常微分习题解答

《常微分方程》习题解答东北师范大学微分方程教研室(第二版)高等教育出版社习题1 求下列可分离变量微分方程的通解： (1) xdx ydy = 解：积分，得 1222121c x y += 即 c y x =-22 (2)y y dxdyln = 解： 1,0==y y 为特解，当1,0≠≠y y 时，dx yy dy=ln ， 积分，得0ln ,ln ln 11≠=±=+=c ce e e y c x y x x c ，即xce e y =(3)y x e dxdy-= 解： 变形得 dx e dy e xy=积分，得c e e xy =-(4) 0cot tan =-xdy ydx解：变形得xydx dy cot tan =，0=y 为特解，当0≠y 时，dx x x dy y y cos sin sin cos =. 积分，得11cos sin ln ,cos ln sin ln c x y c x y =+-=,即0,cos sin 1≠=±=c c ex y c2．求下列方程满足给定初值条件的解： (1)1)0(),1(=-=y y y dxdy解： 1,0==y y 为特解，当1,0≠≠y y 时，dx dy yy =--)111(， 积分，得 0,1,1ln11≠=±=-+=-c ce e e yy c x y y x x c 将1)0(=y 代入，得 0=c ，即1=y 为所求的解。

(2) 1)0(,02)1(22==+'-y xy y x解： 0,1222=--=y x xy dx dy 为特解，当0≠y 时，dx x xy dy 1222--=， 积分，得 c x y+--=-1ln 12将1)0(=y 代入，得 1-=c ，即11ln 12+-=x y 为所求的解。

(3) 0)2(,332=='y y y 解： 0=y 为特解，当0≠y 时，dx ydy =323，积分，得 331)(,c x y c x y +=+=将0)2(=y 代入，得 2-=c ，即3)2(-=x y 和0=y 均为所求的解。

(4) 1)1(,0)()(2222-==+-+y dy yx x dx xy y 解： 0,0==y x 为特解，当0,0≠≠y x 时，01122=+-+dy y ydx x x ， 积分，得 0,,ln 1ln 1111111≠=±==-++---c ce e e yx c y y x x yx y x c将1)1(-=y 代入，得 2--=e c ，即yx e e yx 112---=为所求的解。

4．求解方程 01122=-+-dy x y dx y x 解：)11(1),11(1≤≤-±=≤≤-±=x y y x 为特解， 当1,1±≠±≠y x 时，01122=-+-dy yy dx xx积分，得 )0(1122>=-+-c c y x6．求一曲线，使其具有以下性质：曲线上各点处的切线与切点到原点的向径及x 轴可围成一个等腰三角形(以x 轴为底)，且通过点(1,2).解：设所求曲线为 )(x y y =对其上任一点),(y x 的切线方程：)('x X y y Y -=-于x 轴上的截距为'y y x a -=由题意建立方程：0'-=--x x y yx 即2)1(,'=-=y xy y 求得方程的通解为0,≠=c e xy c再由ce=2得c = ln2 , 得所求曲线为为2=xy7．人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比（1） 如果4小时的细菌数为原细菌数的2倍，那么经过12小时应有多少（2） 如果在3小时时的细菌数为得410个，在5小时时的细菌数为得4104⨯个，那么在开始时有多少个细菌解：设t 时刻的细菌数为q (t) , 由题意建立微分方程0>=k kq dtdq求解方程得ktce q = 再设t = 0时，细菌数为0q ,求得方程的解为kt e q q 0=（1） 由02)4(q q = 即0402q eq k= 得42ln =k 042ln 1201208)12(q eq eq q k===（2）由条件 450430104)5(,10)3(⨯====k ke q q eq q比较两式得24ln =k ， 再由4024ln 3030108)3(====q eq e q q k得301025.1⨯=q习题1 解下列方程：(2) 0)2(22=+-dy x dx xy y解：方程改写为 2)()(2xyx y dx dy -= 令 x y u =，有 22u u dx du x u -=+ 整理为 )1,0()111(≠=--u xdxdu u u积分，得 x c u u1ln 1ln=- 即111-=x c xc u代回变量，得通解0,)(==-y cy x y x 也是方程的解(4) x y x y y x tan=-' 解：方程改写为xyx y dx dy tan =- 令 x y u =，有 u u u dx du x cos sin tan == 即)0(sin cot ≠=u xdxudu积分，得 cx u =sin代回变量，得通解cx xy=sin (5) xyx y x y y x ++=-'ln )(解：方程改写为 xyx x y x y dx dy ++=-ln)1( 令 x y u =，有 )1ln()1(u u dxdux ++=当1,0-≠≠u u 时xdxu u du =++)1ln()1(积分，得 cx u =+)1ln( 代回变量，得通解cx xy=+)1ln( (6) y y x y x +-='22解：方程改写为xyx y dx dy +-=2)(1 令 x y u =，有 21u dx dux -= 分离变量)11(12<<-=-u x dx u du积分，得 cx u ln arcsin = 代回变量，得通解xy cx xy±==,ln arcsin 也是方程的解2 解下列方程：(1) 0)3()642(=-+++-dy y x dx y x解：方程改写为3624-+--=y x x y dx dy 令⎩⎨⎧=-+=+-03042βαβα，解得 2,1==βα作变换2,1+=+=ηζy x 有ζηζηζη+-=24d d 再令ζη=u 上方程可化为uu d du u +-=+124ζζ整理为)2,1()2)(1(1≠-=--+u d du u u u ζζ积分，得 c u u u =---ζ2)12)(2( 代回变量，得通解1,)1()2(23+=--=-x y x y c x y 也是方程的解(2) 0)324()12(=-+-++dy y x dx y x解：方程改写为32412-+++=y x y x dx dy 令 y x u +=2，有3255--=u u dx du 分离变量 )1(5132≠=--u dx du u u积分，得 151ln 2c x u u +=--代回变量，得通解xy ce y x -=-+212(4) 2)12(2-+-='y x y y解：令2,1-=+=y v x u 则原方程变为2)(2vu v du dv += 再令 u v z =，则方程化为 2)1(2zz du dz u z +=+ 分离变量 )0()1()1(22≠-=++z u dudz z z z积分，得 c z zu ln arctan 2ln +-= 代回变量，得通解12arctan22+--=-x y cey3 解方程 0)823()732(2222=-+--+ydy y x xdx y x解：方程改写为 823732222222-+-+=y x y x xdx ydy 即 823732222222-+-+=y x y x dx dy 令 v y u x ==22, 则823732-+-+=v u v u du dv 再令 ⎩⎨⎧=-+=-+08230732βαβα 解得1,2==βα作变换 1,2+=+=ηξv u ，则方程化为ηξηξξη2332++=d d 再作变换 ξηω=，则方程化为)1()1(2232±≠=-+ωξξωωωd d积分，得45)1(1ξωωc =-+ 代回原变量，得原方程的通解为)3()1(22522-+=--y x c y x习题1 解下列方程. (1)24dyxy x dx+= 解：原方程对应的齐次方程20dyxy dx+=的通解为2x y Ce -=. 由常数变易法得原方程的一个特解为2y =. 则原方程的通解为$y=Ce^{-x^2}+2$. (2) 21'2(2)2y y x x -=-- 解： 原方程对应的齐次方程1'02y y x -=-的通解为(2)y C x =-. 由常数变易法得原方程的一个特解为3(2)y x =-. 则原方程的通解为2(2)(4)y x x x C =--+. (3)32d d ρρθ+= 解： 原方程对应的齐次方程30d d ρρθ+=的通解为3Ce θρ-=. 由常数变易法得原方程的一个特解为23ρ=.则原方程的通解为323Ce θρ-=+, 或者332Ce θρ-=+.2 求曲线,使其切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标.解：设所求曲线为()y y x =,则它在曲线上任一点的斜率'k y =. 过点(,)x y 的方程为'()Y y y Z x -=-. 依题意得'y xy x -=, 即'1yy x=-. 它对应的齐次方程'yy x=的通解为y Cx =. 它的一个特解为ln ||y x x =. 因此,所求曲线为ln ||y x x Cx =+. 3 解下列伯努利方程(2)4'20y xy xy ++= 解：原方程可化为43'2y y xy x --+=-.令$z=y^{-3}$, 则有63dzxz x dx-=. 它对应的齐次线性方程为6dzxz dx=. 当0z =时,有30y -=,得0y =;当0z ≠时,有6dzxdx z =,得23x z Ce =. 令23()x z C x e =为方程63dzxz x dx-=的一个解, 则有23'()3x C x xe -=.两边积分得2311()2x C x e C -=+,带回得原方程的通解为2312x z Ce =-,即23312x y Ce -=-.