高三数学小题综合限时练(九)
2021年高三数学下学期第九周综合练习试题
2021年高三数学下学期第九周综合练习试题一、选择题1. 若，则等于( )A ．B ．C ．D ．2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．函数f (x )＝2x 4－3x 2＋1在区间[12，2]上的最大值和最小值分别是( )A ．21，－18B ．1，－18C ．21,0D ．0，－184．已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是( )A ．0B ．1C ．2D ．35．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数 6. 直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．17. 如图所示为f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象，则x 21＋x 22的值是( )A.23 B.43 C.83D.1698．设函数y ＝x sin x ＋cos x 的图象上的点(x ，y )处的切线斜率为k ，若k ＝g (x )，则函数k ＝g (x )的图象大致为( )9.设是抛物线的焦点，点是抛物线与双曲线的一条渐近线的一个公共点，且轴，则双曲线的离心率为 .A ．B ．C ．D ．410．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a )二、填空题11．设中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是12．已知圆(圆心为点)及点,为圆上一点,的垂直平分线交于,则点的轨迹方程是 13．已知曲线y ＝16x 2－1与y ＝1＋x 3在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为 ．14．已知点M 是抛物线y 2＝4x 上的一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －4)2＋(y －1)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值为________．15．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在(0，π2)上不是凸函数的是________．(把你认为正确的序号都填上)①f (x )＝sin x ＋cos x ；②f (x )＝ln x －2x ； ③f (x )＝－x 3＋2x －1；④f (x )＝x e x. 三、解答题16．求下列函数的导数： (1)y ＝(1－x )(1＋1x)；(2)y ＝ln x x；(3)y ＝x e x ；(4)y ＝tan x .17．求长短轴之比为3∶2，一个焦点是(0,-2)，中心在原点的椭圆的标准方程．18．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2－bx (a ，b ∈R)．若y ＝f (x )图象上的点(1，－113)处的切线斜率为－4，求y ＝f (x )的极大值．19.设函数为奇函数，其图像在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．(1)求的值(2)求函数的单调递增区间．(3)求函数在上的最大值和最小值．20．已知函数f(x)＝x ln x.(1)求f(x)的最小值；(2)讨论关于x的方程f(x)－m＝0(m∈R)的解的个数．21．如图，在直角坐标系xOy中有一直角梯形ABCD，AB的中点为O，AD⊥AB，AD∥BC，AB＝4，BC＝3，AD＝1，以A，B为焦点的椭圆经过点C.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点E(0,1)，问是否存在直线l与椭圆交于M，N两点且|ME|＝|NE|，若存在，求出直线l斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．第九周数学综合练习参考答案2014-4-16一、选择题1. 答案: D2.解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．答案：C 3.答案：A4.解析：f ′(x )＝3x 2－a ≥0在[1，＋∞)上恒成立， 即：a ≤3x 2在[1，＋∞)上恒成立，而(3x 2)min ＝3×12＝3. ∴a ≤3，故a max ＝3. 答案：D5.解析：由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0， 即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)． 答案：C6. 解析：设切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－12a ＋ln a ，依题意，对于曲线y ＝－12x ＋ln x ，有y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1a ＝12，得a ＝1.又切点⎝⎛⎭⎪⎫1，－12 在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b ＝－1.答案：B7. 解析：由图象可知，函数图象与x 轴交于三点，(－1,0)，(0,0)，(2,0)，故该函数有三个零点－1,0,2.由f (0)＝0，得d ＝0，故函数解析式可化为f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＝x (x 2＋bx ＋c )，显然－1,2为方程x 2＋bx ＋c ＝0的两根．由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝－b ，(－1)×2＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2.故f (x )＝x 3－x 2－2x .由图象可知，x 1，x 2为函数f (x )的两个极值点， 又f ′(x )＝3x 2－2x －2，故x 1，x 2为f ′(x )＝0，即3x 2－2x －2＝0的两根， 故x 1＋x 2＝23，x 1·x 2＝－23.故x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝169.答案: D8.解析：k ＝g (x )＝y ′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，故函数k ＝g (x )为奇函数，排除A 、C ；又当x ∈(0，π2)时，g (x )>0.答案：B 9. 答案：A10.解析：∵xf ′(x )＋f (x )≤0， 又f (x )≥0，∴xf ′(x )≤－f (x )≤0，设y ＝f (x )x ，则y ′＝xf ′(x )－f (x )x 2≤0， 故y ＝f (x )x为减函数或常函数． 又a <b ，∴f (a )a ≥f (b )b， 而a ，b >0，则af (b )≤bf (a )． 答案：A二、填空题11． 12．13.解：对于y ＝16x 2－1，有y ′＝13x ，k 1＝y ′|x ＝x 0＝13x 0；对于y ＝1＋x 3，有y ′＝3x 2，k 2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20. 又k 1k 2＝－1，则x 30＝－1，x 0＝－1.14.解析：依题意得|MA |＋|MF |≥(|MC |－1)＋|MF |＝(|MC |＋|MF |)－1，由抛物线的定义知|MF |等于点M 到抛物线的准线x ＝－1的距离，结合图形不难得知，|MC |＋|MF |的最小值等于圆心C (4,1)到抛物线的准线x ＝－1的距离，即为5，因此所求的最小值为4.答案：415.解析：对于①，f ″(x )＝－(sin x ＋cos x )，x ∈(0，π2)时， f ″(x )<0恒成立；对于②，f ″(x )＝－1x 2，在x ∈(0，π2)时，f ″(x )<0恒成立；对于③，f ″(x )＝－6x ，在x ∈(0，π2)时，f ″(x )<0恒成立；对于④，f ″(x )＝(2＋x )·e x在x ∈(0，π2)时f ″(x )>0恒成立，所以f (x )＝x e x不是凸函数． 答案：④ 三、解答题16.解：(1) ∵ y ＝(1－x )(1＋1x)＝1x－x(2) y ′＝(ln x x )′＝(ln x )′x －x ′ln x x2＝1x·x －ln xx2＝1－ln x x2. (3)y ′＝x ′e x ＋x (e x )′＝e x ＋x e x＝e x(x ＋1)．(4)y ′＝(sin x cos x )′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x ＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x .17．解: ∵椭圆的中心在原点, 一个焦点是(0,-2)，于是设椭圆的标准方程为 由己知得： 且 解得 故标准方程为18.解：(1)∵f ′(x )＝x 2＋2ax －b ，∴由题意可知：f ′(1)＝－4且f (1)＝－113，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a －b ＝－4，13＋a －b ＝－113，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.∴f (x )＝13x 3－x 2－3x ，f ′(x )＝x 2－2x －3＝(x ＋1)(x －3)．令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝3.由此可知，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗∴当x ＝－1时，f (x )取极大值53.19．解：(1)为奇函数，∴， ∴ 的最小值为，∴． 又直线的斜率为，，解得． 故．(2)，∴， 令 得：∴函数的单调递增区间为，.(3)令得，故当变化时，，的变化情况如下表：因为，所以当时，取得最小值当时，取得最大值为18．20.解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1e.当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下：↘↗所以，f (x )在(0，＋∞)上最小值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .(2)当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f (x )单调递减且f (x )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f (x )单调递增且f (x )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，＋∞. 下面讨论f (x )－m ＝0的解： 当m <－1e时，原方程无解；当m ＝－1e 或m ≥0时，原方程有唯一解；当－1e<m <0时，原方程有两个解．21.解：(1)连接AC ，依题意设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，在Rt △ABC 中，AB＝4，BC ＝3，∴AC ＝5.∴CA ＋CB ＝5＋3＝2a ，a ＝4.又2c ＝4，∴c ＝2，从而b ＝a 2－c 2＝23， ∴椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1.(2)由题意知，当l 与x 轴垂直时，不满足|ME |＝|NE |，当l 与x 轴平行时，|ME |＝|NE |显然成立，此时k ＝0.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 216＋y 212＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－48＝0， ∵Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－48)>0， ∴16k 2＋12>m 2，①令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为F (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－4km 3＋4k 2，y 0＝kx 0＋m ＝3m3＋4k2， ∵|ME |＝|NE |，∴EF ⊥MN ，∴k EF ×k ＝－1， 即3m3＋4k 2－1－4km3＋4k 2×k ＝－1，化简得m ＝－(4k 2＋3)，结合①得16k 2＋12>(4k 2＋3)2，即16k 4＋8k 2－3<0， 解之得－12<k <12(k ≠0)．综上所述，存在满足条件的直线l ，且其斜率k 的取值范围为(－12，12)．33529 82F9 苹25408 6340 捀•2147453E2 叢T24153 5E59 幙34422 8676 虶 922898 5972 奲39780 9B64 魤721027 5223 刣{24237 5EAD 庭。
(整理版)高三数学复习限时训练(09)
高三数学复习限时训练〔09〕1、 集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x y y A 21，{})1(log 2-==x y y B ，那么=⋂B A ． 2、 假设n m a a ==3log ,2log ，那么n m a -2= ． 3、 函数322--=a a x y 是偶函数，且在〔0,+∞〕上是减函数，那么整数a 的取值为4、 定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()1f x f x +⋅=对于x R ∈恒成立，且()0f x > ,那么(119)f 的值是 ______ ；5、a =〔1，0〕，b =〔0，1〕，求使向量a +k b 与向量b +2k a 的夹角为锐角的k 的取值范围 。
