误差理论与平差基础 误差椭圆.
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X ∆Y ∆X ∆P P（真） P‘（估）
A Y O
显然有：
P 2 x 2 y 2 ˆ, y y y ˆ) (其中：x x x
点位误差的定义:
ˆ E ˆ Ey ˆ E (y ) E y y y
误差理论与测量平差基础
—误差椭圆
本章教学内容
7.1 点位误差
7.2 误差曲线与误差椭圆
7.3 相对误差椭圆
第 7章
本章学习的目的和要求
了解点位误差概念；
误差椭圆
掌握任意方向位差、位差极值和极值方向的计算；
掌握误差椭圆三要素计算公式;
熟悉误差曲线与误差椭圆的关系，并掌握误差椭圆的应用。
了解相对误差椭圆概念。
重点和难点
误差曲线与误差椭圆的联系与区别； 误差椭圆、相对误差椭圆三要素计算。
7.1
点位误差
在平面控制网的平差计算中，往往要评定待定点的点位精 度；
待定点的点位精度通常用点位中误差简称“点位误差”的 大小来评定；
以下介绍点位误差的计算方法。
7.1.1 点位误差的概念
待定点的估值位置偏离其真实位置的距离P，简称为“真位差”。
按协因数传播律有：
Q cos Qx ˆ Q ˆy ˆ x sin Qx ˆy ˆ cos Qy ˆ sin
Q Qxx cos2 Qyy sin 2 Qxy sin 2
则，任意方向位差公式：
2 2 0 Q 2 0 (Qxx cos 2 Qyy sin 2 Qxy sin 2 )
2 ˆ ˆ Ex ˆ E (x 2 ) E ( x x ) x E 2 2 2 2
2 x 2 y
P2 x y
2 2 2 E ( P ) E ( x y ) 2 2
E (x 2 ) E (y 2 )
2 2 x y 2 P
2 K (Qxx Qyy ) 2 4Qxy
则极大、极小值为：
1 2 E2 0 (Qxx Qyy K ) 2 1 2 F2 0 (Qxx Qyy K ) 2
2 K (Qxx Qyy ) 2 4Qxy
极大、极小方向的计算公式：
QEE Qxx tan E Qxy QFF Qxx tan F Qxy
故，点位误差计算公式为：
2 2 2 P x y
s2 u2 90
2 2
7.1.2
任意方向φ的位差
说明：
1）任意方向φ 指的是方位角为φ 的方向！ 2）为求P点在任一方向上的位差，需先找P在φ 方向上的 真误差∆φ 与∆X、∆Y的函数关系；
3）真误差∆φ 就是∆P在φ 方向上的投影值。
2 测量上把 P 定义为“点位方差”，并把 P叫做点位中误差， 简称“点位误差” 。
点位中误差的计算方法
1）按纵、横坐标方差来求：
2 P 2 x
2 y
回顾条件平差、间接平差的计算纵、横坐标方差过程。
2）按纵向、横向上的位差来求
X ∆P
P″
∆u P′
∆S
P A
显然，有： 由中误差的定义可得：
P 2 S 2 u 2
2 P s2 u2
Y
关于纵向、横向误差：
∆U为纵向误差、∆S为横向误差。∆P为点位真误差。
各是由什么影响而来的？ 点位精度与测角、测边精度的关系怎样？
P A S β ∆β
∆P ∆u ∆S P1
P2
B
u S
4）根据投影再求该方向的位差。
由下图可得：
pp pp cos x sin y x cos sin y
X ∆Y φ ∆X φ P’’ P ∆P
P’
方位角=φ P’’’ 方位角=φ
∆φ
O
Y
因为：
pp pp x cos x sin y cos sin y
设φ 0为位差的极值方向，则有：
tg 2 0 2Qxy Qxx Qyy tg (2 0 1800 )
解上式得到两个根，其中一个为极大方向φE，另一个为极小方向φF； 用这两个根分别带到任意方向位差的公式就会得到极大值E和极小值F！
也可按下式求P点位差的极大、极小值：
1 QEE (Qxx Qyy K ) 2 1 QFF (Qxx Qyy K ) 2
7.1.3 位差的极值和极值方向
(Qxx cos Qyy sin Qxy sin 2 )
2 2 0 2 2
从上公式可看出：
任意方向位差的大小与方向φ 有关。 上式是一个用X、Y方向上的位差表示的任意方向上的位差。 x、y方向分别是φ 等于0度、90度等时的特殊形式。
u
S源自文库
P ΔU Δβ
ΔP ΔS
P’’
P’
3）按任意两个相互垂直的方向坐标方差来求
不难看出：
P2 (x)2 (y)2
2 2 2 P x y
由方差定义，可得：
由上讨论可的如下结论
点位方差大小不受坐标系的影响； 不同的坐标系，其位差分量大小是不同的； 点位位差可由任意两个互相垂直的方向上的坐标方差来求得。
若使位差达到极值，则应使：
dQ d
dQ
0
d (Qxx cos 2 Qyy sin 2 Qxy sin 2 ) d d 2Qxx cos sin 2Qyy sin cos 2Qxy cos 2 Qxx sin 2 Qyy sin 2 2Qxy cos 2 (Qxx Qyy ) sin 2 2Qxy cos 2 0
