点到平面距离的若干典型求法
点面距离的几种求法
点面距离的几种求法距离的计算是历年高考的重点与热点，求距离问题可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点。
而点到平面的距离是是距离问题中的重中之重，线到面的距离及面到面的距离都转化为点到面的距离，线面角、二面角，多面体的体积等都可以借助点面距离使之得以解决。
求点到面的距离方法多而且灵活，可以根据定义从改点作平面的 垂线，有时直接利用已知点求距离比较困难，我们可以把点到平面的距离转化到其它点到面的距离或用空间向量法、或利用三棱锥等体积法等。
下面通过几道例题介绍常用的点到面的距离求法： 1、 利用定义作垂线，解三角形。
例1， 在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中,点P 在棱1CC 上，且1CC =4CP ,求点P 到平面1ABD 的距离。
解: ∵!DC //AB ,∴平面1ABD 与平面D ABC 1是一个平面，∴点P 到平面11D ABC 的距离即为所求。
过点P 作PM ⊥!BC 于M ，∵AB ⊥面C C BB 11,PM ⊂面C C BB 11,∴AB ⊥PM 。
AB 1C B ⋂=B ，1C 1D 1A PMD ABC 1B ，∴PM ⊥1!D ABC ，∴PM 就是所求的距离，又∵0!45=∠BCC ，43!=P C ,在PM C R t !∆中，82343224510=⨯=⇒=PM P C PM Sin .2、 转化成其它点到面的距离：2C AA、向量法：例3、 在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中,点E, F 分别是11,D A BC 的中点，求点A 到平面EDF B 1的距离。
∥⊥解: 建系，如图,设点A 到平面EDF B 1的距离为 d , 平面EDF B 1的法向量 =(x,y,z),则：AB →→∙，yn →)1,21,0(),0,21,1(=→-=→DFDE∵解得=（1,2，-1）∴=4、利用三棱锥等体积法：点P到平面BQD的距离。
解：设点Ｐ与点Ａ到平面ＢＤＱ距离为h。
求点到面的距离的几种方法
求点到面的距离的几种方法1. 什么是点到面的距离在计算机图形学中，点到面的距离是指一个点到一个平面的最短距离。
点到面的距离是一个重要的计算问题，它在很多应用中都有广泛的应用，比如碰撞检测、物体投影等。
2. 求点到平面的距离的方法求点到平面的距离有多种方法，下面将介绍其中的几种常见方法。
2.1. 点到平面的法向量距离点到平面的法向量距离是一种常见的求解方法。
法向量是垂直于平面的一个向量，可以通过平面的法向量和点到平面的向量的点积来计算距离。
具体计算公式如下：distance = abs((P - A) · N) / ||N||其中，P为点的坐标，A为平面上的点的坐标，N为平面的法向量，||N||表示法向量的模。
2.2. 点到平面的投影距离点到平面的投影距离是另一种常见的求解方法。
它通过将点投影到平面上，然后计算点到投影点的距离来求解。
具体计算公式如下：distance = ||P - P_proj||其中，P为点的坐标，P_proj为点在平面上的投影点的坐标，||P - P_proj||表示点到投影点的距离。
2.3. 点到平面的有向距离点到平面的有向距离是一种考虑点在平面的哪一侧的求解方法。
它通过计算点到平面的距离，并根据点在平面的哪一侧来确定距离的正负。
具体计算公式如下：distance = (P - A) · N / ||N||其中，P为点的坐标，A为平面上的点的坐标，N为平面的法向量，||N||表示法向量的模。
3. 比较不同方法的优缺点不同的求解方法有各自的优缺点，下面将对比它们的优缺点。
3.1. 点到平面的法向量距离优点： - 计算简单，只需进行点积和模运算。
- 结果为非负数，可以直接表示距离。
缺点： - 不考虑点在平面的哪一侧。
3.2. 点到平面的投影距离优点： - 考虑了点在平面的投影位置。
缺点： - 需要额外计算点的投影点。
3.3. 点到平面的有向距离优点： - 考虑了点在平面的哪一侧。
高中数学总结归纳 点面距离的几种求法
1点面距离的几种求法立体几何中的距离种类很多,最常见的也是最重要的当数点面距离.这里就对点面距离的求法进行一些探讨,供同学们参考.一、直接法:即直接由点向面作垂线,求出垂线段的长度. 例1 如图1,PA 垂直于边长为4的正方形ABCD 所在的平面求点A 到平面PBD 的距离.解析:连结AC 、BD 交于点O,连结PO,则AC ⊥BD.又PA ⊥面则PA ⊥BD,BD ⊥面PAO.过A 作AH⊥PO 于H,则BD ⊥AH,AH ⊥面即AH 就是点A 到平面PBD 的距离.在Rt △PAO 中,PA=3,AO=22,则PO=17,∴AH=1734617223=⋅=⋅PO AO PA ,即点A 到平面PBD 的距离为17346.二、间接法:即直接求解相对困难时,可采用间接转化的办法.例2 如图2,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,求点A 1到面AB 1D 1的距离. 解析: ∵AB 1=B 1D 1=AD 1=2a , ∴=∆11D AB S 2223)2(43a a =⋅. 由111111D AB A B AA D V V --=,易得A 1到面AB 1D 1a 33. 例3 如图3,已知斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面AA 1C 1C ABC 垂直,∠ABC=90°,BC=2,AC=23,且AA 1⊥A 1C,AA 1=A 1C. (1)求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小; (2)求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的大小;2(3)求CC 1到侧面A 1ABB 1的距离.解析:(1)问,(2)问解析略.(3)问因为CC 1∥面A 1ABB 1 ,所以CC 1到面A 1ABB 1的距离就等于点C 到面A 1ABB 1的距离.由B AA C ABCA V V 11--=,可得点C 到面A 1ABB1的距离为3,所以CC 1到侧面A 1ABB 1的距离为3.总之,我们在求点面距离时,一方面注意能否直接求解,另一方面多从转化入手,增强转化意识,问题就一定能迎刃而解.。
点到平面的距离的几种求法
点到平面的距离的几种求法求点到平面的距离是立体几何教学中不可忽视的一个基本问题，是近几年高考的一个热点.本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》（必修本）中的概念、习题，概括岀求点到平面的距离的几种基本方法.例已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AE、AD的中点，GC垂直于ABCD所在平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离.一、直接通过该点求点到平面的距离1 •直接作岀所求之距离，求其长.解法1.如图1,为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交CB的延长线于M, 连结GM,作BN丄BC，交GM于N，则有BN//CG，BN丄平面ABCD .作BPXEM，交EM于P，易证平面BPN丄平面EFG .作BQXPN，垂足为Q,则BQ丄平面EFG .于是BQ是点B到平面EFGr- 4BP2 BN2 =—的距离•易知BN=2 / 3，BP=.l，PN= 二，由BQ・PN=PB・BN，得BQ= ….