6、直线01cos =+-y x α的倾斜角的取值范围是7、在△ABC 中，3cos(B +C )+cos(2π+A )的取值范围是 . 8、一椭圆的四个顶点为A 1，A 2，B 1，B 2，以椭圆的中心为圆心的圆过椭圆的焦点且与菱形1122A B A B 相切，那么椭圆的离心率为9、 3)2(cos 32)2cos()2sin(2)(2-++++=θθθx x x x f . 〔Ⅰ〕化简f 〔x 〕的解析式；〔Ⅱ〕假设0≤θ≤π，求θ，使函数f 〔x 〕为偶函数；〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕成立的条件下，求满足],[,1)(ππ-∈=x x f 的x 的集合.限时训练〔09〕参考答案1.()+∞,02. 433. 14. 1 5．k>0,且k 22≠ 6、⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,0 7、［-2,3) 8、215- 9．〔1〕f(x)= ))32sin(2)(()62cos(2πθπθ++=-+x x f x 或; 〔2〕当6πθ=时，f 〔x 〕为偶函数〔3〕5{|}66x x x ππ=±=±或。
高三数学下册课时精练测试9
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！) 一、选择题(每小题6分，共36分)1．设正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π2附近的平均变化率为k 1，k 2，则k 1，k 2的大小关系为 ( )A ．k 1＞k 2B ．k 1＜k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定【解析】 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x ，k 1＝cos 0＝1，k 2＝cos π2＝0，∴k 1＞k 2. 【答案】 A2．一质点沿直线运动，如果由始点经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( )A ．0秒B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末【解析】 ∵s ＝13t 3－32t 2＋2t ，∴υ＝s ′(t )＝t 2－3t ＋2，令υ＝0得，t 2－3t ＋2＝0，t 1＝1，t 2＝2. 【答案】 D3．已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( )【解析】 设二次函数为y ＝ax 2＋b (a ＜0，b ＞0)，则y ′＝2ax ，又∵a ＜0，故选B.【答案】 B4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2D.e 22【解析】 ∵点(2，e 2)在曲线上，∴切线的斜率k ＝y ′⎪⎪⎪⎪x ＝2＝e xx ＝2＝e 2， ∴切线的方程为y －e 2＝e 2(x －2)． 即e 2x －y －e 2＝0.与两坐标轴的交点坐标为(0，－e 2)，(1,0)，∴S △＝12×1×e 2＝e 22. 【答案】 D5．(2018年临沂模拟)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )A ．1 B. 2C.22D. 3【解析】 过点P 作y ＝x －2的平行直线，且与曲线 y ＝x 2－ln x 相切，设P (x 0，x 20－ln x 0)则有k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0.∴2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12(舍去)．∴P (1,1)，∴d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.【答案】 B6．(2008年辽宁高考)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 B ．[－1,0]C ．[0,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 【解析】 设P (x 0，y 0)，∵y ′＝2x ＋2，∴曲线C 在P 点处的切线斜率为2x 0＋2.又切线倾斜角范围是[0，π4]，∴斜率范围是[0,1]，即0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12. 【答案】 A二、填空题(每小题6分，共18分)7．(2008年江苏高考)设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b 的值为______．【解析】 y ′＝(ln x )′＝1x ，令1x ＝12得x ＝2，∴切点为(2，ln2)，代入直线方程y ＝12x ＋b ，∴ln2＝12×2＋b ，∴b ＝ln2－1. 【答案】 ln2－18．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝______.【解析】 易得切点P (5,3)， ∴f (5)＝3，k ＝－1， 即f ′(5)＝－1.∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 【答案】 29．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )＜f (x )g ′(x )，f (x )＝a x·g (x )，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，在有穷数列{f (n )g (n )}(n ＝1,2，…，10)中，任意取前k 项相加，则前k 项和大于1516的概率是________．【解析】 据已知得[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )＜0， 故a x ＝f (x )g (x )为定义域上的减函数，故0＜a ＜1，从而由f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52⇒a ＝12，故易知数列{f (n )g (n )}即{a n }从第五项开始其和大于1516，故其概率为610＝35.【答案】 35三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l .(1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程； (2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P 的直线方程．【解析】 (1)由f (x )＝x 3－3x 得，f ′(x )＝3x 2－3， 过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0， ∴所求直线方程为y ＝－2；(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3.又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为y 0－(－2)x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1，又x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3，即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)·(x 0－1)， 解得x 0＝1(舍)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝3×(14－1)＝－94，∴y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.11．设t ≠0，点P (t,0)是函数f (x )＝x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线．试用t 表示a ，b ，c .【解析】 因为函数f (x )，g (x )的图象都过点(t,0)， 所以f (t )＝0，即t 3＋at ＝0. 因为t ≠0，所以a ＝－t 2. g (t )＝0，即bt 2＋c ＝0，所以c ＝ab . 又因为f (x )，g (x )在点(t,0)处有相同的切线， 所以f ′(t )＝g ′(t )．而f ′(x )＝3x 2＋a ，g ′(x )＝2bx ，所以3t 2＋a ＝2bt . 将a ＝－t 2代入上式得b ＝t .因此c ＝ab ＝－t 3. 故a ＝－t 2，b ＝t ，c ＝－t 3.12．已知定义在正实数集上的函数f (x )＝12x 2＋2ax ，g (x )＝3a 2ln x ＋b ，其中a >0.设两曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a 表示b ，并求b 的最大值； (2)求证：f (x )≥g (x )(x >0)．【解析】 (1)设y ＝f (x )与y ＝g (x )(x >0)在公共点(x 0，y 0)处的切线相同，∵f ′(x )＝x ＋2a ，g ′(x )＝3a 2x ， 由题意知f (x 0)＝g (x 0)，f ′(x 0)＝g ′(x 0)． 即⎩⎪⎨⎪⎧12x 20＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋b ，x 0＋2a ＝3a 2x 0.由x 0＋2a ＝3a 2x 0，得：x 0＝a ，或x 0＝－3a (舍去)．即有b ＝12a 2＋2a 2－3a 2ln a ＝52a 2－3a 2ln a .令h (t )＝52t 2－3t 2ln t (t >0)，则h ′(t )＝2t (1－3ln t )，于是当t (1－3ln t )>0时，即0<t <e 13时，h ′(t )>0；当t (1－3ln t )<0时，即t >e 13时，h ′(t )<0.故h (t )在(0，e 13)为增函数，在(e 13，＋∞)为减函数．于是h (t )在(0，＋∞)的最大值为h (e 13)＝32e 23. (2)证明：设F (x )＝f (x )－g (x ) ＝12x 2＋2ax －3a 2ln x －b (x >0)，则F ′(x )＝x ＋2a －3a 2x ＝(x －a )(x ＋3a )x (x >0)， 故F (x )在(0，a )为减函数，在(a ，＋∞)为增函数， 于是函数F (x )在(0，＋∞)上的最小值是 F (a )＝F (x 0)＝f (x 0)－g (x 0)＝0. 故当x >0时，有f (x )－g (x )≥0， 即当x >0时，f (x )≥g (x )．。
高三数学一轮复习限时训练9-3
A级基础达标演练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·长春模拟)已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()．A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝ 2C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4解析AB的中点坐标为：(0,0)，|AB|＝[1－(－1)]2＋(－1－1)2＝22，∴圆的方程为：x2＋y2＝2.答案 A2．(2011·广州检测(二))圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()．A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1解析设圆心坐标为(0，b)，则由题意知(0－1)2＋(b－2)2＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.答案 A3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为()．A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5解析由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x2＋(y＋2)2＝5.答案 D4．(2011·北京海淀检测)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )．A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝4＋x2，y ＝－2＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 答案 A5．(2011·合肥模拟)已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )． A.95 B ．1 C.45 D.135解析 圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45. 答案 C二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·辽宁)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为________．解析 线段AB 的中垂线方程为2x －y －4＝0，与x 轴的交点(2,0)即为圆心C 的坐标，所以半径为|CB |＝10，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 答案 (x －2)2＋y 2＝107．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线的方程是________．解析 易知点C 的坐标为(－1,0)，而所求直线与x ＋y ＝0垂直，所以所求直线的斜率为1，故所求直线的方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0. 答案 x －y ＋1＝08．(2012·成都检测)已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为________．解析 由题意得C 上各点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的距离减去半径，即|1－1＋4|2－2＝ 2.答案2三、解答题(共23分)9．(11分)(2012·盐城一调)经过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)的圆的标准方程． 解 法一 设圆的一般方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95，∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0， 即圆的标准方程为：(x －1)2＋(y －2)2＝100.法二 由A (1,12)，B (7,10)，得A 、B 的中点坐标为(4,11)， k AB ＝－13，则AB 的中垂线方程为：3x －y －1＝0. 