信号与系统第四版习题解答
电子教案《信号与系统》(第四版_燕庆明)(含习题解答)6.3
6.3 线性系统的稳定性
一、稳定的概念
稳定：充要条件是
h(t)
dt
，即H(s)的全部极点
位于S的左半平面；
临界稳定： H(s)在虚轴上有单极点，其余极点均在
S的左半平面；
不稳定： H(s)只要有一个极点位于S的右半平面。
信号与系统 6.3-2
例
图1
二、稳定性判据
信号与系统 6.3-3
必要条件： H( s )的分母多项式
D(s) ansn an-1sn-1 a1s a0
的全部系数非零且均为正实数。 充要条件：对二阶系统，D(s) a2s2 a1s a0 的全部 系数非零且为正实数。 充要条件：对三阶系统，D(s) a3s3 a2s2 a1s a0 的 各项系数全为正，且满足
a1a2 a0a3
信号与系统 6.3-4
例 导弹跟踪系统H (s) Nhomakorabeas3
34.5s2 119.7s 98.1 35.714s2 119.741s 98.1
N (s) D(s)
显然
a1a2 > a0a3
故系统稳定。
练习： 判别稳定性
1. D(s) s2 3s 2 2. D(s) s3 s2 4s 10 3. D(s) s3 4s2 5s 6
end
西安电子考研 信号与系统第四版 答案
专业课习题解析课程西安电子科技大学信号与系统第二章2-12-22-42-82-122-16波形图如图2-9(a)所示。
波形图如图2-9(b)所示。
波形图如图2-9(c)所示。
波形图如图2-9(d)所示。
波形图如图2-9(e)所示。
2-202-222-282-29第三章习题3.1、3.63.8、3.9、3.10、3.11、3.13、求题3.9图所示各系统的阶跃响应。
3.14、求图所示系统的单位序列响应和阶跃响应。
3.15、若LTI离散系统的阶跃响应，求其单位序列响3.16、如图所示系统，试求当激励分别为（1）（2）3.18、3.22、第四章习题4.64.74.104-114.174.184.194.204.214.254.234.274.284.294.314.334.34某LTI 系统的频率响应ωωωj j j H +-=22)(，若系统输入)2cos()(t t f =，求该系统的输出)(t y 。
4.35 一理想低通滤波器的频率响应⎪⎩⎪⎨⎧><-=s rad srad j H /3,0/3,31)(ωωωω4.36 一个LTI 系统的频率响应4.394.45 如图4-42(a)的系统，带通滤波器的频率响应如图(b)所示，其相频特性0)(=ωϕ，若输入图4-424.484.50图4-47图4-48图4-49 4.53 求下列离散周期信号的傅里叶系数。
第五章5-2 求图5-1所示各信号拉普拉斯变换，并注明收敛域。
5-35-45-65-75-85-9其波形如下图所示：其波形如下图所示：其波形如下图所示：5-105-125-135-15。
信号与系统(第四版)第四章课后答案
第5-10页
■
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信号与系统 电子教案
4.1 拉普拉斯变换
四、常见函数的单边拉普拉斯变换
1. (t ) 1, 2.( t) 或1 3. ( t ) s, 4. 指数信号e
1
s
, 0
1 s s0
s0t
(t 2)
f1(t) 1 0 1 f2(t) 1 t
例1：e (t 2) e
-t
2
e
(t 2)
e
2
1 s 1
e
2s
-1 0
第5-17页
■
1
t
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信号与系统 电子教案
4.2 拉普拉斯变换性质
1 1e sT
例2： 单边冲激 T(t ) 1 e sT e s 2T 例3： 单边周期信号 fT(t ) (t ) f1(t ) f1(t T ) f1(t 2T ) F1(s )(1 e sT e s 2T )
8 e 2 s
s
f(t ) 1 0 1 y(t ) 2 4 t
二、尺度变换
2s
2
(1 e 2 s 2s e 2 s )
2 e 2 s 2 (1 e 2 s 2s e 2 s ) s
第5-16页
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0
2
4
t
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信号与系统 电子教案
拉氏逆变换的物理意义
f (t )
2 j 1
j
j
F (s)est ds