图1 图22 •不直接作岀所求之距离，间接求之.（1）利用二面角的平面角.课本P. 42第4题，P. 46第2题、第4题给岀了“二面角一个面内的一个点，它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”.如图2,二面角M - CD - N的大小为a，A€M,AB丄CD，AB=a，点A到平面N的距离AO=d, 则有d=asin a. ①①中的a也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过AB的二面角的平面角.解法2.如图3,过B作BP丄EF，交FE的延长线于P,易知BP= 亞，这就是点B到二面角C - EF-G的棱EF的距离.连结AC交EF于H,连结GH,易证ZGHC就是二面角C -EF - G的平面角.T GC=2,A求点到平面的距离是立体几何教学中不可忽视的一个基本问题，是近几年高考的一个热点.本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》（必修本）中的概念、习题，概括岀求点到平面的距离的几种基本方法.例已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离.一、直接通过该点求点到平面的距离1 •直接作岀所求之距离，求其长.解法1.如图1,为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交CB的延长线于M, 连结GM,作BN丄BC，交GM于N,则有BN//CG,BN丄平面ABCD .作BP丄EM，交EM于P,易证平是EQ 是点E 到平面EFGPNDO①中的 这就是点E 到二面角C解法 角AH GHD F A)利用二面角的平面角图2图1面EPN 丄平面EFG .作EQ 丄PN ，垂足为Q,则EQ 丄平面EFG 易得平面EER 丄平面EFG,ER 为它们的交线，所以ZREB 就是EE 与平面EFG 所成的角04a 也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过AB 的二面角的平面角 2 •不直接作岀所求之距离，间接求之9 .②9 •由CH=3 a 上的射影B,连结OB 得 9 .解法3.如图5,设M 为FE 与CB 的延长线的交点，作BR±GM，R 为垂足.又GMXEBEF - G 的平面2.如图 3,过B 作BP 丄EF ，交FE 的延长线于P,易知BPGC=2， AC=4 课本P.42第4题，P.46第2题、第 另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系OP 与a 所成的角为9 ,A 到平面a EF -G 的棱EF 的距离.连结AC 交EF 于H,连结GH,易证ZGHC 就是二面角C(2)利用斜线和平面所成的角.如图4, OP 为平面 a 的一条斜线，A€OP,OA4题给岀了 二面角一个面内的一个点，它到棱的距离、到 ”.如图2，二面角M - CD -N 的大小为 a, AEM, ABAB = a ，点A 到平面N 的距离AO于是由①得所求之距离d = BP-sinZGHC则有d = asin a. ①经过OP 与a 垂直的平面与a 相交，交线与OP 所成的锐角就是②中的9，这里并不强求要作出点A 在22二 ，由BQ ・PN=PB ・BN的距离•易知BN=2 /3,BP 得 BQ=[J .的距离为d,则由斜线和平面所成的角的定义可知，有d=lsin2 加L ： = u •解略△ MRB^^MCG ，可得BR= j ；，在Rt^REB 中，/E=90所以sin 0 =BR / ER=，于是由②得所求之距离d=i. I(3)利用三棱锥的体积公式.解法4.如图6,设点B 到平面EFG 的距离为d,则三棱锥B - EFG 的体积V= ( 1 / 3 ) S AE FG •d.另一方面又可得这个三棱锥的体积V= ( 1 / 3 ) S AFEB •CG，可求得S △ FEB = ( 1 / 4 ) S ADAB =2,2你S AEFG = J - i ,所以有1 / 3 •二-1 ・d=1 / 3・2・2，得d= IJ .二、不经过该点间接确定点到平面的距离1•利用直线到平面的距离确定解法5.如图7,易证BD//平面EFG ，所以BD 上任意一点到平面EFG 的距离就是点B 到平面EFG 的距离.由对称思想可知，取BD 中点0,求点0到平面EFG 的距离较简单.AC 交EF 于H,如图8,把平面EFG 补成一个正四棱柱的截面所在的平面，可使题设中的点、线、面之间的位置关系更加明朗.面GMT 是正四棱柱ABCD - A 1 B 1GD 1经过F 、E 、G 的截面所在的平面.MG 交BB1于N,TG 交DD 1于Q,作BP//MG ，交CG 于P,连结DP,则有平面GTM/平面PDB .它们之间 的距离就是所求之距离•于是可以把点B 平移到平面PDB 上任何一个位置，哪里方便就在哪里求.这两个平行平面的距离d 又同三棱柱GQN -PDB 的体积有关，所以也可以利用三棱柱的体积确定所求之距离•据此可得解法6.解法6.三棱柱GQN - PDB 的体积V=SA PDB d ，另一方面又有V=S A CDB BN ，可求得BN=2图5BR =_2_-1 ,EB = 2,2•利用平行平面间的距离确定4価迺/3,CP = 4 /3,PB = PD= 二，ED=仏匕,S = :: , S △c DB 27H=8・2 3,得d= 一一为所求之距离.8#i8,所以：；・d。
求“点面距离”常用的几种基本方法
易得 A1 E = 2． 所 以 由 OK · A1 E = OE · A1 O，OE = 1，
A1
O
=
槡3，OK
=
槡3 2
．
所以 C 点到平面 A1 ABB1 的距离为槡3． 解法二（ 等体积法） ： 欲求 C 点到平面 A1 ABB1 的距离， 只需求出三棱锥 C － A1 AB 的高即可．
数学学习与研究 2019. 9
所以 C 点到平面 A1 ABB1 的距离为槡3． 解法三 （ 直 接 法 ） ： 直 接 找 出 C 点 到 平 面 A1 ABB1 的 距离．
如图 4 所 示，过 B 作 BF ∥ A1 E 交 A1 B1 于 F，连 接 CF，则：
} } AB⊥A1 E，AB⊥BF，
AB⊥平面 BCF，
由 AB⊥BC，
A1 ACC1 ⊥底面 ABC 交于 ACA1 O⊥平面 ABC． 所以∠A1 AO 为 A1 A 与面 ABC 所成的角． 因为 AA1 ⊥A1 C，AA1 = A1 C，所以 ∠A1 AO = 45°．
图3
图4
（ Ⅱ） 如图 4 所示，过 O 作 OE⊥AB 于 E，连接 A1 E，则由 A1 O⊥平面 ABCA1 E⊥AB． 所以∠A1 EO 是侧面 A1 ACC1 与 底面 ABC 所成二面角的平面角． 由 AB⊥BCEO∥BC，又因
（ a）
（ b）
图1
（ 3） 如图 1 （ b） 所示，M 为线段 AB 的中点，M∈α，A，B
两点分别在平面 α 的异侧，则 A，B 两点分别到平面 α 的距
离 AO，BO1 相等，即 AO = BO1 ． 所以 A，B 两点到平面 α 的距 离可以相互转化．
三、等体积法
点到平面的距离的几种求法_人教版
