三角形及其有关概念(学生版)

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相似三角形的性质及判定知识点总结+经典题型总结(学生版)学习资料

中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求相似三角形了解相似三角形掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型会运用相似三角形相关的知识解决有关问题知识点睛、相似的有关概念1 •相似形具有相同形状的图形叫做相似形•相似形仅是形状相同，大小不一定相同•相似图形之间的互相变换称为相似变换.2 •相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等.3. 相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例.、相似三角形的概念1. 相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形.如图，△ ABC与厶ABC相似，记作△ ABCABC，符号s读作相似于”2•相似比相似三角形对应边的比叫做相似比.全等三角形的相似比是1.全等三角形”一定是相似形” 相似形”不一定是全等形”、相似三角形的性质1.相似三角形的对应角相等如图，△ ABC与厶ABC相似，则有A A , B B , C C .2 •相似三角形的对应边成比例△ ABC与厶ABC相似，则有-AB BC AC k（k为相似比）AB BC AC3•相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比.如图1,△ ABC与厶ABC相似，AM是厶ABC中BC边上的中线，AM 是厶ABC中BC边上的中线, 则有上邑匹竺k上也（k 为相似比）.AB BC AC AM如图则有2, △ ABC与厶ABC相似,AB BC AC kAB BC AC AHAH3, △ ABC 与厶ABC分线，则有2AB -BCAB BC AC如图相似,AC k1AH是△ ABC中BC边上的高线，AH是厶ABC中BC边上的高线，（k为相似比）.AD是厶ABC中BAC的角平分线，AD是厶ABC 竺（k为相似比）.AD图2中BAC的角平4. 相似三角形周长的比等于相似比.如图4, △ ABC与厶ABC相似, 则有AB BC ACkAB B C AC（k为相似比）.应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACAB BC AC AB BC A C5•相似三角形面积的比等于相似比的平方.四、相似三角形的判定1 •平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.2 •如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似•可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似.3 •如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.4. 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似.可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似.5. 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 6 •直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7 •如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似.五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有三点定形法”.1 .横向定型法AB BC欲证一一 —一，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ,三个字母A , B , C 恰为△ ABC 的顶BE BF点；分母的两条线段是 BE 和BF ,三个字母B , E , F 恰为△ BEF 的三个顶点.因此只需证 △ ABCEBF •2. 纵向定型法欲证一一匹，纵向观察，比例式左边的比 AB 和BC 中的三个字母 A , B , C 恰为△ ABC 的顶点；右边的 BC EF 比两条线段是 DE 和EF 中的三个字母 D , E , F 恰为A DEF 的三个顶点.因此只需证 △ ABC DEF .AH 是厶ABC 中BC 边上的高线,则有ABBC AC k AH （ k 为相似比） .进而可得比ABCABBCACAHABC-BC AH BC 2BC 空k 2•AH如图5, △ ABC 与厶ABC 相似，AH 是厶ABC 中BC 边上的高线,如图:S A ABCACD 1BC AH21CD AH2BCCD如图：SA ABC12BC AHAHSA BCD1BC DG DG2S A ABD S A ABD S A AED AB AD AB AD SA ACESA AEDSA ACEAE AC AE AC3. 中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形•这种方法就是等量代换法•在证明比例式时，常用到中间比.比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。

专题六三角形全等.doc(学生版)

专题六三角形全等(学生版）教学目标1、掌握全等三角形及其相关概念。

2、掌握全等三角形判定与性质。

一、知识回顾课前热身知识点1、全等三角形及其相关概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点；互相重合的角叫做对应角；互相重合的边叫做对应边．热身 1.若△ABC ≌△DEF ，此时，＝DE ，BC ＝ ∠ACB=知识点2、全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的面积相等，周长相等；（3）全等三角形的对应线段（高线、中线、角平分线）相等．热身 1、（2011年黑龙江）如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是边AC 、BC 上的点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C 的度数为（）ABCDE 第3题(1题）12ABCD第5题（3题）A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°2、已知△ABC ≌△A ´B ´C ´，且△ABC 的周长为20，AB ＝8，BC ＝5，则A ´C ´等于（） A. 5 B. 6 C. 7 D. 83、如图所示，△ABC ≌△CDA ，且AB ＝CD ，则下列结论错误的是（） A. ∠1＝∠2 B. AC ＝CA C. ∠B ＝∠D D. AC ＝BC知识点3、全等三角形的判定方法①“边、角、边”（或SAS ）定理；②“角、边、角”（或ASA ）定理；③“角、角、边”（或AAS ）定理；④“边、边、边”（或SSS ）定理；⑤ “斜边、直角边”（或HL ）定理．热身 1、下列可使两个直角三角形全等的条件是( )A.一条边对应相等B.两条直角边对应相等C.一个锐角对应相等D.两个锐角对应相等 2、对于下列各组条件，不能判定△≌△的一组是（）A.∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，AB=A ′B ′B.∠A=∠A ′，AB=A ′B ′，AC=A ′C ′C.∠A=∠A ′，AB=A ′B ′，BC=B ′C ′D.AB=A ′B ′，AC=A ′C ′，BC=B ′C ′二、例题辨析推陈出新例1、如图4，在ABC △中，AB AC =，点E ，D ，F 在边BC 上，且BAD CAD ∠=∠，BE CF =，则图中全等三角形共有（）A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对变式练习如图5，ABC △是不等边三角形，DE BC ，以D ，E 为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与ABC △全等，这样的三角形最多可以画出（）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个例2、如图6，已知AB ＝AD ，∠1＝∠2，要使△ABC ≌△ADE ，还需添加的条件是（只需填一个）．变式练习已知：如图7，点C 、D 在线段AB 上，PC=PD ．请你添加一个条件是图中存在全等三角形，并给予证明．所添条件为，你得到的一对全等三角形为．例3、 (2013湖北荆门，19，9分)如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．(1)求证：BE ＝CE ；(2)若BE 的延长线交AC 于点F ，且BF ⊥AC ，垂足为F ，如图2，∠BAC ＝45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF ≌△BCF ．AB C D EF(第19题图2) AB C D E(第19题图1) AEF C 图4B D A BC DE图5AB CDE12图6ABCDP图变式练习（2013山东菏泽，16，12分）（1）如图，在△ABC 中，AB=CB ，∠ABC=90°，D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且BE=BD ，连结AE 、DE 、DC. ①求证：△ABE ≌△CBD ；②若∠CAE=30°，求∠BDC 的度数.三、归纳总结方法在握归纳1.证三角形全等，关键是证角相等或边相等．全等三角形的判定方法有：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 和HL （HL 为直角三角形专用）．等腰三角形的三线合一性在三角形全等的证明中有较广泛的应用．归纳2.掌握与等边三角形、正方形的全等应用实践操作、探究题.图形与几何的实践、探究题，是新中考比较热点的命题方向.归纳3.考查几何时简单证明，特别是在求图形的面积时，如果是规则图形就是找到底边和高线即可，如果不是规则图形，可以通过转化思想转化成几个规则图形的面积和或是差的问题即可。

第1章考点01 等腰三角形与直角三角形(学生版) 新版初中北师大版数学常考考点各个击破讲义

考点1、等腰三角形与直角三角形知识框架⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩︒︒3045等腰三角形的判定及性质等边三角形的判定及性质直角三角形的判定及性质全等三角形的判定和性质等腰三角形的性质等腰三角形的判定等边三角形的性质与判定等腰三角形的分类讨论（边、角、高）直角三角形的性质与判定应用直角三角形全等的判定直角三角形中的特殊角（）的应用三角形中的动态问题基础知识点重难点题型，基础知识点知识点1.1等腰三角形的判定及性质1)等腰三角形的有关概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。

2)等腰三角形的性质①等腰三角形的两个底角相等。

（简写成“等边对等角”）；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

（三线合一）3)等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

（简写成“等角对等边”）等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形1．（2020·宁波市海曙区储能学校初二期末）若ABC 中刚好有2B C ∠=∠ ，则称此三角形为“可爱三角形”，并且A ∠ 称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（）．A ．45︒或 36︒B ．72或 36C ．45︒或72︒D ．36︒或72︒或45︒2．（2020·哈尔滨市第三十九中学初二月考）在ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，且AB AC CD =+，若81BAC ∠=︒，则ABC ∠的大小为______．第2题第3题3．（2020·内蒙古凉城·初二期末）如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP 1=P 1P 2=P 2P 3=…=P 13P 14=P 14A ，则∠A 的度数是．4．（2020·湖南永定·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任何一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC=CD=DE ，点D ，E 可在槽中滑动，若∠BDE=78°，则∠AOB 等于__________度．5．（2020·河北初三其他）已知等腰三角形ABC ，AB AC =，D 为射线BC 上一点，以AD 为一边作等腰三角形，且AD AE =，连接DE ，BAC DAE ∠=∠，2CD =，3BC =．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，线段CE 的长为______________．（2）如图2，当点D 在BC 延长线上时，若140∠=︒，则2∠=__________．6．（2020·广东揭阳·初一期末）如图，ABC 中，AB AC =，D 是BC 中点，下列结论中不正确的是（）． A ．B C ∠=∠ B ．AD BC ⊥C ．AD 平分BAC ∠ D ．2AB BD =7．（2020·江阴市长寿中学初二月考）如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过O点作MN∥BC，分别交AB、AC于M、N点，则△AMN的周长为___________．知识点1.2等边三角形的判定及性质1)等边三角形的有关概念等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形：三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形。

三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型(学生版+解析版)

三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。

弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。

弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。

一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。

广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。

模型1、弦图模型(1)内弦图模型：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；S正方形ABCD =4S△EAB+S正方形EFGH。

图1图2图3(2)外弦图模型：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；S正方形ABCD =4S△EAB+S正方形EFGH。

