05二次函数三种表达式
初三数学二次函数的表达式讲义
学科教师辅导讲义一、 知识梳理二、 知识概念（一）二次函数解析式的表示方法1、一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2、顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3、两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.体系搭建（二）二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1、已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2、已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3、已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4、已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．考点一：一般式例1、如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC=2．则这条抛物线的解析式是（）A．y=x2﹣x﹣2B．y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2C．y=﹣x2+x+2D．y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2例2、如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1=﹣x+m与二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上．（1）求m的值和二次函数的解析式．（2）请直接写出使y1＞y2时自变量x的取值范围．考点二：顶点式例1、根据表中的自变量x与函数y的对应值，可判断此函数解析式为（）x…﹣1012…y…﹣12…A．y=x B．y=﹣C．y=（x﹣1）2+2D．y=﹣（x﹣1）2+2例2、已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A．y=﹣3（x﹣1）2+3B．y=3（x﹣1）2+3C．y=﹣3（x+1）2+3D．y=3（x+1）2+3例3、若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b、k的值分别为（）A．0 5B．0 1C．﹣4 5D．﹣4 1考点三：交点式（两根式）例1、如图，已知抛物线l1：y=（x﹣2）2﹣2与x轴分别交于O、A两点，将抛物线l1向上平移得到l2，过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B，如果由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线l2的函数表达式为（）A．y=（x﹣2）2+4B．y=（x﹣2）2+3C．y=（x﹣2）2+2D．y=（x﹣2）2+1例2、图象经过P（3，4）且与x轴两个交点的横坐标为1和﹣2，求这个二次函数的解析式．考点四：待定系数法例1、如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣2，0）．（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上有一点P，满足S△AOP=1，请直接写出点P的坐标．例2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．实战演练➢课堂狙击1、与y=2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（）A．y=1+x2B．y=（2x+1）2C．y=（x﹣1）2 D．y=2x22、一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为（）A．y=﹣2（x﹣1）2+3 B．y=﹣2（x+1）2+3C．y=﹣（2x+1）2+3D．y=﹣（2x﹣1）2+33、二次函数y=x2﹣6x+5配成顶点式正确的是（）A．y=（x﹣3）2﹣4B．y=（x+3）2﹣4C．y=（x﹣3）2+5D．y=（x﹣3）2+144、二次函数图象如图所示，则其解析式是（）A．y=﹣x2+2x+4B．y=x2+2x+4C．y=﹣x2﹣2x+4 D．y=﹣x2+2x+35、如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（）A．y=x2﹣x﹣2B．y=x2﹣x+2C．y=x2+x﹣2D．y=x2+x+26、如图，△AOB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y=﹣x+m与x轴交于点E．（1）求点E的坐标；（2）求过A、O、E三点的抛物线的解析式．7、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A（﹣1，0），点C（0，5），点D （1，8）都在抛物线上，M为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求直线CM的解析式；（3）求△MCB的面积．➢课后反击1、已知抛物线y=x2﹣2x+c的顶点在x轴上，你认为c的值应为（）A．﹣1B．0C．1D．22、对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式（）A．y=﹣2x2+8x+3B．y=﹣2x‑2﹣8x+3C．y=﹣2x2+8x﹣5D．y=﹣2x‑2﹣8x+23、把二次函数y=x2﹣4x+1化成y=a（x+m）2+k的形式是（）A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x﹣2）2﹣1C．y=（x﹣2）2+3D．y=（x﹣2）2﹣3 4、若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b，k的值分别（）A．0，5B．﹣4，1C．﹣4，5D．﹣4，﹣15、已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A．y=﹣3（x﹣1）2+3B．y=3（x﹣1）2+3C．y=﹣3（x+1）2+3 D．y=3（x+1）2+36、若所求的二次函数图象与抛物线y=2x2﹣4x﹣1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的解析式为（）A．y=﹣x2+2x+4B．y=﹣ax2﹣2ax﹣3（a＞0）C．y=﹣2x2﹣4x﹣5D．y=ax2﹣2ax+a﹣3（a＜0）7、已知二次函数y=ax2（a≠0）与一次函数y=kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1），（1）求二次函数和一次函数解析式．（2）求△OAB的面积．8、已知：二次函数y=﹣x2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）和C（0，2）．