常微分习题解答

《常微分方程》习题解答东北师范大学微分方程教研室(第二版)

高等教育出版社

习题

1 求下列可分离变量微分方程的通解： (1) xdx ydy = 解：积分，得 12

22

121c x y += 即 c y x =-22 (2)

y y dx

dy

ln = 解： 1,

0==y y 为特解，当1,

0≠≠y y 时，

dx y

y dy

=ln ， 积分，得0ln ,ln ln 11≠=±=+=c ce e e y c x y x x c ，即x

ce e y =

(3)

y x e dx

dy

-= 解： 变形得 dx e dy e x

y

=积分，得c e e x

y =-

(4) 0cot tan =-xdy ydx

解：变形得

x

y

dx dy cot tan =

，0=y 为特解，当0≠y 时，dx x x dy y y cos sin sin cos =. 积分，得11cos sin ln ,cos ln sin ln c x y c x y =+-=,

即0,cos sin 1

≠=±=c c e

x y c

2．求下列方程满足给定初值条件的解： (1)

1)0(),1(=-=y y y dx

dy

解： 1,

0==y y 为特解，当1,

0≠≠y y 时，dx dy y

y =--)1

11(

， 积分，得 0,1

,1

ln

11≠=±=-+=-c ce e e y

y c x y y x x c 将1)0(=y 代入，得 0=c ，即1=y 为所求的解。 (2) 1)0(,02)1(2

2

==+'-y xy y x

解： 0,1

222

=--=y x xy dx dy 为特解，当0≠y 时，

dx x x

y dy 1

222--=， 积分，得 c x y

+--=-

1ln 1

2

将1)0(=y 代入，得 1-=c ，即1

1ln 12

+-=

x y 为所求的解。

(3) 0)2(,332=='y y y 解： 0=y 为特解，当0≠y 时，

dx y

dy =3

23，

积分，得 33

1)(,

c x y c x y +=+=

将0)2(=y 代入，得 2-=c ，即3

)2(-=x y 和0=y 均为所求的解。 (4) 1)1(,0)()(2

2

2

2

-==+-+y dy yx x dx xy y 解： 0,0==y x 为特解，当0,0≠≠y x 时，

0112

2=+-+dy y y

dx x x ， 积分，得 0,,

ln 1

ln 11

11

111≠=±==-++---c ce e e y

x c y y x x y

x y x c

将1)1(-=y 代入，得 2--=e c ，即y

x e e y

x 1

12---=为所求的解。

4．求解方程 0112

2=-+-dy x y dx y x 解：)11(1),11(1≤≤-±=≤≤-±=x y y x 为特解， 当1,1±≠±≠y x 时，

0112

2

=-+

-dy y

y dx x

x

积分，得 )

0(112

2>=-+-c c y x

6．求一曲线，使其具有以下性质：曲线上各点处的切线与切点到原点的向径及x 轴可围成一个等腰三角形(以x 轴为底)，且通过点(1,2).

解：设所求曲线为 )

(x y y =对其上任一点)

,(y x 的切线方程：

)

('x X y y Y -=-于x 轴上的截距为'

y y x a -

=由题意建立方程：

0'

-=--x x y y

x 即2)1(,'=-

=y x

y y 求得方程的通解为0

,

≠=c e xy c

再由c

e

=2得c = ln2 , 得所求曲线为

为2

=xy

7．人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比

（1） 如果4小时的细菌数为原细菌数的2倍，那么经过12小时应有多少

（2） 如果在3小时时的细菌数为得4

10个，在5小时时的细菌数为得

4104⨯个，那么在开始时有多少个细菌

解：设t 时刻的细菌数为q (t) , 由题意建立微分方程

0>=k kq dt

dq

求解方程得kt

ce q = 再设t = 0时，细菌数为0q ,求得方程的解为kt e q q 0=

（1） 由02)4(q q = 即0402q e

q k

= 得4

2

ln =

k 04

2ln 12

01208)12(q e

q e

q q k

===

（2）由条件 450430104)5(,

10)3(⨯====k k

e q q e

q q

比较两式得24

ln =k ， 再由402

4ln 3030108)3(====q e

q e q q k

得3

01025.1⨯=q

习题

1 解下列方程：

(2) 0)2(2

2

=+-dy x dx xy y

解：方程改写为 2)()(2x

y

x y dx dy -= 令 x y u =，有 22u u dx du x u -=+ 整理为 )1,0()111(≠=

--u x

dx

du u u

积分，得 x c u u

1ln 1

ln

=- 即1

11-=

x c x

c u

代回变量，得通解0,)(==-y cy x y x 也是方程的解

(4) x y x y y x tan

=-' 解：方程改写为

x

y

x y dx dy tan =- 令 x y u =，有 u u u dx du x cos sin tan == 即)0(sin cot ≠=

u x

dx

udu

积分，得 cx u =sin