同理得AC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0， 联立⎩⎨⎧ 3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.即圆心坐标为(1,2)，半径r ＝(1－1)2＋(2－12)2＝10. ∴所求圆的标准方程为：(x －1)2＋(y －2)2＝100.10．(12分)已知一等腰三角形的顶点A (3,20)，一底角顶点B (3,5)，求另一底角顶点C (x ，y )的轨迹． 解 由|AB |＝|AC |，得(x－3)2＋(y－20)2＝(3－3)2＋(20－5)2，整理得：(x－3)2＋(y－20)2＝225(x≠3)，故底角顶点C的轨迹是以点(3,20)为圆心，半径为15的圆，除去点(3,35)和(3,5)．B级综合创新备选(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2011·杭州调研)若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y －2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围是()．A．(4,6) B．[4,6) C．(4,6] D．[4,6]解析因为圆心(3，－5)到直线4x－3y－2＝0的距离为5，所以当半径r＝4时，圆上有1个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，当半径r＝6时，圆上有3个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1时，4＜r＜6.答案 A2．(2011·江西)如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是z小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是()．解析如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆O1总与大圆O相内切，且小圆O1总经过大圆的圆心O.设某时刻两圆相切于点A，此时动点M所处位置为点M′，则大圆圆弧的长与小圆圆弧的长之差为0或2π.切点A在三、四象限的差为0，在一、二象限的差为2π.以切点A 在第三象限为例，记直线OM 与此时小圆O 1的交点为M 1，记∠AOM ＝θ，则∠OM 1O 1＝∠M 1OO 1＝θ，故∠M 1O 1A ＝∠M 1OO 1＋∠OM 1O 1＝2θ.大圆圆弧 的长为l 1＝θ×2＝2θ，小圆圆弧 的长为l 2＝2θ×1＝2θ，则l 1＝l 2，即小圆的两段圆弧 与 的长相等，故点M 1与点M ′重合．即动点M 在线段MO 上运动，同理可知，此时点N 在线段OB 上运动．点A 在其他象限类似可得，故M ，N 的轨迹为相互垂直的线段．观察各选项知，只有选项A 符合．故选A. 答案 A二、填空题(每小题4分，共8分)3．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值为________．解析 l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l AB 的距离d ＝|3|2＝32，∴AB 边上的高的最小值为32－1. ∴S min ＝12×(22)×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝3－ 2.答案 3－ 24．(2012·重庆三校联考)已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 的长为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________．解析 设圆心坐标为M (x ，y )，则(x －1)2＋(y ＋1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22，即为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝9 三、解答题(共22分)5．(10分)求与x 轴相切，圆心在直线3x －y ＝0上，且被直线x －y ＝0截得的弦长为27的圆的方程．解 法一 设所求的圆的方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离为|a －b |2，∴r 2＝⎝⎛⎭⎪⎫|a －b |22＋(7)2， 即2r 2＝(a －b )2＋14，①由于所求的圆与x 轴相切，∴r 2＝b 2.② 又因为所求圆心在直线3x －y ＝0上， ∴3a －b ＝0.③ 联立①②③，解得a ＝1，b ＝3，r 2＝9或a ＝－1，b ＝－3，r 2＝9. 故所求的圆的方程是(x －1)2＋(y －3)2＝9或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9.法二 设所求的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为12D 2＋E 2－4F . 令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，由圆与x 轴相切，得Δ＝0，即D 2＝4F .又圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2到直线x －y ＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22.由已知，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 222＋(7)2＝r 2， 即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F )⑤ 又圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2在直线3x －y ＝0上，∴3D －E ＝0.⑥ 联立④⑤⑥，解得D ＝－2，E ＝－6，F ＝1或D ＝2，E ＝6，F ＝1.故所求圆的方程是x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0，或x 2＋y 2＋2x ＋6y ＋1＝0. 6．(★)(12分)(2011·北京西城模拟)已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |.(1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．思路分析 第(2)问画出曲线C 及l 1的图象，结合条件断定|QM |取最小值的情况．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )， 则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2.化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图， 由直线l 2是此圆的切线，连接CQ ， 则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16， 当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值， |CQ |＝|5＋3|2＝42，此时|QM |的最小值为32－16＝4.【点评】 解决有关圆的最值问题一般要“数”与“形”结合，根据圆的知识探求最值时的位置关系．解析几何中数形结合思想主要表现在以下两方面： (1)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题； (2)研究图形的形状、位置关系、性质等．。
最新版高考高三数学小题多维训练原卷含解析——课时09-基本不等式及其应用
课时09 基本不等式及其应用（基础题）一、填空题1．（·上海高三二模）某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为______________米．2．（·上海交大附中高三期末）若1x>，则函数211x xyx-+=-的最小值为___________.3．（·上海高三其他模拟）已知函数()()3031xxaf x a=+>+的最小值为5，则a=______. 4．（·上海市嘉定区第一中学高三月考）已知正数a，b满足1ab=，则11a bb a+++的最小值为______.5．（·上海高三三模）若正实数,a b满足a b ab+=，则64baa ab++的最小值为__________.二、解答题6．（·上海卢湾高级中学高三月考）某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券，已知每投放(04,)a a a<≤∈R亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比y随着时间x(天）的变化的函数关系式近似为()10af xy=，其中302,()3727,xx xf x xx x x+⎧≤≤∈⎪=-⎨⎪-<≤∈⎩RR，若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和.（1）若第一次投放2亿元消费券，则接下来多长时间内都能使消费总额至少提高40%；（2）政府第一次投放2亿元消费券，4天后准备再次投放m 亿元的消费券，若希望第二次投放后的接下来两天内全市消费总额仍然至少提高40%，试求m 的最小值.（能力题） 一、单选题1．（·上海）若直线l ：212x y b a a b +=++经过第一象限内的点11(,)P a b ，则ab 的最大值为 A ．76B ．422-C ．523-D ．632-2．（2018·上海市控江中学高三开学考试）已知*N k ∈，,,R x y z +∈，若222()5()k xy yz zx x y z ++>++，则对此不等式描述正确的是A ．若5k =，则至少存在．．．．一个以,,x y z 为边长的等边三角形 B ．若6k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形 C ．若7k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形 D ．若8k，则对满足不等式的,,x y z 不存在．．．以,,x y z 为边长的直角三角形3．（2018·上海高三二模）已知长方体的表面积为2452cm ，所有棱长的总和为24cm .那么，长方体的体对角线与棱所成的最大角为（ ）.A ．1arccos 3 B ．2arccos3 C ．3arccos9D ．6arccos9二、填空题4．（·上海市建平中学高三期中）已知二次函数2()2019f x ax bx c =++（0a >），若存在0x ∈Z ，满足01|()|2019f x ≤，则称0x 为函数()f x 的一个“近似整零点”，若()f x 有四个不同的“近似整零点”，则a 的取值范围是________5．（·上海高三一模）已知0a b >>，那么，当代数式216()a b a b +-取最小值时，点(,)P a b 的坐标为________6．（2018·上海高三二模）在直角三角形ABC 中，2A π∠=，3AB =，4AC =，E 为三角形ABC 内一点，且22AE =，若AE AB AC λμ=+，则34λμ+的最大值等于___________.（真题/新题）一、单选题1．（·全国高三其他模拟）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x 里见到树，则11972215x ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（ ）A ．210里B ．410里C ．610里D ．810里二、填空题2．（·上海高考真题）如图，已知正方形OABC ，其中()1OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x -=交AB 于点Q ，当AQ CP +最小时，则a 的值为_______三、解答题3．（·江苏高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y 万元与年产量x 吨之间的函数关系可以近似地表示为22420005x y x =-+，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本; （2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.课时10 基本不等式及其应用（基础题）一、填空题 1．（·上海高三二模）某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为______________米． 【答案】5；【分析】设长方体蓄水池长为y ，宽为x ，高为h ，蓄水池总造价为()W h ，由题意可得500()402W h ah ah=+，然后基本不等式求出()W h 的最小值即可． 【详解】设长方体蓄水池长为y ，宽为x ，高为h ， 每平方米池侧壁造价为a ，蓄水池总造价为()W h ，则由题意可得20500x y xyh +=⎧⎨=⎩，500()2()22()2402W h a xh yh axy ah x y axy ah ah∴=++=++=+， 500()2402400W h ah aa h∴⋅=， ∴当且仅当5h =时，()W h 取最小值，即5h =时，()W h 取最小值. 故答案为：5．2．（·上海交大附中高三期末）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________. 【答案】3【分析】由2111111x x y x x x -+==-++--，及1x >，利用基本不等式可求出最小值.【详解】由题意，()()()()222211111111111111x x x x x x x y x x x x x -++-+-+-+-+====-++----，因为1x >，所以()1111211311y x x x x =-++≥-⋅+=--，当且仅当111x x -=-，即2x =时等号成立.所以函数211x x y x -+=-的最小值为3.故答案为：3.3．（·上海高三其他模拟）已知函数()()3031x x af x a =+>+的最小值为5，则a =______. 【答案】9【分析】配方得()()303113131x x x x aaf x a =+>=++-++，结合基本不等式即可求解【详解】()()3031121593131x x x x aaf x a a a =+>=++-≥-=⇒=++，当且仅当3log 2x =时等号满足，故答案为：94．（·上海市嘉定区第一中学高三月考）已知正数a ，b 满足1ab =，则11a b b a+++的最小值为______. 