(4)2(cos sin )dy y y x x dx+=-解：方程两边同乘以2y --得21sin cos dy y y x x dx----=-.令1z y -=,则2dz dy y dx dx -=. 于是sin cos dz z x x dx-=-.该方程对应的齐次方程0dzz dx-=的通解为x z Ce =.由常数变易法得一个特解为sin z x =-.则它的通解为sin xz Ce x =-. 于是原方程的通解为1sin x yCe x -=-.另外，0y =也是原方程的解.6. 设()y x 在[0,)+∞上连续可微, 且 lim['()()]0x y x y x →+∞+=, 证明 lim ()0x y x →+∞=.证明：设 '()()()y x y x f x +=,则lim ()0x f x →+∞=,()()xs x xC f s e dsy x e+=⎰0ε∀>, 对充分大的1x , 当1x x >时, 有|()|f x ε<. 故11x xx x x|||()|()||+|()| e(x +)xs x xs s C f s e dsy x e C f s e ds e dsεε+≤≤→→∞⎰⎰⎰＋由ε的任意性有 lim ()0x y x →+∞=.习题1 (1) 222()0xydx x y dy +-= 解：因为2M N x y x∂∂==∂∂,所以方程是全微分方程. 于是方程的通解为233x y y C -=. (2)(2)0yye dx y xe dy ---+= 解：y M N e y x-∂∂=-=∂∂,所以方程是全微分方程. 于是方程的通解为2y xe y C --=. 2. 求下列方程的积分因子和积分. (1)22()0x y x dx xydy +++= 解：由于2M y y ∂=∂,Ny x∂=∂,所以方程不是全微分方程. 而11()M N N y x x∂∂-=∂∂只与x 有关,故可得积分因子为()x x μ=. 以积分因子乘以原方程两端,得全微分方程：3222()0x xy x dx x ydy +++=.则原方程的的通解为4223364x x y x C ++=.(2) 432422(22)(3)0yyxy e xy y dx x y e x y x dy +++--= 解：由于3428261y y M xy e xy e xy y ∂=+++∂, 42223y Nxy e xy x ∂=--∂, 所以方程不是全微分方程. 而14()M N M y x y ∂∂-=--∂∂只与y 有关,故可得积分因子为41()y yμ=. 以积分因子乘以原方程两端,得全微分方程：22324213(2)()0yyx x x xe dx x e dy y y y y+++--=.则原方程的的通解为223yx xx e C y y++=.(3)443()0x y dx xy dy +-= 解：因为34M y y ∂=∂,3Ny x∂=-∂,所以方程不是全微分方程. 而15()M N N y x x ∂∂-=-∂∂只与x 有关,用积分因子5x -乘以原方程两端，得全微分方程：15443()0x x y dx x y dy ---+-=.于是原方程的通解为444ln .x x y C --=(4)3222432(2422)2()0x y x y xy xy y dx y x y x dy +++++-+= 解：由于32344442M x y x xy xy y ∂=++++∂,42Nxy x∂=+∂,所以方程不是全微分方程.而1()2M N x N y x∂∂-=∂∂只与x 有关, 故积分因子为2()x x e μ=. 用积分因子乘以原方程两端，得全微分方程：223222432(2422)2()0x x x y x y xy xy y e dx y x y x e dy +++++-+=.于是原方程的通解为2224(24)x x y xy y e C ++=.习题1. 求解下列方程. (1)22'0y y -=解：因为(')(')0y y y y +-=,所以'y y =-或'y y =. 由'y y =-得xy Ce -=; 由'y y =得xy Ce =.因此原方程的通解为xy Ce ±=.(2) 38'27y y =解：令'p y =, 可得3827p y =. 此式关于x 求导数整理得2427dpp dx=. 于是22712p x C =+.从而原方程的通解为23()y x C =+. 另外,0y =也是原方程的解. (3) 22('1)1y y +=解：首先, 1y =±是方程的解. 令y t =,则'y t=. 于是dx ==,从而x C C =+=.由此可得原方程的通解为x C y t ⎧⎪+=⎨=⎪⎩即22()1x C y ++=. （4）22''(')x yy y xy =-解：方程关于,',''y y y 是齐次的,作代换zdxy e ⎰=可把方程降一阶，其中z 是x 的新的未知函数.故2',''(')zdx zdxy ze y z z e ⎰⎰==+.