（1）求二次函数的表达式及对称轴；（2）将二次函数y=﹣x2+bx+c的图象在直线y=1上方的部分沿直线y=1翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G，点M（m，y1）在图象G上，且y1≥0，求m的取值范围．直击中考1、【2016•兰州】二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（）A．y=（x﹣1）2+2B．y=（x﹣1）2+3C．y=（x﹣2）2+2D．y=（x﹣2）2+42、【2013•深圳】已知二次函数y=a（x﹣1）2﹣c的图象如图所示，则一次函数y=ax+c的大致图象可能是（）A．B．C．D．3、【2011•泰安】若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表，则当x=1时，y的值为（）x﹣7﹣6﹣5﹣4﹣3﹣2y﹣27﹣13﹣3353A．5B．﹣3C．﹣13D．﹣274、【2008•济宁】已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A．y=x2﹣2x+3B．y=x2﹣2x﹣3C．y=x2+2x﹣3 D．y=x2+2x+35、【2010•深圳】如图所示，抛物线y=ax2+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（﹣2，0），B（﹣1，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A，B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S‑PAD=4S‑ABM成立，求点P的坐标．重点回顾二次函数表达式的三种形式：一般式、顶点式、交点式；待定系数法名师点拨1、已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2、已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3、已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4、已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．学霸经验➢本节课我学到➢我需要努力的地方是。
二次函数知识点总结
二次函数I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存有如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还能够决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI 越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，能够看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
二次函数的表达式常见的三种形式
二次函数的表达式常见的三种形式：
1、一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且，
当已知抛物线上任意三点坐标时，通常设其函数表达式为一般式，然后列出关于c b a ,,的三元一次方程组求解；
2、顶点式：)0,,(2≠++=a k h a k h x a y 为常数，且）（，当已知抛物线的顶点坐标和抛
物线上另一点的坐标时，通常先设函数的表达式为顶点式，然后将另一点的坐标带入，解关于a 的一元一次方程；
3、交点式（拓展）：)0,,)()((2121≠--=a x x a x x x x a y 为常数，且，其中21,x x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.当已知抛物线与x 轴的交点及抛物线上另一点坐标时，通常先设其函数表达式为))((21x x x x a y --=，然后将另一点的坐标带入求出待定系数a .。
专题05 二次函数的三种表示方式-2019年初升高数学衔接必备教材(解析版)
专题05二次函数的三种表示方式高中必备知识点1：一般式形如下面的二次函数的形式称为一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；典型考题【典型例题】已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式．（2）已知点（m ，k ）和点（n ，k ）在此抛物线上，其中m ≠n ，请判断关于t 的方程t 2+mt +n ＝0是否有实数根，并说明理由．【答案】（1）y ＝x 2+2x ﹣3；（2）方程有两个不相等的实数根．【解析】（1）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，3）9a ﹣3b +c ＝0930312a b c c b a⎧⎪-+=⎪=-⎨⎪⎪-=-⎩ 解得a ＝1，b ＝2，c ＝﹣3∴抛物线y ＝x 2+2x ﹣3；（2）∵点（m ，k ），（n ，k ）在此抛物线上，∴（m ，k ），（n ，k ）是关于直线x ＝﹣1的对称点， ∴ +2m n ＝﹣1 即m ＝﹣n ﹣2 b 2﹣4ac ＝m 2﹣4n ＝（﹣n ﹣2）2﹣4n ＝n 2+4＞0∴此方程有两个不相等的实数根．【变式训练】抛物线的图象如下，求这条抛物线的解析式。
(结果化成一般式)【答案】【解析】由图象可知抛物线的顶点坐标为（1，4），设此二次函数的解析式为y=a（x-1）2+4把点（3，0）代入解析式，得：4a+4，即a=-1所以此函数的解析式为y=-（x-1）2+4故答案是y=-x2+2x+3．【能力提升】如图，在平面直角坐标系中，抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线. （1）求抛物线的解析式（化为一般式）；（2）直接写出抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积.【答案】(1);(2)4. 【解析】（1）抛物线的顶点坐标为，把点先向右平移2个单位，再向下平移2个单位后得到的点的坐标为， 抛物线的解析式为； （2）顶点坐标为，且抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积， 抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积.高中必备知识点2：顶点式形如下面的二次函数的形式称为顶点式：y ＝a (x -h )2＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(h ，k )．典型考题【典型例题】 已知二次函数21322y x x =-++． ⑴用配方法将此二次函数化为顶点式；⑵求出它的顶点坐标和对称轴方程．【答案】（1）()21122y x =--+；（2）（1，2），直线1x = 【解析】（1）21322y x x =-++ ()21232y x x =--- ()2121132y x x =--+-- ()212142y x x ⎡⎤=--+-⎣⎦ ()21142y x ⎡⎤=---⎣⎦ ()21122y x =--+ （2）∵()21122y x =--+ ∴顶点坐标为（1，2），对称轴方程为直线1x =.【变式训练】已知二次函数的图象的顶点是（﹣1，2），且经过（1，﹣6），求这个二次函数的解析式．【答案】二次函数的解析式为y=﹣2（x+1）2+2．