(3)内外组合型弦图模型：如图3，2S正方形EFGH =S正方形ABCD+S正方形PQMN.1(2023秋·湖北·九年级校联考开学考试)如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且a2+b2=ab+10，那么图中小正方形的面积是()A.2B.3C.4D.52(2022·安徽安庆·八年级期末)汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若∠ADE=∠AED，AD =45，则△ADE的面积为()A.24B.6C.25D.2103(2023·山西八年级期末)如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6,BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是()A.24B.52C.61D.764(2022·杭州九年级月考)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3=12，则下列关于S1、S2、S3的说法正确的是()A.S1=2B.S2=3C.S3=6D.S1+S3=85(2023·广东·九年级专题练习)公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”(如图1)中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形MNPQ，记空隙处正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2S1>S2，则下列四个判断：①S1+S2=14S四边形MNPQ②DG=2AF；③若∠EMH=30°，则S1=3S2；④若点A是线段GF的中点，则3S1=4S2，其中正确的序号是模型2. 勾股树模型6(2022·福建·八年级期末)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果正方形A、B、C、D的边长分别为3，4，1，2．则最大的正方形E的面积是．7(2022·浙江·乐清市八年级期中)如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是()A.S 甲=S 丁B.S 乙=S 丙C.S 甲-S 乙=S 丁-S 丙D.S 甲+S 乙=S 丙+S 丁8(2022·河南八年级期末)如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，⋯按照此规律继续下去，则S 9的值为()A.126B.127C.128D.1299(2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2023代勾股树中所有正方形的面积为．10(2023·浙江八年级期中)如图，以Rt △ABC 的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为S 1、S 2，Rt △ABC 的面积S 3．若S 1=4，S 2=8，则S 3的值为．11(2022春·浙江温州·九年级校考开学考试)如图1，是数学家毕达哥拉斯根据勾股定理所画的“勾股树”．如图2，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，以其三边为边分别向外作正方形，延长EC ，DB 分别交GF ，AH 于点N ，K ，连接KN 交AG 于点M ，若S 1S 2=916，则tan ∠ACB 为()A.12B.23C.34D.51212(2023·贵州遵义·统考二模)如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．在图2中，∠ACB =90°，分别以Rt △ABC 的三条边为边向外作正方形，连接BE ，DG 、BE ，交AC 于点Q ，若∠BAC =30°，BC =2，则四边形EQGD 的面积是．13(2023秋·浙江·八年级专题练习)【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．【实践操作】(1)请叙述勾股定理；(2)验证勾股定理，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的验证方法中任选一种来验证该定理：(以下图形均满足验证勾股定理所需的条件)【探索发现】(3)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有个；(4)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1、S2，直角三角形面积为S3，请判断S1、S2、S3的关系并说明理由．课后专项训练1(2022·云南九年级一模)如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：经观察可以发现：图(1)中共有3个正方形，图(2)在图(1)的基础上增加了4个正方形，图(3)在图(2)的基础上增加了8个正方形，⋯⋯，照此规律“生长”下去，图(6)应在图(5)的基础上增加的正方形的个数是()A.12B.32C.64D.1282(2022·浙江初三期中)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若图2中阴影部分的面积为2，且AB+AC=8，则BC的长为()图1图2A.42B.6C.254D.1323(2023·浙江·杭州八年级阶段练习)如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，分别以△ABC的三边为边作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI，AI交CF于点J．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，设四边形BGFJ的面积为S1，四边形CHIJ的面积为S2，若S1-S2=12，S△ABC=4，则正方形BCFG的面积为()A.16B.18C.20D.224(2023春·湖北黄冈·八年级统考期中)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则EF 的长为()A.9B.92C.32D.35(2022·四川成都·模拟预测)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角形斜边上的两顶点旋转得到图2．则图2中阴影部分面积等于()A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.最大正方形与直角三角形的面积和D.较小两个正方形重叠部分的面积6(2023春·广东潮州·九年级校考期末)我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形ABCD 的面积的大小为()A.144B.100C.49D.257(2023春·湖北武汉·八年级统考期末)大约公元222年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形ABCD ，中空的部分是小正方形EFGH ，连接EG ，BD 相交于点O ，BD 与HC 相交于点P ，若GO =GP ，则直角三角形的边CG 与BG 之比是()A.12B.25C.2-1D.3-28(2023春·江苏泰州·七年级统考期末)大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(如图1)．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC 为等边三角形，AD 、BE 、CF 围成的△DEF 也是等边三角形．已知点D 、E 、F 分别是BE 、CF 、AD 的中点，若△ABC 的面积为14，则△DEF 的面积是()A.1B.2C.3D.49(2023·河北石家庄·校考二模)如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．在图2中，∠ACB=90°，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，连接BE，DG，BE交AC于点Q．若∠BAC=30°，BC=2，则四边形EQGD的面积是()B.23C.53+3D.3A.53+3210(2023·江苏扬州·统考中考真题)我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b-a=4，c=20，则每个直角三角形的面积为．11(2022秋·四川成都·八年级校考期中)“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票(如图1)，欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以△ABC的三条边为边向外作正方形，连接EB,CM,DG,CM分别与AB,BE相交于点P,Q．若∠ABE=30°，则DGQM的值为.12(2022春·安徽合肥·八年级合肥市第四十二中学校考期中)如图①，在Rt△ACB中∠ACB=90°，分别以AC、BC、AB为边，向形外作等边三角形，所得的等边三角形的面积分别为S1、S2、S3，请解答以下问题：(1)S1、S2、S3满足的数量关系是．(2)现将△ABF向上翻折，如图②，若阴影部分的S甲=6、S乙=5、S丙=4，则S△ACB=．13(2023·湖北孝感·统考三模)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为．14(2022·山东临沂·统考二模)中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图中，小正方形ABCD的面积为1，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形A1B1C1D1(如图1)，则正方形的面积为；再把正方形A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形A2B2C2D2(如图2)，如此进行下去，得到的正方形A n B n C n D n的面积为(用含n的式子表示，n为正整数)．15(2023·浙江台州·八年级校考期中)如图1，是一个封闭的勾股水箱，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分是可盛水的正方形，且相互联通，已知∠ACB=90°，AC=6，BC=8，开始时Ⅲ刚好盛满水，而Ⅰ，Ⅱ无水．(1)如图2摆放时，Ⅰ刚好盛满水，而Ⅱ无水，则Ⅲ中有水部分的面积为；(2)如图3摆放时，水面刚好经过Ⅲ的中心O(正方形两条对角线的交点)，则Ⅱ中有水部分的面积为．16(2023·湖北黄冈·统考中考真题)如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF=a，DF=b，连接AE,BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则b2a2+a2b2=．17(2023·江苏徐州·统考二模)如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接AC，若AG平分∠CAD，且正方形EFGH的面积为2，则正方形ABCD的面积为．18(2023·陕西渭南·统考二模)魏朝时期，刘徽利用下图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理．如图，四边形ABCD、四边形BFGH和四边形AFMN都是正方形，BF交CD于E，若DE=2，CE=4，则BF的长为．19(2022·宁夏吴忠·统考一模)2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图1)，且大正方形的面积是17，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，则图2中最大的正方形的面积为31．试求图1中小正方形的面积是为．20(2023·山东济宁·统考二模)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2．(1)如图2、3、4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有个；(2)如图5所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1=∠2=∠3=∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：(结果可用含m的式子表示)①a2+b2+c2+d2=；②b与c的关系为，a与d的关系为．21(2022·湖南·八年级课时练习)如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓(粗线)的周长24，OC=3，求该飞镖状图案的面积．(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3，若S1+S2+S3=40，求S2．22(2023·广东深圳·校联考三模)中华文明源远流长，如图①是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，人们称之为赵爽弦图，被誉为中国数学界的图腾．2002年北京国际数学家大会依据赵爽弦图制作了会标，该图有4个全等的直角三角形围成几个大正方形和中间一个小正方形，巧妙的证明了勾股定理．问题发现：如图①，若直角三角形的直角边BC=3，斜边AB=5，则中间小正方形的边长CD=，连接BD，△ABD的面积为．知识迁移：如图②，P是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC，当∠BPC=90°，BP=10时，△PAB的面积为．拓展延伸：如图③，已知∠MBN=90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交射线BM，BN分别于A，C两点．(1)已知D为线段AB上一个动点，连接CD，过点B作BE⊥CD，垂足为点E；在CE上取一点F，使EF=BE；过点F作GF⊥CD交BC于点G，试判断三条线段BE，DE，GF之间的数量关系，并说明理由．(2)在(1)的条件下，若D为射线BM上一个动点，F为射线EC上一点；当AB=10，CF=2时，直接写出线段DE的长．三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。

三角形四心讲义(学生版)

三角形四心讲义(学生版)【知识展示】1、外心三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心，即外接圆圆心。

△ABC 的外心一般用字母O 表示，它具有如下性质：(1)外心到三顶点等距，即OA =OB =OC 。

(2)AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。

2、内心三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

△ABC 的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：(1)内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

(2)∠A 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点D ，则D 与顶点B 、C 、内心I 等距(即D 为△BCI 的外心)。

(3)∠BIC =90º+21∠A ，∠CIA =90º+21∠B ，∠AIB =90º+21∠C 。

3、垂心三角形三条高线所在的直线的交点叫做三角形的垂心。

△ABC 的垂心一般用字母H 表示，它具有如下的性质：(1)顶点与垂心连线必垂直对边，即AH ⊥BC ，BH ⊥AC ，CH ⊥AB 。

(2)若H 在△ABC 内，且AH 、BH 、CH 分别与对边相交于D 、E 、F ，则A 、F 、H 、E ；B 、D 、H 、F ；C 、E 、H 、D ；B 、C 、E 、F ；C 、A 、F 、D ；A 、B 、D 、E 共六组四点共圆。

