(整理)常用空间曲面

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(整理)空间曲线的主法线曲面的几何性质

(整理)空间曲线的主法线曲面的几何性质

空间曲线的主法线曲面的几何性质目录第一章绪论 (1)第二章空间曲线的主法线曲面的曲率 (1)2.1 第一基本形式 (1)2.2 第二基本形式 (2)2.3 法曲率 (2)2.4 主曲率 (2)2.5 高斯曲率 (3)2.6 平均曲率 (3)第三章空间曲线的主法线曲面上的特殊曲线族 (3)3.1 渐近线 (3)3.1.1 空间曲线的主法线曲面的渐近线方程 (3)3.1.2 空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件 (4)3.2 曲率线 (5)3.2.1空间曲线的主法线曲面的曲率线方程 (5)3.2.2空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件 (5)3.3 测地线 (6)3.3.1空间曲线的主法线曲面的测地线方程 (6)3.3.2空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是半测地网的充要条件 (7)3.3.3空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是测地网的充要条件 (7)第四章主法线曲面是常曲率或极小曲面的充要条件 (8)4.1 空间曲线的主法线曲面是常曲率曲面的充要条件 (8)4.2 空间曲线的主法线曲面是极小曲面的充要条件 (8)第五章特殊曲线的主法线曲面的性质 (9)5.1 曲率和挠率均为常数的特殊曲线的主法线曲面的几何性质 (9)5.2正螺面的几何性质 (10)致谢: (11)参考文献: (12)附录:............................................................................................ 错误!未定义书签。

第一章 绪论本文主要是对空间曲线的主法线曲面的几何性质进行系统化、全面化、深入化的研究。

通过类比一般空间曲线、曲面的研究方法,将向量、微积分的思想融入到空间曲线的主法线曲面几何性质的研究中,从而更全面的分析和了解空间曲线的主法线曲面的几何性质。

因此,对于主法线曲面的几何性质的研究首先就是要了解其度量性质如:曲面上曲线的长度、面积等等这些内蕴性质。

常用曲线和曲面的方程及其性质

常用曲线和曲面的方程及其性质

常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。

它们的方程可以通过几何性质描述它们的性质。

本文将介绍一些常用的曲线和曲面方程及其性质。

一、曲线方程1. 直线方程直线是一种最基本的曲线,它的方程可以写成一般式和斜截式两种形式。

一般式:$Ax+By+C=0$;斜截式:$y=kx+b$,其中$k$是直线的斜率,$b$是截距。

直线的斜率表示的是直线倾斜的程度,斜率越大表示直线越陡峭。

斜率等于零表示直线水平,而无限大则表示直线垂直于$x$轴。

2. 圆的方程圆是一种具有球面对称性质的曲线,它的方程可以写成两种形式:标准式和一般式。

标准式:$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$,其中$(a,b)$为圆心坐标,$r$为半径长度。

一般式:$x^2+y^2+Ax+By+C=0$,其中$A,B,C$是常数。

圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质;而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。

3. 椭圆的方程椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线,它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。

标准式:$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$,其中$(a,b)$为椭圆中心坐标,$a$是横轴半径,$b$是纵轴半径。

一般式:$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$,其中$A,B,C,D,E$是常数。

椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。

当$a=b$时,椭圆变成了圆。

4. 抛物线的方程抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线,它的方程可以写成两种形式:标准式和一般式。

标准式:$y=ax^2$,其中$a$是抛物线的参数。

一般式:$Ax^2+By+C=0$,其中$A,B,C$是常数。

抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向,当$a>0$时开口向上,$a<0$时则开口向下。

5. 双曲线的方程双曲线是一种形状类似于抛物线的曲线,但它却有两个分支。

§8-6几种特殊的空间曲面解析

§8-6几种特殊的空间曲面解析
R (1 1) 2 (0 3) 2 ( 2 2) 2 5
所求方程为: ( x 1) 2 y 2 ( z 2) 2 25
二、柱面
(1) 定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线C 叫柱面的准线 ,动直线 L 叫 柱面的母线.
F ( x, y ) 0
点M ( x, y, z )的坐标满足方程 F ( x, y) 0. 曲面的方程为: F ( x, y) 0.
从柱面方程(的特征:二元方程)看柱面的特征:
只含 x , y 而缺z 的方程 F ( x , y ) 0 ,在 空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱
C . (其他类推) 面,其准线为 xoy面上曲线
实 例
y z 2 1 椭圆柱面 2 b c x2 y2 2 1 双曲柱面 2 a b
2
2
母线 // x 轴
母线 // z 轴 母线// y 轴
z 2 px
2
抛物柱面
x
y z 2 1 2 b c
z y
2
2
z
椭圆柱面
y
x
x
双曲柱面Biblioteka (2) 方程 设母线// z轴, 准线是 xoy面上的曲线 F ( x, y) 0.
设M ( x, y, z )是柱面上的任一点 .
z
M(x,y,z)
作MN xoy面于N
则N ( x, y )是曲线 F ( x, y ) 0上点 .
o x
N
y
F ( x, y ) 0.
方程F ( x, y ) 0中不含 z.
观察柱面的形 成过程:
2、柱面