点到平面的距离的几种求法2 基本概念从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.这点和垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段.其实点到平面的距离就是这点到平面的垂线段长.例：（如图1）若PA ⊥α于A ，则P 点到平面α的距离就是线段PA 的长． 点到平面的距离有如下三条性质：(1)存在性 对于任意一个平面和这个平面外任意一点 都存在着距离.(2)唯一性 一个平面和平面外一点间的距离是唯一的. (3)最小性 平面外一点的距离是这点到这个平面内任意一点的连接线段长度的最小值. 3 例题求解已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B 到平面ＥＦＧ的距离. 3.1 直接用定义求点到平面的距离 3.1.1 直接作出所求距离求其长解法一：（如图2）为了作出点B 到平面EFG 的距离，延长FE 交CB 的延长线于Ｍ， 连 结GM ，作ＢＮ⊥ＢＣ，交ＧＭ于Ｎ，则有ＢＮ∥ＣＧ ∴ＢＮ⊥平面ABCD ∴ＢＮ⊥ＥＭ作ＢＰ⊥ＥＭ，交EM 于P ∴平面ＢＰＮ⊥平面EFG 作ＢＱ⊥ＰＮ，垂足为Ｑ ∴ＢＱ⊥平面ＥＦＧ∴ＢＱ是点Ｂ到平面EFG 的距离 易求出ＢＮ＝２/３，ＢＰ＝2，32222=+=BN BP PN 在PBN Rt ∆中BN PB BQ PN ⋅=⋅11112=∴BQ图13.1.2 不直接作出所求距离间接求之 (1) 利用二面角的平面角引理1：（如图3）若二面角N CD M --的大小为α，M A ∈，CD AB ⊥，a AB =点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ， 则有αsin a d = （1）其中的α也就是二面角的大小，而并不强 求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角. 解法二：（如图4）过点Ｂ作EF BP ⊥，交ＦＥ的延长线于Ｐ，易知2=BP ，这就是点Ｂ到二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ 易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角． ∵ ＧＣ＝２，ＡＣ＝24，ＡＨ＝2，∴ ＣＨ＝23，ＧＨ＝22∴222sin =∠GHC ，于是由（1）得所求之距离111122222sin =⋅=∠⋅=GHC BP d(2) 利用斜线和平面所成的角引理2 （如图5）OP 为平面α的一条斜线，OP A ∈，l OA =，OP 与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ，则有θsin l d = （2）注：经过OP 与α垂直的平面与α相交，交线与OP 所成的锐角就是θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ，连结OB 得θ．解法三：（如图6），设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作GM BR ⊥，Ｒ为垂足．图3图4图5又EB GM ⊥∵平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ 又ＥＲ为它们的交线∴∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ 由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得102=⋅=⇒=MG CG MB RB MG MB CG RB ，在Ｒｔ△ＲＥＢ中1111sin sin ==∠=ER BR BER θ 于是由（2）得所求之距离11112sin sin ⨯=∠⋅=⋅=BER EB l d θ（3）利用三棱锥的体积公式解法四：（如图7）设点B 到平面EFG 的距离为d,连结BF ，则有体积关系：BEFG EFG B V V --=连结BF ，则GH EF ⊥，于是有GCBE AF d GH EF ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅)21(31)21(312221==BD EF ，2===GC BE AF22)43(22222=⋅+=+=AC CH GC GH111122222222=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=∴GH EF GC BE AF d3.1.3 利用点到平面的距离公式引理3 (如图8)PO 为平面α的垂线段，PA 为斜线段，→n 是平面的法向量，则有：→→→→→→→=><=nn APn AP AP PO ,cos图6图7证明：α⊥→n,//→→∴PO n →→⊥OA n又→→→+=OA PO PA→→→→→→+⋅=⋅∴n OA n PO n PA→→→→⋅=⋅∴n PO n PA><=⋅∴→→→→→→n PO n PO n PA ,cos→→PO n //→→→→=⋅∴nPO n PA即： →→→→=nn APPO解法五：（如图9）以C 为原点，CB 所在直线为X 轴，DC 所在直线为Y 轴，CG 所在直线为Z 轴建立空间直角坐标系xyz C -.设B （4，0，0），则E （4，-2，0），F （2，-4，0），G （0，0，2），从而有=→BE （0，-2，0），=→GE （4，-2，-2） =→GF （2，-4，-2）设→n =（X ，Y ，Z ）为平面EFG 的法向量，则由→→⊥n GF ，有0=⋅→→n GF ，即2X-4Y-2Z=0 →→⊥n GE ，有0=⋅→→n GE ，即4X-2Y-2Z=0图8图9得X=-Y 而Z Y 31-=，故得→n =（Z Z Z ,31,31-）.故点B 到平面DEF 的距离 11112)0,32,0(311)0,32,0(====→→→ZZ n n BE d3.2 不经过该点间接确定点到平面的距离 (1) 利用直线到平面的距离确定解法六（如图10）连结BD ，AC ，EF.BD 分别交EF 于H,O.因为ABCD 是正方形. E,F 分别为AB 和AD 的中点,故EF//BD,H 为AO 的中点 BD EF // ∴BD//平面EFGBD 和平面EFG 的距离就是点B 到平面EFG 的距离AC BD ⊥ HC EF ⊥∴⊥GC 平面ABCD GC EF ⊥∴ ⊥∴EF 平面HCG∴面EFG ⊥面HCG,HGS 是这两个垂直平面的交线作OK ⊥HG 交HG 于点K,由两平面垂直的性质定理知OK ⊥平面EFG ∴线段OK 的长就是点B 到平面EFG 的距离正方形ABCD 的边长为4,GC=2 AC=24,HO=2,HC=23∴在HCG Rt ∆中222)23(22=+=HG HCG HKO ∆∆~∴111122222=⨯=⋅=HG GC HO OK(2) 利用平行平面的距离确定图10解法七(如图11)把平面EFG 补成一个正四棱柱的截面所在的平面.则面GMT 是正四棱柱ABCD —A1B1C1D1经过F 、E 、G 的截面所在的平面.MG 交BB1于N ，TG 交DD1于Q.作BP//MG ，交CG 于P ，连结DP.则有 平面GTM//平面PDB它们之间的距离就是所求之距离.于是可以把点B 平移到平面PDB 上任何一个位置. 而这两个平行平面的距离d 又同三棱柱GQN —PDB 的体积有关，所以可以利用三棱柱的体积确定所求之距离.则有三棱柱GQN —PDB 的体积V 的关系式：BNS d S V CDB PDB ⋅=⋅=∆∆ （3）易求出BN=2/3，CP=4/3，PB=PD=3/104BD=24，3/118=∆PBD S ，8=∆CDB S由关系式（3）可得3283118⨯=⨯d 于是平行平面间的距离11112=d即点B 到面EFG 的距离为11/1124 方法总结求点到平面的距离的常用方法有：(1) 定义法 过平面外一点作平面的垂线，直接求出这点到垂足的距离.（2）射影定位法 根据已知条件，确定平面外一点在平面内射影的位置.再求这两点的距离.(3) 转化法 通常情况下求点到平面的距离可转化为下面三种形式10 点线距离 在平面内找出（或作出）一条直线使平面外的点和这条直线所确定的新平面和原平面垂直，则这点到这条直线的距离.