把,',''y y y 的表达式代入方程并消去2zdxy e ⎰=,得222(')(1)x z z xz +=-,或 2'21x z xz +=，这是线性方程,它的左边可以写成2()'1x z =,由此得21x z x C =+，或 121C z x x=+， 11221()ln ln C C zdx dx x C x x x=+=-+⎰⎰. 原方程的通解是 12ln /ln zdxx C x C y e e-+⎰==或 1/2C xy C xe-=．此外,方程还有解0y =.习题1.试绘出下列各方程的积分曲线图:(1) ay='(a为常数); (2) ;2xy='(3) yy='; (4) ;12xdxdy-=(5) .xdxdy=解：(1) 由于ayxf=),(, 不依赖于x和y,所以线素场的线素均平行, 其斜率为a. 从而可以根据线素场线素的趋势, 大体描出积分曲线.如图(1)所示.(2) 由于2),(xyxf=, 不依赖于y, 因而, 在直线kx=±上线素场的线素都平行, 其斜率为右端函数),(yxf横坐标的平方. 于是, 横坐标的绝对值越大, 线素场的方向越陡. 从而, 可以根据线素场线素的趋势, 大体上描出积分曲线. 如图(2)所示.(3) 由于yyxf=),(, 不依赖于x, 因而在直线ky=(k为常数)上, 线素场的线素都平行, 斜率为纵坐标的绝对值, 故当y>0时, 其积分曲线如图(3)所示; 当y<0时, 其积分曲线如图(4)所示.(4) 由于21),(xyxf-=, 不依赖于y, 所以, 可知在直线kx12-=上线素场的线素都平行, 其斜率为右端函数),(yxf横坐标平方的倒数的相反数. 于是, 横坐标越大,线素场的方向越平缓. 从而, 可以根据线素场线素图 (2)图(3)图(4)图 (5)图 (1)的趋势, 大体上描出积分曲线. 如图(5)所示.(5) 由于xyxf=),(, 不依赖于y, 因而在直线kx=(k为常数)上,线素场的线素都平行, 故当x>0时, 其积分曲线如图(6)所示; 当x<0时, 其积分曲线如图(7)所示.2. 试画出方程22yxdxdy-=在xoy平面上的积分曲线的大致图像.解：这个方程是不可积的, 但易于画出它的线素场. 在同一以原点为对称中心的双曲线上,线素场的线素都平行. 其斜率等于双曲线实半轴长的平方. 于是, 实半轴越长, 线素场的方向越陡. 从而,根据线素场线素的趋势, 大体上可以描出积分曲线.如图(8)所示.3. 试用欧拉折线法,取步长1.0=h,求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=1)1(,22yyxdxdy的解在4.1=x时的近似值.解令1=x,1=y.则,1.11.01=+=xx;2.11.0211=⋅+=y,2.11.012=+=xx;465.11.065.22.12=⋅+=y,3.11.023=+=xx;824.11.0586.3465.13=⋅+=y,4.11.034=+=xx.326.21.0017.5824.14=⋅+=y图 (8)图 (7)图(6)习题1. 试判断方程x x dxdytan =在区域 (1);0,11:1π≤≤≤≤-y x R(2)44,11:2ππ≤≤-≤≤-y x R上是否满足定理2.2的条件解：(1) 不满足. 因为在区域1R 上,右端函数y x y x f tan ),(=当2π=y 时不连续.(2) 满足. 因为在区域2R 上,右端函数y x y x f tan ),(=连续且2cos ),(2≤='yxy x f y 有界.2. 判断下列方程在什么样的区域上保证初值解存在且唯一 (1) 22y x y +='; (2) y x y sin +='; (3) 31-='xy ; (4) y y ='.解：(1) 因为22),(y x y x f +=及y y x f y 2),(='在整个xoy 平面上连续, 所以在整个xoy 平面上满足存在唯一性定理条件. 进而在xoy 平面上保证初值解存在且唯一.(2) 因为y x y x f sin ),(+=及y y x f y cos ),(='在整个xoy 平面上连续, 所以在整个xoy 平面上满足存在唯一性定理条件. 进而在xoy 平面上保证初值解存在且唯一.(3) 因为方程右端函数=),(y x f 31-x在除去y 轴外的整个xoy 平面上连续且0),(='y x f y , 所以在除去y 轴外的整个xoy 平面上初值解存在且唯一.(4) 因为方程右端函数=),(y x f y =⎪⎩⎪⎨⎧<-≥0,,0,y y y y 在整个xoy 平面上连续, 而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-->='0,21,0,21),(y yy y y x f y 在除去x 轴外的整个xoy 平面上连续, 所以在除去x 轴外的整个xoy 平面上初值解存在且唯一.3. 讨论方程3123y dx dy = 在怎么样的区域中满足定理2.2的条件. 并求通过)0,0(的一切解.