大学数学_7_4 曲面与曲线

大学数学_7_4 曲面与曲线
z
O
x 图7-34
y
例 6 一动点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以角速度 绕 z 轴旋转时,同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方 向上升,( , v都是常数) , 则点 M 的几何轨迹叫做螺旋线 (7-35) ,试建立其参数方程. z 解 取时间 t 为参数,设t 0 时动 点在点 A( a,0,0) 处,在 t 时刻,动点在 点 M ( x, y , z ) 处.过点 M 作 xOy 面的 ' 垂线,则垂足为 M ( x, y,0) .由于 O My AOM ' t , MM ' vt , M’ x 故 x a cos AOM ' a cos t , 图7-35 y a sin AOM ' a sin t , z MM ' vt , x a cos t , 所以螺旋线的参数方程为: y a sin t , z vt.
求曲线: 2 2 z x y 2 2 z x y 在 xOy 面上的投影方程. 例7
从曲线 的方程中消去 z,得 x2 y 2 x2 y 2 , 化简后,得 ( x 2 y 2 )( x 2 y 2 1) 0, 因为 x 2 y 2 0 ,所在曲线 关于 xOy 面的投影柱面方程为 x2 y2 1 (是圆柱面) ,在 xOy 面的投影方程为 1 2 2 x y 2 z 0 (是 xOy 面上的圆). 解
Hale Waihona Puke y2 z2 例 2 将 yOz 面上的椭圆 2 2 1分别绕 z 轴和 y 轴 a b 旋转,求所形成的旋转曲面方程. 解 绕 z 轴旋转而形成的旋转曲面(图 7-28)方程 为 x2 y 2 z 2 z 1 , a2 b2 b x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 a a b a 绕 y 轴旋转而形成的旋转曲面方程为 y y 2 x2 z 2 a 1, 2 2 x a b 图7-28 x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 b a b

空间曲面及其方程

空间曲面及其方程

旋转面的方程 z
f ( y, z ) 0 曲线 C 绕 z轴 x 0
C
o
y
旋转面的方程 z
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
.
绕 z轴
C
o
y
x
旋转面的方程 z
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
旋转一周得旋转曲面 S
绕 z轴
顶点在原点的圆锥面称为正圆锥面。
试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程.
z
L
解: 在yoz面上直线L 的方程为
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为

M (0, y, z )
y
两边平方
x
z2 a2 ( x2 y2 )
正圆锥面:
x2 y2 z2
x2 y2 z2 2 2 2 a b c
过球面一点,且与过这点的半径垂直的平面 成为切平面,该点称为切点。
例 求过点 (1,2,5) 且与3个坐标面相切的球面方 程。
解: 显然整个球面在同一卦限, 又由于(1,2,5)在第一卦限,故该球面在 第一卦限。
设球心为 ( u, v , w ),则球面到3个坐标面的距离 为 u, v , w .由条件知 uvw
2
2
y2 x2 z2 绕 y 轴的曲面方程为: 2 1 2 b c x y z 2 1 绕 z 轴的曲面方程为: 2 b c
2 2 2
3 锥面 以直线通过一定点, 一条固定曲线移动所
z
产生的曲面成为锥面。
动直线 定点 固定线 母线 顶点
x 顶点 0 y
准线
准线
准线为圆周的锥面称为圆锥面。

空间曲线与空间曲面学习总结

空间曲线与空间曲面学习总结

空间曲线与空间曲面的学习总结王德才201121102340电子商务1133班一、曲面方程1 曲面方程的概念及一般方程如果曲面S与三元方程F(x, y, z)=0 (1)有下述关系:(1)曲面S上任一点的坐标都满足方程(1);(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1),那末,方程(1)就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程(1)的图形。

2. 平面方程的几种形式(1)一般形式:Ax+By+Cy+D=0,其中{A,B,C}是平面法向,。

(2)点法式方程:(3)截距式方程:(4)三点式方程:已知平面过空间三点,,,则平面方程为3.几种特殊的曲面方程(1)球面方程:空间中与一定点的距离为定值的动点的轨迹。

定点称为球心,定距离称为半径。

球面也可以看成是由半圆绕着它的直径旋转一周所形成的曲面。

,0≤θ≤2π,0≤φ≤π(2)旋转曲面方程定义:曲线C绕定直线旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面。