(3)△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。

(4)三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距离的2倍。

4、重心三角形三条中线的交点叫三角形的重心。

△ABC 的重心一般用字母G 表示，它有如下的性质：(1)顶点与重心G 的连线必平分对边。

(2)重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

(3)ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31。

5、三角形各心间的联系①外心、垂心、内心之间具有变通性如图，对于非直角三角形ABC ，三边垂直平分线交于一点O ，则O 是△ABC的外心。

(学生版)第6讲三角形--提高班

第6讲三角形知识点1三角形初步1.三角形的定义：由3条不在同一直线上的线段，首尾顺次连接组成的封闭图形称为三角形. 如下的图形就是一个三角形.2.三角形的各组成部分：（1）边：组成三角形的三条线段就是三角形的三条边；（2）顶点：三角形任意两边的交点均为三角形的顶点；（3）通常情况下，我们用三角形的三个顶点加以一个“△”来表示一个三角形，在表示三角形时，三个字母之间并无顺序关系.如上图中，此三角形可以表示为，△ABC 或△BAC或△CCBA.（4）内角：三角形两边所夹的角，称为三角形的内角，简称角.例如上图△ABC中，∠A，∠B，∠C都是三角形的内角.3、其他概念与定理三角形内角和定理：三角形的内角之和为180°.三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.三角形中边角关系：大边对大角，等边对等角.高：顶点到对边的距离叫做三角形的一条高.三角形角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.中线：三角形顶点到对边中点的连线叫三角形的中线.中线把原来整个三角形分成两个面积相等的小三角形.4、三角形分类：(1)按角分：三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形⎧⎪⎨⎪⎩（2按边分：三角形普通三角形等腰三角形等边三角形⎧⎪⎨⎪⎩5、三角形的特性：稳定性【典例】例1（2020秋•涪城区校级期末）一个三角形的两边长为12和7，第三边长为整数，则第三边长的最大值是（）A．16B．17C．18D．19例2（2020秋•齐河县期末）如图，共有个三角形．例3（2020秋•涪城区校级期末）如图，在△ABC中，AM是△ABC的高线，AN是△ABC的角平分线，已知∠B＝50°，∠BAC＝100°，分别求出∠C和∠MAN的度数．【随堂练习】1．（2020秋•濉溪县期中）在△ABC中，AB＝8，BC＝2，并且AC为偶数，求△ABC的周长．2．（2020秋•顺平县期中）如图，已知D是△ABC边BC延长线上一点，DF交AC于点E，∠A＝35°，∠ACD＝83°．（1）求∠B的度数；（2）若∠D＝42°，求∠AFE的度数．3．（2020秋•庐阳区校级期中）如图所示，AE为△ABC的角平分线，CD为△ABC的高，若∠B＝30°，∠ACB为70°．（1）求∠CAF的度数；（2）求∠AFC的度数．4．（2020秋•全椒县期中）如图，已知CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA 的延长线于点E．（1）如果∠B＝35°，∠E＝20°，求∠BAC的度数；（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．知识点2等腰三角形等腰三角形的概念与性质1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做三角形的腰，第三边叫做三角形的底.2、等腰三角形的性质①等腰三角形的腰相等②等腰三角形的两个底角相等（简记为”等边对等角“）③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，称为”三线合一“【典例】例1（2020秋•乐亭县期末）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，DE是AB的垂直平分线，线段DE＝1cm，则BC的长度为（）A．8cm B．4cm C．6cm D．10cm例2 （2020秋•肇州县期末）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DA＝DE，DB＝BE＝EC．若∠ABC＝130°，则∠C的度数为（）A．20°B．22.5°C．25°D．30°例3 （2020秋•南关区期末）图①、图②均是三个角分别为20°，40°，120°的三角形．在图①、图②中，过三角形的一个顶点作直线把此三角形分成两个等腰三角形（图①、图②中的分割线不同）．要求画出分割线，并标出等腰三角形底角的度数．【随堂练习】1．（2020秋•长春期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．AD是BC边上的中线，点E在边AB 上，且BD＝BE．若∠BAC＝100°，则∠ADE的大小为度．2．（2020秋•丛台区期末）如图，在等腰三角形△ABC中，AC＝BC，AC边上的垂直平分线分别交AC，BC于点D和点E，若∠BAE＝45°，DE＝2，则AE的长度为（）A．2B．3C．3.5D．43．（2020秋•朝阳区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，若∠A＝30°，求∠BCD的度数．知识点3等边三角形等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形.等边三角形的性质：①三边相等②三个内角相等，都是60°③它是轴对称图形，对称轴分别是三边上的高.【典例】例1（2020秋•覃塘区期中）如图，△ABC是等边三角形，D是AC边的中点，延长BC到点E，使CE＝CD，连接DE，则下列结论错误是（）A．CE=12AB B．BD＝ED C．∠BDE＝∠DCE D．∠ADE＝120°例2（2020秋•沧州期中）三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝110°，则∠3的度数为（）A．90°B．70°C．45°D．30°例3（2020春•松江区期末）如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC上，且ED＝EC．（1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；（2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．【随堂练习】1．（2020秋•五常市期末）如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论不正确的是（）A．AD⊥BC B．EF＝FD C．BE＝BD D．AE＝AC2．（2020秋•南关区校级期末）如图，△MNP中，∠P＝60°，MN＝NP，MQ⊥PN，垂足为Q．延长MN至G，取NG＝NQ，若△MNP的周长为12，则△MGQ周长是（）A．8+2√3B．6+4√3C．8+4√3D．6+2√33．（2020秋•福州期中）如图，已知等边△ABC，点D为线段BC上一点，以线段DB为边向右侧作△DEB，使DE＝CD，若∠ADB＝α，∠BDE＝180°﹣2α，则∠DBE的度数是（）A．120°﹣αB．180°﹣2αC．2α﹣90°D．α﹣60°知识点4直角三角形直角三角形定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形.1、直角三角形的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）.性质2：在直角三角形中，两个锐角互余.性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.2．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.（3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：a2=c2﹣b2，b2= c2﹣a2及c2=a2+b2.（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.3.勾股定理的逆定理：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．【典例】例1（2020秋•萧山区期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个例2（2020秋•惠来县期末）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（）A．16B．25C．144D．169例3（2020秋•新华区校级月考）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，E为垂足，AC=12AB，图中为60°的角有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【随堂练习】1．（2020秋•松江区期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝2√2，AB＝2√7，BC＝10，CD ＝8，∠BAD＝90°，那么四边形ABCD的面积是．2．（2019秋•南岸区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）点F是AE延长线上一点，过点F作∠AFD＝27°，交AB的延长线于点D．求证：BE∥DF．知识点5全等三角形1、全等三角形及相关的概念（1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.（2）全等三角形对应元素：把两个全等的三角形重合到一起，①对应顶点：重合的顶点；②对应边：重合的边；③对应角：重合的角.（3）全等三角形的表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，如图所示△ABC≌△DEF.符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等.（4）全等三角形的书写：①字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点确定对应边，对应角，如△CAB≌FDE,则AB与DE、AC与DF、BC与EF是对应边，∠A和∠D、∠B 和∠E、∠C和∠F时对应角；②图形位置确定法：公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角；（5）对应边（角）与对边（角）的区别：对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边，两个角的关系；而对边、对角是指一个三角形的边和角的位置关系.对边是与对角相对的边，对角是与边相对的角.易错提示：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，字母顺序不能随意书写.2、全等三角形的性质性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.还具备：全等三角形的对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形的周长相等，面积也相等.易错提示：周长相等的两个三角形不一定全等，面积相等的两个三角形也不一定全等.3、一般三角形全等的判定方法①边边边（SSS）②边角边（SAS）③角边角（ASA）④角角边（AAS）4、直角三角形全等的判定方法①一般三角形全等的判定方法都可应用于判定两个直角三角形全等.②斜边、直角边定理（HL）文字描述：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.【典例】例1 （2020秋•二道区期末）如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝30°．若△ABC≌△ADE，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°例2（2020秋•梁子湖区期中）如图，点E在AB上，AC与DE相交于点F，△ABC≌△DEC，∠B＝65°．（1）求∠DCA的度数；（2）若∠A＝20°，求∠DF A的度数．例3（2020秋•洮北区期末）如图，AB＝CB，BE＝BF，∠1＝∠2，证明：△ABE≌△CBF．例4 （2020秋•铁西区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA＝2√2，点D是射线AB上一点，连接CD，在CD右侧作∠DCE＝90°，且CE＝CD，连接AE，已知AE＝1．（1）如图，当点D在线段AB上时，①求∠CAE的度数；②求CD的长；（2）当点D在线段AB的延长线上时，请直接写出∠CAE的度数和CD的长．【随堂练习】1．（2020秋•乐亭县期末）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．47°B．57°C．60°D．73°2．（2020秋•朔州月考）如图，△ACF≌△DBE，其中点A、B、C、D在同一条直线上．（1）若BE⊥AD，∠F＝63°，求∠A的大小．（2）若AD＝11cm，BC＝5cm，求AB的长．3．（2020秋•崆峒区期末）如图，在等边△ABC中，点D、E分别是边AC，AB上的点，且AE＝CD，BD交CE于点P．（1）如图①，求证：∠BPC＝120°；（2）点M是边BC的中点，连接P A，PM，如图②，若点A，P，M三点共线，求证：AP＝2PM．知识点6相似三角形1、相似三角形的概念与性质：相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.两个全等的三角形是特殊的相似三角形，它们的相似比为1：1.2、相似三角形的性质：①相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.②相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.3、相似三角形的判定①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.③如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.4、黄金分割一般地，点C 把线段AB 分成两条线段 AC 和 BC （如图），如果AC BC AB AC=，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.黄金比0.618AC AB =≈.【典例】例1 （2021•长宁区一模）如图，己知在△ABC 中，点D 、点E 是边BC 上的两点，联结AD 、AE ，且AD ＝AE ，如果△ABE ∽△CBA ，那么下列等式错误的是（）A ．AB 2＝BE •BCB ．CD •AB ＝AD •AC C ．AE 2＝CD •BED ．AB •AC ＝BE •CD例2 （2020秋•金川区期末）如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，如果△ADE ∽△ABC ，AD ：AB ＝1：4，BC ＝8cm ，那么△ADE 的周长等于（）A ．2cmB ．3cmC ．6cmD ．12cm例3（2020秋•蜀山区校级月考）如图，在△ABC ，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，△ADE ∽△ACB ，相似比为AD ：AC ＝2：3，△ABC 的角平分线AF 交DE 于点G ，交BC 于点F ，求AG 与GF 的比．例4（2020秋•双流区校级月考）如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1cm /s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm 每秒的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经过几秒，△PBQ 与△ABC 相似？（AB ＝6cm ，BC ＝8cm ）【随堂练习】1．（2020秋•二道区期末）在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6cm 变成了2cm ，则缩印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（）A ．13B ．16C ．19D ．1122．（2020秋•市中区期中）已知△ABC 的三边长分别为6，8，10，和△ABC 相似的△A ′B ′C ′的最长边长30，求△A ′B ′C ′的另两条边的长、周长及最大角的大小．3．（2020秋•荥阳市期中）已知Rt△ABC的两直角边AB，AC的长分别为6cm和8cm，动点D从点A开始沿AB边向点B运动，速度为1cm/s；动点E从点C开始沿CA边向点A运动，速度为2cm/s．若两点同时运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么何时△ADE与△ABC相似？综合运用1．（2020秋•浦北县期中）如图，在等边△ABC中，点O是BC上任意一点，OE，OF分别于两边垂直，且等边三角形的高为2，则OE+OF的值为（）A．5B．4C．3D．22．（2020春•荔湾区月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为斜边AB上的中点，则CD为（）A．10B．3C．5D．43．（2020秋•兰州期末）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请证明△ABC 为直角三角形，并求出其面积．4．（2020春•宽城区期末）如图，△ACF≌△DBE，其中点A、B、C、D在一条直线上（1）若BE⊥AD，∠F＝62°，求∠A的大小；（2）若AD＝9cm，BC＝5cm，求AB的长．5．（2020秋•文山市期末）如图是一块地，已知AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m，且CD⊥AD，求这块地的面积．6．（2020秋•陕西期中）已知：如图在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．求证：△BEC∽△BCH．7．（2020秋•利通区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是三角形内一点，连接AD，BD，CD，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）求∠ADB的度数．8．（2020春•内江期末）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．9．（2020秋•香坊区期末）已知：等边△ABC，点D为AC上一点，DF⊥BC，垂足为点F，点E为BC延长线上一点，分别连接DB、DE，AD＝CE．（1）如图1，AD≠CD，求证：BF＝EF；（2）如图2，点G为BC中点，连接DG，若AD＝CD，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有是△DFG面积二倍的三角形．10．（2020秋•东城区校级期中）如图，正方形ABCD的边长为4，E是CD中点，点P在射线AB上，过点P作线段AE的垂线段，垂足为F．（1）求证：△P AF∽△AED；（2）连接PE，若存在点P使△PEF与△AED相似，直接写出P A的长．。

全等三角形的概念和性质(基础)知识学生版

全等三角形的概念和性质（基础）【学习目标】1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素.2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.【要点梳理】要点一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点三、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC 与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.要点四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【典型例题】类型一、全等形和全等三角形的概念1、下列每组中的两个图形，是全等图形的为（）A． B．C．D．举一反三：【变式】如图，在5个条形方格图中，图中由实线围成的图形与①全等的有______________.类型二、全等三角形的对应边，对应角2、如图，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB与AC是对应边，写出其他对应边和对应角.举一反三：【变式】如图，△ABD≌△ACE，AB＝AC，写出图中的对应边和对应角..类型三、全等三角形性质3、已知：如图所示，Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°.以B为中心，将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，求∠ADB的度数.解：∵Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°，∴∠ECB＝________°.∵将Rt △EBC 绕点B 逆时针旋转90°得到△ABD ，∴△________≌△_________.∴∠ADB ＝∠________＝________°.【总结升华】根据全等三角形的性质来解题.4、如图，把△ABC 绕C 点顺时针旋转35°，得到△A B C ''，A B ''交AC 于点D ，则AB D '∠= °．举一反三：【变式】如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在B '位置，A 点落在A '位置，若AC A B ''⊥，则BAC∠的度数是____________.。

