布朗运动的计算.ppt
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2
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相关函数
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RBge
(s,t)=e? (t +s)e2?
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股票价格服从几何布朗运动的证明 谢惠扬
mBge (t )=E[exp(Bt? ,? 2 )]
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1
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所以当 n→∞时，
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的极限过程即为布朗桥过程。
一般的，设 X1,X2, …Xn, …独立同分布， F(x) 为分布函数，则随机变量 F(Xi)~U(0,1)。记
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RBge (s,t)=Ee? s+? W(s)e?t +? W(t) =Ee? (s+t )+? (W (s)+W(t ))
对任意自然数 n ? 2, 不是一般性，取 n个不同
的时间指标 0=t0 <t1<L <tn <? , 定义增量
? =B -B , ? ,? 2 ? ,? 2
k
tk
tk -1
k=1,L ,n
则
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(Bt?1 ,? 2 ,L ,Bt?n ,? 2 )=(?1,L ,?n ) ? M n?n
均值函数
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相关函数 RB? ,? 2 (s,t)=? 2st+? 2 min (s,t)
性质 (? ,? 2 ) 布朗运动是一个高斯过程
带漂移的布朗运动的民用航空发动机实时性能可 靠性预测，航空动力学报 2009，Vol.1,No.12. 任淑红
证明 (? ,? 2 ) 布朗运动是一个高斯过程
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所以 ?? n ?s?,0 ? s ? 1? 的极限过程是一正态过程。 可以证明 ?? n ?s?,? n ?t ?? 的联合分布趋于二维正
态分布。
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§2. 与布朗运动有关的随机过程
过程1：d维布朗运动
若 W1(t),W 2 (t ),L ,W n (t) 是 d SBM，则称
W =(W1 (t),L ,W d (t))
是 d 维标准布朗运动 .
个相互独立的
过程2：(? ,? 2 ) 布朗运动
Bt? ,? 2 =? t+? W(t), ? t ? 0
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即Fn(s)以概率1一致地收敛于 s.
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称Fn(s)为经验分布函数。
显然Nn(s)~B(n,s) ，由强大数定理有
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由格利汶科 -康泰利定理可以得到更强的结果，
C a? b (s,t)=E[(Bsa ? b -ma? b (s))(Bta? b -ma? b (t))
= min{s,t}-st
t ? [0,1]
补充 ：布朗桥在统计中的应用
布朗桥在研究经验分布函数中起着非常重要的 作用。设X1,X2, …Xn, …独立同分布， Xn~U(0,1) ， 对0<s<1, 记
过程3：布朗桥
Btbr =W(t)-tW(1) t ? [0,1]
则称 Bbr ={Btbr , t ? [0,1]} 为从0到0的布朗桥 均值函数 mBbr (t)=E[W(t)-tW(1)]=0, ? t ? [0,1] 相关函数 RBbr (s,t)=min{s,t}-st, ? s,t ? [0,1]
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0
过程5：反射布朗运动
Btre = W(t) t ? 0
均值函数
mBre (t)=E[ W(t) ]=
2t , ? t ? 0
?
mBre (t)=E[ W(t) ]
性质，从 0到0的布朗桥是高斯过程
例 设常数 a,b ? R, 定义从a到b的布朗桥：
Bta? b =a +(b-a )t +Btbr
t ? [0,1]
证明 ： (1) B0a ? b =a , B1a ? b =b
(2) 从a到b的布朗桥是高斯过程 ,且
ma? b (t)=a +(b-a )t t ? [0,1]
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类似可讨论 n sup Fn ?X ?? F ?X ? 的极限分
布。
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过程:4：几何布朗运动（指数布朗运动）
Btge =exp(Bt? ,? 2 )
t ? 0, ? ? R, ? 2 >0
均值函数
mBge
(t )=E[exp( Bt?
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Hale Waihona Puke Baidu
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=e Ee ? (s+t ) ? (W (s)+W (t))
=e Ee ? (s +t ) ? [W (s )+(W (t )-W (s))+W (s)]
=e Ee E ? (s +t ) 2? W (s ) ? [W (t )-W (s )]
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股票价格服从几何布朗运动的证明 谢惠扬
mBge (t )=E[exp(Bt? ,? 2 )]
?= e +? ?t +? x -?
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所以当 n→∞时，
?? n (s),0 ? s ? 1?
的极限过程即为布朗桥过程。
一般的，设 X1,X2, …Xn, …独立同分布， F(x) 为分布函数，则随机变量 F(Xi)~U(0,1)。记
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RBge (s,t)=Ee? s+? W(s)e?t +? W(t) =Ee? (s+t )+? (W (s)+W(t ))
对任意自然数 n ? 2, 不是一般性，取 n个不同
的时间指标 0=t0 <t1<L <tn <? , 定义增量
? =B -B , ? ,? 2 ? ,? 2
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则
?k ~N (? (tk -tk-1),? 2 (tk -tk-1))
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均值函数
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相关函数 RB? ,? 2 (s,t)=? 2st+? 2 min (s,t)
性质 (? ,? 2 ) 布朗运动是一个高斯过程
带漂移的布朗运动的民用航空发动机实时性能可 靠性预测，航空动力学报 2009，Vol.1,No.12. 任淑红
证明 (? ,? 2 ) 布朗运动是一个高斯过程
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§2. 与布朗运动有关的随机过程
过程1：d维布朗运动
若 W1(t),W 2 (t ),L ,W n (t) 是 d SBM，则称
W =(W1 (t),L ,W d (t))
是 d 维标准布朗运动 .
个相互独立的
过程2：(? ,? 2 ) 布朗运动
Bt? ,? 2 =? t+? W(t), ? t ? 0
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C a? b (s,t)=E[(Bsa ? b -ma? b (s))(Bta? b -ma? b (t))
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补充 ：布朗桥在统计中的应用
布朗桥在研究经验分布函数中起着非常重要的 作用。设X1,X2, …Xn, …独立同分布， Xn~U(0,1) ， 对0<s<1, 记
过程3：布朗桥
Btbr =W(t)-tW(1) t ? [0,1]
则称 Bbr ={Btbr , t ? [0,1]} 为从0到0的布朗桥 均值函数 mBbr (t)=E[W(t)-tW(1)]=0, ? t ? [0,1] 相关函数 RBbr (s,t)=min{s,t}-st, ? s,t ? [0,1]
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0
过程5：反射布朗运动
Btre = W(t) t ? 0
均值函数
mBre (t)=E[ W(t) ]=
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?
mBre (t)=E[ W(t) ]
性质，从 0到0的布朗桥是高斯过程
例 设常数 a,b ? R, 定义从a到b的布朗桥：
Bta? b =a +(b-a )t +Btbr
t ? [0,1]
证明 ： (1) B0a ? b =a , B1a ? b =b
(2) 从a到b的布朗桥是高斯过程 ,且
ma? b (t)=a +(b-a )t t ? [0,1]
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类似可讨论 n sup Fn ?X ?? F ?X ? 的极限分
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过程:4：几何布朗运动（指数布朗运动）
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