解：右端函数对y 的偏导数3221-=∂∂y y f , 显然它在任何一个不包含x 轴)0(=y 上的点的有界闭区域中是有界的, 因此在这种区域中解是存在唯一的. 即, 只有通过 0=y 上的点可能出现多个解的情况(方程右端的连续性保证在任何有界区域中,解是存在的).原方程分离变量得dx dy y 2331=-上式两端取积分得C x y 23232332-= 23)(C x y -±=其中.0)(≥-C x 此外有特解0=y . 因此过点)0,0(有无穷多个解(如图(9)所示) .0=y ,⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=Cx C x C x y ,)(,023 ⎪⎩⎪⎨⎧>--≤=.,)(,023C x C x C x y4. 试用逐次逼近法求方程2y x dx-=满足初值条件0)0(=y 的近似解: )(),(),(),(3210x x x x ϕϕϕϕ图(9)解：0)0()(0==y x ϕ 20121)0(0)(x ds s x x⎰=-+=ϕ52022220121])21([0)(x x ds s s x x-=-+=⎰ϕ.44001160120121])20121([0)(1185202523x x x x ds s s s x x -+-=--+=⎰ϕ5. 试用逐次逼近法求方程22x y dxdy-=满足初值条件1)0(=y 的近似解:)(),(),(210x x x ϕϕϕ解：1)0()(0==y x ϕ301311)1(0)(x x ds s x x-+=-+=⎰ϕ.631152611])311[1)(754202232x x x x x ds s s s x x+--++=--++=⎰ϕ6. 试证明定理2.2中的n 次近似解)(x n ϕ与精确解)(x ϕ有如下的误差估计式:1)!1()()(+-+≤-n nn x x n MN x x ϕϕ证：由⎰+=xx ds s s f y x 0))(,()(0ϕϕ 及迭代列00)(y x =ϕ,,2,1))(,()(010=+=⎰-n dss s f y x xx n n ϕϕ得000))(,()()(x x M ds s s f x x xx -≤≤-⎰ϕϕϕ设10)!1()()(+-+≤-n n n x x n MN x x ϕϕ则21111)!2()!1())(,())(,()()(00+++++-+≤-+≤-≤-⎰⎰n n x x n n zx n n x x n MN dsx s n MN dss s f s s f x x ϕϕϕϕ由归纳法可知,对任意n 次近似解, 估计式1)!1()()(+-+≤-n nn x x n MN x x ϕϕ 成立.7. 利用上面的估计式, 估计:(1) 4题中的三次近似)(3x ϕ 在21=x 和1=x 时的误差; (2) 5题中的二次近似)(2x ϕ在41=x 时的误差. 解：(1) 显然初值问题2y x dxdy-=, 0)0(=y 在区域1,1:≤≤y x R上存在唯一解, 由解的存在唯一性定理知,解的定义区间为0h x ≤其中),min(0Mba h =, =-=∈2),(m ax y x M R y x 2. 这里,1,1==b a 从而210=h ,即得解的定义区间为21≤x .则由误差估计公式1)!1()()(+-+≤-n nn x x n MN x y x y其中N 是李普希兹常数. 因为,22≤-=∂∂y yf可取 ,2=N 当21=x 时, 有 241)21(!422)()(433=⋅≤-x y x y .当1=x 时, 有32)1(!422)()(433=⋅≤-x y x y .(2) 显然初值问题22x y dxdy-=,1)0(=y 在区域11,1:≤-≤y x R 上存在唯一解, 由解的存在唯一性定理知, 解的定义区间为:0h x ≤其中),min(0Mba h =, =-=∈22),(m ax x y M R y x 4. 这里,1,1==b a 从而410=h ,即得解的定义区间为41≤x .则由误差估计公式1)!1()()(+-+≤-n nn x x n MN x y x y其中N 是李普希兹常数. 因为,22≤=∂∂y yf可取,2=N 则有 241)41(!324)()(322=⋅≤-x y x y .8. 在条形区域b x a ≤≤, +∞<y 内, 假设方程 的所有解都唯一, 对其中任意两个解)(),(21x y x y , 如果有)()(0201x y x y <, 则必有)()(21x y x y <, b x x ≤≤0.证：令=)(x ϕ)()(21x y x y -,由于)()(0201x y x y <,故0)()()(02010<-=x y x y x ϕ.用反证法 若在)(),(21x y x y 共同的存在区间内)()(21x y x y <不成立, 由)(x ϕ的连续性, 必存在点],[b a x ∈, 使得0)(=x ϕ. 从而0)()(21=-x y x y , 即)()(21x y x y =. 这于假设矛盾, 故必有)()(21x y x y <.。