【解析】∵二次函数的图象的顶点是（﹣1，2），∴设抛物线顶点式解析式y=a （x+1）2+2，将（1，﹣6）代入得，a （1+1）2+2=﹣6，解得a=﹣2，所以，这个二次函数的解析式为y=﹣2（x+1）2+2．【能力提升】二次函数的图象经过点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，． （1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位，使得该图象的顶点在原点．【答案】（1）322--=x x y ；（2）（1，-4）；（3）5【解析】（1）设c bx ax y ++=2，把点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，代入得 ⎪⎩⎪⎨⎧=---=++-=03343b a c b a c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a∴322--=x x y ；（2）∵4)1(3222--=--=x x x y∴函数的顶点坐标为（1，-4）；（3）∵|1-0|+|-4-0|=5∴二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移5个单位，使得该图象的顶点在原点．高中必备知识点3：交点式形如下面的二次函数的形式称为交点式：y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．典型考题【典型例题】已知在平面直角坐标系中，二次函数 y =x 2+2x +2k ﹣2 的图象与 x 轴有两个交点．（1）求 k 的取值范围；（2）当 k 取正整数时，请你写出二次函数 y =x 2+2x +2k ﹣2 的表达式，并求出此二次函数图象与 x 轴的两个交点坐标．【答案】（1）k ＜；（2）（﹣2，0）和（0,0）.【解析】（1）∵图象与x轴有两个交点，∴方程有两个不相等的实数根，∴解得（2）∵k 为正整数，∴k=1．∴令y=0，得解得∴交点为（﹣2，0）和（0，0）.【变式训练】已知二次函数的图象经过点(3，－8)，对称轴是直线x＝－2，此时抛物线与x轴的两交点间距离为6.(1)求抛物线与x轴两交点坐标；(2)求抛物线的解析式．【答案】(1)(－5，0)，(1，0)；（2）y＝－x2－2x＋.【解析】(1) ∵因为抛物线对称轴为直线x=-2，且图象与x轴的两个交点的距离为6，∴点A、B到直线x=-2的距离为3，∴A为（-5，0），B为（1，0）；(2)设y＝a(x＋5)(x－1)．∵点(3，－8)在抛物线上，∴－8＝a(3＋5)(3－1)，a＝－，∴y＝－x2－2x＋.【能力提升】已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）求该二次函数与x轴的交点坐标和顶点；（2）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当y＜0时，x的取值范围．【答案】（1）二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0），抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；（2）图见详解；当y＜0时，1＜x＜3．【解析】（1）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，所以该二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0）；因为y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，所以抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；（2）函数图象如图：由图象可知，当y＜0时，1＜x＜3．专题验收测试题1．将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2向左平移2个单位，向下平移3个单位后的新抛物线解析式为（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+1 B．y＝﹣2（x+3）2﹣5C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣5 D．y＝﹣2（x+3）2+1【答案】B【解析】解：将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2向左平移2个单位，向下平移3个单位后的新抛物线解析式为：y＝﹣2（x+3）2﹣5．故选：B．2．二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）【答案】A【解析】解：二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标为（1，3）．故选：A．3．若二次函数y＝（k+1）x2﹣2x+k的最高点在x轴上，则k的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【答案】D【解析】∵二次函数y＝（k+1）x2﹣2x+k的最高点在x轴上，∴△＝b2﹣4ac＝0，即8﹣4k（k+1）＝0，解得：k1＝1，k2＝﹣2，当k＝1时，k+1＞0，此时图象有最低点，不合题意舍去，则k的值为：﹣2．故选：D．4．已知二次函数为常数，且），（）A．若，则的增大而增大；B．若，则的增大而减小；C．若，则的增大而增大；D．若，则的增大而减小；【答案】C【解析】解：∵y=ax2+（a+2）x-1对称轴直线为，x=-=-．由a＜0得，-＞0．∴-＞-1．又∵a＜0∴抛物线开口向下．故当x＜-时，y随x增大而增大．又∵x＜-1时，则一定有x＜-．∴若a＜0，则x＜-1，y随x的增大而增大．故选：C．5．二次函数y＝3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（）A．图象的开口向下B．图象的顶点坐标是（1，2）C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．图象与y轴的交点坐标为（0，2）【答案】B【解析】解：A、因为a＝3＞0，所以开口向上，错误；B、顶点坐标是（1，2），正确；C、当x＞1时，y随x增大而增大，错误；D、图象与y轴的交点坐标为（0，5），错误；故选：B．6．将抛物线y＝x2﹣x+1先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（）A．y＝x2+3x+6 B．y＝x2+3x C．y＝x2﹣5x+10 D．y＝x2﹣5x+4【答案】A【解析】，当向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得.故选A．7．把抛物线y＝ax2+bx+c图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是y＝x2+5x+6，则a﹣b+c的值为（）A．2 B．3 C．5 D．12【答案】B【解析】y＝x2+5x+6＝（x+）2﹣．则其顶点坐标是（﹣，﹣），将其右左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到（﹣）．故原抛物线的解析式是：y＝（x+）2+＝x2+x+3．