即为点到平面的距离.20 线面距离 若能够找出过一点的一条直线与平面平行，则这条直线到平面的距离等于点到平面的距离.30 面面距离 过平面外一点作出一个平面和已知平面平行，则这两平行平面的距离等于点到平面的距离.(4) 等体积法 将点到平面的距离视为一个几何体的高，又能够容易求出这个几何体的图11体积及高所对的底面面积.则可求出点到平面的距离.（5）公式法建立恰当的坐标系，能够确定平面的方程及点的坐标.运用点到平面的距离公式即可求出距离.参考文献[1] 聂文喜,周家山.点到平面距离的求解策略[J].数学通讯,2004.6:12~13[2] 优奋强.点到平面的距离[J].数学通讯,1996.10:1~3.[3] 李惠珠.从点到平面的距离谈发散性思维[J].高等数学研究,2004.7:11~13.[4] 朱宏志.点面距离两面观[J].新疆石油教育学院学报,2003.10:12~13.[5] 乐敬英.用向量求距离的统一解法[J].数学教学,2003.10:34~36.[6]. 吕林根,许子道.解析几何[M].成都:高等教育出版社,1992:131~142.[7] 刘增利.高中数学教材知识资料包[M].北京:北京教育出版社,2004:256~271.[8] 刘伯虎.立体几何中点面距离的求法[J].数学教学研究,2003.3:30~31.。
求点到平面距离地基本方法
求点到平面距离地基本方法求点到平面的距离是一个经典的几何问题，可以通过多种方法来解决。
在本文中，我们将介绍三种基本方法来求点到平面的距离，包括：1.基于向量法的点到平面距离计算方法2.基于公式法的点到平面距离计算方法3.基于投影法的点到平面距离计算方法这三种方法分别适用于不同的情况和问题，可以根据具体的需求选择使用。
1.基于向量法的点到平面距离计算方法：首先，我们可以将平面表示为一个点和法向量的组合，即可以表示为平面上任意一点P和法向量n。
对于给定的点Q，设到平面的距离为d，可得：d=，PQ·n，/，n其中，PQ·n，表示点PQ与法向量n的点乘的绝对值，n，表示法向量n的模。
这样就可以得到点到平面的距离。
2.基于公式法的点到平面距离计算方法：如果我们已知平面的解析式为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C、D分别是平面的系数，我们可以将点Q的坐标代入平面的解析式中，计算平面方程的值。
将得到的结果代入到下面的公式中：d = ，Ax + By + Cz + D， / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)这样就可以得到点到平面的距离。
3.基于投影法的点到平面距离计算方法：对于给定的点Q，我们可以先将点Q在平面上的投影点P求出来，然后计算点P到点Q的距离，即为点到平面的距离。
为了求点Q在平面上的投影点P，首先需要计算平面的法向量n和平面上的任意一点A的连线向量V，然后计算点Q到点A的连线向量QV在法向量n上的投影向量PV。
最后，将点Q与投影向量PV的和即为点P的坐标，然后计算点P到点Q的距离即可得到点到平面的距离。
综上所述，我们介绍了三种基本方法来求点到平面的距离。
根据具体的问题和需求，可以选择适用的方法来计算点到平面的距离。
求点到平面的距离的方法
求点到平面的距离的方法
在学习几何学时，有些对于求点到平面的距离的问题会困惑很多学生。
其实，从数学的角度来看，求点到平面的距离是一个广泛而普遍的问题，而且其解决方案也有很多。
下面，我将介绍求点到平面的距离的几种方法。
第一种方法是直线和平面交点法。
首先，我们需要找到平面上与某一点最近的直线。
然后求出该直线和平面的交点，直线和点所组成的三角形的高即是点到平面的距离。
第二种方法是利用向量来求解。
根据几何学习的知识，我们知道，点到平面的距离是点到平面的垂线的长度。
从而可以通过向量的计算求出垂线的长度，从而求出点到平面的距离。
第三种方法称为“分段法”。
首先，我们需要将平面上的点进行分隔，每个分隔的点都可以用一条直线来描述，从而可以计算出每个点到每条直线的距离。
之后，该点到整个平面的距离就可以得到，因为点到平面的距离就等于点到每条直线的最短距离。
最后，我再介绍一种求点到平面的距离的方法，称为“三维空间中的点分层法”。
首先，将该点投影到三维空间中，然后求出点到每个层的距离，最后加总求出该点到整个空间的距离。
以上就是求点到平面的几种方法。
这些方法在现实生活中都有着广泛的应用，比如在测量物体时会使用。
同时，在解决一些几何学问题时，也会需要用到这些算法。
总之，求点到平面的距离的方法不仅有助于我们更好地理解它，也很实用，有助于我们更好地应用。
点到平面距离计算的五种方法
点到平面距离计算的五种方法一、五种方法1.定义法对于求点到面的距离问题,首先是根据点到面的距离的定义来求，过该点直接作平面的垂线,再在构造的直角三角形中,求出这条垂线段的长度.2.平移转化点到面的距离不好求时,可以通过求过该点且平行于平面的直线上另外一点(这个点到平面的距离比较好求)到该平面的距离,来解决问题.3.垂面法在用定义法求点到面的距离,垂足往往比较特殊，很难直接找到，此时就需要借助面面垂直的性质来完成，如图，过A 向平面β作垂线，可以先找到一个过点A 且垂直于面β的平面α，于是只需过A 向交线做垂线，垂足为B ，则AB 即为点A 到面β的距离，这种做点到面距离的方法具有很强的操作性，经常使用.4．等体积法利用体积公式求出距离.5．向量法如图，已知平面α的法向量为→n ，α⊥PQ ，垂足为Q ，A 为平面α内任一点，则平面外一点P 到平面α的距离为：||||||→→→→⋅=n n AP PQ,二、例题分析例1．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AP =，点M 是矩形ABCD 内（含边界）的动点，且1AB =，3AD =，直线PM 与平面ABCD 所成的角为π4．当三棱锥P ABM -的体积最小时，三棱锥P ABM -的外接球的表面积为（）．A．4πB．6πC．8πD．10π解析：如图，因为PA ⊥平面ABCD ，垂足为A ，则PMA ∠为直线PM 与平面ABCD 所成的角，所以π4PMA ∠=，因为2AP =，所以2AM =，所以点M 位于底面矩形ABCD 内的以点A 为圆心，2为半径的圆上，注意1AB =，3AD =，记点M 的轨迹为圆弧EF ，当点M 位于F 时，三棱锥P ABM -的体积最小，由AF、BF 在面ABCD 内，则π2PAF PBF ∠=∠=，三棱锥P ABM -的外接球球心为PF 的中点.因为222222PF =+=，所以三棱锥P ABM -的外接球的表面积()24π28πS ==.故选：C例2．如图．在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA BC ===，平面1A BC ⊥平面11ABB A ．(1)求点A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，求平面ABD 与平面CBD 夹角的正弦值．解析（1）方法1：垂面法：由于平面1A BC ⊥平面11ABB A ，而B A 1为交线，故过A 向B A 1作垂线，垂足为E ，显然2=AE 方法2：等体积法：在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA BC ===，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，取1A B 的中点E ，连接AE，则1AE A B ⊥，因为平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC ⋂平面111ABB A A B =，则有⊥AE平面1A BC ，又BC ⊂平面1A BC ，即有AE BC ⊥，因为1AA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ，则1AA BC ⊥，因为11,,AA AE A AA AE =⊂ 平面11ABB A ，于是BC ⊥平面11ABB A ，又AB ⊂平面11ABB A ，因此BC AB ⊥，1111142223323A ABC ABC V S AA -=⋅=⨯⨯⨯⨯=，111112332A A BC A BC V S h h -=⋅=⨯⨯⨯，又11A ABC A A BC V V --=，解得h ，所以点A 到平面1A BC例3．