气轨上研究简谐振动

气轨上研究简谐振动

指导教师：王亚辉

实验团队：袁维，李红涛，苗少少

（陕西理工学院物理与电信工程学院物理系，汉中，723000）

摘要 在气轨导体上观察简谐振动现象，测定简谐振动的周期，观察简谐振动系统中的弹

性势能和动能之间的相互转化，测定和计算它们之间的数量关系。

关键词 气垫导轨 简谐振动 劲度系数 粘滞阻力 Ⅰ. 实验原理

当气垫导轨充气后，在其上放置以滑块，用两个弹簧分别将滑块和气垫导轨两端连接起来，如图1.（a ）所示。选滑块的平衡位置为坐标原点O ，将滑块由平衡位置准静态移至某点A ，其位移为x ，此时滑块一侧弹簧被压缩，而另一侧弹簧被拉长，如图1.（b ）所示。

图1

若弹簧的弹性系数分别为k 1，k 2，则滑块受到的弹性力为

F =－（k 1+k 2）x (1)

式中，负号表示力和位移的方向相反。由于滑块与气轨间的摩擦力极小，故可以略去。滑块仅受到在x 方向的恢复力即弹性力F 的作用，这时系统将做简谐振动，其动力学方程为 F =－（k 1+k 2）x = m

2

2x

d dt (2)

令ω2=

m

k k 2

1

，则方程改写为

2

2x

d dt

+ω2x=0

这个常系数二阶微分方程解为

x=cos(ω+φ) (3) 式中，ω称为角频率，简谐振动的周期为 T=

2

122k k m +=π

ω

π

将式（3）对时间求导数，可得滑块运动的速度为 V=

)sin(dx

φωω+-=t A dt

(4)

由于滑块只受弹性力（保守力）作用，因此系统振动过程中机械能守恒。设滑块在某位置x 处的速度为v ，则系统在该位置处的总能量应为

E=E P +E K =21( k 1+k 2)x 2+2

1

mv 2 (5) 把式（3）和式（4）代入式（5）有 E=21( k 1+k 2)A 2cos 2(ωt+φ)+ 2

1

m ω2A 2sin 2(ωt+φ) 又

ω2=

m

k k 2

1+ k 1+k 2=ω2m 故

E=

21m ω2A 2=2

1

( k 1+k 2)A 2 (6) 式中，m,k 1,k 2及A 都是常量。它说明尽管振动过程中动能、势能不断随时间变化，但其总

量保持不变。

实验中若将滑块移至A 点并作为起始点，初速度v=0，位移x max ==A,则该点处动能为零，系统总能量即为弹性势能E=1/2（k 1+k 2）A 2;当滑块运动到平衡位置O 点时，位移x=0而速度有最大值v max ，该点处势能为零，系统总能量全部转化为动能即E=1/2mv 2max 。因此，只要测出起始位置的最大位移或平衡位置O 点的滑块速度，即可算出振动系统的总能量E.而在振动过程中其他任一位置的动能和势能之和总等于E 。

Ⅱ. 实验仪器

气垫导轨及其附件，计速计时测速仪，电子秤，尼龙细线，两个弹簧等

Ⅲ. 实验步骤

1. 实验观察

（1） 观察本实验中振动现象，指出滑块在何处受力最大，何处受力最小；何处

速度最大，何处速度最小；何处加速度最大，何处加速度最小。

（2） 仔细观察滑块振动的振幅有无衰减，分析其原因。

（3） 若将气垫导轨由水平改为倾斜状态，观察滑块的振动，此时与水平振动有

无区别？振动周期是否相同？是否为谐振动？试写出振动方程。

2. 测量弹簧的弹性系数

（1） 打开数字毫秒计电源开关，拨至T 档。气轨充气后，把滑块置于气轨上并

将导轨调成水平。

（2） 如图2将被测弹簧系于导轨和滑块之间，滑块再通过尼龙细线绕过气垫滑

轮吊一砝码盘，盘内加上45g 砝码使弹簧预先伸长，记下滑快位置x 1，然后依次加20g ，40g ，60g 的砝码并分别记下滑块的位置x ，把数据计入表1。

（3） 改换第二根弹簧重复（2）的内容，测出弹性系数是k 2。

3.

（1） 用已知弹性系数的两根弹簧及滑块m 构成力学谐振动系统。将数字毫秒计

拨至“手动”复位，然后使滑块从平衡位置向右（或向左）移动x 1cm ，放手后仔细观察系统的运动情况并用数字毫秒计记下滑快完成10次全振动所用的时间。将数据记录入表2。

（2） 改变初始位移（即振幅）分别为x 2,x 3,重复（1）的内容，最后计算出谐振

动周期的平均值_

T 。

4. 测振动系统的能量

（1） 将数字毫秒计选择开关拨至T 档和自动复位，把一光电门移至系统平衡位

置x 0处，另一光电门距x 0点约20cm 的x 1处，给滑块m 一适当的初位移，然后放手，滑块开始振动，记录滑块通过光电门时的速度v ，并将x ，x 1的值记入表3中。

（2） 给滑块不同的初位移x ’，x ’’，重复（1）的内容。

（3） 用天平称出滑块连同弹簧的质量，计算系统在x ，x 0 ，x 1各位置处的势能、

动能、总机械能并加以比较。

5. 将气垫导轨由水平改为倾斜状态，重复3、4的步骤，完成表格4、5。

实验数据

M 砝码盘=20.2g m k1=12.4g m k2=12.1g m 小车=174.5g

表1 测弹簧弹性系数

表2 测简谐振动周期

表3 测简谐振动系统能量