第14讲直角三角形的性质学生版

第14讲直角三角形的性质【学习目标】1、掌握直角三角形的性质3及其推论2、能利用直角三角形的性质3定理及其推论进行有关的计算和证明。

3、经历“实践（动手操作）—探索—发现—猜想—证明”的过程，培养学生的数形结合思想方法和数学建模能力，体会演绎推理的严谨性和“转化”思想解决实际问题中的应用。

【基础知识】直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半.【考点剖析】考点一：直角三角形斜边上的中线与斜边的关系。

例1．探究1 直角三角形斜边上的中线与斜边的关系。

探究1 直角三角形斜边上的中线与斜边的关系。

实验探究操作步骤：①把矩形ABCD图片的两条对角线画出来；②沿着对角线剪去图形的一半，得到一个直角三角形；③观察这个直角三角形，找出发现归纳结论。

提出猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

证明猜想已知：如图在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO是斜边AC上的中线.例2．已知直角三角形两条直角边的长分别为1cm和cm。

求斜边上中线的长。

【变式】如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图。

自动扶梯AB的倾斜角为30，大厅两层之间的距离为6米。

你能算出自动扶梯AB的长吗？【真题演练】一、选择题1.在直角三角形中,若斜边上的中线长为6,则斜边长为( )A.3B.6C.12D.无法确定2.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,CD是斜边AB上的高,若AD=3 cm,则斜边AB的长为( )图1A.3 cmB.6 cmC.9 cmD.12 cm3.如图2,在△ABC中,AH⊥BC于点H,E,D,F分别是AB,BC,AC的中点.如果ED=5 cm,那么FH的长为( )图2A.5 cmB.6 cmC.10 cmD.不能确定4.如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD的长为( )图3A.2B.3C.4D.25.如图4,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,DE垂直平分斜边AC,交AB于点D,E是垂足,连结CD.若BD=1,则AC的长是( )图4A.2B.2C.4D.46.如图5,一根竹竿AB斜靠在竖直的墙上,P是AB的中点,A'B'表示竹竿AB沿墙上下滑动过程中的某个位置,则在竹竿AB滑动过程中 ( )图5A.下滑时,OP的长增大B.上升时,OP的长减小C.无论怎样滑动,OP的长不变D.只要滑动,OP的长就变化二、填空题7.如图6,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线.若∠A=26°,则∠BDC的度数为.图68.如图7,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别是AB,AC的中点,F是AD的中点.若AB=8,则EF= .图79.如图8,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC交AC于点D.若AD=6,则CD= .图810.如图9,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在线段BC上,且∠B=30°,∠ADC=60°,BC=3,则BD的长度为.图911.如图10,在等边三角形ABC中,BC=2,D是AB的中点,过点D作DF⊥AC于点F,过点F作FE⊥BC于点E,则BE的长为.图1012.如图11,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8 cm,D是AB的中点.现将△BCD沿BA方向平移1 cm,得到△EFG,FG交AC 于点H,则GH的长等于 cm.图1113.如图12,BD⊥OA于点D,交射线OC于点P,PD=1,∠B=30°,若点P到OB的距离为1,则OP的长为.图12三、解答题14.已知:如图13,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC,DE⊥AB,垂足分别为D,E.若AE=2,求BE的长.图1315.已知:如图14,∠ABC=∠ADC=90°,O是线段AC的中点.(1)求证:OB=OD;(2)若∠ACD=30°,OB=6,求△AOD的周长.图14 16.已知:如图15,∠ABC=∠ADC=90°,E,F分别是AC,BD的中点.求证:EF⊥BD.图1517.如图16,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC边上的中线,过点C作CE∥AB,与BD的延长线交于点E.求证:∠A=∠E.(请用三种方法证明)图16。

数学-七年级-第10讲-三角形的内角和学生版

学科教育辅导讲义现有两根小棒，一根长3厘米，一根长6厘米，再配一根多长的小棒，就能围成一个三角形？有两根长度分别为5cm和8cm的小棒如果要摆成一个三角形，第三条边选用小棒的长度范围应是什么？【知识梳理】1. 三角形的主要性质：（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；（2）三角形的内角之和等于180°；（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

3．已知ABC △的三边长a ，b ，c ，化简c -a -b -c -b a +的结果是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．题型二：三角形的内外角的计算例4：如图，∠1、∠2是∠ABC 的外角，已知∠1＋∠2=260°，求∠A 的度数．例5：已知：∆ABC 中，BAC BCA a ∠=∠=，D 点在BC 的延长线上，B D ∠=∠，CAD b ∠=，求a b 、间的关系。

试一试：1. 如图，将一块含有30°角的三角板∠ABC 绕着点A 顺时针旋转90°后得到∠AB’C’，则∠CC’B’的度数为_____度．2. 如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F 的大小2a 2b -22a b +22b c -12CB AbaC DABACBC’ B’2．在，则此三角形是，中，已知︒=∠︒=∠∆5535C B ABC 三角形。

1．下列长度的三根木棒，不能构成三角形框架的是（）（A ）5cm 、7cm 、10cm ；（B ）5cm 、7cm 、13cm ；（C ）7cm 、10cm 、13cm ；（D ）5cm 、10cm 、13cm ．2．不等边三角形的最长边为9，最短边为4，则第三边长为整数的值有个．3．已知三角形两边长分别为4和9，则此三角形的周长L 的取值范围是（） A ．5<L <13 B ．4<L <9 C ．18<L <26 D ．14<L <224．在∠ABC 中，AB ＝6，AC ＝10，那么BC 边的取值范围是____，周长的取值范围是____．5．等腰三角形的三边长分别为：9,32,1++x x ，则=x __________。

直角三角形的性质C(学生版)

学科教师辅导讲义年级：科目：数学课时数：课题直角三角形的性质教学目的1．掌握直角三角形的性质定理和特殊直角三角形的性质定理；2．能运用直角三角形的有关性质解决简单的数学问题.教学内容【知识梳理】定理1：直角三角形的两个锐角互余定理2：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.【典型例题讲解】题型一：直角三角形两锐角互余【例1】在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数为；【例2】如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高．(1)写出图中与∠B互余的角；(2)图中互余的角有几对，请你一一写出来．【借题发挥】1．如图，∠B=∠C=∠AED=90°，写出图中互余的角．2．已知:如图,AD∥BC,F是AB中点,DF交CB延长线于点E,CE=CD,则图中与∠ADE相等的角有 , 与∠ADE互余角的角有 .3．已知:如图,在四边形ABCD中,M、N分别是CB、CD中点,且AM⊥BC于M,AN⊥CD于N, ∠MAN=80°,求∠B+∠D的度数是90，D、E、F分别是AB、BC、AC上的点，DE、DC、DF将△ABC分成四个全4．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=0等的三角形，△ABC的周长是1 2厘米，求由DF、CD、DE所分成的各个小三角形的周长．题型二：直角三角形斜边中线等于斜边的一半【例3】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD交AD的延长线于E,F是AB边的中点．求证：EF∥AC．【例4】如图，已知∠C =90°，∠A=38°，点D是AB的中点，CF=AD，求∠E的度数．【例5】已知：如图，△ABC中，∠B= 20°，∠C=40°，D是BC上一点，∠BAD=90°.求证：BD=2AC．【借题发挥】120，AD⊥ AC，E是CD的中点．求证：△ADE是等边三角形．1．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=02．已知：如图，在△ABC中，BD⊥ AC于点D，CE⊥AB于点E，M为BC的中点．求证：∠MED= ∠MDE．3．如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，AD⊥BC于D，E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于F．求证：BD=BF．4．如图，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，EF⊥BD，垂足为F．求证：BF=DF．AD BEFC5．如图，AB∥CD ,BC⊥CD ，AD与BC交于点E,AC =12DE．求证：∠CAD =2∠BAD．6．如图，已知AB=AC，BD⊥ CA于点D，∠ABD=45°，E是BC的中点，求∠EDC的度数．AB CED题型三：直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半【例6】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,CD是AB边上的高．写出图中线段间存在2倍关系的等式．【例7】如图，AD∥BC,AD =12BC,CE垂直平分AB，垂足为E．求证：∠1=∠2=∠3．【例8】已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AD ⊥AC．求证：BC=3BD．【借题发挥】1．已知：如图，△ABC是等边三角形，AD=12AB,，AD ⊥CD，垂足为D．求证：AD∥BC．2．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC = 120D°,AC边的垂直平分线交BC于E，垂足为D．求证：BE=2EC．3．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=120°，MN是AC的垂直平分线，垂足为M，交BC于N．如果NN =2，求BC的长．4．如图，△ABC中；AB=AC，∠BAC=120°，AD j_AC，E是CD的中点.求证：AE=BD．5．如图，Rt △ABC 中，∠C= 90°，∠A =15°,D 是AC 边上的一点，BC=12BD ．求证：点D 在AB 的垂直平分线上．6．（1）已知：如图，在△ABC 中，∠C=090，沿直线BE 将△ABC 折叠，点C 恰好落在AB 边的中点D ，求∠A 的度数．(2)已知，如图，在△ABC 中，∠A=060，CD ⊥AB 于点D ，BC= 2CD,求ADAB的值.(3)已知：如图，在Rt△ABC中，CE是斜边AB上的中线，CD是斜边AB上的高，如果AB=4，DB=1，求 B的度数．7．如图，△ABC中，CD、CE．分别是AB边上的高和中线，且∠l= ∠2= ∠3．求证：∠ACB= 90°．【随堂练习】填空题：1．Rt△ABC中，∠C=90°，∠A =30°，BD是角平分线，若CD=5，则AD=_________.2．△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，交AD于E，交AC于F，AF=3，∠FBC=20°,则∠C=____°，AE=___________．3．如图等边△ABC中，AD=CD，CE=CA，CD平分∠ECB，则∠E=______________°.4．已知△ABC中，AD⊥ BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于H，以HC为直径的圆必经过点_____和点_____．5．已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在BC上，且AD=2CD．则∠DAB=_________.选择题：1．直角三角形中有一个30°的锐角，那么它所对的边就等于 ( )A.另一条直角边的一半 B．斜边上的高C．直角的平分线 D．斜边上的中线2.AD是Rt△ABC斜边上的高，∠CAD=30°，则下列关系式成立的是（）A．AB=2ADB．CD =2ACC．BD =2ADD．AB=2AC3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°,AD⊥AB，AD=4，则下列各式中正确的是 ( )A．AB=8B．BC=16C．DC=4D．BD=104．如图Rt△ABC中，AC=BC，∠B=45°，AD是角平分线，DE⊥ AB于E，则下列各式中不成立的是 ( )A．AC+CD= ABB．CD=BEC．△ACD≌△AEDD．CD=BD5．锐角三角形ABC中，AB=AC，它的三条高AD、BE、CF相交于点H，那么该图形中全等三角形的对数为 ( )A．7 B．6C．5 D．4解答题：1．已知，如图在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥ CD于D，∠ABC=∠ACB,AD=12AB求：∠DCB的度数2．已知：在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线分别与BC、AB相交于点M、N两点．求证：BM=2AC3．已知，如图正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，AF和DE交于点P．求证：CP=CD4．如图，已知∠A =90，∠D=25°, CD∥AB，B. D.E在一条直线上，ED=2BC，求∠ABC的度数．DAEB C【课堂总结】【课后作业】一、基础巩固训练填空题：1．如图△ABC中，AB=AC，∠A：∠B：∠C=4:1:1，BD=DC．DE⊥ AB于E，则AE：EB=_______________________.2．在直角三角形中，两个锐角的平分线的夹角等于_________________度．3．已知，如图Rt△ABC中，∠C= 90°，AB的垂直平分线DM交AB于D，AC于E，∠1: ∠2=2：3，则∠A=____°.4．如图，Rt△ABC中，AC =BC，AE=BE，∠ADB=90°，∠ABD=30°，则∠EDC=________.5．等腰直角三角形斜边上的中线为lOcm，则此等腰直角三角形的面积为_____________2cm选择题：1．△ABC中，∠C=90°，AC=1，AB=2，点O是AB的中点，直线l是线段AO的垂直平分线，那么下列命题中，错误的是 ( )A．直线l不经过C点 B．点C在直线l上C．直线l与AC边相交 D．直线l与BC边相交2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=12AB ,D是AB的中点，DE ⊥BC于E，图中等于60°的角有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CD是斜边上的高，则下列结论中，正确的是 ( )A．AD=2BD B．2AD=5BDC．AD=3BD D．AD=4BD4．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，CE是斜边AB上的中线，那么下列结论中，错误的是 ( )A．∠ACD=∠BB．∠ECB=∠DCEC．∠ACD=∠ECBD．∠B = ∠A-∠ECD5．下列定理中，没有逆定理的是 ( )A．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等B．在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半C．如果两个三角形全等，那么它们的周长相等D．有两余边相等的三角形是等腰三角形解答题：1．如图，点C在线段AB的垂直平分线上，且AC⊥ BC，CD∥AB，AB=AD，E为BD的中点．求证：AE、AD三等分∠BAC．2．如图△ABC中，BD⊥ AC，CE⊥ AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于H，∠A=60°．DH =2,EH=1(1)求BD和CE的长．(2)若∠ACB= 45°，求△ABC的面积．3．如图，△ABC中，∠C=90°，点D是AB边的中点，E、.F分别在CA、CB上，且∠EDF =90°．求证：DE=DF．CAEFDB 4．已知：如图19 - 122，在Rt△ABC中，∠ACB=090，CD是AB边上的高，CE是中线，CF是∠ACB的平分线．求证：∠ECF= ∠DCF．5．已知：如图，△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，M是BC的中点，MN⊥DE，垂足为N．求证：DN=EN．AENDB CM6．已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线，DC=BE，DG⊥CE，垂足为G．求证：(1)G是CE的中点；(2)∠B=2∠BCE．二、综合提高训练：1．如图，正方形ABCD中，BD∥AE ,BD=BE ，BE交AD于F．求证：(1)∠EBD=30°；(2)DE=DF．2．如图，AD是△ABC的角平分线，∠BAC=90°，EF垂直平分BC，垂足为F,EF交AD的延长线于E．求证：BF=EF．3．如图，AC、BD交于点E，AB = AE，DC=DE，点F、M、N分别是AD、BE、CE的中点．求证：FM=FN．ABM EFDCN4．如图，△ABC中，AD是∠BAC内的一条射线，BE⊥AD于E,CF⊥AD于F，点M是BC的中点．求证：EM=FM。