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，2PD DC ==，AD =为BC 的中点.（1）求D 到平面APM 的距离；（2）求平面ABCD 与平面APM 所成角的余弦值.解析：（1）因为四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，所以可以建立以D 为坐标原点，DA 方向为x 轴，DC 方向为y 轴，DP 方向为z 轴，如图所示的空间直角坐标系，又2PD DC ==，AD =M 为BC 的中点，所以(0,0,0)D，A，2,0)M ，(0,0,2)P ，所以2)PA =-，2,2)PM =-，DA = 设平面PAM 的法向量为(,,)n x y z = ，所以()()()),,220,,2,2220n PA x y z z n PM x y z y z ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅-=+-=⎪⎩ ，取1x =，解得z =，2y =，所以2n = ，所以D 到平面APM 的距离为DA n n ⋅ （2）所以平面ABD与平面CBD .例4.如图,长方体111l ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为2的正方形,4l AA =,点E 为棱l AA 的中点.(1)求证:BE ⊥平面11EB C ;(2)求点A 到平面1CEB 的距离.解析：(2)方法一：取1CB 的中点,F BC 的中点P ,连接1,,,,EF AP PF PB PE ,可得//AE PF ,且AE PF =,则四边形APFE 为平行四边形,可得//AP EF ,又因为AP 平面1,CEB EF ⊂平面1CEB ,所以//AP 平面1CEB ,所以点A 到平面1CEB 的距离等于点P 到平面1CEB 的距离,易知11P CEB E PCB V V --=,在1CEB ∆中,2222222112223,222,4225CE EB CB =++==+=+,所以22211CE EB CB +=,从而1CEB ∆为直角三角形.设点P 到平面1CEB 的距离为dP ,所以111133CEB P PCB S d S AB ∆∆⨯⨯=⨯⨯,即1111321423232P d ⨯⨯=⨯⨯⨯,解得63P d =,所以点A 到平面1CEB 的距离为63;方法二：等体积法设点P 到平面1CEB 的距离为h ,因为112,5,3B E B C CE ===,所以三角形1CEB 是直角三角形,1126,2CEB AEB S S ∆∆==,而11A CEB C AEB V V --=,可得11262233h ⨯=⨯⨯,解得63h =,所以点A 到平面1CEB 的距离为63.例5．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A C ⊥底面ABC ，190,2ACB AA ∠=︒=，1A 到平面11BCC B 的距离为1．(1)证明：1A C AC =；(2)已知1AA 与1BB 的距离为2，求1AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．【解析】（1）证明:∵1A C ⊥面,ABC BC ⊂面ABC ∴1A C BC ⊥，∵90ACB ∠=︒,即BC AC ⊥,且1,A C AC ⊂面111,ACC A A C AC C ⋂=,∴BC ⊥面11ACC A ,∵BC ⊂面11BCC B ∴面11ACC A ⊥面11BCC B ,过1A 作11A O CC ⊥交1CC 于点O ,且面11ACC A ⋂面111BCC B CC =,∴1A O ⊥面11BCC B ,∵1A 到面11BCC B 的距离为11,1A O ∴=,在Rt 11A CC ∆中,111111,2,A C A C CC AA A C AC ⊥===,设CO x =,则2212,11(2)4C O x x x =-+++-=,解得:1x =,∴1112AC A C A C ===,∴1A C AC =.（2）11113cos cos ,13||n AB n AB n AB θ⋅∴===。
求点到平面距离的基本方法
求点到平面距离的基本方法北京农大附中 闫小川求点到平面的距离是立体几何中的一个基本问题，是高考的一个热点，也是同学学习中的一个难点.本文通过对一道典型例题的多种解法的探讨，概括出求点到平面的距离的几种基本方法。
例 （2005年福建高考题）如图1,直二面角E AB D --中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EB AE =,F 为CE 上的点，且⊥BF 平面ACE .(Ⅰ）求证：⊥AE 平面BCE ； (Ⅱ）求二面角E AC B --的大小； （Ⅲ)求点D 到平面ACE 的距离。
FEDCBA图1(Ⅰ)、(Ⅱ)解略，（Ⅲ）解如下： 一、直接法利用两个平面垂直，直接作出点到平面的距离. 如图2,β∈A ，αβ⊥，l =βα ， l AM ⊥,则α⊥AM .AM 为点A 到平面α的距离.图2解：如图3，过点A 作AG EC ，连结CG DG ,，则平面ADG ∥平面BCE ，∵平面BCE ⊥平面ACE , ∴平面ADG ⊥平面ACE ，作,AG DH ⊥垂足为H ，则DH ⊥平面ACE 。
∴DH 是点D 到平面ACE 的距离. 在ADG Rt ∆中，.332622=⋅=⋅=AG DG AD DH ABCDEFGH图3二、平行线法如图4，l A ∈，l ∥α，B 为l 上任意一点, α⊥AM ，α⊥BN ，则BN AM =。
点A 到平面α的距离转化为平行于平面α的直线l 到平面α的距离，再转化为直线l 上任意一点B 到平面α的距离。
图4解:如图5，过点D 作DMAE ，连结CM ，则DM ∥平面ACE ，点D 到平面ACE 的距离转化为直线DM 到平面ACE 的距离，再转化为点M 到平面ACE 的距离。
作,CE MN ⊥垂足为N ，∵平面CEM ⊥平面ACE , ∴⊥MN 平面ACE ，∴MN 是点M 到平面ACE 的距离. 在CEM Rt ∆中，.332622=⋅=⋅=CE CM EM MN N MAB CDEF图5三、斜线法利用平面的斜线及三角形相似，转化为求斜线上的点到平面的距离. 如图6、7， O l =α ,l B A ∈,, α⊥AM ,α⊥BN ，若t BOAO=，则BN t AM ⋅=.点A 到平面α的距离转化为求直线l 上的点B 到平面α的距离。
点到平面的距离的几种求法
点到平面的距离的几种求法大关一中 胡兴兆点到平面的距离是高中立体几何的一项基本要求，点到平面的距离涉及先面平行、线面垂直、面面垂直等关系，也是高考经常遇见的一个知识点。
下面就用几个列子说明点到平面的距离的几种求法。
一、直接法1、 直接过点作平面的垂线。
例1 已知：直线l 与平面α交于点O,点A 在直线l 上, OA=2cm.l 与α所成的角为300，求点A 到平面α的距离。
