等腰三角形典型例题

等腰三角形

1．如图，已知点C为线段AB上一点，和都是等边三角形，AN、BM相交于点O，AN、CM交于点P，BM、CN交于点Q．

（1）求证：．

（2）求的度数．

（3）求证：．

【分析】（1）欲证，只需证明它所在的两个三角形全等．（2）的度数可用的外角来求，但要注意全等所得到这一条件的使用．（3）要，则，应该为一个等边三角形，可证明≌，从而得到．

（1）证明：和都是等边三角形，

，，，

，

即．

在和中，

≌，

．

（2）由（1）知，≌，．

，

即

．（3）在和中，

≌，

，

．

又，

，

即，

．

【点拨】

（1）要证明线段相等（或角相等），找它们所在的三角形全等．

（2）本题的图形规律：共一个顶点的两个等边三角形构成的图形中，存在一对或多对绕公共点旋转变换的三角形全等．

2．如图，在中,，，的平分线AM的长15，求BC的长．

【分析】由AM平分，，可得，，

则，所以．在中，，可得，由，可求出BC的长．

解：在中，，，

．

AM平分，

，

，

．

在中，，

．

【点拨】含30度的直角三角形的性质常与直角三角形的两个锐角互余一起运用，此性质是求线段长度和证明线段倍分问题的重要方法．

3．如图，，，，．求证：．【分析】根据已知“，”联想到等腰三角形“三线合一”，通过辅助线将证明转化为证明．

证明：延长CE、BA交于点F．

，

．

在和中，

≌，

，即．

，

．

在和中，

≌，

，

．

【点拨】

（1）利用等腰三角形“三线合一”不仅能得到线段相等、角相等，而且能得到线段的倍半关系．

（2）联系等腰三角形“三线合一”作顶角平分线或底边的中线或底边的高线是常用的辅助线．

4．如图，△ABC中，AB=AC，在AB边上取点D，在AC延长线上取点E，使BD=CE，连结DE交BC于G．

求证：DG=GE．

【分析】由于△ABC是等腰三角形，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，故可考虑过D或E作腰AC或AB的平行线，通过构造等腰三角形，可获得结论．

证法1：过D作DF∥AC，交BC于F（如图）．

∴∠DFB=∠ACB．

又∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB．

∴∠B=∠DFB．

∴DB=DF．

∵CE=BD(已知)，

∴DF=CE．

又∠DGF=∠CGE，∠GDF=∠E，

∴△DFG≌△ECG（AAS）．

∴DG=GE．

证法2：过E作EM∥AB交BC延长线于M．

∴∠B=∠M．

又∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB．

又∠ACB=∠ECM，

∴∠M=∠ECM．

∴EC=EM．

∵CE=BD(已知)，

∴EM=BD．

在△BDG与△MEG中，

∴△BDG≌△MEG（AAS）．

∴DG=GE．

【点拨】

（1）本题的证明方法很多，其思路是通过利用等腰三角形ABC的底角相等并借助BD=CE 条件，构造新的

等腰三角形来寻求结论．

（2）本题在推证含DG、GE为对应边的两个三角形全等时，寻找等边是一个难点，也是本题最易出错的

地方，主要表现为把BD=CE这一条件直接作为三角形全等时的对应边．

5．已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，仿照图（1），请你再设计两种不同的方法，将△ABC分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形（如图（1））．（2）图(2)（3）供画图用，作图工具不限，不要求写画法，不要求证明；要求标出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数）．

【分析】由于所给三角形是一个含36°的等腰三角形，因而将它分成三个等腰三角形时仍只需考虑以36°，72°，108°等为内角的等腰三角形即可．

解：本题显然应有多种结果，现提供3种，以供同学们参考，如图中（2）、（3）、（4）；

【点拨】像本例这种图形的分割问题的求解，一方面应把握原图形的特征，借助经验予以解决，另一方面还应大胆尝试，在操作中获得结果．

6．如图，在一个宽度为的小巷内，一个梯子的长度为b，梯子的脚位于P点．将梯子的顶端放于一堵墙上Q点时，Q点离地面的高度为c，此时梯子与地面的夹角

为．将梯子顶端放于对面一堵墙上R点，离开地面的高度为d，此时梯子与地面的夹角为．可知，为什么？

【分析】由，，可知，又，可知

为等边三角形，则，可推得．

证明：连接RQ、RB．

，，

．

又，

为等边三角形，

．

在中，，

，

，

，

在线段PQ的垂直平分线上，

．

在中，，

．

在中，，

，

，即