所以a＝b＝1，c＝3．所以a﹣b+c＝1﹣1+3＝3．故选B．8．已知二次函数y＝﹣（x﹣k+2）（x+k）+m，其中k，m为常数．下列说法正确的是（）A．若k≠1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0B．若k＜1，m＞0，则二次函数y的最大值大于0C．若k＝1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0D．若k＞1，m＜0，则二次函数y的最大值大于0【答案】B【解析】∵y＝﹣（x﹣k+2）（x+k）+m＝﹣（x+1）2+（k﹣1）2+m，∴当x＝﹣1时，函数最大值为y＝（k﹣1）2+m，则当k＜1，m＞0时，则二次函数y的最大值大于0．故选：B．9．关于抛物线，下列说法错误．．的是（）．A．开口向上B．与轴只有一个交点C．对称轴是直线D．当时，的增大而增大【答案】B【解析】解：A、，抛物线开口向上，所以A选项的说法正确；B、当时，即，此方程没有实数解，所以抛物线与x轴没有交点，所以B选项的说法错误；C、抛物线的对称轴为直线，所以C选项的说法正确；D、抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，则当时，y随x的增大而增大，所以D选项的说法正确．故选：B．10．将抛物线y＝﹣3x2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝﹣3（x﹣2）2+4 B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣2C．y＝﹣3（x+2）2+4 D．y＝﹣3（x+2）2﹣2【答案】D【解析】将抛物线y＝﹣3x2+1向左平移2个单位长度所得直线解析式为：y＝﹣3（x+2）2+1；再向下平移3个单位为：y＝﹣3（x+2）2+1﹣3，即y＝﹣3（x+2）2﹣2．故选D．11．已知抛物线经过点，则该抛物线的解析式为__________．【答案】【解析】解：将A、O两点坐标代入解析式得：，解得：，∴该抛物线的解析式为：y=.12．二次函数y=（a-1）x2-x+a2-1 的图象经过原点，则a的值为______．【答案】-1【解析】解：∵二次函数y=（a-1）x2-x+a2-1 的图象经过原点，∴a2-1=0，∴a=±1，∵a-1≠0，∴a≠1，∴a的值为-1．故答案为：-1．13．将二次函数y=x2的图象先向上平移1个单位，然后向右平移2个单位，得到新的二次函数的顶点式为______．【答案】y=（x-2）2+1【解析】解：将抛物线y=x2的图象先向上平移1个单位，然后向右平移2个单位后，得到的抛物线的表达式为y=（x-2）2+1，故答案为：y=（x-2）2+1．14．将抛物线y＝2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是_____．【答案】y＝2（x+3）2+1【解析】抛物线y＝2x2平移，使顶点移到点P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为y＝2（x+3）2+1．故答案为：y＝2（x+3）2+115．在平面直角坐标系xOy 中，函数y = x2的图象经过点M (x1 , y1 ) ，N (x2 , y2 ) 两点，若- 4< x1<-2，0< x2<2 ，则y1 ____ y2 . （用“ <”，“=”或“>”号连接）【答案】>【解析】解：抛物线y=x2的对称轴为y轴，而M（x1，y1）到y轴的距离比N（x2，y2）点到y轴的距离要远，所以y1＞y2．故答案为：＞．16．小颖从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下列信息：；；；；．你认为其中正确信息的个数有______．【答案】【解析】解：抛物线的对称轴位于y轴左侧，则a、b同号，即，抛物线与y轴交于正半轴，则，所以，故错误；如图所示，当时，，所以，故正确；对称轴，，则如图所示，当时，，，，故正确；如图所示，当时，，故错误；综上所述，正确的结论是：．故答案是：．17．已知二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴的交点坐标为（m﹣2，0）和（2m+1，0）．（1）若x＜0时，y随x的增大而增大，求m的取值范围；（2）若y ＝1时，自变量x 有唯一的值，求二次函数的解析式．【答案】（1）31=m （2）y ＝﹣x 2﹣4x ﹣3和y ＝﹣x 2﹣16x ﹣63． 【解析】解：（1）由题意可知，二次函数图象的对称轴为x ＝2213122m m m -++-=， ∵a ＝﹣1＜0，∴二次函数的图象开口向下，∵x ＜0时，y 随x 的增大而增大， ∴312m -≥0， 解得m ≥13， （2）由题意可知，二次函数的解析式为y ＝﹣（x ﹣312m -）2+1， ∵二次函数的图象经过点（m ﹣2，0），∴0＝﹣（m ﹣2﹣312m -）2+1， 解得m ＝﹣1和m ＝﹣5，∴二次函数的解析式为y ＝﹣x 2﹣4x ﹣3和y ＝﹣x 2﹣16x ﹣63．18．设二次函数y 1＝ax 2+bx +a ﹣5（a ，b 为常数，a ≠0），且2a +b ＝3．（1）若该二次函数的图象过点（﹣1，4），求该二次函数的表达式；（2）y 1的图象始终经过一个定点，若一次函数y 2＝kx +b （k 为常数，k ≠0）的图象也经过这个定点，探究实数k ，a 满足的关系式；（3）已知点P （x 0，m ）和Q （1，n ）都在函数y 1的图象上，若x 0＜1，且m ＞n ，求x 0的取值范围（用含a 的代数式表示）．【答案】（1）y ＝3x 2﹣3x ﹣2；（2）k ＝2a ﹣5；（3）x 0<．【解析】解：（1）∵函数y 1＝ax 2+bx +a ﹣5的图象经过点（﹣1，4），且2a +b ＝3∴， ∴， ∴函数y 1的表达式为y ＝3x 2﹣3x ﹣2；（2）∵2a +b ＝3∴二次函数y1＝ax2+bx+a﹣5＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5，整理得，y1＝[ax2+（3﹣2a）x+a﹣3]﹣2＝（ax﹣a+3）（x﹣1）﹣2∴当x＝1时，y1＝﹣2，∴y1恒过点（1，﹣2）∴代入y2＝kx+b得∴﹣2＝k+3﹣2a得k＝2a﹣5∴实数k，a满足的关系式：k＝2a﹣5（3）∵y1＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5∴对称轴为x＝﹣，∵x0＜1，且m＞n∴当a＞0时，对称轴x＝﹣，解得，当a＜0时，对称轴x＝﹣，解得（不符合题意，故x0不存在）故x0的取值范围为：19．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A和点B（1）求该二次函数的解析式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标．【答案】(1) y＝x2﹣4x﹣6；（2）对称轴为x＝2；顶点坐标是（2，﹣10）．【解析】（1）根据题意，得，解得，∴所求的二次函数的解析式为y＝x2﹣4x﹣6．（2）又∵y＝x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣10，∴函数图象的对称轴为x＝2；顶点坐标是（2，﹣10）．20．