【答案】4 【分析】由已知得11a b a ba b b a b a+++=+++，然后利用基本不等式求最值即可.【详解】由题可知，0,0a b >>，且1ab =，所以11224a b a b a b a b a ba b ab b a b a ab b a b a++++=++=+++≥⋅+=， 当且仅当1a b ==等号成立， 故答案为：4.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5．（·上海高三三模）若正实数,a b 满足a b ab +=，则64b a a ab ++的最小值为__________. 【答案】15【分析】由a b ab +=可得1bb a，将它们替换目标式中的ba、ab ，应用基本不等式求最小值即可. 【详解】由题设知：1bb a +=，即1b b a ，又a b ab +=且0,0a b >>，∴64646412()()116115ba ab a b a ab a b a b++=+-+≥+-=-=++， 当且仅当8a b +=时等号成立. 故答案为：15.二、解答题6．（·上海卢湾高级中学高三月考）某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券，已知每投放(04,)a a a <≤∈R 亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比y 随着时间x (天）的变化的函数关系式近似为()10af x y =，其中302,()3727,xx x f x x xx x +⎧≤≤∈⎪=-⎨⎪-<≤∈⎩R R，若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和.（1）若第一次投放2亿元消费券，则接下来多长时间内都能使消费总额至少提高40%；（2）政府第一次投放2亿元消费券，4天后准备再次投放m 亿元的消费券，若希望第二次投放后的接下来两天内全市消费总额仍然至少提高40%，试求m 的最小值.【答案】（1）5天内；（2）min 2086m =-.【分析】（1）根据题意分段列出不等式组，求解，然后取并集即得x 的取值范围，从而得解；（2）依题意，列出不等式，并分离参数，然后利用换元方法和基本不等式求相应最值，从而得到所求. 【详解】依题意得a=2,321040%4302xx x +⎧⨯≥⨯=⎪-⎨⎪≤≤⎩，解得12x ≤≤， 2(7)1040%427x x ⨯-≥⨯=⎧⎨<≤⎩，解得25x ≤≤， 15x ∴≤≤，即第一次投放2亿元消费券，则接下来5天内都能使消费总额至少提高40%；（2）依题意得3()42[7(4)]43xmf x x m x +≥⇒-++⨯≥-；在[]0,2x ∈上恒成立，3(22)(3)62433x x x x m m x x+---+≥⇒≥-+， 设(28)(6)243[3,5],3202()t t t x x t m t t t--=+∈=-⇒≥=-+ 2086m ≥-，min 2086m ∴=-.【点睛】本题考查分段函数模型的应用，涉及不等式的求解，不等式恒成立问题.注意：（1）不等式恒成立问题，分离参数后所得式子如果不是特别复杂以至于很难处理，一般常用分离参数法解决；（2）对于二次分式函数的最值，若分子或分母中的式子是一次的，一般作换元，用一个字母t 表示这个一次式，二次分式可以表示为t 函数，一般可用基本不等式或者对勾函数的性质求得相应最值；若分子分母都是二次式，则可以通过分离常数，先将分子转化为一次式在进行处理.（能力题） 一、单选题1．（·上海）若直线l ：212x y b a a b +=++经过第一象限内的点11(,)P a b ，则ab 的最大值为 A ．76 B ．422- C ．523- D ．632-【答案】B 【分析】直线2:12x y l b a a b +=++经过第一象限内的点1(P a，1)b ，可得a ，0b >，211(2)()a b a b a b +=++．2211()(2)()121ba ab ab b ba b a b a b a a⨯=+=++++⨯+．令0bt a =>，21()121t g t t t=+++，(0)t >再利用基本不等式计算可得． 【详解】解：直线2:12xyl b a a b +=++经过第一象限内的点1(P a ，1)b ， 则a ，0b >，211(2)()a b a b a b +=++． 22121()(2)()2121bb a a ab ab b ba b a b a b a b a b a a⨯∴=+=+=++++++⨯+．令0bt a =>，()()()()211221()121121t t t t g t t t t t +++=+=++++22214231t tt t ++=++ 21231tt t =+++ 11312t t =+++． 因为1123223322t t t t ++≥⋅+=+，当且仅当12t t =即22t =时取最小值；1114221322213t t∴+≤+=-+++即()max 24222g t g ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭故选：B ．【点睛】本题考查了直线方程、换元法、基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．（2018·上海市控江中学高三开学考试）已知*N k ∈，,,R x y z +∈，若222()5()k xy yz zx x y z ++>++，则对此不等式描述正确的是A ．若5k =，则至少存在．．．．一个以,,x y z 为边长的等边三角形 B ．若6k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形C ．若7k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形D ．若8k ，则对满足不等式的,,x y z 不存在．．．以,,x y z 为边长的直角三角形【答案】B【详解】本题可用排除法，由222222222222x y y z z x x y z xy yz zx+++++=++≥++，对于A ，若5k =，可得222xy yz zx x y z ++>++，故不存在这样的,,,x y z A 错误，排除A ；对于,1,1,2C x y z ===时，()()22275xy yz zx xy z ++>++成立，而以,,x y z 为边的三角形不存在，C 错误，排除C ；对于,D 1,1,2x y z ===时，()()22285xy yz zx x y z ++>++成立，存在以,,x y z 为边的三角形为直角三角形，故D 错误，排除,D 故选B.【 方法点睛】本题主要考查不等式的性质、排除法解选择题，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等. 3．（2018·上海高三二模）已知长方体的表面积为2452cm ，所有棱长的总和为24cm .那么，长方体的体对角线与棱所成的最大角为（ ）. A ．1arccos 3 B ．2arccos3 C ．3arccos9D ．6arccos9【答案】D【解析】设三条棱a b c ≤≤454ab ac bc ∴++=，6a b c ++=，222272a b c ++=()22222452264a b c a bc a a a ⎡⎤++≥+=+--⎢⎥⎣⎦整理可得2430a a -+≤12a ∴≤≤∴最短棱长为1，体对角线长为36226cos 936θ==故选D点睛：本题以长方体为载体，考查了不等式的运用，根据题目意思给出三边的数量关系，利用基本不等式代入消元，将三元变为二元，二元变为一元，从而求出变量范围，结合问题求出角的最大值二、填空题 4．（·上海市建平中学高三期中）已知二次函数2()2019f x ax bx c =++（0a >），若存在0x ∈Z ，满足01|()|2019f x ≤，则称0x 为函数()f x 的一个“近似整零点”，若()f x 有四个不同的“近似整零点”，则a 的取值范围是________ 【答案】21(0,]2019【分析】设函数的四个“近似整零点”为,1,2,3m m m m +++，再利用绝对值不等式和01|()|2019f x ≤，求得a 的取值范围.【详解】设函数的四个“近似整零点”为,1,2,3m m m m +++， 所以42019()(3)(1)(2)a f m f m f m f m ⨯=++-+-+|()||(3)||(1)||(2)|f m f m f m f m ≤++++++142019≤⨯所以212019a ≤.故答案为21(0,]2019. 【点睛】本题考查“近似整零点”的定义，求解的关键是读懂新定义，且理解“近似整零点”只与图象的开口大小有关，且四个整零点之间的最小距离为3，此时a 可取到最大值.5．（·上海高三一模）已知0a b >>，那么，当代数式216()a b a b +-取最小值时，点(,)P a b 的坐标为________ 【答案】(22,2)【分析】先根据基本不等式得到22()24b a b a b a b +-⎛⎫-=⎪⎝⎭；再利用基本不等式即可求解．【详解】解：因为0:a b >>22()24b a b a b a b +-⎛⎫∴-≤=⎪⎝⎭；所以222166426416()a a b a b a +≥+≥=-．当且仅当464a b a b ⎧=⎨=-⎩，即222a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩时取等号，此时(,)P a b 的坐标为：()22,2．故答案为：()22,2．【点睛】本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题．6．（2018·上海高三二模）在直角三角形ABC 中，2A π∠=，3AB =，4AC =，E 为三角形ABC 内一点，且22AE =，若AE AB AC λμ=+，则34λμ+的最大值等于___________. 【答案】1【分析】先以直角建系,将22AE =转化为221(3)(4)2λμ+=,然后结合基本不等式求最值.【详解】在直角三角形ABC 中,2A π∠=, 故以A 点为原点,以,AB AC 为,x y 轴正方向建系:则(3,0),(0,4)AB AC ==, 所以(3,4)AE AB AC λμλμ=+=, 因为22AE =,所以()()22134(0,0)2λμλμ+=>>, 又2221(3)(4)(34)2342λμλμλμ+=+-⋅⋅= 所以22134(34)2342()22λμλμλμ++-=⋅⋅≤⋅(当且仅当1342λμ==时等号成立), 所以22134(34)2()22λμλμ++-≤⋅, 解得341λμ+≤, 故答案为:1.【点睛】本题主要考查向量,考查基本不等式,需要学生有一定的计算推理能力.一般在向量中遇见直角,垂直等条件时,可以考虑建系应用坐标求解.（真题/新题）一、单选题 1．（·全国高三其他模拟）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则11972215x⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（）A．210里B．410里C．610里D．810里【答案】D【分析】根据题意得EF GFGAEB⋅=，进而得4 2.510EF GF EB GA⋅=⋅=⨯=，再结合基本不等式求4()EF GF+的最小值即可.【详解】因为1里=300步，则由图知1200EB=步=4里，750GA=步=2.5里．由题意，得EF GFGAEB⋅=，则4 2.510EF GF EB GA⋅=⋅=⨯=，所以该小城的周长为4()8810EF GF EF GF+≥⋅=，当且仅当10EF GF==时等号成立.故选:D．【点睛】本题以数学文化为背景考查基本不等式，解题的关键在于根据题意，得出对应的边长关系，即：EF GF GA EB⋅=，再代入数据，结合基本不等式求解，同时，在应用基本不等式时，还需要注意“一正”、“二定”、“三相等”.二、填空题 2．（·上海高考真题）如图，已知正方形OABC ，其中()1OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x -=交AB 于点Q ，当AQ CP +最小时，则a 的值为_______【答案】3【分析】通过函数解析式得到,P Q 两点坐标，从而表示出AQ CP +，利用基本不等式得到最值，从而得到取最值时的条件13a a=，求解得到结果.【详解】依题意得：,3a P a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,Q a a ⎛⎫⎪⎝⎭ 则4111223333a a a AQ CP a a a +=+=+≥⋅=当且仅当13a a=即3a =时取等号，故3a =本题正确结果：3【点睛】本题考查基本不等式的应用，关键在于能够通过坐标构造出关于a 的基本不等式的形式，从而利用取等条件得到结果.三、解答题 3．（·江苏高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y 万元与年产量x 吨之间的函数关系可以近似地表示为22420005x y x =-+，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.【分析】（1）列出式子，通过基本不等式即可求得； （2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值. 【详解】（1）2000245yxx x=+-，[60,110]x ∈ 2000224165x x≥⋅-= 当且仅当20005xx=时，即100x =取“=”，符合题意；∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.（2）()()2212424200012088055x L x x x x ⎛⎫=--+=--+ ⎪⎝⎭又60110x ≤≤，∴当110x =时，max ()860L x =.答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.。
高考数学二轮复习(浙江专用)小题综合限时练(九)Word版含解析
