2013届高考数学(理) 集合与常用逻辑用语第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件(人教A版)

2013届高考数学(理) 集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件(人教A版)

2013届高考数学（理）一轮复习教案：第一篇集合与

常用逻辑用语

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件【2013年高考会这样考】

1．考查四种命题的意义及相互关系．

2．考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解．

3．考查题型主要以选择题、填空题形式出现，常与集合、几何等知识结合命题．【复习指导】

复习时一定要紧扣概念，联系具体数学实例，理清命题之间的相互关系，重点解决：(1)命题的概念及命题构成；(2)四种命题及四种命题间的相互关系；(3)充分条件、必要条件、充要条件的概念的理解及判

定．

基础梳理

1．命题的概念

在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．

2．四种命题及其关系

(1)四种命题

命题表述形式

原命题若p，则q

逆命题若q，则p

否命题若綈p，则綈q

逆否命题若綈q，则綈p

(2)四种命题间的逆否关系

(3)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件、必要条件与充要条件

(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．

一个区别

否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．

两条规律

(1)逆命题与否命题互为逆否命题；

(2)互为逆否命题的两个命题同真假．

三种方法

充分条件、必要条件的判断方法

(1)定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．

(2)等价法：利用p⇒q与綈q⇒綈p，q⇒p与綈p⇒綈q，p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

(3)集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)以下三个命题：①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要条件；③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．其中真命题的序号是________．

解析①由2＞－3⇒/ 22＞(－3)2知，该命题为假；

②a2＞b2⇒|a|2＞|b|2⇒|a|＞|b|，该命题为真；

③a＞b⇒a＋c＞b＋c，又a＋c＞b＋c⇒a＞b；

∴“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件为真命题．

答案②③

2．(2011·陕西)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()．\A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|

C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b

解析“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”．

答案 D

3．(2011·山东)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y ＝f(x)是奇函数”的()．

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，

∴|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，

∴y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，如y＝f(x)＝x2，而它不是奇函数，故选B.

答案 B

4．(2011·安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()．

A．所有不能被2整除的整数都是偶数

B．所有能被2整除的整数都不是偶数

C．存在一个不能被2整除的整数是偶数

D．存在一个能被2整除的整数不是偶数

解析原命题是全称命题，则其否定是特称命题，故选D.

答案 D

5．命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为.

答案若a≤b，则有2a≤2b－1

考向一命题正误的判断

【例1】►(2011·海南三亚)设集合A、B，有下列四个命题：

①A⃘B⇔对任意x∈A都有x∉B；

②A⃘B⇔A∩B＝∅；

③A⃘B⇔B⃘A；

④A⃘B⇔存在x∈A，使得x∉B.

其中真命题的序号是______(把符合要求的命题序号都填上)．

[审题视点] 对于假命题，举出恰当的反例是一难点．

解析①不正确，如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，有A⃘B但2∈A且2∈B.

②不正确，如A＝{1,2}，B＝{2,3}，有A⃘B而A∩B＝{2}．

③不正确，如A＝{1,2}，B＝{2}，有A⃘B但B⊆A.

④正确．

答案④

正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．

【训练1】给出如下三个命题：

①四个非零实数a，b，c，d依次成等比数列的充要条件是ad＝bc；

②设a，b∈R，且ab≠0，若a

b＜1，则

b

a＞1；

③若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．

其中不正确命题的序号是()．

A．①②③B．①②

C．②③D．①③

解析对于①，可举反例：如a，b，c，d依次取值为1,4,2,8，故①错；对于②，

可举反例：如a、b异号，虽然a

b ＜1，但b

a

＜0，故②错；对于③，y＝f(|x|)＝log2|x|，

显然为偶函数，故选B.

答案 B

考向二四种命题的真假判断

【例2】►已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()．

A．否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题

B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题

C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题

D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题

[审题视点] 分清命题的条件和结论，理解四种命题间的关系是解题关键．

解析f′(x)＝e x－m≥0在(0，＋∞)上恒成立，即m≤e x在(0，＋∞)上恒成立，故m≤1，这说明原命题正确，反之若m≤1，则f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，故逆命题正确，但对增函数的否定不是减函数，而是“不是增函数”，故选D. 答案 D