其中C——母线轴,与垂直的任一平面与旋转曲面交成一圆——维圆,过的任一平面与旋转曲面交成一圆——经线(子午线)注:旋转曲面的母线不唯一,它的任一经线均是其母线。

设平面曲线z轴旋转,则旋转曲线方程为角坐标系中,只含两个变量的二次方程一般总表示一个二次柱面或者两个平面。

若一动直线沿已知曲线C移动,且始终与某一定直线平行,则这样形成的曲面称为柱面。

曲线C称为准线。

动直线L称为母线。

F(x,y)=0 表示母线平行于z轴的柱面。

F(y,z)=0 表示母线平行于x轴的柱面。

F(x,z)=0 表示母线平行于y轴的柱面。

母线平行与坐标轴的柱面方程为不完全的三元方程,如F(y, z)=0就表示母线平行与x轴,准线为.二空间曲线的方程1、普通方程(1)定义:设L为空间曲线,空间中建立了坐标系之后,若L上任一点M(x,y,z)的坐标都满足方程组,而且凡坐标满足方程组的点都在曲线L上,L的普通方程,又称一般方程,记作(图2.8)注: 1°在空间坐标系下,任一曲线的方程定是两方程联立而成的方程组; 2°用方程组去表达曲线,其几何意义是将曲线看成了二曲面的交线(如图2.8);3°空间曲线的方程不唯一(但它们同解),如均表示z轴(2)用曲线的射影柱面的方程来表达曲线以曲线L为准线,母线平行于坐标轴的柱面称为L的射影柱面,若记L的三射影柱面的方程为 (x,y)=0,则便是L的用射影柱面表达的方程若已知曲线只需从L的方程中,分别消去x,y,z便三射影柱面的方程(y,z)=0, (z,x)=0,例:设有曲线试求L的射影柱面,并用射影柱面方程表达曲线.解:从L的方程中分别消去x,y,z得到z²-4y=4z,x²+z²=4z,x²+4z=0它们即为L的射影柱面,而便均是L的用射影柱面表达的方程注:利用方程(2)即可作出L的草图2、参数方程:(1)定义:设L为一空间曲线,r=r(t),t∈A为一元矢函数,在空间坐标系下,∈L,∈A,(t),∈A,必有P∈L,使r(t),则称r=r(t),t∈A为曲线L的矢量式参数方程,记作L=r=r(t),t∈A,t ——参数若点r(t)={x(t),y(t),z(t)}∈A为L的坐标式参数方程注:空间曲线的参数方程中,仅有一个参数,而曲面的参数方程中,有两个参数,所以习惯上,称曲线是单参数的,而曲面是双参数的。

常见曲面方程总结(一)

常见曲面方程总结(一)

常见曲面方程总结(一)前言•引言:曲面是数学中的重要概念,广泛应用于计算机图形学、工程设计等领域。

在形状设计和模拟中,掌握常见曲面方程是非常重要的基础知识。

本文将介绍几种常见的曲面方程,并分析其特性和应用场景。

正文一、球面方程•定义:球面是由到定点距离相等于固定半径的点所组成的曲面。

它的方程一般可以表示为:(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r²,其中(a,b,c)为球心坐标,r为半径。