(NEW)吴大正《信号与线性系统分析》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录第1章 信号与系统1.1 复习笔记1.2 课后习题详解1.3 名校考研真题详解第2章 连续系统的时域分析2.1 复习笔记2.2 课后习题详解2.3 名校考研真题详解第3章 离散系统的时域分析3.1 复习笔记3.2 课后习题详解3.3 名校考研真题详解第4章 傅里叶变换和系统的频域分析4.1 复习笔记4.2 课后习题详解4.3 名校考研真题详解第5章 连续系统的s域分析5.1 复习笔记5.2 课后习题详解5.3 名校考研真题详解第6章 离散系统的z域分析6.1 复习笔记6.2 课后习题详解6.3 名校考研真题详解第7章 系统函数7.1 复习笔记7.2 课后习题详解7.3 名校考研真题详解第8章 系统的状态变量分析8.1 复习笔记8.2 课后习题详解8.3 名校考研真题详解第1章 信号与系统1.1 复习笔记一、信号的基本概念与分类信号是载有信息的随时间变化的物理量或物理现象，其图像为信号的波形。
根据信号的不同特性，可对信号进行不同的分类：确定信号与随机信号；周期信号与非周期信号；连续时间信号与离散时间信号；实信号与复信号；能量信号与功率信号等。
二、信号的基本运算1加法和乘法f1（t）±f2（t）或f1（t）×f2（t）两信号f1（·）和f2（·）的相加、减、乘指同一时刻两信号之值对应相加、减、乘。
2．反转和平移（1）反转f（－t）f（－t）波形为f（t）波形以t＝0为轴反转。
图1-1（2）平移f（t＋t0）t0＞0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上左移t0；t0＜0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上右移t0。
图1-2平移的应用：在雷达系统中，雷达接收到的目标回波信号比发射信号延迟了时间t0，利用该延迟时间t0可以计算出目标与雷达之间的距离。
这里雷达接收到的目标回波信号就是延时信号。
3．尺度变换f（at）若a＞1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上压缩为原来的；若0＜a＜1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上扩展为原来的；若a＜0，则f（at）波形为f（t）的波形反转并压缩或展宽至。
《信号与系统(第四版)》习题详解图文
故f(t)与{c0, c1, …, cN}一一对应。
7
3.3 设
第3章 连续信号与系统的频域分析
试问函数组｛ξ1(t),ξ2(t),ξ3(t),ξ4(t)｝在(0，4)区间上是否 为正交函数组，是否为归一化正交函数组，是否为完备正交函 数组，并用它们的线性组合精确地表示题图 3.2 所示函数f(t)。
题图 3.10
51
第3章 连续信号与系统的频域分析 52
第3章 连续信号与系统的频域分析 53
第3章 连续信号与系统的频域分析 54
第3章 连续信号与系统的频域分析 55
第3章 连续信号与系统的频域分析 56
第3章 连续信号与系统的频域分析 57
第3章 连续信号与系统的频域分析
题解图 3.19-1
8
第3章 连续信号与系统的频域分析
题图 3.2
9
第3章 连续信号与系统的频域分析
解 据ξi(t)的定义式可知ξ1(t)、ξ2(t)、ξ3(t)、ξ4(t)的波形如题 解图3.3-1所示。
题解图 3.3-1
10
不难得到：
第3章 连续信号与系统的频域分析
可知在(0,4)区间ξi(t)为归一化正交函数集,从而有
激励信号为f(t)。试证明系统的响应y(t)=－f(t)。
69
证 因为
第3章 连续信号与系统的频域分析
所以
即
70
系统函数
第3章 连续信号与系统的频域分析
故
因此
71
第3章 连续信号与系统的频域分析
3.23 设f(t)的傅里叶变换为F(jω)，且 试在K≥ωm条件下化简下式：
72
第3章 连续信号与系统的频域分析 73
107
信号答案第四版
专业课习题解析课程 西安电子科技大学 844信号与系统 专业课习题解析课程第2讲第一章 信号与系统（二） 1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。
（2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f =（7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为（2）∞<<-∞=-t e t f t ,)(（3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε=（5）)(sin )(t r t f =（7）)(2)(k t f k ε=（10）)(])1(1[)(k k f k ε-+=1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。
（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε解：各信号波形为（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。
1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。