解三角形技巧归纳(学生版)

解三角形技巧总结（学生通用）一、边角互化1. 基于正弦定理的边角互化，等号俩测同时存在边或正弦角/分式分号上下同时存在等次的边或正弦角，可以讲正弦角转化为边，反之也可以。

例1.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( )A ．7.5B ．7C ．6D ．5例2设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos A cos B ＝b a ＝2那么△ABC 的形状为________．2. 基于余弦定理的边化角，三边的平方同时出现时，优先选择余弦定理。

例1. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；例2. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b 2c －a ＝sin Asin B ＋sin C，则角B ＝________.二、三角之间的关系（工具性知识点）(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ；三、三角同时存在时处理技巧1. 合角例1.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定2. 拆角例1. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3四、切化弦例1.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，2sin A a ＝t a n Cc ，若sin(A－B )＋sin C ＝2sin 2B ，则a ＋b ＝________.五、根据角选公式，根据角选定理例1. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B . (1)求证：a ＝2b cos B ； (2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．例2. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(2b －a )cos C ＝c cos A . (1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，△ABC 的面积S ＝433，求△ABC 的周长．跟踪训练1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A a ＝cos Bb，则B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定3．在△ABC 中，cos B ＝ac(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3， cos B ＝23，则b ＝( )A ．14B ．6 C.14D. 65．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π66．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( )A. 5 B ．3 C.10D ．47．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________.8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B .(1)求证：a ＝2b cos B ； (2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．12．(2019·绵阳模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．。

三角形三条重要线段(知识梳理与考点分类讲解)(人教版) (学生版) 24-2025学年八年级数学上册

专题11.3三角形三条重要线段（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】三角形的高（1）定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线作的垂线段叫做三角形边的高.（2）三角形高的画法：一靠：使三角尺的一条直角边靠在要作高的边上；二移：移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶点；三画：画垂线段。

（3）三角形三条高的位置：①三角形三条高交于一个点，这个点称作三角形的垂心；②锐角三角形垂心在三角形内部；直角三角形垂心是直角顶点；③钝角三角形垂心在三角形外部.【例1】（23-24七年级下·广东深圳·期中）下列四个图形中，线段BE 是ABC ∆的高是（）A ．B ．C ．D ．【知识点二】三角形的中线（1）定义：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形这边上的中线；（2）三角形的重心：三角形三边上的中线交点叫做三角形的重心。

【例2】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在ABC 中，17AB =，12AC =，AD 为中线，则ABD △与ACD 的周长之差为（）A ．5B ．3C ．4D ．2【知识点三】三角形的角平分线（1）定义：在三角形中；一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与对边交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

（2）三角形的内心：三角形角平分线的交点叫做三角形的内心。

【例3】（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图12∠=∠，3=4∠∠，下列结论中错误的是（）A ．BD 是ABC 的角平分线B ．CE 是BCD △的角平分线C ．23ACB ∠=∠D ．CE 是ABC 的角平分线第二部分【典例展示与方法归纳】【题型1】三角形高线（等面积求高模型）【例1】（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，CD 是ABC 的中线，CE 是ABC 的高，12cm AC =，5cm =BC ，13cm AB =，90ACB ∠=︒．（1）求高CE 的长；（2）求ACD 的面积．【举一反三】【变式1】（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在ABC 中，34AB BC ==，，点D 是BC 中点，点P 是线段BC 上一个动点，若2,ACD S =则AP 的最小值是（）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5【变式2】（22-23七年级下·福建福州·期末）如图，直线AB 经过原点O ，若()2,A m 、()3,B n -、()0,2C -，D 为线段AB 上一动点．当CD 取最小值54时，AB =．【题型2】三角形中线（中线等分面积模型+周长差问题）【例2】（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，已知AD 、AE 分别是ABC 的中线和高，ABD △的周长比ACD 的周长大3cm ，且7cm AB =．（1）求AC 的长；（2）求ABD △与ABC 的面积关系．【举一反三】【变式1】（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）如图，已知BD 是ABC 的中线，21,12AB BC ==，则ABD △和BCD △的周长的差是．【变式2】（23-24七年级下·陕西·期中）如图，在ABC 中，延长CA 至点F ，使得AF CA =，延长AB 至点D ，使得2BD AB =，延长BC 至点E ，使得3CE CB =，连接EF 、FD 、DE ，若1ABC S =△，则为DEF S =△．【题型3】三角形角平分线（角平分线+平行线模型）【例3】（23-24八年级下·江西抚州·阶段练习）如图，在ABC 中，BP 平分ABC CP ∠，平分ACB ∠，且PD AB ∥，PE AC ∥，5BC =，求PDE △的周长．【举一反三】【变式1】（23-24九年级下·湖北襄阳·阶段练习）如图，在ABC 中，7,5,6AB AC BC ===，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点D ，过点D 作BC 的平行线交AB 于点E ，交AC 于点F ，则AEF △的周长为（）A ．9B ．11C ．12D ．13【变式2】（22-23八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，AB CD ∥，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，再分别以E ，F 为圆心，大于12EF 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M ．若130ACD ∠=︒，则MAB ∠=︒．第三部分【中考链接与拓展延伸】一、直通中考【例1】（2023·安徽·中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD 是锐角ABC 的高，则2212AB AC BD BC BC ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．当7,6AB BC ==，5AC =时，CD =．【例2】（2021·山东聊城·中考真题）如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为点D 和点E ，AD 与CE 交于点O ，连接BO 并延长交AC 于点F ，若AB ＝5，BC ＝4，AC ＝6，则CE ：AD ：BF 值为．二、拓展延伸【例1】（23-24七年级下·广东惠州·期中）如图，已知AC 平分BAD ∠，12∠=∠，且AC CB ⊥．（1）求证：AB CD ∥；（2）若120D ∠=︒，求B ∠的度数；（3）当3BC =，4AC =，5AB =时，求点C 到直线AB 的距离．【例2】（23-24七年级下·江苏镇江·期中）【探究】如图1，AD 是ABC 中BC 边上的中线，ABD △与ACD 的面积相等吗？请说明理由，【应用】如图2，点A 、B 、C 分别是BD 、CE 、AF 的中点，且4ABC S = ，则图2中阴影部分的面积为；【拓展】（1）如图3，ABC 中，延长CA 至点F ，使得AF CA =，延长AB 至点D ，使得2BD AB =，延长BC 至点E ，使得3CE CB =，连接EF 、FD 、DE ，如果3ABC S =△，那么DEF S △为．（2）如图4，ABC 中，12AB =，16AC =，点D 、E 是BC 、AC 边上的中点，AD 、BE 交于点F ．若ABC 的面积为S ，则四边形DCEF 面积为（用含S 的代数式表示）；四边形DCEF 的面积存在最大值，这个值为．。

人教版八年级上册数学三角形讲义(学生版)

ADC一、三角形的概念八年级数学讲义第 11 章三角形1．三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接． 2．三角形的表示△ABC 中，边：AB ，BC ，AC 或 c ，a ，b ．顶点：A ，B ，C ．内角：∠A ，∠B ，∠C ．．二、三角形的边1. 三角形的三边关系:（证明所有几何不等式的唯一方法）(1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+c>a (2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-c<a1.1 判断三条已知线段 a 、b 、c 能否组成三角形.当 a 最长，且有 b+c>a 时,就可构成三角形.1.2 确定三角形第三边的取值范围: 两边之差<第三边<两边之和.2. 三角形的主要线段2.1 三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点； ②直角三角形三条高线交于直角顶点；③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点2.2 三角形的角平分线三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

三条角平分线交于三角形内部一点.A2.3 三角形的中线连结三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。

三角形的三条中线交于三角形内部一点.B三、三角形的角 1 三角形内角和定理BDC结论 1：△ABC 中：∠A+∠B+∠C=180° ※ 三角形中至少有 2 个锐角结论 2：在直角三角形中，两个锐角互余． ※三角形中至多有 1 个钝角注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在△ABC 中，∠C=180°－（∠A+∠B）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数2 三角形外角和定理2.1 外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角．2.2 性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补2.3 外角个数：过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有6 个外角四、三角形的分类(1)按角分：①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形(2)按边分：①不等边三角形②底与腰不等的等腰三角形③等边三角形五多边形及其内角1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.2、正多边形:各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。

第10讲图形类解三角形综合(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习学案(新高考通用)