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（-3，0），C为抛物线与y轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且S△POC=2S△BOC，求点P的坐标．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）点P的坐标为（2，5）或（﹣2，﹣3）【解析】（1）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，A点的坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0）．将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：解得：b＝2，c＝﹣3，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．（2）∵将x＝0代y＝x2+2x﹣3入，得y＝﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3）．∴OC＝3．∵点B的坐标为（1，0），∴OB＝1．设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则点P到OC的距离为|a|．∵S△POC＝2S△BOC，∴12OC•|a|＝12OC•OB，即12×3×|a|＝2×12×3×1，解得a＝±2．当a＝2时，点P的坐标为（2，5）；当a＝﹣2时，点P的坐标为（﹣2，﹣3）．∴点P的坐标为（2，5）或（﹣2，﹣3）．21．已知抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a≠0）．（1）直接写出该抛物线的对称轴．（2）试说明无论a为何值，该抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标．【答案】（1）；（2）抛物线一定经过点.【解析】解：（1）该抛物线的对称轴为x=-;（2）可化为，当，即时，，抛物线一定经过点.22．如图，已知点A(-1，0)，B(3，0)，C(0，)在抛物线y=ax2+bx+c 上.(1)求抛物线解析式；(2)在第一象限的抛物线上求一点P，使△PBC的面积为.【答案】(1)；(2)点P的坐标为(1，2)或(2，).【解析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，将C(0，)代入，得-3a=，解得∴抛物线的解析式为(2)过点P作PD⊥x轴于D.设点，∴S四边形ACOB=S梯形PDOC+S△PBD =(=∴S△PBC=S四边形PCOB- S△BOC=整理得，解得x=1或x=2.∴点P的坐标为(1，2)或(2，)。
二次函数解析式的几种常见形式
二次函数解析式的几种常见形式二次函数解析式的几种形式(1)一般式：y＝ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0).(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0).(3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^2；如果对称轴是y 轴，但不过原点，则设y=ax^2+k1.7定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。
IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大。
）则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量，y是x的函数二次函数的三种表达式①一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)②顶点式[抛物线的顶点P(h，k)]：y=a(x-h)^2+k③交点式[仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2)以上3种形式可进行如下转化：①一般式和顶点式的关系对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)，即h=-b/2a=(x1+x2)/2k=(4ac-b^2)/4a②一般式和交点式的关系x1，x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)注意事项•二次函数知识点总是与图形相对应，这也是函数的特点之一，我们在学习二次函数的时候，一定要注重代数与几何的双重锤炼，做到真正的数形结合，同时，也能够让自己对二次函数知识点理解更深刻。
如何求二次函数表达式
如何求二次函数表达式求二次函数表达式的问题是历年来的中考热点之一，为帮助同学们切实掌握求二次函数表达式的方法，这里笔者结合教学实例进行说明，与同仁们共同探讨，供同学们借鉴。
二次函数表达式主要有三种常见形式：一般式、顶点式、对称点式。
1．一般式y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0 )当已知抛物线上三个点的坐标时，通常设抛物线的表达式为一般式，再把已知三点坐标代入所设的一般式，建立关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组求出a、b、c的值，后代回所设表达式即可。
例1.抛物线过三点（0，1），（-1，-5），（3，-5），求抛物线的表达式分析：因已知抛物线上三个点的坐标，所以可设函数表达式为一般式解：设函数表达式为：y= ax2+bx+c,把三个点的坐标代入得c=1，a-b+c=-5,9a+3b+c=-5解之得a=-2，b=4，c=1所以该抛物线的表达式为：y=-2x2+4x+1跟踪练习：抛物线过三点（0，1）（1，3）（-1，1）答案：y=x2+x+12. 顶点式y=a（x-h)2+k（a、h、k为常数且a≠0），（h，k）为抛物线的顶点坐标。
当已知抛物线的顶点坐标或对称轴时，可以设表达式为顶点式，将题中剩余条件代入求出待定系数，再代回表达式，化为一般式即可。
例2．已知抛物线的顶点坐标是（1，-4），且过点（3，0）求其函数表达式。
分析：因题中给定的是抛物线的顶点坐标，所以可设顶点式来解。
解：设y=a(x-1)2-4，将点（3，0）代入得：4a-4=0所以a=1因此y=(x-1)2-4=x2-2x-3例3．已知抛物线的对称轴为直线x=1，且过点（0，-1），（3，2），求其函数表达式。
分析：因给定的是抛物线的对称轴，也就知道了顶点的横坐标，所以也可以把表达式设为顶点式。
解：设y=a（x-1)2+b，把（0，-1），（3，2）坐标代入得：a+b=-1，4a+b=2解之得a=1，b=-2所以函数表达式为：y=(x-1)2-2=x2-2x-1跟踪练习：1.抛物线的对称轴是直线x=1，函数有最大值4，且过点（0，3），求抛物线解析式2．抛物线的对称轴是直线x=-2,且过点（-1，3）（-4，0）答案：1.y=-x2+2x+3 2.y=-x2-4x3. 对称点式y=a（x-x1)（x-x2)+h（a、x1、x2、h为常数，且a≠0）（x1，h），（x2，h）是抛物线上的一对对称点。
二次函数的几种表达式
(3)决定开口大小: ︱a︱越大,则开口越小. ︱a︱越小,则开口越大.
(4)决定最值:a>0时,有最低点,有最小值. a<0时,有最高点,有最大值.
(5)决定增减性:a>0时,在对称轴左侧，y随x的增大而减小 在对称轴右侧，y随x的增大而增大.