信号与线性系统分析第四版(吴大正)习题答案
第一章 信号与系统（一）1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】 为斜升函数。
（2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)(（3）)()sin()(t t t f επ=（4）)fεt=(sin)(t （5）)tf=r(sin)(t（7）)tf kε(k=(2)（10）)f kεk-=(k+]()1(1[)1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。
（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ （12）)]()3([2)(k k k f k---=εε 解：各信号波形为 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t rt rt rtf（5）)2()2()(ttrtf-=ε（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(kkkf k---=εε1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。
1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。
1-5 判别下列各序列是否为周期性的。
如果是，确定其周期。
（2）)63cos()443cos()(2ππππ+++=k k k f （5）)sin(2cos 3)(5t t t f π+=解：1-6 已知信号)(t f 的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形。
电子教案-信号与系统第四版(含习题解答)-2.1
uC
(t)
uS
(t)
即
uC
(t)
1 RC
uC
(t)
1 RC
uS (t)
信号与系统 2.1-2
图1
对图1(b)，有
L R
diL (t) dt
iL
(t)
iS
(t)
即
iL (t)
R L
iL (t)
R L
iS (t)
一般形式：
y(t) ay(t) g(t)
信号与系统 2.1-3
信号与系统 2.1-4
2t
2e3t
1
瞬态响应 稳态响应
信号与系统 2.1-8
完全响应：
y(t) yzi (t) yzs (t) (ZIR) (ZSR)
响应的分类方法：
按响应的不同起因：分为储能响应和受激响应； 自由响应：取决于系统性质，即特征根； 强迫响应：取决于输入信号的形式； 瞬态响应：当t无限增长，响应最终趋于零； 稳态响应：响应恒定或为某个稳态函数。
0
例 对于书例2-1一阶系统
信号与系统 2.1-7
uC (t) 2uC (t) 2uS (t)
当uC(0)=4V， uS(t)=1+e3t 时，则完全响应为：
uC (t) 4e2t e2t 2e3t1 零输入响应 零状态响应
（储能响应）（受迫响应）
4e2te2t 12e3t 自由响应 强迫响应
➢
阅读与思考：如何理解和应用式
t
y(t) 0 g( )x1(t )d ?
end
对图2的二阶系统，则有
uC
(t)
R L
uC
(t)
1 LC
uC
电子教案-信号与系统第四版(含习题解答)-信号与系统电子教案
第7章 离散系统的时域分析 7.1 离散信号与离散系统 7.2 卷积和 Z变换的主要性质 8.3 系统的Z域分析 8.4 系统函数H(Z)与稳定性 8.5 数字滤波器的概念
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目录
第1章 基础概念 1.1 历史的回顾 1.2 应用领域 1.3 信号的概念 1.4 基本信号和信号处理 1.5 系统的概念 1.6 线性时不变系统
第2章 连续系统的时域分析
2.1 系统的微分方程及其响应 2.2 阶跃信号与阶跃响应 2.3 冲激信号与冲激响应 2.4 卷积及其应用 2.5 二阶系统的分析
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
（高职高专辅助教学媒体）
燕庆明 主编
高等教育出版社 高等教育电子音像出版社
2007年
前言
“信号与系统”课程是高职高专院校电子信息类各专业的必修课，是“电 路分析”课程后的又一门重要的主干课程。为了帮助教师组织教学，提高教 学效率，我们以教材《信号与系统》（第4版）（燕庆明主编，高等教育出版 社，2007.12）为蓝本，编制了信号与系统电子教案、全书习题解答、 MATLAB仿真和实验指导。参与本教案制作的有燕庆明、鲁纯熙和顾斌杰。
本教案采用PowerPoint制作，应用方便、灵活。其中共设置8章（可讲授 60学时左右）。各校教师可根据实际需要增减有关内容。使用中有何建议可 与我们联系。不当之处，请批评指正。
Tel： (0510)88392227 作者 2007.9
使用说明