(限时： 40 分钟 )一、选择题 (本大题共 8 个小题，每题 5 分，共 40 分.在每题给出的四个选项 中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .)1.设全集 U ＝ R ，会合 A ＝{ x|0≤ x ≤2} ，B ＝{ y|1≤ y ≤3} ，则 (?U A)∪ B ＝ ( )A.(2 ，3]B.(－∞， 1]∪(2，＋∞ )C.[1 ，2)D.(－∞， 0)∪[1，＋∞ ) 分析 由于 ?U ＝ ＞ ，或 ＜ 0} UA { x|x 2x ，B ＝{ y|1≤ y ≤ 3} ，因此 (? A)∪ B ＝(－ ∞， 0)∪[1，＋ ∞).答案 Dx 2 y 2x 2 y 22.双曲线 a 2－ b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与椭圆 25＋ 9 ＝1 的焦点同样，若过右焦点 F 且倾斜角为 60°的直线与双曲线的右支有两个不一样交点， 则此双曲线实半轴长的取值范围是 ( )A.(2 ，4)B.(2， 4]C.[2 ，4)D.(2，＋∞ )x 2 y 2分析椭圆 25＋ 9 ＝1 的半焦距 c ＝4.要使直线与双曲线有两个交点， 需使双曲b线的此中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率， 即 a ＜ tan 60 ＝° 3，即 b ＜ 3a ，∴ c 2－2＜2整理得 ＜2a.∴＞，又＜ ＝ ，则此双曲线实半轴长的取值a3a . c a 2a c4范围是 (2， 4).应选 A.答案A1 1*3.若数列 { a n } 知足＋－ a n ＝ d(n ∈N，d 为常数 )，则称数列 { a n } 为调解数列 .已a n1知数列 1为调解数列，且 x 1＋x 2＋ ＋ x 20＝ 200，则 x 5＋x 16＝ ()xnA.10B.20C.30D.40分析∵ 数列 1 为调解数列， ∴ 1 － 1 ＝x n ＋1－x n ＝d ，∴ { x n } 是等差数列 .x11nx n ＋1 x n20（x ＋x ）又 ∵x 1＋x 2＋ ＋x 20＝200＝120 ，2∴ x 1＋x 20＝20，又 ∵x 1＋x 20＝x 5＋ x 16，∴ x 5＋x 16＝ 20.应选 B.答案 Bx ≥0， 已知实数 ， 知足拘束条件3x ＋4y ≥ 4，则 x 2＋ 2＋ 2x 的最小值是()4. x yy ≥0，2A. 5B. 2－124C.25D.1x ≥ 0，分析知足拘束条件件3x ＋4y ≥4，的平面地区如图中y ≥ 0暗影部分所示： ∵ x 2＋y 2＋2x ＝(x ＋1)2＋y 2－1，表示 (－1，0)点到可行域内任一点距离的平方再减 1，由图可知当 x＝ 0， y ＝ 1 时， x 2＋ y 2＋2x 取最小值 1，应选 D.答案Dπ对 x ∈R 恒建立，5.已知函数 f(x)＝sin(2x ＋ φ)，此中 0＜φ＜2π，若 f(x)≤ f 6 π 且 f 2 ＞f( π)，则 φ等于 ()π 5πA. 6B. 67π 11πC. 6D. 6ππ分析若 f(x)≤ f 6 对 x ∈R 恒建立，则 f 6 等于函数的最大值或最小值，ππ即 2×6＋φ＝k π＋ 2， k ∈Z ，π 则 φ＝k π＋ 6， k ∈ Z又 fπ2 ＞ f( π)，即 sin φ＜0，0＜φ＜2π，7π当 k ＝1 时，此时 φ＝ 6 ，知足条件，应选C.答案C设数列 n 的前 n 项和为 n ，且知足 a n ＋S n ＝1，则 S n 的取值范围是 ( )6. { a } S A.(0 ，1)B.(0，＋∞ )11C. 2，1D. 2，＋∞分析 已知 a n ＋ n ＝ ，当 ＝ 时，得 1＝ 1；当 ≥时， n －1＋ n －1＝ ，两S 1 n 1 a 2 n 2 aS1式相减，得 nn －1 n n ＝an －1n －1≠0，∴a n1a －a＋a ＝0，2a ，由题意知，aa n －1 ＝2(n ≥2)，11n1n∴ 数列 { a n } 是首项为 1，公比为 1的等比数列， ∴S n＝21－2＝ 1－1 2，221－21∴ S n ∈ 2， 1 .答案 C过抛物线 2 ＝2px(p ＞0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A ，B ，交其准线于点 C ， 7. y→ → ，|AF|＝ 3，则抛物线的方程为 ( ) 若 BC ＝－ 2BF A. y 2＝12x B.y 2＝ 9x C.y 2＝6x D.y 2＝ 3x分析分别过 A ， B 点作准线的垂线，垂足分别为A 1， 1，B过 A 作 AD ⊥x 轴.∴ |BF|＝|BB 1 |，|AA 1|＝|AF|.又 ∵|BC|＝ 2|BF|，∴ |BC|＝2|BB 1|，∴∠ CBB 1＝ 60°，∴∠ AFD ＝∠CFO ＝60°，又 |AF|＝ 3，∴ |FD|3 3＝ 2， ∴ |AA 1|＝p ＋ 2＝3，3∴ p ＝ 2， ∴抛物线方程为2y ＝ 3x.答案D8.如图，在三棱锥 P － ABC 中，PA ，PB ，PC 两两相互垂直，且 PA ＝ 3， PB ＝ 2， PC ＝ 2，设 M 是底面三角形 ABC 内一动点，定义： f(M)＝(m ， n ， p)，此中 m ，n ，p 分别表示三棱锥 M －PAB ， M －PBC ，M －PAC 的体积，若 f(M)1 a＝ (1，x ， 4y)，且 x ＋y ≥8 恒建立，则正实数 a 的最小值是 ()A.2－ 2B.2 2－12C.9－4 2D.6－4 24分析∵ PA 、PB 、PC 两两垂直，且 PA ＝3，PB ＝2，PC ＝2.∴ V P －ABC ＝1×1×3× 2× 2＝ 2＝ 1＋ x ＋ 4y ，即 x ＋ 4y ＝1，321 a∵ x ＋ y ≥ 8 恒建立，1 a 1 aax 4y9－4 2∴ x ＋ y ＝ x ＋ y (x ＋ 4y)＝ 1＋ y ＋ x ＋ 4a ≥1＋4a ＋4 a ≥8，解得 a ≥ 4 ，∴ 正实数 a 的最小值为 9－4 24 ，应选 C.答案 C二、填空题 (本大题共 7 小题，多空题每题6 分，单空题每题 4 分，共 36 分.)29. x ＋ x (1－ x)6 的睁开式中 x 的系数是 ________.分析 (1－ x)6 的睁开式中的第 r ＋ 1 项 T r ＋1＝C r 6·16－ r·(－ x)r ＝(－ 1)r·C 6r·x r ，2 622若求 x 的系数，只要要找到 (1－ x)睁开式中的 x 的系数和常数项分别去乘 x ＋22x 中 x 的系数和 x 的系数即可 .令 r ＝4 得 x 的系数是 15，令 r ＝ 0 的常数项为 1.因此 x 的系数为 2× 15＋1＝31.答案 3110.已知 απ， sin α ＝ 4 ， tan(α－ β)＝ － 1 ， 则 tan β ＝ ________；0<<253πsin 2β－ 2 · sin （β＋π ）＝________.π2cos β＋ 4π4 34分析由于 α∈ 0， 2 ，sin α＝ 5，因此 cos α＝5，tan α＝3，4 1又 tan(α－β)＝－ 1，因此 tan β＝tan[α－(α－β)] ＝ 3－ －3 ＝ 3，3411＋3× －3－ cos 2β·（－sin β）由题意知原式＝cos β－sin β（cos β＋sin β）sin β （1＋tan β）tan β 3× 4 6＝＝ ＝ ＝ .cos 2β＋ sin 2 β1＋ tan 2β1＋ 9 5答案36 511.已知点 P(a ，b)对于直线 l的对称点为 ′(＋ ， － ，则圆 2 ＋y 2－ 6xP b 1 a 1)C ：x－ 2y ＝0 对于直线 l 对称的圆 C ′的方程为 ________；圆 C 与圆 C ′的公共弦的长度为 ________.分析由于圆 C 的方程为 x 2＋ 2－－ ＝ ，即 － 2＋ － 1)2＝ ，其圆心y6x 2y 0 (x 3) (y 10为 (3，1)，半径为 10，又由于点 P(a ， b)对于直线 l 的对称点为 P ′(b ＋ 1， a －1)，因此令 a ＝3，b ＝1 可得，其对于直线l 的对称点为 (2， 2)，因此圆 C ： x 2＋ y 2－6x －2y ＝0 对于直线 l 对称的圆 C ′的圆心为 (2，2)，半径为 10，即圆 C ′：(x－ 2)2＋(y－ 2)2＝ 10；圆 C 与圆 C′的圆心的距离为d＝（2－3）2＋（2－1）2222＝ 2，因此公共弦的长度为 2（10）－2＝ 38.答案 (x－2)2＋(y－ 2)2＝103812.已知某几何体的三视图如下图，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的表面积是________；体积是 ________.分析由三视图知几何体为一个三棱柱截去一个三棱锥11所得，如下图，则其表面积为S＝4×8＋2×4×4＋2(411＋8)×4＋2×42×4＋2(4＋8)×4 2＝64＋322，体积111160为 V＝2×4×4×8－3×2×4×4×4＝ 3.答案64＋322160 3已知函数f(x)＝x2＋ 3， x≥ 0，则 ff－1＝ ________，若 f(x)＝ax－ 1 有13.x·log |x|， x<0，22三个零点，则 a 的取值范围是 ________.111111 1 213分析 f －2＝－2log22＝2，因此 f f －2＝f 2＝2＋3＝4 .x＝0明显不是函数 f(x)＝ax－1 的零点，则当x≠0 时，由 f(x)＝ ax－1 有三个3f （ x ）1f （x ）x ＋ x ，x ≥0， 零点知 x＝a －x 有三个根，即函数 y ＝ x ＝ 与函数 y ＝alog 2|x|， x<01－ x 的图象交点有三个，如下图，则由图可知当x<0 时，两个函数只有一个13交点，则当 x>0 时 ，函数 y ＝ a － x 与函数 y ＝ x ＋ x 有两个交点，则存在 x 使 a1 3 4 ≥24－ x >x ＋ x 建立，即a>x ＋ x ·＝ ，即a>4.xx4答案13 (4，＋∞ )414.在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， A(－ 4， 0)，B(0，4)， C(1，0)，动点→ → →→ 的最大值为D 知足 |CD|＝ 1，则 |OA ＋OB ＋OD________.| 分析 → － ， ， → ＝ ，由题意可得 OA ＝0) OB 4).( 4 (0→D(1＋又 |CD|＝1，因此点 D 在以点 C(1，0)为圆心， 1 为半径的圆上，故可设→ → → 2＝26－ 6cos θ＋ 8sin θ＝26＋ 10sin(θ－ φ)，其cos θ， sin θ)，故 |OA ＋OB ＋OD|3 → → →2→ → → →中 tan φ＝4，故|OA ＋ OB ＋ OD| ∈[16，36]，故|OA ＋ OB ＋ OD|∈[4 ，6]，即|OA ＋ → → OB ＋OD|的最大值为 6. 答案615.已知点 P ，A ，B ，C ，D 是球 O 表面上的点， PA ⊥平面 ABCD ，四边形 ABCD是边长为 2 3的正方形 .若 PA ＝2 6，则△ OAB 的面积为 ________.分析依据球的内接四棱锥的性质求解 .如下图，线段PC 就是球的直径，设球的半径为 R ，由于 AB ＝BC ＝2 3，因此 AC ＝2 6.又 PA＝2 6，因此 PC2＝ PA2＋AC2＝24＋ 24＝48，因此 PC＝4 3，因此 OA＝OB＝23，因此△AOB 是正三角形，13因此 S＝2×2 3×2 3×2＝3 3.答案 33。
高三数学题限时练习题
高三数学题限时练习题第一题：已知函数f(f)=ff^2+ff+f，其中f，f，f为常数，且f≠0。
已知当f=2时，f(f)=3；当f=1时，f(f)=1。
请回答以下问题：1. 根据已知条件，列出函数f(f)的方程式。
2. 求函数f(f)的导函数f′(f)。
3. 若函数f(f)的极值点为f=−1，求函数f(f)在f=−1处的极值。
解答：1. 假设函数f(f)的方程式为f(f)=ff^2+ff+f。
由已知条件可以得到如下方程组：3 = 4f+2f+f (1)1 = f+f+f (2)解方程组 (1) 和 (2)，可以得到f=1，f=-1，f=3。
因此，函数f(f)的方程式为f(f)=f^2−f+3。
2. 函数f(f)的导函数f′(f)可以通过求函数f(f)的变化率来得到。
根据导数的定义，有：f′(f) = lim(f→0) (f(f+f)−f(f))/f对函数f(f)=f^2−f+3进行求导，得到：f′(f) = 2f−1所以，函数f(f)的导函数f′(f)为2f−1。
3. 函数f(f)的极值点为f=−1，可以通过求导数为0的点来求得。
令f′(f)=0，有：2f−1 = 0解方程得到f = 1/2。
即函数f(f)在f=−1处的极值为f=1/2。
第二题：已知函数f(f)=f^3+ff^2+ff+f，其中f，f，f为常数。
请回答以下问题：1. 当f=2时，f(f)=1；当f=1时，f′(f)=2。
根据已知条件，列出函数f(f)的方程式以及函数f(f)的导函数f′(f)的方程式。
2. 求函数f(f)的导函数f′(f)的导函数f′′(f)。
3. 若函数f(f)的极值点为f=−1，求函数f(f)在f=−1处的极值。
解答：1. 假设函数f(f)的方程式为f(f)=f^3+ff^2+ff+f。
根据已知条件可以得到如下方程组：1=8+4f+2f+f (1)2=3+2f+f (2)解方程组 (1) 和 (2)，可以得到f=-2，f=3，f=-4。
选填专练9——高三二轮数学复习课时作业
数学(理)
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解析 对于 A，根据相关系数的意义可知，A 正确；对于 B，由 ξ～N(1，σ2)， 知 μ＝1，即概率密度函数的图象关于直线 x＝1 对称，所以 P(ξ＜0)＝P(ξ＞2)＝0.2， 则 P(1＜ξ＜2)＝1－2P2ξ＜0＝0.3，B 错误；对于 C，根据线性回归直线的性质可知， C 正确；对于 D，根据残差图的意义可知， D 正确．
a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝( D )
A．242
B．243
C．404
D．405
解析 令 t＝x＋2，则原式为(t＋2)5＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，两边求导， 可得 5(t＋2)4＝a1＋2a2t＋3a3t2＋4a4t3＋5a5t4，当 t＝1 时，有 a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5 ＝5×34＝405.故选 D.
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数学(理)
又点 O 是△ABC 的外心，所以 BD⊥AC. 3
在 Rt△BAD 中，cos∠BAC＝AADB＝22＝34. 所以 cos∠BAC 的值为34.
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数学(理)
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14．(2022·西北工业大学附属中学模拟)运行如图所示的程序框图，设输出数据构
成的集合为 A，从集合 A 中任取一个元素 a，则函数 y＝xa，x∈[0，＋∞)是增函数的 3
13．已知 O 是△ABC 的外心，AB＝2，AC＝3，若A→O＝xA→B＋yA→C，且 xy≠0，x 3
＋2y＝1，则 cos∠BAC 的值为 4 .
解析 如图所示，
数学(理)
因为A→O＝xA→B＋yA→C，xy≠0，x＋2y＝1， 所以A→O＝(1－2y)A→B＋yA→C， 即A→O－A→B＝y(A→C－A→B－A→B)， 于是有B→O＝y(B→C－A→B)＝y(B→C＋B→A)， 取 AC 的中点为 D，则B→C＋B→A＝2B→D， 所以B→O＝2yB→D.