A Y O
显然有：
P 2 x 2 y 2 ˆ, y y y ˆ) (其中：x x x
点位误差的定义:
ˆ E ˆ Ey ˆ E (y ) E y y y
误差理论与测量平差基础
—误差椭圆
本章教学内容
7.1 点位误差
7.2 误差曲线与误差椭圆
7.3 相对误差椭圆
第 7章
本章学习的目的和要求
了解点位误差概念；
误差椭圆
掌握任意方向位差、位差极值和极值方向的计算；
掌握误差椭圆三要素计算公式;
熟悉误差曲线与误差椭圆的关系，并掌握误差椭圆的应用。
了解相对误差椭圆概念。
重点和难点
误差曲线与误差椭圆的联系与区别； 误差椭圆、相对误差椭圆三要素计算。
7.1
点位误差
在平面控制网的平差计算中，往往要评定待定点的点位精 度；
待定点的点位精度通常用点位中误差简称“点位误差”的 大小来评定；
以下介绍点位误差的计算方法。
7.1.1 点位误差的概念
待定点的估值位置偏离其真实位置的距离P，简称为“真位差”。
按协因数传播律有：
Q cos Qx ˆ Q ˆy ˆ x sin Qx ˆy ˆ cos Qy ˆ sin
Q Qxx cos2 Qyy sin 2 Qxy sin 2
则，任意方向位差公式：
2 2 0 Q 2 0 (Qxx cos 2 Qyy sin 2 Qxy sin 2 )
2 ˆ ˆ Ex ˆ E (x 2 ) E ( x x ) x E 2 2 2 2
2 x 2 y
P2 x y
2 2 2 E ( P ) E ( x y ) 2 2
E (x 2 ) E (y 2 )
2 2 x y 2 P
2 K (Qxx Qyy ) 2 4Qxy
则极大、极小值为：
1 2 E2 0 (Qxx Qyy K ) 2 1 2 F2 0 (Qxx Qyy K ) 2
2 K (Qxx Qyy ) 2 4Qxy
极大、极小方向的计算公式：
QEE Qxx tan E Qxy QFF Qxx tan F Qxy
故，点位误差计算公式为：
2 2 2 P x y
s2 u2 90
2 2
7.1.2
任意方向φ的位差
说明：
1）任意方向φ 指的是方位角为φ 的方向！ 2）为求P点在任一方向上的位差，需先找P在φ 方向上的 真误差∆φ 与∆X、∆Y的函数关系；
3）真误差∆φ 就是∆P在φ 方向上的投影值。
2 测量上把 P 定义为“点位方差”，并把 P叫做点位中误差， 简称“点位误差” 。
点位中误差的计算方法
1）按纵、横坐标方差来求：
2 P 2 x
2 y
回顾条件平差、间接平差的计算纵、横坐标方差过程。
2）按纵向、横向上的位差来求
X ∆P
P″
∆u P′
∆S
P A
显然，有： 由中误差的定义可得：
P 2 S 2 u 2
2 P s2 u2
Y
关于纵向、横向误差：
∆U为纵向误差、∆S为横向误差。∆P为点位真误差。
各是由什么影响而来的？ 点位精度与测角、测边精度的关系怎样？
P A S β ∆β
∆P ∆u ∆S P1
P2
B
u S
4）根据投影再求该方向的位差。
由下图可得：
pp pp cos x sin y x cos sin y
X ∆Y φ ∆X φ P’’ P ∆P
P’
方位角=φ P’’’ 方位角=φ
∆φ
O
Y
因为：
pp pp x cos x sin y cos sin y
设φ 0为位差的极值方向，则有：
tg 2 0 2Qxy Qxx Qyy tg (2 0 1800 )
解上式得到两个根，其中一个为极大方向φE，另一个为极小方向φF； 用这两个根分别带到任意方向位差的公式就会得到极大值E和极小值F！
也可按下式求P点位差的极大、极小值：
1 QEE (Qxx Qyy K ) 2 1 QFF (Qxx Qyy K ) 2
7.1.3 位差的极值和极值方向
(Qxx cos Qyy sin Qxy sin 2 )
2 2 0 2 2
从上公式可看出：
任意方向位差的大小与方向φ 有关。 上式是一个用X、Y方向上的位差表示的任意方向上的位差。 x、y方向分别是φ 等于0度、90度等时的特殊形式。
u
S源自文库
P ΔU Δβ
ΔP ΔS
P’’
P’
3）按任意两个相互垂直的方向坐标方差来求
不难看出：
P2 (x)2 (y)2
2 2 2 P x y
由方差定义，可得：
由上讨论可的如下结论
点位方差大小不受坐标系的影响； 不同的坐标系，其位差分量大小是不同的； 点位位差可由任意两个互相垂直的方向上的坐标方差来求得。
若使位差达到极值，则应使：
dQ d
dQ
0
d (Qxx cos 2 Qyy sin 2 Qxy sin 2 ) d d 2Qxx cos sin 2Qyy sin cos 2Qxy cos 2 Qxx sin 2 Qyy sin 2 2Qxy cos 2 (Qxx Qyy ) sin 2 2Qxy cos 2 0