运行环境：Office 2000以上。 请安装Office工具中的公式编辑器。 按钮使用： 下列按钮在单击时可超链接到相应幻灯片。
(完整版)信号与线性系统分析_(吴大正_第四版)第一章习题答案
专业课习题解析课程第1讲第一章信号与系统（一）专业课习题解析课程第2讲第一章 信号与系统（二）1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。
（2）∞<<-∞=-t et f t,)( （3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f kε= （10）)(])1(1[)(k k f kε-+=解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t et f t,)(（3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε=（5）)tf=r)(sin(t（7）)f kε=t)(2(k（10）)(])1(1[)(k k f k ε-+=1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。
（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k---=εε 解：各信号波形为（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=kkkkfεεπ（12）)]()3([2)(kkkf k---=εε1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。
1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。
1-5 判别下列各序列是否为周期性的。
信号与线性系统分析习题答案_(吴大正_第四版__高等教育出版社)
第一章 信号与系统（二）1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。
（2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)(（3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε=（5）)tf=r)(sin(t（7）)f kε=t)(2(k（10）)(])1(1[)(k k f k ε-+=1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。
（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ （12）)]()3([2)(k k k f k---=εε 解：各信号波形为 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=kkkkfεεπ（12）)]()3([2)(kkkf k---=εε1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。
1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。
1-5 判别下列各序列是否为周期性的。
如果是，确定其周期。
信号与线性系统分析-(吴大正-第四版)习题答案第二章
第二章2-1已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其零输入响应。
(1)y''(t) 5y'(t) 6y(t) f (t), y(0) 1, y'(0 ) 1(4)y''(t) y(t) f(t), y(0) 2, y'(0 ) 0解(l)已知方程的特征方程为A2+ 5A + 6 = 0 其特征根为初=-2"? =-36澈分方程的齐次解为央⑴=CL十C代7 由于y(0_) = Kj/70_) =- 1,且激励为零•故有比(0 十〉=y^(0-) = y(O-)= 1 必(0+)=y x(o_)= y(o_)=—i 即并d= G十G = 1 y\(O~) ——2Ci —3G =—1 由上式解得C\ =2,C =-l则系统的零输入响应为y z(n= 2厂孫—色一常d $ 0（4）已知方程的特征方程为A2 -H 1 = 0 其特征根为和=人兀=—人微分方程的齐次解为片（D = Cicos/ + Cg sin/ 由于激励为零，故有>7 （0-r ）=力（。