•特性:球面是空间中对称性最高的曲面,具有旋转对称性、轴对称性和平面对称性。

•应用:球面方程广泛应用于计算机图形学中的三维建模,如球体、球形光源等。

二、圆柱面方程•定义:圆柱面是围绕某条直线旋转而形成的曲面。

它的方程可以表示为:(x-a)² + (y-b)² = r²,其中(a,b)为圆心坐标,r为半径。

•特性:圆柱面在与旋转轴垂直的方向上是无限延伸的,而在旋转轴方向上是有限长度的。

•应用:圆柱面方程常用于描述圆柱体、柱形物体等实际物体的几何特征。

三、锥面方程•定义:锥面是由定点到平面上所有点的连线所组成的曲面。

它的方程可以表示为:(x-a)² + (y-b)² = z²,其中(a,b)为锥顶坐标。

•特性:锥面在平面上形成对称的圆锥形状,而在垂直于平面的方向上是无限延伸的。

•应用:锥面方程常用于描述圆锥体、棱锥体等实际物体的几何特征。

四、椭球面方程•定义:椭球面是由到两个定点的距离之和等于常数的点所组成的曲面。

它的方程可以表示为:(x-a)²/r₁² + (y-b)²/r₂² + (z-c)²/r₃² = 1,其中(a,b,c)为椭球中心坐标,r₁、r₂、r₃为轴长。

•特性:椭球面可以是旋转椭球、扁椭球或球体等不同形状,取决于轴长的比值。

空间曲面的曲率与法线认识空间曲面的曲率与法线的计算方法

空间曲面的曲率与法线认识空间曲面的曲率与法线的计算方法

空间曲面的曲率与法线认识空间曲面的曲率与法线的计算方法空间曲面是指三维空间中的曲面,它在我们日常生活和科学研究中都有着重要的应用。

在研究空间曲面时,了解曲率与法线是必不可少的。

曲率描述了曲面的弯曲程度,而法线则是曲面上某一点的垂直方向。

本文将介绍空间曲面的曲率与法线的基本概念,并探讨了曲率与法线的计算方法。

一、曲率的概念曲率是描述曲面弯曲程度的一个重要量值。

通常情况下,曲率有两个主要的方向,分别是主曲率方向和平均曲率方向。

主曲率方向在曲面上的某一点上表征了曲面在该点上弯曲最大和最小的方向,主曲率分别是这两个方向上的曲率值。

平均曲率方向在曲面上的某一点上表征了曲率的平均变化率。

二、法线的概念曲面上的法线是垂直于曲面某一点切平面的向量。

当我们观察曲面的时候,曲面上的每一点都有唯一对应的法线。

法线的方向垂直于曲面,因此法线是曲面上点的切平面的垂直方向。

三、曲率的计算方法计算曲面的曲率可以使用多种方法,这里我们介绍两种常用的方法:通过法线曲率半径和高斯曲率。

1. 法线曲率半径:法线曲率半径描述了曲面在某一点上的弯曲程度,其定义为曲率圆上某一点到曲面上对应点的法线的长度。

法线曲率半径的倒数称为法线曲率。

假设我们要计算曲面上的某一点P的法线曲率半径,可以先计算曲率圆的曲率半径R。

计算方法是选择曲面上的两条曲线,分别通过点P,并且曲线的切线方向与曲面的主曲率方向平行。

然后,计算这两条曲线上点P到曲面的垂直距离d,法线曲率半径R就等于d的倒数。

2. 高斯曲率:高斯曲率是描述曲面在某一点上弯曲性质的一个重要指标。

高斯曲率是曲面的两个主曲率的乘积。

如果高斯曲率为正,则曲面局部呈凸曲面,如果高斯曲率为负,则曲面局部呈凹曲面。

高斯曲率的计算可以通过计算曲面的一阶偏导数和二阶偏导数得到。

选择曲面上的一对正交曲线,分别在某一点P处通过曲面的主曲率方向,并将其表示为u和v两个参数。

然后计算这两个参数对应的一阶偏导数和二阶偏导数,最后通过一个公式计算得到高斯曲率。

空间解析几何-第3章-常见的曲面2

空间解析几何-第3章-常见的曲面2
把方程的右边都化成1,则左边有两项正,一项负的, 就表示单叶双曲面. 而左边有两项负,一项正的,就表示 双叶双曲面.
把方程的左边都化成两项正,一项负,则右边是1的就 表示单叶双曲面,而右边是-1的,就表示双叶双曲面.
2°绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”,并且保证对坐 标轴的标注要符合右手系的原则.
1、椭圆抛物面
x2 a2
, 椭圆
z h.
O
结论:单叶双曲面可看作由一
个椭圆的变动(大小位置都改
x
y
变)而产生,该椭圆在变动中,
保持所在平面与xOy 面平行,
且两对顶点分别在两定双曲线
上滑动.
用平行于坐标面的平面截割
z
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh: a2
z2 c2
1
h2 b2

y h.
①当 h b时
截线为双曲线
o
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh: a2
z2 c2
0,
y h.
③当 h =b 时
截线为直线
(0 , b , 0)
单叶双曲面: x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
用y = h 截曲面
①当 h b 时
②当 h b 时
③当 h =b 时
x2 Cyh: a2
x2 Czh: a2
y2 b2
h2 c2
1,
z h.
结论:双叶双曲面可看作由 一个椭圆的变动(大小位置 都改变)而产生,该椭圆在 变动中,保持所在平面与 x
xOy 面平行,且两轴的端点
分别在两定双曲线上滑动.
z
o
y
(2)用 y t截曲面

常用空间曲面

常用空间曲面

第六节 常用空间曲面一、曲面方程的概念在第四节中,我们已经知道了,在空间中一个平面可以用一个三元一次方程来表示;反过来,一个三元一次方程的图形是一个平面。

在一般情况下,如果曲面S 与三元方程(,,)0F x y z = (1)有下述关系:(1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程(1);(2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程(1) (1)就叫做曲面S 的方程,而那么方程曲面S 就叫做方程(1)的图形(图6-21)。

象在平面解析几何中把平面曲线当作动点轨迹一样,在空间解析几何中,我们常把曲面看作一个动点按照某个规律运动而成的轨迹。

运用这个观点,我们来建立球面方程。

例1 若球心在点0000(,,)M x y z ,半径为R ,求该球面方程。

解:设(,,)M x y z 是球面上任一点,那么0M M R =又 0M M =故 2222000()()()x x y y z z R -+-+-= (2)这就是球面上的点的坐标所满足的方程,而不在球面上的点的坐标都不满足该方程,所以该方程就是以0000(,,)M x y z 为球心,R 为半径的球面方程。

如果球心在原点,那么0000x y z ===,从而球面方程为 2222x y z R ++=将(2)式展开得2222220000002220x y z x x y y z z x y z R ++---+++-=所以,球面方程具有下列两个特点:(1) 它是,,x y z 之间的二次方程,且方程中缺,,xy yz zx 项;(2) 222,,x y z 的系数相同且不为零。

现在我们要问,满足上述两个特点的方程,它的图形是否为球面呢?例2 方程22240x y z x y ++-+=表示怎样的曲面? 解:配方,得222117(2)()24x y z -+++=所以所给方程为球面,球心为1(2,,0)2-,半径为2。

例3 方程2222230xy z x y z ++-+-+=是否表示球面?x ,)0y z =解:配方,得22213(1)(1)()24x y z -+++-=-显然没有这样的实数,,x y z 能使上式成立,因而原方程不代表任何图形。

空间双曲面的分类

空间双曲面的分类

空间双曲面是三维空间中的曲面,其形状类似于双曲线。

根据曲面的性质和几何特征,空间双曲面可以分为以下三类:
单叶双曲面(One-Sheet Hyperboloid):
单叶双曲面是最简单的空间双曲面,它可以由一个双曲线绕着其主轴旋转形成。

单叶双曲面的方程通常为:
(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) - (z^2 / c^2) = 1
其中a,b,c是正实数,决定了双曲面的尺寸和形状。

双叶双曲面(Two-Sheet Hyperboloid):
双叶双曲面是由两个双曲线绕着它们的公共中心轴旋转形成的。

双叶双曲面的方程通常为:(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) - (z^2 / c^2) = -1
其中a,b,c是正实数,也决定了双曲面的尺寸和形状。

锥面(Hyperbolic Cone):
锥面是由一条直线绕着它的一个端点旋转形成的。

锥面在该端点上有一个顶点,所有的生成直线都通过该顶点。

锥面的方程通常为:
(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) - (z^2 / c^2) = 0
其中a,b,c是正实数,也决定了锥面的尺寸和形状。