b2-4ac的作用:
决定抛物线与x轴的交点： b2-4ac ＞０时,抛物线与x轴有两个交点 b2-4ac ＝０时,抛物线与x轴有一个交点 b2-4ac ＜０时,抛物线于x轴没有交点 b2-4ac ≥０时,抛物线于x轴总有交点
（1）一般式转化为顶点式 利用配方法转化（一提、二配、三整理）
y a x2 bx c
a[ x2 ( x1 x2)x x1 x2]
x x x x b
由韦达定理得：
1
2
a
c 12 a
x x x x x 代入得： y a[ 2 ( )x
]
1
2
12
a[ x2
(
b)x a
c] a
a x2 bx c
三种表达式视情况而定；
（1）不知道特殊点的坐标时，常用一般式来 表示；
（3）交点式转化为一般式
展开，利用韦达定理整理可得
x 二次函数 y a 2 bx c (a 0) 与x轴有两交点（x1，0） x 和（x2，0）则x1和 x2为方程 a 2 bx c 0 的两个根
y a(x x1)( x x2)
a( x2 x1 x x2 x x1 x2)
专题复习： 二次函数的几种表达式
(完整版)初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x₁)(x-x ₂) [仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y 轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
二次函数解析式的几种表达式
顶点形式
$y = a(x - h)^2 + k$
其中，$(h, k)$为抛物线的顶点坐标。
通过平移标准形式，可以得到顶点形式，便于找到抛物线的顶点和对称 轴。
交点形式
$y = a(x - x_1)(x - x_2)$ 其中，$x_1$、$x_2$为抛物线与x轴的交点坐标。
判别式的应用非常广泛，例如在解一元二次方程、判断二次 函数的图像与x轴的交点个数、判断二次函数的单调性等方面 都有重要应用。
03 二次函数解析式的应用
求最值
顶点式
对于形如$y = a(x - h)^2 + k$的 二次函数，其顶点为$(h, k)$，因 此，该函数在$x = h$处取得最值 $k$。
配方法
对于一般形式的二次函数$y = ax^2 + bx + c$，通过配方可以转 化为顶点式，从而求得最值。
解方程
因式分解法
对于形式较为简单的二次方程，可以 通过因式分解法求解。
公式法
对于一般形式的二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，可以使用公式法求解。
判断单调性
导数法
求出二次函数的导数，然后判断导数的正负，从而判断函数的单调性。
经济中的供需关系
描述市场需求和供应的变化
在经济学中，二次函数解析式可以用来描述市场需求和供应的变化。通过设定适当的参数，可以模拟市场价格与 需求量或供应量之间的关系。
制定价格策略
企业可以根据市场需求和供应的变化，制定相应的价格策略。通过调整价格，企业可以平衡市场需求和供应，实 现利润最大化。
生活中的最优化问题
顶点坐标
01
初中数学二次函数知识点
初中数学二次函数知识点一、定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax²+bx+c （a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大），则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
二、二次函数的三种表达式一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a（x-h）²+k[抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a（x-x₁）（x-x₂）[仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-b/2ak=（4ac-b²）/4ax₁,x₂=（-b±√b²-4ac）/2a三、二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
四、抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。
2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P（-b/2a，（4ac-b²）/4a）。
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b²-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）。
6.抛物线与x轴交点个数：Δ=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
二次函数关系式的三种形式
二次函数关系式的三种形式1.引言1.1 概述二次函数是数学中的重要概念，在许多领域都有广泛的应用。
它是一个拥有二次项的多项式函数，通常用一般形式表示为f(x) = ax^2 + bx + c。
其中，a、b和c分别代表函数的系数。
二次函数关系式可以通过三种形式来表示：标准形式、顶点形式和描点形式。
本文将对这三种形式进行详细介绍，包括定义和特点，并给出一些示例和应用。
在二次函数关系式的标准形式中，函数表达式会经过整理化简，常见形式为f(x) = ax^2 + bx + c。
标准形式的特点是系数a、b和c可以直接体现函数的性质，例如a决定了函数的开口方向，b决定了函数的对称轴以及接触或穿过x轴的情况，c则是函数在y轴上的截距。
标准形式的示例和应用可帮助读者更好地理解和应用二次函数关系式。
另一种常见的表达形式是二次函数关系式的顶点形式。
顶点形式的函数表达式为f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)代表二次函数的顶点坐标。
顶点形式的特点是可以直观地描述二次函数的顶点位置及函数的凹凸性，方便进行图像的绘制和分析。
顶点形式的示例和应用将帮助读者更深入地理解二次函数的几何性质和图像特点。
此外，二次函数关系式还可以通过描点形式来表示。
描点形式的函数表达式为f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)，其中(x_1,y_1)和(x_2,y_2)分别为二次函数的两个描点坐标。
描点形式的特点是可以通过已知点的坐标，直接构造出二次函数的表达式，方便进行函数的推导和计算。
描点形式的示例和应用将帮助读者更好地理解和使用二次函数关系式。
总之，本文将详细介绍二次函数关系式的三种形式：标准形式、顶点形式和描点形式。
通过深入理解这三种形式的定义、特点和应用，读者将能够更好地掌握二次函数的性质和图像特点，进而在实际问题中灵活运用。
文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文将分为三个主要部分进行讨论。
首先，在引言部分，我们将简要概述本文的主题和目的，为读者提供一个整体了解的框架。
二次函数的三种表示方式
二次函数的三种表示方式1．二次函数的一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．二次函数的顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x 1＋x2＝，x1x2＝，即＝－(x1＋x2)，＝x1x2．所以，y＝ax2＋bx＋c＝a( )= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．二次函数的交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．。
二次函数解析式的几种表达式
二次函数解析式是描述二次函数形态及特性的数学公式。在数学中，有多种 表达式可以用于表示二次函数解析式。下面将介绍几种常见的表达式。
标准形式的二次函数解析式
标准形式的二次函数解析式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 为常数，a ≠ 0。 这个式子能够直接反应二次函数的系数和常数的变化情况。
轴对称形式的二次函数解析式
轴对称形式的二次函数解析式为 y = a(x - p)^2 + q，其中 a、p、q 为常数，a ≠ 0。这个式子将二次函数的轴对称性质直接表达出来。
抛物线焦点和直角坐标系解析 式的关系
抛物线焦点坐标的求解与二次函数解析式密切相关。通过二次函数解析式， 可以确定抛物线焦点的横坐标和纵坐标。
顶点形式的二次函数解析式
顶点形式的二次函数解析式为 y = a(x - h)^2 + k，其中 a、h、k 为常数，a ≠ 0。这个式子将二次函数的顶点坐标 直接包含在了解析式中，简化了计算。
边长交点形式的二次函数解析 式
边长交点形式的二次函数解析式为 (x - α)(x - β) = 0，这个形式能够直接揭示二 次函数在直角坐标系中的交点坐标，方便观察和计算。
பைடு நூலகம்
二次函数解析式的应用
二次函数解析式在物理、经济、工程等领域中有广泛的应用。例如，通过二 次函数解析式可以推导出抛物线的最大值/最小值，从而优化资源的利用。
结论
掌握不同形式的二次函数解析式及其特点，有助于理解二次函数的性质和应 用。熟练运用二次函数解析式，能够更好地分析和解决实际问题。
二次函数的函数表达式
二次函数的函数表达式二次函数是一种常见的函数类型，其函数表达式可以表示为：y =ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，且a ≠ 0。
二次函数的函数表达式中，x为自变量，y为因变量。
其中a决定了二次项的系数，决定了函数的开口方向，若a>0，则二次函数开口向上，若a<0，则二次函数开口向下。