一）=y（0-）= 2 心（0 十）== y（O-）= 0 即划（0_）= Ci = 23/上（0一）= C?2 = 0则系统的零输人响应为几（f）= 2cosz^ 02-2已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其0值y（0 ）和y'（0 ）(2)y''(t) 6y'(t) 8y(t) f''(t),y(0 ) 1, y'(0 ) 1, f(t) (t)(4)y''(t) 4y'(t) 5y(t) f'(t),y(0 ) 1,y'(0 ) 2, f (t) e2t (t)解:⑵ y （7）+ 6『⑺一 8了⑺=©"（/） 设/（/> =力一处‘仃）+必（“ +儿（门 则有 丿⑺=必‘（r 〉+处（了）一兀（r ）•f/! （r ） = a ： （r ） + /0（r ）d^同理 y(/) = u (5(z)—人(r) y 2 (r) = /as(r) + 兀(r)dz■ —X 整理得 力"(C + (6u + 6)y (r) + (8a + 6〃 + Cd(r) +L8/2(r)+671(r) + 70(r)]=『⑴<a = 1 = 1・ J 6a 十 Z> = 0=> J )=— 6 丨 8Q + 6〃 + c = 0c = 28r o ・••有 J(O-) - J(O-)= 飞'(r)dr — 6 - Jo. J 0_ =—6 ・：y(0-) = y(0_) — 6 =— 5 (J(r)dr + /i (r)dr J O- ro y Z (0+ ) — y(0_ ) = 8 ( t)dt — 6 8 (/) dz + o_ 0. =28 ■・・y'(0J = 295(/)d/ + Jo. YQ (t)dt(4) /(/) +□></) =-2c_?£(f) + 肮。
信号与系统第四版习题解答
《信号与系统》（第四版）习题解析高等教育出版社2007年8月目录第1章习题解析 (2)第2章习题解析 (7)第3章习题解析 (17)第4章习题解析 (25)第5章习题解析 (33)第6章习题解析 (43)第7章习题解析 (51)第8章习题解析 (57)第1章习题解析1-1 题1-1图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？(c) (d)题1-1图解 (a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、(b)、(c)为有始（因果）信号。
1-2 给定题1-2图示信号f ( t )，试画出下列信号的波形。
[提示：f ( 2t )表示将f ( t )波形压缩，f (2t )表示将f ( t )波形展宽。
] (a) 2 f ( t - 2 )(b) f ( 2t )(c) f ( 2t ) (d) f ( -t +1 )题1-2图解 以上各函数的波形如图p1-2所示。
图p1-21-3 如图1-3图示，R 、L 、C 元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系统S R 、S L 、S C ，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。
题1-3图解 各系统响应与输入的关系可分别表示为)()(t i R t u R R ⋅= tt i L t u L L d )(d )(= ⎰∞-=t C C i Ct u ττd )(1)(1-4 如题1-4图示系统由加法器、积分器和放大量为-a 的放大器三个子系统组成，系统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。
S R S L S C题1-4图解 系统为反馈联接形式。
设加法器的输出为x ( t )，由于)()()()(t y a t f t x -+=且)()(,d )()(t y t x t t x t y '==⎰故有 )()()(t ay t f t y -='即)()()(t f t ay t y =+'1-5 已知某系统的输入f ( t )与输出y ( t )的关系为y ( t ) = | f ( t )|，试判定该系统是否为线性时不变系统？解 设T 为系统的运算子，则可以表示为)()]([)(t f t f T t y ==不失一般性，设f ( t ) = f 1( t ) + f 2( t )，则)()()]([111t y t f t f T ==)()()]([222t y t f t f T ==故有)()()()]([21t y t f t f t f T =+=显然)()()()(2121t f t f t f t f +≠+即不满足可加性，故为非线性时不变系统。
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《信号与系统》（第四版）习题解析高等教育出版社2007年8月目录第1章习题解析 (2)第2章习题解析 (6)第3章习题解析 (16)第4章习题解析 (24)第5章习题解析 (32)第6章习题解析 (42)第7章习题解析 (50)第8章习题解析 (56)第1章习题解析1-1 题1-1图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？(c) (d)题1-1图解 (a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、(b)、(c)为有始（因果）信号。