空间双曲面在数学和几何学中有广泛的应用,也是许多物理和工程学问题的重要模型。

它们具有独特的形状和性质,常常用于描述各种复杂的曲面和曲线。

空间曲面的曲率

空间曲面的曲率

空间曲面的曲率引言:曲率是几何学中的一个重要概念,它描述了曲线或曲面的弯曲程度。

空间曲面的曲率是研究曲面在某一点的弯曲程度的关键指标。

本文将介绍空间曲面的曲率的基本概念、计算方法以及曲率对曲面性质的影响。

一、基本概念1. 曲率的定义:空间曲面的曲率描述了曲面在某一点上的弯曲情况。

对于平面曲线而言,曲率只有一个方向,两个方向上的曲率都是一样的;而对于空间曲面而言,曲率具有两个方向,分别是主曲率和平均曲率。

2. 主曲率:主曲率是空间曲面上某一点的弯曲程度最大和最小的两个曲率,分别记作k1和k2。

主曲率可以用曲面上的曲率切线来表示,其中曲率切线在每个方向上的倾斜角度与主曲率成正比。

3. 平均曲率:平均曲率是主曲率的算术平均值,记作H=(k1+k2)/2。

平均曲率可以用曲面上的球面表示,该球面的半径等于1/平均曲率。

平均曲率描述了曲面上整体的弯曲情况。

二、计算方法计算空间曲面的曲率需要用到微积分的工具。

下面介绍一些常用的计算方法。

1. 方程法:对于给定的曲面,我们可以写出其方程。

然后通过微积分对方程进行求导,从而得到曲率切向量。

通过计算曲率切向量的长度,我们可以得到主曲率和平均曲率。

2. 平行搬移法:平行搬移法是一种几何计算曲率的方法。

通过在曲面上平行搬移一段长度为Δs的曲线段,可以得到该曲线段的弯曲程度。

然后通过取Δs 趋近于0的极限,可以得到曲率切向量和曲率。

3. 流线法:流线法是一种流体力学中使用的计算曲率的方法。

将曲面看作流体流动的路径,在曲面上选取一条流线。

通过计算流线的弯曲程度,可以得到对应点的曲率。

三、曲率对曲面性质的影响曲率是描述曲面形状的重要性质,不同曲率的曲面具有不同的性质。

1. 平面曲率为0的曲面:当曲面的主曲率都为0时,该曲面在该点附近呈现平坦的性质,类似于一个平面。

2. 主曲率为正的曲面:当曲面的主曲率都为正时,该曲面在该点附近呈现凸起的性质,类似于一个凸出的球面。

3. 主曲率为负的曲面:当曲面的主曲率都为负时,该曲面在该点附近呈现凹陷的性质,类似于一个凹入的碗形。

在空间直角坐标系中方程表示的曲面

在空间直角坐标系中方程表示的曲面

在空间直角坐标系中方程表示的曲面1.引言1.1 概述引言是文章的开端,用于引导读者了解文章的主题和目的。

在空间直角坐标系中,曲面可以通过方程进行表示。

本文旨在介绍空间直角坐标系的概念,并详细探讨方程表示的曲面。

首先,我们将对空间直角坐标系进行简要概述,包括坐标轴的定义和坐标的表示方式。

然后,我们将介绍方程表示的曲面,探讨曲面方程的一般形式以及常见的曲面类型。

通过深入研究曲面方程,我们将揭示曲面的几何特征和性质。

最后,我们将对本文进行总结,并展望未来对方程表示曲面的进一步研究方向。

通过阅读本文,读者将对空间直角坐标系中方程表示的曲面有更加全面和深入的理解。

1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包含以下信息:本文结构主要分为引言、正文和结论三个部分。

在引言部分,我们将对文章的内容进行一个概述,介绍本文所讨论的主题以及涉及的关键概念。

同时,我们还将介绍本文的结构,包括各个章节的内容和目的。

在正文部分,我们将首先对空间直角坐标系进行简要的介绍,包括其定义、特点和常见应用领域。

然后,我们将着重探讨方程表示的曲面,这是本文的核心内容。

我们将介绍曲面的定义以及不同类型的方程所表示的曲面形状,包括平面、球面、圆柱面等。

对每种类型的曲面,我们将详细讨论其方程的特点以及相关的几何性质。

在结论部分,我们将对本文进行总结,回顾文章的主要内容和观点。

同时,我们还将展望未来研究的方向,提出一些可能的拓展和进一步研究的问题。

通过以上的文章结构,读者可以清晰地了解到本文的整体框架和内容安排,方便他们在阅读时更好地理解和掌握文章的主题和要点。

1.3 目的本文的目的主要有以下几点:1. 探讨空间直角坐标系中方程表示的曲面的基本概念和特点,通过对不同类型曲面的方程表达式的分析,深入理解曲面的几何特征和性质。

2. 分析不同类型曲面的方程表示对于解题和问题解决的重要性,并通过实例和实际应用来说明方程表示的曲面在数学、物理和工程等领域的重要性和应用价值。

空间中的曲面和曲线及二次曲面

空间中的曲面和曲线及二次曲面
33

第六章 二次型与二次曲面
§6.3 二次曲面
例3. z = xy. 0 1/2 0 解: xy = (x, y, z) 1/2 0 0 0 0 0
x y , z
1 2 1 2 0 先求得正交矩阵Q = 1 2 1 2 0 , 1 0 0 0 1/2 0 1/2 0 0 使QT 1/2 0 0 Q = 0 1/2 0 , 0 0 0 0 0 0
x = acost y = asint z = vt z
(tR
aO x
y
O x
a y
15
a

