高一数学《幂函数》公开课优秀教案(表格式,经典、完美)

高一数学《幂函数》公开课教案

★课程标准：通过实例，了解幂函数的概念；结合函数12

1

3

2

,,,,-=====x y x y x y x

y x y 的图象，

了解它们的变化情况.

一、教学目标：

1.了解幂函数概念,会用描点法画幂函数图象，通过具体实例研究幂函数的图象和性质，并会简单应用.

2.通过对幂函数的学习，使学生进一步熟练掌握研究函数的一般思想方法.

3.通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神，并在研究函数变化的过程中体会事物的量变、质变规律，感受数学的对称美、和谐美.

二、教学重点：通过五个具体的幂函数认识概念，研究性质，体会图象的变化规律． 三、教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质. 四、教学用具：实物投影仪等多媒体 五、教学过程： （一）创设情境

①如果某人购买了每千克1 元的蔬菜w 千克，那么他需要付的钱数p （元）关于购 买的蔬菜量w （千克）的函数解析式为_____________.

②如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积S 关于a 的函数解析式为___________. ③如果正方体的边长为a ，那么正方体的体积V 关于a 的函数解析式为___________. ④如果正方形场地面积为S ，那么正方形的边长a 关于s 的函数解析式为_________. ⑤如果某人t s 内骑车行进了1 km ，那么他骑车的速度v 关于t 的函数解析式为_________. 问题1.观察这些函数解析式，它们有什么共同的结构特征吗？

【设计意图】从特殊到一般，将实际问题转化为数学问题，经历一次发现之旅. （二）引入新知

幂函数的定义：一般地，函数α

x y =叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数. 幂函数是一种特殊的基本初等函数. 问题2.请同学们举出一些具体的幂函数.

从引例和同学们刚才举的例子中，我们可以发现，幂指数α可以是正数、负数，也可以是0.

（三）探究建构

2

1

21

2.(22)23m

y m m x n m n -=+-+-若是幂函数，求、.

问题3.研究函数一般包括哪些方面？你准备用什么方法来研究？

【设计意图】提出通过研究函数的图象，从而归纳出函数的奇偶性、单调性等性质. 画图：按照从特殊到一般的原则，我们先来研究五个具有代表意义的幂函数.

.,,,,12

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2-=====x y x y x y x y x y

请同学们用描点法在平面直角坐标系中画出上述函数的图象，在作图之前请大家思考，如何画图更加准确快捷.

【设计意图】图象是函数的灵魂，能否准确的画出图象是研究性质的前提，也是本节的重点. 问题4：根据图象的特征，填写下面的表格

y x =

2y x =

3y x =

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y x =

1y x -=

定义域 R R R [0，+∞） {}|0x x ≠

值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {}0|≠y y

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 R 上增

（-∞，0）减 R 上增

[0，+∞）增

（-∞，0）减 （0，+∞）增

（0，+∞）减

定点

（1，1）

【设计意图】由形到数，发现5个幂函数的性质.

进一步，从这些函数的图象我们可以看到，幂函数随着幂指数的取值不同，它们的性质和图象也存在着差异，请同学们根据图象和表格，寻找这5个幂函数的共性？ 探究1：图象在4个象限的分布情况及原因？

探究2：幂函数在第一象限的单调性如何？

从特殊到一般：0>α时，幂函数α

x

y =在),0(+∞上是增函数

0<α时，幂函数αx y =在),0(+∞上是减函数

0=α时，幂函数αx y =在),0(+∞上是常数函数

探究3：在第一象限，4个增函数的图象异同之处？

【设计意图】问题是思维的“启发剂”，由于幂函数的性质相对比较多，很难一个个找出来，于是设计这几个探究引导学生思考和解决.

αx y =性质总结如下：

(1)幂函数过点(1, 1),在(0,+∞)都有定义; (2)当α >0,幂函数过(0,0),且在(0,+∞)单调递增; (3)当α <0，在(0,+∞)单调递减，以两坐标轴为渐近线;

(4)α 为奇数的幂函数是奇函数； α 为偶数的幂函数是偶函数 ； (5)y=(x-m)n 的图像是由y=x n 向左(m<0)或右(m>0)平移得到； 【设计意图】创新总结方式，让学生耳目一新，便于记忆.

（四）目标检测

1.比较下列各组数的大小： ①6.06

.03.0______5

.0 ②126.0-__________127.0-

课堂练习：

1．设)1,0(∈x ，幂函数α

x y =的图象在x y =的上方，则α的取值范围是__________.

2．已知点)2,2(在幂函数)(x f 的图象上，点)4

1

,2(-在幂函数)(x g 的图象上，问当x 分别取何值时，满足下列条件：（1）)()(x g x f > （2）)()(x g x f = （3）)()(x g x f < 3．证明：函数3

x y =在R 上单调递增. 六、课堂总结、作业布置；

()

.,,,.;

.;.;

.;

a b c d y x y x y x y x a b c d A a b c d B d b c a C d c b a D b c d a ====>>>>>>>>>>>>2幂函数,在第一象限的图像如图,则、、、关系为2

332=y x x =3.讨论的定义域、值域与奇偶性，画出图象；()()()2

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22

4.()()0+132;

m

m m m f x x m N a a --=∈∞+<-幂函数是偶函数,且在，递减，解1

1-

-

3

3

.(1)(32)

a a +<-5解不等式