训练2：填空
1．如果3=a ，12=c ，则a 与c 的比例中项是 ． 2．已知，
542c b a ==，则=-+-+b
c a b
c a 22 ． 3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=3，BD=2，EC=1，则AC= ． 4.下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是 ．
5．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC △相
似的是 ．
6.在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为 ．
7．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P 处放一水平的平面镜,光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是 ．
（二）、大展身手： 1. 已知2
1=b a ，则b a a
+的值为__________
2．如图，平行四边形ABCD 中，AE ∶EB=1∶2，若S △AEF =6，则S △CDF = ．
A ．
B ．
C ．
D ．
A
B
C
A ．
B ．
C ．
D ．
A
E
D C
B
F
3．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 延长线上一点，AE 交CD 于点F ，若AB ＝7cm ，CF ＝3cm ，则AD ∶CE ＝ ．
4．如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，AE ⊥DE ，BE ＝4，EC ＝1，则AB 的长为 ．
5．如图，已知D 、E 分别是ABC ∆的AB 、 AC 边上的点，,DE BC //并且三角形ADE 与四边形DBCE 的面积比为4：5，那么AE:AC 等
于 ．
6．如图，DE 是三角形ABC 的中位线，△ADE 的面积为3cm 2，则梯形DBCE 的面积为 ．
7．如图，已知△ABC 的面积为4 cm 2，它的三条中位线组成△DEF ，
△DEF 的三条中位线组成△MNP ，则△MNP 的面积等于 ．
8．E 是矩形ABCD 的边CD 上的点，BE 交AC 于点O ，已知△COE 与△BOC 的面积分别为2和8，则四边形AOED 的面积为 ．
（三）、更上层楼：
1、过三角形边AB 上的一点，E 为△ABC 边上任一点，且以APE 为顶点的三角形与△ABC 相似，在图中找出点E 的位置（你能找出几个？）。
O
E D
C
B
A E D B
A
C
B
C
E
D
A A B
C
D
E
F
E
D
C B
A
2、已知：CD ⊥DB ，AB 垂直DB ，DC=4，AB=8，DB=18，点P 在DB 上，且以点D 、C 、P 为顶点的三角形与以点A 、B 、P 为顶点的三角形相似，求DP 的长。
3、如图,在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6AB DC AD ===，60ABC ∠=，点E F ，分
别在线段AD DC ，上（点E 与点A D ，不重合），且120BEF ∠=，设A E x =，DF y =．
⑴ 求y 与x 的函数表达式； ⑵ 当x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？
Ａ Ｅ Ｄ Ｆ Ｃ
Ｂ。