第六章 二次型与二次曲面
§6.2 空间中的曲面和曲线
2. 维维安尼曲线 x = a (1+cost) 2 x 2 + y 2 + z2 = a 2 y = a sint (xa/2)2 + y2 = a2/4 2 t z = asin 2
第六章
§6.2
二次型与二次曲面
空间中的曲面和曲线
§6.3
二次曲面
2011. 12. 22
1
第六章 二次型与二次曲面
§6.2 空间中的曲面和曲线
§6.2 空间中的曲面和曲线 曲面的一般方程: F(x, y, z) = 0 曲线的一般方程: F(x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0 曲线的参数方程: x = x(t) y = y(t) z = z(t)
b
y
x 2 z2 y = 0, 2 + 2 = 1 a c x2 y2 z = 0, 2 + 2 = 1 a b
当a, b, c中有两个相等时——旋转面 当a = b = c = R时——半径为R的球面
23

高数 空间曲面讲解

高数 空间曲面讲解
x2 + y2 + z2 = R 2
将上述方程展开得
x2
?
y2
?
z2
?
2x0 x
?
2 y0 y ?
2z0z ?
x2 0
?
y2 0
?
z2 0
?
R2
即 x 2 ? y2 ? z2 ? 2ax ? 2by ? 2cz ? d ? 0
其中 a
?
? x0
,b ?
? y0
,c ?
? z0
,d
?
x2 0
?
y2 0
下面考虑母线为平面曲线的情形 ,把曲线所的 平面取作坐标面 ,把旋转轴取作坐标轴 .
设 yoz 面上的一条曲线 L ,其方程为
F (y, z) = 0 x =0
L绕轴z旋转一周就得到一个旋转面 (如图6.9).
求该旋转面的方程 .
z
设点P(x, y, z)为旋转 面上任一点 ,将该点旋转
P1(0,y1,z1) P(x, y, z)
建立球心在点 P 0(x0 , y0 , z0 ) , 半径R为的球面方程 . 空间中任一点 P( x, y, z) 在球面上 ,当且仅当
| P0 P | = R , 所以该球面方程为 : ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0)2 ? (z ? z0 )2 ? R 2
若球心在坐标原点 ,则球面方程为 :
所表示的曲面称为 单叶双曲面 .
o
y
它关于三个坐标面对称,关于 x 三个坐标轴和坐标原点都对称 .
称为 准线 .(图 6.1)
z
下面建立柱面方程 .
设有一柱面 , 选取 坐标系,使该柱面的母 线平行于 z轴, 点P(x, y, z)

曲面与空间曲面的总结

曲面与空间曲面的总结

曲面与空间曲线的总结椭圆柱面;12222=+yx 122=-y x曲面与空间曲线一.曲面及其方程:1.曲面方程的一般概念: 定义:若曲面上的点的坐标(x,y,z)都满足方程F(x,y,z)=0,而满足此方程的点都在曲面上,则称此方程为 该曲面的方程,而曲面称为此方程的‘图形’。

例1:求与A(2,3,1)和B(4,5,6)等距离的点的运动规迹。

解: 设M(x,y,z)为动点的坐标,动点应满足的条件是 |AM|=|BM|由距离公式得此即所求点的规迹方程,为一平面方程。

2.坐标面及与坐标面平行的平面方程: ①坐标平面xOy 的方程:z=0②过点(a,b,c)且与xOy 面平行的平面方程:z=c③坐标面yOz 、坐标面zOx 以及过(a,b,c)点且分别与之平行的平面方程:x=0; y=0; x=a; y=b 3. 球面方程:①球面的标准方程:以M0(x0,y0,z0)为球心,R 为半径 的球面方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2 ②球面的一般方程:x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0球面方程的特点:平方项系数相同;没有交叉项。

例2:求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面 解:整理得: (x+1)2+(y-1)2+z2=22故此为一个球心在(-1,1,0),半径为2的球。

4.母线平行于坐标轴的柱面方程:一般我们将动直线l 沿定曲线c 平行移动所形成的轨迹 称为柱面。

其中直线l 称为柱面的母线,定曲线c 称为柱面 的准线。

本章中我们只研究母线平行于坐标轴的柱面方程。

此时有以下结论:若柱面的母线平行于z 轴,准线c 是xOy 面上的一条曲线,其方程为F(x,y)=0,则该柱面的方程为F(x,y)=0; 同理,G(x,z)=0,H(y,z)=0在空间中分别表示母线平行于y 轴和x 轴的柱面。

分析:母线平行于坐标轴的柱面的特点为:平行于某轴,则在其方程中无此坐标项。

几种常见的曲面及其方程(精)