2021-2022年高三12月份限时训练数学理含答案
2021-2022年高三12月份限时训练数学理含答案一、选择题：每小题5分，共60分.在给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.若，则＝ A. B. C. D.2.已知集合，，则A. B. C. D.3.已知向量, ，如果向量与垂直，则的值为A. B. C. D.4.函数的图像为5.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①； ②；③； ④．其中“同簇函数”的是 A.①② B.①④ C.②③ D.③④6.若数列的前项和，则数列的通项公式A. B. C. D.7.已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是A. B. C. D.8.已知，满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若的最小值为，则A. B.C. D. 9.在中,角的对边分别为,且22cos cos sin()sin 2A B B A B B --- .则 A ． B ． C ． D ．10.函数是上的奇函数，1212()[()()]0x x f x f x --<,则的解集是 A . B.C. D.11. 等比数列中，，，128()()()()f x x x a x a x a =--⋅⋅⋅-，为函数的导函数，则( )A ．0B ．C ．D ．12.空间中，、、是三条不同的直线，、、是三个不同的平面，则下列结论错误的是A.若则B.若则C.若，则D.若,,,,,m l n l m l n αββγγα===⊥⊥则二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．13.＝ ．14.已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为15πcm 2，则此圆锥的体积为 cm 3．15.在中，，，，则 ．16.已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：，若“非q 且p ”为真，则x 的取值范围是____________________．三、解答题：本大题共6小题，共74分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.记函数的定义域为集合，函数的定义域为集合.(1)求和；(2)若A C p x x C ⊆<+=},04|{,求实数的取值范围.18.(本小题满分12分）已知(2cos ,2sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，,. (Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)设,若,求的值.19.(本小题满分12分）已知函数和的图象关于轴对称，且.(Ⅰ)求函数的解析式；(Ⅱ)解不等式20. (本小题满分12分）已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a n ＋2n ＋1,且n ∈N *。
《最高考》聚焦小题强化训练50练（提升版）（含详细解答）
(第 7 题) 6.已知函数 f(x)＝sinx(x∈[0，π])和函数 g(x)＝12tanx 的图象交于 A，B，C 三点，则△ABC 的面 积为________． 7.如图，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱 O1O2 的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则VV12的值是________． 8.已知函数 f(x)＝mx3x＋＋x22＋，mx>，1，0≤x≤1，若函数 f(x)有且只有两个零点，则实数 m 的取值范围是 ________．
11.(本小题满分 16 分) 某农场有一块农田，如图，它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN(P 为此圆弧的中点)和线段 MN 构成．已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米．现规划在此农田上修建两个温 室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求 A，B 均在 线段 MN 上，C，D 均在圆弧上．设 OC 与 MN 所成的角为 θ. (1)用 θ 分别表示矩形 ABCD 和△CDP 的面积，并确定 sinθ 的取值范围； (2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值 之比为 4∶3.求当 θ 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
小题强化训练二
一、填空题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分． 1.已知复数 z 满足(z－2)i＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数 z 的共轭复数 z 在复平面内对应的点位 于第________象限． 2.设集合 A＝{x|y＝ln(x2－3x)}，B＝{y|y＝2x，x∈R}，则 A∪B＝____________． 3.若 θ∈(0，π4)，且 sin2θ＝14，则 sin(θ－π4)＝________． 4.已知一个正方体的外接球体积为 V1，其内切球体积为 V2，则VV12的值为________. 5.记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1＝3，且数列{ Sn }也为等差数列，则 a11＝________． 6.在▱ABCD 中，∠BAD＝60°，E 是 CD 上一点，且A→E＝12A→B＋B→C，|A→B|＝λ|A→D|.若A→C·E→B＝12A→D 2，则 λ＝________． 7.设函数 f(x)＝lnx＋mx ，m∈R，若对任意 x2＞x1＞0，f(x2)－f(x1)＜x2－x1 恒成立，则实数 m 的 取值范围是__________． 8.已知实数 x，y 满足 x2＋y2＝1，则（x－1y）2＋（x＋1y）2的最小值为________． 二、解答题：本大题共 4 小题，共 60 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤． 9.(本小题满分 14 分) 在平面四边形 ABCD 中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5. (1)求 cos∠ADB 的值； (2)若 DC＝2 2，求 BC 的值．
专题10小题提分限时训练9(解析版)-2021年新高考数学小题限时提分训练(45分钟)
专题10新高考数学小题提分限时训练9（解析版）一、单选题1．已知集合{}{|32,},6,8,10,12,14A x x n n N B ==+∈=，则集合A B ⋂中的元素个数为( ) A ．5 B ．4C ．3D ．21．D 【解析】由已知得A B ⋂中的元素均为偶数，n ∴ 应为取偶数，故{}8,14A B ⋂= ，故选D. 2．已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ） A ．2i -- B ．2i -+C ．2i -D ．2i +2．C 【解析】试题分析：∴(1)1z i i -=+，∴z=212(12)()2i i i i i i++-==--，故选C. 考点：复数运算3．设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．403．C 【解析】不等式20{30230x x y x y +≥-+≥+-≤所表示的平面区域如下图所示，当6z x y =+所表示直线经过点(0,3)B 时，z 有最大值18.考点：线性规划.4．设x ∈R ，则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．A 【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：由“|x ﹣2|＜1”得1＜x ＜3， 由x 2+x ﹣2＞0得x ＞1或x ＜﹣2，即“|x ﹣2|＜1”是“x 2+x ﹣2＞0”的充分不必要条件， 故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点(3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线27y x = 的准线上，则双曲线的方程为（ ）A ．2212128x y -=B ．2212821x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=5．D 【解析】试题分析：双曲线的一条渐近线是by x a=，23b a =①，抛物线247y x =的准线是7x =-7c =2227a b c +==②，由①②联立解得23a b =⎧⎪⎨=⎪⎩曲线方程为22143x y -=．故选D ．考点：双曲线的标准方程． 6．已知函数()21x mf x -=-为偶函数，记()0.5log 3a f = ，()2log 5b f = ，()2c f m =，则,,a b c 的大小关系为 ( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<6．C 【解析】试题分析：因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，21210x mx mx m x m m ---∴-=-∴--=-∴=()()21xf x f x ∴=-∴在[)0,+∞上单调递增，并且()()()()0.522log 3log 3,log 5,0a f f b f c f ====，因为220log 3log 5<<，c a b ∴<<，故选C ．考点：函数的单调性【思路点睛】本题考察的是比较大小相关知识点，一般比较大小我们可以采用作差法、作商法、单调性法和中间量法，本题的题设中有解析式且告诉我们为偶函数，即可求出参数m 的值，所以我们采用单调性法，经观察即可得到函数的单调性，然后根据可以通过函数的奇偶性转化到同一侧，进而判断出几个的大小，然后利用函数的单调性即可判断出所给几个值的大小．7．已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭7．D 【详解】 函数恰有4个零点，即方程，即有4个不同的实数根，即直线与函数的图象有四个不同的交点．又做出该函数的图象如图所示，由图得，当时，直线与函数的图象有4个不同的交点， 故函数恰有4个零点时，b 的取值范围是故选D ．考点：1、分段函数；2、函数的零点． 【方法点晴】本题主要考查的是分段函数和函数的零点，属于难题．已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数的图像的交点个数问题，作图时一定要保证图形准确， 否则很容易出现错误．8．已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） A ．()()()220f f f <-< B ．()()()022f f f <<- C ．()()()202f f f -<< D ．()()()202f f f <<-8．A 【分析】依题意可求ω＝2，又当x 23π=时，函数f （x ）取得最小值，可解得φ，从而可求解析式f （x ）＝A sin （2x 6π+），利用正弦函数的图象和性质及诱导公式即可比较大小． 【详解】解：依题意得，函数f （x ）的周期为π， ∵ω＞0， ∴ω2ππ==2．又∵当x 23π=时，函数f （x ）取得最小值， ∴223π⨯+φ＝2k π32π+，k ∈Z ，可解得：φ＝2k π6π+，k ∈Z ，∴f （x ）＝A sin （2x +2k π6π+）＝A sin （2x 6π+）． ∴f （﹣2）＝A sin （﹣46π+）＝A sin （6π-4+2π）＞0．f （2）＝A sin （46π+）＜0，f （0）＝A sin 6π=A sin 56π＞0，又∵326ππ-＞4+2π562ππ＞＞，而f （x ）＝A sin x 在区间（2π，32π）是单调递减的， ∴f （2）＜f （﹣2）＜f （0）． 故选A ．考点：1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.二、多选题9．关于椭圆22124x y +=，以下说法正确的是（ ）A ．长轴长为2B ．焦距为22C ．离心率为22D ．左顶点的坐标为()2,0-9．BCD 【分析】求出a 、b 、c 的值，结合椭圆的方程可判断各选项的正误.椭圆22124x y +=的焦点在y 轴上，2a =，2b c ==.对于A 选项，该椭圆的长轴长为24a =，A 错误； 对于B 选项，该椭圆的焦距为222c =，B 对； 对于C 选项，该椭圆的离心率为22c e a ==，C 对； 对于D 选项，该椭圆的左顶点坐标为()2,0-，D 对.故选：BCD.10．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，0,0,0||2A πωϕ>><<）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象可以由2sin 2y x =的图象纵坐标不变，横坐标向右平移6π个单位长度得到B ．函数()f x 的图象可以由2sin 2y x =的图象纵坐标不变，横坐标向右平移12π个单位长度得到C ．函数()f x 的图象可以由2sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到D ．函数()f x 的图象可以由2sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象纵标不变横坐标变为原来的12得到 10．BD 【分析】先由图象得出函数()f x 的解析式，再由平移和伸缩变换逐一判断即可.由图象可知，722,21212T ππππωπ⎛⎫=-===⎪⎝⎭，由,3A π⎛⎫⎪⎝⎭在图象上，则2sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，22,2,326k k k Z πππϕπϕπ+=+=-+∈，由02πϕ<<得出6πϕ=-，又(0,1)-在图象上，则sin 16A π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得1(2)2A =-⨯-=，即()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象对于A 项，2sin 2y x =的图象纵坐标不变，横坐标向右平移6π个单位长度得到2sin 22sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象对于B 项，2sin 2y x =的图象纵坐标不变，横坐标向右平移12π个单位长度得到2sin 22sin 2126y x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象对于C 项，2sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到12sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象对于D 项，2sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象纵标不变横坐标变为原来的12得到2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象故选：BD 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于通过识别正弦型函数的图象，得出函数()f x 的解析式，再结合三角函数图象的变换进行判断. 