1-2 给定题1-2图示信号f ( t )，试画出下列信号的波形。
[提示：f ( 2t )表示将f ( t )波形压缩，f (2t)表示将f ( t )波形展宽。
](a) 2 f ( t - 2 ) (b) f ( 2t )(c) f ( 2t)(d) f ( -t +1 )题1-2图解 以上各函数的波形如图p1-2所示。
图p1-21-3 如图1-3图示，R 、L 、C 元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系统S R 、S L 、S C ，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。
题1-3图解 各系统响应与输入的关系可分别表示为)()(t i R t u R R ⋅= tt i Lt u L L d )(d )(= ⎰∞-=tC C i Ct u ττd )(1)(1-4 如题1-4图示系统由加法器、积分器和放大量为-a 的放大器三个子系统组成，系统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。
S RS LS C题1-4图解 系统为反馈联接形式。
设加法器的输出为x ( t )，由于)()()()(t y a t f t x -+=且)()(,d )()(t y t x t t x t y '==⎰故有)()()(t ay t f t y -='即)()()(t f t ay t y =+'1-5 已知某系统的输入f ( t )与输出y ( t )的关系为y ( t ) = | f ( t )|，试判定该系统是否为线性时不变系统？解 设T 为系统的运算子，则可以表示为)()]([)(t f t f T t y ==不失一般性，设f ( t ) = f 1( t ) + f 2( t )，则)()()]([111t y t f t f T == )()()]([222t y t f t f T ==故有)()()()]([21t y t f t f t f T =+=显然)()()()(2121t f t f t f t f +≠+即不满足可加性，故为非线性时不变系统。
1-6 判断下列方程所表示的系统的性质。
(1) ⎰+=tf t t f t y 0d )(d )(d )(ττ (2) )()(3)()(t f t y t y t y '=+'+''(3) )(3)()(2t f t y t y t =+' (4) )()()]([2t f t y t y =+'解 (1)线性；(2)线性时不变；(3)线性时变；(4)非线性时不变。
1-7 试证明方程)()()(t f t ay t y =+'所描述的系统为线性系统。
式中a 为常量。
证明 不失一般性，设输入有两个分量，且)()()()(2211t y t f t y t f →→，则有)()()(111t f t ay t y =+' )()()(222t f t ay t y =+' 相加得)()()()()()(212211t f t f t ay t y t ay t y +=+'++' 即[][])()()()()()(d d212121t f t f t y t y a t y t y t+=+++ 可见)()()()(2121t y t y t f t f +→+即满足可加性，齐次性是显然的。
故系统为线性的。
1-8 若有线性时不变系统的方程为)()()(t f t ay t y =+'若在非零f ( t )作用下其响应t t y --=e 1)(，试求方程)()(2)()(t f t f t ay t y '+=+'的响应。
解 因为f ( t ) →t t y --=e 1)(，由线性关系，则)e 1(2)(2)(2t t y t f --=→由线性系统的微分特性，有t t y t f -='→'e )()(故响应t t t t y t f t f ----=+-=→'+e 2e )e 1(2)()()(2第2章习题解析2-1 如图2-1所示系统，试以u C ( t )为输出列出其微分方程。
题2-1图解 由图示，有tu C R u i d d C C L +=又⎰-=tt u u Li 0C S L d )(1 故CC C S )(1u C Ru u u L ''+'=- 从而得)(1)(1)(1)(S C C Ct u LCt u LC t u RC t u =+'+''2-2 设有二阶系统方程0)(4)(4)(=+'+''t y t y t y在某起始状态下的0+起始值为2)0(,1)0(='=++y y试求零输入响应。
解 由特征方程λ2 + 4λ + 4 =0得 λ1 = λ2 = -2 则零输入响应形式为t e t A A t y 221zi )()(-+=由于y zi ( 0+ ) = A 1 = 1 -2A 1 + A 2 = 2所以A 2 = 4故有0,)41()(2zi ≥+=-t e t t y t2-3 设有如下函数f ( t )，试分别画出它们的波形。