b决定了一次项的系数，决定了函数在x轴方向上的平移。
c决定了常数项，决定了函数在y轴方向上的平移。
当a>0时，二次函数的图像在x轴的某一点处有最小值，我们将其称为“顶点”。
顶点的x坐标可以通过公式 x = -b / (2a) 求得，顶点的y坐标可以通过将x的值代入函数表达式中计算得到。
当a<0时，函数图像在x轴的某一点处有最大值，也是一个顶点。
除了顶点，二次函数的图像还具有一条对称轴，对称轴的方程可以通过公式 x = -b / (2a) 求得。
对称轴将二次函数图像分为两个对称的部分。
二次函数的图像还可以通过首先计算x的取值范围，然后逐个计算对应的y值，最终得到一系列的坐标点，再连接这些坐标点即可得到函数图像。
对于开口向上的二次函数，当a>0时，其图像在对称轴上部分的y值都大于对称轴下部分的y值；对于开口向下的二次函数，当a<0时，其图像在对称轴上部分的y值都小于对称轴下部分的y值。
对于给定的二次函数表达式，我们可以通过上述方法来绘制其函数图像，从而更好地理解函数的特性。
另外，二次函数还有许多应用，比如在物理学中可以用来描述物体的抛体运动，在经济学中可以用来建立成本函数等。
在实际问题中，我们也可以根据已知条件来确定二次函数的函数表达式。
比如，如果已知二次函数过某一点，并且给出了该点的坐标，那么可以通过将该点的坐标代入函数表达式中，然后解方程组求解出a、b和c的值。
总结起来，二次函数的函数表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a决定了开口方向，b和c决定了函数的平移，而顶点和对称轴则可以通过相应的公式来求得。
二次函数顶点公式二次函数顶点公式的求法
⼆次函数顶点公式⼆次函数顶点公式的求法 ⼆次函数顶点公式⼤家知道吗？这个公式⼜是怎么求出来的？想了解的⼩伙伴看过来，下⾯由店铺⼩编为你精⼼准备了“⼆次函数顶点公式⼆次函数顶点公式的求法”仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的! ⼆次函数顶点公式 ⼆次函数顶点公式 ⼆次函数顶点公式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(h,k)，对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开⼝⽅向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最⼤(⼩)值=k。
⼆次函数顶点式 ⼆次函数顶点公式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(h,k)，对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开⼝⽅向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最⼤(⼩)值=k。
具体情况 当h>0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向右平⾏移动h个单位得到; 当h<0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向左平⾏移动|h|个单位得到; 当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平⾏移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图象; 当h>0,k<0时，将抛物线y=ax²向右平⾏移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象; 当h<0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平⾏移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象; 当h<0,k<0时，将抛物线y=ax²向左平⾏移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象。
⼆次函数顶点公式的求法 ⼆次函数的顶点式⽅程可以通过配⽅法求出 假设这个⼆次函数的普通表达式是：y=ax²+bx+c，(a≠0)进⾏配⽅，⽅法如下： 1、提出系数a，y=a(x²+bx/a)+c; 2、配⽅，配⼀次项系数的⼀半的平⽅，y=a(x²+bx/a+b²/4a²)+c-b²/4a; 3、化简，y=a[x+b/(2a)]²-(b²-4ac)/(4a);，对称轴是c=-b/(2a)，顶点坐标是：(-b/(2a)，-(b²-4ac)/(4a)); ⼆次函数的基本表⽰形式为y=ax²+bx+c(a≠0)。
二次函数表达式的三种形式
二次函数表达式的三种形式
二次函数的三种形式：1、一般式：y=ax²+bx+c(a≠0，a 、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。
2、顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0，a、h、k为常数)。
3、交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0，x1、x2为常数)。
扩展资料：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
1、当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；2、当a与b异号时（即ab抛物线与x轴交点个数：1、Δ= b²-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
2、Δ= b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
3、Δ= b²-4ac用待定系数法求二次函数的解析式：1、当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax²+bx+c(a≠0)。
2、当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)。
3、当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。
初中2次函数知识点总结
初中2次函数知识点总结初中2次函数知识点总结导语：对初中2次函数知识点，同学们有必要进行总结。
以下是初中2次函数知识点总结，供大家阅读。
I、定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II、二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x)(x-x)[仅限于与x轴有交点A（x，0）和B（x，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x,x=(-b±√b^2-4ac)/2aIII、二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV、抛物线的性质1、抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2、抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3、二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5、常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）6、抛物线与x轴交点个数Δ=b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
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用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴两交点为()()0021，，，
x B x A ，由于1x 、2x 是方程02
=++c bx ax 的两个根，故
a
c
x x a b x x =
⋅-=+2121,()
()
a a ac
b a
c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭
⎫
⎝⎛-=--=
-=
-=44422
212
212
2121
【例题与讲解】
1.用一般式确定二次函数的表达式
1.1已知二次函数图像经过点A （0，-1），B （1，0），C （-1，2），则该二次函数的表达式为 。
1.2如图，平面直角坐标系中，抛物线c bx ax y ++=2
，经过点A （-2，-4），O （0，0），B （2，0）三点。
（1）求抛物线c bx ax y ++=2
的表达式；
（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM 的最小值。
1.3已知二次函数的图像经过点（0，3），（-3，0），（2，-5），且与x 轴交于A ，B 两点。
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）判断点P （﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB 的面积；如果不在，试说明理由．
2.用顶点式确定二次函数的表达式
2.1已知抛物线c bx ax y ++=2
的图像的顶点为（-2，3），且过点（-1，5），则抛物线的表达式为 。
2.2已知 A(1，0)，B(0，-1)，C(-1；，2)，D(2，-1)，E(4，2)五个点，抛物线，经过
其中三个点.