解：过点A 作AB ⊥α，垂足为B ，则∠AOB=300，在直角三角形ABO 中,AB=OA ⨯sin ∠AOB =3⨯sin300=3⨯21=23∴点A 到平面α的距离为23cm 。
2、直接过点作平面内某一直线的垂线。
例2 三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面是边长为1的 正三角形，侧棱与底面垂直，M 是BC 的中点， 且MC 1=MA ，求点B 到平面AMC 1的距离. 解：过B 作BF ⊥C 1M 交C 1M 的延长线于F,M 是等边三角形ABC 中BC 边上的中点，∴ AM ⊥BCC 1C ⊥平面ABC, AM ⊂平面ABC∴ AM ⊥C 1CC 1M BC=C∴ AM ⊥平面BCC 1BF ⊂平面BCC 1∴BF ⊥A又 BF ⊥C 1F,C 1F AM=M∴BF ⊥平面AMC 1∴BF 的长就是点B 到平面AMC 1的距离，M FBAB 1C 1A 1ClA BO易知：AM=MC 1=23,MC=MB=21,CC 1=22在∆BFM 和∆C 1CM 中，∠BFM=∠C 1CM=900∠BMF=∠C 1CM,∴ ∆BFM ∽∆C 1CM, ∴BF cc 1=BMMC 1, ∴ BF=11MC CC ⨯BM=232122⨯=66, ∴点B 到平面AMC 1的距离是66。
二、等体积法例 已知三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，侧棱垂直于底面，且C 1C=AC=BC=2,求点C 到平面C 1AB 的距离。
分析：点C 到平面C 1AB 的距离就是三棱锥C-C 1AB 的高。
点到平面距离计算的五种方法
点到平面距离计算的五种方法计算点到平面的距离是几何学中常见的问题，可以通过不同的方法来解决。
下面将介绍五种常用的计算点到平面距离的方法。
方法一：点法式方程点法式方程是计算点到平面距离最常见的方法之一、给定点P(x₁,y₁,z₁)和平面Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C为平面的法向量，D为平面的常数项，可以通过以下公式计算点到平面的距离d：d=，Ax₁+By₁+Cz₁+D，/√(A²+B²+C²)方法二：投影平面上任意一点Q(x₂,y₂,z₂)，可以通过计算点P在平面上的投影点R(x,y,z)来得到点到平面的距离。
首先，计算向量PQ和平面法向量N的点积，再将点积除以平面法向量N的长度，即可得到点P到平面的距离d。
d=，PQ·N，/，N方法三：三角形法可以利用点P与平面上三个点构成的三角形PQR，通过计算三角形PQR的面积来求点到平面的距离。
假设PQ=a，QR=b，RP=c，计算三角形PQR的半周长s：s=(a+b+c)/2然后，使用海伦公式计算三角形PQR的面积S：S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))利用面积S和边长a、b、c，通过以下公式计算点到平面的距离d：d = 2S / bas方法四：垂足法垂足法是通过计算点到平面的垂直距离来求得点到平面的距离的方法。
首先，计算点P到平面上一点A的距离AP，然后计算点P到平面法向量N的距离PN，利用勾股定理计算垂直距离PH：PH=√(AP²-PN²)最后，通过计算PH的值即可得到点到平面的距离d。
方法五：向量法通过计算点P到平面的投影向量P'和点P与投影点P'之间的距离，可以得到点到平面的距离。
首先，计算P到平面的单位法向量N，再计算点P到平面的投影向量P'：P'=P-(P·N)N其中，P·N为点P与单位法向量N的点积。
最后，通过计算点P到投影点P'的距离即可得到点到平面的距离d。
点到平面的距离的计算
点到平面的距离的计算方法一：点法式方程点法式方程是用法线向量和一个平面上的点表示平面的方程。
假设平面的法线向量为N=(a,b,c)，平面上一点为P0=(x0,y0,z0)，给定点为P=(x,y,z)。
点到平面的距离可以通过点法式方程计算。
点法式方程可以表示为：d = ，a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0)， / sqrt(a^2 + b^2 + c^2)其中，d表示点到平面的距离。
方法二：向量投影向量投影是另一种计算点到平面距离的方法。
首先，将给定点与平面上的任意一点P0相减得到向量v。
然后，将向量v投影到平面的法线向量N上，得到投影向量proj(N, v)。
点到平面的距离等于投影向量的长度。
投影向量可以通过以下公式计算：proj(N, v) = v - proj(N, v) = v - ((v·N) / ，N，^2) * N。
其中，·表示向量的点积运算，N，表示向量N的长度。
方法三：平面方程平面方程是用平面上的三个点表示平面的方程。
给定点到平面的距离也可以通过平面方程进行计算。
假设平面方程为ax + by + cz + d = 0，给定点的坐标为(x, y, z)，点到平面的距离可以通过以下公式计算：d = ，ax + by + cz + d， / sqrt(a^2 + b^2 + c^2)其中，d表示点到平面的距离。
方法四：Q-公式Q-公式是一种简单而直接的方法，可以通过平面参数方程和点坐标计算点到平面的距离。
首先，将平面参数方程表示为点(x0,y0,z0)和两个法向量v1=(a1,b1,c1)和v2=(a2,b2,c2)的叉积。
然后，将给定点(x,y,z)带入参数方程中，计算出参数u和v。
点到平面的距离可以通过以下公式计算：d = ，u*v1 + v*v2， / sqrt(a^2 + b^2 + c^2)其中，d表示点到平面的距离。
以上是常用的几种计算点到平面距离的方法。
解决点到平面距离问题的几种间接方法
解决点到平面距离问题的几种间接方法发布时间：2022-06-27T09:16:11.710Z 来源：《中小学教育》2022年第463期作者：杨蕾[导读] 【模型】三棱锥。
【表述】三棱锥P-ABC的体积＝三棱锥A-PBC的体积。
杨蕾吉林省长春市实验中学130117一、等体积法【模型】三棱锥。
【表述】三棱锥P-ABC的体积＝三棱锥A-PBC的体积。
【例题1】如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PAC=∠BAC=60°，AC=4，AP=3，AB=2.(1)求三棱锥P-ABC的体积；(2)求点C到平面PAB的距离。
【解析】(1)过P作PH⊥AC交AC于一点H，∵平面PAC⊥平面ABC，∴PH⊥平面ABC。
在△PAC中，∠PAC=60°，PA=3，则PH=3· = ，AH=。
△ABC面积S△=·AB·AC·sin60°= ·2·4·sin60°=2 。
∴四面体P-ABC体积V=·S△ABC·PH=·2 · =3。
(2)在△ABC中，连接BH。
则BH2=( )2+22-2·2··cos60°= ，PB2=PH2+HB2=( )2+ =10，∴PB= 。
在△PAB中，PA=3，AB=2，PB= ；∴cos∠PAB= = ，sin∠PAB= ；∴S△PAB= ·2·3· = 。
设C点到平面PAB距离为h，由等体积法可知， S△PAB·h= ·S△ABC·PH=3；∴ · ·h=3；从而h= ；∴C点到平面PAB距离为。
二、平行转移法【模型】线∥面、面∥面。
【表述】1.已知直线l∥平面α，点A∈l，点B∈l，则点A到平面α的距离＝点B到平面α的距离(图１)。
点到平面的距离的计算
点到平面的距离的计算点到平面的距离是指一个点在平面上的投影到平面的垂直距离。
这是一个重要的几何概念，在计算和证明中经常使用。
下面将介绍计算点到平面距离的方法，并给出一些应用实例。
首先，我们需要明确点到平面的垂线与平面的交点，称为垂足。
点到平面的距离就是该点到垂足的距离。
因此，计算点到平面的距离可以转化为计算点到垂足的距离。