(a) f ( t ) = 2ε( t -1 ) - 2ε( t -2 ) (b) f ( t ) = sin πt [ε( t ) - ε( t -6 )]解 (a)和(b)的波形如图p2-3所示。
图p2-32-4 试用阶跃函数的组合表示题2-4图所示信号。
题2-4图解 (a) f ( t ) = ε( t ) - 2ε( t -1 ) + ε( t -2 ) (b) f ( t ) = ε( t ) + ε( t -T ) + ε( t -2T )2-5 试计算下列结果。
(1) t δ( t - 1 )(2) ⎰∞∞--t t t d )1(δ(3) ⎰∞--0d )()3πcos(t t t δω (4) ⎰+---003d )(e t t t δ解 (1) t δ( t - 1 ) = δ( t - 1 )(2) 1d )1(d )1(=-=-⎰⎰∞∞-∞∞-t t t t t δδ (3) 21d )()3πcos(d )()3πcos(00=-=-⎰⎰∞∞--t t t t t δδω(4) 1d )(d )(e d )(e 00003003===-⎰⎰⎰+-+-+---t t t t t t t t δδδ2-6 设有题2-6图示信号f ( t )，对(a)写出f ' ( t )的表达式，对(b)写出f " ( t )的表达式，并分别画出它们的波形。
题2-6图解 (a)20,21≤≤tf ' ( t ) = δ( t - 2 )， t = 2-2δ( t - 4 )， t = 4(b) f " ( t ) = 2δ( t ) - 2δ( t - 1 ) - 2δ( t - 3 ) + 2δ( t - 4 )图p2-62-7 如题2-7图一阶系统，对(a)求冲激响应i 和u L ，对(b)求冲激响应u C 和i C ，并画出它们的波形。
题2-7图解 由图(a)有Ri t u tiL-=)(d d S 即)(1d d S t u Li L R t i =+ 当u S ( t ) = δ( t )，则冲激响应)(e 1)()(t Lt i t h tL Rε⋅==-则电压冲激响应)(e )(d d )()(L t LR t t i L t u t h tL Rεδ⋅-===-对于图(b)RC 电路，有方程Ru i t u CC S C d d -=即S C C11i Cu RC u =+' 当i S = δ( t )时，则)(e 1)()(C t Ct u t h RC tε⋅==-同时，电流)(e 1)(d d C C t RCt t u C i RCtεδ⋅-==-2-8 设有一阶系统方程)()()(3)(t f t f t y t y +'=+'试求其冲激响应h ( t )和阶跃响应s ( t )。
解 因方程的特征根λ = -3，故有)(e )(31t t x t ε⋅=-当h ( t ) = δ( t )时，则冲激响应)(e 2)()]()([)()(31t t t t t x t h t εδδδ⋅-=+'*=-阶跃响应)()e 21(31d )()(30t h t s t t εττ-+==⎰2-9 试求下列卷积。
(a) δ( t ) * 2(b) ε( t + 3 ) * ε( t - 5 ) (c) t e -t ⋅ε( t ) * δ' ( t )解 (a) 由δ( t )的特点，故δ( t ) * 2 = 2(b) 按定义ε( t + 3 ) * ε( t - 5 ) =⎰∞∞---+ττετεd )5()3(t考虑到τ < -3时，ε( τ + 3 ) = 0；τ > t -5时，ε( t -τ - 5 ) = 0，故ε( t + 3 ) * ε( t - 5 ) =2,2d 53>-=⎰--t t t τ也可以利用迟延性质计算该卷积。
因为ε( t ) * ε( t ) = tε( t )f1( t-t1 ) * f2( t-t2 ) = f( t-t1-t2 )故对本题，有ε( t + 3 ) * ε( t- 5 ) = ( t + 3 - 5 )ε( t + 3 - 5 ) = ( t- 2 )ε( t- 2 )两种方法结果一致。
(c) t e-t⋅ε( t ) * δ'( t ) = [t e-tε( t )]' = ( e-t-t e-t )ε( t )2-10对图示信号，求f1( t ) * f2( t )。
题2-10图解(a)先借用阶跃信号表示f1( t )和f2( t )，即f1( t ) = 2ε( t ) - 2ε( t- 1 )f2( t ) = ε( t ) -ε( t- 2 )故f1( t ) * f2( t ) = [2ε( t ) - 2ε( t- 1 )] * [ε( t ) -ε( t- 2 )]因为ε( t ) * ε( t ) = ⎰t0d1τ= tε( t )故有f1( t ) * f2( t ) = 2tε( t ) - 2( t- 1 )ε( t- 1 ) -2( t- 2 )ε( t- 2 ) + 2( t- 3 )ε( t- 3 ) 读者也可以用图形扫描法计算之。