第10讲图形类解三角形综合（核心考点精讲精练）命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为13-15分【备考策略】1.熟练掌握正余弦定理及面积公式解三角形2.在几何图形中能熟练使用相关定理求解【命题预测】本节内容一般会在解答题中进行命题考查，考查学生的图形转化及计算能力，需重点备考复习1.正弦定理R Cc B b A a 2sin sin sin ===（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）2.余弦定理2222cos a b c bc A =+-，2222cos b c a ca B =+-，2222cos c a b ab C=+-3.三角形的面积公式ah S ABC 21=∆，A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆1．（江苏·高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ==°．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC Ð=-，求tan DAC Ð的值．2．（全国·高考真题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知sin 0,2A A a b +===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ^,求ABD ∆的面积.3．（四川·高考真题）如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角.（1）证明：（2）若求的值.4．（2024·山东济南·二模）如图，已知平面四边形ABCD 中，2,4AB BC CD AD ====.(1)若,,,A B C D 四点共圆，求AC ；(2)求四边形ABCD 面积的最大值.5．（23-24高三上·江西·期末）如图，在△ABC 中，AB =BC =2，D 为△ABC 外一点，AD =2CD =4，记∠BAD =α，∠BCD =β.(1)求2cos cos a b -的值；(2)若△ABD 的面积为1S ，△BCD 的面积为2S ，求2212S S +的最大值.1．（湖南·高考真题）如图，在平面四边形中，,(1)求的值；(2)求的长2．（湖南·高考真题）如图所示，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC .（1）求cos ∠CAD 的值；（2）若cos ∠BAD sin ∠CBA ，求BC 的长．3．（2024·青海海西·模拟预测）如图，在四边形ABCD 中，,cos AB AD B ACB BC ^=Ð==(1)求AC ；(2)若ACD V 的面积为32，求CD ．4．（2024·山东菏泽·二模）已知在ABC V 中，2,CA CB ABC ×=-uuu r uuu r △(1)求角C 的度数；(2)若2,,BC D E =是AB 上的动点，且DCE Ð始终等于30°，记CED a Ð=．当DE 取到最小值时，求a 的值．1．（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）如图，在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，6AB =，AC =BC =D 在边BC 上，且60ADC Ð=°.(1)求sin B ；(2)求线段AD 的长.2．（23-24高三上·湖北·期末）如图，在ABC V 中，6AB AC ==，点D 是边BC 上一点，且,cos AD AB CAD Ð^=2AE EB =uuu r uuu r(1)求BCE V 的面积；(2)求线段AD 的长.3．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）如图，在平面四边形ABCD 中，90ADC Ð=°，45A Ð=°，4AB =，10BD =．(1)求cos ADB Ð；(2)若BCD △的面积为BC ．4．（2023·河南·模拟预测）如图，在四边形ABCD 中，,120,2,AB BC ADC AB CD AD ACD ^Ð==°=△的面(1)求sin CAB Ð；(2)证明：CAB CAD Ð=Ð．5．（2024·江西南昌·一模）如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边10AC =，ππ,34BAC DAC ÐÐ==，BD 交AC 于点E .(2)求AE .6．（23-24高三上·广东江门·阶段练习）已知A ，B ，C ，D 四点逆时针排列于同一个圆O 上，其中24,BC AB ABC ==△的面积为π2ABC Ð>．(1)求边AC 的长；(2)当圆心O 在AD 上时，求tan CAD Ð．7．（23-24高三上·江西·阶段练习）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，5BD =，60CBD Ð=°.(1)若1sin 4BCD Ð=，求CD 的长；(2)若2AD =，求cos ABD Ð.8．（23-24高三上·安徽·期末）如图,在ABC V 中,CAB Ð的平分线交BC 边于点E ,点D 在AB 边上,7AE =,AD =cos Ð=CAE(1)求ADE Ð的大小;(2)若2π3ACB Ð=,求CDE V 的面积.9．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，//AB CD ，sin cos AD D ACD ×=×Ð，BAC Ð的角平分线与BC 相交于点E ，且1,AE AB ==(1)求ACD Ð的大小；10．（2024·山西晋中·三模）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222b c bc a ++=.(1)求tan A ；(2)若)1b c =，在边BC 上（不含端点）存在点D ，使得1AD =，求a 的取值范围．1．（2024·湖南长沙·三模）如图，在ABC V 中，已知3,6,AB AC A ==为锐角，,BC AC 边上的两条中线,AM BN相交于点,P ABC V(1)求BC 的长度；(2)求APB Ð的余弦值.2．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角的对边，且sin cos A a C b c +=+．(1)求A ；(2)若2BC =，将射线BA 和CA 分别绕点B ，C 顺时针方向旋转15o ，30o ，旋转后相交于点D （如图所示），且30DBC Ð=o ，求AD ．3．（2024·浙江·模拟预测）如图，在平面内的四个动点A ，B ，C ，D 构成的四边形ABCD 中，1AB =，2BC =，3CD =，4=AD .(1)求ACD V 面积的取值范围；(2)若四边形ABCD 存在外接圆，求外接圆面积.4．（2024·浙江绍兴·二模）在三角形ABC 中，内角,,A B C 对应边分别为,,a b c且cos sin 2b C B a c =+.(1)求B Ð的大小；(2)如图所示，D 为ABC V 外一点，DCB B Ð=Ð，CD =1BC =，30CAD Ð=o ，求sin BCA Ð及ABC V 的面积.5．（2024·广西来宾·模拟预测）ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AD 为BAC Ð平分线，tan (2)tan b A c b B=-(1)求A ；(2)若::2:c AD b =，AD 上存在点M ，使得12ABM p Ð=，求ABM ACD S S △△．6．（2024·湖南衡阳·三模）在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos 2cos cos 0c B a A b C ++=．(1)求A ；(2)如图所示，D 为平面上一点，与ABC V 构成一个四边形ABDC ，且π3BDC Ð=，若2c b ==，求AD 的最大值．7．（23-24高一下·河北保定·期末）阿波罗尼奥斯（Apollonius ）是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗尼奥斯定理是一个关于三角形边长与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边平方的和，等于所夹中线及第三边之半的平方和的两倍，即如果AD 是ABC V 中BC 边上的中线，则222222BC AB AC AD éùæö+=+êúç÷èøêúëû.(1)若在ABC V 中，5AB =，3AC =，π3BAC Ð=，求此三角形BC 边上的中线长；(2)请证明题干中的定理；(3)如图ABC V 中，若AB AC >，D 为BC 中点，3BD DC ==，()sin 3sin 3sin a A b B b A C +=-，ABC S △，求cos DAC Ð的值.8．（2024·河北衡水·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，120AB AC ADC CAB ==Ð=Ð=°，设DAC Ðq =.(1)若2AD =，求BD 的长；(2)若15ADB Ð=°，求tan q .9．（23-24高一下·广东茂名·期末）如图所示，在ABC V 中，3AB AC =，AD 平分BAC Ð，且AD kAC =.(1)若2DC =，求BC 的长度；(2)求k 的取值范围；(3)若1ABC S =△，求k 为何值时，BC 最短.10．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，在ABC V 中，已知2AB =，AC =，45BAC Ð=°，BC 边上的中点为M ，点N 是边AC 上的动点（不含端点），AM ，BN 相交于点P ．(1)求BAM Ð的正弦值；(2)当点N 为AC 中点时，求MPN Ð的余弦值．(3)当NA NB ×uuu r uuu r 取得最小值时，设BP BN l =uuu r uuu r ，求l 的值．1．（北京·高考真题）如图，在ABC ∆中， 3B pÐ=， 8AB =，点D 在BC 边上，且2CD =，1cos 7ADC Ð=.（1）求sin BAD Ð；（2）求,BD AC 的长.2．（安徽·高考真题）在V ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.3．（海南·高考真题）如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD 交AC 于E ，AB=2.（1）求cos ∠CBE 的值；（2）求AE ．4．（全国·高考真题）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA ．5．（湖南·高考真题）如图，D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点，AB AD =，记CAD a Ð=,ABC b Ð=.（1）证明sin cos 20a b +=；（2）若AC ，求b 的值.。

第11章《三角形》知识讲练(学生版)