方法一：利用向量给定一个点和平面，我们可以利用向量的方法计算点到平面的距离。
1.确定点和平面：给定一个点P(x1, y1, z1)和平面Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D分别代表平面的法向量中的系数。
2.计算向量：在点P和平面法向量之间建立一个向量，记为n，即n = (A, B,C)。
3.计算投影：将向量n在点P的垂直方向上投影到点P的坐标系中，记为n'，即n' = (An', Bn', Cn')，其中n' = (A^2 + B^2 + C^2)^(-1)。
4.计算距离：点到平面的距离d就是n'的长度，即d = |n'|。
方法二：利用点积和法向量给定一个点和平面，我们也可以利用点积和法向量的方法计算点到平面的距离。
1.确定点和平面：给定一个点P(x1, y1, z1)和平面Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D分别代表平面的法向量中的系数。
2.计算法向量：根据平面的方程Ax + By + Cz + D = 0，可以求出平面的法向量，记为n = (A, B, C)。
3.计算点积：将点P和平面的法向量n之间的点积记为dot(n, P)，即dot(n,P) = n·P。
4.计算距离：点到平面的距离d就是n在点P的投影长度与|n|的比值乘以符号(dot(n, P) / |n|)，即d = sign(dot(n, P) / |n|)。
应用实例1.求平行于z轴的平面x = 1上一点(1, 2, 3)到原点(0, 0, 0)的距离。
点到平面距离的若干典型求法
点到平面距离的若干典型求法目录1.引言 (1)2.预备知识 (1)3.求点到平面距离的若干求法 (3)3.1定义法求点到平面距离 (3)3.2转化法求点到平面距离 (5)3.3等体积法求点到平面距离 (7)3.4利用二面角求点到平面距离 (8)3.5向量法求点到平面距离 (9)3.6最值法求点到平面距离 (11)3.7公式法求点到平面距离 (13)1．引言求点到平面的距离是高考立体几何部分必考的热点题型之一，也是学生较难准确把握难点问题之一。
点到平面的距离的求解方法是多种多样的，本讲将着重介绍了几何方法（如体积法，二面角法）、代数方法（如向量法、公式法）及常用数学思维方法（如转化法、最值法）等角度等七种较为典型的求解方法，以达到秒杀得分之功效。
2．预备知识(1)正射影的定义:(如图1所示)从平面外一点P向平面α引垂线，垂足为P'，则点P'叫做点P在平面α上的正射影，简称为射影。
同时把线段PP'叫作点P与平面α的垂线段。
图1(2)点到平面距离定义:一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离，也即点与平面间垂线段的长度。
(3) 四面体的体积公式13V Sh = 其中V 表示四面体体积，S 、h 分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。
(4)直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
(5)三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。
(6)二面角及二面角大小:平面内的一条直线l 把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。
图2所示为平面α与平面β所成的二面角，记作二面角l αβ--，其中l 为二面角的棱。
如图在棱l 上任取一点O ，过点O 分别在平面α及平面β上作l 的垂线OA 、OB ，则把平面角AOB ∠叫作二面角l αβ--的平面角，AOB ∠的大小称为二面角l αβ--的大小。
“点面距离”的常用解法(文科)
“点面距离”常见求法（文科）------南安新营中学李志参背景: 在学生全面复习点、线、面的关系下讲，也是其它距离的基础，求点到平面的距离是立体几何教学中一个非常重要的基本问题，也是近几年文科高考的热点、难点。
教学目标：掌握点面距离常见求法教学重、难点：点面距离的定义，求点面距离几种常见方法的综合运用教学过程：一：复习求点面距离常见求法1：直接法（本质特征是证线面垂直，步骤是：找------证------求）2：间接法（1）线面法 （2）等体积法（3）比例法 （4）面面法二：典例分析已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，AC 与EF 交于H ，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，GC=2，求（1）点E 到平面CHG 的距离（2）点O 到平面EFG 的距离.（3）点B 到平面EFG 的距离.（4）点A 到平面EFG 的距离.解： （1） 直接法：证EH ⊥平面CHG 即可，∴EH 为 点E 到平面CHG 的距离，易求EH=2（2） 直接法：∵ EG=FG ， ∴ GH ⊥EF.又ABCD 是正方形，故BD ⊥AC ，从而EF ⊥AC.所以EF ⊥平面GHO.在平面GHO 内，过点O 作OK ⊥GH 于点K ，则由EF ⊥平面GHO 得EF ⊥OK ，从而OK ⊥平面EFG ， ∴OK 为点O 至平面E FG 的距离在△GHO 中，OH ×GC=GH ×OK ，得即点O 到平面EFG 的距离为（3）解法1：（线面法） ∵ EF ∥BD ， ∴ BD ∥平面EFG ，∴ 点B 到平面EFG 的距离等于点O 到平面EFG 的距离，由上知为解法2：（等体积法） 设四边形ABCD 的对角线相交于点O ，AC 与EF 交于H ，则H 是EF 的中点.C G AB D E F H O又因为EG=FG ，所以GH ⊥EF ，记点B 到平面EFG 的距离为h故点B 到平面EFG 的距离为：（4）（比例法）∵AH=HO ，∴点A 到平面EFG 的距离等于点O 到平面EFG 的距离 三：课堂小结: 求点面距离的方法大致有如下几种：1．直接法：步骤是“一作，二证，三计算”，即先作出表示距离的线段；再证明它就是所要求的距离；然后再计算，特别要注意第二步的证明。
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点到平面距离的若干典型求法目录1.引言 (1)2.预备知识 (1)3.求点到平面距离的若干求法 (3)3.1定义法求点到平面距离 (3)3.2转化法求点到平面距离 (5)3.3等体积法求点到平面距离 (7)3.4利用二面角求点到平面距离 (8)3.5向量法求点到平面距离 (9)3.6最值法求点到平面距离 (11)3.7公式法求点到平面距离 (13)1．引言求点到平面的距离是高考立体几何部分必考的热点题型之一，也是学生较难准确把握难点问题之一。
点到平面的距离的求解方法是多种多样的，本讲将着重介绍了几何方法（如体积法，二面角法）、代数方法（如向量法、公式法）及常用数学思维方法（如转化法、最值法）等角度等七种较为典型的求解方法，以达到秒杀得分之功效。
2．预备知识(1)正射影的定义:(如图1所示)从平面外一点P向平面α引垂线，垂足为P'，则点P'叫做点P在平面α上的正射影，简称为射影。
同时把线段PP'叫作点P与平面α的垂线段。
图1(2)点到平面距离定义:一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离，也即点与平面间垂线段的长度。
(3) 四面体的体积公式 13V Sh = 其中V 表示四面体体积，S 、h 分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。
(4)直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