几种常见的曲面及其方程(精)
方程 F(x, y) 0 表示柱面,
母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3. 0表示母线平行 z 轴的柱面.
又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
2. 二次曲面
三元二次方程
• 椭球面
• 抛物面:
( p, q 同号)
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
x2 a2

y2 b2
1
• 椭圆锥面:
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
1. 椭球面
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围:
ay
ay
x
x2 z2 a2 (x 0, z 0) y0
作业
P32 3, 4,5,6, 7, 8, 9,10,11,12
y z l2
x z l3
x
y y
3、旋转曲面
一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴.
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
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第六节 常用空间曲面一、曲面方程的概念在第四节中,我们已经知道了,在空间中一个平面可以用一个三元一次方程来表示;反过来,一个三元一次方程的图形是一个平面。

在一般情况下,如果曲面S 与三元方程(,,)0F x y z = (1)有下述关系:(1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程(1); (2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程(1) (1)就叫做曲面S 的方程,而那么方程曲面S 就叫做方程(1)的图形(图6-21)。

象在平面解析几何中把平面曲线当作动点轨迹一样,在空间解析几何中,我们常把曲面看作一个动点按照某个规律运动而成的轨迹。

运用这个观点,我们来建立球面方程。

例1 若球心在点0000(,,)M x y z ,半径为R ,求该球面方程。

解:设(,,)M x y z 是球面上任一点,那么0M M R =又 0M M =故 2222000()()()x x y y z z R -+-+-= (2)这就是球面上的点的坐标所满足的方程,而不在球面上的点的坐标都不满足该方程,所以该方程就是以0000(,,)M x y z 为球心,R 为半径的球面方程。

如果球心在原点,那么0000x y z ===,从而球面方程为 2222x y z R ++=将(2)式展开得2222220000002220x y z x x y y z z x y z R ++---+++-=所以,球面方程具有下列两个特点:(1) 它是,,x y z 之间的二次方程,且方程中缺,,xy yz zx 项;(2) 222,,x y z 的系数相同且不为零。

现在我们要问,满足上述两个特点的方程,它的图形是否为球面呢?例2 方程22240x y z x y ++-+=表示怎样的曲面? 解:配方,得222117(2)()24x y z -+++=所以所给方程为球面,球心为1(2,,0)2-,半径为2。

例3 方程2222230x y z x y z ++-+-+=是否表示球面? x ,)0y z =解:配方,得22213(1)(1)()24x y z -+++-=-显然没有这样的实数,,x y z 能使上式成立,因而原方程不代表任何图形。

以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐标间的方程来表示,反之,变量,,x y z 间的方程通常表示一个曲面。

因此在空间解析几何中关于曲面的研究,有下面两个基本问题。

(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,建立曲面方程。

(2) 已知坐标,,x y z 间的一个方程时,研究这方程所表示的曲面形状。

例1是从已知点的轨迹建立曲面方程的例子,例2、例3是由已知,,x y z 间方程研究它所表示的曲面的形状的例子。

下面,作为基本问题(1)的例子,我们讨论旋转曲面;作为基本问题(2)的例子,我们讨论柱面和二次曲面。

二、旋转曲面一条平面曲线绕该平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面。

旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。

设在y z O 坐标面上有一条已知曲线C ,它的方程为(,)0f y z =,曲线C 绕z 轴旋转一周,得到一个以z 轴为轴的旋转曲面(图6-22)设111(0,,)M y z 为曲线C 上一点,则有11(,)0f y z =(3)当曲线C 绕z 轴旋转时,点1M 随C 绕到另一点(,,)M x y z ,这时,1z z =且点M 到z 轴的距离为1d y ==将1z z =,1y =3)式,便得到()0f z = (4)这就是所求的旋转曲面的方程。

由此可知,在曲线C 的方程(,)0f y z =中将y 改成C 绕z 轴旋转所成的旋转曲面的方程。

同理,曲线C 绕y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为(,0f y = (5)例1 求y z O 坐标面上的抛物线22(0)y pz p =>绕z 轴旋转而成的旋转曲面的方程。

解:绕z 轴旋转所成的旋转曲面叫旋转抛物面(图6-23),它的方程为 222x y pz +=例5 将x z O 坐标面上的双曲线x22221x z a c -=分别绕z 轴和x 轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程。

解:绕z 轴旋转所生成的旋转曲面叫做旋转单叶双曲面,它的方程为222221x y z a c +-=绕x 轴旋转所生成的旋转曲面叫做旋转双叶双曲面,它的方程为222221x y z a c +-=例6 直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周,所得旋转曲面叫做圆锥面。

两直线的交点叫做圆锥面的顶点,两直线的夹角α(02πα<<)叫做圆锥面的半顶角。

试建立顶点在原点O ,旋转轴为z 轴,半顶角为α的圆锥面的方程(图6-24)。

解:在y z O 坐标面上直线L 的方程为cot z y α=,因为旋转轴为z 轴,所以只要将方程中的y改成,便得到这圆锥面的方程z α=或 2222()z k x y =+ 其中cot k α=。

三、柱面设直线L 平行于某定直线并沿定曲线C 移动,则直线L 形成的轨迹叫做柱面。

定曲线C 叫做柱面的准线,直线L叫做柱面的母线。

我们只讨论准线在坐标面上,而母线垂直于该坐标面的柱面。

这种柱面方程有什么特点呢?下面举例说明。

问方程222x y R +=表示什么曲面?在x y O 坐标面上,方程222x y R +=表示圆心在原点,半径为R 的圆。

在空间直角坐标系中,方程缺z ,这意味着不论空间中的点的竖坐标z 怎样,凡是横坐标x 和纵坐标y 满足这方程的点都在方程所表示的曲面S 上;反之,凡是点的横坐标x 和纵坐标y 不满足这图6-24图6-25个方程的,不论竖坐标z 怎样,这些点都不在曲面S 上,即点(,,)P x y z 在曲面S 上的充分必要条件是点(,,0)P x y '在圆222x y R +=上。