2023-2024学年人教版数学八年级上册章节知识讲练知识点01:三角形的有关概念和性质1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．2.三角形按“边”分类：3.三角形的重要线段：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.（2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.知识点02:三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．知识点03:三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.知识点04:多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n 条边就叫做n 边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 要点诠释：(1)从n 边形一个顶点可以引(n －3)条对角线，将多边形分成(n －2)个三角形；(2)n 边形共有条对角线．知识点05:多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n 边形的内角和为(n －2)·180°(n≥3，n 是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.：n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；②已知正多边形边数，求外角度数.(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n 边形的内角和等于(n －2)·180°(n≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数n 有关，每增加1条边，内角和增加180°.知识点06：镶嵌的概念和特征1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同.要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边.(3)2n n(2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.:一．选择题（共11小题，满分22分，每小题2分）1．（2分）（2023春•宿豫区期末）将一副三角板按如图位置放在直尺上，则∠1的度数是（）A．105°B．120°C．130°D．145°2．（2分）（2023•仁怀市模拟）如图，一副三角板的两条直角边互相重合，则∠1＝（）A．60°B．75°C．90°D．105°3．（2分）（2023春•鼓楼区校级期末）如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC，②∠ACB＝∠ADB，③∠ADC+∠ABD＝90°，④∠ADB＝45°﹣∠CDB，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2分）（2023•大连一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AC上一点，将△ABD 沿线段BD翻折，使得点A落在A'处，若∠A'BC＝28°，则∠CBD＝（）A．15°B．16°C．18°D．20°5．（2分）（2023春•莱州市期末）如图，点A、B、C、D、E、F在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，若∠BCD＝110°，则∠A+∠B+∠D+∠E+∠F等于（）A．470°B．450°C．430°D．410°6．（2分）（2022秋•南山区校级期末）如图，∠ABC＝∠ACB，BD，CD，AD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，外角∠EAC．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠BDC＝∠BAC；④∠ADB＝45°﹣∠CDB；⑤∠ADC+∠ABD＝90°．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个7．（2分）（2022秋•碑林区校级期末）如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，BH是∠ABC的平分线，BD和CD是△ABC两个外角的平分线，D、C、H三点在一条直线上，下列结论中：①DB⊥BH；②；③DH∥AB；④；⑤∠CBD＝∠D，其中正确的是（）A．①②③B．①③⑤C．①②④⑤D．①②③④⑤8．（2分）（2022秋•武昌区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝80°，点D在△ABC外，连接AD，BD，CD，若∠DBA＝20°，∠ACD＝30°，则∠BAD的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．35°9．（2分）（2023春•桐柏县期末）如图，在上网课时把平板放在三角形支架上用到的数学道理是（）A．三角形的稳定性B．对顶角相等C．垂线段最短D．两点之间线段最短10．（2分）（2022秋•铁西区期末）如图，在△ABC中，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，∠D＝15°，则∠A的度数为（）A．30°B．45°C．20°D．22.5°11．（2分）（2023•南陵县模拟）一副直角三角板按如图所示方式摆放，图中∠α的度数为（）A．65°B．67.5°C．75°D．80°二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）12．（2分）（2023•裕华区二模）一块板材如图所示，测得∠B＝90°，∠A＝20°，∠C＝35°，根据需要∠ADC为140°，师傅说板材不符合要求且只能改动∠A，则可将∠A（选填“增加”或“减少”）．13．（2分）（2023春•淮安期末）如图，△ABC中，∠A＝40°，∠B＝80°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF ⊥CE，则∠CDF的度数＝．14．（2分）（2022秋•历城区期末）如图所示，△ABC中∠C＝80°，AC边上有一点D，使得∠A＝∠ABD，将△ABC沿BD翻折得△A′BD，此时A′D∥BC，则∠ABC＝度．15．（2分）（2022秋•和硕县校级期末）如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，∠C＝80°，按如图方式沿着MN折叠，使FN∥CD，此时量得∠FMN＝50°，则∠B的度数是．16．（2分）（2022秋•简阳市期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C＝110°，则∠1+∠2＝．17．（2分）（2022秋•榆阳区校级期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为．18．（2分）（2022秋•栖霞市期末）如图所示的折线图形中，α+β＝．19．（2分）（2022秋•潍坊期末）如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，AP，DP分别平分∠CAO和∠BDC，若∠C+∠P+∠B＝165°，则∠C的度数是．20．（2分）（2022秋•天山区校级期末）如图，BE、CE分别为△ABC的内、外角平分线，BF、CF分别为△EBC的内、外角平分线，若∠A＝44°，则∠BFC＝度．21．（2分）（2022秋•黄岛区校级期末）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，若∠A＝29°，∠BDA'＝90°，则∠A'EC的大小为．三．解答题（共7小题，满分58分）22．（8分）（2023春•晋江市期末）阅读材料：两个三角形各有一个角互为对顶角，这两个三角形叫做对顶三角形．解决问题：如图，△AOD与△BOC是对顶三角形．（1）试说明：∠DAO+∠D＝∠OBC+∠C；（2）试利用上述结论解决下列问题：若AP、BP分别平分∠DAC与∠DBC，∠C＝m°，∠D＝n°．①求∠P的度数（用含m、n的代数式表示）；②若AQ、BQ分别平分∠EAC与∠DBF，120°＜∠Q＜150°，求m+n的取值范围．23．（8分）（2023春•巨野县期末）在△ABC中，∠CAE＝25°，∠C＝40°，∠CBD＝30°，求∠AFB的度数．24．（8分）（2023春•玄武区期末）定义：有一组对角互补的四边形叫做对补四边形．（1）已知四边形ABCD是对补四边形．①若∠BAD＝65°，则∠BCD＝°．②如图①，∠BAD、∠BCD的平分线分别与BC、AD相交于点E、F，且∠D＝90°，求证：AE∥CF；（2）如图②，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，且AC平分∠BAD，∠ABC＝∠BEC，CF平分∠BCD，与AD交于点F，且CF⊥BD于点G，则四边形ABCD是对补四边形吗？请说明理由；（3）已知四边形ABCD是对补四边形，其三个顶点A，B，D如图③所示，连接AB，AD．若AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，且直线AE，CF交于点O（与点C不重合），请直接写出∠AOC与∠D之间的数量关系．25．（8分）（2022秋•驻马店期末）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与∠COD为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B＝∠C+∠D．性质理解：（1）如图1，在“对顶三角形”△AOB与∠COD中，则∠AOB＝70°，则∠C+∠D＝°．性质应用：（2）如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C＝60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度数．拓展提高：（3）如图3，BE、CD是△ABC的角平分线，且∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，设∠A＝α，直接写出∠P的度数（用含α的式子表示∠P）．26．（8分）（2022秋•嵊州市期末）如图，已知射线BE是△ABC的外角平分线，∠A＝40°，∠CBE＝α．（1）若BE∥AC，求α的值．（2）若AC的延长线与射线BE相交于一点F，求α的取值范围．（3）在（2）的条件下，若过点C的直线将△BCF分成两个等腰三角形，直接写出α的值．27．（8分）（2023春•南通期末）如图，锐角∠EAF，点B，C分别在AE，AF上．（1）如图1，若∠EAF＝56°，连接BC，∠ABC＝α，∠ACB＝β，∠CBE的平分线与∠BCF的平分线交于点P，则a+β＝°，∠P＝°；（2）若点Q在∠EAF内部（点Q不在线段BC上），连接BQ，QC，∠EAF＝56°，∠CQB＝104°，BM，CN 分别平分∠QBE和∠QCF，且BM与CN交于点D，求∠BDC的度数；（3）如图2，点G是线段CB延长线上一点，过点G作GH⊥AE于点H，∠EAF与∠CGH的平分线交于点O，请直接写出∠ACG与∠AOG的数量关系．28．（10分）（2022秋•榆次区校级期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，（1）观察“规形图”，直接写出∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系：；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝42°，则∠ABX+∠ACX＝°；②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝140°，则∠DCE＝°；③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝142°，∠BG1C＝70°，则∠A＝°．。

MSDC.初中数学.三角形C级.第01讲.学生版

内容基本要求略高要求较高要求三角形了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会正确对三角形进行分类：理解三角形的内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段；了解三角形的内心、外心、重心会用尺规法作给定条件的三角形；会运用三角形内角和定理及推论；会按要求解三角形的边、角的计算问题；能根据实际问题合理使用三角形的内心、外心的知识解决问题；会证明三角形的中位线定理，并会应用三角形中位线性质解决有关问题多边形了解多边形与正多边形的概念；了解多边形的内角和及外角和公式；知道用任意一个三角形、四边形或正六边形可以进行镶嵌；了解四边形的不稳定性；了解特殊四边形之间的关系会用多边形的内角和和外角和公式解决计算问题；能用正三角形、正方形、正六边形进行镶嵌设计；依据图形条件分解与拼接简单图形．三角形１三角形的基本概念：⑴三角形的定义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形．三角形具有稳定性．中考要求例题精讲三角形综合在同一个三角形内，大边对大角．⑶三角形的外角：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角． ⑷三角形的分类：()()():⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形:三角形中有一个角是直角三角形按角分锐角三角形:三角形中三个角都是锐角斜三角形钝角三角形:三角形中有一个角是钝角不等边三角形:三边都不相等的三角形三角形按边分底边和腰不相等的等腰三角形:有两条边相等的三角形等腰三角形等边三角形正三角形有三边相等的三角形注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角．三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角(直角或钝角)时，该三角形即为锐角三角形(直角三角形或钝角三角形)．２与三角形相关的边 ⑴三角形中的三种重要线段①三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心，而且它一定在三角形内部． ②三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注：每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的中心，而且它一定在三角形内部． ③三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线．注：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心．锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部，直角三角形有两条高分别与两条直角边重合．反之也成立．画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高． ⑵三角形三条边的关系①三角形三边关系：三角形任何两边的和大于第三边．②三角形三边关系定理的推论：三角形任何两边之差小于第三边．即a 、b 、c 三条线段可组成三角形⇔b c a b c -<<+⇔两条较小的线段之和大于最大的线段．注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形．板块一三角形的边【例1】已知三角形中两条边的长分别为a 、b ，且a b >，求这个三角形的周长l 的取值范围( )A ．33a l b >>B ．2()2a b l a +>>C ．22a b l b a +>>+D ．32a b l a b ->>+【例2】已知三角形三边的长均为整数，其中某两条边长之差为5，若此三角形周长为奇数，则第三边长的最小值为( )．A ．8B ．7C ．6D ．4【例3】将长为15dm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有多少种．【例4】如图，四边形ABCD 中，3AB =，4BC =，9CD =，AD a =，则a 的取值范围a934A BCD【例5】 (祖冲之杯数学邀请赛试题)如图所示，在ABC ∆中，AD BC ⊥，D 在BC 上，ABC ∠>ACB ∠，P是AD 上的任意一点，求证AC BP AB PC +<+．A B C DP【例6】点1C 、1A 、1B 分别在ABC ∆的边AB 、BC 和CA 上，且满足11111113AC C B BA AC CB B A ==::=::，求证：ABC ∆的周长p 与111A B C ∆的周长'p 之间有不等式1'2p p <． A 1AB 1BC 1C板块二三角形的角【例7】如图，ABC △内有三个点D E F 、、，分别以A B C D E F 、、、、、这六个点为顶点画三角形，如果每个三角形的顶点都不在另一个三角形的内部，那么，这些三角形的所有内角之和为．【例8】如图，()A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=A ．100︒B ．120︒C ．150︒D ．180︒【例9】如下图，CGE α∠=，则A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠= ．αGFEDCBA【例10】如图，ABC △中，90C ∠=︒，13BAD BAE ∠=∠，13ABD ABF ∠=∠，则D ∠= ．FE DCB AGFEDCBA【例11】如图，在ABC △中，A α∠=，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠；1A BC ∠的平分线与1ACD ∠的平分线相交于点2A ，得2A ∠；……2008A ∠BC 的平分线与2008A CD ∠的平分线相交于点2009A ，得2009A ∠，得2009A ∠= ．A 2A 1CBA【例12】在ABC ∆中，三个内角的度数均为整数，且A B C ∠<∠<∠，47C A ∠=∠，则B ∠的度数为．【例13】如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠②AEF AFE ∠=∠③EBC C ∠=∠④AG EF ⊥，其中正确的结论是．GF EDA【例14】已知三角形的三个内角分别为α、β、γ，且αβγ≥≥，2αγ=，则β的取值范围是．【例15】ABC ∆中，A ∠是最小角，B ∠是最大角，且25B A ∠=∠，若B ∠的最大值是m ︒，最小值是n ︒．则m n += ．【例16】（1）如图a ，AD BC ⊥于D ，AE 平分BAC ∠，试探寻DAE ∠与C B ∠∠、的关系．（2）如图b ，若将点A 在AE 上移动到F ，FD BC ⊥于D ，其他条件不变，那么EFD ∠与C B ∠∠、是否还有（1）中的关系？说明理由．图aE DCBAFABCD E 图b【例17】小明在学习三角形的知识时，发现如下三个有趣的结论：在t R ABC△中，90A∠=︒，BD平分ABC∠，M为直线AC上一点，ME BC⊥，E为垂足，AME∠的平分线交直线AB于点F．FE MDCB A AB CDMEFABCDMEF（1）如图①，M为边AC上一点，则BD MF、的位置关系是．（2）如图②，M为边AC反向延长线上一点，则BD MF、的位置关系是．（3）如图③，M为边AC延长线上一点，则点BD MF、的位置关系是．请你完成（1）、（2）、（3）三个命题，并证明这三个结论．【例18】把一副学生用的三角板，如图（1）放置在平面直角坐标系中，点A 在y 轴正半轴上，直角边AC与y 轴重合，斜边AD 与y 轴重合，直角边AE 交x 轴于F ，斜边AB 交x 轴于G ,O 是AC 中点，8AC =．（1）把图1中的Rt AED △绕A 点顺时针旋转α度得图2，此时AGH △的面积是10，AHF △的面积是8，分别求F H B 、、三点的坐标．（2）如图3，设AHF ∠的平分线和AGH ∠的平分线交于点M ，EFH ∠的平分线和FOC ∠的平分线交与点N ，当AED △绕A 点转动时，N M ∠+∠的值是否会改变，若改变，请说明理由，若不改变，请求出其值．【例19】如图，在BCD △中，BE 平分DBC ∠交CD 于F ，延长BC 至G ，CE 平分DCG ∠，且EC DB、的延长线交于A 点，若30A ∠=︒，75DFE ∠=︒．（1）求证：DFE A D E ∠=∠+∠+∠．（2）求E ∠的度数．（3）若在上图中作CBE ∠与GCE ∠的平分线交于1E ，作1CBE ∠与1GCE ∠的平分线交于2E ，作2CBE ∠，与2GCE ∠ 的平分线交于3E ，以此类推，n CBE ∠与n GCE ∠的平分线交于1n E +，请用含有n 的式子表示1n E +∠的度数．【例20】（1）如图①，BAD ∠的平分线AE 与BCD ∠的平分线CE 交于点E ，AB CD ∥，4030ADC ABC ∠=︒∠=︒，，求AEC ∠的大小；（2）如图②，BAD ∠的平分线AE 与BCD ∠的平分线EC 交于点E ，ADC m ABC n ∠=︒∠=︒，，求AEC ∠的大小；（3）如图③，BAD ∠的平分线AE 与BCD ∠的平分线CE 交于点E ，则AEC ∠与ADC ABC ∠∠、之间是否任存在某种等量关系？若存在，请写出你的结论，并给出证明；若不存在，请说明理由．图①E D CBA 图②DCABE图③EDBACF GEDC BA。