11．已知向量()1,0m =，11,22n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．2m n =B ．()//m n n -C ．()m n n -⊥D ．m 与n -的夹角为3π411．ACD 【分析】根据()1,0m =，11,22n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用平面向量的线性运算和数量积运算逐项判断. 【详解】因为()1,0m =，11,22n ⎛⎫=⎪⎝⎭， 所以1m =，2211222n ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2m n =，故A 正确； 因为11,22m n ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，所以m n -与n 不平行，故B 错误； 又()0m n n -⋅=，故C 正确； 因为()2cos ,2m n m n m n ⋅--==--，所以m 与n -的夹角为3π4，故D 正确.故选：ACD12．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别为棱AD 、1CC 、11C D 的中点，则下列结论正确的是（ ） A ．直线FG 与1A D 所成的角为60︒ B ．平面EFG 截正方体所得的截面为六边形 C ．1BF B C ⊥D ．三棱锥1B EFG -的体积为76. 12．AD 【分析】在几何体中，作出平面EFG 截正方体所得的截面图形，可判断B 错；在正方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法，计算异面直线FG 与1A D 所成的角，可判断A 正确；计算10BF B C ⋅≠，可判断C 错；再由向量的方法，求出点1B 到平面EFG 的距离，根据三棱锥的体积公式，可计算出三棱锥1B EFG -的体积，判断D 正确.【详解】连接FG 并延长，交DC 的延长线于点M ，交1DD 的延长线于点N ，连接EM 交BC 于点H ，连接EN 角11A D 于点I ，连接GI ，FH ，则五边形EHFGI 即为平面EFG 截正方体所得的截面，故B 错；在正方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为2，E 、F 、G 分别为棱AD 、1CC 、11C D 的中点，所以()0,0,0D ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()12,0,2A ，()12,2,2B，()1,0,0E ，()0,2,1F 、()0,1,2G ，则()0,1,1FG =-，()12,0,2A D =--，()2,0,1BF =-，()12,0,2B C =--，()1,2,1EF =-，()12,0,1B F =--，因此1111cos ,2404011FG A D FG A D FG A D⋅<>===-++⨯++，因为异面直线所成角大于0︒且小于等于90︒，所以直线FG 与1A D 所成的角为60︒，即A 正确；又()()2122120BF B C ⋅=-+-⨯=≠，则BF 与1B C 不垂直，即BF 与1B C 不垂直，故C 错；设平面EFG 的一个法向量为(),,m x y z =，则EF m FG m ⎧⊥⎨⊥⎩，即200EF m x y z FG m y z ⎧⋅=-++=⎨⋅=-+=⎩，所以3x zy z =⎧⎨=⎩，不妨令1z =，则()3,1,1m =，记直线1B F 与平面EFG 所成角为θ，则111sin cos ,11555m B F m B F m B Fθ⋅=<>===⨯，因此点1B 到平面EFG 的距离为1sin 55511d B F θ===， 又cos cos 14111,23E G FGF EF ∠=->==++⨯+<，所以211111223sin EFG ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∠= 因此111111sin 622212EFGSEF FG EFG =∠==， 故三棱锥1B EFG -的体积为11111733611B EFG EFGV S d -=⋅==，即D 正确. 故选：AD. 【点睛】方法点睛：求解空间中点P 到面α的距离的常用方法：（1）等体积法：先设所求点到面的距离，根据几何体中的垂直关系，由同一几何体的不同的侧面（或底面）当作底，利用体积公式列出方程，即可求解；（2）空间向量法：先建立适当的空间直角坐标系，求出平面α的一个法向量m ，以及平面α的一条斜线PA 所对应的向量PA ，则点P 到面α的距离即为PA m d m ⋅=.立体几何体中空间角的求法：（1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可.三、填空题13．在()52x +的展开式中，3x 的系数为_____．（用数字作答）13．40【解析】利用通项公式，5152r r r r T C x -+=⋅，令3r =，得出3x 的系数为325240C ⋅= 考点：本题考点为二项式定理，利用通项公式，求指定项的系数.14．已知双曲线2221x y a-= (a ＞0)的一条渐近线为3 x ＋y ＝0，则a ＝________. 14．【详解】双曲线()22210x y a a-=>的渐近线方程为1y x a =±303x y y x +=⇒=，0a >,则133,3a a -== 考点：本题考点为双曲线的几何性质，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，利用已给渐近线方程求参数.15．在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin A C=__________． 15．1【详解】 试题分析：222sin 22sin cos 2cos 44cos 1sin sin 332A A A a A b c a A C C c bc+-====⨯= 考点：正余弦定理解三角形16．设函数()()()2,1{42, 1.x a x f x x a x a x -<=--≥ ①若1a =，则()f x 的最小值为 ；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．16．(1)-1，(2)112a ≤<或2a ≥. 【详解】 ①1a =时，()()()2,1{42, 1.x a x f x x a x a x -<=--≥，函数()f x 在(,1)-∞上为增函数且()1f x >-，函数()f x 在3[1,]2为减函数，在3[,)2+∞为增函数，当32x =时，()f x 取得最小值为-1；（2）①若函数()2x g x a =-在1x <时与x 轴有一个交点，则0a >，(1)2g a =->0，则02a <<，函数()4()(2)h x x a x a =--与x 轴有一个交点，所以211a a ≥<⇒且112a ≤<； ②若函数()2x g x a =-与x 轴有无交点，则函数()4()(2)h x x a x a =--与x 轴有两个交点，当0a ≤时()g x 与x 轴有无交点，()4()(2)h x x a x a =--在1≥x 与x 轴有无交点，不合题意；当当2a ≥时()g x 与x 轴有无交点，()h x 与x 轴有两个交点，x a =和2x a =，由于2a ≥，两交点横坐标均满足1≥x ；综上所述a 的取值范围112a ≤<或2a ≥.考点：本题考点为函数的有关性质，涉及函数图象、函数的最值，函数的零点、分类讨论思想解题.利用函数图象研究函数的单调性，求出函数的最值，涉计参数问题，针对参数进行分类讨论.。
高三数学每日练习第9套(内含详细答案绝对经典)
高三数学每日练习第9套一、单选题1．若(2)(1)i z m m =-++为纯虚数，则实数m 的值为 A ．2-B ．1-C ．1D ．22．已知()f x 是定义在R 上的减函数，其导函数()'f x 满足()()1'f x x f x +<，则下列结论正确的是（ ）A ．对于任意R x ∈，()0f x <B ．对于任意R x ∈，()0f x >C ．当且仅当(),1x ∈-∞，()0f x <D ．当且仅当()1,x ∈+∞，()0f x >3．将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移6π个长度单位后，所得到的图象关于（ ）对称． A ．y 轴B ．原点(0,0)C ．直线3x π=D ．点5(,0)6π4．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．1()2a b + B ．1()2a b - C ．12a b + D ．12a b +5．已知等比数列{}n a 满足582a a +＝，678a a ⋅=-，则3q =（ ） A ．12-B ．-2C ．12-或-2 D ．26．不等式111x ≥-的解集为（ ） A ．(],2-∞ B ．[)2,+∞C ．[]1,2D ．(]1,27．设双曲线22221(0,?0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，过点F 与x 轴垂直的直线与双曲线的一个交点为B ，且25AF BF ==，则此双曲线的离心率为（ ）A ．32B ．43C ．2 D二、解答题8．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PCD⊥平面ABCD ，AB=2，BC=1，PC PD ==E 为PB 中点．（Ⅰ）求证：PD∥平面ACE；（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求三棱锥E-ABC的体积．9．2019年6月湖北潜江将举办第六届“中国湖北（潜江）龙虾节”，为了解不同年龄的人对“中国湖北（潜江）龙虾节”的关注程度，某机构随机抽取了年龄在20—70岁之间的100人进行调查，经统计“年轻人”与“中老年人”的人数之比为2:3。
高考数学客观题限时训练习题及参考答案(十一套)
高考数学客观题限时训练习题（十一套）高考数学客观题限时训练一班级 姓名 学号 记分1、已知集合{}{}|12,|35A x a x a B x x =-≤≤+=<<，则能使A B ⊇成立的实数a 的取值范围是（ ）A ．{}|34a a <≤B ．{}|34a a <<C ．{}|34a a ≤≤D ．∅ 2、等比数列{}n a 中，0n a >且21431,9a a a a =-=-，则45a a +等于（ ） A ．16 B ．27 C ．36 D ．27- 3、不等式2103x x -≤的解集为（ ）A ．{|2x x ≤≤ B ．{}|25x x -≤≤ C ．{}|25x x ≤≤ D ．{}5x x ≤ 4、曲线24y x =关于直线2x =对称的曲线方程是（ ）A ．2164y x =-B ．284y x =-C ．248y x =-D ．2416y x =-5、已知()321233y x bx b x =++++是R 上的单调增函数，则b 的范围（ ）A ．1b <-或2b >B ．1b ≤-或2b ≥C ．12b -<<D ．12b -≤≤6、直线l 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右准线，以原点为圆心且过双曲线的焦点的圆被直线l 分成弧长为21∶的两段圆弧，则该双曲线的离心率是（ ）A B C D7、空间四点A B C D 、、、，若直线,,AB CD AC BD AD BC ⊥⊥⊥同时成立，则A B C D 、、、四点的位置关系是（ ）A ．一定共面B ．一定不共面C ．不一定共面D ．这样的四点不存在8、()f x 是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则2T f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．0B ．2TC ．TD ．2T-9、已知实数x y 、满足22326x y +=，则2x y +的最大值为（ ） A ．4 BC． D10、函数222x y e -=的图象大致是（ ）选择题答案栏11、直线20x y m ++=按向量()1,2a =--平移后与圆22:240C x y x y ++-=相切，则实数m 的值为____________.12、在()()10211x x x ++-的展开式中，4x 项的系数是_______________.13、12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有____________14、函数()f x =是奇函数的充要条件是____________ABCD15、260100x y x x y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,z mx y =+取得最大值的最优解有无数个，则m 等于16、在下列四个命题中，①函数2cos sin y x x =+的最小值是1-。
高三数学限时练习题
高三数学限时练习题本文是一份高三数学限时练习题集，旨在帮助学生加强对数学知识的掌握和应用能力。
请同学们根据题目要求认真思考并完成每一道题目，以检验自己在数学方面的能力。
第一题：已知函数 f(x) = 2x^2 + bx + c，其中 b，c 为常数。
若该函数在 x = -2 处有极值，并且在 x = -1 处取得最小值 -5，则求函数 f(x) 的解析式。
第二题：给定一准直光线 AO 与反射线 BC，如图所示。
已知入射角α=60°，折射角β=30°，弯折角δ=105°。
求反射角θ。
（插入图示）第三题：已知集合 A = {x | x^2 - 5x + 6 ≤ 0}，集合 B = {x | 2x - 1 > 0}，求 A∩ B 的解集。
第四题：某市的人口数量随年份变化，已知2015 年的人口数量为100 万人，且每年增长率恒定。
设 x 为年份，y 为该年份的人口数量（单位：万人）。
试求人口数量 y 关于年份 x 的增长函数 f(x) 的解析式，函数图像的横坐标为年份 x（2015 ≤ x ≤ 2020），纵坐标为人口数量y（单位：万人）。
第五题：已知集合 U = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}，集合A = {x | 2x + 1 ≠ 0}，集合 B = {x | -x^2 + 4x ≠ 0}，求集合 A ∪ B 的解集。
第六题：某公司计划购买一批电脑，设公司购买的电脑总价为 x 元（单位：万元），购买数量为 N 台。
电脑的单价为 4000 元/台。