而(,,)P x y z 是在过点(,,0)P x y '且平行于z 轴的直线上,这就是说方程222x y R +=表示:由通过x y O 坐标面上的圆222x y R +=上的每一点且平行于z 轴(即垂直于x y O 坐标面)的直线所组成,即方程222x y R +=表示柱面,该柱面称为圆柱面(图6-25)。

一般地,如果方程中缺z ,即(,)0f x y =,类似于上面的讨论,可知它表示准线在x yO 坐标面上,母线平行于z 轴的柱面。

而方程(,)0,(,)0g y z h x z ==分别表示母线平行于x 轴和y 轴的柱面方程。

例如方程2y x =,方程中缺z ,所以它表示母线平行于z 轴的柱面,它的准线是x y O 面上的抛物线2y x =,该柱面叫做抛物柱面(图6-26)。

又例如,方程0x z -=表示母线平行于y 轴的柱面,其准线是x z O 面上的直线0x z -=,所以它是过y轴的平面(图6-27)。

四、二次曲面最简单的曲面是平面,它可以用一个三元一次方程来表示,所以平面也叫做一次曲面。

与平面解析几何中规定的二次曲线类似,我们把三元二次方程(,,)0F x y z =所表示的曲面称为二次曲面。

选取适当的空间直角坐标系,可得它们的标准方程,下面就二次曲面的标准方程来讨论二次曲面的形状。

(1) 椭圆锥面22222x y z a b +=此曲面,当0t =时得一以垂直于z 轴的平面z t =截点(0,0,0);当0t ≠时,得平面z t =上的椭圆22221()()x y at bt +=当t 变化时,上式表示一族长短轴比例不变的椭圆,当t从大到小变为0时,这族曲线从大到小并缩为一点。

综合上述讨论,可得椭圆锥面(1)的形状(如图6-28)平面z t =与曲面(,,)0F x y z =的交线成为截痕。

通过综合截痕的变化来了解曲面形状的方法称为截痕法。

本节前面讨论过旋转曲面,我们还可以利用伸缩变形的方法,由已知的旋转曲面来得出二次曲面的大致形状。

先介绍伸缩变形法。

曲面(,,)0F x y z =沿y 轴方向伸缩λ倍,曲面(,,)0F x y z =的点111(,,)M x y z 变为点222(,,)M x y z ',其中1212121,,x x y y z zλ===,因为点M 在曲面图6-27图6-28(,,)0F x y z =上,所以有111(,,)0F x y z =,故2221(,,)0F x y z λ=。

例如将圆锥面2222x y z a +=的图形沿y 轴方向伸缩b a 倍,则圆锥面2222x y z a +=即变成椭圆锥面22222x y z a b +=。

(2)(3) 椭球面2222221x y z a b c ++=把x y O 面上的椭圆22221x y a b +=绕y 轴旋转,所得的曲面方程为222221x z y a b ++=,该曲面称为旋转椭球面。

再把旋转椭球面沿z 轴方向伸缩ca 便得椭球面(2)(图6-29)。

(3)双曲面单叶双曲面 2222221x y z a b c +-=2222221x y z --=把x z O 面上的双曲线22221x z a c -=绕z 轴旋转,得旋转单叶双曲面222221x y z a c +-=,把此旋转曲面沿y 轴方向伸缩ba 倍,即得单叶双曲面(如图6-30)。

类似的方法可得双叶双曲面(如图6-31)图6-30x(4)抛物面椭圆抛物面 2222x y z a b +=双曲抛物面(马鞍面)2222x y z a b -=把x z O 面上的的抛物线22x z a =绕z 轴旋转,得旋转抛物面222x y z a +=,把此旋转曲面沿y 轴方向伸缩ba ,即得椭圆抛物面(如图6-32)。

我们用截痕法来讨论双曲抛物面的形状(如图6-33)。

用平面x t =截此曲面,得截痕l 为平面x t =上的抛物线2222y t z b a -=-此抛物线开口向下,其顶点坐标为22,0,t x t y z a ===。

当t 变化时,l 的形状不变,只是位置平移,而l 的顶点的轨迹L 为平面0y =上的抛物线22x z a =。

还有三种二次曲面是以三种二次曲线为准线的柱面2222222221,1,x y x y y ax a b a b +=-==依次为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面。

柱面的形状在前面已经讨论过,这里不再冗述。

习题6-61.建立以点(1,3,2)M --为球心,且过原点的球面方程。

2.将x y O 面上的抛物线24y x =分别绕x 轴,y 轴旋转,分别求出旋转后所得的曲面方程。

3.一动点与点(1,0,0)M 的距离为与平面4x =的距离的一半,试求其所生成的轨迹,并确定它为何种二次曲面。

4.说明下列二次曲面的名称,若它们是旋转曲面,那么,是怎样生成的?(1)2221499x y z ++=;(2)22214y x z -+=;(3)2221x y z --= (4)222z x y =+;(5)22z x y =+;(6)226z x y =--。

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