(1)求证：C ，E 两点不可能同时在抛物线上；
(2)点A 在抛物线上吗？为什么？
(3)求a 和k 的值。
3.用交点式确定二次函数的表达式
已知：如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴相交于两点A （1，0），B （3，0）与y 轴相交于点C （0，3），
（l ）求抛物线的函数关系式；
（2）若点D （4，m ）是抛物线上一点，请求出m 的值，并求出此时△ABD 的面积．
【课内练习】
1.利用平移确定二次函数的表达式
已知函数c bx x y ++=2
的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到图像的表达式为322
--=x x y （1）b= ，c= ； （2）求原函数图象的顶点坐标； （3）求两个图象顶点之间的距离。
2.利用最值及另一点确定二次函数的表达式
已知二次函数c bx ax y ++=2
的最大值是2，图象的顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6），求二次函数的表达式。
3.利用对称确定二次函数的表达式
已知二次函数5632+-=x x y ，求满足下列条件的二次函数表达式：
（1）图像与已知二次函数的图像关于x 轴对称； （2）图像已知二次函数的图像关于y 轴对称；
（3）图像与已知二次函数的图像关于经过其顶点且平行于x 轴的直线对称。
4.利用与直线的交点确定是二次函数的表达式
如图，已知抛物线23y ax x c 2=-+与x 轴相交于A 、B 两点，并与直线1
y x 22
=-交
于B 、C 两点，其中点C 是直线1
y x 22
=-与y 轴的交点，连接AC 。
⑴.求抛物线的解析式；⑵.证明：△ABC 为直角三角形；
⑶.△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFG ？（顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由。
(选做)
5.利用顶点式的特点解决函数综合问题
如图8，直线33y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，抛物线2(2)y a x k =-+经过点A 、B ，并与x 轴交于另一点C ，其顶点为P ． （1）求a ，k 的值；
（2）抛物线的对称轴上有一点Q ，使ABQ ∆是以AB 为底边的等腰三角形，求Q 点的坐标．
（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M 、N ，使以
,,,A C M N 为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．（选做）
6.利用交点式的特点解决函数综合问题 如图，已知抛物线)4)(2(8
-+=
x x k
y （k 为常数，且0>k ）与x 轴从左至右依次交于A,B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线b x y +-
=3
3
与抛物线的另一交点为D. （1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求k 的值；
（3）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止.当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？
7.在复杂情境中解决二次函数问题
（2012•宜宾）如图，抛物线y=x 2-2x+c 的顶点A 在直线l ：y=x-5上． （1）求抛物线顶点A 的坐标；
（2）设抛物线与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C 、D （C 点在D 点的左侧），试判断△ABD 的形状； （3）在直线l 上是否存在一点P ，使以点P 、A 、B 、D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（选做）
【方法小结】
用待定系数法求二次函数表达式时选择类型的方法：
（1）若已知图像上任意三个点的坐标，则利用一般式c bx ax y ++=2
求；
（2）若已知图像的顶点坐标（或对称轴或函数的最值），则利用顶点k m x a y +-=2
)(式求；
（3）若已知函数的图像与x 轴的两个交点，则利用交点式))((21x x x x a y --=（x 1，x 2是图像与x 轴，两个交点的横坐标）求。
【课后作业】
1.如果二次函数y=x 2+2kx+k-4图象的对称轴为x=3，那么k= 。
2.已知抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=2，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为 。
3.已知二次函数y=ax 2+bx+c 与x 的部分对应值如下表所示：
x … -1 0 1 2 … y
…
-2
1
2
1
…
则下列对该函数的判断中正确的是（ ）
A ．图象开口向上
B ．y 的最小值为-2
C ．图象与y 轴相交于负半轴
D ．方程ax 2+bx+c=0的正根在2与3之间 4.若直线y=ax+b （a≠0）在第二、四象限都无图象，则抛物线y=ax 2+bx+c （ ） A ．开口向上，对称轴是y 轴 B ．开口向下，对称轴平行于y 轴 C ．开口向上，对称轴平行于y 轴 D ．开口向下，对称轴是y 轴 5.关于二次函数y=3x 2-kx+k-3，以下结论： ①抛物线交x 轴有两个不同的交点； ②不论k 取何值，抛物线总是经过一个定点； ③设抛物线交x 轴于A 、B 两点，若AB=1，则k=9； ④抛物线的顶点在y=-3（x-1）2图象上．
中正确的序号是（ ）
A ．①②③④
B ．②③
C ．②④
D ．①②④
6.（2015•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴，抛物线y=2
1
x 2
+bx+c 经过B 、C 两点，点D 为抛物线的顶点，连接AC 、BD 、CD ． （1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D 的坐标和四边形ABCD 的面积．
7.已知点A （-2，n ）在抛物线y=x 2+bx+c 上． （1）若b=1，c=3，求n 的值；
（2）若此抛物线经过点B （4，n ），且二次函数y=x 2+bx+c 的最小值是-4，请画出点P （x-1，x 2+bx+c ）的纵坐标随横坐标变化的图象，并说明理由．
8.已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P（-3，1），对称轴是经过（-1，0）且平行于y轴的直线．（1）求m、n的值；
（2）如图，一次函数y=kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B 在点P的右侧，PA：PB=1：5，求一次函数的表达式．
9.如图，抛物线y=ax2+bx-4a经过A（-1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标．。