(5)三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。
(6)二面角及二面角大小:平面内的一条直线l 把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。
图2所示为平面α与平面β所成的二面角，记作二面角l αβ--，其中l 为二面角的棱。
如图在棱l 上任取一点O ，过点O 分别在平面α及平面β上作l 的垂线OA 、OB ，则把平面角AOB ∠叫作二面角l αβ--的平面角，AOB ∠的大小称为二面角l αβ--的大小。
在很多时候为了简便叙述，也把AOB ∠称作α与平面β所成的二面角。
图2(7)空间向量内积:代数定义: 设两个向量111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则将两个向量对应分量的乘积之和定义为向量a 与b 的内积，记作a b ，依定义有a b =121212x x y y z z ++几何定义: 在欧几里得空间中，将向量a 与b 的内积直观地定义为||||cos ,a b a b a b =<>，这里||a 、||b 分别表示向量a 、b 的长度，,a b <>表示两个向量之间的夹角。
向量内积的几何意义为一个向量的模与另一个向量在这个向量正方向上投影向量模的乘积。
当0,90a b <>=，即a b ⊥时，0||||cos ,||||cos900a b a b a b a b =<>==。
下面说明这两种定义是等价的。
如图3所示，设O 、P 、Q 为空间的三点，令a OP =，b OQ =，c PQ =图3由余弦定理 222||||||2||||cos ,c a b a b a b =+-<>再设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则212121(,,)c x x y y z z =---从而有 222212121()()()x x y y z z -+-+-=2222221112222||||cos ,x y z x y z a b a b +++++-<>即121212||||cos ,x x y y z z a b a b ++=<>这就证得了两个定义是等价的。
3求点到平面距离的若干求法3.1 定义法求点到平面距离(直接法)定义法求点到平面距离是根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离的一种常用方法。
定义法求点到平面距离的关键在于找出或作出垂线段，而垂线段是由所给点及其在平面射影间线段，应而这种方法往往在很多时候需要找出或作出点在平面的射影。
以下几条结论常常作为寻找射影点的依据:(1)两平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。
(2) 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在该平面内的射影在这个角的角平分线所在的直线上。
(3)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线。
设斜线和已知两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在这个平面的射影是这个角的角平分线。
(4)若三棱锥的三条棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。
例 如图4所示，所示的正方体ABCD A B C D ''''- 棱长为a ，求点A '到平面AB D ''的距离。
(注:本文所有解法均使用本例)图4 解法一(定义法):如图5所示，连结交B D ''于点E ，再连结AE ，过点A '作A H '垂直于AE ，垂足为H ，下面证明A H '⊥平面AB D ''。
图5AA '⊥平面A B C D ''''∴B D ''⊥AA ' 又在正方形A B C D ''''中，对角线B D A C ''''⊥，且AA A C A ''''=AA '⊂平面AA E ', A C ''⊂平面AA E '∴由线面垂直的判定定理知道B D ''⊥平面AA E 'A H '⊂平面AA E '∴A H '⊥B D ''又由A H '的作法知道A H '⊥AE ，且有B D ''AE E =，B D ''⊂平面AB D ''，AE ⊂平面AB D ''∴由线面垂直的判定定理知道A H '⊥平面AB D ''根据点到平面距离定义，A H '的长度即为点A '到平面AB D ''的距离，下面求A H '的长度。
AB D ''∆中，容易得到AB B D D A ''''===，从而AB D ''∆为正三角形，060AB D ''∠=。
进而在Rt AB E '∆中，0sin sin 60AE AB AB D '''=∠==。
由1122AA E S AA A E AE A H '∆'''=⨯=⨯得到123AA A C a AA A E A H a AE AE '''⨯''⨯'==== 从而A '到平面AB D ''的距离为3a 。
3.2转化法求点到平面距离有时候限于几何体的形状，不易直接寻找出点在平面的射影，或者由直接法作出的射影线段在所给几何体中不易计算其长度，此时转化法不失为一种有效的方法。
转化法即是将点到平面的距离转化为另一点到平面间的距离的方法。
转化法依据主要有以下两点：(1)若直线l //平面α，则直线l 上所有点到平面α的距离均相等。
(2)若直线AB 与平面α交于点M ，则点A 、B 到平面α的距离之比为:AM BM 。
特别地，当M 为AB 中点时，A 、B 到平面α的距离相等。
下面用转化法重解上面例题解法二(转化法)如图6所示，连结AC 、A C '、A C ''、A B '、AB '，A C ''交B D ''于点E ，连结AE 交AC 于点H ，延长A C ''至点G 使得12C G A C '''=，连结CG 。
图6 CB ⊥平面AA B B ''∴从而斜线A C '在平面AA B B ''的射影为A B 'A B '、AB '为正方形AA B B ''对角线∴AB A B ''⊥，∴由三垂线定理知道AB A C ''⊥同理可以得到AD A C ''⊥ 又AB AD A ''=，AB '⊂平面AB D ''，AD '⊂平面AB D ''∴A C '⊥平面AB D ''∴A H '⊥平面AB D ''，即点H 为A '在平面AB D ''的射影，A H '的长度为所求//AC A C ''即//AC EG ，且1122EG EC C G A C A C A C AC ''''''''=+=+== ∴四边形ACGE 为平行四边形 ∴//AE CG在A CG '∆由等比性质有13A H AE A C EG '==' ∴13A H A C ''= 而在正方体ABCD ABCD ''''-中对角线2223A C A A AB BC a ''=++= ∴3A H '= 在本例中，未直接计算垂线段A H '的长度，而是找出了其与正方体ABCD A B C D ''''-中对角线A C '的数量关系，从而转化为求正方体ABCD A B C D ''''-对角线A C '长度，而A C '长度是极易计算的，故用这种转化方法降低了运算量。
本例运用的转化方法与依据(2)类似，都是寻求所要求的垂线段与某一已知或易求线段的数量关系，从而简化计算。
3.3等体积法求点到平面距离用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想，即要将所要求的垂线段置于一个四面体中，其中四面体的一个顶点为所给点，另外三点位于所给点射影平面上，这里不妨将射影平面上的三点构成的三角形称为底面三角形。