利用空间向量证明线线垂直

利用空间向量证明线线垂直

1.如图，在四棱锥S−ABCD中，SA⊥底面ABCD，四边形ABCD

是边长为1的正方形，且SA=1，点M是SD的中点．

求证：SC⊥AM

2.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，

AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，

且AD=1，CE=2，M为棱A1B1的中点．

求证：C1M⊥B1D

3.如图，正三棱柱ABC−A1B1C1中，底面边长为√2．设侧棱长为1，

求证：AB1⊥BC1

4.如图，在四棱锥中，底面，，，

，，点E为棱PC的中点．证明：

5.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，

点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，M为棱A1B1的中点．

求证：C1M⊥B1D

6.如图所示，直三棱柱ABC−A′B′C′的侧棱长为4，AB⊥BC，且AB=BC=4，点D，

E分别是棱AB，BC上的动点，且AD=BE．

求证：无论D在何处，总有B′C⊥C′D

答案和解析 1.解：证明：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AS 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则S(0,0，1)，C(1,1，0)，A(0,0，0)，M(0,12,12)，∴SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−1)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,1

2

)， ∴SC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12−12=0，∴SC ⊥AM ． 2.解：根据题意，以C 为原点，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立

空间直角坐标系，如图所示，

则C(0,0，0)，A(2,0，0)，B(0,2，0)，C 1(0,0，3)，A 1(2,0，3)，B 1(0,2，3)，D(2,0，1)，

E(0,0，2)，M(1,1，3)，证明：依题意，C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,−2)，

∴C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2−2+0=0，∴C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即C 1M ⊥B 1D ；

3.证明：(1)AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．因为BB 1⊥平面ABC ，

所以BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC

⃗⃗⃗⃗⃗ =0．又△ABC 为正三角形， 所以=π−=π−π3=2π3．因为AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +

BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2

+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos

⃗⃗⃗⃗⃗ >+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−1+1=0，所以AB 1⊥BC 1． 4.证明：(1)依题意，以点A 为原点建立空间直角坐

标系(如图)，

可得B(1,0，0)，C(2,2，0)，D(0,2，0)，P(0,0，2)．

由E 为棱PC 的中点，得E(1,1，1)

向量BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，1)，DC

⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)，

BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．故BE ⊥DC ．

5.解：以C 为原点，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐

标系，如图所示，

则C(0,0，0)，A(2,0，0)，B(0,2，0)，C 1(0,0，3)，

A 1(2,0，3)，

B 1(0,2，3)，D(2,0，1)，E(0,0，2)，M(1,1，3)，

证明：依题意，C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,−2)，

∴C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2−2+0=0，∴C 1M ⊥B 1D ；

6.解：根据题意，以B 为原点，以BC ，BA ，BB′所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则B(0,0,0),A(0,4,0),A′(0,4,4),C(4,0,0),C′(4,0,4),B′(0,0,4)．

证明：设D(0,a,0)(0≤a ≤4)，则E(4−a,0,0)，

得B′C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0,−4)，C′D

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,a,−4)， 故B′C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·C′D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，有B′C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥C′D

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即总有B′C ⊥C′D.