已知公司预算为 100 万元，且购买数量 N 为整数。
求购买数量 N 的取值范围，使得购买电脑的总价 x 不超过预算。
题目描述如上，请同学们认真思考，通过合理的数学计算和推理，逐题解答。
希望这份限时练习题能够为同学们的数学学习提供一定的帮助。
如果遇到任何难题，可以向老师或同学请教，共同进步。
加油！（文章共计193字）。
高三数学限时练习(9)教师版
江苏省丹阳高级中学 2012-2013 高三数学限时练习（ 9）一、填空题（每题 5 分，共 60 分）1、已知会合 A x | x 3| 1， Bx x 25x 4 0 ，则 A B{4}．2、若 sin() 1, 则 cos(71) 的值为1231233、设 p :| 4x3 | 1; q : ( xa)( x a 1) 0，若p 是 q的充足不用要条件， 则实数 a的取[0,1]值范围是 _______________ 。
2z 24、已知复数z 11i ，z21 i,那么z 1=_________i5、已知 |a |=2 ，|b |=3， a 和 b 的夹角为 45°，若向量 (λa + b )⊥ (a +λb )，则实数 λ的值为．11 8566 、设函数f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，且对随意x R 都有 f ( x)f ( x 4 )，当x ( 2,0 )时， f ( x)2x，则 f (2012)f (2013) ＝．127 、 设 a n 是 正 项 数 列 ， 其 前 n 项 和 S n 满 足 ： 4S n (a n 1 )a(n, 3则a n =． 2n18、已知命题 p ：f ( x)1 a 3x 在 x ,0 上存心义，命题 q ：函数 y lg(ax2 x a)的 定 义 域 为 R ． 如 果 p 和 q 有 且 仅 有 一 个 正 确 ， 则 a 的 取 值 范围． (, 1] (1, )y29、设函数 ysin x(0 x) 的图象为曲线 C ，动点 A(x, y) 在曲线 CAB上，过 A 且平行于 x 轴的直线交曲线 C 于点 B( A 、 B 能够重合），设线Ox2段 AB 的长为 f ( x) ，则函数f (x) 单一递加区间． [ , ]210、已知存在实数 a ，知足对随意的实数 b ，直线 yxb 都不是曲线 y 3的切线，x 3ax 则实数 a 的取值范围是1a311、 系数一元二次方程 x 2ax 2b 2 0 有两个相异 根， 此中一根在区 (0,1) 内，另一根在区(1,2) 内，b4 的取 范 是 1 , 3 .a12 22x 1(x 0)12、已知函数 f ( x)1) ，把函数 g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的f ( x 1( x 0)序摆列成一个数列， 数列的前n 的和 S n , S 10 ＝ ． 45二、解答13 、 已 知 a ， b ， c 分是ABC 的 三 个 内 角 A ， B ， C 的， 若 向 量2b c,cosC , na,cos A , m ∥ n ，（1）求角 A 的大小；（2）求函数 y3 sin B sin C的 域6解：（ 1） 因 向量 m (2b c, cosC) ， n (a, cos A) ，且 m ∥ n ，因此（2b c ）cos A= a cos C , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分由正弦定理，得 2sin B cos A sin C cos A sin AcosC sin( A C ) ,⋯⋯⋯⋯ 4 分即 2sin B cos Asin B ，因此 cos A1 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分2因 A0, ，因此 A； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分3sin(2（ 2）因y3 sin B B) 3 sin B cos B 2 sin( B) ,⋯12366分而B5 ，因此函数 y 2sin( B) 的 域 1,2 , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分666614、已知数列a n 中， a 1 1, 且点 P a n , a n 1 n N 在直x y 1 0上。
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(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁U A)∪B＝()A.(2，3]B.(－∞，1]∪(2，＋∞)C.[1，2)D.(－∞，0)∪[1，＋∞)解析因为∁U A＝{x|x＞2，或x＜0} ，B＝{y|1≤y≤3}，所以(∁U A)∪B＝(－∞，0)∪[1，＋∞).答案 D2.已知i是虚数单位，若a＋b i＝i2＋i－i2－i(a，b∈R)，则a＋b的值是()A.0B.－2 5iC.－25 D.25解析因为a＋b i＝i2＋i－i2－i＝2i＋1－2i＋14＋1＝25，所以a＝25，b＝0，a＋b＝25，故选D.答案 D3.已知条件p：a＜0，条件q：a2＞a，则綈p是綈q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析因为綈p：a≥0，綈q：0≤a≤1，所以綈p是綈q必要不充分条件，故选B.答案 B4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△P AC在该正方体各个面上的射影可能是()A.①④B.②③C.②④D.①②解析 由所给的正方体知，△P AC 在该正方体上下面上的射影是①，△P AC 在该正方体左右面上的射影是④，△P AC 在该正方体前后面上的射影是④，故①，④符合题意.故选A. 答案 A5.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，若过右焦点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个不同交点，则此双曲线实半轴长的取值范围是( ) A.(2，4) B.(2，4] C.[2，4)D.(2，＋∞) 解析 椭圆x 225＋y 29＝1的半焦距c ＝4.要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即b a ＜tan 60°＝3，即b ＜3a ，∴c 2－a 2＜3a 2.整理得c ＜2a .∴a ＞2，又a ＜c ＝4，则此双曲线实半轴长的取值范围是(2，4).故选A. 答案 A6.若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列.已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝()A.10B.20C.30D.40解析 ∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，∴11x n ＋1－11x n＝x n ＋1－x n ＝d ，∴{x n }是等差数列.又∵x 1＋x 2＋…＋x 20＝200＝20（x 1＋x 20）2，∴x 1＋x 20＝20，又∵x 1＋x 20＝x 5＋x 16，∴x 5＋x 16＝20.故选B. 答案 B7.已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，3x ＋4y ≥4，y ≥0，则x 2＋y 2＋2x 的最小值是()A.25B.2－1C.2425D.1解析满足约束条件件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，3x ＋4y ≥4，y ≥0的平面区域如图中阴影部分所示：∵x 2＋y 2＋2x ＝(x ＋1)2＋y 2－1，表示(－1，0)点到可行域内任一点距离的平方再减1，由图可知当x ＝0，y ＝1时，x 2＋y 2＋2x 取最小值1，故选D. 答案 D8.已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中0＜φ＜2π，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，则φ等于( )A.π6B.5π6C.7π6D.11π6解析 若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于函数的最大值或最小值，即2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋π6，k ∈Z 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，即sin φ＜0，0＜φ＜2π，当k ＝1时，此时φ＝7π6，满足条件，故选C. 答案 C9.程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是()A.2B.－12C.－3D.13 解析 由程序框图知：S ＝2，i ＝1；S ＝1＋21－2＝－3，i ＝2；S ＝1－31＋3＝－12，i ＝3；S ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝13，i ＝4；S ＝1＋131－13＝2，i ＝5…，可知S 出现周期为4，当i ＝2 017＝4×504＋1时，结束循环，输出S ，即输出的S ＝2.故选A. 答案 A10.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1，则S n 的取值范围是( ) A.(0，1)B.(0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 已知a n ＋S n ＝1，当n ＝1时，得a 1＝12；当n ≥2时，a n －1＋S n －1＝1，两式相减，得a n －a n －1＋a n ＝0，2a n ＝a n －1，由题意知，a n －1≠0，∴a n a n －1＝12(n ≥2)，∴数列{a n }是首项为12，公比为12的等比数列，∴S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴S n ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.答案 C11.过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B ，交其准线于点C ，若BC →＝－2BF →，|AF |＝3，则抛物线的方程为( )A.y 2＝12xB.y 2＝9xC.y 2＝6xD.y 2＝3x解析 分别过A ，B 点作准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1， 过A 作AD ⊥x 轴.∴|BF |＝|BB 1|，|AA 1|＝|AF |.又∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴∠CBB 1＝60°，∴∠AFD ＝∠CFO ＝60°，又|AF |＝3，∴|FD |＝32，∴|AA 1|＝p ＋32＝3， ∴p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x . 答案 D12.如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝3，PB ＝2，PC ＝2，设M 是底面三角形ABC 内一动点，定义：f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别表示三棱锥M －P AB ，M －PBC ，M －P AC 的体积，若f (M )＝(1，x ，4y )，且1x ＋ay ≥8恒成立，则正实数a 的最小值是()A.2－ 2B.22－12C.9－424D.6－4 2解析 ∵P A 、PB 、PC 两两垂直，且P A ＝3，PB ＝2，PC ＝2. ∴V P －ABC ＝13×12×3×2×2＝2＝1＋x ＋4y ，即x ＋4y ＝1， ∵1x ＋ay ≥8恒成立，∴1x ＋a y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y (x ＋4y )＝1＋ax y ＋4yx ＋4a ≥1＋4a ＋4a ≥8，解得a ≥9－424，∴正实数a 的最小值为9－424，故选C. 答案 C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)13.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x (1－x )6的展开式中x 的系数是________. 解析 (1－x )6的展开式中的第r ＋1项T r ＋1＝C r 6·16－r ·(－x )r ＝(－1)r ·C r 6·x r 2，若求x 的系数，只需要找到(1－x )6展开式中的x 2的系数和常数项分别去乘2x ＋x 中2x 的系数和x 的系数即可.令r ＝4得x 2的系数是15，令r ＝0的常数项为1.所以x 的系数为2×15＋1＝31. 答案 3114.已知等比数列{a n }为递增数列，a 1＝－2，且3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1，则公比q ＝________.解析 因为等比数列{a n }为递增数列，且a 1＝－2＜0，所以公比0＜q ＜1，又因为3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1，两边同除a n 可得3(1＋q 2)＝10q ，即3q 2－10q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝13，而0＜q ＜1，所以q ＝13. 答案 1315.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (－4，0)，B (0，4)，C (1，0)，动点D 满足|CD→|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值为________.解析 由题意可得OA→＝(－4，0)，OB →＝(0，4).又|CD→|＝1，所以点D 在以点C (1，0)为圆心，1为半径的圆上，故可设D (1＋cos θ，sin θ)，故|OA→＋OB →＋OD →|2＝26－6cos θ＋8sin θ＝26＋10sin(θ－φ)，其中tan φ＝34，故|OA →＋OB →＋OD →|2∈[16，36]，故|OA →＋OB →＋OD →|∈[4，6]，即|OA →＋OB →＋OD →|的最大值为6. 答案 616.已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为23的正方形.若P A ＝26，则△OAB 的面积为________.解析 根据球的内接四棱锥的性质求解. 如图所示，线段PC 就是球的直径， 设球的半径为R ， 因为AB ＝BC ＝23， 所以AC ＝2 6. 又P A ＝26，所以PC 2＝P A 2＋AC 2＝24＋24＝48， 所以PC ＝43， 所以OA ＝OB ＝23， 所以△AOB 是正三角形，所以S＝12×23×23×32＝3 3.答案33。