第2讲直角三角形的性质--学生版

第2讲直角三角形的性质知识要点--直角三角形的性质（1）（2）一、普通直角三角形的性质：性质一：直角三角形两锐角互余. 数学语言: ∵∠C=90°∵∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）性质二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

数学语言:∵∠BCA=90°，D 是AB 的中点 ∵AB CD 21=(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)二、基本图形：（定理的实质）1、直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形。

∵∠BCA=90°，D 是AB 的中点∵BD=CD DA=DC （(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

) ∵∠B=∠DCB ∠A=∠DCA （等边对等角）2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的两个逆命题都是真命题，但不是定理，不可以直接使用。

（1）已知：BD=CD=AD ，我们怎么证明∠BCA=90°？（2）已知：BD=CD ，∠BCA=90°，我们怎么证明DA=DC ？【例1】（1）直角三角形的两个锐角（2）直角三角形斜边上的中线等于（3）ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，︒=∠48A ，则=∠B（4）ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，D 为斜边AB 的中点，若10=AB ，则CD =【例2】（1）ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，︒=∠20A ，D 为BC 边中点，则BCD ∠的度数是度（2）ABC Rt ∆中，CD 是斜边AB 上的高，︒=∠25A ，那么BCD ∠= 度（3）如果直角三角形的面积是12，斜边上的高是2，那么斜边上的中线长是（4）等腰直角三角形斜边上的中线为5cm ，则这个三角形的面积为 2cm【例3】如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC ,交BC 于点D ,BE ⊥AD ,交AD 的延长线于点E ,BF =EF .求证：EF ∥AC .【例4】如图，ABC ∆中，︒=∠90ACB ，D 为AB 的中点，CD BE ⊥于F ，交AC 于E ，求证：CBE A ∠=∠【例5】已知：如图，ABC Rt ∆和ADC Rt ∆，∠ABC =∠ADC =90°，点E 是AC 的中点.求证：∠EBD =∠EDB .【例6】已知，如图BCD ∆中，BD CE ⊥于点E ，点A 是边CD 的中点，EF 垂直平分线段AB （1）求证：CD BE 21=（2）当BC AB =，︒=∠25ABD 时，求ACB ∠的度数第22题图EDCBA【例7】已知，如图，在ABC ∆中，︒=∠45ACB ，AD 是边BC 上的高，G 是AD 上一点，联结CG 点E 、F 分别是AB 、CG 的中点，且DF DE =，求证：GD BD =【例8】已知：如图，在ABC ∆中，BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的高，点M 是BC 的中点，且DE MN ⊥，垂足为点N 。

专题13 三角形(6大考点)(学生版)

第四部分三角形专题13三角形（6大考点）核心考点核心考点一三角形及边角关系核心考点二三角形中的重要线段核心考点三等腰三角形核心考点四等边三角形核心考点五直角三角形核心考点六等腰直角三角形新题速递核心考点一三角形及边角关系（2021·湖北宜昌·统考中考真题）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F 在AC 上，其中90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，90EFD ∠=︒，45DEF ∠=︒，//AB DE ，则AFD ∠的度数是（）A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒（2021·黑龙江大庆·统考中考真题）三个数3，1,12aa --在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a 的取值范围为______（2022·北京·统考中考真题）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，已知：如图，ABC ∆,求证：180.A B C ∠+∠+∠= 方法一证明：如图，过点A 作//.DE BC 方法二证明：如图，过点C 作//.CD AB三角形是初中阶段几何图形学习的基础，也是中考必考内容之一；三角形及边角关系内容比较简单，中考中一般会出在选择题、填空题，解答题偶有出现，注意以下最基本的三角形边角关系：1.两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；2.2.三角形的内角和为180°；3.3.三角形外角和为360°；【变式1】（2023·陕西西安·校考二模）如图，在ABC 中，60,80A ABC ∠=︒∠=︒，BD 是ABC 的高线，BE 是ABC 的角平分线，则DBE ∠的度数是（）A ．10︒B ．12︒C ．15︒D ．18︒【变式2】（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕顶点C 顺时针旋转得到A B C ''△，D 是A B ''的中点，连接BD ，若2BC =，60ABC ∠=︒，则线段BD 的最大值为（）A 3B ．23C ．3D ．4【变式3】（2022·广东韶关·校考二模）如图，△ABC 中，90C ∠=︒，10AC =，8BC =，线段DE 的两个端点D ，E 分别在边AC ，BC 上滑动，且6DE =，若点M ，N 分别是DE ，AB 的中点，则MN 的最小值为_________．【变式4】（2023·广东佛山·校考一模）如图，在四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=︒，E 为对角线AC 的中点，连接BE ，ED ，BD ，若52BAD =︒∠，则EBD ∠=_____°．【变式5】（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，在ABC 和ADE V 中，AB AC =，AD AE =，且BAC DAE ∠=∠，且B ，D ，E 在同一直线上，连接EC ．(1)求证：BD EC =．(2)若55ACB ∠=︒，求BEC ∠的度数．核心考点二三角形中的重要线段（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，在ABC 中，AC =120ACB ∠=︒，D 是边AB 的中点，E 是边BC 上一点，若DE 平分ABC 的周长，则DE 的长为（）AB C D（2021·辽宁阜新·统考中考真题）如图，直线//AB CD ，一块含有30°角的直角三角尺顶点E 位于直线CD 上，EG 平分CEF ∠，则1∠的度数为_________°．（2022·山东青岛·统考中考真题）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．例如：如图①．在ABC 和A B C ''' 中，,AD A D ''分别是BC 和B C ''边上的高线，且AD A D ''=，则ABC 和A B C ''' 是等高三角形．【性质探究】如图①，用ABC S ，A B C S ''' 分别表示ABC 和A B C ''' 的面积．则11,22ABC A B C S BC AD S B C A D '''=⋅=''⋅''△△，∵AD A D ''=∴::ABC A B C S S BC B C ''=''△△．【性质应用】(1)如图②，D 是ABC 的边BC 上的一点．若3,4BD DC ==，则:ABD ADC S S =△△__________；(2)如图③，在ABC 中，D ，E 分别是BC 和AB 边上的点．若:1:2BE AB =，:1:3CD BC =，1ABC S =△，则BEC S =△__________，CDE S =△_________；(3)如图③，在ABC 中，D ，E 分别是BC 和AB 边上的点，若:1:BE AB m =，:1:CD BC n =，ABC S a = ，则CDE S =△__________．三角形中的主要线段包括三角形的高线，中线和角平分线。

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三角形及其有关概念拓展
【例题解析】
例1. 锐角三角形ABC 中，∠C ＝2∠B ，则∠B 的范围是（）
A.
B.
C.
D.
例2．在中，三个内角的度数均为整数，且∠A ＜∠B ＜∠C ，4∠C ＝7∠A 。

则∠B 的度数为。

思路点拔：设∠C ＝x °，根据题设条件及三角形内角和定理把∠A 、∠B 用x 的代数式表示，建立关于x 的不等式组。

练习：已知三角形的一个外角等于160°，另两个外角的比为2:3，则这个三角形的形状是（）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 无法确定
例5. 如图是一个任意的五角星，它的五个顶角的和是（） A. 50 B. 100 C. 180 D. 200
变式. 如图
=________。

（“希望杯”邀请赛试题）
例6（2010安徽蚌埠）在ABC ∆中，E D 、分别是AC BC 、上的点，CD BD CE AE 2,2==， BE AD 、交于点F ，若3=∆ABC S ，则四边形DCEF 的面积为________。

变式：（1）如图（a ），求证：
C
（a ）
（2）如图（b ），若，求
的度数。

（3）如右图，BE 是∠ABD 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线，BE 与CF 交于G ，若∠BDC ＝140°，∠BGC ＝110°，求∠A 的大小。

例9 求证：直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于45°。

例10 已知：三角形的三边长为3，8，，求x 的取值范围。

变式：1、已知一个等腰三角形的三边长分别为x ，，，其周长为________
2、已知等腰三角形的周长为12，那么它的腰长a 的取值范围是。

例11 （1）已知如图（a ），在中，
于D ，AE 平分
，则
与
有何数量关系？
C
（2）如图（b），AE平分，F为其上一点，且于D，这时与又有何数
量关系？
（3）如图（c），AE平分，F为AE延长线上一点，于D，这时与又
有何数量关系？
例12.在△ABC中，∠A＝50°，高BE、CF交于O，且O不与B、C重合，求∠BOC的度数
【巩固练习】
一、选择题：
1. 如图1，_______。

(1) (2) (3)
2. 如图2，_________。

10. 一个三角形的周长为奇数，其中两条边长分别为4和1997，则满足条件的三角形的个数是（）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
12. 如上右图，在中，D是BC上一点，若，，则与的关系为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：
1. 已知等腰三角形两边长分别为4和9，则第三边的长为____________
2. 两个木棒的长分别为3cm和5cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角架，若第三根木棒长为偶数，
则第三根木棒长__________cm。

3. 已知a、b、c为三角形三边的长，且，则这个三角形的形状为___等边三角形
_______.
4. 如图1，已知，（1）若点O为两角平分线的交点，则________；
（2）若点O为两条高的交点，___________。

(1) (2) (3)
5. 如图2，在四边形ABCD中，，则____________.
6. 等腰三角形的周长为20cm，（1）若其中一边长为6cm，则腰长为_________；（2）若其中一边长为5cm，
则腰长为__________.
7. 过n边形的一个顶点有2m条对角线，m边形没有对角线，k边形有k条对角线，则_________.
8. 如图3，的面积等于，D为AB的中点，E是AC边上一点，且，O为DC与BE交点，若的面积为，的面积为，则____________.
三、解答题：
1. 已知：中，，D点在
和β间的关系为？
2、
3、. 如图，已知在中，
，问AD 平分
吗？
请说明理由。

AD 平分
5、如图中的几个图形是五角星和它的变形
（1）图（1）中是一个五角星，求; （2）图（1）中点A 向下移到BE 上，五个角的和有无变化？（即）如图（2），说明你的结论的正确性。

（3）把图（2）中点C 向上移动到BD 上，五个角的和（即）有无变
化？如图（3），说明你的结论的正确性。

A
B D E C
1 2。